第六、七、八章章末综合检测-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 高中数学第六、七、八章单元复习卷，覆盖复数、向量、立体几何、解三角形等核心知识，通过基础巩固、能力提升到综合应用的梯度设计，融合数学眼光、思维与语言，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|复数运算、圆锥体积、解三角形|基础巩固，落实抽象能力与几何直观| |多选|3/18|复数性质、直三棱柱体积|能力提升，体现推理意识与空间观念| |填空|3/15|投影向量、正三棱台外接球|创新应用，发展数学建模与空间想象| |解答题|5/77|复数纯虚数、二面角计算、解三角形最值|综合探究，强化运算能力与模型意识，贴合高考命题趋势|

第六、七、八章章末综合检测 参考答案 选择题 题号 1 2 3 4 6 > 8 9 10 11 答案 B A y A ABD ABD ACD 一，单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 1蜘复故：名则：=《) A.-2 B.2 c.2 D.-V2 2 【解析】Bz= 21+i 1-i(1-i)(1+i =1+i, 则z=1-i, 所以z·z=(1+i(1-i)=2 2.已知a=(-1,1),b=(1,-2),若2a+b1(a-kb),则实数k的值为() A.-1 B.-2 C.1 D.2 【解析】A因为a=-1,1),b=1,-2）, 所以2a+6=2(-1,1)+(1,-2）=(-1,0), a-kb=（-1,1-k1,-2=-1-k,1+2k), 若(2a+b1(a-kb),则2a+ba-kb)=1+k=0, 解得k=-1 3.已知圆锥的表面积为8元，且它的侧面展开图是一个圆心角 2π的扇形，则这个圆锥的 体积为() A5元 3 B.2π C 3 D.3π 【解析1C设圆锥的每线为1，底面半径为r,高为，所以有2-2解得1=3， 13 又圆锥的表面积为S=π1+πr2=4π2=8π，解得2=2，即r=√2， 第1页共19页 所以h=VP-产=22r=4,所以圆锥的体积为P=号rh=}x×2×4=8π 1 3 3 3 4在ABC中，角A,B,C对边分别为a,b,C,若a=2V5,b=6,A=30,则 C=() A.30° B.60 C.30或90° D.60°或120° 2W36 【解析】C因为a=2√3，b=6,A=30°，由正弦定理得1sinB, 2 所以sinB= 2 ,所以B=60°或120°， 则C=30°或90° 5图，在ABC,∠BMC-牙A0=2DB,P内CD上一点，且满起 AP=m4C+AB,若AC=3,AB=22,则AP.CD值为() 17 A. 12 B21 4 13 12 D、19 12 【解析】D由条件可知，AP=mAC+AB=mAC+三AD, 湖m+}1,即m-子则亚-C+分西。 CD-AD-AC-2AB-AC. 所以亚.D-传c+号-衣-6-4c号花。 ×8一×9一 4 -×3x22x5-19 212 6.在正三棱柱ABC-AB,C中，AA=V3,AB=L,M是BB,中点，N是CC的中点，则 第2页共19页 异面直线AN与AM所成角的余弦值为() A B. c分 D. 7 3 4 7 【解析】A因为ABC-AB,C是正三棱柱，且A4=V5,AB=1 取AA,中点为E,连接BC,则EC∥AN,EB,∥AM, B B 则异面直线AN与AM所成角为∠BEC或补角 又EB, 2 cC.. 7.716 由余弦定理知：cos∠BEC=EB+EC2-BC =444 1 2.V7V7 7 三一 2EB,·EC 22 因异面直线的夹角是锐角或直角，所以异直线4N与4M所成角的余弦值为 7.如图，一个正三棱柱形容器中盛有水，且底面边长和侧棱长都为，若侧面AAB,B水平 放置时，液面高为√，若底面ABC水平放置时，液面高为3，则a=() B A A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】D记侧面AA,B,B水平放置时，液面与AC,BC,AC,BC分别交于 D,E,F,G, 第3页共19页 AB的中点为H,连接C,H交GF于点I,△A,B,C,的面积为S, 由题可知，=√3，则 CI CH-32 a-v3 a-2 CH CH 2 所以S.cr S,则梯形ABFG的面积为 s(s 所以直棱柱ABED-A,B,FG的体积为 -- 又底面ABC水平放置时，液面高为3，所以液体体积为3S, a-2 所以a-aa) =3S,解得a=4 E B B 8.在等边三角形ABC的三边上各取一点D,E,F,满足DE=3,DF=2√5， ∠DEF=90°，则三角形ABC的面积的最大值是() A.73 B.133 c D. 3 【解析】A因为DE=3,DF=2√3，∠DEF=90°，所以 EF=DF2-DE2=3 第4页共19页 D E 则∠BDE= 2π-9，∠CEF=T-0,∠CFE= 元_（元-0 32 +0， 2 6 BE 3 BE DE =2V3 在BDE中由正弦定理 3 sin∠BDE sin B ,即sin2r-0 sin 3 2 所以BE=2√3si (2r-0, 3 CE CE EF 5 在△CEF中由正弦定 =2 sin∠CFE-sinC,即 sin 3 6 2 所以CE=2sin +0 6 所以BC=BE+CE=23sin1 =25smw0-cs号 sin0+2 sin-cos0+cossin0 π 6 6 =25sin0+4cos0=2V7sin(0+p）(其中tan0 25) 3 所以BCmx=2V7, 则Se-号Bcsm-5aCs51=75. 34 4 即三角形ABC的面积的最大值是7√3 二，多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题月要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知复数Z1,22,其共轭复数分别是，三2，下列说法正确的有(） 第5页共19页 A.2=z2 B.若=Va,则=+a(a>0)是实数 C=,则，= D.z=的充分不必要条件是乙是实数 【解析】ABD对于A项，设z,=x+i,z2=a+bi,其中x,y,a,b∈R,所以 2,=a-bi,2=x-yi, 所以z,22=x+yia-bi)=ax+by+ay-bx)i, 可得 =Max+by)'+(ay-bx)2=Va'x2+by+a'y+b'x2 =Ma+b)(x2+y2), 而国=V2+y严，=a2+B2,因此满足3=国小，所以A正确 对于B项，设=x+yix,y∈R),则 =x+i+a.=x+ ax y x++y2 x+y 又因z=Va,则x2+y2=a,则z2=2x,所以B正确 对于C项，因为2=2云=22，若=0，不成立，故C错 对于D项，设z1=x+yi(x,y∈R),则=x-i 因为z2=2,所以x2+2yi-y2=x2-2i-y2,即xyi=0,所以y=0 所以y=0时，z=z2,因此充分性成立； 当=，满足z=，但此时乙为纯虚数，即必要性不成立；故D正确 10.如图，在直三棱柱ABC-ABC,中，AA=3,AB=BC=2,AB⊥BC,AC与AC相 交于点O,点E是侧棱BB,上的动点，则下列结论正确的是() 第6页共19页 A.直三棱柱ABC-ABC的体积是6 B.三棱锥O-AA,E的体积为定值 C.AE+EC的最小值为V13 D.直三棱柱ABC-AB,C的外接球 表面积是17π 【解析】ABDA选项，直三棱柱ABC-AB,C中，AA=3,AB=BC=2,AB⊥BC, 1 所以SA4Bc=AB·BC=2,直三棱柱ABC-AB,C的体积是 S4Bc·AA=2×3=6,A正确： B选项，矩形ABB,A,的面积为S=2×3=6, 当E是侧棱8B,上运动时，S44=S=3为定值。 2 又点O到平面ABB,A的距离为定值，故三棱锥O-AA,E的体积为定值，B正确： C选项，将矩形BCCB与矩形ABB,A,展开到同一平面内，如图所示， 连接AC,与BB,相交于点E, 故AC的长即为AE+EC的最小值，故最小值为 VA,A2+AC=V32+(2+22=5, B B AE+EC的最小值为5，C错误： D选项，将直三棱柱ABC-AB,C,补形为长方体ABCD-AB,CD, 第7页共19页 则长方体ABCD-ABCD,的外接球即为直三棱柱ABC-ABC的外接球， C D D ----B 故外接球的半径为)V22+22+3- 2 表面积为4π 17 ）3 =17π，D正确， 、2 11.在ABC中，已知∠A=60°，AB=3,AC=2,且D为BC边上一点，则下列说法 正确的是（) AABC的外接圆半径R=V 3 B.若AD是BC边上的高，则AD=2V2 C若AD是∠A的平分线，则AD=V5 D若BD=2DC,则4D=37 3 【解析】ACD对于A,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·ACc0SA =32+22-2×3×2c0s60°=7， 所议BC=7,散正弦定理4BC的外接圆半径R三.C=V7V21 2sin B 2x53,故 2 A正确： 对于B,若AD是BC边上的高，则片AB.ACsin=BCAD, 2 第8页共19页 所以HD=4 :ACsind.3×2x5 2=3V21,故B错误； BC 7 7 对于C,若AD是∠A的平分线，则∠BAD=∠CAD= 则由SBc=SBD+S.can得)AB.ACsin A=} AB.AD sin 2 AC.4Dsin A 型Lx3x2xn093x0sm30f2×40s0→069，亚 2 2 5 正确； B D 对于D,因为BD=2DC,所以 而=B+8D=B+号8cB+ac-+号C, 4 37 ×32+-×22+×3×2c0s60°= 9 9 所以AD=37 故D正确。 三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.若向量a=(1,2),万=(-1,1)，则向量a在五上的投影向量为 【解析】因为向量a=(1,2),b=（-1,1, 则向量ā在b上的投影向量为 b1-1 13.已知正三棱台（由正三棱锥截得的棱台）的高为3，上、下底面边长分别为√3和2√3，其 第9页共19页 顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 【解析】如下图所示： B B 在正三棱台ABC-ABC,中，取上、下底面中心分别为O,O,外接球球心为0， 由正三棱台性质可知0在OO,上， 易知上、下底面边长分别为√5和2√5的正三角形，其外接圆半径分别为r,R: 可得2r= √3 ,2R=23 即r=1,R=2； sin60 sin60° 即AO2=1,A0=2, 又OO2=3,设00=x,则x2+22=(3-x)2+12,解得x=1: 所以外接球半径为V?+22=√5， 可得则该球的表面积为4πV5=20元 14.在锐角ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,S为ABC的面积，且 45=V5[a2-(b-c],则+c的取值范围为 bc 【解析】在锐角ABC,由余弦定理可知2 bccos A=b2+c2-a2, 由面积公式可得S。ABc=亏bcsin A,代入到已知条件可得 4x-be.sin 4=ab-e+2bc)2bc.sin A=-2be-cos 4+2bc], 因为bc≠0，化简可得sinA=-V3cosA+√5，所以sinA+√3cosA=√3， ,π√3 根据恒等变换可得sinA+。 1+3F2 ,因为锐角ABC, 所以0<4<行则肾<4+子<所以可得4+于-经，耳A=号 3 36 33 3 第10页共19页 所以simA= 2.cos4=1 sin B _sin(4+C)sin AcosC+cos AsinC 11 c sinC sin C sinC 2 tan C 2 因为角48C,所以0<C<受，0<B-2-C< 3 则爱<C<分又ar在0号 单调递增， 2 则c0间.=名5日C+片所以：e c 2 tanC 2 所以+c-b+=1+ bc c b t 由对勾函数的单调性知y=1+二在 单调递减，在(1,2单调递增， 当t=1时，取到最小值y=2,当1=)或t=2时，最大值y= 四.解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.已知复数z=3+bi(b∈R),且(1+3i)·z为纯虚数. (1)求复数z; (2)若0= ，求复数⊙的模回 2+i 【解析】(1)由题意得(1+3i)·(3+bi)）=(3-3b)+(9+b)i, :(1+3i)·z是纯虚数， 3-3b=0 9+b≠0’b=1,z=3+i. 2)0=,2=3+i-3+i0(2-0=7-i7 i. 2+i2+i(2+i)(2-i)555 第11页共19页 =+3=5 16.已知向量a=(m,1,b=（-1,2),c=(3,-1) (1)求6与乙的夹角： (2)若a⊥)，求a-2b)c的值： (3)若4a+c石，求实数m的值 6.c-1×3+2×-1_V2 【解析】(1)设6与C的夹角为0，则cosa= 羽 √5×V10 2， 因为0≤a≤元，所以a=3n 4 (2)因为a⊥b,所以ab=-m+2=0,所以m=2, 所以a-2b=(2,1)-2(-1,2)=(4,-3), 所以(a-2b)c=4×3+(-3)×-1=15. (3)4a+c=4m,1+3,-1=4m+3,3). 因为4a+6,所以(4m+3)×2=3x-1),解得m=-9 17.如图，己知四棱锥A-BCDE中，底面BCDE是直角梯形，侧面ABC是正三角形， BE∥CD,BE⊥平面ABC,CD=2EB,F是AC的中点 D (1)求证：BF∥平面ADE; 2)若ABC的边长为，V0=3 -,求二面角B-DE-A的余弦值 4 【解析】(1)取AD的中点G,联接GE,FG 第12页共19页 1 因为F,G是中点，所以FG/CD,且FG=二CD 又因为BE/CD,CD=2EB, 所以平行公理四知FG//BE,且FG=BE 所以FGEB是平行四边形，所以BF//GE, 又BF丈平面ADE,GEc平面ADE,所以BF/I面ADE (2)因为BE//CD,BE⊥平面ABC,BEC平面BCDE,所以平面ABC⊥平面 BCDE 取CB的中点H,连结AH 又因为正ABC的边长为1，且V4-BCDE= 3 ,CD=2EB,设EB=a. 4 B x(BE+CD)-BC.Mx(a+2a)x 所以VA-BcDE=4=32 3,所以a=1. 32 过点H作HK⊥DE与点K, 因为ABC为正三角形，所以AH⊥BC, 又平面ABC⊥平面BCDE,平面ABC∩平面BCDE=BC,AHC平面ABC, 所以AH⊥平面BCDE,又DEC平面BCDE,所以AH⊥DE, 所以∠AKH为二面角B-DE-A的平面角为O 第13页共19页 易知DE=V2-1+P-V5,4H=5,梯形面积 SBCDE=S.HBE +SHCD+SHDE 所以311 11 ×1+ 2 22 ×2+2×V2HK,解得孤=3V2 22 2 4 ,所以cos0=K-西 AK 5 18.在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,C,满足 a(3sin B+cosB)=b+c. (1)求角A. (2)D为边BC上一点，且AD=2. ①若BD=2DC,求当BC取最小值时S的值： ②若AD为角平分线，求AB+3BD的取值范围. 【解析】(1)：a√3sinB+cosB=b+c, ∴.由正弦定理得：sin 43sinB+cosB=sinB+sinC, 展开得：V3 sin Asin B+sin Acos B=sinB+sinA+B), V3 sin Asin B=sinB+sin BcosA,而B∈(0，π)，sinB≠0， 故V3sinA-cosA=l, 2m4-1.m(4引 A∈(0，π，故∠A= (2)① B 第14页共19页 BD =2DC, :AD=AB+BD=AB+名BC =+c-西到 西号c. -s+号cj 9 1 24 =。AB+AC+。ABAC 9 9 :AD=2, :4=c2+4b+2bc, 4 2 9 9 9 根据余弦定理：BC2=b2+c2-2bc·cos 3 36b2+c2-bc ..BC2=b2+c2-bc= 4b2+c2+2bc gj b 令1=>0， b 则BC 36(2-t+1 t2+2t+4 =361- 3 3 t+1+ -9 t+1 3 则当且仅当t+1= 时等号成立， t+1 解得：t=√3-1时， :=5-1时，BC取最小值。 b 第15页共19页 ② B D :AD为∠ADB的角平分线 AD BD AB 在△ABD中，由正弦定理得 sin B sin∠BAD sin∠ADB BD AB 即sinB 1 2 sinB 6 2sinB+ .BD= sin B'AB=- 6 sin B 2sinB+r） +3 6 4cosB+2sin ∴.AB+3BD= 3sin B+cosB+3=3+ 2 2 sin B sin B 2sin 2 2 B 3+2Rttan tan 2· 2 x8号a引m2eo 2 tan- B 221 tan ,当且仅当a B=√2时等号成立， 2 故AB+3BD∈[2V2+V3,+∞ 19.如图，三棱柱ABC-AB,C中，A在底面ABC内的射影为ABC的外心O,且 ∠AAB=60°，AB=AC,BC=a,三棱柱的侧面积为2√5a2 第16页共19页 A B (1)求证：AA⊥BC; (2)求三棱柱ABC-AB,C,的体积； (3)分别求二面角B-AA-C和二面角A-BB,-C的大小 【解析】(1)连接AO并延长交BC于D.如图①所示， 因为A在底面ABC内的射影为ABC的外心O, 且AB=AC,即ABC为等腰三角形， 所以AO⊥平面ABC,AO⊥BC,D为BC的中点， 因为BCC平面ABC, 所以AO⊥BC, 因为AO,AOc平面AA0,且A,0∩A0=0, 所以BC⊥平面AAO, 因为AACAA0, 所以AA⊥BC (2)由题意可知，BC⊥AA,∠AAB=60°，AB=AC,BC=a, 在三棱柱ABC-AB,C中，AB=AC=AB,=AC,AA=BB,=CC, AA //BB /ICC, 所以四边形ABB,A,与四边形ACC,A全等， 所以∠AAC=60°，BC⊥BB,AB=AC=AA=BB=CC 设AB=AC=AA=BB,=CC=x, 第17页共19页 因为三棱柱的侧面积为2√3a2, 所以r'x 2a 2×2+ax=2V3a2,解得x= 2 5 即AB=AC=AM=BB=CC,万， 2a 4a24a2 在ABC中，由余弦定理得cOs∠CAB=4C+AB2-BC =33 -a25 2AC·AB 2a.2a 2× 8 所以sin∠CAB=V39 BC in∠CABV39,即0A= BC 4a 由正弦定理得2OA= sin∠CABV39 所以三棱柱的高A0=√A42-AO2= 4a216a2 6a V33939 所以三棱柱ABC-ABC的体积为 12a2a 6a a' VABC-ABG S.ABCX AO=x -X =xsin∠CAB× 2V3 V392 (3)取AA,中点M,连接MB,MC,如图②所示， 由(2)可知，AB=AC=AA=BB,=CC= 3’∠4AB=60°， 2a 所以△ABA,△ACA均为等边三角形， 所以BM⊥AA,CM⊥AA,AM=a 即BM=CM=a, 所以△MBC为等边三角形， 所以二面角B-AA-C即为∠BMC=60°， 延长BB至E点，过A作AE⊥BB,延长CC至F,使得CF=BE,连接 第18页共19页 AE,AF,EF,即四边形CBEF为矩形，EF⊥BB, 因为∠B,BA=∠CCA=120°， 所以∠ABE=∠ACF=60°，即AF=AE=a, 故△AEF为等边三角形， 所以二面角A-BB,-C为∠AEF=60° C A B 2二--- D A A 图① 图② E 第19页共19页 第六、七、八章章末综合检测 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷（选择题58分） 一．单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则（ ） A. B. 2 C. D. 2. 已知，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 2 3. 已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则这个圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 4. 在中，角，，对边分别为，，，若，，，则（ ） A. 30° B. C. 或 D. 60°或120° 5. 如图，在中，，，为上一点，且满足 ，若，，则值为（ ） A. B. C. D. 6. 在正三棱柱中，是中点，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，一个正三棱柱形容器中盛有水，且底面边长和侧棱长都为，若侧面水平放置时，液面高为，若底面水平放置时，液面高为3，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 在等边三角形的三边上各取一点，，，满足，，，则三角形的面积的最大值是（ ） A. B. C. D. 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，其共轭复数分别是，下列说法正确的有（ ） A. B. 若，则是实数 C. ，则 D. 的充分不必要条件是是实数 10. 如图，在直三棱柱中，与相交于点，点是侧棱上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 直三棱柱的体积是6 B. 三棱锥的体积为定值 C. 的最小值为 D. 直三棱柱的外接球表面积是 11. 在中，已知，，，且为边上一点，则下列说法正确的是（ ） A. 的外接圆半径 B. 若是边上的高，则 C. 若是的平分线，则 D. 若，则 3. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若向量，，则向量在上的投影向量为_________. 13. 已知正三棱台(由正三棱锥截得的棱台)的高为3，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_________. 14. 在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，则的取值范围为_________. 4. 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，且为纯虚数． （1）求复数； （2）若，求复数的模. 16. 已知向量，，. （1）求与的夹角； （2）若，求的值； （3）若， 求实数的值. 17. 如图，已知四棱锥中，底面是直角梯形，侧面是正三角形，平面是的中点. （1）求证：平面； （2）若的边长为，求二面角的余弦值. 18. 在中，角，，所对的边分别为，，，满足． （1）求角． （2）为边上一点，且． ①若，求当取最小值时的值； ②若为角平分线，求的取值范围． 19. 如图，三棱柱中，在底面内的射影为的外心，且，，三棱柱的侧面积为. （1）求证：； （2）求三棱柱的体积； （3）分别求二面角和二面角的大小. ( 第 1 页 共 19 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $