精品解析：2026年辽宁省沈阳市大东区九年级阶段性测试数学试题

九年级阶段性测试数学 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 底面是正六边形的直棱柱如图所示，其主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】主视图是从正面看的图形，据此可得答案． 【详解】解：从正面看的图形是一个长方形，靠近两侧各有一条竖直的实线，即看到的图形如下： 2. 我市以设施农业升级改造、推动高质量发展为契机，积极推进现代农业建设，确保蔬菜生产保持平稳增长态势，切实保障全市城乡居民“菜篮子”“果盘子”稳定供给．2025年，全市蔬菜及食用菌播种面积102.3万亩，较上年增长．数据“102.3万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：万． 3. 如图所示的图案，它的对称轴有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 无数条 【答案】C 【解析】 【详解】解：如图所示： 该图形有3条对称轴． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】需分别运用积的乘方法则、合并同类项法则、单项式乘法法则、完全平方公式计算各选项，判断运算是否正确． 【详解】解：A、， ∴A错误； B、， ∴B正确； C、， ∴C错误； D、， ∴D错误． 5. 在一个不透明的袋子中装有一个红色小球和一个白色小球，除颜色外两个小球无其他差别．从中随机取出一个小球，记下颜色后放回并摇匀，再从中随机取出一个小球，则两次取到的小球的颜色不同的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】画树状图得出所有等可能的结果数以及两次取到的小球的颜色不同的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：画树状图如下： 共有4种等可能的结果，其中两次取到的小球的颜色不同的结果有2种， ∴两次取到的小球颜色不同的概率． 6. 如图，，直线 与直线 ， 分别交于点E，F，直线 与直线 交于点G．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，角的和差．根据平行线的性质得到，进而根据角的和差即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B 7. 如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，如果OB＝4，∠AOB＝60°，那么矩形ABCD的面积等于（　　） A. 8 B. 16 C. 8 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】由矩形的性质得出OA=BO，证△AOB是等边三角形，得出AB=OB=4，由勾股定理求出AD，即可求出矩形的面积． 【详解】∵四边形ABCD是矩形 ∴∠BAD=90°，AO=CO=AC，BO=DO=BD，AC=BD=2OB=8， ∴OA=OB=4， ∵∠AOB=60°， ∴△AOB是等边三角形， ∴AB=OB=4， ∴AD=， ∴矩形ABCD的面积=AB×AD=4×4=16； 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明△AOB为等边三角形是解题的关键． 8. 反比例函数 与一次函数的图象的一个交点的横坐标为2，则k的值为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】先根据一次函数解析式求出交点坐标为，再把代入反比例函数解析式即可求出k的值． 【详解】解：当时，， ∴反比例函数 与一次函数的图象的一个交点坐标为， ∴将代入得． 9. 如图，中，，，，则高 约为（ ） （精确到，参考数据：，，） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质得到 ，在中，利用求解即可． 【详解】解：， 是等腰三角形， 是的高， ， 在中，． 10. 如图，在 中，，以点D为圆心作弧，交边 于点M，N，分别以点M，N为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点F，作直线交 于点E，连接，若，则边 的长为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】证明 ，利用勾股定理求得的长，作于点 ，求得，利用，求得，再利用勾股定理求得，据此求解即可． 【详解】解：由作图得， ， ，，， ，， ， ， ， ， 如图，作 于点 ， ， ， ，即， ， ． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 中国是最早使用正、负数表示具有相反意义的量的国家．如果水位上升记作，那么水位下降记作______ ． 【答案】 【解析】 【分析】正负数可以表示具有相反意义的量，已知水位上升记为正，则水位下降记为负，据此即可求解． 【详解】解：水位上升记作， 那么水位下降记作． 12. 平面直角坐标系xOy中， 轴，，点的坐标为，点在点的上方，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】由 轴可知点、点的横坐标相同，结合、点在点上方，可求出点的纵坐标，即可得到点的坐标． 【详解】解：设， ∵ 轴，点的坐标为， ∴， ∵，点在点的上方， ∴ ∴点的坐标为． 13. 某篮球队10名队员的年龄情况如下： 年龄/岁 19 20 21 22 24 26 人数 1 1 x y 2 1 已知该队队员年龄的中位数为岁，则众数是______岁． 【答案】21 【解析】 【分析】根据题意，第5个数据21，第6个数据22的平均数为中位数岁，故，继而确定众数，解答即可． 本题考查了中位数，众数，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，第5个数据21，第6个数据22的平均数为中位数岁， 故， 故众数为21岁， 故答案为：21． 14. 关于x的方程解为正数，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】解方程得，由解为正数知，解之即可得出答案． 【详解】解：解方程得， 由题意知：， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 15. 如图，在平行四边形中，，，，点E在边 上，，连接，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接 交对角线于点G，作于点M，于点N，则______． 【答案】 【解析】 【分析】过点Ｄ作 于点H，由平行四边形的性质及含 角的直角三角形的性质求出、 的长，根据勾股定理求出的长，由旋转的性质得出为等边三角形，最后利用面积法即可求的长． 【详解】解：作 于点H 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， ， 由旋转的性质可知： ， 是等边三角形， ，，， 即． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答题应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先分别计算零指数幂，乘方，算术平方根和绝对值，再计算加减法即可； （2）先通分，再把分子分解因式后进行约分即可得到答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 某学校采购体育用品，需要购买若干个篮球和足球．已知购买一个篮球和一个足球共需要110元，购买2个足球的价格比购买一个篮球多花费40元． （1）求篮球和足球的单价各是多少元？ （2）若该学校要购买篮球、足球共10个，且足球的个数不超过篮球个数的2倍，请问购买多少个篮球时，花费最少，最少费用是多少元？ 【答案】（1）篮球的单价为60元，足球的单价为50元 （2）购买4个篮球时，花费最少，最少费用是540元 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组与不等式的应用、一次函数的性质，根据题意列出方程组与不等式是解题的关键． （1）设篮球的单价为 元，足球的单价为元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购买个篮球，则购买个足球，根据题意列出不等式，求出，设该校购买篮球和足球的总费用为元，根据题意得，利用一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设篮球的单价为 元，足球的单价为元， 根据题意得： 解得 答：篮球的单价为60元，足球的单价为50元； 【小问2详解】 解：设购买个篮球，则购买个足球，且，m为整数， 根据题意得：， 解得， ， ，且m为整数， 设该校购买篮球和足球的总费用为元， 根据题意得：， ∵， 随的增大而增大， 当时，最小，最小值为元， 答：购买4个篮球时，花费最少，最少费用是540元． 18. 为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，某校开展了学生模具设计竞赛活动．活动结束后，随机抽取全校部分学生的模具设计成绩（成绩为百分制，用x表示，每名学生的成绩为整数且均不低于60分），并整理，将其分成如下四组：A：，B：，C：，D：． 部分信息如下： 其中C组的成绩为（单位：分）：80，81，82，82，83，84，84，84，85，85，86，86，86，87，87，88，88，89，89，89． 请根据以上信息，回答下列问题： （1）求共抽取了多少名学生的模具设计成绩？ （2）C组的成绩的平均分是______分； （3）请你根据以上信息，估计全校1500名参加模具设计竞赛的学生成绩不低于80分的人数． 【答案】（1）50 （2） （3）900 【解析】 【分析】（1）根据D组人数除以D组占总人数的百分比，求出样本总量即可； （2）根据平均数的定义求解即可； （3）用总人数乘成绩不低于80分的学生人数占调查总数的百分比，进行求解即可． 【小问1详解】 解：（名） 答：共抽取了50名学生的模具设计成绩； 【小问2详解】 解：C组的成绩的平均分为： 分； 【小问3详解】 解：（名） 答：全校1500名参加模具设计竞赛的学生成绩不低于80分的人数为名． 19. 下面是数学小组的活动报告单： 活动主题 为校园花圃设计方案 活动准备 1．去学校档案馆查阅校园平面图； 2．了解围成花圃的栅栏长度； 3．准备皮尺等测量工具． 设计方案 如图，根据校园平面图情况，设计围成矩形花圃，花圃一边靠墙（墙的长度是 ），用栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个进出的门（此处不用栅栏） 设计图： 采集数据 可用栅栏总长为，花圃两侧各留的进出的门宽为． 设栅栏与墙平行的边的长度为，花圃的面积为，根据以上信息，解决下列问题： （1）求 与 的函数表达式（不用写出自变量取值范围）； （2）当时，求栅栏与墙平行的边的长度为多少米? 【答案】（1） （2）栅栏与墙平行的边的长度为21米 【解析】 【分析】（1）根据矩形周长（栅栏总长）表示出与墙垂直的边，再结合面积公式列函数表达； （2）根据（1）中的函数表达式，令，求出对应的 的值，再根据墙的长度是 ，则 ，取符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：设栅栏与墙平行的边的长度为，则与墙垂直的边的长度为， ． 【小问2详解】 解：令， ，解得，， ∵墙的长度是 ， ． ． 答：栅栏与墙平行的边的长度为21米． 20. 如图，在平面直角坐标系 中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P是线段 上的一个动点，且不与点A，B重合．作 轴于点C，轴于点D，得到矩形 ，设的长为a，矩形的面积为S． （1）求的长； （2）当a为何值时，S有最大值，并求出此时S的最大值． 【答案】（1）， （2），8 【解析】 【分析】本题主要考查矩形与直角坐标系，解题的关键是熟知直角坐标系、矩形的性质及一次函数的图像和二次函数最值等相关问题； （1）根据直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，即可求解； （2）设的长为a，得，代入，求解即可. 【小问1详解】 解：∵直线与x轴交于点A，∴ ，即， ∴， ∵与y轴交于点B， ∴， 【小问2详解】 解：∵设的长为a， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴当时，S有最大值为. 21. 如图，是的外接圆，是的直径，，过点C作 交 的延长线于点E． （1）求证：是的切线； （2）若 ，求线段，和围成的阴影部分面积． 【答案】（1） 证明：连接， ∵， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴，又是的半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，利用平行线的性质证得，即可得到是的切线； （2）连接 ，作于点，证得四边形 是正方形，得到 ，解直角三角形求得 ，在 中，解直角三角形求得，再根据阴影部分面积，列式计算即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接 ，作于点， ∵，， ∴ ， ∵ ， ∴四边形 是平行四边形， ∵， ∴四边形 是矩形， ∵ ， ∴四边形 是正方形， ∴ ， ∵是的直径， ∴ ， ∵ ， ∴， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 在 中，， ∴， ∴， ∵， ， ∴ ， ， ∴阴影部分面积． 22. 在中，，点D在边上，，以为一边做等腰，其中，点E在上方． （1）如图1，与交于点F，求 的长； （2）将图1中的绕点B逆时针旋转（ ）， ①如图2，当时，与交于点F，求 的长； ②如图3，当点A在边上时，连接，求的长． 【答案】（1）； （2）①；②． 【解析】 【分析】（1）证明和都是等腰直角三角形，在中，解直角三角形即可求解； （2）①过点作 于点 ，求得，在和 中，分别解直角三角形即可求解； ②作 交延长线于点 ，过点 作 交延长线于点 ，过点作 于点，证明四边形是矩形，证得，据此求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴是等腰直角三角形，， ∵， ， ∴是等腰直角三角形，，， ∵点D在边上， ∴， 在中，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①∵旋转角， ∴ ， ∴， 在中，， 过点作 于点 ， 在中，， 在 中，， ∴； ②∵点A在边上，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 过点 作 交延长线于点 ，过点 作 交延长线于点 ，过点作 于点，如图， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∵ ， ∴． 23. 如图，在平面直角坐标系 中，抛物线与x轴交于点和点，与轴交于点，点是抛物线在 轴下方的一个动点， 轴于点 ，轴于点，得到矩形． （1）求抛物线的函数表达式； （2）设点的横坐标为， ①求的取值范围； ②当矩形是正方形时，求的值； （3）将抛物线向右平移（ ）个单位长度后，得到新抛物线，新抛物线与抛物线的对称轴交于点，直线与直线交于点 ，当时，求的值． 【答案】（1） （2）①；②， （3）的值为或 【解析】 【分析】（1）把、代入，解方程组求出、的值即可得答案； （2）①求出抛物线于 轴的交点坐标，即可求出的取值范围； ②设，根据正方形的性质得出，解方程求出值即可； （3）利用待定系数法求出直线的解析式，得出，，分点在点 上方和下方两种情况，证明，根据，分别列方程求出的值即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴交于点和点，与轴交于点， ∴， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为． 【小问2详解】 解：①∵抛物线的函数表达式为， ∴时，， 解得：，， ∴，， ∵点是抛物线在 轴下方的一个动点，点的横坐标为， ∴． ②设， ∵ 轴于点 ，轴于点， ∴，， ∵矩形是正方形， ∴，即． 解得：，． 【小问3详解】 解：设与抛物线的对称轴交于点 ，直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵抛物线的函数表达式为， ∴对称轴为直线， ∵对于直线，当时，， ∴， ∵将抛物线向右平移个单位长度后，得到新抛物线， ∴抛物线的解析式为， 对于抛物线，当时，， ∴， ①如图，当点在点 上方时， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得：（负值舍去）． 如图，当点在点 下方时， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：（负值舍去）． 综上所述：的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级阶段性测试数学 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 底面是正六边形的直棱柱如图所示，其主视图是（ ） A. B. C. D. 2. 我市以设施农业升级改造、推动高质量发展为契机，积极推进现代农业建设，确保蔬菜生产保持平稳增长态势，切实保障全市城乡居民“菜篮子”“果盘子”稳定供给．2025年，全市蔬菜及食用菌播种面积102.3万亩，较上年增长．数据“102.3万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示的图案，它的对称轴有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 无数条 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 在一个不透明的袋子中装有一个红色小球和一个白色小球，除颜色外两个小球无其他差别．从中随机取出一个小球，记下颜色后放回并摇匀，再从中随机取出一个小球，则两次取到的小球的颜色不同的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，，直线与直线，分别交于点E，F，直线与直线交于点G．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，如果OB＝4，∠AOB＝60°，那么矩形ABCD的面积等于（　　） A. 8 B. 16 C. 8 D. 16 8. 反比例函数 与一次函数的图象的一个交点的横坐标为2，则k的值为（ ） A. B. C. 2 D. 3 9. 如图，中，，，，则高约为（ ） （精确到，参考数据：，，） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，以点D为圆心作弧，交边于点M，N，分别以点M，N为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点F，作直线交于点E，连接，若，则边的长为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 中国是最早使用正、负数表示具有相反意义的量的国家．如果水位上升记作，那么水位下降记作______ ． 12. 平面直角坐标系xOy中， 轴，，点的坐标为，点在点的上方，则点的坐标为______． 13. 某篮球队10名队员的年龄情况如下： 年龄/岁 19 20 21 22 24 26 人数 1 1 x y 2 1 已知该队队员年龄的中位数为岁，则众数是______岁． 14. 关于x的方程解为正数，则实数a的取值范围是______． 15. 如图，在平行四边形中，，，，点E在边上，，连接，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接交对角线 于点G，作于点M，于点N，则______． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答题应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 某学校采购体育用品，需要购买若干个篮球和足球．已知购买一个篮球和一个足球共需要110元，购买2个足球的价格比购买一个篮球多花费40元． （1）求篮球和足球的单价各是多少元？ （2）若该学校要购买篮球、足球共10个，且足球的个数不超过篮球个数的2倍，请问购买多少个篮球时，花费最少，最少费用是多少元？ 18. 为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，某校开展了学生模具设计竞赛活动．活动结束后，随机抽取全校部分学生的模具设计成绩（成绩为百分制，用x表示，每名学生的成绩为整数且均不低于60分），并整理，将其分成如下四组：A：，B：，C：，D：． 部分信息如下： 其中C组的成绩为（单位：分）：80，81，82，82，83，84，84，84，85，85，86，86，86，87，87，88，88，89，89，89． 请根据以上信息，回答下列问题： （1）求共抽取了多少名学生的模具设计成绩？ （2）C组的成绩的平均分是______分； （3）请你根据以上信息，估计全校1500名参加模具设计竞赛的学生成绩不低于80分的人数． 19. 下面是数学小组的活动报告单： 活动主题 为校园花圃设计方案 活动准备 1．去学校档案馆查阅校园平面图； 2．了解围成花圃的栅栏长度； 3．准备皮尺等测量工具． 设计方案 如图，根据校园平面图情况，设计围成矩形花圃，花圃一边靠墙（墙的长度是 ），用栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个进出的门（此处不用栅栏） 设计图： 采集数据 可用栅栏总长为，花圃两侧各留的进出的门宽为． 设栅栏与墙平行的边的长度为，花圃的面积为，根据以上信息，解决下列问题： （1）求与的函数表达式（不用写出自变量取值范围）； （2）当时，求栅栏与墙平行的边的长度为多少米? 20. 如图，在平面直角坐标系 中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P是线段上的一个动点，且不与点A，B重合．作 轴于点C，轴于点D，得到矩形 ，设的长为a，矩形的面积为S． （1）求的长； （2）当a为何值时，S有最大值，并求出此时S的最大值． 21. 如图，是的外接圆， 是的直径，，过点C作 交的延长线于点E． （1）求证：是的切线； （2）若 ，求线段，和围成的阴影部分面积． 22. 在中，，点D在边上，，以 为一边做等腰，其中，点E在上方． （1）如图1，与交于点F，求的长； （2）将图1中的绕点B逆时针旋转（ ）， ①如图2，当时，与交于点F，求的长； ②如图3，当点A在边上时，连接，求的长． 23. 如图，在平面直角坐标系 中，抛物线与x轴交于点和点，与轴交于点，点是抛物线在轴下方的一个动点， 轴于点，轴于点，得到矩形． （1）求抛物线的函数表达式； （2）设点的横坐标为， ①求的取值范围； ②当矩形是正方形时，求的值； （3）将抛物线向右平移（ ）个单位长度后，得到新抛物线，新抛物线与抛物线的对称轴交于点，直线与直线交于点，当时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $