命题大赛 第一章平面向量及其应用 单元测试卷-2025-2026学年高一下学期数学湘教版必修第二册

湘教版高中数学必修第二册 第1章：平面向量及其应用 单元测试卷 命题人：李文元 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：湘教版（2019）必修第二册第1章 第一部分（选择题 共58分） 1、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（原创）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 2．（原创）已知，，，则向量与向量的夹角为（    ） A．30° B．60° C．90° D．135° 【答案】B 【详解】设向量与向量的夹角为，由，所以, 因为，所以 3．（原创）下列命题中，正确的命题个数是（      ） ①若，则或    ②若，则； ③， ，则；         ④， ，则； ⑤若或，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】对于①，当非零向量的模长相等且不共线时，、均不成立，故①错误；对于②，即共线，但它们的模长不一定相等，故②错误； 对于③，根据等量的传递性可得，故③成立 对于④，如果为零向量，为不共线向量，则、均成立，但不成立，故④不成立。 对于⑤，若或，则成立，故⑤成立。故正确的命题个数为2. 4．在三角形ABC中，是的中点，过点的直线分别交直线，于点，，设，，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【分析】结合图形，利用三点共线，推出，再根据基本不等式求解即可. 【详解】如图，由点O是BC的中点，得， 由三点共线，得，，， 则， 当且仅当，即时取等号，所以取得最小值2.故选：B 5．已知为三角形ABC的外接圆的圆心，，若，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取的中点，根据给定条件结合共线向量定理的推论可得共线，再在直角三角形中计算作答. 【详解】取的中点，连接，则，如图， 则，由，得，又，因此三点共线，由为三角形ABC的外接圆的圆心，得，即，所以.故选：B. 6．已知，，点在的延长线上，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设点， 由点在的延长线上，且，得， 又，，所以，解得， 所以点的坐标为． 7．在三角形ABC中，角所对的边分别为，若，，则当角取得最大值时，三角形ABC的周长为（    ） A．6 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据余弦定理，将角化边，可得，再由余弦定理结合不等式，可求得角的最大值为，再根据已知条件和余弦定理，可分别求得三角形的三边长，进而得到三角形的周长. 【详解】由题意，， 根据余弦定理，可得，化简得，即， 所以， 根据基本不等式，可得， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 又，由余弦函数的性质，可知单调递减，所以， 所以角的最大值为，且，又由余弦定理得，， 所以，又，所以，所以， 所以三角形ABC的周长为，所以B正确. 8．在三角形ABC中，内角，，的对边分别为，，，若，，则三角形ABC内切圆的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用 及正弦定理得到 ,再结合余弦定理求出 ,进而得到面积和周长,最后用 算出内切圆半径. 【详解】由 ,得 , .由 及正弦定理 ,得 , 即 , 因为, 所以. 由余弦定理 ,代入 , 得 ,整理得 , 所以, . 由余弦定理 ,因为, 所以. 三角形ABC的面积 ,周长 . 设内切圆半径为 ,则 , 所以 . 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（    ） A．向量，可以作为平面向量的一组基底 B．若非零向量与满足，则为等腰三角形 C．已知点，，点P是线段的三等分点，则点P的坐标可以为 D．三角形ABC中，D为的中点，则 【答案】BD 【分析】利用基底的定义判断A；利用数量积的定义及运算律求解判断BD；利用向量线性运算的坐标表示求解判断C. 【详解】对于A，由向量，，得，与共线，不能作为平面向量的一组基底，A错误；对于B，在中，由，得， 则，因此，，， 三角形ABC为等腰三角形，B正确； 对于C，由点P是线段AB的三等分点，得或，而， 则或，即点P的坐标可以为或，C错误； 对于D，在中，D为的中点，则 ，D正确. 10．在三角形ABC中，，，，则（   ） A． B．若是三角形ABC的中线，则 C．若是三角形ABC的高，则 D．若是三角形ABC的角平分线，则 【答案】BD 【分析】利用余弦定理求解判断A；利用数量积运算律求解判断B；利用三角形面积列式求解判断CD. 【详解】对于A，由余弦定理，得，A错误； 对于B，由是的中线，得，则 ，B正确； 对于C，由是三角形ABC的高，得，则，C错误； 对于D，由是三角形ABC的角平分线，得，由， 得，则，D正确. 11．已知是三角形ABC内一点，，，三角形AOB的面积分别为，则．如图，设是三角形ABC内一点，三角形ABC的三个内角分别为，，，三角形AOB的面积分别为，若，则以下命题正确的有（    ）    A． B．有可能是三角形ABC的重心 C．若为三角形ABC的外心，则 D．若为三角形ABC的内心，则三角形ABC为直角三角形 【答案】AD 【分析】根据奔驰定理即可求解A，根据重心的性质即可求解B，根据外心的性质，结合三角形面积公式可求解C，利用面积公式，结合内心的性质求解D. 【详解】对于A，由奔驰定理可得，， 因为不共线，所以，故A正确； 对于B，若是三角形ABC的重心，则，因为， 消去，可得，即三点共线，与题意不符，故B错误； 对于C，当为三角形ABC的外心时，，所以， 故由A项结论，， 即，故C错误； 对于D，当为的内心时，， 因，（为内切圆半径，分别为角的对边）， 则，所以，即，故D正确．故选：AD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知向量，，若，则________ 【答案】 【详解】由，，且，则有. 13．已知正方形的边长为2，且为边中点，则___________． 【答案】 【详解】以为坐标原点，所在直线为轴建立直角坐标系， 则，，，所以，，所以. 14．设三角形ABC的内角所对的边分别为.若，则角__________ 【答案】 【分析】根据正弦定理进行边角互换得到，然后利用余弦定理计算即可. 【详解】由， 得到，即， 由正弦定理化简得到，由余弦定理， 因为，所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知平面向量． (1)若，求与的夹角； (2)若，求向量在向量上的投影向量． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知及向量垂直的坐标表示，求出，再应用向量夹角的坐标运算求夹角即可； （2）由已知及向量平行的坐标表示，求出，再根据投影向量的定义求向量在向量上的投影向量． 【详解】（1）已知平面向量， ，又， ，解得，故， 设与的夹角为， ， ， ． （2）已知，， 由，得，解得，则， 向量在向量上的投影向量为． 16．（15分）已知平行四边形中，． (1)求点坐标； (2)求对角线的长； (3)设平行四边形对角线交点为，求的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用，可求点坐标. （2）利用两点间的距离公式求. （3）利用求的坐标. 【详解】（1）如图： 设，由，所以. 所以点坐标为. （2）. （3）为的中点，所以. 17．（15分）已知在三角形ABC中，为中点，，，．    (1)设和的夹角为，若，求证：； (2)若，求． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）要证两向量垂直，则可以通过证明数量积为，从而得到对应的线段垂直； （2）先把用，线性表示，再利用建立方程关系，从而解出夹角余弦值，进而求出角度. 【详解】（1）因为N为AB中点，所以，则． 根据向量数量积的分配律可得. 已知，，， 则，， 代入可得，因为，所以，即. （2）因为，所以， 又因为，则， 所以， 而，，，， 所以代入得，解得， 因为，所以. 18．（17分）如图，在梯形中，，，E为上一点，且． (1)若，求的值； (2)已知． ①求的长； ②若，设P是线段上的一个动点（含端点），求的最大值． 【答案】(1) (2)①；②． 【分析】（1）根据向量的线性运算，结合图形的几何性质，可得答案； （2）①利用同一组基底表示向量，根据数量积的运算律，可得答案； ②设，利用基底计算，根据二次函数性质求最值. 【详解】（1）因为，，所以， 所以 ， 又，与不共线，所以，，则． （2）①由（1）知，，， 所以 ．又，所以，解得． ②设，则， ． 又因为∠BAD＝，，，所以 ． 因为，函数的对称轴为， 所以时，的最大值为． 19．（17分）在三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，． (1)求A． (2)已知AD平分且交BC于点D，． （ⅰ）若，求a； （ⅱ）求三角形ABC周长的最小值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）由，利用正弦定理得到，再利用余弦定理求解； （2）（ⅰ）由，利用正弦定理得到，再根据AD平分，由求得b，c，再利用余弦定理求解； （ⅱ）由和得到，利用“1”的代换，得到的最小值，再由余弦定理，得到的最小值. 【详解】（1）因为，所以，即， 所以，因为，所以； （2）（ⅰ）因为，由正弦定理得：， 因为AD平分，所以， 因为，所以， 将代入上式得，解得，， 由余弦定理得，解得. （ⅱ）由，得， 将代入上式得，即，即， 则， 当且仅当时，等号成立，则的最小值为8；由余弦定理得， ，令，则， 因为 ，当时，的最小值为，则的最小值为， 所以三角形ABC周长的最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 湘教版高中数学必修第二册 第1章：平面向量及其应用 单元测试卷 命题人：李文元 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：湘教版（2019）必修第二册第1章 第一部分（选择题 共58分） 1、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（原创）（    ） A． B． C． D． 2．（原创）已知，，，则向量与向量的夹角为（    ） A．30° B．60° C．90° D．135° 3．（原创）下列命题中，正确的命题个数是（      ） ①若，则或    ②若，则； ③， ，则；         ④， ，则； ⑤若或，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．在三角形ABC中，是的中点，过点的直线分别交直线，于点，，设，，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C．4 D．6 5．已知为三角形ABC的外接圆的圆心，，若，且，则（   ） A． B． C． D． 6．已知，，点在的延长线上，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 7．在三角形ABC中，角所对的边分别为，若，，则当角取得最大值时，三角形ABC的周长为（    ） A．6 B． C． D． 8．在三角形ABC中，内角，，的对边分别为，，，若，，则三角形ABC内切圆的半径为（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（    ） A．向量，可以作为平面向量的一组基底 B．若非零向量与满足，则为等腰三角形 C．已知点，，点P是线段的三等分点，则点P的坐标可以为 D．三角形ABC中，D为的中点，则 10．在三角形ABC中，，，，则（   ） A． B．若是三角形ABC的中线，则 C．若是三角形ABC的高，则 D．若是三角形ABC的角平分线，则 11．已知是三角形ABC内一点，，，三角形AOB的面积分别为，则．如图，设是三角形ABC内一点，三角形ABC的三个内角分别为，，，三角形AOB的面积分别为，若，则以下命题正确的有（    ）    A． B．有可能是三角形ABC的重心 C．若为三角形ABC的外心，则 D．若为三角形ABC的内心，则三角形ABC为直角三角形 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知向量，，若，则________ 13．已知正方形的边长为2，且为边中点，则___________． 14．设三角形ABC的内角所对的边分别为.若，则角__________ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知平面向量． (1)若，求与的夹角； (2)若，求向量在向量上的投影向量． 16．（15分）已知平行四边形中，． (1)求点坐标； (2)求对角线的长； (3)设平行四边形对角线交点为，求的坐标． 17．（15分）已知在三角形ABC中，为中点，，，．    (1)设和的夹角为，若，求证：； (2)若，求． 18．（17分）如图，在梯形中，，，E为上一点，且． (1)若，求的值； (2)已知． ①求的长； ②若，设P是线段上的一个动点（含端点），求的最大值． 19．（17分）在三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，． (1)求A． (2)已知AD平分且交BC于点D，． （ⅰ）若，求a； （ⅱ）求三角形ABC周长的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $Sheet1 双向细目表 题号 核心知识点 题型 难度系数 分值 1 向量线性运算（加减法则、三角形法则） 单项选择题 0.9 5 2 向量数量积、夹角公式 单项选择题 0.85 5 3 向量概念辨析、命题真假判断 单项选择题 0.75 5 4 向量共线、三点共线、均值不等式最值 单项选择题 0.6 5 5 三角形外心、向量线性表示 单项选择题 0.55 5 6 向量坐标运算、定比分点 单项选择题 0.7 5 7 解三角形、余弦定理、角最值、周长 单项选择题 0.5 5 8 解三角形、面积公式、内切圆半径 单项选择题 0.55 5 9 基底、向量模、三等分点、中点公式 多项选择题 0.65 6 10 三角形中线、高、角平分线的向量表示 多项选择题 0.5 6 11 三角形内点性质、重心 / 外心 / 内心、面积关系 多项选择题 0.4 6 12 向量垂直的坐标条件、参数求解 填空题 0.75 5 13 向量数量积、正方形几何背景 填空题 0.7 5 14 向量数量积、余弦定理、求角 填空题 0.65 5 15 向量夹角、投影向量、数量积运算 解答题 0.65 13 16 平行四边形、坐标运算、中点、模长 解答题 0.6 15 17 向量夹角、数量积、中点、模长计算 解答题 0.55 15 18 梯形向量运算、坐标法、数量积最值 解答题 0.45 17 19 解三角形、角平分线、周长最值 解答题 0.4 17 Sheet2 Sheet3 $湘教版高中数学必修第二册 第1章：平面向量及其应用单元测试卷 命题人：李文元 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡 上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：湘教版(2019)必修第二册第1章 第一部分（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1.(原创)AB-AC+BD=() A.BC B.CD C.2BC D.2AC 2.(原创)己知网=2，=1，a.五=1，则向量a与向量五的夹角为() A.30 B.60° C.90 D.135° 3(原创)下列命题中，正确的命题个数是() ①若d=b,则a=或a-b ②若a1i,则d=回： ③a=6,b=c,则a=c: ④a∥i,b∥c,则a/c: ⑤若a=5或a=-五，则- A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.在三角形ABC中，O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB,AC于点M,N,设 AB=m4,Ac=n4N(m>0,n>0),则上+的最小值是() A.1 B.2 C.4 D.6 5.已知O为三角形ABC的外接圆的圆心，AB=3,AC=2,若AO=xAB+yAC,且 x+2y=1(xy≠0)，则cos∠BAC=（) A.5 c.3 5 3 D. 6.已知R(2,-),R0,),点P在R2的延长线上，且-3P明，则点P的坐标为() A.(1,2) D.(-1,8) 7.在三角形ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bc=4,b+2ccos4=0,则当角B取 得最大值时，三角形ABC的周长为() A.6 B.4+25 C.4+22 D.6+2W2 8.在三角形ABC中，内角A,B,C的对边分别为4，b,c,若c=2b=2,A=2B,则三 角形ABC内切圆的半径为() A.√3-1 B.1-3 c.3-1 D.3 3 2 26 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.下列说法正确的是() A.向量a=(1,2),b=(2,4)可以作为平面向量的一组基底 B.若非零向量西与4C满足（得+急记0，则△A8C为等腰三角形 C.己知点AL,5),B(4,-7),点P是线段AB的三等分点，则点P的坐标可以为(2，-1) D.三角形ABC中，D为BC的中点，则AB.AC=AD-BD 10.在三角形ABc中，BC=4,AC-2,ACB=,则() A.AB=23 B.若CD是三角形ABC的中线，则CD=√ C.若CD是三角形ABC的高，则CD=2 D.若CD是三角形ABC的角平分线，则CD三 11.已知O是三角形ABC内一点，△BOC,△AOC,三角形AOB的面积分别为S4,Sa,S。,则 S4·OA+S。·OB+S。·OC=0.如图，设O是三角形ABC内一点，三角形ABC的三个内角分别 为A,B,C,△BOC,△AOC,三角形AOB的面积分别为SA,Sa,S。,若3OA+4OB+5OC=0, 则以下命题正确的有() A.S4:Sg:S%=3:4:5 B.O有可能是三角形ABC的重心 C.若O为三角形ABC的外心，则sinA:sinB:sinC=3:4:5 D.若O为三角形ABC的内心，则三角形ABC为直角三角形 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知向量a=(m,4),b=（-1,3),若a1,则m= 13.己知正方形ABCD的边长为2，且F为AD边中点，则BF.BC= 14.设三角形ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若 (sinA+sin B-sinC)(sin A+sin B+sinC)=sin Asin B,C= 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)已知平面向量ā=(1，-2)，b=1,x),c=4,5-x) (1)若(a+b)1a,求a与6的夹角： (2)若(a+b)/忙，求向量a在向量i上的投影向量. 16.（15分)已知平行四边形ABCD中，A(2,2),B(-3,4),C(-1,2). (1)求D点坐标： (2)求对角线BD的长； (3)设平行四边形ABCD对角线交点为G,求AG的坐标. 17.(15分)已知在三角形ABC中，N为AB中点，BM=BC,©-1，AC=2 B M 0设砺和AC的夹角为0，若cas0-},求证：CN⊥1B: 赌- ,求∠BAC. 18.(17分)如图，在梯形ABCD中，AB/ICD,AB=3CD=6,E为BC上一点，且BE=3EC. D B (1)若A正=mAB+nAD,求m+n的值： (2)已知啦光=-9. ①求AD的长： ②若BAD-孕设P是线段AB上的一个动点（含端点，求PD压的最大值， 19.(17分)在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c, sinB a-c sinA+sinC b+c (1)求A. (2)已知AD平分∠BAC且交BC于点D,AD=2. (i)若sinB=2sinC,求a: (i)求三角形ABC周长的最小值.湘教版高中数学必修第二册 第1章：平面向量及其应用单元测试卷 命题人：李文元 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡 上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：湘教版(2019)必修第二册第1章 第一部分（选择题共58分) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1.(原创)AB-AC+BD=() A.BC B.CD C.2BC D.2AC 【答案】B 【详解】AB-AC+BD=CB+BD=CD 2.(原创)已知@=2，=1，a.万=1，则向量a与向量的夹角为() A.30° B.60° C.90° D.1359 【答案】B 【详解】设向量a与向量i的夹角为8，由a,石=阿cos0-2cos日=1，所以cos6=2 因为0∈[0，π]，所以0=60° 3.(原创)下列命题中，正确的命题个数是() ①若d-l,则a=或a=-五 ②若a1石，则日=园： ③a=b,b=c,则a=c: ④a∥i,i∥c,则a∥c: ⑤若ā=5或a=-五，则同- A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】B 【详解】对于①，当非零向量a,b的模长相等且不共线时，a=b、a=-b均不成立，故①错误： 对于②，a∥b即a,b共线，但它们的模长不一定相等，故②错误； 对于③，根据等量的传递性可得a=c,故③成立 对于④，如果b为零向量，ac为不共线向量，则a∥i、i∥c均成立，但a∥c不成立，故④ 不成立。 对于⑤，若a=或a=-i,则d=成立，故⑤成立。故正确的命题个数为2 4.在三角形ABC中，O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB,AC于点M,N,设 AB=m4M,AC=n4W(m>0,>0),则1+1的最小值是() nn A.1 B.2 C.4 D.6 【答案】B 【分析】结合图形，利用M,O,N三点共线，推出化+”=1，再根据基本不等式求解即可 22 【详解】如图，由点0是BC的中点，得AO=二AB+AC)=AM+”AN, 21 由M,O,N三点共线，得+”=1，m>0,n>0, 22 当且仅当”会·即mA=1时取等号，所以之取得袋小位2故选，B 5,己知O为三角形ABC的外接圆的圆心，AB=3,AC=2,若AO=xAB+yAC,且 x+2y=1(xy≠0)，则cos∠BAC=() A.5 c.3 D. 5 3 【答案】B 【分析】取AC的中点D,根据给定条件结合共线向量定理的推论可得B,O,D共线，再在直角 三角形中计算作答 【详解1取4C的中点D,连接OD,0B,则AD=AC=1,如图。 则AC=2AD,由AO=xAB+yAC,得AO=xAB+2yAD,又x+2y=1,因此B,O,D三点共线， 由O为三角形ABC的外接圆的圆心，得ODLAC,即BDL4C,所以s∠B4C=4D}故选： AB 3 B. 6.已知(2，-1)，P,(0,5),点P在PE的延长线上，且RP=3P, 则点P的坐标为() A.(1,2) B. c. D.（-1,8) 【答案】D 【详解】设点P(x,y), 由点P在R的延长线上，可-3P四，得PP=-3P, x-2=-3(-x) x=-1 又P=-2v+),Pg=(x5-),所以+136)解得=8· 所以点P的坐标为(-1,8) 7.在三角形ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bc=4,b+2 ccos4=0,则当角B取 得最大值时，三角形ABC的周长为() A.6 B.4+25 C.4+22 D.6+2√2 【答案】B 【分析】根据余弦定理，将角化边，可得公=口-)，再由余弦定理结合不等式，可求得角 B的最大值为”，再根据己知条件和余弦定理，可分别求得三角形的三边长，进而得到三角形 6 的周长 【详解】由题意，b+2cc0sA=0, 根据余弦定理，可得b+2x6+a=0,化简得26+c-d-0,即6-c-c), 2bc 所以os+e2+2(-e） ad2+3c2, 2ac 2ac Aac 根据基本不等式，可得a2+3c2≥2√a2.3c2=23ac, 所以cosB=d+3c≥2y5ac.5,当且仅当a=3c,即a=5c时，等号成立， Aac 4ac 2 又0<B<元，由余弦函数的性质，可知cDsB单调递减，所以0<B≤匹 6 所以角B的最大值为石，且a=Bc,又由余弦定理得，B=d+-2xmB=C-2e5-c, 6 所以b=c,又bc=4,所以b=c=2,所以a=√5c=2√5， 所以三角形ABC的周长为a+b+c=2W3+4,所以B正确 8.在三角形ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,C,若c=2b=2,A=2B,则三 角形ABC内切圆的半径为() A.√3-1 B.1-3 C. 3-1 D.13 3 2 26 【答案】C 【分析】利用A=2B及正弦定理得到a=2 bcos B,再结合余弦定理求出a=√5，进而得到面 积和周长，最后用，=2 算出内切圆半径 C sinsin6得 【详解】由c=2b=2,得b=1,c=2.由A=2B及正弦定理a b sin2B sinB 即 a b 2 sin cosBsin,因为imB≠0，所以a=2bc0sB. 由余弦定理cosB=口+c,代入b=1,c=2得 2ac a=2x1x4+41_d+3,整理得2a=d+3,所以d=3,a=V5 2a×22a 由余弦定理c0sA-+c-a-+4=3-,因为4e(0,),所以mA=-A= 2bc 2x 1x 22 2 三角形ABC的面积S-cA=x1x2x5-5,周长C=a+b+e=V5+1+2=5+3 1 2 22 设内切圆半径为，则S= 2C, 所以，-292 2x2-5.3(3-3)3-333-33_5-1 CV3+3V3+3(6W3+3(W3-3)3-962 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列说法正确的是() A.向量a=1,2),b=(2,4)可以作为平面向量的一组基底 B.若非零向量与4G清足（格+c-0,则△ABC为等腰三角形一 C.已知点A1,5),B(4,-7),点P是线段AB的三等分点，则点P的坐标可以为(2，-1) D.三角形ABC中，D为BC的中点，则AB.AC=AD-BD 【答案】BD 【分析】利用基底的定义判断A:利用数量积的定义及运算律求解判断BD:利用向量线性运算 的坐标表示求解判断C 【详解】对于A,由向量a=1,2),b=(2,4),得b=2a,a与b共线，不能作为平面向量的 底，A错误；对于B,在△ABC中，由（得+号C=0,得BC+4CBC0 LACI 则CACB=ABC,因此1Cm1cosC-BC1cosB,cosC=coSB,C=B, lABI 三角形ABC为等腰三角形，B正确： 对于C,由点P是线段AB的三等分点，得亚=AB或AP=AB,而AB=6,-12), 则AP=(2,-8)或A亚=1，-4)，即点P的坐标可以为3，-3)或(2,1)，C错误： 对于D,在△ABC中，D为BC的中点，则AB.AC=(AD+DB)(AD+DC =(AD-BD)(AD+BD)=AD-BD,D正确 10.在三角形ABC中，BC-4,4C-2,ACB,则() A.AB=23 B.若CD是三角形ABC的中线，则CD=√ C.若CD是三角形ABC的高，则CD=2 D,若CD是三角形ABC的角平分线，则CD= 3 【答案】BD 【分析】利用余弦定理求解判断A:利用数量积运算律求解判断B:利用三角形面积列式求解 判断CD. 【详解】对于A,由余弦定理，得 AB=VBC°+AC2-2BC4Cc0s乙4CB=A+2-2x4×2c0s2=2W7,A错误 对于B,由CD是aABC的中线，得C西=号C+C西)，则可=+C丽+2C4C西 -16-2x2x(=5,B正确： 对于C,由CD是三角彩ABC的商，得宁4CBCs血ACB 1ABCD,则 CD=AC-BCsin.∠ACB 2x4x3 221,C错误： AB 27 对干D.由CD是三角形ABC的角平分线，得∠ACD-∠BCD-于由Sa+Sm=Sec 和时4ccsn号-cpm背4ccm则测cD-C,C-手 32 AC+BC3,D正确 11.已知O是三角形ABC内一点，△BOC,△AOC,三角形AOB的面积分别为S4,Sa,S。,则 S4·OA+S。·OB+S。·OC=0.如图，设O是三角形ABC内一点，三角形ABC的三个内角分别 为A,B,C,△BOC,△AOC,三角形AOB的面积分别为S4,Sa,S。,若3OA+4OB+5OC=0, 则以下命题正确的有() A.S4:Sn:S。=3:4:5 B.O有可能是三角形ABC的重心 C.若O为三角形ABC的外心，则sinA:sinB:sinC=3:4:5 D.若O为三角形ABC的内心，则三角形ABC为直角三角形 【答案】AD 【分析】根据奔驰定理即可求解A,根据重心的性质即可求解B,根据外心的性质，结合三角 形面积公式可求解C,利用面积公式，结合内心的性质求解D 【详解】对于A,由奔驰定理可得，3OA+4OB+5OC=S·OA+S·OB+S·OC=C, 因为OA,OB,OC不共线，所以S:S2:S。=3:4:5,故A正确： 对于B,若O是三角形ABC的重心，则OA+OB+OC=0,因为3OA+4OB+5OC=0, 消去OA,可得OB=2C6,即O,B,C三点共线，与题意不符，故B错误； 对于c,当0为三角形ABc的外心时，p网bbc,所以s,=号osn∠B0C, 故由A项结论，S4:Sa:S。=sinBOC:sin∠AOC:sin∠AOB=3:4:5, 即sin2A:sin2B:sin2C=3:4:5,故C错误： 1 .1 对于D,当0为△4BC的内心时，S:S.:S.-a:br:cr=a:b:C) 2 因S4:Sa:S。=3:4:5,(r为内切圆半径，a,b,c分别为角A,B,C的对边)， 则a:bc=345,所以d+B=c,即C-子故D正确，故选：AD 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.己知向量a=（(m,4),b=(-1,3),若a/16,则m= 【答案】 解)由a=m.4,b=13),且ā/B,则有m3=4x-)→m 13.己知正方形ABCD的边长为2，且F为AD边中点，则BF.BC= 【答案】2 【详解】以A为坐标原点，AB,AD所在直线为x,y轴建立直角坐标系， 则B(2,0),C(2,2),F(0,1),所以BF=(-2,1),BC=(0,2),所以BF.BC=-2x0+1x2=2 D B 14.设三角形ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若 (sinA+sin B-sin C)(sin A+sin B+sinC)=sin Asin B,C= 【容案】罗 【分析】根据正弦定理进行边角互换得到a2+b2-c2=-ab,然后利用余弦定理计算即可 【详解】由(sinA+sinB-sinC)(sinA+sinB+sinC)=sin Asin B, 得到(sinA+sinB)2-sin2C=sinAsin B,即sin2A+sin2B-sin2C=-sin Asin B, 由正弦定理化简得到a+6-。:-ab,由余弦定理cosC-+b-C, 2ab 2 因为0<C<π，所以c=2n 3 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分)己知平面向量ā=(1，-2)，b=1,x),c=(4,5-x). (L)若(a+b)1a,求a与b的夹角： (2)若(a+b),求向量a在向量6上的投影向量. 【答案10号 四（多 【分析】(1)由已知及向量垂直的坐标表示，求出五，再应用向量夹角的坐标运算求夹角即可： (2)由已知及向量平行的坐标表示，求出b,再根据投影向量的定义求向量ā在向量b上的投 影向量。 【详解】(1)已知平面向量ā=(1，-2)，b=1,x), .a+b=(1,-2)+(1,=(2,x-2),又(a+b)1a, a+b)a=(2,x-2)(1,-2)=2+4-2x=0,解得x=3,故b=(1,3), 设a与b的夹角为日， ..Cos= a 1x1-2×3 -5 =V2 啊2+-2yxP+35x而2： 0e[0,], 0玩 4 (2)已知a+b=(1,-2)+(1,x)=(2,x-2),c=(4,5-x), 由(a+b)1e,得2×(5-x)=4×(x-2),解得x=3,则b=(1,3), 有在对51数品有些方诗6-5-总-（兮引 12+32） 16.(15分)已知平行四边形ABCD中，A(2,2),B(-3,4),C(-1,2). (1)求D点坐标： (2)求对角线BD的长： (3)设平行四边形ABCD对角线交点为G,求AG的坐标. 【答案】(1)D(4,0) (2)BD=√65 (3)AG 【分析】(1)利用BA=CD,可求D点坐标. (2)利用两点间的距离公式求BD (3)利用AG=】AC求AG的坐标 【详解】(1)如图： 0 D 设D(x),由8A=CD→(5，-2)=(x+1,y-2),所以y-2=-2v=0 「x+1=5x=4 → 所以D点坐标为(4,0) (2)BD=V-3-4)2+(4-0)=√65 3)G为4c的中点，所以G=c=-3.0)-(30 17.(15分)己知在三角形ABC中，N为AB中点，BM=BC,AB=1,AC=2. B @设西和正的夹角为0.若c0=子求：v1A: ②洁-求c 【答案】(1)证明见解析： 2)<ac-号 【分析】(1)要证两向量垂直，则可以通过证明数量积为0，从而得到对应的线段垂直： (2)先把A应用AB,AC线性表示，再利用A=19建立方程关系，从而解出夹角余弦值， 4 进而求出角度 【详解】1）因为N为B中点，所以N-丽，则=-AC=6-c. 根据向量数量积的分配律可得C心B=}AB-ACA仍 已知=1,4G=2,cos0= 41 则aca-西cs0-1x2×分西--1， 代入可得a西=1-0，因为CN=0:所以Cw1a,即Cw1AB 2 (2)因为B亚=BC,所以AM=AB+BM=AB+BC, 又因为c-aC-孤，则=孤+ac-)-子西+4C, 所以-信4cj名西五c+6c, 网-1.ac-2,-9.4丽c-晒co4c 所以代入得 19 4 P 因为∠BAC∈(0，元)，所以∠BAC= 3 18.(17分)如图，在梯形ABCD中，AB/CD,AB=3CD=6,E为BC上一点，且BE=3EC. (1)若AE=mAB+nAD,求+n的值： (2)已知啦B沁=-9. ①求AD的长： ②若∠BD-于设P是线段4B上的一个动点（含端点）.求历丽的最大值， 【答案】)+n= 20AD=2:②2 2 【分析】(1)根据向量的线性运算，结合图形的几何性质，可得答案： (2)①利用同一组基底AB,AD表示向量，根据数量积的运算律，可得答案： ②设亚=亚(0≤≤1)，利用基底孤D计算PD亚-36：6，根银=次语数性质 求最值. 【详解】1)因为AB11CD,AB=3CD,所以Dc-. 所以证=恋+B丽=AB+3BC-B+(B+AD+Dc列 又证=a丽-a0,西与西不关线，所以m-宁n子则u+n 3 41 (2)①油知，亚-西+而，8c-+0+-而-西， 所以证c-兮+40(aDA调-AD+4D}号A初 而}西-40-12.又带觉9，所以4012=9，解得4D-2. 4 ②设AP=2AB(0≤1≤1)，则PD=AD-AP=AD-1AB, 死-正--西+0-丽=西+而。 又因为∠BAD=号AB=6,AD=2,所D店=aD-M)兮G+A0 +2-74B.AD 03641子626 +6. 21 9 因为0≤2≤1，函数f(2)=362-72+6的对称轴为元= 2 8 所以入=1时，PD.P呕的最大值为7 19.(17分)在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,C, sin B a-c sinA+sinC b+c (1)求A. (2)已知AD平分∠BAC且交BC于点D,AD=2. (i)若sinB=2sinC,求a: (i)求三角形ABC周长的最小值. 【皆1ω号 (2)(i)3v7;(ii)4v3+8 sin B a-c 【分析】(1)由 sinA+sinC b+c ,利用正弦定理得到b2+c2-a2=-bc,再利用余弦定理求 解： (2)(i)由sinB=2sinC,利用正弦定理得到b=2c,再根据AD平分∠BAC,由 S4c=SaD+S,c4D求得b,c,再利用余弦定理求解； (i)由Sc=S,D+ScaD和AD=2得到bc=2b+2c,利用1"的代换，得到b+c的最小值， 再由余弦定理a2=b2+c2-2 bccosA=(b+c)-2(b+c),得到a的最小值 【详解】(1)因为 snB=-C,所以b=aC,即b+c-=-bc, sinA+sinC b+c atc b+c 折Ab+c二三三-专，因为Ae0,)·折以A三严： 3 (2)(i)因为sinB=2sinC,由正弦定理得：b=2c, 因为AD平分∠BAC,所以∠BAD=∠CAD= 3 因为Sa=Sa+,所以片m子-ADsm导+cADm子 元1 将AD=2,b=2c代入上式得c2=3c,解得c=3,b=2c=6, 由余弦定理得a2=b2+c2-2bcc0sA=62+32-2×6×3×cos 2亚=63，解得a=37 (到由8s=Sa-8a得时cm否动A0m于+40m号 32 将AD=2代入上试得5c-5b+5c,即e=2b+x,即片+上) b c 2 则b4c=2b*e后月-+后8）2+269=8 当且仅当b=c时，等号成立，则b+c的最小值为8：由余弦定理得a2=b2+c2-2 bccosA, =b+c2+bc=(b+c)2-bC=(b+c)2-2(b+c),令t=b+c,则ad=t-2t=(t-1)2-1, 因为t≥8，当t=8时，ad2的最小值为(8-1)-1=48，则a的最小值为4v3, 所以三角形ABC周长的最小值为a+b+c=4v5+8.