章节测评卷(一)测试范围：平面向量及其应用-【数理报】2025-2026学年高一数学必修第二册期末复习专号升级突破大模拟（人教A版）

高中数学必修第二册 章节测评卷（一） 测试范围：平面向量及其应用 ©数理报社试题研究中心 第I卷选择题（共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1.(3a+b+c）-(2a+b-c）= 高 4b+2c b+2c 1 (A)a- (B)5a- 数 必 (cu+36+2c (D)5a+ 2.在△4BC中，C=90°，AB=(k,1),A元=(2,3)，则实数k= 册 (A)5 (B)-5 (c (D)- 3 教 3.如图1，已知A店=a,AC=b,D元= A 3BD,AE=2EC,则DE= 版 著 (A)ib-ga (B) 4 B D 图1 (C)a- (D) 3 4.已知向量a=(2,n),b=(m,3),若a-b=(-2,-4),则 向量a在向量b上的投影向量为 (A)1 (B) 5 (C)(4,3) D(等) 5.根据气象部门提醒，在距离某基地正北 北 热带风暴中心 方向588km处的热带风暴中心正以21km/h 45 的速度沿南偏东45°方向移动（如图2），距离风 暴中心441km以内的地区都将受到影响，则该 基地 Y南 基地受热带风暴中心影响的时长为 ( ) 图2 (A)7h (B)14h (C)(142-7)h (D)(142+7)h 6.已知非零向量a,b满足a1b,且a+2b与a-2b的夹角为 120,则8 ( (A)5 e29 7.如图3，△ABC中，∠ACB的平分线CD交边AB于点D,∠BAC AC=25.cD=32,则BC= ( (A)33 (B)4 (C)42 (D)6 D 图3 图4 8.如图4，△ABC是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三 角形拼成一个大的正三角形，若AD=4,BD=2,点M为线段CE上 的动点，则(AM-BC)·M而的最大值为 ( ()9 (B) (C)6 (D)10 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分 9.已知点4(4,6)，B(-3,2),则下列向量中与店平行的向量 是 (A)a= (B)b= () ce=(--3 (D)d=(-7,9) 10.如图5所示，已知正八边形 ABCDEFGH,其中OA=1,则下列结论正确的 是 (A)0A+0C=0B (B)0i.0i=-2 图5 (C)0B+0i=-20E (D)A在A店方向上的投影数量为-2 11.△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,S为△ABC的面 积，且a=2,AB.AC=23S,下列选项正确的是 (A=罗 (B)若b=3,则△ABC只有一解 (C)若△ABC为锐角三角形，则b的取值范围是(23,4) (D)若D为BC边上的中点，则AD的最大值为2+√3 第Ⅱ卷非选择题（共92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知平面向量a=(2,3),b=(x,4),若41(a-b),则x 13.如图6，某次海上联合作战演习中，红 B 方一艘侦察艇在A处发现在北偏东45°方向、 75 相距12 nmile的水面上的B处，有蓝方一艘小 北 459 艇正以每小时10 nmile的速度沿南偏东75°方 向前进，红方侦察艇立即以每小时14 nmile的 图6 高中数 速度，沿北偏东(45°+)方向拦截蓝方的小艇，则红方侦察艇拦截 学 住蓝方小艇最少需要 小时 14.如图7，在等腰梯形ABCD中，下底 修第 BC的长为3，底角C为45°，高为a,E为上底 AD的中点，F为折线段C-D-A上的动点，B 当F落在A点时，BE·BF取最小值g(a),若 图7 (人教 关于a的方程g(α)=ka-1有两个不相等的实数根，则实数k的取 A版 值范围为 四、解答题：本题共5小题，共77分 15.（13分)如图8所示，在△ABC中，已知BC=4,AC=3,P在 测 线段BC上，且B配=子BC,4Q=子正，设C店=a,=b. 卷 (1)用向量a,b表示C0; (2)若∠ACB=60°，求AP.Cd 图8 16.(15分)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c, △ABC的面积为S,且4S=a2+b2-c2. (1)求角C; (2)若a=1,c=√2，求角B. 高中数学 ·必修第 册 17.(15分)如图9所示，湖面上甲、乙、丙三艘船沿着同一条直 线航行，某一时刻，甲船在最前面的A处，乙船在中间B处，丙船在最 教 后面的C处，且BC:AB=3:1.一架无人机在空中的P处对它们进 A 行数据测量，在同一时刻测得∠APB=30°，∠BPC=90°.（船只与 版 无人机的大小及其他因素忽略不计) 章节 (1)求此时无人机到甲、丙两船的距离之比； (2)若此时甲、乙两船相距100米，求无人机到丙船的距离.（精 确到1米，参考数据：√19≈4.359) 卷 图9 18.(17分)如图10，圆0是边长为4的正方形ABCD的内切圆， S为圆周上一点，过S作AB,AD的垂线，垂足分别为M,N.设p=OM .04,g=0N.02 (1)求pq的取值范围； (2)求5=0㎡的最小值。 9+8 图10 19.(17分)古希腊数学家托勒密对凸四边形（凸四边形是指没 有角度大于180°的四边形)进行研究，终于有重大发现：任意一凸四 边形，两组对边的乘积之和不小于两条对角线的乘积，当且仅当四点 共圆时等号成立.且若给定凸四边形的四条边长，四点共圆时四边形 的面积最大.根据上述材料，解决以下问题 (1)如图11，在凸四边形ABCD中，若AB=√2，BC=1,∠ACD =受，4C=CD,求线段BD长度的最大值； (2)如图12，在凸四边形ABCD中，若AB=2,BC=6,AD=CD =4,求四边形ABCD面积取得最大值时角A的大小，并求出四边形 ABCD面积的最大值， 图11 图12 高中数学·必修第二册（人教A版）章节测评卷（一） (参考答案见13~15版)数理极 第44期3,4版参考答案 一、单项选择题 1~4DABD5~8 BACC 二、多项选择题 9.ABC:10.ACD: 11.BC 三、填空题 12.三；13.8：14. 27 四、解答题 15.解：根据题意，可设A产品的数量为m件，样本容 量为n,则C产品的数量为(1700-m)件，样本容量为n -10. 根据分层随机抽样的特点可得”=，”二10 m 1700-m 130 1300' 解得m=900,n=90, 故补全后的表格如下： 产品类型 A B C 产品数量/件 900 1300 800 样本容量 90 130 80 16.解：记事件A为“进入商场的一位顾客购买甲种 商品”；记事件B为“进入商场的一位硕客购买乙种商 品”；记事件C为“进入商场的一位顾客购买甲、乙两种 商品中的一种”；记事件D为“进人商场的一位顾客至少 购买甲、乙两种商品中的一种”. (1)因为C=A∩B+AnB, 所以P(C)=P(A∩B+A∩B) =P(A0B)+P(A0B) =P(A)P(B)+P(A)P(B) =0.5×0.4+0.5×0.6=0.5. (2)因为D=AnB, 所以P(D)=P(A∩B) =P(A)P(B) =0.5×0.4=0.2, 所以P(D)=1-P(D)=0.8. 17.解：(1)把20个数据由小到大排列为：80,82,82， 83,83,85,85,85,85,85,88,88,90,90,90,95,95,95,97,97, 由20×60%=12， 得估计此次参赛学生成绩的60%分位数为8器+90 2 =89; 估计此次参赛学生成绩的众数为85； 估计此次参赛学生成绩的平均数为 80+82×2+83×2+85×5+88×2+90×3+95×3+97×2 20 =88. (2)成绩在95分及以上的有5人，来自高一年级的 有2人，记为1,2，来自高二年级的有3人，记为a,b,c, 从5人中任选2人的样本空间2={12,1a,1b,1c, 2a,2b,2c,ab,ac,bc},共10个样本点， 2人中至少有1人来自高一年级的事件A={12,1a, 1b,1c,2a,2b,2c},共7个样本点， 所以这2人中至少有1人来自高一年级的概率 P(A)= 10 18.解：(1)由题意得(0.005+0.010+0.020+a+ 0.025+0.010)×10=1,解得a=0.030. (2)成绩落在[40,80)内的频率为(0.005+0.010+ 0.020+0.030)×10=0.65, 落在[40,90)内的频率为(0.005+0.010+0.020+ 0.030+0.025)×10=0.9, 故75%分位数在[80,90)内，设75%分位数为m分， 则0.65+(m-80)×0.025=0.75,得m=84, 故75%分位数为84分. (3)成绩落在[50,60)内的市民人数为100×0.1=10， 落在[60,70)内的市民人数为100×0.2=20， …参考答案， 故= 10×54+20×66 =62(分) 10+20 设成绩落在[50,60)内的10人的分数分别为x1,x2, x3,…,x1o;成绩落在[60,70)内的20人的分数分别为y1, y2,y3,·,y20, 则由题意可得 号+号+…+xi0 -542=7, 10 ++…+0 -662=4, 20 所以x+号+…+x。=29230,+号+…+0 =87200, 所以子=1020（写+ +…+xi0 y2+ +%)-=0×(29230+8720)-62=37. 所以两组成绩的总平均数是62分，总方差是37. 19.解：(1)对A类的5个问题进行编号：a,b,c,d,e, 第一轮从A类的5个问题中任选两题作答， 则有{(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d), (b,e),(c,d),(c,e),(d,e)}共10种， 设小明只能答对4个问题的编号为：a,b,c,d, 则小明在第一轮得40分， 有{(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)}共 6种， 小明在第一轮得40分的概率为品=子 (2)由(1)知，小明在第一轮得40分的概率为子， 则小明在第一轮得0分的概*为1-子=子。 依题意，两人能够晋级复赛，即两轮总积分不低于 60分， 所以当第一轮答对两题得40分，第二轮答对一题得 30分时， 小芳和小明晋级复赛的概率分别为： P=0.5×0.5×[0.5×(1-0.5)+(1-0.5)× 0.5]=0.125; ×(0.4×0.6+0.6×0.4)=0.28： P.=3 当第一轮答对两题得40分，第二轮答对两题得60 分时， 小芳和小明晋级复赛的概率分别为： P3=0.5×0.5×0.5×0.5=0.0625; P.=3 ×04×0.4=0.096； 当第一轮答错一题得0分，第二轮答对两题得60分时， 小芳和小明晋级复赛的概率分别为： Ps=[0.5×(1-0.5)+(1-0.5)×0.5]×0.5× 0.5=0.125: B=号x04x0.4=0.064: 当第一轮答错两题得0分，第二轮答对两题得60分时， 小芳晋级复赛的概率为： P7=[(1-0.5)×(1-0.5)]×0.5×0.5=0.0625: 综上，小芳晋级复赛的概率为： P1+P3+Ps+P7=0.125+0.0625+0.125+ 0.0625=0.375: 小明晋级复赛的概率为： P2+P4+P。=0.288+0.096+0.064=0.448; 因为0.448>0.375， 所以小明更容易晋级复赛。 高中数学必修第二册章节测评卷（一） 一、单项选择题 1 ~4 AADD 5 ~8 BCDD 提示： 1.(3a++c）-(2a+0-c）=(3a-2a) +(2b-子b）+(c+c)=a-4b+2c. 2.B元=AC-AB=(2-k,2). 13 因为C=90°，所以B元⊥AC, 所以2(2-k)+6=0,所以k=5. 3.成=成+成=Bd+(-号花） =子(d--子c AB +d 5 b. 2 4.由a-b =(-2,-4), 得2-m 2即m=4 tn-3 =-4,n=-1 则a=(2,-1),b=(4,3), 所以向量a在向量b上的投影向量为 a·bb 8-3 1b11b1 =+3×+3 ·(5,3) =(寺) 5.如图1所示建立平面直角 y北 坐标系，假设1OEI=1OGI= 热带风暴中心 G 441km,0F⊥EG, 由题意易知1OFI= ×西0基地 588=2942km,则IGF1= 南 图1 √0G12-0F1下=21609=147km, 所以该基地受热带风暴中心影响的时长为 1EGL147×2 21 =14(h). 21 6.因为a⊥b,所以a·b=0, 所以(a+2b)·(a-2b)=a2-4b2, 1a+2b1=a2+4a·b+4b2=√a2+4b, 1a-2b1=a2-4a·b+4b=a2+4b, 所以d2-4b2=√+4b.√a+4b.cos120°， 整强得子0-26=0，所以8=2 3 7.在△ACD中，根据正弦定理得sin∠ADC= AC·sin∠BAC 23× 2 2 CD 32 2 又因为∠ADC为锐角， 所以LAC=平， 所以∠ACD=π- = 3 4 12 所以∠ACB=石，则∠ABC=石=∠ACB, 所以AB=AC=25, 在△ABC中，由余弦定理得BC2=(25)2+(25)2 -2×25×25×(-7）=36,所以BC=6. 8.根据题意可得，∠FDE=∠DEF=∠EFD=60°， 所以∠CFB=∠AEC=∠BDA=120°， 又因为AD=4,BD=2, 所以BF=CE=AD=4, BD DF CF EF AE DE =2. 设E=AEC(0≤入≤1)，则M元=(1-A)E元， 所以M元=E元-EM=E元-2AE, 又AB=AD+DB=2E-D, Ad-B元=A元+C-(A元-A应)=Ci+AE =2(A-1)E+2E面-D 所以(AM-BC·MD =[2(A-1)E+2ED-D前·(ED-2xE =-4入(-1)E产+2（入-1）E7.E⑦-4λE. Ei+2E+2ADF.EF-D示.E =-16λ（入-1）+4（入-1）-8入+8+4入+2 14 =-1612+16A+6=-16(A-7)厂+10， 所以当A=立时，(d-Bd·办取最大值为10， 二、多项选择题 9.ABC;10.BC;11.CD. 提示： 9已知得花=（-7，-号）片 对于(A),因为-7×3-(-号)×号=-21+21 =0,所以a∥AB: 对干(1，因为-7×号-(-2)x7=-号 63 +63 2 =0,所以b∥AB: 对于(c),因为-7×(-3)-（是）×（-号）》 =21-21=0,所以c∥AB: 对于(D),因为-7×9-（-)×(-7)≠0，所 以d与AB不平行. 故选(A)(B)(C). 10.对于(A),I0A+0C1=2,10B1=1,故(A) 错误； 对于(B),0,0币的夹角为135， 所以0.0成-=10i10ims135=-号，故(B®) 正确； 对于(C),(0+02=0+0+20店.0i= 2,所以10正+0i1=2, 又1-20正1=2，所以10成+01=1-20正1， 利用向量加法的平行四边形法则，结合题图可知， 0+0i的方向与20正的方向相反， 所以0应+0成=-20成，故(C)正确； 对于(D),Ai在A店方向上的投影数量为1Ai1cos135°， 因为1i≠1，所以11os135°≠-号，故(D) 错误。 故选(B)(C). 11.根据平面向量数量积公式及三角形面积公式由 A.A元=25s,得bccos A=25×2 esin A,. 所以anA= 3 因为Ae(0,m),所以A=石，故(A)错误： 若b=3,则b>a>bsin A, 故△ABC有两解，故(B)错误； 若△ABC为锐角三角形， 则Be(0,受)，且A+B=m-C> 2 即+B>受， 则Be(于受）即sBe(9,, 由正弦定理可知：b= asin B=4sin Be(2,4), sin A 故(C)正确； 若D为BC边上的中点，则Ad=(店+A, 即市=4(4应+2店.AC+AC)=子(8+ +√5bc), 由余弦定理知a2=6+c2-2 bccos A=b2+2-万bc =4,则62+c2=5bc+4, 根据基本不等式有+c2=5bc+4≥2bc, 4 则bc≤ 2-5 参考答案。 当且仅当b=c= 2 时取得等号， √2-万 所以4(+c2+56c)=4(4+2Bc) ≤1 3 + 即1AD1≤√7+45=2+5，故(D)正确， 故选(C)(D). 三、填空题 22:13.2:14(3号) 提示： 12.由题意得a-b=(2-x,-1), 因为a1（a-b), 所以a(a-b)=2(2-x)-3=0,解得x=之 13.如图2，设红方侦察艇经过 x小时后在C处追上蓝方小艇， 75 北 结合题意，易得∠ABC= 45e 120°，AC=14x,BC=10x,AB= A 12, 图2 在△ABC中，利用余弦定理：(14x)2=122+(10x)2 -2×12×10xc0s120°， 解得=2，或x=-子（合去）. 14.以B为坐标原点，BC的方向为x轴正方向建立平 面直角坐标系，使A在第一象限内， 则B0.04(a,o),(3a）0<a<子 即g(a)=(3,a）(a,a）=d+a(0< a 若关于a的方程g(a)=ka-1有两个不相等的实数根， 则+（径-小a+1=0在ae(0,受）上有两 个不相等的实数根， 4=(3-k）-4>0 k 3 故 0< 3 2 (2)+(3-)+1>0, 解得子<k<号 故实数k的取值范围是 3) 四、解答题 15.解：(1)由题得Cd=C+A0=C+3A尼 4 +子成-d=d+子成-a+ 4 2)=d-=子函--子a -b, 所以.丙=(a-b）·(a+) -1b12 名×4-×4×3×ms60-× 27 8 16解：(1)因为S=2 absinC, 所以4x2bsmC=d+- 即sinC=a+62-c2 cos C, 2ab 又0°<C<180°，所以C=45°. (2)因为a C sin A s sin C 所以方×号 数理极 因为a<c,所以A<C,所以A=30. 因为A+B+C=180°，所以B=105°. 17.解：(1)在△APB中，由正弦定理得， AP AB AB sin∠ABP sim∠APB 11 2 在△BPC中，由正弦定理得， CP BC BC sin∠CBP sin∠BPC 1 又BC=3AB,sin∠ABP=sin∠CBP. 即此时无人机到甲、丙两船的距离之比为2：3. (2)由BC:AB=3:1,AB=100米，得AC=400米， 设AP=2x米，则CP=3x米， 在△APC中，∠APC=∠APB+∠BPC=120°，由 余弦定理得160000=(2x)2+(3x)2-2·（2x)·(3x) ·cos120°，所以x=4001四 19 故无人机到丙船的距离CP=3x=1200⑨ 19 275(米). 18.解：(1)如图3，以0为原 B 点，平行于BA的直线为x轴，平 行于DA的直线为y轴建立平面 直角坐标系 设点S(2cosx,2sinx),由题可 知A(2,2),B(-2,2),M(2cosx,2),C N(2,2sin x), 图3 p=4c0sx+4,9=-4+4sinx, 所以pg=16(cosx+1)(sinx-1)=16(cos xsin x sin x cos x -1). sinx-cosx =tE[-,2], 则cos xsinx=L-t 2P9=-8(t-1)2, 所以当t=-2时，p9有最小值为-8×(3+22) =-24-162; 当t=1时，pq有最大值0. 所以p9的取值范围是[-24-162,0]. （2)5-0㎡-5-(4es2x+4-4im2x-3 9+8 4sin x +4 4(sin x+1) 令sinx+1=me(0,2],原式=4m2-8m+1 4m m-2+4m ≥2√a 1 =-1, 当且仅当m=弓，即smx=-号时等号成立 所以5-0亦 9+8 的最小值为-1. 19.解：(1)设AC=CD=x,则AD=2x, 由材料可知AB·CD+BC·AD≥AC·BD, 即2x+1·2x≥BD·x, 解得BD≤22， 所以线段BD长度的最大值为22. (2)由材料可知，当A,B,C, D四点共圆时，四边形ABCD的 面积达到最大， B 连接BD(如图4)，在△ABD 中，由余弦定理得 6 BD2=AB2+AD2-2AB· C ADcos A=20-16cosA,① 图4 在△BCD中，由余弦定理得 BD2=BC+CD-2BC·CDeos C=52-48cosC,② 因为A,B,C,D四点共圆，所以A+C=T,从而CosA =c0s(T-C)=-cosC,③ 由028解得c0sA=-7, 因为A∈(0，)，所以A=严 3 数理极 从而Sw=BA0:s如A= -×2×4×sin =25,Sa0=号6C 0sinC=x6x4×sim T =65, 所以S四边形ABD=S AAID+SARCD=8√5. 高中数学必修第二册章节测评卷（二） 一、单项选择题 1 ~4 ADDB 5 ~8 AADA 提示： 1.z=i(1+i)=-1+i, 所以复数z的共轭复数为-1-i 2.(2-i)2=4-4i+2=3-4i,在复平面内对应 的点为(3，-4)，位于第四象限. 3.由题设0A=(3,2),0店=(-2,3)， 则4正=02-0=(-5,1)， 所以向量AB对应的复数为-5+i. 4,a+i=(a+i):(-i边 i·(-i)》 =1-ai, 则=11-i1=-a+=2 又a为正实数，所以a=√3. 5.依题意知，0Z=(1,-1), 将向量0Z绕点0按逆时针方向旋转90°所得向量 的坐标为(1,1)， 因此0Z2=2(1,1)=(2,2),即z2=2+2i, 所以2=2+2=2+201+==21 1-i(1-i)(1+i) 2 6.因为z= 1,+mi=(1+mi)(1-i边 -1+m 1+i (1+i)(1-i) 皿，马在复平面内对应的点为（专，”2），且在第 2 四象限， .1+m 所以 2 解得-1<m<1. 2 -1 <0, 7.由3+2+z+1=0, 得z2(z+1)+z+1=(z2+1)(z+1)=0. 因为2=-1，所以z=±i或z=-1, 当21=±i,3=-1或3=±i,=-1时，|1-2 =2; 当z1=i,3=-i或2=i,4=-i时，|z1-2|=2. 8.因为lzl=1,设z=cos0+isin0(i为虚数单位)， 由棣莫佛公式，可得z”+z=cos170+isin170+ cos 0+isin 0 (cos 170 +cos 0)+i(sin 170+sin 0)=1, 所以{ 0s170+c0s0=1, U sin 170 sin 0 =0, 即cos170=1-cos0, sin 170 =-sin 0, 因为(sin170)2+(cos170)2=1, 所以(sin170)2+(cos170)2=(-sin0)2+(1-cos0)2 =1, 化简可得sinm20+cos20-2cos0=0, 即1-2c0s0=0, 所以cos0=分，所以in0=±V个-os0=± 21 所以：=子± 二、多项选择题 9.AC:10.ABD: 11.ABC. 提示： 9.设z=a+bi(a,b∈R), 则z=a-bi, 由题意可得 -8=2bi=-14, z引=a+6=52, …参考答案 所以z=1-7i或z=-1-7i 故选(A)(C). 10.i+2++4=i-1-i+1=0,故(A)正确： 因为1+i在复平面内对应的点为(1,1)，点(1,1) 为第一象限角平分线上的点， 所以arg(1+i)=平，故(B)正确： 因为z=(1+2i)2=1+4i+42=-3+4i, 所以z=-3-4i, 所以复平面内对应的点为(-3，-4)，位于第三象 限，故(C)错误； 设z=a+bi(a,beR), 则1a+bi-11=1a+bi+1I, 所以√(a-1)2+6=√/(a+1)2+6, 化简得a=0, 所以z=bi,所以z在复平面内对应的点的集合是直 线x=0,故(D)正确. 故选(A)(B)(D). 11.对命题(A),1的实部是1，i的实部是0，虚部是 1,0的实部和虚部都是0，故(A)正确： 对命题(B),设z1=a1+b1i,=a2+b2i,z3=a3+ bi(a1,b1,a2,b2,a,b3∈R),由已知得a1>a2或a1= a2且b1>b2,a2>a3或a2=a3且b2>b3,显然有a1≥ a3,若a1>a,则z1>z3,若a1=a3,则a1=a2=a,b >b2>b,也有a>a,故(B)正确； 对命题(C),设z=a+bi(a,b∈R),a1=a1+bi, 2=a2+b2i(a1,b1,a2,b2∈R),由z1>22得a1>a2或 a1=a2且b1>b2,从而a1+a>a2+a或a1+a=a2 +a且b+b>b2+b,所以a1+z>z2+z,故(C)正确： 对命题(D),令a1=1+i,a2=-2i,z=2i,则有z1> 2,但z·21=-2+2i,2·2=4,显然有z·2>z·1,故 (D)错误.故选(A)(B)(C) 三、填空题 12.-1;13.-1;14.13. 提示： 12.z1+z2=2+i+3+ai=5+(1+a)i. 因为1+2所对应的点在实轴上， 所以1+a=0,所以a=-1. 13.由题图可知，点Z的坐标为(2,1)， 所以z=2+i, 所以1产2 2+i。(2+i)(1+2=i,其共 =1-2i (1-2i)(1+2i) 轭复数为-i, 所以其共轭复数的虚部是-1. 14.设a=a+bi,a,b∈R, 由实系数一元二次方程虚根成对定理可得B=α= a -bi, 由根与系数的关系可得a+B=2a=4,B=a2+ b2=m, 整理得a=2,m=62+4. 设，B,-1在复平面上对应的点分别为A(2,b), B(2,-b),C(-1,0), 则C=(3,b),C店=(3，-b), 可知A,B关于x轴对称， 若复平面上，B,-1对应点构成直角三角形， 则CA⊥CB, 即C.C2=9-62=0,解得b2=9, 所以m=b2+4=13. 四、解答题 15.解：设z=a+bi(a,b∈R), 因为1z1=1+3i-z, 所以√a2+6-1-3i+a+bi=0, 所以{公+B+a-1=0,解得{=二4， Lb-3=0, 1b=3, 所以z=-4+3i, 15 所以1+i)(3+4i)2 2i(-7+24i) 24+7i 2a 2(-4+3i) 4-3i =3+4i. 16解：1)：=2+2万号(5-90）=-1+2i, 则1z1=5. (2)因为复数z是方程2x2+mx+n=0的一个根， 所以-6-m+n+(2m-8)i=0, 由复数相等的充要条件得 仁6-m+n=0,解得m=4. 2m-8=0, n=10. 17.解：(1)因为复数z在复平面内对应的点在一次 函数y=-x的图象上，所以可设z=a-ai(a∈R), 又：+2=a-ai+2=a-i+2(a+ai a ai 2a2 (a+日)+（日-a小i为实数， 所以1-a=0,解得a=±1， 所以z=1-i或z=-1+i. (2)因为点A在第二象限， 所以z=-1+i,故A(-1,1), z2=(-1+i)2=-2i,故B(0,-2), i·z=i(-1+i)=-1-i,故C(-1,-1), 所以AC=2,△ABC的高为1， 18.解：(1)选择①，若z在复平面内对应的点在直 线x-y=0上， 则m2-5m+6-(m2-9)=0,解得m=3. 选择②，若2>0，则”-9=0， nd-5m+6>0, 解得m=-3. 选择③，若：为纯虚数，则m-9≠0， m2-5m+6=0, 解得m=2. (2)因为z0=z+5m-3=(m2+3)+(m2-9)i, 且101=62， 所以(m2+3)2+(m2-9)2=72, 所以m2=3,所以0=6-6i. 因为lsin0+icos0|=1, 所以sin0+icos0在复平面内对应的点在以坐标原 点为圆心，1为半径的圆上， 所以I-(sin0+icos0)1表示点(6，-6)与圆上 的点的距离，故其最大值为62+1. 19.解：)e+e=(as+isin号）+(osm+ mm)=(分+)+(-1)-之+ 1 (2)由题意可得：c+e=(eos分 111 cos 0 +isin 0)=i+(cos 0 isin 0)cos 0+(1 sin 0)i, 所以1e2+em1=√cos20+(1+sim0)7= cos2 0 sin0 2sin 0+1 =2 +2sin 0, 因为0eR,所以sin0∈[-1,1]， 因此2+2sin0≤2+2=4， 所以Ie受+e“1(0∈R)的最大值为2. 高中数学必修第二册章节测评卷（三）】 一、单项选择题 1~4 ADCB 5 ~8 BCBD 提示： 1.因为M∈a,aCa,所以Me,同理N∈a, 又M∈l,N∈l,所以lCa. 2.在(A)中，若a⊥B,mCa,则m与B相交或m与 B平行或mCB,故(A)错误；在(B)中，若a⊥B,m⊥a, 则m∥B或mCB,故(B)错误；在(C)中，若m∥a,an