专题06期中真题百题过关（100题12大易错压轴题型）2025-2026学年八年级数学下学期期中复习专项训练（人教版）

专题06 期中真题百题过关（100题12大易错压轴题型） 题型导览 题型1 二次根式有意义的条件 题型2 二次根式混合运算 题型3 复合二次根式（比较大小） 题型4 勾股定理逆定理 题型5 勾股定理无图多解 题型6 立体图形最短路径 题型7 折叠+勾股（方程思想） 题型8 矩形折叠（求角度、线段、面积） 题型9 菱形性质（60°/120°、对角线垂直） 题型10 动点存在性（平行四边形/等腰/直角） 题型11 最值问题（将军饮马、垂线段最短） 题型12 旋转综合（正方形/等腰直角三角形） 题型1 二次根式有意义的条件题型汇总 1．（25-26八年级下·山西阳泉·月考）若代数式有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的被开方数为非负数，列不等式求解即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， 解不等式得． 2．（24-25八年级下·辽宁抚顺·月考）若有意义，则这个式子的值为（    ） A．4 B． C．0 D．1 【答案】B 【分析】由二次根式有意义的条件列不等式组求解即可． 【详解】解：若有意义，则 ，由最后一个即可确定， 此时． 3．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·月考）已知，为等腰三角形的两条边长，且，满足，则此三角形的周长为（   ） A．10 B．11 C．10或11 D．12 【答案】C 【分析】根据二次根式有意义：被开方数为非负数可得a的值，进而求出b的值，然后根据等腰三角形的定义求解即可． 【详解】解：由题意可得：， 解得：， ∴， ∴， ∴等腰三角形的三边长分别为3，3，4或3，4，4，且都满足三角形三边关系， ∴或， ∴等腰三角形的周长为10或11． 4．（25-26八年级下·山东日照·月考）把式子中根号外的移到根号内得（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定的取值范围，再利用二次根式的性质将根号外的因式移入根号内化简即可． 【详解】解：∵二次根式中被开方数非负且分母不为， ∴， 得， ∴． 5．（25-26八年级下·山东淄博·月考）化简二次根式的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定a的取值范围，再利用二次根式的性质化简即可得到结果． 【详解】解：∵二次根式中被开方数为非负数，且分母不为0， ∴且， ∵， ∴， 解得， ∴． 题型2 二次根式混合运算 6．（25-26八年级下·河南三门峡·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）化简二次根式，再根据二次根式的加减运算法则进行计算即可； （2）化简二次根式，根据二次根式的加减乘除运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 7．（25-26八年级下·湖北黄冈·期中）已知 ， (1)求的值． (2)求代数式的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用完全平方公式计算； （2）将，代入，利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解：，， ． 8．（重庆市杨家坪中学“教共体”2025--2026学年下学期半期学情监测八年级数学试题）在数学实践课上，老师给同学们展示了一种“根式裂项法”：对形如（为正整数）的式子我们可以利用平方差公式进行分母有理化： 请根据以上方法解决下列问题： (1)计算： ①______； ②______． (2)求出的值． (3)已知，求的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（）利用分母有理化的方法，给分式的分子分母同乘分母的有理化因式，将分母中的根号去掉，进而化简二次根式； （）先根据分母有理化的结论，将每一项裂项为两个根式相减的形式，再通过裂项相消法，让中间项相互抵消，最后得到首尾两项的差，完成计算； （）先对进行分母有理化，再通过移项、两边平方的操作，构造出含和的代数式的值，最后整体代入所求的代数式，计算出结果． 【详解】（1）解：① ； ② ； （2）解：根据题干结论，每一项可裂项为：， ； （3）解：， 移项得：， 两边平方：， ， ， 两边同乘得：， 代入所求代数式：． 9．（25-26八年级下·福建福州·期中）[材料一]两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例如：，，我们称和互为有理化因式，和互为有理化因式． 问题1： (1)的有理化因式是______________（写出一个即可）； (2)的有理化因式是______________（写出一个即可）； (3)[材料二]如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子和分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． 问题2：利用分母有理化化简下列式子：； (4) [材料三]与分母有理化类似，将代数式分子和分母同乘分子的有理化因式，从而消去分子中的根式，这种变形叫做分子有理化．例如：； 问题3：试利用分子有理化比较和的大小． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据有理化因式的定义即可求得答案； （2）根据有理化因式的定义即可求得答案； （3）根据所得规律计算即可； （4）利用分子有理化得到，，然后比较大小即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的有理化因式是； （2）解：∵， ∴的有理化因式是； （3）解： ； （4）解：，理由如下： ∵，， ∵， ∴， ∴． 10．（25-26八年级下·浙江舟山·期中）先阅读，再解答：由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：，请完成下列问题： (1)的有理化因式是_______； (2)化去式子分母中的根号：_______；（直接写结果） (3)利用你发现的规律计算下列式子的值：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意可知与的乘积不含二次根式，即互为有理化因式； （2）利用分母有理化及平方差公式即可得到本题答案； （3）可证明，将括号内每一项进行化简，再相加可得结果． 【详解】（1）解：∵， ∴的有理化因式是； （2）解：； （3）解：∵（n为正整数） ， ∴ ， ． 题型3 复合二次根式（比较大小） 11．（25-26八年级上·四川巴中·期末）问题情境： 如图，在中，，，，求的长度．小许同学利用勾股定理求出，老师告诉他：中，根号下含有根号，不是最简二次根式，还需要继续化简． 方法回顾： 小许回想到二次根式化简 ， ； 又， ； 所以将被开方式（数）化为完全平方式，就可以达到化简二次根式的目的． 方法应用： （1）_____； 问题解决： （2）_____； 方法迁移： （3）计算：． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了二次根式的性质，二次根式的加减，熟练掌握二次根式的性质及二次根式的加减是关键． （1）将配方成，即可得到答案； （2）将配方成，即可得到答案； （3）先对两个被开方数配方，再开方求解即可． 【详解】（1）解：． 故答案为：． （2）解：． 故答案为：． （3）解：原式 ． 12．（25-26八年级上·湖南怀化·期中）观察下列等式： 根据上述材料，解决下列问题： (1)化简：= (2)猜想： （，且为整数），并验证你的猜想． (3)计算： 【答案】(1) (2)，见解析 (3) 【分析】本题考查了化简复合二次根式，分母有理化，二次根式的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）模仿题干解题过程，得，即可作答． （2）模仿题干解题过程，得，即可作答． （3）先根据复合二次根式的性质化简，再进行分母有理化，最后运算加减法，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 13．（25-26八年级上·福建漳州·期中）阅读材料： （一）如果我们能找到两个正整数x，y使且，这样，那么我们就称为“和谐二次根式”，则上述过程就称之为化简“和谐二次根式”． 例如：． （二）在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 我们称这个过程为分母有理化． 根据阅读材料解决下列问题： (1)化简“和谐二次根式”：① _ ____；②______． (2)求的值 (3)设的小数部分为b，求证： 【答案】(1)①；② (2) (3)见解析 【分析】本题考查二次根式化简、新定义问题，熟练掌握二次根式化简方法和正确理解新的定义是解题的关键． （1）①根据化简“和谐二次根式”，进行化简所求根式即可； ②根据化简“和谐二次根式”，进行化简所求根式即可； （2）观察式子发现，，据此进行分母有理化，化简式子即可； （3）根据“和谐二次根式”的定义，化简，求出b的值，再求出的值，据此证明即可． 【详解】（1）解：①， 故答案为：； ②， 故答案为：； （2）解：，， 原式 （3）证明：根据“和谐二次根式”的定义得， 由于 则 由于的小数部分为b， 则 、 所以 因此． 14．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）【阅读材料】对于形如的式子，我们可以通过完全平方公式将其变形为的形式，并进行化简，其中，． 例如：． 或找，满足，，易知，，所以． (1)化简：； (2)计算：； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的化简，利用完全平方公式将形如的式子化为的形式； （1）直接应用例题的方法求解； （2）分别化简后求和； （3）先把各项中分母的无理式变成的形式，再进行分母有理化后，进行计算即可求解． 【详解】（1）解：设，，得，或，． ． （2）解：对于，设，，得，或，． ． 对于，同理，（）． 原式． （3）解： ． 15．（25-26八年级上·广西来宾·期中）【阅读材料】小华在学习二次根式的时候，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ； ． 【类比归纳】 (1)请你仿照上面的方法将化成另一个式子的平方； (2)请你仿照上面的方法化简：； 【类比归纳】 (3)若，其中，且，，均为正整数，求的值． 【答案】(1) (2) (3)16或32 【分析】本题主要考查了二次根式的性质和完全平方公式的使用，理解题意是解决本题的关键． （1）将7转化为，进行求解即可； （2）先将算术平方根内部的式子结合题意进行转化即可求解； （3）根据可得，进而根据题意即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得， ； （2）解： ； （3）解： 由题意得， ， ∴， ∵，且，，均为正整数， ∴，的值可能为15，1或5，3， ∴当、时，， 则； 当、时，， 则． 题型4 勾股定理逆定理 16．（25-26八年级下·福建福州·期中）如图，在四边形中，，，，，连接，若，判断和的位置关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】先在利用勾股定理求出边长，再在中利用勾股定理逆定理得，即可证明． 【详解】解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴． 17．（25-26八年级下·湖北襄阳·月考）为准备每年一度的郁金香花展，公园现准备在一块四边形空地上种植郁金香，若，米，米，米，米．求四边形的面积； 【答案】平方米 【分析】根据勾股定理求出，求出，根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，再根据三角形的面积公式求出即可． 【详解】解：在中，， ， ． 在中，，， ，， ， 是直角三角形，即． 平方米． 18．（24-25八年级下·广西钦州·期中）如图，在中，，，，是的垂直平分线，分别交，于点，． (1)求证：是直角三角形； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）可证明，根据勾股定理的逆定理，是直角三角形； （2）连接，由线段垂直平分线的性质得到．设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）证明：在中，，，， ，， ． ∴， ∴是直角三角形； （2）解：如图，连接． 是的垂直平分线， ． 由（1）可得是直角三角形， 即． 设，则， 在中，由勾股定理得， 即． 解得． 即的长为． 19．（25-26八年级下·江西赣州·期中）某公园是人们健身散步的好去处．小明跑步的路线如图，从点到点有两条路线，分别是和．已知，，点在点的正西方120m处，点在点的正北方60米处（即，，）． (1)求证：； (2)请通过计算比较这两条路线中，哪一条更长？ 【答案】(1)见解析 (2)路线更短 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理解答即可； （2）根据勾股定理，实数大小比较解答即可． 本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】（1）证明：在中，米，米，米， ， ， ， （2）解：在中，米，米， 由勾股定理得：（米）， （米），（米）， ， 路线更短． 20．（25-26八年级下·广东·期中）为贯彻《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的方针政策，帮助学生更好地理解劳动的价值与意义，培养学生的劳动情感、劳动能力和劳动品质，海口市某学校给八（1）班、八（2）班各分一块三角形形状的劳动试验基地． (1)当班主任测量出八（1）班试验基地的三边长分别为时，小明很快就给出这块试验基地的面积．请你写出完整的求解过程； (2)如图所示，八（2）班的劳动实验基地的三边长分别为，请帮助他们求出该实验基地的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理得到三角形是直角三角形，根据直角三角形的面积公式计算即可； （2）过点A作于D，根据勾股定理列出方程，解方程求出，再根据勾股定理求出，根据三角形面积公式计算，得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴这个三角形是直角三角形， ∴三角形的面积为：； （2）解：如图，过点A作于D， 设，则， 在中， 在中，， ∴，即， 解得：， 由勾股定理得：（m）， ∴， ∴该实验基地的面积为． 21．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）如图，在的网格中，每个小正方形边长为．请按要求作图，使得顶点均在格点上． (1)在图①中画，使得，； (2)在图②中画线段，使得，此时_________． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析； 【分析】（）由勾股定理可得，由勾股定理逆定理可得，故三角形为以为直角顶点的等腰直角三角形； （）根据网格特征即可作出线段，由勾股定理逆定理可得． 【详解】（1）解：如图①，三角形即为所求： （2）解：如图，线段即为所求： ∵， ∴ ∴． 22．（25-26八年级下·广西南宁·开学考试）如图，某海监局P位于东西方向的海岸线上．“前行”号与“远方”号轮船同时离开海监局P，各自沿一固定方向航行，“前行”号每小时航行16海里，“远方”号每小时航行的速度是“前行”号速度的，它们离开海监局航行半小时后分别位于处，且相距10海里．已知“前行”号沿西南方向航行． (1)请问“远方”号沿哪个方向航行？ (2)若“前行”号继续沿原方向航行一个小时到达点M，“远方”号继续沿原方向航行1海里到达点G，则此时“前行”号与“远方”号的距离是多少海里？ 【答案】(1)“远方”号沿东南方向航行 (2)25海里 【分析】（1）根据题意，得出的三边长，再利用勾股定理的逆定理推出是直角三角形，再求解即可； （2）根据勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：由题知，海里，海里，，， ， ， 是直角三角形，且， ， 即“远方”号沿东南方向航行． （2）解：根据题意得：海里，海里， 在中，， ∴海里， 即此时“前行”号与“远方”号的距离是25海里． 23．（25-26八年级上·河南南阳·期末）勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”．图1为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，把两个全等的直角三角形拼成如图1所示的形状，使点A、E、D在同一条直线上．利用此图的面积表示证明勾股定理． (1)如图1，，，直角边分别为a，b，斜边为c，请根据图1证明勾股定理 (2)如图2，，，，，，求阴影部分的面积； (3)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，使现测得千米，千米，千米，求新修路的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)24 (3)1.2 【分析】（1）根据三角形全等以及可得，再由三角形面积公式可分别求解出、与的面积，再由梯形面积公式求解出梯形的面积，由此可证勾股定理； （2）根据勾股定理可求解的长度，再由勾股定理逆定理可得为90度，分别计算与的面积即可求解阴影面积； （3）设，在中由勾股定理表示，在中由勾股定理表示，列式求解x的值，再回代求即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ，即， ， ， ，即； （2）解：，，， 有勾股定理得，， ，， ， ， ， 答：阴影部分面积为24； （3）解：设千米，则千米， ， ， 在中，， 在中，， ，即， 整理得，， 解得，， 千米， （千米）， 答：新修路的长为1.2千米． 24．（25-26八年级下·广西南宁·开学考试）图1是某超市的购物车，图2为其侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，滚轮半径． (1)判断支架与的位置关系，并说明理由． (2)若购物车上篮子的左边缘D与点A的距离，，且，和都与地面平行，求购物车上篮子的左边缘D到地面的距离．（结果精确到） 【答案】(1),理由见解析 (2)约为． 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、勾股定理及面积法的综合应用，解题的关键是利用勾股定理的逆定理判定垂直关系，并结合几何图形的性质，通过作辅助线将实际问题转化为直角三角形的边长计算问题． （1） 利用勾股定理的逆定理，验证与的数量关系，从而判断； （2） 作，结合勾股定理求、面积法求，最后加上轮半径得到到地面的距离． 【详解】（1）解：，理由如下： ，，， ， ， ． 为直角三角形，且． ． （2）解：过点作于点， 在中，，， 由面积相等得： 。 滚轮半径， ∴左边缘D到地面的距离. 答：购物车上篮子的左边缘到地面的距离约为． 25．（25-26八年级上·河北沧州·期末）如图，一条东西走向的公路一侧有一村庄，从村庄到公路原有两个出口，，其中，．由于暴雨导致到的小路路面塌陷，现已不通，该村为方便村民出行，决定在旁边新修一条小路（，，在同一条直线上），测得，． (1)从村庄到公路，请通过计算说明是否为距离最近的路； (2)求新修的路比原来的路短多少． 【答案】(1)是 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理、垂线段最短的性质，熟练掌握勾股定理及其逆定理的应用，以及利用垂线段最短判断最短距离是解题的关键． （1）先利用勾股定理的逆定理，验证三边是否满足，以此判断是否为直角三角形，进而得到与公路垂直，再根据“垂线段最短”确定是否为距离最近的路． （2）先设的长度为未知数，结合表示出的长度，再在中利用勾股定理列方程，求解出的长度，最后计算与的差值． 【详解】（1）解：，，， ，， ． 是直角三角形，且， ∴， 是村庄到公路距离最短的路； （2）解：， ． 由（1）可知， ， ， ，解得， ， 答：新修的小路比原来的路短． 题型5 勾股定理无图多解 26．（22-23八年级下·河南周口·期中）已知a，b，c是的三边，且满足，则的形状是（   ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【分析】由，可得，然后通过等腰三角形定义及勾股定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∴或， ∴的形状是等腰三角形或直角三角形． 27．（25-26八年级上·江苏南京·期中）已知等腰直角，，，平面内有一点，连接，若，，则的度数为__________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理、等腰直角三角形的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答． 先根据等腰直角三角形的性质求出的长，再利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形，得到，最后结合分两种情况求解． 【详解】解：∵，， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴为直角三角形，； ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴如图①：； 如图②：． 故或． 故答案为°或． 28．（24-25八年级下·甘肃临夏·期中）已知一个直角三角形的两边的长分别是1和2，则第三边长为____． 【答案】或 【分析】分较长边是直角边和斜边两种情况，分别利用勾股定理求出第三边即可． 【详解】解：设第三边为． ①当和都是直角边，则第三边是斜边， 由勾股定理得：，解得（负值舍去）； ②若是斜边，是直角边，则第三边为直角边， 由勾股定理得：．解得（负值舍去）． 综上，第三边的长为或． 29．（24-25八年级上·上海静安·期末）如果点P在y轴上，点A坐标是，且，那么点P的坐标是_________． 【答案】或 【分析】根据y轴上点的坐标特征设出点P的坐标，再利用两点间距离公式列方程求解，即可得到点P的坐标． 【详解】解：∵点P在y轴上． ∴设点P的坐标为， ∵点A坐标是，且， ∴， 解得或， ∴点P的坐标为或． 30．（24-25八年级上·山东菏泽·期中）直角三角形两边长分别为5和12，则斜边上的高为___________． 【答案】或 【分析】本题考查勾股定理解三角形，由于没说明12是否对应的是斜边的长，因此可分别将12视为直角边的长和斜边的长，利用勾股定理分别计算出第三边的长，通过面积公式计算斜边上的高． 【详解】解：设斜边上的高为h，分两种情况： 一，若12对应的是直角边的长， 由勾股定理，得斜边的长为， 由直角三角形的面积公式，， 则； 二、若12对应的是斜边的长， 由勾股定理，得另一条直角边的长为， 由直角三角形的面积公式，， 则． 题型6 立体图形最短路径 31．（25-26八年级上·福建漳州·期中）如图，圆柱底面的周长为，高为，要在圆柱的侧面上过点和点镶嵌一圈金属丝，这圈金属丝的最短长度为______． 【答案】/厘米 【分析】本题就是把圆柱的侧面展开成长方形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到长方形，则这圈金属丝的长度最小为的长度． ∵圆柱底面的周长为，圆柱高为， ∴，， ∴， ∴， ∴这圈金属丝的长度最小为． 32．（25-26八年级下·宁夏吴忠·期中）如图，一只昆虫要从边长为的正方体盒子的一个顶点爬到相距最远的另一个顶点，沿盒子表面爬行的最短路程是______． 【答案】 【分析】把正方体侧面展开图，根据两点之间线段最短，画出昆虫沿盒子表面爬行的最短路径，再利用勾股定理解答即可求解． 【详解】解：正方体侧面展开图如图所示，线段即为昆虫沿盒子表面爬行的最短路程， 根据勾股定理得，， ∴昆虫沿盒子表面爬行的最短路程是． 33．（24-25八年级上·四川眉山·期末）如图，长方体的长为，宽为，高为，点B到点C的距离为，一只蚂蚁如果沿着长方体的表面从点爬到点，蚂蚁需要爬行的最短距离为__________． 【答案】25 【分析】把长方体按照正面和右侧进行展开，或沿长方体的右侧和上面进行展开，利用勾股定理分别计算长度进行比较即可得到答案． 【详解】解：把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图1： 长方体的宽为10，高为20，点离点的距离是5， ，， 在Rt△中，根据勾股定理得： ； 把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图2： 长方体的宽为10，高为20，点离点的距离是5， ，， 在Rt△中，根据勾股定理得： ； 把长方体的下表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图： 长方体的宽为10，高为20，点离点的距离是5， ， 在Rt△中，根据勾股定理得： ； ， 蚂蚁爬行的最短距离是25． 34．（25-26八年级下·山东临沂·月考）如图，四边形是长方形地面，在它中间有一长方体木条．若，，，一只蚂蚁从点爬到点，它必须翻过中间的木条，则它至少要走（   ）． A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【分析】将长方体木条的侧面展开，把问题转化为平面上两点间的最短路径问题，再利用勾股定理计算出最短路径的长度． 【详解】解：如图，将长方体木条的侧面及地面展开，得到新的长方形，其长为，宽为． 蚂蚁从点爬到点的最短路径为展开图中线段的长度，， 由勾股定理得： ， ∴一只蚂蚁从点爬到点，它必须翻过中间的木条，则它至少要走． 35．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）运动展风采，筑梦向未来，为进一步贯彻“双减”政策，落实“五育”并举，学校组织了秋季田径运动会．如图是运动会的颁奖台，3个长方体颁奖台的长均为，宽均为，1，2，3号台的高度分别是，，．若一只蚂蚁从3号颁奖台的顶点处沿表面爬到1号颁奖台的顶点处，则蚂蚁爬行的最短距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平面展开图，最短问题、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用勾股定理解决问题． 根据题意将立体图形展开，再根据勾股定理解答即可． 【详解】解：展开图如下， ， ∴． 故选B． 36．（25-26八年级上·全国·期中）【问题情境】如图①，已知圆柱底面的周长为，圆柱的高为，在圆柱的侧面上，过上底面的点A和下底面上与点A相对的点C嵌有一圈长度最短的金属丝，下底面的点B在点A的正下方． (1)【操作发现】现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是 ．（填字母） (2)【变式探究】如图②，若将金属丝从点B沿圆柱侧面绕四圈到达点A，求所需金属丝的最短长度． (3)【拓展应用】如图③，现有一个长、宽、高分别为，，（即，，）的无盖长方体木箱．现在箱外的点A处有一只蚂蚁，箱内的点C处有一滴蜂蜜．请你为蚂蚁设计一条路线，使其能以最短的路程吃到蜂蜜，并求出此最短路程．木板的厚度忽略不计 【答案】(1)A (2)所需金属丝的最短长度为 (3) 【分析】本题考查了平面展开-最短路径，理解转化思想是解题的关键． （1）要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可； （2）若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是以周长的高为直角三角形的斜边长的4倍； （3）将玻璃杯侧面展开，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得． 【详解】（1）解：∵两点之间线段最短， 故选：A； （2）解：若将金属丝从点B沿圆柱侧面绕四圈到达点A，则所需金属丝的最短长度与底面周长的4倍及高构成直角三角形．由勾股定理，得． 答：所需金属丝的最短长度为； （3）解：如图，先将长方体的侧面和侧面展开，再作点C关于的对称点N，连接交于点M，则． 所以； 根据两点之间线段最短可知，当A，M，N三点共线时，的值最小，即的值最小，此时就是蚂蚁爬行的路线，线段AN的长即为最短路程． 在中，，根据勾股定理，得： ． 所以最短路程为． 37．（24-25八年级上·山西运城·期中）学科实践 【驱动任务】某校为推进素质教育发展，成立了科技模型社团．学期末，该社团将创作的作品邮寄给希望小学，让更多的同学感受科技带来的魅力．现需将不同的模型装入纸箱打包，然后邮寄． 【包装准备】 如图，根据模型的尺寸，现准备两种纸箱，第一种长方体纸箱，尺寸规格为；第二种长方体纸箱，尺寸规格为，其中该纸箱有两个扣手，尺寸规格为，并且扣手到所在面相对两条边的距离相等． 【问题解决】 (1)如图1，当使用第一种纸箱时，若从顶点A到顶点B需贴胶带，则胶带的最短长度为_______． (2)如图2，将两个第二种长方体纸箱捆绑在一起，现需要在点C和点D之间按照如图所示的方式拉一条绳子固定，请画出长度最短的部分展开图，并求这根绳子的最短长度．（提示：需考虑扣手的大小） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平面展开图——最短路径问题，勾股定理，理解转化思想是解题的关键． （1）根据题意，分三种情况展开长方体，再由勾股定理求出线段长比较大小即可得到答案． （2）将长方体展开，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：分三种展开方式求解： ①前与右：； ②左与后：； ③前与下：； ∵， ∴胶带的最短长度为：， 故答案为：． （2）如图所示为长度最短的部分展开图： 如图，连接，，易得． 由题可得． 在中，由勾股定理，得． 所以，这根绳子的最短长度为． 题型7 折叠+勾股（方程思想） 38．（25-26八年级下·浙江舟山·期中）如图，为等边三角形，且，点D是边AB上一动点，点E为AC边上一动点，若沿着直线DE翻折后，点A始终落在边BC上．若，则满足条件的a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由折叠的性质可知，，则，如图，作于，由为等边三角形，可得，则，，由勾股定理求得，由翻折后，点A始终落在边上，可得即可求解． 【详解】解：由折叠的性质可知，， ∴， 如图，作于， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∵翻折后，点A始终落在边上， ∴，即，，即， 解得，， ∴． 39．（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）如图，在长方形中，．将长方形沿折叠后，使点D恰好落在对角线上的点处，则的长为（   ） A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 【答案】B 【分析】根据勾股定理可得的长，再由折叠的性质可得，，从而得到，，设，则，在中，根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：在长方形中，，， ∴， 由折叠的性质得：，， ∴，， 设，则， 在中，∵， ∴， 解得：， 即． 40．（25-26八年级上·山西运城·期末）如图，在中，，，，点D是上一点，连接，将沿着折叠，使点C落在上的点E处，过点B作，交的延长线于点F，则的长为_________． 【答案】 【分析】首先利用勾股定理求出，由折叠得，，，，设，则，利用勾股定理求出，，然后利用等面积法求解． 【详解】解：∵在中，，，， ∴ 由折叠得，，， ∴ 设，则 ∴在中， ∴ 解得 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 41．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）如图，在三角形纸片中，，，． （1）如图，在中，斜边长为_____． （2）如图，沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与的交点为E，则的长是_____． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，解题关键是利用勾股定理计算斜边长度，结合折叠的性质找到线段等量关系，再通过勾股定理列方程求解。 （1）直接利用勾股定理计算的长度； （2）根据折叠性质得到线段和角等量关系，设未知数，利用勾股定理列方程求解的长度． 【详解】解：（1）在中，，根据勾股定理： ， 故答案为：； （2）由折叠的性质可知： ，，， 在中，， ， ， 设，则，因此， 在中，根据勾股定理：， 代入，得：， 解得，． 故答案为：． 42．（24-25八年级上·甘肃白银·期中）如图， 已知中，，，，点D是边上的一个动点．将沿所在直线折叠，点C的对应点为点E，若点E在边上，则的长度为_________． 【答案】3 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，熟练掌握勾股定理和折叠的性质是解题的关键． 根据勾股定理求出，由折叠的性质得，，，设，在中利用勾股定理列出方程，求出的值即可解答． 【详解】解：∵，，， ∴， 由折叠的性质得，，，， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴． 故答案为：3． 43．（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，已知在中，，，，点D，E分别在边，上，连接，．将沿翻折，将沿翻折，翻折后，点B，C分别落在点，处，且边与在同一直线上，连接，当是以为腰的等腰三角形时，则____________________ ． 【答案】 【分析】本题考查图形的折叠、直角三角形的性质和等腰三角形的性质，解题的关键是灵活运用折叠的性质，根据题意建立方程．根据和两种情况展开讨论，当，设可得，根据折叠的性质得，再根据勾股定理建立方程，解方程即可得到答案；当，可得是的中点，设，，可得，根据折叠的性质得，建立方程解方程即可得到答案． 【详解】解：当时，设，得， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴． 当时， ∵， ∴是的中点， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴ 当或时， 是以为腰的等腰三角形． 故答案为：或． 题型8 矩形折叠（求角度、线段、面积） 44．（22-23八年级下·广西河池·期中）如图，四边形是矩形，，把矩形沿直线折叠，点落在点处，、交于点，则与的面积之比是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用矩形与折叠性质，推导出，设，则，由勾股定理，解得，然后计算两三角形面积并求比值． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴； 由折叠性质可知： ， ∴，，，， ∴， ∴， 设，则， ∴， 在中，，，， 由勾股定理得： 解得，即， 的直角边，， ∴ 在中，， ． 45．（25-26八年级下·北京·期中）如图，长方形纸片中，，折叠纸片使边落在对角线上，点B落在点F处，折痕为，且，则的长为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】先根据矩形的特点可得的长，再由翻折变换的性质得出是直角三角形，利用勾股定理即可求出的长，再在中利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴，， ∵是翻折而成， ∴，，是直角三角形， ∴， 在中，由勾股定理得：， 设， 在中，由勾股定理得：， 即：， 解得：， ∴． 46．（25-26八年级上·福建漳州·期中）如图，长方形中，点、分别在、上，，，四边形沿翻折得到四边形，若点、、在同一条直线上，则的长为______． 【答案】 【分析】由翻折的性质、矩形的性质，证明，得，，设，则，由勾股定理可得，解出的长度，最后可求出的长． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， 由翻折的性质，可得， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， 设，则， 由， 即， 解得， ∴， ∴． 47．（25-26八年级下·江苏·期中）如图，在矩形中，对角线和相交于点，，是射线上一点，将沿翻折得，当时，的度数为_____ ． 【答案】或 【分析】由题意可分当点在线段上时和当点在线段的延长线上时，然后根据平行线的性质及折叠的性质可进行求解． 【详解】解：如图1，当点在线段上时， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 如图2，当点在线段的延长线上时， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 综上所述，的度数为或． 48．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，将矩形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由矩形的性质可得，由平行线的性质可得，由折叠的性质可得，从而得出，即可得证； （2）由矩形的性质可得，由折叠的性质可得，设，则，再由勾股定理计算即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵四边形为矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质可得：， ∴， ∴； （2）解：∵四边形为矩形， ∴， 由折叠的性质可得， 设，则， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴． 49．（25-26八年级下·江苏·期中）如图，矩形中，，，E是边上一点（与C、D不重合）．四边形关于直线的对称图形为四边形． (1)若，与交于点F，求的面积； (2)如图，的延长线交于点P，设（），求的面积S．（用含x代数式表示） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由矩形、轴对称的性质可证得，设，则，在中，，即可求得，再结合三角形面积公式即可求解； （2）由矩形、轴对称的性质可证得，则，设，，则，，在中，，解得，再结合三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，，，， 则， 由对称可知，， ∴， ∴， 设，则， 在中，，即：， 解得：，即：， ∴的面积； （2）解：过作于， 由题意可知，，， ∴，， 由对称可知，， 则， ∴， 设， ∵， 则， 又∵， ∴在中，，解得：， ∴（）． 题型9 菱形性质（60°/120°、对角线垂直） 50．（23-24八年级上·山东烟台·期中）如图，菱形的边长为2，，E是的中点，P是对角线上的一个动点，则的最小值是（　　　）    A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】由菱形的性质可知A、C两点关于对称，连接，，与的交点即为点P，此时的值最小，求出的长即可求解． 【详解】解：连接，连接与交于点P，    ∵菱形的边长为2，， ∴A、C两点关于对称，，， ∴为等边三角形，， 此时，值最小． ∵E是中点， ∴，， ∴， ∴． 故选B． 【点睛】本题考查了菱形的性质，轴对称的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，确定点P的位置是解题的关键． 51．（23-24九年级上·宁夏银川·期中）如图，在菱形中，，，，分别是，的中点，，相交于点，连接，，有下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据菱形的性质和，可知是等边三角形，是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，，即可判断①；根据可证，根据全等三角形的性质可得，再根据含角的直角三角形的性质可判断②；根据为直角三角形，可知，进一步可知，即可判断③；根据勾股定理可得，再根据三角形面积的求法即可判断④．从而得出答案． 【详解】解：在菱形中，， ， ， 是等边三角形，是等边三角形， ，， ，分别是，的中点， ， ， ，， ， 故①正确； 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 故②正确； 为直角三角形， ， ， 与不全等， 故③错误； ∵菱形，， ∴ ，，， 根据勾股定理，得， ， 故④正确， 故正确的有①②④，共3个， 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形的面积等，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 52．（23-24八年级下·江苏扬州·月考）如图，在菱形纸片中，，是边的中点，将菱形纸片沿过点的直线折叠，使点落在直线上的点处，折痕为，与交于点．有如下结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是________． 【答案】①②③④ 【分析】由菱形的性质，，可得，是等边三角形，结合是边的中点，根据三线合一可得，根据含角直角三角形的性质，可证③正确， 由，结合折叠的性质，可证①正确， 由折叠的性质得到的度数，结合，得到，根据三角形内角和，可证②正确， 连接，与交于点，由，，得，结合，由，可证④正确， 本题考查了，菱形的性质，折叠的性质，含角直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，解题的关键是：连接辅助线，构造全等三角形． 【详解】解：∵菱形， ∴， ∵， ∴，是等边三角形，， ∵是边的中点， ∴， ∴， ∴，故③正确， ∴， 由折叠的性质可得，，， ∴，故①正确， ∴， ∵， ∴，故②正确， 连接，与交于点， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故④正确， 故答案为：①②③④． 53．（23-24八年级下·广东汕头·期中）如图，菱形中，，，，分别是，上的点，，连接，则的面积最小值是______． 【答案】 【分析】此题考查了菱形的性质和等边三角形的判定与性质，首先由是等边三角形，即可得，以求得，然后利用平行线与三角形外角的性质，可求得，证得 即可得，证得是等边三角形， 当时得出的面积最小值即可，解题的关键是熟练掌握知识点的应用． 【详解】如图，连接， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， 当时，的面积最小值， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 由勾股定理得， 过作于点， ∴同理可得：， ∵是等边三角形， ∴， ∴的面积最小值， 故答案为：． 54．（24-25八年级下·山东烟台·期中）在菱形中，，点分别是边上的点． 【尝试初探】 （1）如图1，若，求证： 【深入探究】 （2）如图2，点分别是边上的点，连接与相交于点O且，求证： 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）连接，证明和都是等边三角形，可得，证明，即可得出结论； （2）连接，过点D作交于点P，交于点Q，可证，四边形和四边形都是平行四边形，得出，，由（1）可知，即可得证． 【详解】解：（1）如图1，连接， ∵菱形、， ，，，， 和都是等边三角形， ，，， ， ， ， ； （2）如图2，连接，过点D作交于点P，交于点Q， 则，四边形和四边形都是平行四边形， ，， 由（1）可知， ． 【点睛】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的性质． 55．（23-24九年级上·陕西宝鸡·期中）如图，在菱形中，，点E，F分别在上，且． (1)求证：； (2)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)等边三角形，理由见解析 【分析】（1）首先证明，都是等边三角形，再证明，即可解决问题； （2）根据全等三角形的性质可知，结合即可证明； 此题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质．证得与是等边三角形，继而证得是关键． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． （2）结论：是等边三角形． 理由：∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 56．（22-23八年级下·江西上饶·期中）【问题情境】 （1）数学探究课上，某兴趣小组探究含角的菱形的性质．    如图1，菱形的边长为，，则______，______． 【操作发现】 （2）如图2，在图1的基础上，小贤在菱形的对角线上任取一点P（点P不与点B重合），以为边向右侧作菱形，且，连接． ①求证：； ②随着点P位置的改变，的度数是否发生变化？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由． 【拓展延伸】 （3）在（2）中，连接，若，求此时的长． 【答案】（1） ；（2）①见解析；②的大小不变，且；（3） 【分析】（1）根据菱形的对角线平分原则对角，计算，利用菱形的对角线互相垂直且平分，勾股定理计算即可． （2）①根据菱形的性质，结合，，得到，继而得到，证明即可． ②根据菱形的性质，得到，根据，得到，计算得． （3）连接，交于点O，过点P作于点H，证明四边形是矩形，运用勾股定理计算即可． 【详解】解：（1）连接，与交于点G， ∵ 菱形的边长为，，， 为对角线， ∴，，， ∴，， ∴， 故答案为：． （2）①证明：∵菱形，菱形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴．    ②的大小不变，且，理由如下： ∵菱形， , ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故的大小不变，且． （3）连接，交于点O，过点P作于点H， ∵菱形，菱形，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质，平行线的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，含30读角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握菱形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键． 57．（23-24八年级下·浙江台州·期中）已知菱形中，，点E在边上，作，与相交于点F．与对角线分别相交于点H，G． (1)如图1，当点E是中点时， ______； (2)如图2． ①求证：； ②的值是否为定值？如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)①见解析；②是，1 【分析】（1）如图1，连接，证明是等边三角形，由E是中点，可得，即，，，然后求解作答即可； （2）①如图2，连接，由（1）可知，是等边三角形， 证明，进而可得；②如图3，连接，由菱形，，可得，证明，则，同理，，，根据，求解作答即可． 【详解】（1）解：如图1，连接， ∵菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵E是中点， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）①证明：如图2，连接， 由（1）可知，是等边三角形， ∴，， ∴，即， ∵菱形， ∴， ∵，，， ∴， ∴； ②解：如图3，连接， ∵菱形， ∴，， 由①可知，， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， 同理，，， ∴， ∴的值为定值，且定值为1． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，含的直角三角形，全等三角形的判定与性质等知识．熟练掌握菱形的性质，等边三角形的判定与性质，含的直角三角形，全等三角形的判定与性质是解题的关键． 58．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图1，已知四边形是菱形，，点在菱形的对角线与上，的两边分别交边、于点、，且． (1)求证：； (2)如图2，若，过作交于点，过作交于点，连接、．求证：四边形是矩形； (3)如图3，在(2)的条件下，当点为中点时，为延长线上一点，为延长线上一点，连接、，为中点，连接、、，若，，四边形的周长为，，求矩形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）过点作的垂线，垂足分别为，根据菱形的性质以及角平分线的性质，证明，进而证明，根据全等三角形的性质，即可得证； （2）由菱形的性质以及已知条件证明可得，再说明可证四边形是平行四边形，再说明即可证明结论； （3）证明得，证明可得，根据四边形的周长为，得出，倍长，证明，得，，证明得出，可得，则，进而确定，根据矩形的性质，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，过点作的垂线，垂足分别为，则 ∵四边形是菱形 ∴平分 ∴， ∵，， ∴， 又∵ ∴， ∴， ∴； （2）如图：连接， ∵四边形是菱形， ∴，，，， ∵ ∴，即， ∵， ∴， 同理：， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形； （3）解：如图，在上取一点，使得 ∵， ∴是等边三角形， ∴ ∵ ∴是等边三角形， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴， 在上取一点，连接，使得， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 又∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴ ∵四边形的周长为， ∴ ∴， 延长至，使得 ∵为中点， ∴ 又∵ ∴ ∴， 在 中， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵， ∵当点为中点 ∴ ∴ ∴，则 ∴ ∴ 连接，交于点，根据对称性可得 ∴，则 ∴ ∴ ∴ 在中， ∴， ∴矩形的面积为． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、含30度直角三角形的性质，勾股定理，构造全等三角形是解题的关键． 59．（23-24八年级下·北京·期中）在菱形中，，动点在直线上运动，作，且直线与直线相交于点点到直线的距离为． (1)证明：； (2)若在线段上运动，求证：； (3)若P在线段上运动，探求线段的一个数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】此题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，菱形的性质，含30°角的直角三角形的性质； （1）根据菱形的性质得到，进而根据三角形的外角的性质，即可得到结论； （2）过点作交于点，连接先证明，再证明是等边三角形．从而得到，进而即可得到结论； （3）根据等边三角形的性质可知，结合，以及直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵为菱形，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）过点作交于点，连接 ∵为菱形，， ∴． ∵， ∴． ∴是等边三角形． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴是等边三角形． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴ ∴． （3），理由如下： ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 题型10 动点存在性（平行四边形/等腰/直角） 60．（25-26八年级上·江西赣州·期中）如图，已知正方形中，边长为，点E在边上，．如果点P在线段上以的速度由B点向点C运动，同时点Q在线段上以的速度由点C向点D运动，设运动的时间为t秒． (1)________，________；（用含t的代数式表示） (2)若以E，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等，试求a的值． 【答案】(1)， (2)a的值为2或 【分析】（1）先根据点P运动的速度与时间，用t表示出，再根据，用t表示出； （2）分、两种情况讨论，分别求出a的值． 【详解】（1）解：点P在线段上以的速度由B点向点C运动，运动的时间为t秒， ， ， ， 故答案为：2t，； （2）当时， 此时，， 则有，， 此时，． 当时， 此时，， 则有，， 此时，． 综上所述，a的值为2或． 【点睛】本题考查了列代数式，全等三角形的性质，根据正方形的性质求线段长，（特殊）平行四边形的动点问题等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 61．（24-25八年级下·重庆巴南·期末）如图，在矩形中，点为直线上一动点，连接，作等腰直角三角形，使，．       (1)如图1，若，，，求四边形的面积； (2)如图2，若点为线段的中点，且，连接，试探究线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，连接，若，．请思考是否存在最小值，若存在，请直接写出的最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、矩形的判定及性质、等腰直角三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点，会作出适当的辅助线灵活构造全等三角形是解题的关键． （1）通过已知条件，易求，，根据勾股定理得，，利用梯形面积公式即可求解； （2）过点作于点，作于点，易证：，得，，再证明四边形是矩形，进而证明为等腰直角三角形，即可证得； （3）在的延长线上截取，连接，在上截取，连接，设，，，先证，得，得出点轨迹为过中点，与夹角为的直线上，作点关于的对称点，当取最小值时，，，三点共线，由勾股定理可得，最小值为． 【详解】（1）解：，， ， 四边形为矩形， ， ， 又， ． 在中，，，， 根据勾股定理得，， ， ； （2），理由如下： 如图所示，过点作于点，作于点． ，， ， ，， ，， ， ， ，． 点为线段的中点， ． ， 四边形是矩形， ，， ， ， 为等腰直角三角形， ； （3）如图所示，在的延长线上截取，连接，在上截取，连接，设，，， ，，， ，，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 点轨迹为如图过中点，与夹角为的直线上， 如图所示，作点关于的对称点， ， 当取最小值时，，，三点共线，最小值为， 延长交直线于点，连接， ， ， ， ， ，， 由勾股定理可得，最小值． 62．（24-25八年级下·云南昆明·期中）如图，在四边形中，，，，，点从点出发，以/的速度向点运动；点从点同时出发，以/的速度向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为． (1)____________，____________（用含的代数式示）； (2)在整个运动过程中是否存在值，使得四边形是矩形？若存在，请求出值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)， (2)存在， 【分析】本题考查列代数式，平行四边形、矩形的性质，关键是熟练掌握矩形的判定． （1）由运动的速度即可表示长，的长； （2）根据矩形的判定列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：，， ∵， ∴ 故答案为：，； （2）解：存在， 在四边形中：， ∴当时，四边形是矩形， ∴， 解得：， ∴当时，四边形是矩形． 63．（24-25八年级下·河北唐山·期中）在四边形中，，，，，，点从点以的速度向点运动，点从点以的速度同时向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为秒． (1)求为何值时，四边形是平行四边形？ (2)求为何值时，四边形是矩形？ (3)在整个运动过程中，_________（答“存在”或“不存在”）t值，使得四边形是菱形； (4)若只改变线段的长度，其余条件都不变，在整个运动过程中，当四边形是正方形时，请你求出的值和线段的长度． 【答案】(1) (2) (3)不存在 (4)， 【分析】（1）根据时，四边形是平行四边形，列出方程进行求解即可； （2）根据，，得到当时四边形是矩形，列出方程进行求解即可； （3）根据菱形的性质可得，结合（1）的结论，分别求得的长，即可得出结论； （4）当四边形是正方形时，，进而求得，，根据，即可求解． 【详解】（1）解：由题意，得：，，秒， ∴，， ∵，则 当时，四边形是平行四边形； ∴ 解得： （2）解：∵，， ∴当时，四边形是矩形； ∵，， ∴ 解得： （3）解：不存在，理由如下， 由（1）可得，当时，四边形是平行四边形； ∴若此时，则四边形是菱形， 如图，过点作于点， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 而， ∴， ∴四边形不是菱形， 故答案为：不存在． （4）解：当四边形是正方形时，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当四边形是正方形时，，． 【点睛】本题考查四边形中的动点问题．解题的关键是掌握矩形的判定和性质，正方形，平行四边形，矩形，菱形的性质与判定，及勾股定理解三角形，熟练掌握特殊四边形的性质是解题的关键． 64．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，在四边形中，，，，，．点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动． (1)从运动开始，求使需经过多少时间？ (2)连接，是否存在为等腰三角形？若存在请求的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)； (2)当或或时，为等腰三角形． 【分析】本题考查了动点几何问题、矩形的判定与性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质，解决本题的关键是根据图形的性质找到边之间的关系，再利用边之间的关系列方程求解即可． （1）已知，当时，四边形是平行四边形，根据平行四边形对边相等可得，设运动的时间是，可得关于的方程，解方程即可得到运动的时间； （2）当为等腰三角形，应分三种情况求解：第一种情况、当时，第二种情况、当时，第三种情况、当时． 【详解】（1）解：设运动的时间是， ，， ， 当时，四边形是平行四边形， ， 即， 解得：， 从运动开始，使需经过； （2）解：当或或时，为等腰三角形， 如下图所示，过点 作， 则， ，， ， 四边形是矩形， ，， ， 在中，， 是等腰三角形， 当时，， 解得：； 如下图所示， 当时， ， ， ， 解得：； 当时， ，， ， ， ， 整理得：， 解得：； 综上所述，当或或时，为等腰三角形． 65．（22-23八年级下·广西南宁·期中）如图，在中，，，点从点出发沿方向以的速度向点匀透运动，同时点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点，运动的时间是秒．过点作于点，连接，．    (1)直接写出___________，___________．（用含的式子表示出来） (2)四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的值，如果不能，说明理由； (3)当为何值时，为直角三角形？请说明理由． 【答案】(1)， (2)能， (3)或，见解析 【分析】（1）由题意可以得到，再由在中，，得到，由含角的直角三角形的性质得到的值； （2）由（1）可得，得到四边形是平行四边形，当时，四边形是菱形得到即可解得答案； （3）将中，，分类讨论即可． 【详解】（1）解：在中，，， ， ， 由题意得，， ； （2）解：能； ，， 且， 四边形是平行四边形， 当时，四边形是菱形， ， ， ， ， 解得， 即当时，四边形能够成为菱形； （3）解：当或时，为直角三角形， 若，则， ， ， 即， 解得， 当时，， 四边形是平行四边形， ， 是直角三角形，， ， ， ， ， 解得：， 当时，点到达点，点到达点，此时、、共线， 当时，不存在． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，含角的直角三角形的性质．熟练掌握平行四边形的判定与性质，含角的直角三角形的性质相关知识点是解题的关键，本题易错点在于讨论为直角三角形时要分三种情况讨论． 题型11 最值问题（将军饮马、垂线段最短） 66．（24-25八年级下·湖北黄冈·期中）如图，菱形中，，，E、F分别是、上的动点，且，则的最小值为（   ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查菱形的性质，以及线段最值问题，准确添加辅助线是解题的关键． 如图构造全等三角形，使得，点A、G在直线两端，再根据三角形三边的性质，判断出，利用角度关系得出，结合直角三角形边长关系求出的长度，则为的最小值． 【详解】解：在下方取点，使， 连接、，如图所示： 又∵， ∴， ，故当、、三点共线时最小， ∵四边形为菱形， ∴，， 故，且， 得等腰， ， 则， 故选． 67．（24-25八年级下·辽宁铁岭·期中）如图，正方形的边长为12，点E在AB上，且，点F是上一动点，则的最小值是（    ） A．15 B． C． D．12 【答案】A 【分析】本题主要考查了最短路线问题、勾股定理以及正方形的性质的运用，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 连接，依据，可得，当在同一直线上时，的最小值等于的长，再根据勾股定理即可得到的长即为的最小值． 【详解】如图所示，连接， ∵点与点关于对称， ， 当在同一直线上时， 的最小值等于的长， ∴的最小值等于15， 故选：A． 68．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）已知菱形的边长为2，且，M是对角线上一动点，的最小值为______． 【答案】 【分析】连接，交于点，如图，过点作的垂线，垂足为，连接，求得，，推出，当共线时，最小，然后用勾股定理算得即可． 【详解】解：连接，交于点，如图，过点作的垂线，垂足为，连接， ∵菱形的边长为2， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵是对角线上一动点，，， ∴垂直平分， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴当共线时，最小，最小值为， 此时， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 69．（24-25八年级下·福建厦门·期中）如图，四边形是矩形，，，点P是边上一点（不与点A，D重合），连接，．点M，N分别是，的中点连接，，，点E在边上，，则的最小值是___________． 【答案】 【分析】本题考查了斜中半定理，三角形中位线的性质以及运用将军饮马模型求线段和的最小值，综合运用以上知识是解题的关键．运用斜中半定理以及三角形中位线性质，证明四边形是平行四边形，求的最小值等同于求的最小值，最后运用将军饮马模型以及勾股定理求得最小值． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵点M，N分别是，的中点， ∴，，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴的最小值就是的最小值， 作点C关于直线对称点Q，连接、， ， 当点B、P、Q三点共线时，的最小值就是的长度， 在中，，，， ∴， ∴的最小值． 故答案为：． 70．（24-25八年级下·广东东莞·期中） 如图，在边长为2的菱形中，，E为的中点，F是上的一动点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查轴对称−最短路线问题，三角形三边关系，菱形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，确定F点位置在何处时，取得最小值是解答本题的关键． 连接，交于，连接交于，由菱形的对角线互相垂直平分，可得B、D关于对称，则，根据三角形三边关系，进而得到，由此得到当点与重合时，取得最小值，根据等腰三角形三线合一性质和勾股定理，即可求得． 【详解】解：连接，交于，连接交于， 由菱形的对角线互相垂直平分，可得B、D关于对称，则， ， 当点与重合时，取得最小值． 四边形是边长为2的菱形，， ，是等边三角形， ∵E为的中点， ∴，， 在中，， 的最小值为． 故答案为：． 71．（25-26八年级下·河南·月考）如图，直角坐标系中，O为原点，已知点、，点M，N在线段BO上，．将沿x轴向左平移个单位长度，得到． (1)当时，点D的坐标为________，点E的坐标为________； (2)已知四边形的面积为36，求a的值． (3)在（2）的条件下，连接，则四边形周长的最小值是________． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据平移写出坐标即可； （2）利用，再列方程求解； （3）设关于轴对称点为，点向下平移1个单位，得到，再根据，结合勾股定理即可得到最小值． 【详解】（1）解：点沿x轴向左平移5个单位长度得到， 点沿x轴向左平移5个单位长度得到； （2）解：根据题意，，， ， 又四边形为长方形， ， ， 解得； （3）解：设关于轴对称点为，再点向下平移1个单位，得到， 则，，，， 又，且， 四边形为平行四边形， ，则， ， 又，， 四边形周长， 则四边形周长的最小值是． 72．（23-24八年级下·重庆沙坪坝·期中）正方形对角线，相交于点，为线段上一点，连接． (1)如图，若，，求的长度； (2)如图，为上一点，连接，为上一点，连接，，若，，，求证：； (3)如图，若正方形边长为，延长交于，在上截取，连接交于，连接交于，连接，直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）过点作于，由正方形的性质可得，推出为等腰直角三角形，推出，在中，根据勾股定理求出，即可求解的长； （2）过点作直线，交延长线于，交延长线于，连接，根据平行线的性质结合已知的，推出，得到，由可得，结合正方形的性质可得 ，，结合平行线的性质得到，从而证明，得到，， 结合角的等量代换推出，进而可证明四边形是平行四边形，结合平行四边形的性质可证明，得到，即为的中点，根据直角三角形的中线定理即可证明； （3）取的中点，连接、，结合正方形的性质可得，由勾股定理得到的长，根据垂直平分线的性质可推出，证明，得到，进而得到，推出，得到，最后根据，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作于， 四边形为正方形， ， 为等腰直角三角形， ， 在中，由勾股定理得：， ； （2）证明：如图，过点作直线，交延长线于，交延长线于，连接， 四边形是正方形， ，，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ，， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ，， 在与中， ， ， ，即为的中点， ， ， ； （3）解：如图，取的中点，连接、，   正方形边长为， ， ， ， 在正方形中，，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ， 的最小值为． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，直角三角形的斜边中线定理，勾股定理，线段最值问题等知识，解题的关键是灵活运用这些知识． 73．（24-25八年级下·广东·期中）如图1，两个正方形和共一个直角顶点，连接、交于点，连接、、、． (1)当，时， ①作图：请在图1中分别取、、的中点、、（不要求尺规作图），并直接写出和的关系：______； ②若，求此时的长； (2)当，求的最小值． 【答案】(1)①作图见解析，；② (2) 【分析】（1）①，先证明是的中位线，是的中位线，推出；再证明，得到，，即可推出，再证明，即可得到；②②由①知：，利用勾股定理得到，求出，，即可求解； （2）如图，分别取、、、的中点、、、，连接同理（1）①可得；当三点共线时，有最小值，最小值为的长，即有最小值，最小值为的长，同理（1）①得，，，，利用勾股定理求出，即可解答． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵点、、分别是、、的中点， ∴是的中位线，是的中位线， ∴； ∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴，即， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ②由①知：， ∴， ∴， ∴， ∵四边形和四边形都是正方形，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即（负值舍去）； （2）解：如图，分别取、、、的中点、、、，连接 同理（1）①可得是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线， ∴； ∴ ∵， ∴当三点共线时，有最小值，最小值为的长，即有最小值，最小值为的长， 同理（1）①得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即的最小值为． 【点睛】本题考查了四边形中点问题的综合，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形中位线的判定与性质，正方形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 题型12 旋转综合（正方形/等腰直角三角形） 74．（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·月考）问题背景：已知共一个顶点的正方形和正方形，连接，取的中点P，连接，．探究，的数量关系与位置关系． 实践操作：如图①，小明旋转正方形，使正方形的顶点G落在正方形的边的延长线上．通过延长交于点Q，证． 是________三角形，和和数量关系是________，和和位置关系是________． 问题探究：如图②，小亮旋转正方形，使正方形的顶点E落在正方形的边的延长线上，此时线段，还有图①中的关系吗？请证明你的猜想． 拓展延伸：如图③，小红将正方形绕点旋转任意角度后，其他条件不变．线段，还有图①中的关系吗？请证明你的猜想． 【答案】（1）等腰直角；；；（2）成立；证明见解析；（3）有，证明见解析 【分析】（1）证明，得出，，证明为等腰直角三角形，根据，得出，； （2）延长交于点Q，连接，，证明，得出，，证明，得出，．根据等腰直角三角形的性质得出，； （3）延长至点Q，使，连接并延长交的延长线于点H，证明，得出，证明，得出，，根据等腰直角三角形的性质得出，． 【详解】解：（1）延长交于点Q， ∵四边形，为正方形， ∴，，，，， ∵顶点G落在正方形的边的延长线上， ∴， ∴，， ∵P为线段的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴，； （2）延长交于点Q，连接，，如图所示： ∵P是的中点， ∴， ∵正方形中，，， ∴，， ∵在和中， ∴， ∴，， ∴， ∵正方形中，，，， ∴， ∵在和中 ∴， ∴，． ∴． ∵， ∴，； （3）延长至点Q，使，连接并延长交的延长线于点H，如图所示： ∵P是的中点， ∴， ∵在和中， ∴， ∴， ∵在正方形中，，，， ∴，， ∵在正方形中，，，四边形中，，， ∴，， ∵在和中， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰直角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 75．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，正方形、正方形，连接，取的中点H，连接、． (1)【尝试探究】如图1，当点D落在上时，则______； (2)【深入探究】如图2，将正方形绕着点C旋转至点F落在的延长线上．求证：； (3)【拓展应用】如图3，继续将正方形绕着点C旋转，连接交于点P，连接，若点P为的中点，的面积为2，则线段的长为______． 【答案】(1)2 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据四边形、是正方形，得出，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可证明； （2）在上截取，连接，根据是中点，得出，再结合四边形、是正方形，得出，证明，根据全等三角形的性质得出，再根据等腰三角形三线合一的性质即可证明； （3）延长至，使，连接，连接延长交于点，证明，再证出，即可得出、是等腰直角三角形，证出，过C作于点L，证明，证出，根据，即可解答； 【详解】（1）解：连接，，如图所示： ∵四边形、是正方形， ， ， ∵是中点， ， 即； （2）证明：在上截取，连接，如图所示： ∵是中点， ， ∴， ， ∵四边形、是正方形， ， ， ， ， ， 即； （3）解：延长至，使，连接，连接，并延长交于点， ∵是中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∵四边形、是正方形， ． ， ，     ， ， ， ， ， ∴、是等腰直角三角形， ， 过C作于点L， 是中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，正方形的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点，正确作出辅助线． 76．（24-25八年级上·广西柳州·期中）如图，在矩形中，，对角线相交于点，对角线所在的直线绕点顺时针方向旋转，旋转中，直线分别交于点，将四边形沿直线折叠得到四边形，其中线段交于点． (1)如图1，探究出与的数量关系为____________； (2)如图2，连接交于点． ①证明：； ②当时，求证：； (3)深入研究，当时，请直接写出的长． 【答案】(1) (2)①见解析；②见解析 (3)4或1 【分析】（1）由矩形的性质可得出，由折叠的性质可得出，进而可得出． （2）①由矩形的性质可得出， 由折叠可知，等量代换可得出，由对顶角相等可知，由三角形内角和定理可得出，由（1）知：，等量代换可知． ②在上截取，连接，由矩形的性质以及折叠的性质得出，由①得，证明和 是等边三角形，由等边三角形的性质可得出，再证明，进一步结合全等三角形的性质可得出． （3）分两种情况求解，①当点在右上方时和当点在左上方时，画出图形分别求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵四边形沿直线折叠得到四边形， ∴， ∴． （2）证明：①四边形是矩形， ． 又， ， ． 由折叠可知． ． 又， ， 由（1）知：． ． 证明：②在上截取，连接， 四边形折叠得到四边形， ， ， ∴， ， ， ， 由①得． 等边三角形． ． 是等边三角形， ． ， ， ， ． ， ． ． （3）解：①当点在右上方时，如图过点作于点， ， 在中，． 设，则， ． ． 解得． ． ②当点在左上方时， 同理可得， 设，则， ． ． 解得． ． 综上，的长为4或1． 【点睛】本题主要考查了矩形与折叠的综合问题，全等三角形的判定以及性质，等边三角形的判定以及性质，勾股定理等知识，掌握这些知识是全等三角形的判定定理以及性质是解题的关键． 77．（2024·辽宁大连·模拟预测）【问题呈现】 如图1，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点旋转，旋转过程中，的两边分别与正方形的边和交于点E、F（点F与点C，D不重合）．探索线段之间的数量关系． 【问题初探】 （1）爱动脑筋的小悦发现，通过证明两个三角形全等，可以得到结论．请你写出线段、、之间的数量关系，并说明理由； 【问题引申】 （2）如图2，将图1中的正方形改为的菱形，，其他条件不变，请你帮小悦得出此时线段、、之间的数量关系是 ； 【问题解决】 （3）如图3，在（2）的条件下，当菱形的边长为8，点P运动至与A点距离恰好为7的位置，且旋转至时，的长度为 ． 【答案】（1），理由见解析；（2）；（3）4或2 【分析】（1）根据正方形的性质可得，，证明，得到，即可求解； （2）取的中点，连接，根据菱形的性质可得是等边三角形，可证明，得到，即可证明； （3）分两种情况：当点靠近点时，；当点靠近点时；过点作于，连接，作交于，结合（2），根据勾股定理和等边三角形的性质求解即可． 【详解】解：（1）结论：． 理由：如图1中， 正方形的对角线，交于点， ，， ， ， 在和中 ， ， ， ； （2）结论变为，理由如下： 如图2中，取的中点T，连接， 四边形为的菱形， ，，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：； （3）如图3﹣1中，当点P靠近点B时，过点A作于H，连接，作交于G． 是等边三角形，， ，， 在中，， ， 由（2）可知，， ； 如图中，当点靠近点时，同法可得，， ， ， 综上所述，满足条件的的值为或； 故答案为：4或2． 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，正方形及菱形的性质，等腰三角形的性质，解答本题的关键是设计三角形全等，巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与线段之间的等量关系． 78．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）【链接教材】 （1）如图1，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为1，四边形为两个正方形重叠部分，正方形可绕点O转动． 则下列结论正确的是________（填序号即可）： ①； ②； ③四边形的面积总等于； ④连接，总有． 【类比迁移】 （2）如图2，矩形的对角线的交点O是矩形的一个顶点，与边相交于点E，与边相交于点F，连接，矩形可绕着点O旋转，猜想之间的数量关系，并进行证明； 【拓展应用】 （3）①将n个边长都为的正方形按如图3所示的方法摆放，点分别是正方形的对角线的交点，则2026个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为_______． ②如图4，在中，，，，直角的顶点D在边的中点处，它的两条边和分别与直线相交于点E，F，可绕着点D旋转，当时，则的长度为________． 【答案】（1）①②③④   （2），见解析（3）①2025；②或 【分析】（1）根据正方形的性质，先证明于是得到即可判定① ②正确；根据正方形的性质，得，利用全等三角形的性质，分割法表示面积，可判定四边形的面积总等于，得到③正确；根据正方形的性质，三角形全等的性质，得到，根据勾股定理得到，从而判定④正确． （2）连接，延长交于点G，先证明得到，再利用勾股定理，线段垂直平分线的性质，等量代换即可的结论； （3）①根据正方形的性质，结合三角形全等的判定与性质，阴影部分的面积是正方形的面积的，已知两个正方形可得到一个阴影部分，则个这样的正方形重叠部分即为个阴影部分的和． ②仿照（2）的解题思路，分点E在上和的延长线上，两种情况求解即可． 【详解】（1）解：∵正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为1， ∴；，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故①②正确； 根据正方形的性质，得， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故③正确； 连接， ∵，， ∴， 根据勾股定理得到， 故， 故④正确． 故答案为：①②③④． （2）解：连接，延长交于点G， ∵矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点， ∴；，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， 由勾股定理，得， 故． （3）①解：作于，于，连接，如图所示： ∴四边形为矩形， ∵正方形中心为， ∴平分， ∴， ∴四边形为正方形， ， ， 在△和△中， ， △△， 正方形的边长均为， 四边形的面积四边形的面积， 同理可知，各个重合部分的面积都是1， 个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为， 个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为， 故答案为：2025； ②解：当点E在上时， 过点B作，交的延长线于点M，连接 ∵， ∴；， ∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， 由勾股定理，得， 故． ∵，， ∴，， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点E在的延长线上时， 过点B作，交的延长线于点N，连接 ∵，， ∴；， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， 由勾股定理，得， 故． ∵，， ∴，， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴； 故的长度为或． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，矩形的性质，直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，线段的垂直平分线的判定和性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，线段的垂直平分线的判定和性质是解题的关键． 过关检测 79．（25-26八年级下·湖北黄冈·期中）下列各式中属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最简二次根式的两个判定条件：被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，逐一判断各选项即可． 【详解】解：A选项：，被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故A选项不符合题意； B选项：，被开方数含有分母，不是最简二次根式，故B选项不符合题意； C选项：中被开方数不含分母，也不含有能开得尽方的因数，是最简二次根式，故C选项符合题意； D选项：中被开方数含有分母，不是最简二次根式，故D选项不符合题意． 80．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）已知a是正整数，且的值是整数，则正整数a所有可能的值的和为（   ） A．136 B．131 C．100 D．94 【答案】B 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．根据是整数，求出a的取值范围，再根据a是正整数，即可得出答案． 【详解】解：∵a是正整数，的值是整数， ∴ 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 综上所述，正整数a的值可以是31，30，27，22，15，6， ∴所有可能的a之和为． 81．（25-26八年级下·安徽淮北·月考）能使等式成立的的取值范围是（   ） A． B．且 C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，且分式分母不能为零，据此即可解答． 【详解】解：∵等式成立， ∴且， ∴． 82．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）实数在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴得到，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：由数轴知：， ∴ ． 83．（25-26八年级下·福建福州·期中）下列各式为最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式，据此逐一判断即可． 【详解】根据最简二次根式的定义逐一判断： 解：A、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； B、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； C、是最简二次根式，符合题意； D、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； 84．（23-24八年级上·河南驻马店·期末）若与最简二次根式能合并，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简，最简二次根式．熟练掌握利用二次根式的性质进行化简，最简二次根式是解题的关键． 由题意知，，则，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∴， 解得，， 故选：B． 85．（24-25八年级下·福建福州·期中）如图，从一个大正方形中截去面积分别为8和18的两个小正方形，则图中阴影部分面积为（    ） A．50 B．22 C．24 D．26 【答案】C 【分析】利用二次根式化简求出两个小正方形的边长，得到大正方形的边长，求出大正方形的面积，即可得到阴影面积． 【详解】解：两个小正方形的边长分别为和， ∴大正方形的边长为， ∴大正方形的面积为， ∴图中阴影部分面积为． 86．（25-26八年级上·湖南永州·期中）已知：，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的大小比较，将各数变形为，，，再结合即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：，，， ∵， ∴， 故选：D． 87．（25-26八年级下·安徽淮北·月考）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间（单位：）和高度（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响）．设从高空抛物到落地所需时间为，从高空抛物到落地所需时间为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定公式分别表示出和，再计算的比值即可得到结果． 【详解】解：由题意得 ，， ． 88．（25-26八年级下·河南三门峡·期中）下列四组数中，是勾股数的是（    ） A．，， B．5，12，13 C．1，， D．9，15，17 【答案】B 【分析】根据勾股数的定义判断，勾股数需同时满足两个条件：(1)三个数都是正整数；(2)两个较小数的平方和等于最大数的平方，据此逐一验证选项即可． 【详解】解：首先明确勾股数的定义：满足的三个正整数是勾股数. 选项A中的，，都不是正整数，A不符合要求； 选项C中的都不是正整数，C不符合要求； 对于选项D，计算得，， ，D不符合要求； 对于选项B，计算得，， ，且5，12，13都是正整数，B符合要求． 89．（25-26八年级下·福建福州·期中）如图，一棵大树在离地处折断，树的顶端落在离树干底部处，那么这棵树的高度是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设这棵树折断部分的长度为，由图得，， 则这棵树的高度是． 90．（25-26八年级上·重庆大渡口·期末）如图，在三角形纸片中，，，，沿过点的直线将纸片折叠，使点落在上的点处，折痕交于点，再折叠纸片，使点与点重合，折痕交于点，交于点，则的长度为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，直角三角形两锐角互余，解题的关键是掌握以上知识点． 先根据折叠得到，，，，然后求出 【详解】解：由折叠性质得：，，，， ∵，，然后利用勾股定理求解即可． ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴． 故选：C． 91．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点都在格点上，以为圆心，的长为半径画弧，交于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：根据题意，得，，，， ∴， ∴． 92．（25-26八年级上·山东青岛·期中）如图，图是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理时的青朱出入图，图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等．朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．探究学习中，标上字母绘成图所示，若记朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为，已知，，则图中的阴影部分面积为（     ） A．20 B．21 C．22 D．24 【答案】B 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用与勾股定理的几何背景，熟练掌握完全平方公式的变形（）是解题的关键． 先根据已知条件求出的值，再结合阴影部分面积与正方形、三角形面积的关系计算阴影面积． 【详解】解：如图2，，， 阴影部分面积， 朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为， ，， 青出与青入的三角形全等， ， ， ， ， ，， ， 阴影部分面积 ， 故选： 93．（25-26八年级上·广东深圳·期中）一艘轮船从A港向南偏西方向航行到达B岛，再从B岛沿方向航行到达C岛，A港到航线的最短距离是．则岛和港之间的距离（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理的应用．根据题意，利用勾股定理求出的长度，再求出的长度，再用勾股定理求出的长度即可． 【详解】解：由题意，得：，， 中，， 由， ∴， 中，， 答：C岛和A港之间的距离． 故选：C． 94．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）如图，中，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点，交的延长线于点，若，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的性质、角平分线的尺规作图以及等腰三角形的判定，解题关键是利用平行四边形对边平行的性质，结合角平分线得到等腰三角形，再通过线段差计算DH的长度． 【详解】解：由题意是通过“作一个角的平分线”的尺规作图方法得到的， 因此， 在平行四边形中：，，，， 因为， 所以（两直线平行，内错角相等）； 结合，可得； 因此为等腰三角形，即； 因为，， 所以． 故选：B． 95．（25-26八年级下·内蒙古通辽·期中）如图．在中，，动点M，N分别在边上，且，以为边作等边，使点P始终在的内部或边上，当的面积最大时，的长为_____． 【答案】5 【分析】因为是等边三角形，其面积由边长决定，所以要先明确的长度与点P的位置关系，因为点P始终在平行四边形内部或边上，所以需要分析当最长时，点P位于边上，找到的最大值对应的长度，最后计算．因为，平行四边形中，且，，所以可利用线段垂直平分线性质，进而得到，是等边三角形，得到，即可得到的长度． 【详解】解：连接，过点A作于点E， 则， ∵在中，， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴当点P在边上时， 的面积最大， 此时，四边形是矩形， ∴． ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 96．（25-26八年级下·河南三门峡·期中）如图，是矩形的对角线的中点，是边的中点若，，则线段的长为________． 【答案】5 【分析】根据三角形中位线定理得到，再根据勾股定理求出，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到答案即可． 【详解】解：矩形，， ， 是矩形的对角线的中点，是边的中点， ，， ∵， ， 在中，， ． 97．（25-26八年级下·河南三门峡·期中）如图，在中，，过上一点作，交于点，以为顶点，为一边，作，另一边交于点． (1)求证：四边形为平行四边形． (2)当点为的中点时，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是菱形，理由见解析 【分析】（1）根据平行的性质证明，再根据，证明，即可得到结论； （2）根据题意证明和，由此证明点为的中点，得到，即可得到结论． 【详解】（1）证明：， ， 又， ， ， 又， 四边形是平行四边形； （2）解：四边形是菱形，理由如下： ， ． ， ， ， ， 点为的中点， ， ． 又四边形是平行四边形， 平行四边形是菱形． 98．（25-26八年级下·福建福州·期中）点在正方形的边上，点在上，连接、． (1)如图1，求证：； (2)如图2，过点作的垂线交于，交的延长线于，求证：； (3)在（2）的条件下，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)3 【分析】（1）根据正方形的性质，等角对等边，等边对等角，等量代换证明即可； （2）过点A作于点M，交于点N，连接，四边形是平行四边形，等量代换证明即可； （3）延长交于点P，先证明，得到， 求得，根据． 【详解】（1）证明：∵正方形， ， ， ， ， ． （2）证明：如图，过点A作于点M，交于点N，连接， ， ， 故直线是线段的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， ， 因为正方形， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ． （3）解：延长交于点P， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 根据（2）证明，得， ∴， ∴． 99．（25-26八年级下·湖北黄冈·期中）如图，探究四边形中角的关系． (1)【探究】如图①，在四边形中，，，点，分别在边，上，，求证：． (2)【拓展】如图②，在菱形中，，点，分别在边，上，．若，求的大小． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据证明，可得结论； （2）作辅助线，构建全等三角形，证明，则，根据菱形的性质得：，推导出，可得结论． 【详解】（1）证明：如图①，在和中， ∵ ， ∴， ∴； （2）解：如图②，过点D作交延长线于点M，作交延长线于点N， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵四边形是菱形， ， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴． 100．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）小小的纸片，大大的世界．折纸是同学们十分喜爱的手工活动，通过灵巧的折叠，既能折出精巧别致的图案，又能在操作过程中感受蕴含其中的丰富数学知识． 小亮和小慧将一张边长为4的正方形纸片进行如下折叠操作，请你一起阅读并解决相关问题． 【活动】 小亮：如图1，折叠正方形，使与重合，得到折痕后展开再折叠，使得点A落在的点H上，连接． 小慧：如图2，在边上取点E（E不与A，B重合），连接，将沿翻折． 【理解】 (1)如图1操作，的周长是________． (2)如图2操作，点A的对应点恰好落到对角线上，则的周长是________； 【感悟】 (3)如图3，小慧继续将沿翻折，发现：、B、C三点能构成等腰三角形．请求此时线段的长； 【延伸】 (4)如图4，小慧又在边上取点F（F不与C、D重合），并将四边形沿翻折，使得点A的对应点恰好落在边上，记（为D的对应点）与的交点为G，连接，小亮和小慧探讨发现：线段与的长度之和，即存在最小值，请直接写出该最小值及此时线段的长． 【答案】(1)12 (2) (3)或 (4)的最小值为，此时线段的长为 【分析】（1）根据正方形的性质，折叠的性质，推出，即可求解； （2）根据勾股定理可得的长，再由折叠的性质得：，，可得的周长，即可求解； （3）分和两种情况进行讨论求解即可； （4）连接，，作，易得四边形为矩形，根据折叠性质得到，证明，得到，进而得到，作点关于的对称点，连接，连接交于点，则，，得到，得到当点在上时，即点与点重合时，，值最小，证明，得到，进而得到为的中点，设，则：，在中，由勾股定理，得：，求出的长，进而求出的长，证明，进行求解即可． 【详解】（1）解：由折叠的性质得：， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， 的周长． （2）解：∵四边形为正方形， ∴，， ∴， 由折叠的性质得：，， 的周长 ， ； （3）解：当时，此时落在的垂直平分线上， 如图，连接，则， ∴为等边三角形， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴， ， ∴； 当时，在上取点F，使，此时，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ； 综上所述，的长为或； （4）解：连接，，交于点，作，则：四边形为矩形， ∴，， ∵折叠， ∴，，，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 作点关于的对称点，连接，连接交于点，则：，， ∴， ∴当点在上时，即点与点重合时，的值最小，最小值为， 即的最小值为； 如图： ∵，，， ∴， ∴， ∴为的中点， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 期中真题百题过关（100题12大易错压轴题型） 题型导览 题型1 二次根式有意义的条件 题型2 二次根式混合运算 题型3 复合二次根式（比较大小） 题型4 勾股定理逆定理 题型5 勾股定理无图多解 题型6 立体图形最短路径 题型7 折叠+勾股（方程思想） 题型8 矩形折叠（求角度、线段、面积） 题型9 菱形性质（60°/120°、对角线垂直） 题型10 动点存在性（平行四边形/等腰/直角） 题型11 最值问题（将军饮马、垂线段最短） 题型12 旋转综合（正方形/等腰直角三角形） 题型1 二次根式有意义的条件题型汇总 1．（25-26八年级下·山西阳泉·月考）若代数式有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·辽宁抚顺·月考）若有意义，则这个式子的值为（    ） A．4 B． C．0 D．1 3．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·月考）已知，为等腰三角形的两条边长，且，满足，则此三角形的周长为（   ） A．10 B．11 C．10或11 D．12 4．（25-26八年级下·山东日照·月考）把式子中根号外的移到根号内得（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·山东淄博·月考）化简二次根式的结果是（   ） A． B． C． D． 题型2 二次根式混合运算 6．（25-26八年级下·河南三门峡·期中）计算： (1)； (2)． 7．（25-26八年级下·湖北黄冈·期中）已知 ， (1)求的值． (2)求代数式的值． 8．（重庆市杨家坪中学“教共体”2025--2026学年下学期半期学情监测八年级数学试题）在数学实践课上，老师给同学们展示了一种“根式裂项法”：对形如（为正整数）的式子我们可以利用平方差公式进行分母有理化： 请根据以上方法解决下列问题： (1)计算： ①______； ②______． (2)求出的值． (3)已知，求的值． 9．（25-26八年级下·福建福州·期中）[材料一]两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例如：，，我们称和互为有理化因式，和互为有理化因式． 问题1： (1)的有理化因式是______________（写出一个即可）； (2)的有理化因式是______________（写出一个即可）； (3)[材料二]如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子和分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． 问题2：利用分母有理化化简下列式子：； (4) [材料三]与分母有理化类似，将代数式分子和分母同乘分子的有理化因式，从而消去分子中的根式，这种变形叫做分子有理化．例如：； 问题3：试利用分子有理化比较和的大小． 10．（25-26八年级下·浙江舟山·期中）先阅读，再解答：由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：，请完成下列问题： (1)的有理化因式是_______； (2)化去式子分母中的根号：_______；（直接写结果） (3)利用你发现的规律计算下列式子的值：． 题型3 复合二次根式（比较大小） 11．（25-26八年级上·四川巴中·期末）问题情境： 如图，在中，，，，求的长度．小许同学利用勾股定理求出，老师告诉他：中，根号下含有根号，不是最简二次根式，还需要继续化简． 方法回顾： 小许回想到二次根式化简 ， ； 又， ； 所以将被开方式（数）化为完全平方式，就可以达到化简二次根式的目的． 方法应用： （1）_____； 问题解决： （2）_____； 方法迁移： （3）计算：． 12．（25-26八年级上·湖南怀化·期中）观察下列等式： 根据上述材料，解决下列问题： (1)化简：= (2)猜想： （，且为整数），并验证你的猜想． (3)计算： 13．（25-26八年级上·福建漳州·期中）阅读材料： （一）如果我们能找到两个正整数x，y使且，这样，那么我们就称为“和谐二次根式”，则上述过程就称之为化简“和谐二次根式”． 例如：． （二）在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 我们称这个过程为分母有理化． 根据阅读材料解决下列问题： (1)化简“和谐二次根式”：① _ ____；②______． (2)求的值 (3)设的小数部分为b，求证： 14．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）【阅读材料】对于形如的式子，我们可以通过完全平方公式将其变形为的形式，并进行化简，其中，． 例如：． 或找，满足，，易知，，所以． (1)化简：； (2)计算：； (3)计算：． 15．（25-26八年级上·广西来宾·期中）【阅读材料】小华在学习二次根式的时候，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ； ． 【类比归纳】 (1)请你仿照上面的方法将化成另一个式子的平方； (2)请你仿照上面的方法化简：； 【类比归纳】 (3)若，其中，且，，均为正整数，求的值． 题型4 勾股定理逆定理 16．（25-26八年级下·福建福州·期中）如图，在四边形中，，，，，连接，若，判断和的位置关系，并说明理由． 17．（25-26八年级下·湖北襄阳·月考）为准备每年一度的郁金香花展，公园现准备在一块四边形空地上种植郁金香，若，米，米，米，米．求四边形的面积； 18．（24-25八年级下·广西钦州·期中）如图，在中，，，，是的垂直平分线，分别交，于点，． (1)求证：是直角三角形； (2)求的长． 19．（25-26八年级下·江西赣州·期中）某公园是人们健身散步的好去处．小明跑步的路线如图，从点到点有两条路线，分别是和．已知，，点在点的正西方120m处，点在点的正北方60米处（即，，）． (1)求证：； (2)请通过计算比较这两条路线中，哪一条更长？ 20．（25-26八年级下·广东·期中）为贯彻《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的方针政策，帮助学生更好地理解劳动的价值与意义，培养学生的劳动情感、劳动能力和劳动品质，海口市某学校给八（1）班、八（2）班各分一块三角形形状的劳动试验基地． (1)当班主任测量出八（1）班试验基地的三边长分别为时，小明很快就给出这块试验基地的面积．请你写出完整的求解过程； (2)如图所示，八（2）班的劳动实验基地的三边长分别为，请帮助他们求出该实验基地的面积． 21．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）如图，在的网格中，每个小正方形边长为．请按要求作图，使得顶点均在格点上． (1)在图①中画，使得，； (2)在图②中画线段，使得，此时_________． 22．（25-26八年级下·广西南宁·开学考试）如图，某海监局P位于东西方向的海岸线上．“前行”号与“远方”号轮船同时离开海监局P，各自沿一固定方向航行，“前行”号每小时航行16海里，“远方”号每小时航行的速度是“前行”号速度的，它们离开海监局航行半小时后分别位于处，且相距10海里．已知“前行”号沿西南方向航行． (1)请问“远方”号沿哪个方向航行？ (2)若“前行”号继续沿原方向航行一个小时到达点M，“远方”号继续沿原方向航行1海里到达点G，则此时“前行”号与“远方”号的距离是多少海里？ 23．（25-26八年级上·河南南阳·期末）勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”．图1为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，把两个全等的直角三角形拼成如图1所示的形状，使点A、E、D在同一条直线上．利用此图的面积表示证明勾股定理． (1)如图1，，，直角边分别为a，b，斜边为c，请根据图1证明勾股定理 (2)如图2，，，，，，求阴影部分的面积； (3)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，使现测得千米，千米，千米，求新修路的长． 24．（25-26八年级下·广西南宁·开学考试）图1是某超市的购物车，图2为其侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，滚轮半径． (1)判断支架与的位置关系，并说明理由． (2)若购物车上篮子的左边缘D与点A的距离，，且，和都与地面平行，求购物车上篮子的左边缘D到地面的距离．（结果精确到） 25．（25-26八年级上·河北沧州·期末）如图，一条东西走向的公路一侧有一村庄，从村庄到公路原有两个出口，，其中，．由于暴雨导致到的小路路面塌陷，现已不通，该村为方便村民出行，决定在旁边新修一条小路（，，在同一条直线上），测得，． (1)从村庄到公路，请通过计算说明是否为距离最近的路； (2)求新修的路比原来的路短多少． 题型5 勾股定理无图多解 26．（22-23八年级下·河南周口·期中）已知a，b，c是的三边，且满足，则的形状是（   ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 27．（25-26八年级上·江苏南京·期中）已知等腰直角，，，平面内有一点，连接，若，，则的度数为__________． 28．（24-25八年级下·甘肃临夏·期中）已知一个直角三角形的两边的长分别是1和2，则第三边长为____． 29．（24-25八年级上·上海静安·期末）如果点P在y轴上，点A坐标是，且，那么点P的坐标是_________． 30．（24-25八年级上·山东菏泽·期中）直角三角形两边长分别为5和12，则斜边上的高为___________． 题型6 立体图形最短路径 31．（25-26八年级上·福建漳州·期中）如图，圆柱底面的周长为，高为，要在圆柱的侧面上过点和点镶嵌一圈金属丝，这圈金属丝的最短长度为______． 32．（25-26八年级下·宁夏吴忠·期中）如图，一只昆虫要从边长为的正方体盒子的一个顶点爬到相距最远的另一个顶点，沿盒子表面爬行的最短路程是______． 33．（24-25八年级上·四川眉山·期末）如图，长方体的长为，宽为，高为，点B到点C的距离为，一只蚂蚁如果沿着长方体的表面从点爬到点，蚂蚁需要爬行的最短距离为__________． 34．（25-26八年级下·山东临沂·月考）如图，四边形是长方形地面，在它中间有一长方体木条．若，，，一只蚂蚁从点爬到点，它必须翻过中间的木条，则它至少要走（   ）． A．11 B．12 C．13 D．14 35．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）运动展风采，筑梦向未来，为进一步贯彻“双减”政策，落实“五育”并举，学校组织了秋季田径运动会．如图是运动会的颁奖台，3个长方体颁奖台的长均为，宽均为，1，2，3号台的高度分别是，，．若一只蚂蚁从3号颁奖台的顶点处沿表面爬到1号颁奖台的顶点处，则蚂蚁爬行的最短距离为（   ） A． B． C． D． 36．（25-26八年级上·全国·期中）【问题情境】如图①，已知圆柱底面的周长为，圆柱的高为，在圆柱的侧面上，过上底面的点A和下底面上与点A相对的点C嵌有一圈长度最短的金属丝，下底面的点B在点A的正下方． (1)【操作发现】现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是 ．（填字母） (2)【变式探究】如图②，若将金属丝从点B沿圆柱侧面绕四圈到达点A，求所需金属丝的最短长度． (3)【拓展应用】如图③，现有一个长、宽、高分别为，，（即，，）的无盖长方体木箱．现在箱外的点A处有一只蚂蚁，箱内的点C处有一滴蜂蜜．请你为蚂蚁设计一条路线，使其能以最短的路程吃到蜂蜜，并求出此最短路程．木板的厚度忽略不计 37．（24-25八年级上·山西运城·期中）学科实践 【驱动任务】某校为推进素质教育发展，成立了科技模型社团．学期末，该社团将创作的作品邮寄给希望小学，让更多的同学感受科技带来的魅力．现需将不同的模型装入纸箱打包，然后邮寄． 【包装准备】 如图，根据模型的尺寸，现准备两种纸箱，第一种长方体纸箱，尺寸规格为；第二种长方体纸箱，尺寸规格为，其中该纸箱有两个扣手，尺寸规格为，并且扣手到所在面相对两条边的距离相等． 【问题解决】 (1)如图1，当使用第一种纸箱时，若从顶点A到顶点B需贴胶带，则胶带的最短长度为_______． (2)如图2，将两个第二种长方体纸箱捆绑在一起，现需要在点C和点D之间按照如图所示的方式拉一条绳子固定，请画出长度最短的部分展开图，并求这根绳子的最短长度．（提示：需考虑扣手的大小） 题型7 折叠+勾股（方程思想） 38．（25-26八年级下·浙江舟山·期中）如图，为等边三角形，且，点D是边AB上一动点，点E为AC边上一动点，若沿着直线DE翻折后，点A始终落在边BC上．若，则满足条件的a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 39．（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）如图，在长方形中，．将长方形沿折叠后，使点D恰好落在对角线上的点处，则的长为（   ） A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 40．（25-26八年级上·山西运城·期末）如图，在中，，，，点D是上一点，连接，将沿着折叠，使点C落在上的点E处，过点B作，交的延长线于点F，则的长为_________． 41．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）如图，在三角形纸片中，，，． （1）如图，在中，斜边长为_____． （2）如图，沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与的交点为E，则的长是_____． 42．（24-25八年级上·甘肃白银·期中）如图， 已知中，，，，点D是边上的一个动点．将沿所在直线折叠，点C的对应点为点E，若点E在边上，则的长度为_________． 43．（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，已知在中，，，，点D，E分别在边，上，连接，．将沿翻折，将沿翻折，翻折后，点B，C分别落在点，处，且边与在同一直线上，连接，当是以为腰的等腰三角形时，则____________________ ． 题型8 矩形折叠（求角度、线段、面积） 44．（22-23八年级下·广西河池·期中）如图，四边形是矩形，，把矩形沿直线折叠，点落在点处，、交于点，则与的面积之比是（） A． B． C． D． 45．（25-26八年级下·北京·期中）如图，长方形纸片中，，折叠纸片使边落在对角线上，点B落在点F处，折痕为，且，则的长为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 46．（25-26八年级上·福建漳州·期中）如图，长方形中，点、分别在、上，，，四边形沿翻折得到四边形，若点、、在同一条直线上，则的长为______． 47．（25-26八年级下·江苏·期中）如图，在矩形中，对角线和相交于点，，是射线上一点，将沿翻折得，当时，的度数为_____ ． 48．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，将矩形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为． (1)求证：； (2)若，，求的长． 49．（25-26八年级下·江苏·期中）如图，矩形中，，，E是边上一点（与C、D不重合）．四边形关于直线的对称图形为四边形． (1)若，与交于点F，求的面积； (2)如图，的延长线交于点P，设（），求的面积S．（用含x代数式表示） 题型9 菱形性质（60°/120°、对角线垂直） 50．（23-24八年级上·山东烟台·期中）如图，菱形的边长为2，，E是的中点，P是对角线上的一个动点，则的最小值是（　　　）    A． B． C．2 D．3 51．（23-24九年级上·宁夏银川·期中）如图，在菱形中，，，，分别是，的中点，，相交于点，连接，，有下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 52．（23-24八年级下·江苏扬州·月考）如图，在菱形纸片中，，是边的中点，将菱形纸片沿过点的直线折叠，使点落在直线上的点处，折痕为，与交于点．有如下结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是________． 53．（23-24八年级下·广东汕头·期中）如图，菱形中，，，，分别是，上的点，，连接，则的面积最小值是______． 54．（24-25八年级下·山东烟台·期中）在菱形中，，点分别是边上的点． 【尝试初探】 （1）如图1，若，求证： 【深入探究】 （2）如图2，点分别是边上的点，连接与相交于点O且，求证： 55．（23-24九年级上·陕西宝鸡·期中）如图，在菱形中，，点E，F分别在上，且． (1)求证：； (2)判断的形状，并说明理由． 56．（22-23八年级下·江西上饶·期中）【问题情境】 （1）数学探究课上，某兴趣小组探究含角的菱形的性质．    如图1，菱形的边长为，，则______，______． 【操作发现】 （2）如图2，在图1的基础上，小贤在菱形的对角线上任取一点P（点P不与点B重合），以为边向右侧作菱形，且，连接． ①求证：； ②随着点P位置的改变，的度数是否发生变化？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由． 【拓展延伸】 （3）在（2）中，连接，若，求此时的长． 57．（23-24八年级下·浙江台州·期中）已知菱形中，，点E在边上，作，与相交于点F．与对角线分别相交于点H，G． (1)如图1，当点E是中点时， ______； (2)如图2． ①求证：； ②的值是否为定值？如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由． 58．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图1，已知四边形是菱形，，点在菱形的对角线与上，的两边分别交边、于点、，且． (1)求证：； (2)如图2，若，过作交于点，过作交于点，连接、．求证：四边形是矩形； (3)如图3，在(2)的条件下，当点为中点时，为延长线上一点，为延长线上一点，连接、，为中点，连接、、，若，，四边形的周长为，，求矩形的面积． 59．（23-24八年级下·北京·期中）在菱形中，，动点在直线上运动，作，且直线与直线相交于点点到直线的距离为． (1)证明：； (2)若在线段上运动，求证：； (3)若P在线段上运动，探求线段的一个数量关系，并证明你的结论． 题型10 动点存在性（平行四边形/等腰/直角） 60．（25-26八年级上·江西赣州·期中）如图，已知正方形中，边长为，点E在边上，．如果点P在线段上以的速度由B点向点C运动，同时点Q在线段上以的速度由点C向点D运动，设运动的时间为t秒． (1)________，________；（用含t的代数式表示） (2)若以E，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等，试求a的值． 61．（24-25八年级下·重庆巴南·期末）如图，在矩形中，点为直线上一动点，连接，作等腰直角三角形，使，．       (1)如图1，若，，，求四边形的面积； (2)如图2，若点为线段的中点，且，连接，试探究线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，连接，若，．请思考是否存在最小值，若存在，请直接写出的最小值，若不存在，请说明理由． 62．（24-25八年级下·云南昆明·期中）如图，在四边形中，，，，，点从点出发，以/的速度向点运动；点从点同时出发，以/的速度向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为． (1)____________，____________（用含的代数式示）； (2)在整个运动过程中是否存在值，使得四边形是矩形？若存在，请求出值；若不存在，说明理由． 63．（24-25八年级下·河北唐山·期中）在四边形中，，，，，，点从点以的速度向点运动，点从点以的速度同时向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为秒． (1)求为何值时，四边形是平行四边形？ (2)求为何值时，四边形是矩形？ (3)在整个运动过程中，_________（答“存在”或“不存在”）t值，使得四边形是菱形； (4)若只改变线段的长度，其余条件都不变，在整个运动过程中，当四边形是正方形时，请你求出的值和线段的长度． 64．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，在四边形中，，，，，．点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动． (1)从运动开始，求使需经过多少时间？ (2)连接，是否存在为等腰三角形？若存在请求的值，若不存在，说明理由． 65．（22-23八年级下·广西南宁·期中）如图，在中，，，点从点出发沿方向以的速度向点匀透运动，同时点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点，运动的时间是秒．过点作于点，连接，．    (1)直接写出___________，___________．（用含的式子表示出来） (2)四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的值，如果不能，说明理由； (3)当为何值时，为直角三角形？请说明理由． 题型11 最值问题（将军饮马、垂线段最短） 66．（24-25八年级下·湖北黄冈·期中）如图，菱形中，，，E、F分别是、上的动点，且，则的最小值为（   ） A．4 B． C． D． 67．（24-25八年级下·辽宁铁岭·期中）如图，正方形的边长为12，点E在AB上，且，点F是上一动点，则的最小值是（    ） A．15 B． C． D．12 68．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）已知菱形的边长为2，且，M是对角线上一动点，的最小值为______． 69．（24-25八年级下·福建厦门·期中）如图，四边形是矩形，，，点P是边上一点（不与点A，D重合），连接，．点M，N分别是，的中点连接，，，点E在边上，，则的最小值是___________． 70．（24-25八年级下·广东东莞·期中） 如图，在边长为2的菱形中，，E为的中点，F是上的一动点，则的最小值为______． 71．（25-26八年级下·河南·月考）如图，直角坐标系中，O为原点，已知点、，点M，N在线段BO上，．将沿x轴向左平移个单位长度，得到． (1)当时，点D的坐标为________，点E的坐标为________； (2)已知四边形的面积为36，求a的值． (3)在（2）的条件下，连接，则四边形周长的最小值是________． 72．（23-24八年级下·重庆沙坪坝·期中）正方形对角线，相交于点，为线段上一点，连接． (1)如图，若，，求的长度； (2)如图，为上一点，连接，为上一点，连接，，若，，，求证：； (3)如图，若正方形边长为，延长交于，在上截取，连接交于，连接交于，连接，直接写出的最小值． 73．（24-25八年级下·广东·期中）如图1，两个正方形和共一个直角顶点，连接、交于点，连接、、、． (1)当，时， ①作图：请在图1中分别取、、的中点、、（不要求尺规作图），并直接写出和的关系：______； ②若，求此时的长； (2)当，求的最小值． 题型12 旋转综合（正方形/等腰直角三角形） 74．（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·月考）问题背景：已知共一个顶点的正方形和正方形，连接，取的中点P，连接，．探究，的数量关系与位置关系． 实践操作：如图①，小明旋转正方形，使正方形的顶点G落在正方形的边的延长线上．通过延长交于点Q，证． 是________三角形，和和数量关系是________，和和位置关系是________． 问题探究：如图②，小亮旋转正方形，使正方形的顶点E落在正方形的边的延长线上，此时线段，还有图①中的关系吗？请证明你的猜想． 拓展延伸：如图③，小红将正方形绕点旋转任意角度后，其他条件不变．线段，还有图①中的关系吗？请证明你的猜想． 75．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，正方形、正方形，连接，取的中点H，连接、． (1)【尝试探究】如图1，当点D落在上时，则______； (2)【深入探究】如图2，将正方形绕着点C旋转至点F落在的延长线上．求证：； (3)【拓展应用】如图3，继续将正方形绕着点C旋转，连接交于点P，连接，若点P为的中点，的面积为2，则线段的长为______． 76．（24-25八年级上·广西柳州·期中）如图，在矩形中，，对角线相交于点，对角线所在的直线绕点顺时针方向旋转，旋转中，直线分别交于点，将四边形沿直线折叠得到四边形，其中线段交于点． (1)如图1，探究出与的数量关系为____________； (2)如图2，连接交于点． ①证明：； ②当时，求证：； (3)深入研究，当时，请直接写出的长． 77．（2024·辽宁大连·模拟预测）【问题呈现】 如图1，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点旋转，旋转过程中，的两边分别与正方形的边和交于点E、F（点F与点C，D不重合）．探索线段之间的数量关系． 【问题初探】 （1）爱动脑筋的小悦发现，通过证明两个三角形全等，可以得到结论．请你写出线段、、之间的数量关系，并说明理由； 【问题引申】 （2）如图2，将图1中的正方形改为的菱形，，其他条件不变，请你帮小悦得出此时线段、、之间的数量关系是 ； 【问题解决】 （3）如图3，在（2）的条件下，当菱形的边长为8，点P运动至与A点距离恰好为7的位置，且旋转至时，的长度为 ． 78．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）【链接教材】 （1）如图1，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为1，四边形为两个正方形重叠部分，正方形可绕点O转动． 则下列结论正确的是________（填序号即可）： ①； ②； ③四边形的面积总等于； ④连接，总有． 【类比迁移】 （2）如图2，矩形的对角线的交点O是矩形的一个顶点，与边相交于点E，与边相交于点F，连接，矩形可绕着点O旋转，猜想之间的数量关系，并进行证明； 【拓展应用】 （3）①将n个边长都为的正方形按如图3所示的方法摆放，点分别是正方形的对角线的交点，则2026个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为_______． ②如图4，在中，，，，直角的顶点D在边的中点处，它的两条边和分别与直线相交于点E，F，可绕着点D旋转，当时，则的长度为________． 过关检测 79．（25-26八年级下·湖北黄冈·期中）下列各式中属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 80．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）已知a是正整数，且的值是整数，则正整数a所有可能的值的和为（   ） A．136 B．131 C．100 D．94 81．（25-26八年级下·安徽淮北·月考）能使等式成立的的取值范围是（   ） A． B．且 C． D． 82．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）实数在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 83．（25-26八年级下·福建福州·期中）下列各式为最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 84．（23-24八年级上·河南驻马店·期末）若与最简二次根式能合并，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 85．（24-25八年级下·福建福州·期中）如图，从一个大正方形中截去面积分别为8和18的两个小正方形，则图中阴影部分面积为（    ） A．50 B．22 C．24 D．26 86．（25-26八年级上·湖南永州·期中）已知：，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A． B． C． D． 87．（25-26八年级下·安徽淮北·月考）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间（单位：）和高度（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响）．设从高空抛物到落地所需时间为，从高空抛物到落地所需时间为，则的值为（   ） A． B． C． D． 88．（25-26八年级下·河南三门峡·期中）下列四组数中，是勾股数的是（    ） A．，， B．5，12，13 C．1，， D．9，15，17 89．（25-26八年级下·福建福州·期中）如图，一棵大树在离地处折断，树的顶端落在离树干底部处，那么这棵树的高度是（   ） A． B． C． D． 90．（25-26八年级上·重庆大渡口·期末）如图，在三角形纸片中，，，，沿过点的直线将纸片折叠，使点落在上的点处，折痕交于点，再折叠纸片，使点与点重合，折痕交于点，交于点，则的长度为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 91．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点都在格点上，以为圆心，的长为半径画弧，交于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 92．（25-26八年级上·山东青岛·期中）如图，图是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理时的青朱出入图，图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等．朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．探究学习中，标上字母绘成图所示，若记朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为，已知，，则图中的阴影部分面积为（     ） A．20 B．21 C．22 D．24 93．（25-26八年级上·广东深圳·期中）一艘轮船从A港向南偏西方向航行到达B岛，再从B岛沿方向航行到达C岛，A港到航线的最短距离是．则岛和港之间的距离（   ） A． B． C． D． 94．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）如图，中，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点，交的延长线于点，若，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D． 95．（25-26八年级下·内蒙古通辽·期中）如图．在中，，动点M，N分别在边上，且，以为边作等边，使点P始终在的内部或边上，当的面积最大时，的长为_____． 96．（25-26八年级下·河南三门峡·期中）如图，是矩形的对角线的中点，是边的中点若，，则线段的长为________． 97．（25-26八年级下·河南三门峡·期中）如图，在中，，过上一点作，交于点，以为顶点，为一边，作，另一边交于点． (1)求证：四边形为平行四边形． (2)当点为的中点时，判断四边形的形状，并说明理由． 98．（25-26八年级下·福建福州·期中）点在正方形的边上，点在上，连接、． (1)如图1，求证：； (2)如图2，过点作的垂线交于，交的延长线于，求证：； (3)在（2）的条件下，若，求的长． 99．（25-26八年级下·湖北黄冈·期中）如图，探究四边形中角的关系． (1)【探究】如图①，在四边形中，，，点，分别在边，上，，求证：． (2)【拓展】如图②，在菱形中，，点，分别在边，上，．若，求的大小． 100．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）小小的纸片，大大的世界．折纸是同学们十分喜爱的手工活动，通过灵巧的折叠，既能折出精巧别致的图案，又能在操作过程中感受蕴含其中的丰富数学知识． 小亮和小慧将一张边长为4的正方形纸片进行如下折叠操作，请你一起阅读并解决相关问题． 【活动】 小亮：如图1，折叠正方形，使与重合，得到折痕后展开再折叠，使得点A落在的点H上，连接． 小慧：如图2，在边上取点E（E不与A，B重合），连接，将沿翻折． 【理解】 (1)如图1操作，的周长是________． (2)如图2操作，点A的对应点恰好落到对角线上，则的周长是________； 【感悟】 (3)如图3，小慧继续将沿翻折，发现：、B、C三点能构成等腰三角形．请求此时线段的长； 【延伸】 (4)如图4，小慧又在边上取点F（F不与C、D重合），并将四边形沿翻折，使得点A的对应点恰好落在边上，记（为D的对应点）与的交点为G，连接，小亮和小慧探讨发现：线段与的长度之和，即存在最小值，请直接写出该最小值及此时线段的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $