第1章 导数及其应用 单元测试-2025-2026学年高二下学期数学湘教版选择性必修第二册

湘教版高中数学选择性必修第二册 第1章：导数及其应用单元测试卷 命题人：李文元 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答 题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：湘教版(2019)选择性必修第二册第1章 第一部分（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 1.函数f(x)=x2-sinx在区间[0，π]上的平均变化率为() A.-- B.-π C.π D.π+ 【答案】C 【分析】根据平均变化率的定义即可求得」 【详解】由平均变化率定义得（四f(O)_元」 =元，故选：C π-0 1 2.定义在R上的函数f(x),若f(①)= 202a则1m0-2026△x)-fD=〈) △x A.-1 B. C.2 D.4 2 【答案】A 【分析】利用导数的定义求解即可. 【详解】己知∫'①) 2026'由导数的定义可以知道，了(1)=1im 1 f(1+△x)-f(1)1 △x 2026 h 设h=-2026△x,当△x→0时，h→0.且△x=- 2026 所以m2/a-2026△)-f=m0+0-J0E2026lime △x h 方0 f0+m-f四--2026f@)=-1 h 2026 3.已知函数f(x)在R上可导，其部分图象如图所示，则下列不等式正确的是() A.)<r) B.③<3f0f') 2 2 c.f"3)<f)<3)f@ D.0<3)f0f'e) 2 2 【答案】B 【分析】设(1，f(1)为点A,(3,f(3)为点B,比较A点切线的斜率、B点切线的斜率、直 线AB的斜率即可判断. 【详解】设(1，f(1)为点A,（3,f(3)为点B, 由题图可知函数f(x)的图象在x=1处的切线的斜率比在x=3处的切线的斜率大，且均为正 数，所以0<f"3)<∫")，而直线4B的斜率为3)-f@_f6)-f 2 ,其比在x=1处 3-1 的切线的斜率小，但比在x=3处的切线的斜率大，所以0<F8)<3)f@了4). 4.已知f'(x)是函数f(x)的导函数，f(x)=e2x+sinx,则f'(0)=() A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】D 【详解】由题可得f'(x)=2e2x+cosx,所以f'(0)=2+1=3 5.设f(x)是f(x)的导函数，已知f(x)=2f(1)x-X+lnx+1,则f①)=() A,月 3 B.1 C. 2 D.2 【答案】D 【详朝】由已知.=2r0x+h+1=/=20)-2xf0=2r0-21 →f'(1)=1→f(x)=2.x-x2+nx+1→f(1)=2-1+0+1=2 6.已知定义在(0，+∞)上的函数f(x)的导函数为'(x),若f'(x)<2x,且f(5)=3,则不 等式f(2x-1)+4x>4x2-21的解集是() A.（-n,3) B.(3,+0) C.(0,3) 【答案】D 【分析】根据f'(x)<2x可构造函数g(x)=f(x)-x2(x>0),将f(2x-1)+4x>4x2-21转 化为8(x)的函数值间的大小比较，根据导数研究8(x)的单调性，进而可得关于x的不等式， 解不等式即可. 【详解】设g(x)=f(x)-x2(x>0),则g(x)=f'(x)-2x. 因为f'(x)<2x,所以f'(x)-2x<0,即g'(x)<0,所以g(x)在(0，+o)上单调递减 不等式f(2x-1)+4x>4x2-21等价于不等式f(2x-1)-(2x-1)2>-22,即8(2x-1)>-22 因为f(5)=3,所以8(5)=f(5)-52=-22,所以8(2x-1)>g(5). 因为8(y)在(0，+o)上单调递减，所以0<2x-1<5,解得<x<3 7.若3eR使得不等式 4x-m≤0对任意x∈(0，a)恒成立，则实数a的 最大值为() A.1 B.e C.4 D.2e 【答案】C 【分折】令)=平-h2-2x。 二x,将问题转化为]m∈R使得不等式 min{f(x),g(x)}≤m≤max{f(x),g(x}对任意x∈(0，a)恒成立，结合导数研究f(x),g(x) 的单调性以及图像，数形结合求解 【详】令)-g8)=h2g,其中>0， 期/倒1.当xe@时.f网0. 当x(e,+o)时，f'(x)<0, 所以函数f(x)在(O,)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减，函数g(r)在(0，+o)上单调递减. 所以neR使得不等式华-加2早-加上0对征意x=Qo恒成立等价于3meR 使得不等式min{f(x,g(x)}≤m≤max{f(x,g(x)}对任意x∈(0，a)恒成立. 令g(得2，由凰可m=-竖-④， 42,)B4,号) y-m 2 4 y=In2-In2 Inx 因此实数a的最大值为4. 8已知a=h号h=c=-m则(） A.c<b<a B.b<a<c C.a<b<c D.a<c<b 【答案】C 【分析】观察值之间的关系，可作差构造函数，通过求导分析函数单调性，确定大小关系。 【详解】设f(x)=hx-x(0<x≤1)， 则f'()=1-≥0，f(y在(0上单调递增，所以fysf=1-1=1, 当xe(Q,时，hr<X-l,取x9,符h号副a<b: 设g(x)=sinx-x(x<0),则g(x)=cosx-1≤0，g(x)在(-o,0)上单调递减， 所以g(x)>g(0)=0,所以当x<0时，x<sinx, 1 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.导函数y=f()的图象如图所示.在标记的点中，下列说法正确的是() y=f(x) A.x是导函数y=f(x)的极大值 B.x是导函数y=f(x的极小值 C.x,是函数y=f()的极大值 D.x,是函数y=f(x的极小值 【答案】BCD 【分析】根据极大值、极小值的定义，判断出正确选项， 【详解】根据导函数'(x)的图象可知：x,x,的两侧的小区域内，'(x)的图象左减右增， 所以在x,x,处导函数y=∫(x)有极小值：x2的两侧的小区域内，'(x)左增右减， 所以在x,处导函数y=f(x)有极大值， 根据导函数'(x)的图象可知：x,的左侧导数大于零，在(x,x)内导数'(x)小于零， 所以在x处函数y=f(x)有极大值 在（化，+o)上导数"(x)大于零，所以在x,处函数y=f()有极小值 而x,x2,x,左右两侧导函数符号相同，原函数∫(x)不取得极值」 由此可知A错误，BCD正确 10.已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R,记g(x)=f(x).若 f(2)=5,f(x)+∫(x+2)=6,g(1-2x)为偶函数，则下列结论中正确的是() A.f(x+4)=f(x) B.8(-x)=8(x) 20 C.8(2)=0 D. ∑f)=6080 【答案】ACD 【分析】对f(x)+f(x+2)=6进行变形可判断A,分析g(x)的对称性和周期性可判断B, 由己知变形得到g(0)和g(2)的两个方程并联立可判断C,先计算得到 f(1)+f(2)+f(3)+f(4)的值，由f(x)的周期性及f(1)和f(2)的值计算可判断D. 【详解】对于A,由f(x)+∫(x+2)=6,可得∫(x+2)+∫(x+4)=6, 两式相减可得∫(x+4)=∫(x),故A正确： 对于B,由g(1-2x)为偶函数，可得g(1-2x)=g(1+2x), 即g(x+1)=g(-x+1),所以g(x)的图象关于直线x=1对称， 由f(x+4)=f(x),两边求导得f'(x+4)=f(x),即g(x+4)=g(x), 所以g(x)是以4为周期的周期函数， 则有g(x)=g(x+4)=g(-x-2),无法推出g(-x)=g(x),故B错误： 对于C,由f(x)+f(x+2)=6,两边求导得∫'(x)+f'(x+2)=0, 即g(x)+g(x+2)=0,令x=0,可得g(0)+g(2)=0, 又8(x+1)=8(-x+1),令x=-1,可得g(0)=g(2), 并联立 0g-有e0=a-0.数e 对于D,由f(x)+f(x+2)=6,当x=0时，f(0)+f(2)=6,又f(2)=5,可得f(0)=1, 当x=1时，可得f(1)+f(3)=6, 由g(x+1)=g(-x+1),即f"(x+1)=f'(-x+1), 所以f(x+1)=-f(-x+1)+c,令x=1,，可得c=f(2)+f(0)=5+1=6, 所以f(x+1)=-f(-x+1)+6,令x=0,可得2f(1)=6,f(1)=3,f(3)=3, 由A知f(x)的周期为4，则f(4)=f(0)=1,所以f(1)+f(2)+(3)+f(4)=12, 2026 @=506[/0-/Hfe+/A小f4/e上50123+5=6080，故DiE确 1.已知函数f()=hx-x+1g()=,则下列迹项正确的有《） A.函数∫(x)有唯一零点 B.若方程8()=m有两个实数解，则实数m的取值范围为m< e C.若8(x)≤x+2 对任意x∈R恒成立，则实数t的取值范围为 2e.2e 1 D.记h(x)=g(x)-f(x),x∈ e 则h)x=ee+e-2 e 【答案】ACD 【分析】借助导数分析函数的单调性与极值，结合零点存在定理、分离参数，逐一判断选项 即可 【详解】对于A:函数f()=x-x+1的定义域为(0，+o),又因为f(x)=-1二 当x∈(0,1)时，f"(x)>0,f(x)单调递增， 当x∈1，+∞)时，f'(x)<0,f(x)单调递减， 所以f(x)在x=1取到最大值，且f)=0, 又因为当x0时，f(x)→-0，当x→+o时，f(x)→-0， 故f(x)有唯一零点x=1,故A正确： 对于B:函数8()-=的定义域为R,又因为g)=e-1上 e2x e+ 所以当x∈(-∞，1)时，g'(x)>0,g(x)单调递增， 当x∈1，+∞)时，8'(x)<0,g(x)单调递减， 所以s()在x=1取到最大值，且g- 又因为当x→-m时，8(x)→-0，当x→+m时，8(x)→0， 所以若方程ε()=m有两个实数解，则0<m<,故B错误： e 对于c:看网+ 对任意x∈R恒成立，分情况讨论： 当=时，左边： ≤0，不等式成立： 2 当x>时，x+行0，不等式变形为 1 2- 1 e(x+) 令4)= 马，则么)= e*(2.x-1)(x+1) e(x 2* 11、 当xe(2司时，4(>0，h)单调递增， 当x∈兮)时，4)<0，么()单调递减。 所以4()在x=方处取得最大值，最大值为 2 2e ,故≥ 2e 当x<7时，+<0，不等式变形为 1 e(+) 1,求导同h(x), e(x+) 所以当x∈(-o,-1)时，2'(x)<0,h(x)单调递减， 当x(1-宁时，么>0，么()单调递增， 所以h,(x)在x=-1处取得最小值，最小值为h(-1)=2e,故t≤2e, 综上， ≤i≤2e,故C正确： 2e 对于D:因为)=1-x1+1=-1e- e x 令p()=e-x,所以p(x)=e-1>0在[片，e]上恒成立，故p(x)>0, 当xe片)时，H()<0,x)单调递减， 当x∈1，e]时，h)>0,h()单调递增，所以(x)的最大值在h)或h⊙上取得，因为 wese-2 ee e.ee 而h(e)>h(白台)，故h()ms=e-e+e-2,故D正确. 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.己知直线ax+y+1=0与曲线y=e+2+x在x=-2处的切线垂直，则a= 【答案】3 【分析】根据导数的几何意义，可得切线的斜率，根据两直线的位置关系，可得答案 【详解】因为y=e*+2+x3,所以y=e+2+3x2,所以k=yL2=e°+12=13， 即曲线y=e+2+x在x=-2处切线的斜率为13， 因为直线+y+1=0与切线垂直，所以(-@×13=-1，解得a=】 13 13.若x=1是函数f(x)=(x-1)x-2)(x-a)的极值点，则f(0)= 【答案】-2 【分析】求导得f'(x)解析式，根据条件，可得f')=0,即可求出a值，进而可得f(x)解 析式，代入x=0,即可得答案 【详解】由题意f'(x)=(x-2)x-+(x-1)(x-+(x-1)x-2), 因为x=1是f(x)的极值点，所以f'①)=-(1-a)=0,解得a=1, 则f(x)=(x-1}(x-2),所以f(0)=-2.故答案为：-2 「ax+4lnx,0<x<1, 14.若函数f(x) π，π x≥ 有最大值，则a的取值范围为 2sin (3 6 【答案】（←-∞，2] 【详解】当x≥1时，f(x)=2sin 有最大值，最大值为2， 6) r+4lnx,0<x<1, 因为函数f(x) 有最大值， 2sin -X- .x≥1 3 6 若在(0,1)内∫()的上确界大于2，则该上确界将无法在函数的定义域内取到，导致函数无 最大值，故必有f(x)=x+4hx≤2在(0,1)上恒成立， 即as是4在0山上组成立，令8子如，则g/1-6 x2 因为当0<x<1时，g(x)<0,所以g(x)单调递减，当x→1时，g(x)ma→2， 所以a≤2，所以a的取值范围为(-o,2] 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分)求下列函数的导数. 四y=1+3x. (2)y=x4-3x2-5x+6: (3)y=n(e+x2): 【容案10是3 (2)y'=4x3-6x-5 (③)y'=e+2x e+x2 【详解】1y=日)+(3j=6x-3=-2+3=+3 (2)(x）=x"-1, .y'=(x4)-（3x2）-(5x)+(6)=4x3-6x-5 (3)令u=e+x2,则y=lnu, y=父=后e1)=eea)8 e*+x2, 16.(15分)己知函数f(x)=-x2+x+1,g(x)=e2x1 (1)求曲线y=∫(x)过点(1,1)处的切线： (2)若曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线与曲线y=g(x)在x=t(t∈R)处的切线平行，求t的 值. 【答案】(1)2x+y-3=0或x-4y+3=0: ②ts1 【分析】(1)利用导数的几何意义求过一点的切线方程： (2)利用导数的几何意义，由切线平行，列方程求参数的值即可. 【详解】(1)因为f(x)=-x+x+1,所以f(x)=-3x2+1, 设过点(1,1)直线与函数y=f(x)相切于点(x。,-x。+x。+1), 切线方程为y-(x+x。+1)=(-3x+1)x-),代入点(1,1)，得x-x=(-3x+1)0-x), 整理得2x-3+1=0,即2x-2x-x+1=0,(化-1)(2x-x-1)=(x。-1)'(2x,+1)=0, 解得x=1或，=一2 1 当x。=1时，切点为(1,1)，则切线方程为：2x+y-3=0: 当，=-}时，求得切线方程为x-4+3=0: 所以切线方程为：2x+y-3=0或x-4y+3=0: (2)由(1)可得曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线2x+y-3=0,即y=-2x+3, 由g(c)=e2x1,可得g(y)=-2e2x1, 所以曲线g(x)=e2x1在x=t(t∈R)处的切线的斜率为k=-2e2H, 所以-28-2，解得1=号此时切点为兮， 所以曲线)=86国在x=号处的切线方程为，-1-24之， 即y=-2x+2,与y=-2x+3平行，满足题意， 1 所以t=立 湘教版高中数学选择性必修第二册 第1章：导数及其应用 单元测试卷 命题人：李文元 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：湘教版（2019）选择性必修第二册第1章 第一部分（选择题 共58分） 1、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．函数在区间上的平均变化率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平均变化率的定义即可求得. 【详解】由平均变化率定义得，故选：C. 2．定义在R上的函数，若，则（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】利用导数的定义求解即可. 【详解】已知，由导数的定义可以知道， 设，当时，.且 所以 3．已知函数在上可导，其部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设为点，为点，比较A点切线的斜率、B点切线的斜率、直线AB的斜率即可判断． 【详解】设为点，为点， 由题图可知函数的图象在处的切线的斜率比在处的切线的斜率大，且均为正数，所以，而直线的斜率为，其比在处的切线的斜率小，但比在处的切线的斜率大，所以． 4．已知是函数的导函数，，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】由题可得，所以 5．设是的导函数，已知，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【详解】由已知， . 6．已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据可构造函数，将转化为的函数值间的大小比较，根据导数研究的单调性，进而可得关于的不等式，解不等式即可. 【详解】设，则. 因为，所以，即，所以在上单调递减. 不等式等价于不等式，即. 因为，所以，所以. 因为在上单调递减，所以，解得. 7．若使得不等式对任意恒成立，则实数的最大值为（   ） A．1 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】令，将问题转化为使得不等式对任意恒成立，结合导数研究的单调性以及图像，数形结合求解. 【详解】令，其中， 则，当时，， 当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，函数在上单调递减． 所以使得不等式对任意恒成立等价于使得不等式对任意恒成立． 令得，由图可知， 因此实数的最大值为4． 8．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察值之间的关系，可作差构造函数，通过求导分析函数单调性，确定大小关系. 【详解】设（）， 则，在上单调递增，所以， 当时，，取，得，即； 设（），则，在上单调递减， 所以，所以当时，， 取，得，即.故. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．导函数的图象如图所示．在标记的点中，下列说法正确的是（    ） A．是导函数的极大值 B．是导函数的极小值 C．是函数的极大值 D．是函数的极小值 【答案】BCD 【分析】根据极大值、极小值的定义，判断出正确选项. 【详解】根据导函数的图象可知：的两侧的小区域内，的图象左减右增， 所以在，处导函数有极小值；的两侧的小区域内，左增右减， 所以在处导函数有极大值. 根据导函数的图象可知：的左侧导数大于零，在内导数小于零， 所以在处函数有极大值. 在上导数大于零，所以在处函数有极小值. 而左右两侧导函数符号相同，原函数不取得极值. 由此可知A错误，BCD正确. 10．已知函数及其导函数的定义域均为，记．若，为偶函数，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对进行变形可判断A，分析的对称性和周期性可判断B，由已知变形得到和的两个方程并联立可判断C，先计算得到的值，由的周期性及和的值计算可判断D. 【详解】对于A，由，可得， 两式相减可得，故A正确； 对于B，由为偶函数，可得， 即，所以的图象关于直线对称， 由，两边求导得，即， 所以是以4为周期的周期函数， 则有，无法推出，故B错误； 对于C，由，两边求导得， 即，令，可得， 又，令，可得， 并联立，解得，故C正确； 对于D，由，当时，，又，可得， 当时，可得， 由，即， 所以，令，可得， 所以，令，可得，，， 由A知的周期为4，则，所以， ，故D正确. 11．已知函数，则下列选项正确的有（    ） A．函数有唯一零点 B．若方程有两个实数解，则实数的取值范围为 C．若对任意恒成立，则实数的取值范围为 D．记，则 【答案】ACD 【分析】借助导数分析函数的单调性与极值，结合零点存在定理、分离参数，逐一判断选项即可. 【详解】对于A：函数的定义域为，又因为， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以在取到最大值，且， 又因为当时，，当时，， 故有唯一零点，故A正确； 对于B：函数的定义域为，又因为， 所以当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以在取到最大值，且， 又因为当时，，当时，， 所以若方程有两个实数解，则，故B错误； 对于C：若对任意恒成立，分情况讨论： 当时，左边，不等式成立； 当时，，不等式变形为， 令，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以在处取得最大值，最大值为，故； 当时，，不等式变形为， 令，求导同， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以在处取得最小值，最小值为，故， 综上，，故C正确； 对于D：因为， 令，所以在上恒成立，故， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增，所以的最大值在或上取得，因为， 而，故，故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知直线与曲线在处的切线垂直，则________． 【答案】 【分析】根据导数的几何意义，可得切线的斜率，根据两直线的位置关系，可得答案. 【详解】因为，所以，所以， 即曲线在处切线的斜率为13． 因为直线与切线垂直，所以，解得． 13．若是函数的极值点，则______． 【答案】 【分析】求导得解析式，根据条件，可得，即可求出a值，进而可得解析式，代入，即可得答案. 【详解】由题意， 因为是的极值点，所以，解得， 则，所以.故答案为： 14．若函数有最大值，则的取值范围为__________． 【答案】 【详解】当时， 有最大值，最大值为2， 因为函数有最大值， 若在内的上确界大于，则该上确界将无法在函数的定义域内取到，导致函数无最大值，故必有在上恒成立， 即在上恒成立，令，则， 因为当时，，所以单调递减，当时，， 所以，所以的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）求下列函数的导数． (1)． (2)； (3)； 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）. （2）， （3）令，则， ． 16．（15分）已知函数，. (1)求曲线过点处的切线； (2)若曲线在点处的切线与曲线在处的切线平行，求的值. 【答案】(1)或； (2), 【分析】（1）利用导数的几何意义求过一点的切线方程； （2）利用导数的几何意义，由切线平行，列方程求参数的值即可. 【详解】（1）因为，所以， 设过点直线与函数相切于点， 切线方程为，代入点，得， 整理得，即，， 解得或， 当时，切点为,则切线方程为：； 当时，求得切线方程为； 所以切线方程为：或； （2）由（1）可得曲线在点处的切线，即， 由，可得， 所以曲线在处的切线的斜率为， 所以，解得,此时切点为， 所以曲线在处的切线方程为， 即，与平行，满足题意， 所以. 17．（15分）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)求函数的极值． 【答案】(1)单调递增区间为和；单调递减区间为． (2)极大值9，极小值． 【分析】（1）对函数求导求出导函数零点，即可得出其单调区间； （2）根据（1）中的结论以及函数极值的定义代入计算可得结果. 【详解】（1）函数的定义域为． ． 令，得或． 列表分析符号： 区间 正 负 正 递增 递减 递增 因此，函数的单调递增区间为和；单调递减区间为． （2）由(1)可知,在处，取得极大值，极大值． 在处，取得极小值，极小值． 18．（17分）已知函数． (1)求在上的最大值； (2)求证：恒成立； (3)若都有恒成立，求的最大值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）求导，确定函数的单调性，开区间上的极大值即为函数的最大值； （2）先证明，然后将变形为，放缩法求解； （3）先将恒成立转化为，求三阶导数，讨论函数的单调性，求解. 【详解】（1）由题知， 当时，， 当时，，即在上单调递增， 当时，，即在上单调递减， 所以当时，取最大值. （2）先证：，令， 则，所以函数在上单调递增， 故，即在上恒成立． 又， 由知，，所以，即，得证. （3）当时，，即，令， 则，其中， 令，则且，令， 则，其中.令，， 则， 故在上单调递减，其中. ①若，则， 令，在上单调递增，， 所以恒成立.故在上单调递增， 且.所以在上也单调递增，且，所以，故恒成立. ②若，则， 且，使得当时，，所以函数在上单调递减， 故时，，所以函数在上单调递减， 所以时，，所以时，， 与恒成立矛盾．综上所述：的最大值为. 19．（17分）已知函数. (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若对任意恒成立，求的取值范围； (3)证明：对任意正整数，都有. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析. 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）由分析需满足条件，得到，再说明时不满足条件； （3）结合（2）得对恒成立，令（），则，再累加求和即可证明. 【详解】（1）当时，，所以，，， 所以曲线在处的切线方程为，即. （2）当时，若单调递减，则满足条件， 因此需在恒成立，即在恒成立， 所以 设， 则当时，恒成立（当且仅当时取等号）， 所以在单调递增，所以，所以，得； 当时，，， 所以存在，， 则当时，，单调递增，此时，不满足条件， 综上可知，实数的取值范围为. （3）由（2）知，当时，对任意恒成立， 所以对恒成立，当且仅当时等号成立， 令（），则，即， 所以，，，，，， 累加得： 所以，证毕. 学科网（北京）股份有限公司 $湘教版高中数学选择性必修第二册 第1章：导数及其应用单元测试卷 命题人：李文元 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答 题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：湘教版(2019)选择性必修第二册第1章 第一部分（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 1.函数f(x)=x2-sinx在区间[0，π]上的平均变化率为() A.-π- B.-元 C.π D.π+ 元 2.定义在R上的函数)，若f0=, 2026则画0-202540f@.（) △x A.-1 B月 C.2 D.4 3.已知函数f(x)在R上可导，其部分图象如图所示，则下列不等式正确的是() y A.f3)-/@f0<f'6) B.r()1-r) C.f3)<f')<f3)-f0 D.0<fB)f@f'6) 4.已知f(x)是函数f(x)的导函数，f(x)=e2+six,则f'(0)=() A.0 B.1 C.2 D.3 5.设f'(x)是f(x)的导函数，已知f(x)=2f(1)x-+nx+1,则f)=() A. B.1 c D.2 6.已知定义在(0，+o)上的函数f(x)的导函数为f'(x),若f'(x)<2x,且f(5)=3,则不 等式f(2x-1)+4x>4x2-21的解集是（) A.(-0,3) B.(3,+o∞) c.(0,3) D 33 7若加=R位得不等式但-0儿2华-刚s0在意x=0a恒皮立，则安数a的 最大值为() A.1 B.e C.4 D.2e 8.已知a=h写b-7c=-m则() 7 A.c<b<a B.b<a<c C.a<b<c D.a<c<b 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.导函数y=f(:的图象如图所示.在标记的点中，下列说法正确的是() y=f(x)》 X4 A.x是导函数y=f(x)的极大值 B.x是导函数y=f(的极小值 C.x是函数y=f()的极大值 D.x是函数y=f()的极小值 10.已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R,记g(x)=f'(x).若 f(2)=5,f(x)+f(x+2)=6,g(1-2x)为偶函数，则下列结论中正确的是() A.f(x+4)=f(x) B.g(-x)=g(x) 202 C.g(2)=0 D. ∑f)=6080 1=1 11.已知函数f(x)=血x-x+1,g(x)=亡，则下列选项正确的有() ex A.函数∫(x)有唯一零点 B.若方程ε(d)=m有两个实数解，则实数m的取值范围为m< c.若)sx+ 对任意x∈R恒成立，则实数t的取值范围为 ,2e 2e D.i记Ms=&-f.e[2则a=ee-2 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.己知直线ax+y+1=0与曲线y=e*+2+x在x=-2处的切线垂直，则a= 13.若x=1是函数f(x)=(x-1)x-2)(x-a的极值点，则f(0)=· [ax+4lnx,0<x<1 14.若函数f(x)= 2sim3x-。 6,x≥，有最大值，则a的取值范围为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)求下列函数的导数. (①)y=1+3x. (2)y=x4-3x2-5x+6; (3)y=n(e*+x2): 16.(15分)己知函数f(x)=-x3+x+1,g(x)=e2+. (1)求曲线y=f(x)过点(1,1)处的切线： (2)若曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线与曲线y=g(x)在x=t(t∈R)处的切线平行，求t的 值 17.(15分)已知函数f(x)=(x2-4)(2x-1). (1)求函数f(x)的单调区间： (2)求函数f(x)的极值. 18.(17分)己知函数f(x)=sinx-二sin2x. (1)求∫(x)在(0，π)上的最大值； (②求证：x∈0+@)，f)≤行x恒成立： (6)若V∈0写到都有f()>acosv恒成立，求a的最大值。 19.(17分)己知函数f=ax--hx x+1 (1)若a=1,求曲线y=f(x)在(1，f(1)处的切线方程： (2)若f(x)≤0对任意xe[1,+o)恒成立，求a的取值范围： (G)证明：对任意正整数m,都有才片+，Lna+. 35 2n+12 湘教版高中数学选择性必修第二册 第1章：导数及其应用 单元测试卷 命题人：李文元 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：湘教版（2019）选择性必修第二册第1章 第一部分（选择题 共58分） 1、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．函数在区间上的平均变化率为（    ） A． B． C． D． 2．定义在R上的函数，若，则（   ） A． B． C．2 D．4 3．已知函数在上可导，其部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 4．已知是函数的导函数，，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．设是的导函数，已知，则（    ） A． B．1 C． D．2 6．已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 7．若使得不等式对任意恒成立，则实数的最大值为（   ） A．1 B． C．4 D． 8．已知，，则（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．导函数的图象如图所示．在标记的点中，下列说法正确的是（    ） A．是导函数的极大值 B．是导函数的极小值 C．是函数的极大值 D．是函数的极小值 10．已知函数及其导函数的定义域均为，记．若，为偶函数，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 11．已知函数，则下列选项正确的有（    ） A．函数有唯一零点 B．若方程有两个实数解，则实数的取值范围为 C．若对任意恒成立，则实数的取值范围为 D．记，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知直线与曲线在处的切线垂直，则________． 13．若是函数的极值点，则______． 14．若函数有最大值，则的取值范围为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）求下列函数的导数． (1)． (2)； (3)； 16．（15分）已知函数，. (1)求曲线过点处的切线； (2)若曲线在点处的切线与曲线在处的切线平行，求的值. 17．（15分）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)求函数的极值． 18．（17分）已知函数． (1)求在上的最大值； (2)求证：恒成立； (3)若都有恒成立，求的最大值． 19．（17分）已知函数. (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若对任意恒成立，求的取值范围； (3)证明：对任意正整数，都有. 学科网（北京）股份有限公司 $