第1章 导数及其应用 单元测试卷-2025-2026学年高二下学期数学湘教版选择性必修第二册

湘教版高中数学选择性必修第二册 第1章：导数及其应用单元测试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1.函数y=x2+1在区间1,1+△x上的平均变化率是() A.2 B.2x C.2+△x D.2+(△x)月 2.某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)=t+3表示， 则该物体在t=2s时的瞬时速度为() A.0m/s B.2m/s C.3m/s D.4m/s 3.若函数y=。+e(e为自然对数的底)的一条切线与x轴平行，则切点的坐标为() 2 A.1,0) B.(0,1) C.L,1) D.1,e) 4.已知f=,若fG)-分：则无=《) A.1 B. c.} D. 5.已知函数f(x)的导函数为f'(x),若f(x)=2nx-f'I)x-2,则fI)=() A.-3 B.-1 C.1 D.3 6.函数y=∫(x)的图象如图所示，则y=∫'()的图象可能是() 7.若函数f(x)=lnx-在区间(3,4)上有极值点，则实数a的取值范围是() c[周 D. 8.已知函数/)号+ax+b,x=-2是/9的一个极值点，且1付在3.2上有且 1 仅有一个零点，则实数b的取值范围为() c. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知函数fx)=x3-3x2+4,则() A.f(x)有3个零点 B.过原点作曲线y=f(x)的切线，有且仅有一条 C.点1，f(1)是曲线y=f(x)的对称中心D.f(x)在区间(-13)上的值域为(0,4) 10.己知函数f(x)=-x3eax++x(x>0),函数f(x)的图象在点1，fI)处的切线方程为y=-+1, 则下列结论正确的有() A.a=-2 B.b=1 C.函数y=f(x)的单调递减区间为(0,2-2) D.函数y=f(x)的单调递增区间为(3-√5,3+√5) 11.已知函数f(x)=x3+3x2+3(m∈R),则下列说法正确的是() A.若x=0为f(x)的极小值点，则m的取值范围为(0，+o) B.存在m,使得f(x)在(0，+o)上有且仅有一个零点 C.当m=0时，过点(0,0)存在两条直线与曲线y=f(x)相切 D.存在，使得f 品+品+- 4049 =4049 2025 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.一个物体的运动方程是s(t)=3+t2,则物体在t=2时的瞬时速度为 13.已知函数∫(x)=lnx+1的图象与直线y=x相切，则实数k=」 14.给定函数f(x)=（x+1)e.下列说法正确的有 ①函数f(x)在区间(-∞，-2)上单调递减，在区间(-2,0)上单调递增： ②函数f(x)的图象与x轴有两个交点； @当是<a<0时，方程f)=a两个不同的解： ④若方程f()=a只有一个解，则a之0. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)已知函数f(x)=e-. (1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程： (2)讨论∫(x)的单调性. 16.(15分)已知函数f()-d+1-4dx-4nx (1)若a≥0，求f(x)的单调区间： (2)若x=4是f(x)的极大值点，求a的取值范围. 17.(15分)己知函数f(x)=t+ax2+br-c在x=-及x=1处取得极值. 3 (1)求4，b的值： (2)若关于x的方程f(x)=0有三个不同的实根，求c的取值范围. 18.(17分)己知函数f(x)=lnx+ar2+3(a∈R). 0当a=时，求函数f()的极值： (2)求函数f(x)的单调区间； (3)当a=0时，若f(x)>k-k+2在x∈(1，+o)时恒成立，求整数k的最大值. 1.(1分)已知题数f)-号e+(a-1e-x号 (1)当a=2时，求∫(x)在x=0处的切线方程； (2)讨论f(x)的单调性： (3)若f(x)有两个零点，求a的取值范围.湘教版高中数学选择性必修第二册 第1章：导数及其应用单元测试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1.函数y=x2+1在区间1,1+△x上的平均变化率是() A.2 B.2x C.2+△x D.2+(△x)2 【答案】C 【分析】根据平均变化率的定义，求解 【详解】：0+Ax+1-+)=2Ar(△的，÷.2Ar+(Ay=2+Ar故选：C. △x 2.某物体的运动路程（单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)=t+3表示， 则该物体在t=2s时的瞬时速度为() A.Om/s B.2m/s C.3m/s D.4m/s 【答案】D 【分析】利用瞬时速度的定义直接求解 【详解】该物体在时间段[2,2+△t]上的平均速度为 △s-5(2+△)-5(2)_(2+△)+3-(22+3) △t △t 4+△ △t 当△t无限趋近于0时，4+△t无限趋近于4，即该物体在t=2s时的瞬时速度为4/s. 故选：D 3.若函数y=e+e (e为自然对数的底)的一条切线与x轴平行，则切点的坐标为（) A.1,0) B.(0,1) C.L,1) D.(1,e) 【答案】B 【分析】设出切点(x,y,),利用在切点处的斜率等于0即可求得结果. 2,所以y=e-e 【详解】设切点坐标为（化，⅓），函数y=e+e, 2 因为切线与轴平行，所以=产=0，解得飞0，e>-1号1.故 2 2 切点坐标为(0,1)故选：B 4.已知田=心，若fs)方则=（） A.1 B. c D. 【答案】B 【分析】对函数求导，根据题中条件代入计算得到答案 【详解】f(x)=xf(x)=4x3, 了化)广行4线代安解得无故选：B 1 5.已知函数fx)的导函数为f'(x),若f(x)=2nx-f"①)x-2,则f)=() A.-3 B.-1 C.1 D.3 【答案】A 【分析】先求出函数f(x)的导函数∫'(x),再令x=1得f'(I)的值，代入，令x=1可得答案 【详解】由f)=2nx-f0x-2,得f=2-f0),令x=1得：f四=2-f0, 解得f'0)=1,所以f(x)=2x-x-2,fI)=2n1-1-2=-3.故选：A 6.函数y=∫(x)的图象如图所示，则y=∫'(x)的图象可能是() 【答案】D 【分析】根据导数于原函数单调性的关系进行判断： 【详解】当x<0时，曲线的切线斜率大于0且越来越大，当x>0时，曲线的切线斜率小于 0且越来越大 故选：D 7.若函数f(x)=nx-在区间(3,4)上有极值点，则实数a的取值范围是() c周 D 【答案】D 【分析】根据极值点的概念，转化为导函数有零点求参数范围问题 【详解】由已知得f(x)=1-,若函数f(x)=nx-在(3,4)上有极值点，则1-ax=0在 x∈(3,4)上有解，即x=1∈(3,4)，解得上<a<故选：D a 4 3 8.已知函数/)=+x+b,x=-2是f(9的一个极值点，且f()在[-3,2]上有且 2 仅有一个零点，则实数b的取值范围为() A.「204 420 3,3 B.33 C D 0 【答案】A 【分析】根据f'(-2)=4-2a=0得出a,再根据f(x)的单调性以及极值即可得出 【详解】由f)式+m+b:得了)=2+ax, 2 因为x=-2是f(x)的一个极值点，所以f'(-2)=4-2a=0, 所以a=2,f)r+2+b,f=r+2x-+2, 在[-3,2]上有f'(x)>0得-3≤x<-2或0<x≤2，f"(x)<0得-2<x<0, 则f(x)在[-3，-2)上单调递增，在(-2,0)上单调递减，在(0,2]上单调递增， 因f(-3)=J(o=6f(2)=手6，f2)=20+b. 3 由数f闪32上有且仅有一个零点，则号6<0,9-6：0，解得06号 3 3 204) 所以实数b的取值范围为 3,-3 h. 故选：A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知函数fx)=x3-3x2+4,则() A.f(x)有3个零点 B.过原点作曲线y=f(x)的切线，有且仅有一条 C.点1，f(1)是曲线y=∫(x)的对称中心D.f(x)在区间(-1,3)上的值域为(0,4) 【答案】BC 【分析】求出零点判断A;求出切线方程判断B；利用函数图象变换，结合奇函数性质判断 C:举例说明判断D 【详解】对于A,由f(x)=(x+1)x-2)2=0,得x=-1或x=2,函数f(x)的零点只有2个， A错误： 对于B,设过原点作曲线y=f(x)的切线切点为(x,x-3x+4),f'(x)=3x2-6x, 切线方程为y-(x-3x+4)=(3x-6x)x-x),则-(x-3.x+4)=(3x-6x)(-x), 即2x-3x-4=0,整理得（化。-2）(2x+x。+2)=0,解得x。=2,即切线只有y=0一条，B 正确： 对于C,f(x)=(x-1)3-3(x-1)+2,f(x)的图象可由g(x)=x3-3x的图象向右平移 一个单位长度，向上平移2个单位长度得到，又g(x)=x-3x为奇函数，图象关于原点对称， 则f(x)的图象关于(1,2)对称，而fI)=2,即点1，f(1)是曲线y=f(x)的对称中心，C正 确： 对于D,由f(-1)=f(2)=0,f(0)=4,得f(x)在区间(~1,3)上的值域不是(0,4)，D错误。 故选：BC 10.已知函数f(x)=-x3er++x(x>0),函数f(x)的图象在点(1，fI)处的切线方程为 y=-x+1,则下列结论正确的有() A.a=-2 B.b=1 C.函数y=f(x)的单调递减区间为(0,2-√2) D.函数y=f(x)的单调递增区间为(3-√3,3+√5) 【答案】BD 【分析】求出函数f(x)的导数，利用导数的几何意义列式求出a,b判断AB:再利用导数求 出单调区间判断CD 【详解】对于AB,函数f(x)=-x3er++x(x>0),求导得f'(x)=-(a3+3.x2)eax++1, f'"(1)=-(a+3)ea++1=-1 由函数f(x)的图象在点(L,f)处的切线方程为y=一x+1,得 f0)=-ea++1=0 解得a=-1,b=1,A错误，B正确： 对于CD,令g(x)=f(x)=(x3-3x2)e-+1,求导得g'(x)=-x(x2-6x+6)e, 由g'(x)>0,得3-√3<x<3+√3：由8(x)<0,得0<x<3-V5或x>3+√3， 因此函数f'(x)在(3-√3,3+√3)上单调递增，在(0,3-√3)，(3+√3，+0)上单调递减，C错误， D正确.故选：BD 11.已知函数f(x)=x3+3x2+3(m∈R),则下列说法正确的是() A.若x=0为f(x)的极小值点，则的取值范围为(0，+o) B.存在m,使得f(x)在(0，+o)上有且仅有一个零点 C.当m=0时，过点(0,0)存在两条直线与曲线y=f(x)相切 D.存在m,使得」 2 3 4049 4049 2025 2025 2025 2025 【答案】ABD 【分析】选项A:根据极值点情况，分析∫'(x)的根的情况，得出m的范围；选项B:对正 负分类讨论f(x)的单调性，根据零点情况，即可得出肌的解；选项C:求导f'(x),设出 切点(x。,∫(。)，得到切线方程，把点(0,0)代入切线方程得关于x。的方程，根据方程根的 个数可判断C:选项D:转化为关于m的一次函数的零点情况，即可判断D 【详解】f'(x)=3.x2+6=3x(x+2m),令f'(x)=0,解得x=0,x2=-2m, 选项A::x=0为f(x)的极小值点，.-2m<0,.m>0,故A正确： 选项B:∫(0)=3， 当m≥0时，x∈(0，+o)时，'(x)>0,则f(x)在(0，+∞)上单调递增，此时f(x)在(0，+o) 上没有零点： 当m<0时，当x∈(0，-2m)时，f"(x)<0,当x∈(-2m,+o)时，f'(x)>0, 则∫(x)在(0，-2m)上单调递减，在(-2m,+o)上单调递增， 当x=-2时，f(x)=x3+3x2+3在(0，+o)上取得极小值，也是最小值， 即f(x)m。=f(-2m)=4+3, “f(x)在(0，+∞)上有且仅有一个零点，：4+3=0，解得m=- 6 2 ,故B正确： 选项C:当=0时，f(x)=x3+3,设切点(x。,f(x。), 则切线斜率k=∫'(x)=3x,切线方程为y-f(:)=3x(x-七)， :切线过点(0,0)，代入切线方程即0-∫()=3(0-)，即--3=-3x,解得x= 3 .有且仅有一条直线与曲线y=∫(x)相切，故C错误： 43 3 选项D:设a= 2 3 40493 2025 、2025 (2025 2025 2)2 3 4049)2 +2025 (2025 2025 2 3 4049 4049b+a+8098, 2025 2025 设g(m)=3bm+a+8098,由于b>0,故g(m)为单调递增的一次函数， 存在m=-a+8098 使得g(m)=0符合题意，故D正确； 3b 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.一个物体的运动方程是s()=3+t2,则物体在t=2时的瞬时速度为 【答案】4 【分析】根据瞬时速度的概念求极限即可。 【详解】由条件可得：lim s2+)-s②）=im4+△1)=4，故答案为：4 △t A 13.己知函数f(x)=nx+1的图象与直线y=相切，则实数k= 【答案】1 1 【分析】设切点(x。,f(x。),根据导数的几何意义得到切线方程y=x+血x。,结合函数 x。 f(x)与y=kx相切，得到hx。=0即可求解. 【详解设切点为(f》,了)-士则t=f,)卢名 切线方程为y=(x-x)+h无+1，即y=上x+hx。, 又因为函数f(x)=nx+1的图象与直线y=x相切，所以lnx。=0,解得x。=1. 故答案为：1. 14.给定函数(x)=（x+1)e.下列说法正确的有 ①函数f(x)在区间(-0，-2)上单调递减，在区间(-2,0)上单调递增； ②函数f(x)的图象与x轴有两个交点； ®当吉<a<0时，方程f)=a两个不同的解， ④若方程f(x)=a只有一个解，则a≥0. 【答案】①③④ 【分析】利用导数工具研究函数的单调性，再结合函数值情况、零点存在性定理、函数的图 象即可依次求解判断各选项 【详解】由题得函数定义域为R,且f'(x)=(x+2)e, 所以当x<-2时，∫'(x)<0,f(x)递减，当x>-2时，∫'(x)>0,f(x)递增，①正 确：所以f(x)m=f(-2)=-e2<0,f(0)=1>0,x<-2时，f()<0, 因此f(x)只在(-2，+∞)上有一个零点，它与x只有一个交点，②错： 由上面讨论知x<-2时，f(x)递减，f(x)e(-e2,0),xe(-2,+∞)时，f(x)递增， f(x)e（-e2,+o),作出y=f(x)图象和直线y=a,如图， y=f(x) 2 -1/0 知当是<a<0时，方程/)=a有两个不同的解，®正确： 由图可知当a≥0时，方程f(x)=a只有一个解，④正确.故答案为：①③④ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)已知函数f(x)=e-. (1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程： (2)讨论∫(x)的单调性， 【答案】(1)y=1 (2)答案见解析 【分析】(1)将a=1代入，利用导数的几何意义求解即可： (2)求导得f'(x)=e-a,分a≤0和a>0求解即可. 【详解】(1)当a=1时，f(x)=e-x,f(0)=1. f'(x)=e*-1,f'(0)=0. 曲线y=∫(x)在点(0，f(O)处的切线方程为y=1. (2)f'(x)=e-a. 当a≤0时，∫'(x)20,f(x)是增函数. 当a>0时，令f'(x)=0,解得x=lna. 当xe(-o,ha)时，f"(x)<0;当x∈(ha,+o),f'()>0. 所以∫(x)在(-o,ha）上单调递减，在(lna,+o)上单调递增. 综上，当a≤0时，f(x)在(-o,+o)上单调递增： 当a>0时，∫(x)在(-o,ha)上单调递减，在(na,+o)上单调递增. 16(15分)已知函影fx+1-40x4hn (1)若a≥0，求f(x)的单调区间； (2)若x=4是f(x)的极大值点，求a的取值范围. 【答案】(1)单调递增区间为(4，+o),单调递减区间为(0,4) 【分析】(1)求导，再根据导数的符号即可得出答案： (2)分a≥0，a=- 寻a<0和a≤-寻四种情况讨论，再结合已知即可得解 11 【详解】(1)f(x)的定义域为(0，+o), f"()=am+1-4a4-+1-4ax-4_K-4ax+1） 因为a≥0，所以ax+1>0, 所以当x∈(0,4)时，f"(x)<0,f()单调递减， 当x∈(4，+o)时，∫'(x)>0,f(x)单调递增 故∫(x)的单调递增区间为(4，+o),单调递减区间为(0,4)： (2)由(1)可知，当a≥0，x=4是∫(x)的极小值点，不符合题意： 当a=子时，()≤0在0+)上恒成立，不符合思意： 当a<0时，4 a 若xe4-时，f(四>0，若xe0,4)或x∈+时，f<0: a 所以f(x)在(0,4)上单调递减， 在(4 上单调递减， 则x=4为f(x)的极小值点，不符合题意： 若（石时，了0，若0司或41时，了）0 了在Q-日)上单调造成，在]上单调造增，在+)上单调造减。 a 则x=4为f(x)的极大值点，符合题意。 综上所述，a的取值范围为 17.(15分)己知函数f(x)=x+ax2+bx-c在x=- 及x=1处取得极值， (1)求a,b的值： (2)若关于x的方程f(x)=0有三个不同的实根，求c的取值范围。 【答案】(1)a=-1,b=-1 @-1别 【分析】(1)求导，利用 人》-0了0-0求出a,6的值，再进行检验： (2)结合函数的单调性和极值情况，只需满足f3>00)k0,解之即得. 【详解】(1)由题意得f'(x)=3x2+2ar+b, 由函数()在x= 及x=1处取得极值， f'(1)=3+2a+b=0, a=-1 解得6=-1此时f)=r-r-t-c,∫（田=3r-2-l, 则f'(四>0得x<-或x>1:'(四<0得-x<1, 3 则f在（以》和L+)上单词诺格。 在 ,1 上单调递减， 3 则x=子和x=1分别为f(y)的极大值点和极小值点故a=-16=-】 (2)由(1)可知， f()在x=-处取得极大值，在x=1处取得极小值。 3 又f(x)=0有三个不同的实根，所以 f(0)=-1-c<0, 解得-1<c< 27, 所以实数c的取值范围是-5 27 18.(17分)已知函数f(x)=lnx+ax2+3(a∈R). @当a=时，求函数f(9的极值： (2)求函数f(x)的单调区间： (3)当a=0时，若f(x)>kx-k+2在x∈(1，+o)时恒成立，求整数k的最大值. 【容案】0f()在x=1处取得极大值了0)=子：无极小值 (2)当a≥0时，f(x)在(0，+∞)上单调递增， 当a0时，f)在0，.-2马上单调递增，（√20 ，+o)上单调递减 2a 2a (3)整数k的最大值为5 【分析】(1)f(x)=上x=1x,令了(x)>0或f's)<0可求单调区间，进而求得极值： x (2)f)=+2m-1+2m ,x∈(O,+0),然后分类讨论可求得f(x)的单调区间： 湘教版高中数学选择性必修第二册 第1章：导数及其应用 单元测试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．函数在区间上的平均变化率是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平均变化率的定义，求解. 【详解】∵，∴.故选：C． 2．某物体的运动路程s（单位：）与时间t（单位：）的关系可用函数表示，则该物体在时的瞬时速度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用瞬时速度的定义直接求解. 【详解】该物体在时间段上的平均速度为， 当无限趋近于0时，无限趋近于4，即该物体在时的瞬时速度为4m/s. 故选：D 3．若函数（e为自然对数的底）的一条切线与x轴平行，则切点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出切点，利用在切点处的斜率等于0即可求得结果. 【详解】设切点坐标为，函数，所以， 因为切线与x轴平行，所以，解得，，故切点坐标为故选：B 4．已知，若，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】对函数求导，根据题中条件代入计算得到答案. 【详解】， ，解得.故选：B. 5．已知函数的导函数为，若，则（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】A 【分析】先求出函数的导函数，再令得的值，代入，令可得答案. 【详解】由，得，令得：， 解得，所以，.故选：A. 6．函数的图象如图所示，则的图象可能是（   ）    A．  B．  C．  D．   【答案】D 【分析】根据导数于原函数单调性的关系进行判断. 【详解】当时，曲线的切线斜率大于0且越来越大，当时，曲线的切线斜率小于0且越来越大. 故选：D 7．若函数在区间上有极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据极值点的概念，转化为导函数有零点求参数范围问题 【详解】由已知得，若函数在上有极值点，则在上有解，即，解得.故选：D 8．已知函数，是的一个极值点，且在上有且仅有一个零点，则实数b的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据得出，再根据的单调性以及极值即可得出. 【详解】由，得， 因为是的一个极值点，所以， 所以，，， 在上有得或，得， 则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 因， 由函数在上有且仅有一个零点，则，，解得， 所以实数b的取值范围为．故选：A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数，则（   ） A．有3个零点 B．过原点作曲线的切线，有且仅有一条 C．点是曲线的对称中心 D．在区间上的值域为 【答案】BC 【分析】求出零点判断A；求出切线方程判断B；利用函数图象变换，结合奇函数性质判断C；举例说明判断D. 【详解】对于A，由，得或，函数的零点只有2个，A错误； 对于B，设过原点作曲线的切线切点为，， 切线方程为，则， 即，整理得，解得，即切线只有一条，B正确； 对于C，，的图象可由的图象向右平移 一个单位长度，向上平移2个单位长度得到，又为奇函数，图象关于原点对称， 则的图象关于对称，而，即点是曲线的对称中心，C正确； 对于D，由，得在区间上的值域不是，D错误. 故选：BC 10．已知函数，函数的图象在点处的切线方程为，则下列结论正确的有（   ） A． B． C．函数的单调递减区间为 D．函数的单调递增区间为 【答案】BD 【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义列式求出判断AB；再利用导数求出单调区间判断CD. 【详解】对于AB，函数，求导得， 由函数的图象在点处的切线方程为，得， 解得，A错误，B正确； 对于CD，令，求导得， 由，得；由，得或， 因此函数在上单调递增，在上单调递减，C错误，D正确.故选：BD 11．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．若为的极小值点，则的取值范围为 B．存在，使得在上有且仅有一个零点 C．当时，过点存在两条直线与曲线相切 D．存在，使得 【答案】ABD 【分析】选项A：根据极值点情况，分析的根的情况，得出的范围；选项B：对正负分类讨论的单调性，根据零点情况，即可得出的解；选项C：求导，设出切点，得到切线方程，把点代入切线方程得关于的方程，根据方程根的个数可判断C；选项D：转化为关于的一次函数的零点情况，即可判断D. 【详解】，令，解得，， 选项A：为的极小值点，，，故A正确； 选项B：， 当时，时，，则在上单调递增，此时在上没有零点； 当时，当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 当时，在上取得极小值，也是最小值， 即， 在上有且仅有一个零点，，解得，故B正确； 选项C：当时，，设切点， 则切线斜率，切线方程为， 切线过点，代入切线方程即，即，解得， 有且仅有一条直线与曲线相切，故C错误； 选项D：设，， 则， 设，由于，故为单调递增的一次函数， 存在使得符合题意，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．一个物体的运动方程是，则物体在时的瞬时速度为 【答案】4 【分析】根据瞬时速度的概念求极限即可. 【详解】由条件可得：，故答案为：4 13．已知函数的图象与直线相切，则实数 ． 【答案】1 【分析】设切点，根据导数的几何意义得到切线方程，结合函数与相切，得到即可求解． 【详解】设切点为，，则， 切线方程为，即， 又因为函数的图象与直线相切，所以，解得． 故答案为：1． 14．给定函数．下列说法正确的有 ． ①函数在区间上单调递减，在区间上单调递增； ②函数的图象与轴有两个交点； ③当时，方程 两个不同的解； ④若方程只有一个解，则． 【答案】①③④ 【分析】利用导数工具研究函数的单调性，再结合函数值情况、零点存在性定理、函数的图象即可依次求解判断各选项. 【详解】由题得函数定义域为R，且， 所以当 时，， 递减，当 时，，递增，①正确；所以，， 时，， 因此只在上有一个零点，它与只有一个交点，②错； 由上面讨论知时，递减，， 时， 递增，，作出图象和直线，如图， 知当 时，方程有两个不同的解，③正确； 由图可知当时，方程只有一个解，④正确．故答案为：①③④ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）将代入，利用导数的几何意义求解即可； （2）求导得，分和求解即可. 【详解】（1）当时，，． ，． 曲线在点处的切线方程为． （2）． 当时，，是增函数． 当时，令，解得． 当时，；当，． 所以在上单调递减，在上单调递增． 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增． 16．（15分）已知函数． (1)若，求的单调区间； (2)若是的极大值点，求的取值范围． 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为 (2) 【分析】（1）求导，再根据导数的符号即可得出答案； （2）分，，和四种情况讨论，再结合已知即可得解. 【详解】（1）的定义域为， ， 因为，所以， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增． 故的单调递增区间为，单调递减区间为； （2）由（1）可知，当，是的极小值点，不符合题意； 当时，在上恒成立，不符合题意； 当时，， 若时，，若或时，； 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 则为的极小值点，不符合题意； 当时，， 若时，，若或时，； 在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 则为的极大值点，符合题意． 综上所述，的取值范围为． 17．（15分）已知函数在及处取得极值． (1)求a，b的值； (2)若关于x的方程有三个不同的实根，求c的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导，利用求出a，b的值，再进行检验； （2）结合函数的单调性和极值情况，只需满足，解之即得. 【详解】（1）由题意得， 由函数在及处取得极值，得 解得，此时，， 则得或；得， 则在和上单调递增，在上单调递减， 则和分别为的极大值点和极小值点.故. （2）由（1）可知， 在处取得极大值，在处取得极小值． 又有三个不同的实根，所以 解得，所以实数c的取值范围是． 18．（17分）已知函数． (1)当时，求函数的极值； (2)求函数的单调区间； (3)当时，若在时恒成立，求整数的最大值． 【答案】(1)在处取得极大值，无极小值 (2)当时，在上单调递增， 当时，在上单调递增，上单调递减 (3)整数的最大值为5 【分析】（1），令或可求单调区间，进而求得极值； （2），然后分类讨论可求得的单调区间； （3）根据已知式子进行变量分离可转化为恒成立，令，然后利用导数研究函数的单调性与极值，进而得出的最小值，进而得出所求得答案. 【详解】（1）当时，，所以， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以在处取得极大值，无极小值. （2）， 当时，恒成立，所以在上单调递增， 当时，当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 综上所述：当时，在上单调递增， 当时，在上单调递增，上单调递减. （3）在时恒成立，即恒成立， 令，则， 令，则在上恒成立， 所以在上单调递增，且 ，所以在存在唯一实数， 使得，即，所以 当时，，即， 当时，，即， 所以在上单调递减，上单调递增， 所以， 故，又，整数的最大值为5． 19．（17分）已知函数． (1)当时，求在处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若有两个零点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）将代入解析式，计算出，由直线的点斜式方程可求时的切线方程； （2）计算出并因式分解，根据和进行分类讨论，由此可分析出单调性； （3）当时，直接分析即可；当时，先根据计算出的初步范围，然后再证明在定义域上有两个零点，从而求解出的取值范围. 【详解】（1）当时，，所以， 所以， 所以切线方程为，即. （2）因为，所以， 当时，显然，故在上单调递减， 当时，令，解得， 若，则，故在上单调递减， 若，则，故在上单调递增， 综上所述，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （3）当时，在上单调递减，此时不可能有两个零点， 当时，由（2）可知， 若有两个零点，则一定有， 令，则，所以在上单调递增， 因为，所以若，则有， 下面证明：时，有两个零点； 因为， 由零点的存在性定理可知在上存在唯一零点， 当时，由的单调性可知，所以， 所以，所以，所以， 又因为， 令，所以，令，解得， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 所以，所以，当且仅当时取等号， 所以， 故当时，， 由零点的存在性定理可知在上存在唯一零点， 所以有两个零点， 综上所述，若有两个零点，则的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $ 湘教版高中数学选择性必修第二册 第1章：导数及其应用 单元测试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．函数在区间上的平均变化率是（   ） A．2 B． C． D． 2．某物体的运动路程s（单位：）与时间t（单位：）的关系可用函数表示，则该物体在时的瞬时速度为（    ） A． B． C． D． 3．若函数（e为自然对数的底）的一条切线与x轴平行，则切点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．已知，若，则（    ） A．1 B． C． D． 5．已知函数的导函数为，若，则（   ） A． B． C．1 D．3 6．函数的图象如图所示，则的图象可能是（ ）A．  B．  C．  D．   7．若函数在区间上有极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，是的一个极值点，且在上有且仅有一个零点，则实数b的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数，则（   ） A．有3个零点 B．过原点作曲线的切线，有且仅有一条 C．点是曲线的对称中心 D．在区间上的值域为 10．已知函数，函数的图象在点处的切线方程为，则下列结论正确的有（   ） A． B． C．函数的单调递减区间为 D．函数的单调递增区间为 11．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．若为的极小值点，则的取值范围为 B．存在，使得在上有且仅有一个零点 C．当时，过点存在两条直线与曲线相切 D．存在，使得 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．一个物体的运动方程是，则物体在时的瞬时速度为 13．已知函数的图象与直线相切，则实数 ． 14．给定函数．下列说法正确的有 ． ①函数在区间上单调递减，在区间上单调递增； ②函数的图象与轴有两个交点； ③当时，方程 两个不同的解； ④若方程只有一个解，则． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性． 16．（15分）已知函数． (1)若，求的单调区间； (2)若是的极大值点，求的取值范围． 17．（15分）已知函数在及处取得极值． (1)求a，b的值； (2)若关于x的方程有三个不同的实根，求c的取值范围． 18．（17分）已知函数． (1)当时，求函数的极值； (2)求函数的单调区间； (3)当时，若在时恒成立，求整数的最大值． 19．（17分）已知函数． (1)当时，求在处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若有两个零点，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $