精品解析：江苏盐城市盐都区第一共同体2025-2026学年八年级下学期4月期中数学试题

2026年春学期阶段性学业检测 八年级数学试题 （时间：100分钟 分值：120分） 注意事项： 1．本次考试时间为100分钟，卷面总分为120分．考试形式为闭卷． 2．本试卷共6页，在检查是否有漏印、重印或错印后再开始答题． 3．所有试题必须作答在答题卡上规定的区域内，注意题号必须对应，否则不给分． 4．答题前，务必将姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试卷及答题卡上． 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列成语反映的事件中，发生的可能性最大的是（ ） A. 守株待兔 B. 大海捞针 C. 水中捞月 D. 冬去春来 2. 下列调查中，适合采用全面调查的是（ ） A. 了解某班同学的跳远成绩 B. 了解某种柑橘的甜度情况 C. 了解全国中学生的身高状况 D. 了解某批次汽车的抗撞击能力 3. 下列条件中，能使平行四边形成为菱形的是（ ） A. B. C. D. 4. 小明做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制出的折线统计图如图所示，符合这一结果的试验最有可能是（ ） A. 从，，这个数中随机抽到数字的频率 B. 一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的频率 C. 抛一枚硬币，出现正面朝上的频率 D. 掷一枚质地均匀的骰子，出现点朝上的频率 5. 下列命题中，正确的是（ ） A. 有一组邻边相等的四边形是菱形 B. 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 C. 两组邻角相等的四边形是平行四边形 D. 对角线互相平分且垂直的四边形是矩形 6. 如图，四边形中，，，，分别是边，，，的中点．若四边形为菱形，则四边形应满足条件（ ） A. B. C. D. 7. 如图，的对角线和相交于点，过点且与边，分别相交于点，．若，，，则四边形的周长为（　　） A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 8. 如图，等腰梯形中，，，交于点，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 平分 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡的相应位置上） 9. 某学校为了解七年级1500名学生体质健康情况，从中抽取了100名学生进行测试，在这个问题中，样本容量是_______． 10. 在平行四边形中，，则_____． 11. 为了鼓励学生课外阅读，学校公布了“阅读奖励”方案，征求了所有学生的意见，赞成、反对、无所谓三种意见的人数之比为，为描述三种意见占总体的百分比，应选择_______统计图（填“条形”、“扇形”或“折线”）． 12. 已知在一个样本中，将200个数据分成4组，并列出频率分布表，其中第一组的频数是30，第二组与第三组的频率之和是0.65，那么第四组的频数是_______． 13. 如图，的周长为，与相交于点，交于，则的周长为__________． 14. 矩形中，，，点E是上一点，翻折，得，点落在上，则的值是________． 15. 如图，两个全等的矩形纸片重叠在一起，矩形的长和宽分别是8和6，则重叠部分的四边形中的对角线的长是________. 16. 如图，在中，，，，点D是三角形内一点且，连接，，以，为邻边作，则面积的最小值为_______． 三、解答题（本大题共有10小题，共72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤） 17. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，，求点A的坐标． 18. 体育社团为了进一步丰富社员的体育活动，欲增购一些体育器材，为此对该社团的成员进行了一次“你最喜欢的体育活动”的问卷调查（每人只选一项）．根据收集到的数据，绘制成如图①、②所示的统计图（不完整）．请根据图中提供的信息，完成下列问题： （1）在这次问卷中，一共调查了______名社团成员； （2）请将下面两幅统计图补充完整； （3）如图①，“踢毽”部分所对应的圆心角为______度． 19. 在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20只，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 58 96 b 295 484 601 摸到白球的频率 a （1）求出表中的___________， ． （2）估计当n很大时，摸到白球的频率将会接近 （精确到） （3）若从口袋里拿出去x个白球，这时从口袋里任意摸出一球是白球的概率为，求x的值． 20. 如图，在▱ABCD中，∠ABC、∠ADC的平分线分别交AD、BC于点E、F，求证：四边形BEDF是平行四边形． 21. 如图，在四边形中，，是的中点，，交于点，，． 求证：四边形为矩形； 22. 求证：等腰梯形中同一条底边与腰所夹的两个角相等． 已知：如图，_______． 求证：_______． 证明：_______． 23. 如图，在矩形中，点在上，，仅用无刻度的直尺按下列要求画图． （1）如图1，画出的平分线； （2）如图2，画出的平分线； （3）如图3，以为边画出一个菱形． 24. 如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E． （1）求证∶四边形是菱形； （2）若，，求的长． 25. 新定义题型构思巧妙，立意新颖，重在考查学生的学习能力，实践能力及创新精神，让我们试试吧！我们定义∶有一组邻角相等的凸四边形叫作“等邻角四边形”． 【定义理解】 （1）如图① ，已知四边形为等邻角四边形，且，求的度数． 【定义运用】 （2）如图② ，在五边形中，，对角线平分，求证∶四边形为等邻角四边形； 【定义拓展】 （3）如图③ ，在等邻角四边形中，．点P为边BC边上的一动点，过点P作，垂足分别为M，N，在点P的运动过程中，的值是否是定值？若是，请求出这个值；若不是，说明理由． 26. 在直角三角形纸片中，，， 【数学活动】将三角形纸片进行以下操作： ①折叠三角形纸片，使点与点重合，得到折痕，然后展开铺平； ②将绕点顺时针方向旋转得到，点，的对应点分别是点， 【数学思考】如图1，当直线 与边 相交时交点为 ，与边 相交时交点为 （1）①折痕 的长为_______； ②判断 与 的数量关系是_______； 【数学探究】 （2）如图2，当直线 经过 中点时，求线段 的长度； 【问题延伸】 （3）在绕点 旋转的过程中，直线 与边 相交时交点为 ，当 时，是否存在点 ？若存在，求出 的长度；若不存在，请说明理由． （4）在绕点 旋转的过程中，当 时，则与重叠部分图形的面积为_______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春学期阶段性学业检测 八年级数学试题 （时间：100分钟 分值：120分） 注意事项： 1．本次考试时间为100分钟，卷面总分为120分．考试形式为闭卷． 2．本试卷共6页，在检查是否有漏印、重印或错印后再开始答题． 3．所有试题必须作答在答题卡上规定的区域内，注意题号必须对应，否则不给分． 4．答题前，务必将姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试卷及答题卡上． 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列成语反映的事件中，发生的可能性最大的是（ ） A. 守株待兔 B. 大海捞针 C. 水中捞月 D. 冬去春来 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵ 必然事件发生的可能性为1，不可能事件发生的可能性为0，随机事件发生的可能性介于0和1之间， 其中水中捞月是不可能事件，可能性为0， 大海捞针、守株待兔是发生可能性极低的随机事件，可能性远小于1， 冬去春来是必然事件，发生可能性为1， ∴ 四个选项中，冬去春来发生的可能性最大． 2. 下列调查中，适合采用全面调查的是（ ） A. 了解某班同学的跳远成绩 B. 了解某种柑橘的甜度情况 C. 了解全国中学生的身高状况 D. 了解某批次汽车的抗撞击能力 【答案】A 【解析】 【分析】根据全面调查的适用条件：调查范围小，调查对象数量少，无破坏性，结果要求准确时适合用全面调查，据此判断选项即可． 【详解】解：∵全面调查适用于调查对象数量少，范围小，无破坏性的调查场景， ∴对各选项分析如下 A选项，某班同学人数少，范围小，适合采用全面调查； B选项，检测柑橘甜度具有破坏性，且柑橘数量多，适合抽样调查； C选项，全国中学生数量多，范围广，适合抽样调查； D选项，检测汽车抗撞击能力具有破坏性，适合抽样调查． 3. 下列条件中，能使平行四边形成为菱形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定的应用，注意：菱形的判定定理有①有一组邻边相等的平行四边形是菱形，②四条边都相等的四边形是菱形，③对角线互相垂直的平行四边形是菱形．根据菱形的判定、矩形的判定、平行四边形的性质逐个进行证明，再进行判断即可． 【详解】解：A、平行四边形中，，可利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形判定平行四边形是菱形，故本选项正确； B、平行四边形中，，可证明平行四边形是矩形，不能判定平行四边形是菱形，故本选项错误； C、平行四边形中，本来就有，不能判定平行四边形是菱形，故本选项错误； D、平行四边形中，∵，， ∴， ∴平行四边形是矩形，不能判定平行四边形是菱形，故本选项错误． 故选：A． 4. 小明做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制出的折线统计图如图所示，符合这一结果的试验最有可能是（ ） A. 从，，这个数中随机抽到数字的频率 B. 一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的频率 C. 抛一枚硬币，出现正面朝上的频率 D. 掷一枚质地均匀的骰子，出现点朝上的频率 【答案】D 【解析】 【分析】根据大量重复实验下的频率即为概率，可依次对各选项进行判断． 【详解】解：选项A：从，，这个数中随机抽到数字的频率约为，不符合题意； 选项B：一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的频率约为，不符合题意； 选项C：抛一枚硬币，出现正面朝上的频率约为，不符合题意； 选项D：掷一枚质地均匀的骰子，出现点朝上的频率约为，符合题意． 5. 下列命题中，正确的是（ ） A. 有一组邻边相等的四边形是菱形 B. 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 C. 两组邻角相等的四边形是平行四边形 D. 对角线互相平分且垂直的四边形是矩形 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定定理、矩形的判定定理、正方形和菱形的判定定理判断即可． 【详解】解：A、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，错误； B、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，正确； C、两组对角分别相等的四边形是平行四边形，错误； D、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，错误； 故选：B． 【点睛】本题考查的是平行四边形的判定定理、矩形的判定定理、正方形和菱形的判定定理，熟记定理是解题的关键． 6. 如图，四边形中，，，，分别是边，，，的中点．若四边形为菱形，则四边形应满足条件（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的中位线定理和菱形的判定，可得顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得四边形是菱形，进而得到即可． 【详解】解：∵四边形中，，，，分别是边，，，的中点， ∴在中，为的中位线，所以且； 同理且；，， ∴且， ∴四边形为平行四边形， ∵四边形为菱形， ∴应满足条件，即， ∴． 7. 如图，的对角线和相交于点，过点且与边，分别相交于点，．若，，，则四边形的周长为（　　） A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，能够根据平行四边形的性质证明三角形全等，再根据全等三角形的性质将所求的线段转化为已知的线段是解题的关键．根据平行四边形的对边相等得：，，，，再根据平行四边形的性质可以证明．根据全等三角形的性质，得，，再利用线段的和差求周长即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， 故四边形的周长为． 故选：D． 8. 如图，等腰梯形中，，，交于点，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 平分 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰梯形，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定等知识点，熟练掌握等腰梯形的性质是解题的关键． 过点分别作的垂线，垂足为点，证明，再证明，最后证明即可． 【详解】解：过点分别作的垂线，垂足为点， ∵， ∴， ∵四边形是等腰梯形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴，， ∴， ∴ ∴， ∴， 故A、B、C正确，不符合题意，D不能证明， 故D不符合题意， 故选：D． 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡的相应位置上） 9. 某学校为了解七年级1500名学生体质健康情况，从中抽取了100名学生进行测试，在这个问题中，样本容量是_______． 【答案】100 【解析】 【详解】解：根据统计的基本概念，本题中总体是七年级1500名学生的体质健康情况，样本是从中抽取的100名学生的体质健康情况，样本容量是样本中包含的个体的数目， ∴样本容量为100． 10. 在平行四边形中，，则_____． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质；熟记平行四边形的对角相等，邻角互补是解决问题的关键． 由平行四边形的性质得出，，由已知条件求出，即可得出结果． 【详解】解：如图， 四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又， ， 解得：， ； 故答案为：． 11. 为了鼓励学生课外阅读，学校公布了“阅读奖励”方案，征求了所有学生的意见，赞成、反对、无所谓三种意见的人数之比为，为描述三种意见占总体的百分比，应选择_______统计图（填“条形”、“扇形”或“折线”）． 【答案】扇形 【解析】 【分析】根据条形、扇形、折线统计图的特点进行选择即可． 【详解】解：描述三种意见占总体的百分比，应选择扇形统计图． 故答案为：扇形． 【点睛】本题主要考查了三种统计图的特点，解题的关键是熟练掌握扇形统计图是通过扇形的大小来反映各个部分占总体的百分之几；用折线的上升或下降表示数量的增减变化,折线统计图既可以反映数量的多少,更能反映数量的增减变化趋势；条形统计图反映事物的具体数目． 12. 已知在一个样本中，将200个数据分成4组，并列出频率分布表，其中第一组的频数是30，第二组与第三组的频率之和是0.65，那么第四组的频数是_______． 【答案】 40 【解析】 【分析】根据频数与频率的关系，先求出第二组与第三组的频数和，再用数据总数减去已知三组的频数和，即可得到第四组的频数． 【详解】第二组与第三组的频率之和是，数据总数为个， 第二组与第三组的频数之和为， 第一组的频数是， 第四组的频数是， 13. 如图，的周长为，与相交于点，交于，则的周长为__________． 【答案】10 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质，两组对边分别平行且相等，对角线相互平分，OE⊥AC可说明EO是线段AC的中垂线，中垂线上任意一点到线段两端点的距离相等，则AE=CE，再利用平行四边形ABCD的周长为20可得AD+CD=10，进而可得△DCE的周长． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AD=BC，点O平分BD、AC，即OA=OC， 又∵OE⊥AC， ∴OE是线段AC的中垂线， ∴AE=CE， ∴AD=AE+ED=CE+ED， ∵▱ABCD的周长为20cm， ∴CD+AD=10cm， ∴的周长= CE+ED +CD=AD+CD=10cm， 故答案为：10． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，中垂线的判定及性质，关键是掌握平行四边形平行四边形的对边相等．平行四边形的对角线互相平分． 14. 矩形中，，，点E是上一点，翻折，得，点落在上，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据矩形的性质可得，，，由折叠的性质可得，，在中利用勾股定理求出的长，进而求出的长，设，则，在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴，，， 由折叠的性质可得：，， 在中，， ， 设，则，， 在中，由勾股定理得：，即， 解得：， ． 15. 如图，两个全等的矩形纸片重叠在一起，矩形的长和宽分别是8和6，则重叠部分的四边形中的对角线的长是________. 【答案】 【解析】 【分析】利用矩形的性质证明四边形为平行四边形，再证明，进而证明四边形为菱形，设，则，利用勾股定理建立等式求解得到x，再利用等面积法即可求得对角线的长． 【详解】解：两个全等的纸片是矩形， ，， 四边形为平行四边形， 两个全等的矩形纸片重叠在一起，矩形的长和宽分别是8和6，则如图，， ， ，， 四边形为菱形， 设，则， 中，， ， 解得， 连接，则， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，勾股定理等，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 16. 如图，在中，，，，点D是三角形内一点且，连接，，以，为邻边作，则面积的最小值为_______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，三角形和平行四边形面积公式，垂线段最短等定理，解题的关键是把求平行四边形面积转化为求的面积，再转化为何时边上的高最短的问题． 【详解】如图，过点C作，以C为圆心，1为半径画一段弧分别交于G，交于H，设h是的边上的高． 由勾股定理得． 是边上的高， ， ， 以，为边， ， 当h最小时，四边形面积最小． 由垂线段最短可知，当时，h最小， 此时C,D,F三点共线， ， ， 故面积的最小值为７． 【点睛】本题关键思想是“转化”，将四边形面积最小转化为对应三角形的高最小，这时再利用垂线段最短即可求解． 三、解答题（本大题共有10小题，共72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤） 17. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，，求点A的坐标． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得，即可解答． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ． 18. 体育社团为了进一步丰富社员的体育活动，欲增购一些体育器材，为此对该社团的成员进行了一次“你最喜欢的体育活动”的问卷调查（每人只选一项）．根据收集到的数据，绘制成如图①、②所示的统计图（不完整）．请根据图中提供的信息，完成下列问题： （1）在这次问卷中，一共调查了______名社团成员； （2）请将下面两幅统计图补充完整； （3）如图①，“踢毽”部分所对应的圆心角为______度． 【答案】（1）200 （2）见解析 （3）54 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图，扇形统计图圆心角的求解，解题的关键是读懂题意，能从图中获取有用的信息． （1）由“踢毽”30人占调查人数的列式计算可得答案； （2）求出喜欢跳绳的有50人，占调查人数的，喜欢其他的占，再补全统计图即可； （3）列式计算可得“踢毽”部分所对应的圆心角． 【小问1详解】 解：（人）， 在这次问卷中，一共调查了200名社团成员； 故答案为：200； 【小问2详解】 （人）， 喜欢跳绳的有50人； ， 喜欢跳绳的占，喜欢其他的占； 补全统计图如下： 【小问3详解】 ， “踢毽”部分所对应的圆心角为； 故答案为：54． 19. 在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20只，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 58 96 b 295 484 601 摸到白球的频率 a （1）求出表中的___________， ． （2）估计当n很大时，摸到白球的频率将会接近 （精确到） （3）若从口袋里拿出去x个白球，这时从口袋里任意摸出一球是白球的概率为，求x的值． 【答案】（1），； （2）； （3）4． 【解析】 【分析】本题主要考查了求频率，用频率估计概率，已知概率求数量，解分式方程． （1）根据频率和频数的定义求解即可； （2）根据随着摸球次数的增多，摸到白球的频率逐渐稳定在，即可求解； （3）求出白球数量，根据概率公式列方程求解即可． 【小问1详解】 解：由数据可知，，， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由表格可知，当很大时，摸到白球的频率将会接近， 故答案为：； 【小问3详解】 解：∵摸到白球的频率接近， ∴摸到白球的概率为， ∴此口袋里白球有（只）， 由题意可得， 解得：， 经检验：为原分式方程的解， 即的值为． 20. 如图，在▱ABCD中，∠ABC、∠ADC的平分线分别交AD、BC于点E、F，求证：四边形BEDF是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得出∠ABC=∠ADC，AD∥BC，求出DE∥BF，∠EBC=∠AEB，根据角平分线的定义求出∠ADF=∠EBC，求出∠AEB=∠ADF，根据平行线的判定得出BE∥DF，根据平行四边形的判定得出即可． 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ABC=∠ADC，AD∥BC， ∴DE∥BF，∠EBC=∠AEB， ∵∠ABC、∠ADC的平分线分别交AD、BC于点E、F， ∴∠ADF=ADC，∠EBC=ABC， ∴∠ADF=∠EBC， ∴∠AEB=∠ADF， ∴BE∥DF， ∵DE∥BF， ∴四边形BEDF是平行四边形． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，平行线的性质，角平分线的定义等知识点，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键． 21. 如图，在四边形中，，是的中点，，交于点，，． 求证：四边形为矩形； 【答案】见解析 【解析】 【分析】先根据三角形的中位线定理可得，则可得四边形为平行四边形，再根据矩形的判定定理即可得证． 【详解】证明：∵， ∴点是的中点， 又∵是的中点， ∴是的中位线， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形． 22. 求证：等腰梯形中同一条底边与腰所夹的两个角相等． 已知：如图，_______． 求证：_______． 证明：_______． 【答案】见解析 【解析】 【分析】先结合图形写出已知求证，证明时作，交于点E，得出四边形是平行四边形，得出，进而得出，再根据平行线的性质得出． 【详解】已知：如图，梯形中，． 求证：． 证明：作，交于点E， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ， ， ， ∴， ， ， ． 23. 如图，在矩形中，点在上，，仅用无刻度的直尺按下列要求画图． （1）如图1，画出的平分线； （2）如图2，画出的平分线； （3）如图3，以为边画出一个菱形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，菱形的判定，等边对等角，三线合一定理，线段垂直平分线的性质，全等三角形的性质与判定等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）射线即为所求； （2）连接交于O，作射线，则射线即为所求； （3）连接交于O，作射线交于F，连接，则四边形即为所求． 【小问1详解】 解：如图所示，射线即为所求； 由矩形的性质可得， 由等边对等角和平行线的性质可得， 即是的平分线； 【小问2详解】 解；如图所示，连接交于O，作射线，则射线即为所求； 由矩形的性质可得为的中点，则由三线合一可得平分； 【小问3详解】 解：如图所示，连接交于O，作射线交于F，连接，则四边形即为所求． 由（2）可得垂直平分，则， 可证明，得到， 则四边形是菱形． 24. 如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E． （1）求证∶四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证明，继而得到四边形是平行四边形，证明即可； （2）根据勾股定理，得到，设，得到 ，解方程求解即可． 【小问1详解】 证明：， ， 平分， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； ， 四边形是菱形； 【小问2详解】 解： 四边形是菱形，，， ，，，， ， ， 设， ， ， ， 解得． 25. 新定义题型构思巧妙，立意新颖，重在考查学生的学习能力，实践能力及创新精神，让我们试试吧！我们定义∶有一组邻角相等的凸四边形叫作“等邻角四边形”． 【定义理解】 （1）如图① ，已知四边形为等邻角四边形，且，求的度数． 【定义运用】 （2）如图② ，在五边形中，，对角线平分，求证∶四边形为等邻角四边形； 【定义拓展】 （3）如图③ ，在等邻角四边形中，．点P为边BC边上的一动点，过点P作，垂足分别为M，N，在点P的运动过程中，的值是否是定值？若是，请求出这个值；若不是，说明理由． 【答案】（1） （2）见解析 （3）的值为定值，定值为． 【解析】 【分析】（1）根据“等邻角四边形”的定义，再结合已知条件和四边形内角和定理求解即可； （2）根据两直线平行，内错角相等，再结合角平分线的定义和“等邻角四边形”的定义证明即可． （3）作垂足为Q，作垂足为R，易得四边形是矩形可得且，再证明可得，进而得到，再利用含30度直角三角形的性质以及勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：∵四边形为等邻角四边形，且， ∴、均不可能与、中的任意一个角相等，否则总内角和大于． ∴． ∵， ∴， 解得：． 【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∵对角线平分， ∴． ∴． ∴四边形为等邻角四边形． 【小问3详解】 解：的值是定值，定值为． 如图，作垂足为Q，作垂足为R，     ∵， ∴四边形是矩形． ∴且， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴ 在点P的运动过程中，的值为定值． 26. 在直角三角形纸片中，，， 【数学活动】将三角形纸片进行以下操作： ①折叠三角形纸片，使点与点重合，得到折痕，然后展开铺平； ②将绕点顺时针方向旋转得到，点，的对应点分别是点， 【数学思考】如图1，当直线 与边 相交时交点为 ，与边 相交时交点为 （1）①折痕 的长为_______； ②判断 与 的数量关系是_______； 【数学探究】 （2）如图2，当直线 经过 中点时，求线段 的长度； 【问题延伸】 （3）在绕点 旋转的过程中，直线 与边 相交时交点为 ，当 时，是否存在点 ？若存在，求出 的长度；若不存在，请说明理由． （4）在绕点 旋转的过程中，当 时，则与重叠部分图形的面积为_______． 【答案】（1）①；②相等 （2） （3）存在，的长度为或 （4） 【解析】 【分析】（1）①连接，由折叠的性质，可得出，根据角度等量代换，可得，得出为中点，得为的中位线，故可得的长；②连接，证明，即可得； （2）连接，得为的中位线，得出，证明，即可得； （3）根据图形变换后的图象，可证出四边形为矩形，得出的长度，根据在的左边和右边两种情况讨论，即可求解； （4）过点作交于点，交于点，令交于点，连接，证明四边形为矩形，由勾股定理计算出、的长度，得出、的长度，令，则，，由，得，解得的值，证明，令，则，由，得，解得的值，再根据，即可求出结果． 【小问1详解】 解：①连接，如下图所示： ∵翻折的性质，可得垂直平分， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故点为中点， 又∵点为中点， ∴为的中位线， ∴； ②连接，如下图所示： ∵由绕点顺时针方向旋转得到， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴； 故答案为：①；②相等． 【小问2详解】 解：连接，如下图所示： ∵、为、的中点， ∴为的中位线， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：存在，根据图形变换进行分类讨论： ①如下图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴； ②如下图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴； 综上，的长度为或． 【小问4详解】 解：过点作交于点，交于点，令交于点，连接，如下图所示： ∵， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，，， ∴， ∵， 解得， ∴，， ∴， 令，则， 由，得， 解得， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴， 令，则， 由，得， 解得， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $