浙江乐清市荆山公学2025-2026学年下学期高三模拟卷数学（2）

2025-2026学年下学期高三模拟卷（2） 数 学 考试范围：高考内容；考试时间：120分钟； 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，，则(    ) A. B. C. D. 2.已知为拋物线上一点，则的准线方程为(    ) A. B. C. D. 3.的展开式中常数项为(    ) A. B. C. D. 4.已知复数满足，则(    ) A. B. C. D. 5.若，，则“”是“”的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6.下列说法不正确的是(    ) A. 一组数据、、、、、、、、、的第百分位数为 B. 若随机变量，且，则 C. 若随机变量，则方差 D. 对于回归分析，相关系数的绝对值越小，说明拟合效果越好 7.已知中，，且，且的最小值为，若为边上任意一点，则的最小值是(    ) A. B. C. D. 8.在平面直角坐标系中，点，与关于原点对称，现以轴为折痕，将轴下方部分翻折，使其与上方部分构成直二面角，两点相应变成，两点，将绕直线旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的内切球的表面积为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知数列的前项和为，若，，则(    ) A. B. 数列为等比数列 C. D. 10.已知函数，则(    ) A. 是的一个周期 B. 在区间上单调递减 C. 是偶函数 D. 若在区间内有两个根，，则 11.已知等式其中是自然对数的底数，将视为自变量，为的函数，记为，则下列结论正确的是(    ) A. B. C. 若方程有个不等的实根，则 D. 当时，若的两实根为，，则 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.名同学站成一排，甲身高最高，排在中间，其他名同学身高均不相等，甲的左边和右边均由高到低排列，共有          种排法． 13.已知直线与双曲线的左，右两支分别交于，两点，是双曲线的左焦点，且，则双曲线的离心率是            ． 14.在锐角中，内角所对的边分别为，已知，则取得最大值时，          ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知正项等差数列满足，且成等比数列． 求的通项公式； 求的前项和； 设数列的前项和为，求． 16.本小题分 已知函数． 当时，求曲线在点处的切线方程 若函数有极小值，且的极小值小于，求实数的取值范围． 17.本小题分 已知某险种的保费为万元，前次出险每次赔付万元，第次赔付万元 赔偿次数 单数 在总体中抽样单，以频率估计概率： 求随机抽取一单，赔偿不少于次的概率； 毛利润是保费与赔偿金额之差．设毛利润为，估计的数学期望； (ⅱ)若未赔偿过的保单下一保险期的保费下降，已赔偿过的增加估计保单下一保险期毛利润的数学期望． 18.本小题分 如图，四棱锥中，底面，，，． 若点为的重心，求； 若，证明：平面； 若，且二面角的正弦值为，求． 19.本小题分 已知椭圆与椭圆，则称，为“共轭”椭圆． 求证：“共轭”椭圆，的交点共圆 若中圆的半径为，请给出离心率为的“共轭”椭圆，的方程 若“共轭”椭圆的离心率为，直线与“共轭”椭圆，的交点分别为，和，，设，且存在使得有解，求实数的取值范围． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：，． 故选：． 2.【答案】  【解析】解：依题可得，则，所以的准线方程为．故选：． 3.【答案】  解：由于的展开式，通项公式为， 令，求得，可得展开式的常数项为，故选：． 4.【答案】  【解析】解：由 ，可得，所以 故选：． 5.【答案】  解：根据基本不等式可得：当时，， 则当时，有，解得，充分性成立； 但当时，满足，但此时，所以必要性不成立， 综上所述，“”是“”的充分不必要条件． 6.【答案】  项，该组数据共个数，且， 因此，该组数据的第百分位数为，故A对； 项，若随机变量，且， 则，故B对； 项，若随机变量，则，故C对； 项，回归分析中，相关系数的绝对值越大，表示线性相关程度越强，故D错误．故选：． 7.【答案】  解：延长至，使得，连结，取的中点， 设，则点，，共线， 则， 因为，则为等腰三角形，所以， 此时， 即为等腰直角三角形，所以， 取中点，由，， 可得， 当时，取最小值，等号成立．故选：． 8.【答案】  【解析】解：由题可知，所以，由翻折的不变性可知，翻折后的图形如图所示，设点在轴上的投影为，易知平面， 连接，，因为平面所以． 点在轴上的投影为， 在中，由勾股定理得， 所以在中，易得， 在中，由余弦定理得，， 即，解得， 所以． 则是一个顶角为，腰长为的等腰三角形， 将其绕直线旋转一周得到的旋转体为两个同底面且等高的圆锥组合体， 其轴截面如图所示，则在该轴截面中和为边长为的等边三角形， 则该旋转体内切球的半径即为菱形内切圆的半径， 由等面积法可得， 即，解得， 因此该旋转体内切球的表面积为．故选：． 9.【答案】  【解析】解：对于，由，得，则， 所以数列是以为首项为公比的等比数列，故B正确； 对于，得，解得，所以，故A错误； 对于，， 当时，，，即，故C正确； 对于，时，， ，故D正确．故选：． 10.【答案】  【解析】解：得， 对于选项A，最小正周期为， 因为是的整数倍，所以是的一个周期，A正确， 对于选项B，由，，得函数的减区间为， 当时，递减区间为；当时，递减区间为， 故在上不单调递减，B错误， 对于选项C，， 故是偶函数，C正确， 对于选项D，解方程，即，得， 在区间，和，故两根为，，则， 故，D正确，故选ACD． 11.【答案】  【解析】解：由题意知，，故即，且，故， 对于，，故A正确； 对于，故在上，单调递增； 在和上，单调递减； 故且故，故B正确； 对于，，故为偶函数， 则有个不等的实根，即，有个不等的实根， 且在和上单调递减，在上单调递增， 故，即，故C错误； 对于，由的单调性可知，当时，若的两实根为，， 则，且，故，引入不等式， 证明过程如下：不妨设， 因为， 设，，则问题转化为：，，令， 所以在上恒成立， 所以在上单调递增；所以， 故，成立，所以， 故，故，故D正确．故选：． 12.【答案】  【解析】解：将除甲外的名同学全排列，甲左边名同学与右边名同学顾序一定， 所以排法共有种．故答案为：． 13.【答案】  【解析】解：因为直线的斜率，所以， 可得， 由，可得，所以为等三角形， 所以，可得， 在中，，，可得，设双曲线的右焦点为，连接， 由双曲线的对称性可知，可得， 即，化简得双曲线的离心率． 故答案为：． 14.【答案】  【解析】解：因为，由正弦定理得， 因为，所以，则， 又因为，所以，即， 由于是锐角三角形，， 等式两边同时除以，得到，即， 因为，所以，则， 那么， 由，可得， 令，则， 由，当时等号成立，即的最大值为， 此时， 因为，且， 所以．故答案为：． 15.【答案】解：设等差数列的公差为，则，解得或 依题意得，则，所以． 由知，，所以． 因为， 所以．   16.【答案】解：当时，，所以， 因为，所以在处的切线的斜率为， 所以切线方程为，即； 因为，其中，则， 当时，恒成立，此时函数在上单调递增，无极小值， 当时，令，可得，列表如下： 所以， 由题意可得，即， 令，则， 因为，所以函数在上单调递增， 所以由，得，所以实数的取值范围是：．  17.【答案】解：设为“随机抽取一单，赔偿不少于次”， 由题设中的统计数据可得． 设为赔付金额，则可取， 由题设中的统计数据可得， ，，， 故 故万元． (ⅱ)设保单下一保险期毛利润为万元， 由题设，保单下一保险期保费的数学期望为：， 故万元， 因此，估计保单下一保险期毛利润的数学期望为万元． 18.【答案】解：设，，，则，， ，． 如图，连接并延长交于点，连接， 则 两边取平方得． ，． 因为平面，而平面，所以， 又，，平面，所以平面， 而平面，所以． 因为，所以，在底面上，可知， 又平面，平面，所以平面． 设，，则，因，如图， 过点作的平行线，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系． 此时有 因设平面的法向量为， 则，故可取； 又设平面的法向量为， 则，故可取； 则， 由题意，，即 联立，解得故 19.【答案】解：证明：联立曲线，的方程，有 所以曲线，的交点共圆； 由可知，而椭圆的离心率为，则有，解得，， 则曲线，曲线； 因为椭圆的离心率为，则设曲线，曲线， ，，，，直线与曲线的方程联立得， 即，由题意得，所以， 则 直线与曲线的方程联立得，即， 由题意得，所以， 则 ，即， 若有解，即有解， 设，则，当时，，单调递增， 因为，所以在内单调递增， 所以，所以的取值范围为  第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $