第2章 三角恒等变换 阶段质量评价-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套练习word（湘教版）

[阶段质量评价]　第2章　三角恒等变换 (时间：120分钟　满分：150分) 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.已知sin α=，则cos(π-2α)= (　　) A.- B.- C. D. 解析：选B　cos(π-2α)=-cos 2α=-(1-2sin2α)=2×-1=-.故选B. 2.已知tan α=5，则= (　　) A. B.1 C. D. 解析：选B　===1，故选B. 3.若sin α+cos α=，则sin= (　　) A. B. C. D. 解析：选A　因为sin α+cos α=，所以sin=sin α+cos α=(sin α+cos α)=×=.故选A. 4.已知sin x=，x∈，则cos x= (　　) A. B.- C. D.± 解析：选C　∵x∈，∴cos x>0，则cos x===.故选C. 5.若tan θ=2，则7cos2θ-2sin 2θ= (　　) A.- B. C.-2 D.2 解析：选A　7cos2θ-2sin 2θ====-.故选A. 6.已知角α，β满足tan α=，sin β=2cos(α+β)sin α，则tan β= (　　) A. B. C.1 D.2 解析：选B　由sin β=2cos(α+β)sin α，得sin β=sin[(α+β)+α]-sin[(α+β)-α]，进而sin β=sin(2α+β)-sin β⇒2sin β=sin(2α+β)=sin 2αcos β+cos 2αsin β，所以sin β(2-cos 2α)=sin 2αcos β⇒tan β====，故选B. 7.已知θ∈(0，2π)，若函数f(x)=2sin xcos x-sin(2x+θ)在上无零点，则θ的值可能为 (　　) A. B. C. D. 解析：选D　令f(x)=0，则sin 2x=sin(2x+θ)，故sin 2x=sin 2xcos θ+cos 2xsin θ，则tan 2x=tan 2xcos θ+sin θ，故tan 2x=在x∈无零点.因为tan 2x>0，所以≤0.因为1-cos θ>0，所以sin θ≤0.因为θ∈(0，2π)，所以θ∈[π，2π).故选D. 8.若sin(α+β)=cos 2αsin(α-β)，则tan(α+β)的最大值为 (　　) A. B. C. D. 解析：选D　若sin(α+β)=cos 2αsin(α-β)， 则sin[2α-(α-β)]=cos 2αsin(α-β)， 即sin 2αcos(α-β)-sin(α-β)cos 2α=cos 2αsin(α-β)， 所以sin 2αcos(α-β)=2cos 2αsin(α-β)，即tan 2α=2tan(α-β)，故tan(α+β)=tan[2α-(α-β)]==. 若使得tan(α+β)取得最大值，不妨设tan(α-β)>0，则tan(α+β)=≤=，当且仅当=2tan(α-β)，即tan(α-β)=时取等号. 二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.计算下列各式，结果为的是 (　　) A.sin 15°+cos 15° B.cos215°-sin 15°cos 75° C. D. 解析：选AD　由辅助角公式得sin 15°+cos 15°=2sin(15°+45°)=2sin 60°=，A正确;cos215°-sin 15°cos 75°=sin 75°cos 15°-sin 15°cos 75°=sin(75°-15°)=sin 60°=，B错误;=×=tan 60°=，C错误;==tan(45°+15°)=tan 60°=，D正确. 10.已知a=(cos 2α，sin α)，b=(1，2sin α-1)，α∈，若a·b=，则 (　　) A.sin α= B.cos 2α=- C.sin 2α=- D.tan= 解析：选ACD　 因为a·b=cos 2α+sin α(2sin α-1)=1-2sin2α+2sin2α-sin α=1-sin α=，所以sin α=，A正确.因为α∈，所以cos α=-.所以sin 2α=2××=-，B错误，C正确.因为tan α=-，所以tan==，D正确. 11．(2025·全国Ⅰ卷)已知△ABC的面积为，若cos 2A＋cos 2B＋2sin C＝2，cos Acos Bsin C＝，则(　　) A．sin C＝sin2A＋sin2B B．AB＝ C．sin A＋sin B＝ D．AC2＋BC2＝3 解析：选ABC　cos 2A＋cos 2B＋2sin C＝2⇒2sin C＝1－cos 2A＋1－cos 2B⇒2sin C＝2sin2A＋2sin2B， ∴sin C＝sin2A＋sin2B，故A正确； ∵cos Acos Bsin C＝>0，∴A，B为锐角． 由＝＝＝2R，得a2＋b2＝c·2R≥c2，若a2＋b2>c2，则C为锐角，即△ABC为锐角三角形， ∴由A＋B>⇒A>－B，则sin A>sin，即sin A>cos B，代入sin C＝sin2A＋sin2B， 有sin C＝sin2A＋sin2B>cos2B＋sin2B＝1，矛盾，故a2＋b2＝c2， 即cos(A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B＝0⇒cos Acos B＝sin Asin B＝， ∵S＝absin C＝⇒ab＝， ∴＝(2R)2＝2⇒2R＝，＝2R＝⇒c＝，故B正确； (sin A＋sin B)2＝sin2A＋sin2B＋2sin Asin B＝sin C＋＝⇒sin A＋sin B＝，故C正确； AC2＋BC2＝AB2＝c2＝2，故D错误．故选ABC. 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上) 12.sin21°+sin22°+sin23°+…+sin288°+sin289°=　　　　.  解析：设S=sin21°+sin22°+sin23°+…+sin288°+sin289°，　① 则S=sin289°+sin288°+sin287°+…+sin22°+sin21°， 所以S=cos21°+cos22°+cos23°+…+cos288°+cos289°，　② ①+②得2S=89，S=. 答案： 13.黄金分割比的值m可以近似地表示为2sin 18°，则的近似值等于　　　　.  解析：由题可得m=2sin 18°， ∴= = = ==1. 答案：1 14.(2024·新课标Ⅱ卷)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan α+tan β=4，tan αtan β=+1，则sin(α+β)=　　　　　　.  解析：法一：由题意得tan(α+β)===-2，因为α∈， β∈，k，m∈Z， 则α+β∈((2m+2k)π+π，(2m+2k)π+2π)，k，m∈Z，又因为tan(α+β)=-2<0， 则α+β∈，k，m∈Z，则sin(α+β)<0， 则=-2，联立sin2(α+β)+cos2(α+β)=1，解得sin(α+β)=-. 法二：因为α为第一象限角，β为第三象限角，则cos α>0，cos β<0， cos α==，cos β==， 则sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=cos αcos β·(tan α+tan β)=4cos αcos β====-. 答案：- 四、解答题(本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)化简：(0<α<π). 解：∵tan=，∴(1+cos α)tan=sin α. 又∵cos=-sin α，且1-cos α=2sin2， ∴原式== =-. ∵0<α<π，∴0<<.∴sin>0. ∴原式=-2cos. 16.(15分)已知函数f(x)=2cos2x+2sin xcos x. (1)求f的值;（7分） (2)若f=，α∈，求cos α的值. （8分） 解：(1)因为f(x)=2cos2x+2sin xcos x =1+cos 2x+sin 2x=1+2sin， 所以f=1+2sin =1+2sin=1+1=2. (2)由f=，α∈， 得sin=，cos=. 所以cos α=cos =coscos+sinsin=. 17.(15分)已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点(-3，9). (1)求tan的值; （7分） (2)求sin 2α+3cos 2α的值. （8分） 解：(1)依题意，tan α==-3. 则tan 2α===. 故tan===-. (2)依题意，sin 2α+3cos 2α = = ==-3. 18.(17分)已知0<x<<y<π，sin(x+y)=. (1)判断tan x+tan y的正负，并说明理由; （7分） (2)若tan=，求cos 2x和cos y的值. （8分） 解：(1)tan x+tan y<0.理由如下： ∵sin(x+y)=sin xcos y+cos xsin y， ∴tan x+tan y=+ == =. ∵0<x<<y<π， ∴cos x>0，cos y<0. ∴tan x+tan y=<0. (2)由tan=，得tan x==. ∵0<x<，∴cos x=，sin x=. ∴cos 2x=2cos2x-1=2×-1=-. ∵0<x<<y<π，∴<x+y<. 则由sin(x+y)=，得cos(x+y)=-. 则cos y=cos[(x+y)-x]=cos(x+y)cos x+sin(x+y)sin x=-×+×=-. 故cos 2x=-，cos y=-. 19.(17分)在△ABC中，已知c·sin(A-B)=b·sin(A-C).其中A，B，C为内角，它们的对边分别为a，b，c. (1)判断△ABC的形状; （8分） (2)若a=5，cos A=，求△ABC的面积. （9分） 解：(1)因为c·sin(A-B)=b·sin(A-C)， 所以sin C·sin(A-B)=sin B·sin(A-C)， 所以sin C·(sin Acos B-cos Asin B)=sin B·(sin Acos C-cos Asin C)， 所以sin Csin Acos B-sin Ccos Asin B=sin Bsin Acos C-sin Bcos Asin C， 即sin Csin Acos B=sin Bsin Acos C， 因为sin A≠0，所以sin Ccos B=sin Bcos C， 即sin Bcos C-cos Bsin C=0，所以sin(B-C)=0， 所以B-C=0，即B=C，所以△ABC是等腰三角形. (2)由(1)可知b=c，又a2=b2+c2-2bccos A， 所以25=b2+b2-2b2×，所以b2=， 因为cos A=，0<A<π，所以sin A=， 所以S△ABC=bcsin A=b2sin A=××=. 1 / 69 学科网（北京）股份有限公司 $