专题06圆（3大考点）（湖南专用）2026年中考数学一模分类汇编

函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题06圆 ☆3大考点概览 考点01圆的有关概念和性质 考点02与圆有关的位置关系 考点03与圆有关的计算 考点01 圆的有关概念和性质 1. (2026·湖南省娄底市涟源市·一模)同一平面内，已知⊙0的半径=2，点0到直线1的距离d=3,则 ⊙0与直线1的位置关系是( A.相离 B.相切 C.相交 D.无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系，根据圆心到直线的距离d>,直线与圆相离即可求解，掌握直 线和圆的位置与d和r之间的关系是解题的关键 【详解】解：⊙0的半径为2，点0到直线1的距离为d=3, ∴.d>r, ∴.1与⊙0的位置关系是相离， 故选：A. 2.(2026·湖南省岳阳市汨罗市多校·一模)如图，BD是⊙O的直径，点A,C在⊙0上，点B是AC的中点， 若∠A0B=40°，则∠BDC的度数是( D B A.20° B.25 C.30° D.35° 【答案】A 【分析】本题考查圆周角定理；连接OC,利用弧中点得到等弧，进而得到对应圆心角相等，再根据圆周角 定理求解圆周角的度数， 【详解】解：如图，连接OC 1/62 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D A ,点B是AC的中点， ..AB=BC, ∠A0B=40°， ∴.∠B0C=∠A0B=40°， .∠BDC=∠B0C=2×40°=20°； 故选：A. 3.(2026·湖南省娄底市涟源市·一模)如图，AB是⊙0的直径，C,D是⊙0上的点，∠C0B=40°，则∠ADC 的度数为( D A.40° B.50° C.60° D.70° 【答案】D 【分析】先通过邻补角的性质得到∠AOC的度数，再由圆心角定理即可求得结果 【详解】在⊙0中，C,D是⊙0上的点，∠C0B=40°， ∴.∠A0C=180°-∠C0B=140°， ∴.∠ADC=∠A0C=70°. 4.(2026·湖南省郴州市·一模)如图，点A,BC,D在⊙0上，AB=D,∠ACB=35°，则∠DBC等于 () 9 D 2/62 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.60 B.55° C.45° D.35° 【答案】D 【分析】利用同弧所对圆周角相等得到∠DBC=∠ACB,结合已知条件即可求得结果. 【详解】解：B=①， ∴.∠DBC=∠ACB, 又∠ACB=35°， ∴.∠DBC=∠ACB=35°. 5,(2026·湖南省娄底市涟源市·一模)如图，四边形BCD内接于⊙0，若∠D=60°，则∠B的度数是 () A.115 B.1209 C.125 D.130 【答案】B 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的性质是解题的关键。 根据圆内接四边形对角互补即可求解。 【详解】解：四边形ABCD内接于⊙O,∠D=60°， ∴.∠B=180°-∠D=120°， 故选：B 6.(2026·湖南省长沙市华益中学·一模)如图，四边形ABCD内接于⊙0，连接OB,OD.若 ∠BCD=115°，则∠B0D的度数是( A.65 B.115° C.130 D.140 【答案】C 【分析】根据圆的内接四边形的性质求出∠A,根据圆周角定理即可计算出答案。 【详解】解：~四边形ABCD内接于⊙O, 3/62 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ÷∠A=180°-∠BCD=65°， 由圆周角定理可得：∠B0D=2∠A=130°. 7.(2026·湖南省长沙市望城区·一模)如图，AB为⊙O的直径，弦CD与AB交于点E,若E0=EC, ∠C0E=50°，则∠B0D的度数为( A.150° B.130° C.90° D.70 【答案】A 【分析】根据等腰三角形的性质求出∠0CE的度数，再利用圆的半径相等得到∠D=∠OCE,进而求出 ∠COD的度数，最后利用角的和差关系及邻补角定义求出∠BOD的度数， 【详解】解：E0=EC,∠C0E=50°， ∴.∠0CE=∠C0E=50°， .0C=0D, ∴.∠D=∠0CE=50°， ∴.∠C0D=180°-∠0CE-∠D=180°-50°-50°=80°， ,∠C0D=∠C0E+∠E0D, .∠E0D=∠C0D-∠C0E=80°-50°=30°， ,∠B0D+∠E0D=180°， .∠B0D=180°-30°=150°， 8.(2026·湖南长沙长郡教育集团·一模)如图，A,B,C为⊙0上的三个点，∠AOB=3∠BOC,若 ∠ACB=60°，则∠BAC的度数是() A.30° B.20° C.15° D.10° 【答案】B 4/62 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【分析】因为∠ACB=60°，根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍可知∠A0B=120°，由∠A0B=3∠B0C, 可求出∠BOC,再次根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，即可求出∠BAC, 【详解】解：，∠ACB=60°，BA=BA .∠A0B=120°， ,∠A0B=3∠B0C, .∠B0C=40°， .BC BC, ∠BAC=2∠B0C=20°. 故选：B 9.(2026·湖南省张家界市·一模)如图，⊙0的直径AB=10m,弦CD⊥AB于E,CD=8m,则AE的长为 ) E B A.9m B.8m C.7m D.6m 【答案】B 【分析】连接0C,易知0C=5m,由垂径定理得CE=4,由勾股定理得0E=3m,所以AE=5+3=8 m. 【详解】解：连接OC, AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E,CD=8m, .CE=-CD 4m, 在Rt△OEC,∠0EC=90°，0C=5m,CE=4n, ÷0E=/0c2-CE2=3m, AE=0A+0E=5+3=8m 5/62 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 10.(2026·湖南省邵阳市·一模)如图，⊙0是△ABC的内圆，∠A=54°，则∠B0C=° 【答案】117 【分析】本题考查三角形的内切圆的性质与三角形内角和定理，此题难度不大， 根据⊙0是△ABC的内切圆，得出∠OBC=∠ABC,∠OCB=∠ACB,进而得出∠ABC+∠ACB=126°， 即可得出答案， 【详解】解：，⊙O是△ABC的内切圆， .∠OBC=∠ABC,∠OCB=∠ACB, .∠A=54°， .∠ABC+∠ACB=180°-∠A=126°， ∴.∠B0C=180°-（∠0BC+∠0CB)=180°-（∠ABC+∠ACB) =180°-1 ×126°=117° 故答案为：117. 11.(2026·湖南长沙市雅礼集团·一模)如图，点A、B、C是半径为4的⊙0上的三个点，若∠ABC=60°， 则弦AC的长等于 B Q 【答案】4 【分析】过点0作OD⊥AC于点D,先根据圆周角定理可得∠AOC=2∠ABC=120°，再根据等腰三角形的 6162 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 三线合一可得∠AOD=60°，AC=2AD,然后解直角三角形可得AD的长，由此即可求解 【详解】解：如图，过点O作OD⊥AC于点D, B D ∠ABC=60°， ÷∠A0C=2∠ABC=120°， 0A=OC,0D⊥AC, ÷∠AOD=∠A0C=60°，AC=2AD, ~圆的半径为4， 0A=4, AD=0A×sin60°=4×y=2√/5， ÷AC=2AD=4V3. 12,(2026·湖南省衡阳市耒阳市童星实验学校·一模)如图，⊙0是△ABC的外接圆，∠A=60°，若点 O到BC的距离为2，则BC的长为 ● B 【答案】4V 【分析】连接OB、OC,过点0作OM1BC于点从，根据圆周角定理求得∠B0C=120°，然后结合等腰三角 形三线合一的性质和含30°角的直角三角形的性质分析求解即可. 【详解】解：如图，连接OB、OC,过点O作OM⊥BC于点， 7/62 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B M :⊙0是△ABC的外接圆，∠A=60°，点O到BC的距离为2， ∴.∠B0C=2∠BAC=120°，0M=2, 又0B=0C,OM⊥BC, .∠COM=∠BOC=60°，MB=MC, ∴.在Rt△C0M中，∠0CM=30°， ∴.NB=MC=V30M=2V3, ∴.BC=2MC=45, 故答案为：45. 13.(2026·湖南省长沙市华益中学·一模)如图是一条隧道的横截面，它是以点0为圆心的圆的一部分， 如果C是⊙0中弦AB的中点，CD经过圆心0交⊙0于点D,并且B=4如，⊙0的半径长为m,则隧道的高 CD为 m. D B 【答案】6 【分析】连接OA,先根据垂径定理可得AC的长和CD1AB,再利用勾股定理求出OC的长即可， 【详解】解：如图，连接OA, 8/62 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D A B ,C是⊙0中弦AB的中点，CD经过圆心0，且AB=4, ∴.AC=AB=2m,CD⊥AB, :⊙0的半径长为9， 0A=0D=n, ·在Rt△A0C中，0C=√0A2-AC2=, ..CD OC+OD=6m 14.(2026·湖南株洲禄口区四校联考·一模)如图，AB是圆O的直径，0C垂直弦AD于点C,C0的延长线交圆 O于点E,连接BE,若AB=10,AD=8,则BE的长为 B 【答案】2V5 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理等知识，由0C上AD,且0C过圆心，得到AC=D=4,A0= AB=5,再根据勾股定理即可求解，掌握垂径定理是解题的关键 【详解】解：如图，连接AE, B 0C1AD,且0C过圆心， 9/62 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 6AC=2D=4 1 女A0=2AB=5, 在Rt△AC0中，0C=A02-AC2=V52-42=3, CE=0E+0C=8, 在Rt△ACE中，AE=VAC2+CE2=V42+82=45, 在Rt△ABE中，BE=VAB2-AE2=V100-80=2V5. 故答案为：2V5, 15.(2026·湖南省衡阳市·一模)如图，在⊙0中，直径AB与弦CD相交于点E,连接AC、BD. D A B (1)求证：△AEC一△DEB; (2)连接AD,若AD=3,∠C=30°，求⊙0的半径， 【答案】(1)证明见解析 (2)⊙0的半径为3 【分析】(1)利用D=D,同弧所对的圆周角相等，得到∠C=∠B,再结合对顶角相等，即可证明： (2)利用∠C=∠B,得到∠B=30°，根据直径所对的圆周角是直角得到∠ADB=90°，再利用直角三 角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得⊙0的半径， 【详解】(1)证明：在⊙0中， .AD=AD, .∠C=∠B, 又：'∠AEC=∠DEB, ∴.△AEC一△DEB. (2)解：：∠C=30°， 由(1)可知，∠B=∠C=30°， 直径AB, 10/62 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.∠ADB=90°， ∴.在Rt△ADB中，AD=3,∠B=30°， .AB=2AD=6, .0A=AB=3, 即⊙0的半径为3. 16.(2026·湖南省怀化市第四中学等校·一模)如图，已知点P是⊙0外的一点，直线P0交⊙0于点 A,B.①分别以点P,0为圆心，大于PO的长为半径画弧，两弧有两个交点，过这两个交点作直线，交PO于点 I;②以T为圆心，PT长为半径画弧，交⊙O于点C,作射线PC.连接OC,BC,作BD⊥PC,垂足为D. (1)由作图过程可知：点T是线段PO的 ∠PC0= (2)在(1)的条件下，求证：BC平分∠ABD; (3)如果PC=6,PA=4,求⊙0的半径. 【答案】(1)中点，90 (2)见解析 (3)半径为2.5 【分析】(1)由作图可得点T是P0的中点，连接TC,则TP=TC=TO,则∠TPC=∠TCP,∠TC0=∠TOC, 根据三角形内角和定理可得∠TCP+∠TC0=90°； (2)证明BD II OC,得∠OCB=∠CBD,由OC=OB得∠OCB=∠OBC,推出∠OBC=∠CBD; (3)连结AC,证明△PCA一△PBC,运用相似三角形的性质列式可得结论， 【详解】(1)解：由作图可得点T是PO的中点， 连接TC,则TP=TC=TO, 11/62 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 则∠TPC=∠TCP,∠TC0=∠T0C, ∴.∠TPC+∠TCP+∠TC0+∠T0C=180° .2(∠TCP+∠TC0)=180 ,∠TCP+∠TC0=90°， ∴.∠PC0=90°； (2)解：由(1)可知∠PC0=90°， .0C⊥PD, 又BD⊥PC, ·OC Il BD, ÷∠CBD=∠OCB, ,0C=0B, ÷∠0CB=∠0BC, ∴∠CBD=∠OBC, BC平分∠ABD: (3)解：连接AC, D B AB是⊙O的直径， ÷∠ACB=90° ·∠CAB+∠ABC=90 0C=0A ∴.∠0CA=∠0AC 又∠PCA+∠AC0=∠PC0=90 12/62 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ·.∠PCA=∠ABC 又~∠P=∠P ∴△PCA一△PBC =器即略= PB=9, AB=5, ∴.⊙0的半径为2.5. 17.(2026·湖南省张家界市·一模)如图，四边形ABCD内接于⊙0，AD,BC的延长线相交于点E,AC,BD相 交于点F,G是AB上一点，GD交AC于点H,且AB=AC,BG=DG. D B (①)请直接写出∠ABC与∠DBE,∠E的数量关系： (2)求证：AHP=F2+F·FC; (3)若tan∠ABC=V5,AD=2DE,CD=√6，求△AGH的周长. 【答案】(1)∠ABC=∠DBE+∠E (2)见解析 (3)3V6 【分析】(1)利用AB=AC得∠ABC=∠ACB,结合同弧AB所对圆周角∠ACB=∠ADB,再根据三角形外角 性质∠ADB=∠DBE+∠E,完成证明· (2)先证△DF一△HCD得D=F·HC,再通过角的等量代换证∠ADG=∠DAC,推出AH=DH,从而得 AHP=HF2+F·FC. (3)利用(2)结论将△AGH周长转化为AB,通过相似三角形△EDC一△EBA及、勾股定理求出AB的长， 即△AGH周长为36， 【详解】(1)解：∠ABC=∠DBE+∠E, AB=AC, ÷∠ABC=∠ACB. AB=AB, 13/62 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ÷∠ACB=∠ADB, ·∠ABC=∠ADB. ~∠ADB=∠DBE+∠E, ·∠ABC=∠DBE+∠E; (2)证明：BG=DG, ·∠ABD=∠GDB. AB=AC, ·∠ABC=∠ACB, ∠ACB=∠ADB, ·∠ABC=∠ADB, ∠ABC=∠ABD+∠DBC,∠ADB=∠GDB+∠GDA, ·∠DBE=∠GDA, ∠DBE=∠CAD, ·∠CAD=∠GDA. .AH=HD ∠ACD=∠ABD, ·∠ACD=∠GDB. .∠CHD=∠DHF, △CHD一△DH, ÷D2=HC.F, .AH2 HF.HC. HC HF FC, AH=HF·(F+FC)=F2+HF·FC. (3)解：连接AO并延长交CB于点M,如图， 14/62 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 G H D B E AB=AC, ..AB=AC, AM⊥BC,CM=BM, tan∠ABc=微=V6, 设BN=k,则AM=V5k,BC=2k, ·AB=BMP+AP=V6. .AD=2DE, 设DE=a,则AD=2a, .AE=AD+DE 3a. ∠ADB=∠ACB,∠ACB=∠ABC, ÷∠ADB=∠ABC, ∠BAD=∠EAB, △BAD-△EAB, = EA AB y@=2a 3a Vok' .k=a, DE=k,AE=3k」 ~四边形ABCD为圆的内接四边形， ·∠EDC=∠ABC, ×∠E=∠E, △EDC一△EBA, k 、CE .CE2+2k.CE-3k2=0, 15/62 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 CE>0, .CE=k, △EDC一△EBA, AB AE" 治- ÷AB=36. 由(2)知AH=D,BG=DG, △AGH周长=AG+GH+AH =AG+GH+HD =AG+GD =AG+GB =AB =3V6 18.(2026·湖南省长沙市望城区·一模)如图，四边形ABCD是⊙0内接四边形，对角线AC与BD相交于点E, 对角线AC平分∠BAD,点F在线段AC上，满足CF=CD,连接FB,FD, D E A (1)求证：△ABE一△ACD; 2)若S△BCn=SAD,求B+的值； BD ③)若∠BD=∠0D,⊙0的半径为1，记E=,品后+=y、试求出y关于x的函数解折式， 并直接写出的最大值， 【答案】(1)见解析 (2)2 ®9=左+片的最大信为 【分析】(1)根据角平分线的定义可得∠CAB=∠CAD,根据同弧所对的圆周角相等可得∠ABE=∠ACD, 即可得证： 16/62 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)过点F,C分别作BD的垂线，垂足分别为G,H,根据S△BCD=S△BFD得出CH=FG,进而证明△CEH≌△FEG (a46)得出电=F则0D=20E,根据角平分线的性质以及三角形的面积关系，得出蜡=铝，进而可得00 配 BD 是+能-总证明△E~△D得出号=是=器=2，即可求解， AB+AD AB (3)连接OC,OD,设CO,BD交于点M,∠CAB=∠CAD=a,∠BDF=B,导角得出∠FDA=B,进而可得 ∠FDA=∠BDF=B即DF平分∠BDA,则F是△ABD的内心，求得∠BFD=90°+a,则∠BCD=90°+a, 根据圆内接四边形得出∠BCD=180°-∠BAD=180°-2a,进而求得a=30°得出△0CD是等边三角形， 则BC=D=0C=1,BD=√，证明△EA-△CED,可得器=是，证明△BGE-△ACB,可得BC2 ACCE=L,证明△BCE一△DE,可得D:E=BC,DE,代人y三是、√+得出y的关系式， 进而求得，=号2+x=气-9+。，根据二次函数的性质求得最值，即可求解 【详解】(1)证明：，AC平分∠BAD ∴.∠CAB=∠CAD, .'AD AD, ∴.∠ABE=∠ACD, .△ABE∽△ACD; (2)解：如图，过点F,C分别作BD的垂线，垂足分别为G,H EH F .∠FGE=∠CHE=90°， ,SABCD=S△BFD' ∴BD×CH=BD×FG, ∴CH=FG, 又，∠CEH=∠FEG, ∴.△CEH≌△FEG(AAS), ∴CE=F, 又CF=CD, 17/62 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.CD=2CE, AC平分∠BAD, ∴E到AB,AD的距离相等，设E到AB,AD的距离为d,A到BD的距离为h, ·S△ABE= AB x d B配×h AD×dD呢×h =照 AD DE' 即始品 B+如=B+A0=, BD BE+DE一BE .BC=BC, .∠BAE=∠EDC, 又，∠BEA=∠CED, ∴.△BEA一△CED, :A0肥 端==晋=2 即8+0=2， BD (3)解：如图，连接OC,OD,设C0,BD交于点M B D ,AC平分∠BAD ∴.∠CAB=∠CAD, ..BC CD ∴.0C1BD 设∠CAB=∠CAD=a,∠BDF=B .BC =BC .∠BDC=∠BAC=a, ∴.∠CFD=CDF=a+B 18/62 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 又，CF=CD ∴.∠CFD=a+B .'∠CFD=∠CAD+∠FDA=a+∠FDA .∠FDA=B :.∠FDA=∠BDF=B即DF平分∠BDA F是△ABD的内心， .∠ABF=∠DBF, :∠BFD=180°-（∠ABD+∠ADB) 1 =180-2180°-∠BAD) 1 =180°-2180-2a） =90°+a ,∠BFD=∠BCD ∴.∠BCD=90°+a 又，四边形ABCD是⊙O的内接四边形 ∴.∠BCD=180°-∠BAD=180°-2a ∴.90°+a=180°-2a 解得：a=309 .∠C0D=2∠DAC=2a=60° 又.0C=0D .△OCD是等边三角形， ⊙0的半径为1， ∴.BC=CD=0C=1, ,DE=X,0C1BD,∠BDC=a=30° ∴.BW=MD=CDeos30°=1×Y5=Y 2 ∴BD=V3 由(2)可得△BEA一△CED 又，∠CBD=∠CAB=30°，∠BCE=∠ACB 19/62 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.△BCE-△ACB ∴.BC2=AC.CE=1 又，∠BCE=∠ADE,∠BEC=∠AED ∴.△BCE一△DAE AD .AD·CE=BC.DE 1 y-ABCET CE.AD CE AC √CEBC·DE CE·AC 1 V BE2 BC·DE 11 =BE+DE + 3-x x =+V原-x (V3-x)x Vxxi =g=9+x=(9+ 3 当x=兰时，的最大值为号 19.(2026·湖南长沙长郡教育集团·一模)如图1，AC是⊙0的直径，AD是⊙0的弦，∠ADC的平分线DB交 ⊙O于点B,交AC于M,连接AB、CB. B B 图1 图2 图3 20/62 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 )空：常+ AD CD ’DTBD ；(直接将结果写在相应的横 AD'CD 线上) (2)如图2，过点D作DN⊥AC,垂足为N,若AD=2V5CN,求tan∠ABD的值； (3)如图3，记DC=m,DA=n, ①试用含m,n的式子表示DM·MB; ②若点I是△ACD的内心，试用含m,n的式子表示D 【答案】(1)2,2,2 (2)2 (3)①m+n ②V㎡+n m n 【分析】(1)先由圆周角定理得到∠ADC=90°，然后证明AB=BC,再由勾股定理可得AD+CD2=AC2, AC=8+C2=24B,则哈+器=巴=搭=2，证明△A0-△0C,哈-兰=岩证明 AB2 △DM-△DA,则唱=岩-兴即可求解号+铝和号+器 (2)先证明△ADC一△AND,则AD2=AN.AC,设CN=1,AN=x,则AD=2V5,则(2V5)2=x (x+),解得x=4在Rt△AN中，DN=VAD2-AP=V2VP-=2,在Rt△CDN中，tam∠NGD=器= 二2，再由tan∠ABD=tan∠NCD即可得到答案： (3)①设点写A如，D的距离灿，AC边上的高为，先证明是=岩则赠-=0，然后在Rt△C中由勾股定 CM 理得到AC=√+nP=AM+CM②.联立O②解得AM=+元，CM=N+严，再证明△ANB一△DMC, m n m n 则得到DI.B=AM.CM=V+正.VF+正=@+2 m+n m+n (m+n)2 ②连接L,先证羽BA=BL,蜡+品=E,求出D-号，在t△AC中有AC=F+严，在Rt△BC 中有AB=C 平，郑么=B=爱，由△△阳，求出以-普-器最后器-器 -鉴=（盟=×譬=求解即可。 BD-BIBD-BI BD-BI BD 【详解】(1)证明：~AC是⊙0的直径， ÷∠ADC=∠ABC=90°， BD为∠ADC的平分线， ·∠BDC=∠BDA=∠ADC=45°， 21/62 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ÷∠BAC=∠BDC=45°，∠BCA=∠BDA=45°， ∴.∠BAC=∠BCA=45°， .AB=BC; ∠ADC=90°，∠ABC=90°， .AD2 +CD2=AC2,AC2 AB2 +BC2 2AB2, +器=-=2 AB2 ∠ADM=∠BDC,∠DAM=∠DBC, .△ADM-△BDC, ∠MDC=∠ADB,∠ABD=∠DCM, △CDM-△BDA, BD AB DA' 故答案为：2，V2,2; (2)解：DN⊥AC,AD⊥DC, ·∠ADC=∠DNA=90°， ,∠DAC=∠NAD, ∴.△ADC-△AND, =9 AN AD ÷AD2=AN.AC, AD=2/5CN, ÷设CN=1,AN=x,则AD=2V5, (25)2=x(x+1), 整理得：x2+x-20=0, 解得：x=4或-5（负数舍去）， 在Rt△ADN中，DN=VAD2-ANP=2⑤2-42=2， 在t△cDN中，tanNCD=器=子=2， 即tan∠ABD=tan∠NCD=2: 22/62 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)解：①设点M到AD,CD的距离为h,AC边上的高为k, 在△ADC中，BD平分∠ADC, AD·h_AM·k 提觉 ∠ADC=90°， 在Rt△ADC中，AC=VAD2+DC2=Vm2+n2=AM+CM②. 联立①②解得AM=n+严，CM=+严 m n m+n 又·∠BAM=∠MDC,∠ANMB=∠DNC, ∴△AB-△DMC, Dw、a 即DM.MB=AM.CM=+严.F+r=m+2 m十nm+n (m+)29 ②连接AI, 点I是△ACD的内心， ·∠DAI=∠IAC,∠BAC=∠BDC=∠ADB, ·∠DAI+∠ADB=∠IAC+∠BAC, 即∠AIB=∠IAB, .BA=BI. yM=n,C=,常+需=V2, 小品+品=2， BD=n 在Rt△ADC中，AC=AD2+DC2=Vm2+n2, 23/62 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 在Rt△ABC中，AB= 方@t AC BI=AB=V面+ ',∠ABM=∠DBA,∠BAM=∠BDA ∴.△ABNM一△DBA, = DB BA' ÷BM=A超=B BDBD 2+ = =Vm2+n ID BD-BI BD-BI BD-BI BD-BI BD m n 考点02 与圆有关的位置关系 1.(2026·湖南湘潭湘乡东皋学校·一模)如图，CD是⊙0的直径，点A在CD的延长线上，AB是⊙0的切 线，B为切点，连接BC,若∠A=20°，则∠C的度数为 B 【答案】35 【分析】连接OB,由AB是⊙O的切线，则有∠AB0=90°，根据直角三角形两个锐角互余得出 ∠A0B=90°-20°=70°，根据等边对等角得∠C=∠OBC,根据三角形外角的性质得出 ∠C+∠OBC=∠A0B=70°，最后求出结果即可. 【详解】解：连接OB,如图所示： :AB是⊙O的切线， ..OB 1 AB, .∠AB0=90°， ,∠A=20°， .∠A0B=90°-20°=70°， ,0C=0B, 24/62 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.∠C=∠OBC, ∴.∠C+∠OBC=∠AOB=70°， .∠C=号×70°=35°. 2.(2026·湖南湘潭湘乡东皋学校·一模)完成下列各题： (1)如图1，己知直线AB与⊙0相切于点C,且AC=BC,求证：OA=OB. C 图1 (2)如图2，矩形ABCD的两条对角线相交于点O,∠AOD=120°，AB=3,求AC的长. 图2 【答案】(1)证明见解析： (2)6cm 【分析】(1)根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等来证明； (2)根据矩形性质得出△AOB是等边三角形，求出∠ADB=30°，得出AC=BD=2AB=6cm即可. 【详解】(1)证明：连接0C, C 图1 :直线AB与⊙O相切于点CG, ∴.0C1AB, 又AC=BC, ∴，OC垂直平分AB, ..0A =0B; (2)证明：，四边形ABCD是矩形， ∴.AC=BD,OA=0C=AC,B0=D0=BD,∠BAD=90°， 25/62 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.0A=0B, ∠A0D=120°， .∠A0B=60°， ,△AOB是等边三角形， ∴.∠AB0=60°，∠ADB=30°， .∴.AC=BD=2AB=6Cm 3.(2026·湖南省娄底市涟源市·一模)如图，BC是⊙O的直径，A是弦BD延长线上一点，切线DE平分AC于 E. (1)求证：AC是⊙0的切线； (2)若AD:DB=3:2,AC=15,求⊙0的直径. 【答案】(1)详见解析；(2)BC=56 【分析】(1)要证AC是⊙0的切线，只要证∠BCA=90°即可； (2)切割线定理得出关于AD,AB的比例式，求出AB的长，再用勾股定理求出求⊙0的直径， 【详解】(1)证明：连接OD,CD; ,切线DE平分AC于E, ∴.∠0DE=90°， BC是⊙O的直径， .在Rt△ADC中DE=CE; ,0E=0E,0D=0C, .△ODE△OCE, ∴.∠ACB=90, ∴.AC是⊙O的切线， 26/62 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)解：，AC是⊙0的切线； ..AC.AC=AD.AB=AD.(AD+BD)AD:DB=3:2, .AD=3/15,AB=5/15, ∴.BC=5V6 4.(2026·湖南省邵阳市·一模)如图，△ABC内接于⊙0，AB为⊙0的直径，点D在AB的延长线上，连 接CD,∠BCD=∠A,过点B作BE⊥AD,交CD于点E. D (1)求证：CD是⊙0的切线； (2)若点B是AD的中点，且BE=3,求⊙O的半径. 【答案】(1)见解析 (2)3√2 【分析】本题考查圆周角定理，切线的判定，解直角三角形，熟练掌握相关定理和切线的判定方法，是解 题的关键： (1)连接0C,圆周角定理，得到∠ACB=90°，进而得到∠A+∠ABC=90°，等边对等角，得到 ∠ABC=∠OCB,结合∠BCD=∠A,推出∠OCD=90°，即可得证； (2)根据线段之间的数量关系求出s1D=吧-S=片，进而求出DE的长，勾股定理求出BD的长，即可得出 DE OD 结果。 【详解】(1)证明：连接0C, AB是⊙O的直径， ∠ACB=90°， ÷∠A+∠ABC=90° ×0B=0C, 27/62 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ÷∠ABC=∠OCB ∠BCD=∠A, ·∠BCD+∠0CB=90°，即∠0CD=90°， 0C⊥CD. 0C为⊙0的半径， :CD是⊙O的切线. (2)解：~点B是AD的中点， ·.BD=AB=20C. 0B=0C, ÷OD=OB+BD=30C. 0c1 0沁有 BE⊥AD, ∠DBE=90°. 又∠0CD=90°， sinD=是=- .DE 3BE =9. 在Rt△DBE中BD=DE2-BE2=V92-32=6V2. .0C=3V2. 即⊙0半径为32 5.(2026·湖南长沙长郡教育集团·一模)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，以AB为直径的⊙0交BC 于点E,点D为AC的中点，连接DE. 28/62 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B (1)求证：DE是⊙O的切线； (2)若CE=1,0A=3,求∠ACB的度数. 【答案】(1)见解析 (2)60 【分析】(1)连接OD、OE,由等边对等角可得∠OBE=∠OEB,判断OD是△ABC的中位线，得到OD∥BC, 进而推出△AOD≌△EOD(SAS),得到∠OED=∠OAD=90°，即可证明结论； (2)连接AE,根据直角所对的圆周角是直角，得到∠AEB=∠AEC=90°，再证明△AEB一△CAB,得到 BE=3,进而即可求解。 【详解】(1)证明：如图，连接0D,OE, 夕 ..OB=0E, ÷∠OBE=∠0EB, 点D是AC的中点，O是AB的中点， ÷ODII BC, ÷∠OBE=∠AOD,∠OEB=∠EOD, ·∠AOD=∠EOD, 在△AOD和△EOD中， OD OD ∠AOD=∠EOD, 0A =0E ∴△ AOD≌△EOD(SAS), ÷∠0ED=∠0AD=90°， ÷OE1DE, 29/62 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 OE是半径， ·DE是⊙O的切线： (2)如图，连接AE, B D AB为⊙0直径， ∠AEB=90°， ∠CAB=90°=∠AEB, ∠C=∠C, △AEB一△CAB, 器提 BE 2V3 2VF说+ BE=3或BE=-4(舍去)， .BC=BE EC=4, ÷sin∠C=e=2v=V BC4-21 ∠C=60°， 答：∠ACB的度数为609 6.(2026·湖南株洲渌口区四校联考·一模)如图，在△ABC中，ABAC,以AC为直径的半圆O与边BC相交 于点D,DE LAB,垂足为E. E B D (1)求证：点D是BC的中点； (2)判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论； 30/62 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)若⊙0的直径为18，BC12,求DE的长. 【答案】(1)见解析 (2)DE与⊙O相切，证明见解析 (3)De4V2. 【分析】(1)如图，作辅助线，证明ADL BC,借助等腰三角形的性质，即可解决问题 (2)如图，作辅助线，要证明DE与⊙O相切，只要证明OD⊥DE;为此，首先证明OD∥AB,借助DE⊥AB, 即可解决问题 (3)观察图形，可以发现△BDE∽△CAD:因此，首先求出AD的长度，运用相似三角形的判定及其性质， 列出关于DE的比例式，即可解决问题， 【详解】(1)解：如图，连接AD, E D .AC为半圆O的直径， ∴.∠ADC-90°，即AD⊥BC;而ABAC, ∴BDCD,即点D是BC的中点； (2)解：DE与⊙O相切.证明如下： 如图，连接OD .0A=OC,BD=CD, ∴.OD为△ABC的中位线， ∴.OD//AB,而OD⊥AB, ∴.ODL DE, .DE为⊙O的切线； (3)解：由(1)知：BDCD6; 由勾股定理得：AD=18?-6, ∴.AD12V2;而ABAC, ∴.∠B∠C,而∠BED∠CDA, 31/62 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.△BDE∽△CAD, 解得：De4V2. 7.(2026·湖南省娄底市·一模)如图，AB是⊙O的直径，点D是直径AB上（不与A,B重合的一点），过点 D作CD⊥AB,且CD=AB,连接BC交⊙O于点F,在CD上取一点E,使EF=EC, B D (1)求证：EF是⊙O的切线； (2)当D是OA的中点时，AB=8,求BF的长， 【答案】(1)见解析 2)BF=24 【分析】(1)连接OF,由垂直得∠DBC+∠C=90°，同圆半径相等推∠OBC=∠OFB,再由已知条件 EF=EC推∠C=∠EFC,等量代换得90°的角从而证出EF是⊙O的切线： (2)由AB是⊙O的直径，得∠AFB=90°，由中点定义得线段相等，进一步用勾股定理求线段长，再用 三角形相似求比例线段从而求出BF的长 【详解】(1)证明：连接OF,如图所示： B D .CD⊥AB, .∠DBC+∠C=90°， .0B OF, ∴.∠OBC=∠OFB, .'EF EC, 32/62 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.∠C=∠EFC, ∴.∠0FB+∠EFC=90°， .∠0FE=180°-90°=90°， ∴.0E1EF, 0F为⊙0的半径， ∴.EF是⊙0的切线. (2)解：连接AF,如图所示： :AB是⊙0的直径， .∠AFB=90°， ,D是OA的中点， :.0D=DA=0A=AB=×8=2, BD=30D=6, CD⊥AB, .∠CDB=90°， .CD AB=8, 由勾股定理得：BC=VBD2+CD2=10, ∠AFB=∠CDB=90°，∠FBA=∠DBC, ∴.△FBA一△DBC, 即= 8.(2026·湖南省长沙市望城区·一模)如图，AB是⊙0的直径，AE是⊙O的弦，作0C⊥AB交AE于点F, 连接AC交⊙O于点D,若CE=CF. 33/62 扇学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E (1)试判断CE与⊙0的位置关系，并说明理由； (2)若AB=6,OF=1,求AE的长 【答案】(1)CE与⊙0相切，理由见解析 ②证的长为四 【分析】本题考查了圆的切线的判定，等腰三角形性质，垂径定理的推论及勾股定理的应用，掌握相关知 识是解题的关键 (1)连接OE,证明∠CEF=∠CFE=∠AFO,∠OEA=∠OAE,根据OC⊥AB,得出 ∠0AE+∠AF0=90°，则有∠CEF+∠OEA=90°，即可得出结论； (2)连接证，根据勾股定理，得到F=VD,证明△AB-△A0,由相似三角形的性质得到聪=始代 入对应线段的长即可解答， 【详解】(1)解：CE与⊙0相切，理由如下： 如图，连接OE, E CE=CF, ·∠CEF=∠CFE=∠AFO, 0A=OE, ·∠OEA=∠OAE, 又0C1AB, ·∠0AE+∠AF0=90°， ÷∠CEF+∠OEA=90°， 34/62 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 即∠0EC=90°， ~0E是半径， ·CE是⊙O的切线： (2)如图，连接BE, E B AB=6,AB是⊙0的直径， ·0A=AB=3,∠AEB=90°， OC⊥AB, 0A2+0F2=AF2, AF=V0A2+0F2=V32+12=V10, ∠AEB=∠AOF,∠EAB=∠OAF, △AEB一△AOF, 始-品 解得AE= 51 故AE的长为V画 5 9.(2026·湖南省郴州市·一模)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，BC是⊙O的直径，过点A作直线AD 交BC的延长线于点D,使得 ,请从“①∠DAC=∠B;②2∠B=90°-∠D”中任选一个条件填在 横线上（填序号“①”或“②”），并解决下列问题： B 0 (1)题干横线上所填序号为： 35/62 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)求证：AD为⊙0的切线； (3)若∠B=30°，AC=2,求AC的长度（结果保留r). 【答案】(1)①（或②） (2)证明见详解 (3)2m 3 【分析】(1)任选其中一个条件即可； (2)选择条件①：利用直径所对的圆周角是直角这一性质，结合等腰三角形的性质进行角度转换，从而证 明半径与直径垂直，从而得证结论；选择条件②：根据圆周角定理可得∠AOC=2∠B,从而得到 ∠A0C+∠D=90°，从而得证结论： (3)利用解直角三角形求出圆的半径，进而计算出弧长. 【详解】(1)①（或②） (2)证明：选择条件①∠DAC=∠B: 如图，连接OA, ,BC是⊙O的直径， ·∠BAC=90°， .∠B+∠ACB=90°， ,0A=0C, ∴.∠OAC=∠ACB, ∴.∠B+∠0AC=90°， ,∠DAC=∠B, ∴.∠DAC+∠0AC=90°，即∠0AD=90°， ∴.0A1AD, 0A是⊙0的半径， .AD是⊙O的切线. 选择条件②：2∠B=90°-∠D, 36/62 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ,2∠B=90°-∠D,∠A0C=2∠B, .∠A0C+∠D=90°， .∠0AD=90°， ..OA L AD, 0A是⊙0的半径， ∴.AD是⊙0的切线. (3)解：在Rt△ABC中，∠B=30°，AC=2, ∴.sinB=sin30° BC ∴BC=4, BC是⊙O的直径， ∴.0A=BC=2, 在△0AC中，0A=0C=2,且AC=2, .0A=0C=AC=2,即△0AC是等边三角形， .∠A0C=60°， .AC=60×r×2=1201 =2 180 180 0≈20(m) 10.(2026·湖南省永州市·一模)已知AB与⊙0相切于点C,0A=0B,∠A0B=80°，0B与⊙0相交于点D, E为⊙0上一点， G 图① 图② (1)如图①，求∠CED的大小； (2)如图②，当EC II OA时，EC与OB相交于点F,延长B0与⊙0相交于点G,若⊙O的半径为3，求ED和EG的 长 【答案】(1)∠CED=209 (2)3,35 【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： 37/62 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)连接0C,切线的性质得到OC⊥AB,三线合一，求出∠B0C的度数，圆周角定理求出∠CED的度数即可 (2)平行线的性质，结合三角形的外角的性质，得到∠EDF=∠EFG-∠FED=60°，直径得到∠GED=90°， 解Rt△GED,进行求解即可. 【详解】(1)解：连接0C. ~AB与⊙0相切于点C, 0C⊥AB.又OA=OB, ·0C平分∠A0B. ∴∠COB=∠AOB. 2 ∠A0B=80°， .∠C0B=40°. 在⊙0中，∠CED=∠C0D, ·∠CED=20°. (2)由(1)知：∠CED=20°， EC II A, ∠EFG=∠A0B=80°， ·∠EFG为△DEF的一个外角， ÷∠EDF=∠EFG∠FED=60°， 由题意，DG为⊙0的直径， ÷∠GED=90°. 又⊙0的半径为3，则：DG=6. 在Rt△cD中，cos∠EG-号贵sin∠EG=器 ·ED=6cos60°=3，EG=6sin60°=3V3. 11.(2026·湖南长沙市雅礼集团·一模)如图，AB是⊙0的一条弦，点C是⊙0外一点，0C10A,0C交AB 于点P、交⊙O于点Q,且CP=CB. 38/62 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B (1)求证：BC是⊙0的切线； (2)若∠A=22.5°，r=2,求图中阴影部分的面积. 【答案】(1)见解析： 22-2 【分析】(1)根据等边对等角得∠CPB=∠CBP,根据垂直的定义得∠OBC=90°，即OB⊥CB,则BC是⊙0 的切线： (2)根据三角形的内角和定理得到∠AP0=67.5°，推出∠PCB=45°，从而求得0B=BC=2,根据三 角形和扇形的面积公式即可得到结论， 【详解】(1)证明：连接0B, B .0A=OB, ∠0AB=∠OBA, .CP=CB, .∠CPB=∠CBP, ∠CPB=∠APO, ·∠CBP=∠APO, 在Rt△AOP中，∠A+∠APO=90°， ÷∠OBA+∠CBP=90°， ÷∠0BC=90°， 39/62 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ÷OB⊥CB, 又~OB是半径， ·CB与⊙0相切： (2)解：∠A=22.5°，∠A0P=90°， ∠AP0=67.5°， ∠BPC=∠AP0=67.5°， PC=CB, ∠CBP=67.5°， ÷∠PCB=180°-2∠CBP=45°， ÷∠0CB=∠C0B=45°， ·OB=BC=2, 图中阴影部分的面积=×2×2-5×X2=2-号 360 12.(2026·湖南省岳阳市汨罗市多校·一模)如图，过⊙0上的动点D作⊙0的切线AD,在⊙0上取点B (异于点D),使得AB=AD,弦CD II AB,连接AC交⊙O于点F,连接DF并延长，交AB于点E,连接BC. B E (1)求证：AB是⊙0的切线： 2)记△AEF,△ADF；△DCF的面积分别为S1,S2,S3,当S,+S2=Sg时，求的值； (3)设⊙O的半径为R,当DE∥CB时，求四边形BCDE的面积.（用含R的式子表示） 【答案】(1)见解析 (2)1+V5 2 3)2R2. 8 【分析】(1)如图，连接OB、OD,BD,由切线的性质得∠AD0=∠ADB+∠ODB=90°，由OB=OD,AB=AD, 得∠OBD=∠ODB,∠ABD=∠ADB,从而得∠ABO=∠OBD+∠ABD=∠ODB+∠ADB=9O°，进而根据切 线的性质定理即可证明结论成立： (2)证明△AF-△cD,得=（月）°=()，进而得=()，又S,+S,=S,得S,2+5S5,2=0, 40/62 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 求解一元二次方程得s,=点，或，=，〔合去)S=,从而待目=号=D,于 2 2 2 4 是即可得解； (3)连接BO并延长交⊙O于M,交CD于H,连接OD,BF,BD,OA,证明△ABO≌△AD0,得∠AOD=∠AOB= 吉BOD=∠ABD=∠ADB,进而得∠BD=∠A0D=∠A0B=∠ABD=∠ADB,再证△AF-△AFB,得若= 器=品△-△E,得号-是-号=常△E-么DB,得号-器=品-器从=品得 AF=CP,进而证明AE=BE=CD,BD=V2BE=V2CD,BD=2V2DH,在Rt△BDH和Rt△ODH中，利用 勾股定理求解得DH=YR,BH=√TDI=R,CD=2DH=R,从而即可得解. 【详解】(1)解：如图，连接OB、OD,BD, ,AD是⊙O的切线， ∴.0D1AD, .∠AD0=∠ADB+∠ODB=90°， .OB OD,AB AD, .∠OBD=∠ODB,∠ABD=∠ADB, .∠AB0=∠OBD+∠ABD=∠ODB+∠ADB=90°， OB⊥AB, 0B是⊙0的半径， .AB是⊙O的切线； (2)解：CD‖AB, ∴.∠AEF=∠CDF,∠EAF=∠DCF, ∴.△AEF一△CDF, 器月-（月，e-=月， :△AEF和△ADF等高， = ·DF-S2 41/62 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 = .S22=S1S3 S1+S2=S3, ∴.S22=S1(S1+S2) ∴.S12+S1S2-S22=0, 解得5，=，或s,=。(舍去) “S2=S1+S2=1Ws2+S2=+s2, 2 2 +=+ - 4 2 =Y(负值舍去， 2 (3)解：连接B0并延长交⊙O于M,交CD于H,连接OD,BF,D,OA, B M D .0B OD,AB AD, ·点O在线段BD的垂直平分线上，点A在线段BD的垂直平分线上，∠ABD=∠ADB ∴.OA垂直平分BD, .∠AOB+∠OBD=90°， 由(1)得∠AB0=∠OBD+∠ABD=90°， ∴.∠AOB=∠ABD=∠ADB, .OB =OD,AB AD,OA =0A, .△AB0≌△AD0, ∴，∠AOD=∠AOB=∠BOD=∠ABD=∠ADB, :∠BCD=∠BOD, ∴.∠BCD=∠AOD=∠AOB=∠ABD=∠ADB, DE∥CB,CD II AB, ∴.四边形BCDE是平行四边形，∠CBD=∠BDF,∠BDC=∠ABD=∠BCD=∠AOD=∠AOB=∠ADB 42/62 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.∠BED=∠BCD=∠BDC=∠ABD=∠AOD=∠AOB=∠ADB,BF=CT, ..BF CD=BE,BD BC=DE, F=C① F+F=①+F即C下=D, ∴.∠CBF=∠BCD=∠ABD, ∴.∠ABF=∠CBD=∠CFD=∠AFE, :∠EAF=∠FAB, ∴.△AEF一△AFB, '∠BFC=∠BDC,∠BDC=∠BCD=∠CBF=∠ABD, ∴.∠CBF=∠CFB,BD=BC, .'.CF=BC=BD, ∠DBE+∠DEB+∠BDE=∠BFE+∠BEF+∠EBF=180°， .∠EBF=∠BDE, .△EBF一△BDE, 器-器器-始 同理可得△BDE一△DAB, = ABAB .'.AF =CF, 由(2)得△AEF一CDF, 是=理=9=1， “cD=丽-CF ∴.AE=BE=CD, 品 ∴.BD=V2BE=V2CD, .BD =BC, 43/62 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ..BD BC, .BM⊥CD,DH=CH=CD, ..DH CH='CD =BD, 4 ∴.BD=2V2DH, .在Rt△BDH中，BH=VBD-DHP=V7DH, ∴.OH=BH-OB=V7DH-R, .在Rt△0DH中，OD=0H+D, ∴.R2=(V7DH-R)2+DH, 解得DH=YR, 4 ..BH =V7DH =R,CD 2DH=R, “平行四边形ECDE的面积=2SA0w=2×D.B阻=2××R×R=2. 13.(2026·湖南省岳阳市汨罗市多校·一模)如图，四边形ACPD是⊙O的内接四边形，点B是DC延长线上一 点，连接AB、AD、AP,AP交直径CD于E,若∠BAC=∠ADB,tan∠ADB=AB=2IO. (1)求证：AB与⊙0相切； 2)若AP平分∠CAD,求的值； (3)设CE=X,记a=PP,b=AE.EP,若y=ACD+b,求y关于x的函数解析式，并求自变量x的取值范 PE a2 围 【答案】(1)见解析 (3)y=Wx+18,0<x<3√10 5 【分析】(1)连接OA,由OA=OD,得∠OAD=∠ODA,结合∠BAC=∠ADB得到∠BAC=∠OAD,再根据互 余关系即可证明； 44/62 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)先证明△ABc-△B,结合tan∠B=始=得到号-胎=可求C=V0,GD=3V0,然后 证明△PCD为等腰直角三角形，由勾股定理求出PC=PD=3V5,AC=3V2,AD=6√2，再证明 △ACP一△CEP,得到PE·PA=PC2=45①，证明△ACP一△AED,得到AE·PA=AD.AC=36②，由①÷② 求出呢-影的值， (3)先证明△CEP一△AED,得到CE·DE=AE·PE,则b=AE.PE=CE·DE=x(310-x),过A作 AM上CD于M,过P作PW上CD于N,由△AE-△PE得到PN=:,由面积法可得CP,PD=D.PN, 则a=PPP=D·P"=D:,再证明△CA一△CAD,则AC2=CM.CD,然后计算出CD·AM=3√2×6√2 PE PE A卫 =6M=c=器=，则=10E-0l=- 5 CD 由勾股定理求得E=、x2-y+18,则 5 36 、√2画+再化简求解函数解析式即可. a= 5 【详解】(1)证明：如图，连接0A, 0A=0D, ·∠OAD=∠ODA, ,∠BAC=∠ADB ∠BAC=∠OAD, CD是⊙0的直径， ∠CAD=90°， ·∠CA0+∠OAD=∠CA0+∠BAC=∠BA0=90°， ÷OA⊥AB, OA是⊙O的半径， .直线AB是⊙O的切线； (2)解：∠ABC=∠DBA,∠BAC=∠ADB, ∴△ABC一△DBA, AB BC AC BD AB AD* 45/62 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ytam∠08=铝=号 BD AB ·AB=2BC,BD=2AB, .BD=4BC, ·CD=BD-BC=3BC; AB=210, BC=V10,CD=3V10, AP平分∠CAD, ∠CAP=∠DAP, ∠CAP=∠CDP,∠DAP=∠DCP, ÷∠CDP=DCP, .PC=PD, CD是⊙O的直径， ÷∠CPD=90°， 在直角三角形PCD中，由勾股定理得：CD2=PC2+PD2=2PC2=90, 解得：PC=PD=35, .设AC=m,AD=2m, .CD=VAD2+AC2=Vm2+(2m)2=V90=310, .m=3V2, .AC=3v2,AD=6v2, ∠APC=∠ADC,∠CAP=∠DAP, ·∠ACP=∠AED, ∠AED=∠CEP, ÷∠ACP=∠CEP, ∠APC=∠CPE, ∴△ACP一△CEP, 46/62 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 PE.PA=PC2=45,① '∠CAP=∠DAP,∠APC=∠ADC .△ACP一△AED, 路始 AE.PA=AD.AC=36,② 0÷②得，是-=号 是 (3)解：在⊙O中，∠CPE=∠ADE,∠CEP=∠AED, ∴△CEP一△AED, AE DE AD 匝=P=PC .CE.DE=AE.PE, CE=x ÷DE=CD-CE=310-x, .b=AE.PE CE.DE=x(31/10-x), 过A作AM⊥CD于M,过P作PN⊥CD于N, E O D 则AM II CN,. ÷△AME一△PNE AM ME AE PN亦P距 AM·PE .PN = AE 在Rt△CPD中，∠CPD=90°， .CP.PD=CD.PN, CP·PDCD·PNCD·AM ∴.a= PEPE AE 在Rt△CAD中，∠CAD=90°， 47/62 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ÷CA·DA=CD.AM, ,∠CMA=∠CAD,∠ACM=∠DCA, ∴.△CMA一△CAD 端器 ∴.Ac2=CM.CD 由(2)知：AC=3V2,AD=6√2，CD=310, 0D.AM=32×62=36,AM=,CM=g= CD 5 3V10 ÷EM=lCE-CM=X5 在Rt△AME中，∠AME=90°， ·AE=√AMP+NE2= 6V/10x +18 36 .a=7 2-v画+18 号=2+18， 5 y=4030+b a2 3V29-6V+x3V0-x a2 18×36×2 +x(3/10-x) a2 362 = a+x(310-x) =x2-y@+18+310x-x2, 5 =厘x+18, 5 y=x+18, 5 ∴.由题意可得，x的范围是：0<x<310, 14.(2026·湖南省长沙市华益中学·一模)已知AB为⊙0的直径，AB=2,点C在⊙0上，连接0C,BC,过 点O作OD∥BC,交⊙O于点D,DE⊥OB,垂足为E. 48/62 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D C 图1 图2 图3 (1)如图1，连接BD,当DE的延长线恰好交⊙O于点C时，求证：四边形OCBD是菱形； (2)如图2，连接AC,DC,DC交半径OB于点F,当∠OCD=∠CAB时，求线段EF的长； ③如图3，连接AC,AD,DB,设△0加E面积为5，四边形C0的面积为s·=y如果s,=X5, (x>6),求y关于x的函数解析式. 【答案】(1)见解析 (2)EF =2- 2 (3)y=x2-8x+12(x>6) 【分析】(1)先推导出DE=CE,∠OED=∠BEC=90°，∠ODE=∠BCE,得到△OED≌△BEC(ASA),则 OD=BC,推导出四边形OCBD为平行四边形，再由DE⊥OB,得到四边形OCBD为菱形，即可解答； （2)①利用平行线的性质，圆周角定理和垂径定连得到酷=是则∠①E=∠08C=45°，器=是=号 21 即可得出结论； C3)先推导出△ABC-△0E,得到誉=（月=（月=4，即SABc=约，AC2=E,进而推导出0g =4DE3,DE2=02-0E2=1-0E3,得到0E2=4(1-0E),即0E2=,千，再由S,=51推导出45，+SaAD =S,得到20E+1之x·0E=0,解得0E=品得到()=，千，即可解答 【详解】(1)证明：如图1 图1 ,AB为⊙O的直径，DE⊥OB, .DE=CE,∠OED=∠BEC=90°， .OD∥BC, ∴.∠ODE=∠BCE, 49/62 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.△OED≌△BEC(ASA), ∴.OD=BC, ∴.四边形0CBD为平行四边形， .DE L OB, .四边形OCBD为菱形. (2)解：如图2 图2 AB为⊙O的直径， ∴.∠ACB=90°， .0D=0C=1, .∠0DC=∠0CD. OD∥BC, ∴.∠ODC=∠DCB. ∴.∠0CD=∠DCB. .∠0CB=2∠0CD. 0C=0B=1, ∴.∠OBC=∠0CB=2∠0CD. :∠CAB=2∠OCD, .∠CAB=∠CBA. ..CA=CB. 又0A=OB, ∴.∠B0C=90°， ,DE⊥OB, .∠0ED=90°. .∠0ED=∠B0C=90°. .OC∥DE 50/62 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 0B=0C,∠B0C=90°， .∠0BC=45°. .∠D0E=∠0BC=45°， :0E=DE=0D.tan45°=y2×1=2, 2 平-丽=工 1 解得EF= 2 (3)解：如图3 C 图3 ,AB=2,AB为⊙0的直径，DE⊥OB, ∴，0D=AB=1,∠ACB=∠DE0=90°， .OD∥BC, ∴.∠D0E=∠ABC, .△ABC-△DOE, 等=（月-（月-4 即S△ABC=4S1,AC2=4DE2, = .AC2=y0E2, 即y0E2=4DE2, ,∠0ED=90°， .DE2=0D2-0E2=1-0E2, ∴.y0E2=4(1-0E2), 即0e=本 S2=XS1 51/62 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .S△ABC+S△ABD=XS1, 4S1 +SAABD=XS1' 即4×0E·DE+5×2DE=x·0E·DE, DE(20E+1-x:0E)=0, DE>0, .20E+1-x.0E=0, 解得E=号 )= 4 4 -4=y十4 y+4=(x-4)2, .y=x2-8x+12(x>6). 考点02 与圆有关的计算 1. (2026·湖南省张家界市·一模)如图①是岳麓书院屋顶的图片，屋顶由图②中的瓦片构成，瓦片横截面 如图③所示，AB是以点O为圆心，OA为半径的弧，已知OA=AB=9cm,则AB的长是() 图① 图② 图③ A.18 xt cm B.12 t cm C.6cm D.3cm 【答案】D 【分析】根据OA=OB=AB=9cm,得到△OAB为等边三角形，得到圆心角∠AOB=60°，根据弧长公式 计算即可， 【详解】解：~0A=OB=AB=9cm, △OAB为等边三角形， .∠A0B=60°， 的长1师=601x9=3(cm, 180 52/62 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2.(2026·湖南长沙市雅礼集团·一模)如图，等腰三角形ABC内接于⊙0，且点0在底边AC上，AB=V2, 则B的长是() A A.J B. C.2n D. 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的性质，弧长公式，正确掌握相关性质内容是解 题的关键.先理解题意，得出∠A=∠C,AB=BC=V2,∠B0A=90°，故AC=√AB2+BC2=2,再 根据弧长公式列式计算，即可作答 【详解】解：，等腰三角形ABC内接于⊙O,且点O在底边AC上， .AC是直径，∠A=∠C,AB=BC=V2, 则∠ABC=90°， 连接OB B ,OC=OA,△ABC是等腰三角形， .0B⊥AC, 则∠B0A=90°， ..AC =AB2 BC2=2+2=2 ∴.A0=1 则露=四=行 180° 3.(2026·湖南湘潭市、株洲市部分学校一模)如图，⊙O的半径为2，C为AB上一点，连接AC、BC,若 ∠ACB=100°，则AB的长为() 53/62 扇学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B B.19π 9 C.20n 9 【答案】B 【分析】本题主要考查了求弧长，圆周角定理，圆内接四边形的性质，在优弧AB上取一点D,连接AD,BD, 根据圆内接四边形对角互补可得∠D,则由圆周角定理可得∠AOB的度数，最后根据弧长公式求解即可. 【详解】解：如图所示，在优弧AB上取一点D,连接AD,BD, ,四边形ACBD是圆内接四边形， ∴.∠C+∠D=180°， ,∠ACB=100°， .∠D=80°， .∠A0B=2∠D=160°， 的长为02=号， 故选：B. D B 4.(2026·湖南省娄底市涟源市·一模)如图，点A,B,C是⊙0上的点，且∠ACB=40°，阴影部分的 面积为2Ⅱ，则此扇形的半径为( ) B 54/62 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】B 【分析】此题主要是考查了扇形的面积公式，圆周角定理，能够求得∠AOB的度数是解答此题的关键 先由圆周角定理可得∠AOB的度数，再由扇形的面积公式求解即可. 【详解】解：，∠ACB=40°， ∴.∠AOB=2∠ACB=80°， ∴扇形A0B的面积为0空=2元， 360 ÷r=3, 故选：B. 5.(2026·湖南省湘西州凤凰县·一模)如图，把一块含30°的直角三角板的顶点A放在半径为3的圆盘上， 三角板的一条直角边及斜边分别与圆交于B,C两点，则图中BC的长为 【答案】 【分析】连接OB,OC,圆周角定理得到∠BOC=2∠A=60°，再根据弧长公式进行计算即可. 【详解】解：连接0B,0C,则由题意，得∠B0C=2∠A=60°，0B=0C=3, C的张为需×3= 6.(2026·湖南省岳阳市汨罗市多校·一模)如图，扇形0AB中，∠A0B=120°，0A=3cm,用该扇形围成 一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面周长为 cm. B 【答案】2n 55/62 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【分析】本题考查扇形弧长公式与圆锥侧面展开图的关系，解题思路是利用扇形弧长等于圆锥底面周长， 通过扇形弧长公式计算；考查的知识点是扇形弧长公式、圆锥侧面展开图的性质，用到的思想是转化思想， 方法是公式法，技巧是明确扇形弧长与圆锥底面周长的等量关系，解题关键是正确运用扇形弧长公式，易 错点是混淆扇形半径与圆锥底面半径的关系， 【详解】解：扇形0AB中，∠AOB=120°，0A=3cm, 1=0×3=21 故答案为2， 7,(2026·湖南省娄底市涟源市·一模)游乐场的摩天轮匀速旋转，其半径R=38米，摩天轮的最底部A到 水平地面MN的距离AB是2米，则最高点到水平地面MN的距离是米.已知摩天轮旋转一周需要30分钟， 小明乘坐的轿厢从最底部A出发，顺时针旋转10分钟到达点CG,此时点C到水平地面MN的距离是」 米 B 【答案】 78 59 【分析】根据题意先得出摩天轮的直径，再由摩天轮的最底部A到水平地面N的距离AB是2米求得摩天轮 的最高点到水平地面N的距离：过点C作CE⊥MN,交N于点E,过点O作OD⊥CE,交CE于点D,先证明 四边形D0BE是矩形，根据摩天轮旋转一分钟可旋转12°，摩天轮顺时针旋转10分钟到达点C得出∠A0C的 角度，进而求得∠COD的度数，再根据特殊角度直角三角形得出C①的长，最后计算得出CE的长度. 【详解】解：，摩天轮的半径R=38米， ∴.摩天轮的直径为76米， 又，摩天轮的最底部A到水平地面MN的距离AB是2米， ∴.摩天轮的最高点到水平地面MN的距离是76+2=78（米）， ,摩天轮旋转一周即旋转360°，需要30分钟， ∴.摩天轮旋转一分钟可旋转12°，摩天轮顺时针旋转10分钟到达点C, ∴.∠A0C=120°， 如图，过点C作CE⊥MN,交MN于点E,过点O作OD⊥CE,交CE于点D, 56/62 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D ME B N..OB L MN, .四边形DOBE是矩形， DE=0B=40米，∠C0D=120°-90°=30°， ×C0=38米， ÷CD=C0=19米， ÷CE=CD+DE=19+40=59(米)， 即点C到水平地面MN的距离是59米. 8.(2026·湖南长沙长郡教育集团·一模)若圆锥的母线长为3，底面半径是1，则这个圆锥侧面展开图的 圆心角是度. 【答案】120 【分析】圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长，首先求得展开图的弧长，然后根据弧长公式即可 求解 【详解】解：圆锥侧面展开图的弧长是：2， 设圆心角的度数是x度，则×3=2” 180 解得：x=120 故答案为：120. 9.(2026·湖南省衡阳市耒阳市童星实验学校·一模)如图1，是第19届杭州亚运会会徽，名为“潮涌”， 象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.如图2，是由两个扇形组成的会微的几何图形，己知 0B=10,0A=20,∠B0C=120°，则图2中的阴影部分的面积为 19th Asian Games Hangzhou 2022 图1 图2 【答案】100元 【详解】解：S阴影=20×1×@2-的=120×1xC02-12=100元， 360 360 57/62 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .图2中的阴影部分的面积为100π. 10.(2026·湖南省长沙市望城区·一模)如图所示的扇形0AB中，∠A0B=120°，过点0作0C10B,0C交 AB于点P,若OP=2,则阴影部分的面积为 【答案】3r-2V5 【分析】本题考查了不规则面积的计算，扇形面积的计算，解直角三角形，用扇形的面积减去三角形的面 积即可求解，掌握扇形的面积公式和解直角三角形是解题的关键. 【详解】解：，OC⊥OB, .∠B0C=90°， ∠A0B=120°，0A=0B, .∠PB0=30°， .0B=0P am80=页=2V3, 3 “阴影部分的面积为0xW②-×2V3×2=3-2√5， 360 故答案为：3n-2V3. 11.(2026·湖南湘潭市、株洲市部分学校一模)如图，点A、B、C在圆O上，∠ABC=60°，直线AD∥ BC,AB=AD,点O在BD上· D (1)判断直线AD与圆O的位置关系，并说明理由： (2)若圆的半径为6，求图中阴影部分的面积. 【答案】(1)直线AD与圆O相切，理由见解析 (2)12π-9√3 【分析】(1)连接A,根据AD∥BC和ABAD,可得∠DBG∠ABD∠D30°，从而得到∠BAD120°，再由 58/62 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 O4OB,可得∠BAC∠ABD30°，从而得到∠OAD90°，即可求解： (2)连接OC,作OH⊥BC于瓜根据垂径定理可得OH=OB=3,进而得到BC=2BH=6√/3，再根据阴影 部分的面积为S扇形BocS△Boc,即可求解。 【详解】(1)解：直线4D与圆O相切，理由如下： 如图，连接OA, .AD∥BC, ∴.∠D∠DBC, AB=AD, .∠D∠ABD, ∠ABC=60°， ∴.∠DBC∠ABD∠D30°， ∴.∠BAD120°， ,0作0B, ∴.∠BAC∠ABD30°， ∴.∠OAD90°， .OA⊥AD, ,OA是圆的半径， ∴.直线AD与园O相切， D (2)解：如图，连接OC,作OH L BC于H .0B0G6, ∴.∠0CB∠OBC-30°， .∠B0C120°， ∴.0H=0B=3, ∴.BH=VB02-0H=3/3, 59/62 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.BC=2BH=63, ∴扇形B0C的面积为20×62×1=12r, 360 :SA08c=BC.0H=×6V/3×3=9V3, ∴阴影部分的面积为S扇形B0cS△B0c=121-9V3. 12.(2026·湖南省湘西州凤凰县·一模)已知⊙0的半径为1，点A、PB、C在⊙0上， ∠APC=∠CPB=60°. 图① 图② 图③ (1)如图①，判断△ABC的形状为； (2)如图②，当P℃为⊙O的直径时，求图中阴影部分的面积： (3)如图③，当点P为AB上任意一点时，探究线段PC、PA、PB三者之间的关系，并证明. 【答案】(1)等边三角形 2后9 (3)PA+PB=PC,证明见解析 【分析】(1)根据同弧所对的圆周角相等，得出∠ABC=∠BAC=60°，再根据等边三角形的判定定理证 明即可； (2)连接A0,证明△A0P为等边三角形，再由直径所对的圆周角是直角，得出AC=V3,进而求出S扇形POA 和S△AoP,即可得出图中阴影部分的面积； (3)在PC上截取PD=PA,连接AD,先证明△PAD是等边三角形，再证明△PAB≌△DAC(SAS),得到 PB=DC,即可得出答案， 【详解】(1)解：AC=AC,BC=BC,∠APC=∠CPB=60°， :∠ABC=∠APC=60°，∠BAC=∠CPB=60°， ∴△ABC是等边三角形， 故答案为：等边三角形： (2)解：如图，连接A0, 60/62 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B ∠APC=60°，A0=0P=1, △AOP为等边三角形， ·∠A0P=60°，AP=1, PC为⊙0的直径， ∠PAC=90°， ·AC=VCp2-AP2=V22-12=V5, ∴S用形0A=0=行，SA0P=5Am=xP,AC=x×1×V5=5, 360 4 第 ·阴影部分的面积=S扇形PoAS△A0P=。4) (3)解：PA+PB=PC,证明如下： 如图，在PC上截取PD=PA,连接AD, A D D O B C ∠APC=60°， △PAD是等边三角形 ·PA=AD=PD,∠PAD=60°， ÷∠PAD=∠BAC, ·∠PAB=∠DAC, 在△PAB和△DAC中， AP AD ∠PAB=∠DAC, AB=AC △PAB≌△DAC(SAS), 61/62 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ÷PB=DC, PD+DC=PC, .PA+PB=PC. 62/62 专题06 圆 3大考点概览 考点01圆的有关概念和性质 考点02与圆有关的位置关系 考点03与圆有关的计算 圆的有关概念和性质 考点01 1．(2026·湖南省娄底市涟源市·一模)同一平面内，已知的半径，点到直线的距离，则与直线的位置关系是（　　） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 2．(2026·湖南省岳阳市汨罗市多校·一模)如图，是的直径，点，在上，点是的中点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．(2026·湖南省娄底市涟源市·一模)如图，是的直径，C，D是上的点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．(2026·湖南省郴州市·一模) 如图，点A，B，C，D在上，，，则等于（   ） A． B． C． D． 5．(2026·湖南省娄底市涟源市·一模)如图，四边形内接于，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 6．(2026·湖南省长沙市华益中学·一模)如图，四边形内接于，连接．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 7．(2026·湖南省长沙市望城区·一模)如图，为的直径，弦与交于点，若，，则的度数为（   　） A． B． C． D． 8．(2026·湖南长沙长郡教育集团·一模)如图，A，B，C为上的三个点，，若，则的度数是（   ） A．30° B．20° C．15° D．10° 9．(2026·湖南省张家界市·一模)如图，的直径，弦于E，，则的长为（   ） A． B． C． D． 10．(2026·湖南省邵阳市·一模)如图，⊙是的内切圆，，则_____． 11．(2026·湖南长沙市雅礼集团·一模)如图，点、、是半径为的上的三个点，若，则弦的长等于_________． 12．(2026·湖南省衡阳市耒阳市童星实验学校·一模)如图，是的外接圆，，若点O到的距离为2，则BC的长为______．    13．(2026·湖南省长沙市华益中学·一模)如图是一条隧道的横截面，它是以点O为圆心的圆的一部分，如果是中弦的中点，经过圆心O交于点D，并且，的半径长为，则隧道的高为________． 14．(2026·湖南株洲渌口区四校联考·一模)如图，是圆O的直径，垂直弦于点C，的延长线交圆O于点E，连接，若，则的长为____________． 15．(2026·湖南省衡阳市·一模)如图，在⊙中，直径与弦相交于点，连接、． (1)求证：； (2)连接，若，，求⊙的半径． 16．(2026·湖南省怀化市第四中学等校·一模)如图，已知点P是外的一点，直线交于点．①分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧有两个交点，过这两个交点作直线，交于点T；②以T为圆心，长为半径画弧，交于点C，作射线．连接，作，垂足为D． (1)由作图过程可知：点T是线段的__________； __________°； (2)在（1）的条件下，求证：平分； (3)如果，，求的半径． 17．(2026·湖南省张家界市·一模)如图，四边形内接于，的延长线相交于点E，相交于点F，G是上一点，交于点H，且，． (1)请直接写出与，的数量关系：_________； (2)求证：； (3)若，，，求的周长． 18．(2026·湖南省长沙市望城区·一模)如图，四边形是内接四边形，对角线与相交于点，对角线平分．点 在线段上，满足，连接，． (1)求证：； (2)若 ，求 的值； (3)若，的半径为，记 ，，试求出关于的函数解析式，并直接写出的最大值． 19．(2026·湖南长沙长郡教育集团·一模)如图1，是的直径，是的弦，的平分线交于点B，交于M，连接． (1)填空：__________，__________，__________；（直接将结果写在相应的横线上） (2)如图2，过点D作，垂足为N，若，求的值； (3)如图3，记，， ①试用含m，n的式子表示； ②若点I是的内心，试用含m，n的式子表示． 与圆有关的位置关系 考点02 1．(2026·湖南湘潭湘乡东皋学校·一模)如图，是的直径，点A在的延长线上，是的切线，B为切点，连接，若，则的度数为________． 2．(2026·湖南湘潭湘乡东皋学校·一模)完成下列各题： (1)如图1，已知直线与相切于点C，且，求证：． (2)如图2，矩形的两条对角线相交于点O，，，求的长． 3．(2026·湖南省娄底市涟源市·一模)如图，是的直径，是弦延长线上一点，切线平分于． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的直径． 4．(2026·湖南省邵阳市·一模)如图，内接于，为的直径，点D在的延长线上，连接，，过点B作，交于点E． (1)求证：是的切线； (2)若点B是的中点，且，求的半径． 5．(2026·湖南长沙长郡教育集团·一模)如图，在中，，以为直径的交于点E，点D为的中点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的度数． 6．(2026·湖南株洲渌口区四校联考·一模)如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的半圆O与边BC相交于点D，DE⊥AB，垂足为E． (1)求证：点D是BC的中点； (2)判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论； (3)若⊙O的直径为18，BC=12，求DE的长． 7．(2026·湖南省娄底市·一模)如图，是的直径，点D是直径上（不与A，B重合的一点），过点D作，且，连接交于点F，在上取一点E，使． (1)求证：是的切线； (2)当D是的中点时，，求的长． 8．(2026·湖南省长沙市望城区·一模)如图，是的直径，是的弦，作交于点，连接交于点，若． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的长． 9．(2026·湖南省郴州市·一模)如图，是的内接三角形，是的直径，过点A作直线交的延长线于点D，使得________，请从“①；②”中任选一个条件填在横线上（填序号“①”或“②”），并解决下列问题： (1)题干横线上所填序号为：_______ (2)求证：为的切线； (3)若，，求的长度（结果保留）． 10．(2026·湖南省永州市·一模)已知与相切于点与相交于点D，E为上一点． (1)如图①，求的大小； (2)如图②，当时，与相交于点，延长与相交于点，若的半径为3，求和的长． 11．(2026·湖南长沙市雅礼集团·一模)如图，是的一条弦，点是外一点，，交于点、交于点，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 12．(2026·湖南省岳阳市汨罗市多校·一模)如图，过上的动点作的切线，在上取点（异于点），使得，弦，连接交于点，连接并延长，交于点，连接． (1)求证：是 的切线； (2)记，；的面积分别为，，，当时，求的值； (3)设的半径为，当 时，求四边形的面积．（用含的式子表示） 13．(2026·湖南省岳阳市汨罗市多校·一模)如图，四边形是的内接四边形，点是延长线上一点，连接交直径于，若，，． (1)求证：与相切； (2)若平分，求的值； (3)设，记，若，求关于的函数解析式，并求自变量的取值范围． 14．(2026·湖南省长沙市华益中学·一模)已知为的直径，，点在上．连接，过点作，交于点．，垂足为． (1)如图1，连接，当的延长线恰好交于点时，求证：四边形是菱形； (2)如图2，连接，，交半径于点，当时，求线段的长； (3)如图3，连接，，，设面积为，四边形的面积为，，如果，求关于的函数解析式． 与圆有关的计算 考点02 1．(2026·湖南省张家界市·一模)如图①是岳麓书院屋顶的图片，屋顶由图②中的瓦片构成，瓦片横截面如图③所示，是以点O为圆心，为半径的弧，已知，则的长是（） A． B． C． D． 2．(2026·湖南长沙市雅礼集团·一模)如图，等腰三角形内接于，且点在底边上，，则的长是（   ） A． B． C． D． 3． (2026·湖南湘潭市、株洲市部分学校一模)如图，的半径为2，C为上一点，连接，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 4．(2026·湖南省娄底市涟源市·一模)如图，点A，B，C是上的点，且，阴影部分的面积为，则此扇形的半径为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．(2026·湖南省湘西州凤凰县·一模)如图，把一块含的直角三角板的顶点A放在半径为3的圆盘上，三角板的一条直角边及斜边分别与圆交于B，C两点，则图中的长为________． 6．(2026·湖南省岳阳市汨罗市多校·一模)如图，扇形中，，，用该扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面周长为________cm． 7．(2026·湖南省娄底市涟源市·一模)游乐场的摩天轮匀速旋转，其半径米，摩天轮的最底部A到水平地面的距离是2米，则最高点到水平地面的距离是______米．已知摩天轮旋转一周需要30分钟，小明乘坐的轿厢从最底部A出发，顺时针旋转10分钟到达点C，此时点C到水平地面的距离是______米． 8．(2026·湖南长沙长郡教育集团·一模)若圆锥的母线长为3，底面半径是1．则这个圆锥侧面展开图的圆心角是______度． 9．(2026·湖南省衡阳市耒阳市童星实验学校·一模)如图1，是第19届杭州亚运会会徽，名为“潮涌”，象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展．如图2，是由两个扇形组成的会徽的几何图形，已知，则图2中的阴影部分的面积为_____． 10．(2026·湖南省长沙市望城区·一模)如图所示的扇形中，，过点作，交于点，若，则阴影部分的面积为 _____． 11．(2026·湖南湘潭市、株洲市部分学校一模)如图，点A、B、C在圆O上，，直线，，点O在BD上． (1)判断直线AD与圆O的位置关系，并说明理由； (2)若圆的半径为6，求图中阴影部分的面积． 12．(2026·湖南省湘西州凤凰县·一模)已知的半径为1，点A、P、B、C在上，． (1)如图①，判断的形状为 ； (2)如图②，当为的直径时，求图中阴影部分的面积； (3)如图③，当点P为上任意一点时，探究线段、、三者之间的关系，并证明． 2/23 1/23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $