第十章《二元一次方程组》专项练习 2025—2026学年人教版七年级数学下册

第十章二元一次方程组 专题一 解方程 姓名：___________班级：___________ 1． 代入法解方程 1．把下列方程改写成用含的式子表示的形式： （1）； （2）； （3）； （4）． 2. 已知，则用含x的式子表示y为______ ． 3. 用代入法解下列方程 (1) ； (2)； 二．加减法解方程 4. 利用加减消元法解方程组 ，下列做法正确的是（　　） A． 要消去x，可以将①×5﹣②×2 B． 要消去x，可以将①×3+②×5 C． 要消去y，可以将①×5+②×3 D．要消去y，可以将①×5+②×2 5. 用代入法解下列方程 (1) ； (2)． 三．用合适的方法解方程 6. 用合适的方法解下列方程 (1) (2) 四． 二元一次方程相关的材料阅读 7．阅读材料：善于思考的小明在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法． 解：将方程②变形：③． 把方程①代入③得：． 把代入①得， ∴方程组的解为． 请你解决以下问题： (1)模仿小明的“整体代换”法解方程组； (2)已知，满足方程组，求的值． 8．阅读下面的文字，并解答问题： 解方程组 这是一个二元一次方程组，根据方程组的特点，我们可以采用下面的方法： 解：设，则原方程组化为：解这个方程组，得 所以解这个方程组，得 问题： (1)上面解题过程用到了什么样的数学思想，从下面答案中选择一个（　　） A．数形结合思想    B．整体思想    C．分类讨论思想 (2)仿照上面的方法解方程组： 9．【定义】我们把关于、的两个二元一次方程与叫作“对称”二元一次方程”，二元一次方程组叫做关于、的“对称二元一次方程组”．例如：与是“对称二元一次方程”，二元一次方程组叫做关于、的“对称二元一次方程组”． 【理解】（1）方程的“对称二元一次方程”是___________； （2）若关于、的方程组为“对称二元一次方程组”，则___________．___________． 【探究】（3）解下列方程组（直接写出方程组的解）： ①的解为___________；②的解为___________，③的解为___________； （4） 根据你的发现，直接写出方程组的解为___________ （5） 【拓展】（5）若关于、的方程组的解是，那么关于、的方程组的解为__________ 10．阅读理解： （Ⅰ）我国古代数学巨著《九章算术》在方程方面的研究颇有建树．下图所示的算筹图呈现了两个二元一次方程组． 把它们写成我们现在的方程组是与 （Ⅱ）对于二元一次方程组，我们可以将，的系数和相应的常数项排成一个数表，通过运算使数表变为，即可求得该方程组的解为用数表简化解二元一次方程组的过程如下： 所以原方程组的解为 解答下列问题： (1)直接写出图表示的关于，的二元一次方程组； (2)依照阅读材料（Ⅱ）中数表的解法格式解（1）中你写出的二元一次方程组． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $第十章二元一次方程组专题一 解方程 姓名： 班级： 二元一次方程组解法归纳 核心思想：消元转化为一元一次方程求解 代住消元法步骤 加减消元法步骤 一个未知数的 第一步)将两个方程中某一未知数的系数化 为相同或相反 第二步代入另一个方栏消去一个未知数 第二步)两方程相加或相减消去一个未知数 第三步解一元一次方程得一个未知数的值 第三步)解一元一次方程行一个未知数的值 第四步将求得的值代入变形后的方程求另 第四步将求得的代入原方程球另一个未知数 个未知数 特殊简便解法 检验步骤 当某未知数系数为1或-1时优先用代入法 验验步聚：将解代入原方程组，验证左右两边 系数成倍数时优先用加减法 是否相等 代入法解方程 1.把下列方程改写成用含x的式子表示y的形式： （1)3x+2y=1: 2 17 (2)4x+4y=2: 4 (3)5x-3y=x+2y; (4)2(3y-3)=6x+4. 2.已知x=2t-3,y=10-2t,则用含x的式子表示y为 3.用代入法解下列方程 y=x+3 3s-t=5 (1) 7x+5y=9 (2) 5s+2t=15 二.加减法解方程 2x+5y=-1① 4.利用加减消元法解方程组 5x-3y=6② ，下列做法 正确的是() A.要消去x,可以将①×5-②×2 B.要消去x,可以将①×3+②×5 C.要消去y,可以将①×5+②×3 D.要消去y,可以将①×5+②×2 第1页， 5.用代入法解下列方程 2x+3y=-5 (4)3x-4y=18 3x-2+兰=1 (2) 24 2(x+2y)=5(x+y)+5 三.用合适的方法解方程 6.用合适的方法解下列方程 2x-y=5 (1)13x+4y=2 2. 3 3少7 (2) 3 x+y=-13 四.二元一次方程相关的材料阅读 共3页 7.阅读材料：善于思考的小明在解方程组 5x+4y=192时，采用了一种“整体代换”的解法. 3x+2y=11① 解：将方程②变形：2(3x+2y)-x=19③. 把方程①代入③得：x=3. 把x=3代入①得y=1, x=3 ∴方程组的解为 y=1 请你解决以下问题： 4x-3y=10 (1)模仿小明的“整体代换”法解方程组 7x-5y=17 2x2+3.xy-4y2=23 (2)已知x,y满足方程组 3r2+2y-y2=19’求 x2+y2的值. 8.阅读下面的文字，并解答问题： 3(2x-y)+2(x+2y)=17, 解方程组 2(2x-y)-x-2y=2. 这是一个二元一次方程组，根据方程组的特点，我们可 以采用下面的方法： 解：设2x-y=m,x+2y=n,则原方程组化为： 2m-H=2解这个方程组，得 3m+2n=17, m=3, n=4. 所以 2x-y=3解这个方程组，得 =2, x+2y=4. y=1. 问题： (1)上面解题过程用到了什么样的数学思想，从下面答案 中选择一个() A.数形结合思想B.整体思想C.分类讨论思想 第2页， x+2y+-2y=7, 2 (2)仿照上面的方法解方程组： x+2y-x+2y=0. 3 9.【定义】我们把关于x、y的两个二元一次方程 ax+by=c与bx+ay=c(a≠b)叫作“对称”二元一次 方程”，二元一次方程组 ax+by=c bx+ay=c 叫做关于x、y的 “对称二元一次方程组”.例如：2x+y=3与x+2y=3 2x+y=3 是“对称二元一次方程”，二元一次方程组 x+2y=3 叫做关于x、y的“对称二元一次方程组”. 【理解】(1)方程2x-3y=5的“对称二元一次方程” 是 x+(2-a)y=b+4 (2)若关于x、y的方程组 (2a-4)x+y=2-b为“对 称二元一次方程组”，则a= b= 【探究】(3)解下列方程组（直接写出方程组的解）： @/2r+3=10 [3x+4y=-7 的解为； ② 3x+2y=10 (4x+3y=-7的解 2x-5y=-6 为 ③ 的解为 -5x+2y=-6 (4)根据你的发现，直接写出方程组 2024x-2025y=9876 的解为 -2025x+2024y=9876 (5)【拓展】(5)若关于x、y的方程组 ax+by=c bx+ay=c 的解是；郭么关于，y的方程组 ax+by=c+2a+3b bx+ay=c+3a+2b 的解为 共3页 10.阅读理解： (I)我国古代数学巨著《九章算术》在方程方面的研 究颇有建树.下图所示的算筹图呈现了两个二元一次方 程组 W‖= T -T ‖1-0 - ① ② 3x+2y=21 把它们写成我们现在的方程组是 与 2x+y=12 7x+4y=18 3x+5y=11 ax+by=c (Ⅱ)对于二元一次方程组 ,我们可以将 ax+bay=c, x,y的系数和相应的常数项排成一个数表 a b c az b2 c2 0 a 通过运算使数表变为 1 b 即可求得该方程组的解 0 =b用数表简化解二元一次方程组 x=a 3x+2y=21 为 2x+y=12 的 过程如下： 上行3221上行-下行x2-103上行(103下存2 下行2112 →2112 →2112 下行-上行 10 3引下行2103引 → 0 1 3 016 x=3 所以原方程组的解为 y=6 解答下列问题： (1)直接写出图③表示的关于x,y的二元一次方程组： I一T 1川一W ③ (2)依照阅读材料（Ⅱ）中数表的解法格式解(1)中你 写出的二元一次方程组. 第3页， 共3页 第十章二元一次方程组 专题一 解方程 姓名：___________班级：___________ 1． 代入法解方程 1．把下列方程改写成用含的式子表示的形式： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】将各方程将x看作已知数，将含有y的项移到等号左边，其余项移到等号的右边，然后再将y前系数化为1即可． 【详解】解：(1)去分母得到：， 移项，系数化为1得到：； (2)去分母得到：， 移项，系数化为1得到：； (3)移项得到：， 合并同类项，系数化为1得到：； (4)去括号得到：， 移项，系数化为1得到：． 【点睛】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看作已知数求出y． 2. 已知，则用含x的式子表示y为______ ． 【答案】解：由得，①， 把①代入中得，． 3. 用代入法解下列方程 (1)； (2)； 【答案】（1）解： 把①代入②得， 解得， 把代入①得， ∴方程组的解为； （2）解： ①②得， 解得， 把代入①得， ∴方程组的解为； 二．加减法解方程 4. 利用加减消元法解方程组 ，下列做法正确的是（　　） A．要消去x，可以将①×5﹣②×2 B．要消去x，可以将①×3+②×5 C．要消去y，可以将①×5+②×3 D．要消去y，可以将①×5+②×2 【答案】A 【分析】方程组利用加减消元法求出解即可． 【详解】对于原方程组，若要消去x，则可以将①×5﹣②×2； 若要消去y，则可以将①×3+②×5； 故选A． 【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 5. 用代入法解下列方程 (1)； (2)． 【答案】（1）解： ①②得， 解得， 把代入①得， ∴方程组的解为； （2）解：整理得： ①②得， 解得， 把代入①得， ∴方程组的解为； 三．用合适的方法解方程 6. 用合适的方法解下列方程 (1) (2) （1）解：， 由得， 把代入， 得， ∴ ∴； 把代入， 得， ∴方程组的解为； （2）解： 得：，解得：， 将代入①得：，解得：， ∴原方程组的解为 四． 二元一次方程相关的材料阅读 7．阅读材料：善于思考的小明在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法． 解：将方程②变形：③． 把方程①代入③得：． 把代入①得， ∴方程组的解为． 请你解决以下问题： (1)模仿小明的“整体代换”法解方程组； (2)已知，满足方程组，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查阅读理解，读懂题意，理解阅读材料中的“整体代换”的解法是解决问题的关键． （1）由阅读材料中的方法，将②恒等变形为③，再将方程①代入求出，进而得到即可得到答案； （2）由阅读材料中的方法，将①恒等变形为③，再将方程②代入得到，求解即可得到答案． 【详解】（1）解：， 将②变形得：③， 把方程①代入③得：； 把代入①得， 原方程组的解为； （2）解：， 将①变形得：③， 把方程②代入③得：， 则． 8．阅读下面的文字，并解答问题： 解方程组 这是一个二元一次方程组，根据方程组的特点，我们可以采用下面的方法： 解：设， 则原方程组化为：解这个方程组，得 所以解这个方程组，得 问题： (1)上面解题过程用到了什么样的数学思想，从下面答案中选择一个（　　） A．数形结合思想    B．整体思想    C．分类讨论思想 (2)仿照上面的方法解方程组： 【答案】(1)B (2) 【分析】（1）根据解题过程中的整体方法判断即可； （2）设设，，则原方程组可变形为，用加减消元法解得，得出，解得即可． 【详解】（1）解：上面解题过程将和看成一个整体，用一个字母去代替它， 用到了整体的数学思想， 故答案为：B； （2）， 解：设，， 则原方程组化为：， 解这个方程组，得， 所以， 解这个方程组，得． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法以及换元法；熟练掌握加减消元法和换元法是解题的关键． 9．【定义】我们把关于、的两个二元一次方程与叫作“对称”二元一次方程”，二元一次方程组叫做关于、的“对称二元一次方程组”．例如：与是“对称二元一次方程”，二元一次方程组叫做关于、的“对称二元一次方程组”． 【理解】 （1）方程的“对称二元一次方程”是___________； （2）若关于、的方程组为“对称二元一次方程组”，则___________．___________． 【探究】 （3）解下列方程组（直接写出方程组的解）： ①的解为___________； ②的解为___________， ③的解为___________； （4）根据你的发现，直接写出方程组的解为___________； 【拓展】 （5）若关于、的方程组的解是，那么关于、的方程组的解为___________ 【答案】（1）； （2）；； （3）①；②；③； （4）； （5）． 【分析】（1）根据题中的对称二元一次方程定义即可得解； （2）根据题中的对称二元一次方程定义得出后即可得解； （3）①根据题意，通过加减消元法解方程组即可得解； ②根据题意，通过加减消元法解方程组即可得解； ③根据题意，通过加减消元法解方程组即可得解； （4）由（3）总结出规律：关于、的“对称二元一次方程组”的解为，从而可以判断得解； （5）根据题意，方程可以化为，结合关于、的方程组的解是，即可得解． 【详解】解：（1）根据题意得，方程的“对称二元一次方程”是． 故答案为：． （2）为“对称二元一次方程组”， ， 解得． 故答案为：；． （3）①， 两式相加得，， 则， ，， 即的解为； ②，同理可得； ③，同理可得； 故答案为：①；②；③． （4）由（3）得，关于、的“对称二元一次方程组”的解为， 方程组的解为． 故答案为：． （5）， ， 又关于、的方程组的解是， ， 即， 方程组的解为． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是解三元一次方程组、二元一次方程组的解、解二元一次方程组，解题关键是理解题意． 10．阅读理解： （Ⅰ）我国古代数学巨著《九章算术》在方程方面的研究颇有建树．下图所示的算筹图呈现了两个二元一次方程组． 把它们写成我们现在的方程组是与 （Ⅱ）对于二元一次方程组，我们可以将，的系数和相应的常数项排成一个数表，通过运算使数表变为，即可求得该方程组的解为用数表简化解二元一次方程组的过程如下： 所以原方程组的解为 解答下列问题： (1)直接写出图表示的关于，的二元一次方程组； (2)依照阅读材料（Ⅱ）中数表的解法格式解（1）中你写出的二元一次方程组． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法和图表信息获取能力，关键是能理解用算筹图表示二元一次方程组的方法和用数表简化解二元一次方程组． （1）利用已知算筹图表示二元一次方程组的方法直接写出即可． （2）利用题干中阅读材料（Ⅱ）中数表的解法格式解答即可． 【详解】（1）解：图表示的关于，的二元一次方程组为：； （2）解：， 所以原方程组的解为． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $