精品解析：2026年湖南衡阳市衡阳县初中学业水平模拟考试（一）数学试卷

衡阳县2026年初中学业水平模拟考试（一） 数学 本试题卷共6页，时量120分钟，满分120分． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号写在答题卡和本试题卷上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号和相关信息； 2．选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹； 3．非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效； 4．在草稿纸上、试题卷上作答无效； 5．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 6．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各数中，比小的数是（） A. 1 B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据有理数大小比较规则：正数大于，大于所有负数，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．求解即可． 【详解】解∶∵，，，， ∴， ∴比小的数是． 2. 如图是我们生活中常用的2号电池及其示意图，可以近似看作一个圆柱体上叠放着另一个圆柱体，则其俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：从上往下看，可以看到最上面的两个圆面，所以俯视图是两个同心圆组成的图形（两个圆都是实线）． 3. 据文化和旅游部数据中心测算，年清明节假期天，全国国内出游约亿人次，同比增长．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查幂的相关运算法则，需根据合并同类项、同底数幂乘法、同底数幂除法、积的乘方的法则逐一判断选项正误． 【详解】选项A，合并同类项时，系数相加，字母及指数不变， ∴，故选项A错误； 选项B，同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ∴，故选项B错误； 选项C，同底数幂相除，底数不变，指数相减， ∴，故选项C正确； 选项D，积的乘方，等于每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘， ∴，故选项D错误． 5. 将不等式的解集表示在数轴上，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：解不等式得：， 在数轴上表示为 6. 如图1，是一张可以折叠的椅子，将它打开后的截面如图2所示．若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据邻补角的定义求出的度数，再由平行线的性质即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴, ∵， ∴ ． 7. 在平面直角坐标系中，若点先向右平移再向下平移，则点可能移动到下列哪个点的位置（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的平移规律，解题思路是根据平移方向确定平移前后横、纵坐标的关系，再结合各选项判断即可． 【详解】解：设平移后点的坐标为，由平移方向可知平移后点的横坐标满足，纵坐标满足． A选项，横坐标，故A选项不符合题意； B选项，横坐标，故B选项不符合题意； C选项，纵坐标，故C选项不符合题意； D选项，横坐标，纵坐标，故D选项符合题意． 8. 今年是我国“十五五”开局之年，因此2026年春晚主题“骐骥驰骋 势不可挡”紧扣生肖马的奔腾意象，暗含“奇迹”之意，寓意国家发展和个人奋斗的双重奋进．在春晚主题的八个字中，选取一个字，是左右结构字的概率为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：因为在春晚主题“骐骥驰骋 势不可挡”的八个字中，是左右结构字有5个， 所以左右结构字的概率为． 9. 如图，在中，，分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，，连接交于点，连接，若，，则长为（ ） A. B. 8 C. D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据基本作图，线段垂直平分线的性质，勾股定理，解答即可． 【详解】解：根据题意，得是的垂直平分线， ， ， ． 10. 如图1，点E，F，G，H分别位于正方形的四条边上，，四边形的面积为，y与x之间的函数图象如图2所示，则下列说法错误的是（） A. 的长为1 B. 四边形是正方形 C. 四边形面积的最小值为 D. 当时，y与x之间的函数表达式为 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象可知当时，此时四边形即为正方形，可求出的长；通过证明三角形全等可判定四边形的形状；利用勾股定理或面积法求出与的函数关系式，进而求出最小值并判断各选项，即可求解． 【详解】解：由图2可知，当时，，此时点与重合，四边形即为正方形， 正方形的面积为，即， ， ，故A选项说法正确； 四边形是正方形，，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 同理可得，， 四边形是正方形，故B选项说法正确； 在中，， ， ， 当时，有最小值，故C选项说法正确； 当时，与的函数表达式为，故D选项说法错误． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．把正确答案直接写在答题卡对应题目的横线上） 11. 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 12. 若为正整数，且满足，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键．先估算的取值范围，得出，又因为n为正整数，且满足，即可得出． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵为正整数，且满足， ∴， 故答案为：． 13. 如图，点P是反比例函数y＝（k≠0）的图象上任意一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M．若△POM的面积等于2，则k的值等于_ 【答案】-4 【解析】 【分析】利用反比例函数k的几何意义得到|k|=2，然后根据反比例函数所在的象限确定k的值． 【详解】∵△POM的面积等于2，∴|k|=2． ∵反比例函数图象过第二象限，∴k＜0，∴k=﹣4． 故答案为﹣4． 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数y=图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．也考查了反比例函数的性质． 14. 如图，在正六边形中，连接，相交于点，则的度数为________． 【答案】##60度 【解析】 【分析】本题主要考查正多边形内角的问题和性质，等腰三角形的性质等，熟练掌握是解答本题的关键．根据正六边形得出，，由等边对等角得出，，再根据三角形的外角即可得出答案． 【详解】解：六边形是正六边形， ，， ，， 在中，， 故答案为：． 15. 《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭尺随箭壶中的水位匀速上浮，通过读取箭尺读数可指示时间（如图），观察、记录数据如下表（未记录完整）： 箭尺读数 1 6 21 31 指示时间 ？ 则箭尺读数为时，指示时间应为______． 【答案】 【解析】 【分析】以为时间起点，设经过x小时后，箭尺读数为，根据“箭尺随箭壶中的水位匀速上浮”并结合表格，列出函数关系式，进而进行计算即可求解． 【详解】解：由表格可得，至，读数从变成了； 至，读数从变成了， ∴箭尺每小时匀速上升， 以为时间起点，设经过x小时后，箭尺读数为， ∴ 设当箭尺读数为时， 解得． ∴从经过8小时后，指示时间为． 16. 如图，在中，，点D，E，F分别在边，，上，已知，垂直平分． （1）若，则的度数为________； （2）下列结论正确的是________．（写出所有正确结论的序号） ①若D为的中点，则F为的中点； ②若连接，则四边形为菱形； ③若，，则的长为． 【答案】 ①. ②. ①②③ 【解析】 【分析】（1）先根据三角形的外角性质求出，再结合线段垂直平分线的性质以及三线合一求解即可； （2）①利用平行线分线段成比例定理求解；②根据线段垂直平分线的性质以及四边相等的四边形是菱形证明即可；③先由勾股定理求解，再根据，得到，即可求解． 【详解】解：（1）∵ ∴ ∴ ∵垂直平分 ∴ ∴； （2）①∵D为的中点， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴ ∴F为的中点，故①正确 ②如图， ∵垂直平分 ∴， ∵ ∴ 由（1）可得， ∴ ∴， ∴ ∴四边形为菱形，故②正确； ∵四边形是菱形， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴，故③正确， ∴正确的有①②③． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】原式括号中两项通分计算，同时利用除法法则转化为乘法，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ， 当时，原式． 19. 如图，四边形内接于，且是的直径，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接，过点作的切线与的延长线相交于点，若，求的长． 【答案】（1）详见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、切线的性质定理、圆周角定理： （1）证明后，即可得到； （2）利用切线性质和等边对等角得，再利用特殊角的三角函数值得到的半径，最后用弧长公式即可． 【小问1详解】 证：是的直径， ， ， ， ， ， ， ． 【小问2详解】 解：是的切线， ，即， ， ， 设，则， ， ， ， 在中，， ， 解得， ， 在中，， 的半径， 由（1）知，， ， 的长． 20. 【问题背景】2026年4月23日是第31个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍． 【素材呈现】 素材一：有A，B两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高20%； 素材二：用18000元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个； 素材三：A种书架的数量不少于B种书架数量的． 【问题解决】 （1）求A，B两种书架的单价； （2）设购买a个A种书架，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式及w的最小值． 【答案】（1）A种书架的单价为1200元，B种书架的单价为1000元 （2），w的最小值为21600 【解析】 【分析】（1）根据“数量总价单价”列代数式求出两种书架的数量，根据两者数量之间的关系列方程； （2）根据两种书架的数量之间的关系列不等式求得的取值范围，再根据“总费用 A种书架的单价数量 B种书架的单价数量”列出一次函数，利用一次函数的增减性求解． 【小问1详解】 解：设B种书架的单价为x元，则A种书架的单价为元． 根据题意，得． 解得． 经检验，是所列分式方程的解，且符合题意． ． 答：A种书架的单价为1200元，B种书架的单价为1000元． 【小问2详解】 解：∵购买a个A种书架， ∴购买个B种书架． ∵A种书架的数量不少于B种书架数量的， ∴，解得． 根据题意，得． ∵， ∴w随a的增大而增大． ∴当时，w取得最小值，最小值为21600． 答：w与a的函数关系式为，w的最小值为21600． 21. 为践行“健康第一”教育理念，落实中小学生每天综合体育活动时间不低于小时，丰富课后服务体育项目，增加学生户外活动时长，某中学每天除了以课程方式安排小时的集中体育活动外，还鼓励学生利用课余时间积极锻炼、增强体能．为了解该校七年级男生体能情况，随机抽取20名男生进行体能测试，并对测试成绩（单位：分）进行统计分析． 【收集数据】 【整理数据】 该校规定：为不合格，为合格，为良好，为优秀．（成绩用表示） 等次 不合格 合格 良好 优秀 合计 频数（人数） 频率 【分析数据】 此组数据的平均数是，众数是，中位数是． 【解决问题】 （1）填空：________，________，________； （2）若该校七年级共有男生人，估计体能测试达到优秀的男生有多少人； （3）体育老师对本次测试数据分析后，准备对成绩排在前一半的男生进行奖励．小林说：“我的测试成绩是分，高于平均数，所以肯定会得到奖励．”你认为小林的说法是否正确？请说明理由． 【答案】（1）；；； （2）估计该校七年级男生体能测试达到优秀的有人 （3）小林的说法不正确， 理由：得到奖励的男生成绩应该大于或等于中位数分，小林成绩虽然高于平均数，但是小于中位数，所以小林的说法不正确． 【解析】 【分析】（1）根据抽查到的人中，达到良好的频率为，可以求出达到良好的人数，即为良好的人数；根据众数是数据中出现次数最多的数据求出；把这一组数据按照从小到大排列，可得中位数是第名和第名的平均数，再根据第名和第名的成绩求出中位数； （2）用抽查的数据中达到优秀的频率估计总体达到优秀的频率求出七年级男生达到的优秀人数； （3）得到奖励的男生成绩应该大于或等于中位数分，小林成绩虽然高于平均数，但是小于中位数，所以小林的说法不正确． 【小问1详解】 解：由统计表可知，抽查到的人中，达到良好的频率为， ； 由数据可知，出现次数最多的数据是，共出现了次， 这组数据的众数为， 由中位数的定义可知，中位数是把这一组数据按照从小到大排列，第名和第名的平均数， 把这一组数据按照从小到大排列，可得：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、， 可知第名和第名都是分， 这组数据的中位数是； 【小问2详解】 解：由统计表可知，抽查的人中成绩达到优秀的频率为， 估计该校七年级的名男生，达到优秀的人数为（人）； 【小问3详解】 解：小林的说法不正确， 理由：得到奖励的男生成绩应该大于或等于中位数分，小林成绩虽然高于平均数，但是小于中位数，所以小林的说法不正确． 22. 凤凰古城是湖南十大文化遗产之一，沱江作为古城的母亲河，不仅承载着丰富的历史文化底蕴，还以其独特的自然风光和人文景观吸引着无数游客．为了促进古城旅游业发展，古城文旅局计划在端午节期间举办“端午探宝”定向寻宝赛，以古城街巷为场地还原古驿道寻宝路线．如图，已知打卡点C位于打卡点A正东方向2000米，打卡点D在打卡点A的东北方向，打卡点B在打卡点A的南偏东方向，打卡点C在打卡点B的北偏西方向，打卡点C在打卡点D的东南方向． （1）求打卡点B与打卡点C之间的距离； （2）比赛中，小衡从打卡点A出发，沿向B点匀速奔跑；小阳从打卡点D出发，沿向B点匀速奔跑，且两人经过A，C两点均不停留．若两人同时出发，速度相同，谁先到达B点？请通过计算说明． 【答案】（1）打卡点B与打卡点C之间的距离为米 （2）小衡先到达B点 【解析】 【分析】（1）过点C作，在中利用三角函数求解； （2）过点D作，可证为等腰直角三角形，利用三角函数求出的值，再在利用三角函数求解． 【小问1详解】 解：如图，过点C作于点E． 在中，米，， ∴米． 在中，， ∴（米）． 答：打卡点B与打卡点C之间的距离为米． 【小问2详解】 解：小衡先到达B点，理由如下： 由（1）知，小衡的路程为米． 如图，过点D作于点F． 由题意可知， ∴为等腰直角三角形． 在中，米，， ∴（米） 在中，米，， ∴（米）． 在中，，， ∴米，． ∴小阳的路程为米． ∵， ∴小衡先到达B点． 23. 综合与探究： 数学活动课上，同学们每人画了一个矩形，然后剪了一个直角三角形纸片并记为，，，将这个直角三角形纸片和矩形按图1摆放，使两个图形的点重合，点在上，点在上，将直角三角形纸片绕点顺时针方向旋转，观察图形的变化，完成探究活动． （1）【特例探究】如图2，某生画的矩形恰好是正方形，连接，则线段的数量关系是_________，位置关系是_________； （2）【问题解决】将图1中直角三角形纸片绕点顺时针旋转，位置如图3所示，连接、，（1）中与的位置关系是否仍成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由； （3）【拓广探索】如图4，若矩形中，，直角三角形纸片中，，，将直角三角形纸片绕点顺时针方向旋转，使三点恰好在同一直线上，求的长． 【答案】（1）， （2）成立，证明见解析； （3）或． 【解析】 【分析】（1）延长分别交、于点、，根据题意证明，得到，，再结合对顶角相等和三角形内角和定理可得，可得； （2）令与交于点，延长分别交、于点、，证明，得到，再结合对顶角相等和三角形内角和定理可得，可得； （3）连接，利用勾股定理求出，，分两种情况讨论：①当三点在同一直线上，且点在点、之间时，同（2）理可证，，则，再结合勾股定理列方程求解即可；②当三点在同一直线上，且点在点、之间时，同①理求解即可． 【小问1详解】 解：如图2，延长分别交、于点、， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ，即； 【小问2详解】 解：成立，证明如下： 如图3，令与交于点，延长分别交、于点、， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即； 【小问3详解】 解：如图，连接， 四边形是矩形， ，， ， ， ， 在中，，， ， ， ①如图，当三点在同一直线上，且点在点、之间时， 同（2）理可证，， ， ， ， 由（2）可知，， ， ， 整理得： 解得：或（舍）； ②如图，当三点在同一直线上，且点在点、之间时， 同①理可得，，， ， ， 整理得： 解得：或（舍）； 综上可知，的长为或． 24. 如图，是坐标原点，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，其中． （1）求b、c的值； （2）点为抛物线上第一象限内一点，连结，与直线交于点，若，求点D的坐标； （3）若为抛物线的顶点，平移抛物线使得新顶点为，若又在原抛物线上，新抛物线与直线交于点，连结．探新抛物线与轴是否存在两个不同的交点．若存在，求出这两个交点之间的距离；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）或； （3）存在，这两个交点之间的距离为 【解析】 【分析】（1）理解题意，分别把代入，进行计算，即可作答． （2）先得，再证明，运用，得，设点的纵坐标为，则点D的纵坐标为，再分别求出的解析式为，的解析式为，整理得点，因为点为抛物线上第一象限内一点，得，解得，即可作答． （3）先求出，再整理得平移后的抛物线的解析式为，因为点在，则，即，故，所以是等腰三角形，再结合解直角三角函数得，代入数值计算得，再运用换元法进行整理得，解得，平移后的抛物线解析式为，求出，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，分别把代入， 得， 解得． 【小问2详解】 解：由（1）得， 则， 令，则， ∴， 故， 分别过点E、D作如图所示： ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设点的纵坐标为，则点D的纵坐标为， 设的解析式为， ∵，， ∴， 解得， ∴的解析式为， 把代入， 得， ∴， ∴， 设的解析式为， 把，分别代入， 得， 解得， ∴的解析式为， 依题意，把代入， 得， 则， 即点， ∵点为抛物线上第一象限内一点，且， ∴， 整理得， ∴； 此时的，故是符合题意的； 当时，则，此时， 当时，则，此时， 综上：或； 【小问3详解】 解：存在，过程如下： 由（2）得， 整理 ∵为抛物线的顶点， ∴， ∵平移抛物线使得新顶点为，又在原抛物线上，新抛物线与直线交于点，连结． 如图所示： ∴平移后的抛物线的解析式为， 把代入， 得， ∵点在， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 则， 即 ∴是等腰三角形， 过点作， ∵， ∴， 则， ∴， 令， ∴， 即， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∴或， ∴（舍去）或， ∴， ∴平移后的抛物线解析式为， 令则， ∴， 即， ∴， 则， ∴新抛物线与轴存在两个不同的交点，这两个交点之间的距离为． 【点睛】本题考查了二次函数的几何综合，待定系数法求解析式，相似三角形的判定与性质，平移的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，解直角三角形的相关运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 衡阳县2026年初中学业水平模拟考试（一） 数学 本试题卷共6页，时量120分钟，满分120分． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号写在答题卡和本试题卷上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号和相关信息； 2．选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹； 3．非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效； 4．在草稿纸上、试题卷上作答无效； 5．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 6．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各数中，比小的数是（） A. 1 B. 0 C. D. 2. 如图是我们生活中常用的2号电池及其示意图，可以近似看作一个圆柱体上叠放着另一个圆柱体，则其俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 据文化和旅游部数据中心测算，年清明节假期天，全国国内出游约亿人次，同比增长．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 将不等式的解集表示在数轴上，正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图1，是一张可以折叠的椅子，将它打开后的截面如图2所示．若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，若点先向右平移再向下平移，则点可能移动到下列哪个点的位置（ ） A. B. C. D. 8. 今年是我国“十五五”开局之年，因此2026年春晚主题“骐骥驰骋 势不可挡”紧扣生肖马的奔腾意象，暗含“奇迹”之意，寓意国家发展和个人奋斗的双重奋进．在春晚主题的八个字中，选取一个字，是左右结构字的概率为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，，连接交于点，连接，若，，则长为（ ） A. B. 8 C. D. 10 10. 如图1，点E，F，G，H分别位于正方形的四条边上，，四边形的面积为，y与x之间的函数图象如图2所示，则下列说法错误的是（） A. 的长为1 B. 四边形是正方形 C. 四边形面积的最小值为 D. 当时，y与x之间的函数表达式为 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．把正确答案直接写在答题卡对应题目的横线上） 11. 分解因式：________． 12. 若为正整数，且满足，则__________． 13. 如图，点P是反比例函数y＝（k≠0）的图象上任意一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M．若△POM的面积等于2，则k的值等于_ 14. 如图，在正六边形中，连接，相交于点，则的度数为________． 15. 《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭尺随箭壶中的水位匀速上浮，通过读取箭尺读数可指示时间（如图），观察、记录数据如下表（未记录完整）： 箭尺读数 1 6 21 31 指示时间 ？ 则箭尺读数为时，指示时间应为______． 16. 如图，在中，，点D，E，F分别在边，，上，已知，垂直平分． （1）若，则的度数为________； （2）下列结论正确的是________．（写出所有正确结论的序号） ①若D为的中点，则F为的中点； ②若连接，则四边形为菱形； ③若，，则的长为． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，四边形内接于，且是的直径，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接，过点作的切线与的延长线相交于点，若，求的长． 20. 【问题背景】2026年4月23日是第31个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍． 【素材呈现】 素材一：有A，B两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高20%； 素材二：用18000元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个； 素材三：A种书架的数量不少于B种书架数量的． 【问题解决】 （1）求A，B两种书架的单价； （2）设购买a个A种书架，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式及w的最小值． 21. 为践行“健康第一”教育理念，落实中小学生每天综合体育活动时间不低于小时，丰富课后服务体育项目，增加学生户外活动时长，某中学每天除了以课程方式安排小时的集中体育活动外，还鼓励学生利用课余时间积极锻炼、增强体能．为了解该校七年级男生体能情况，随机抽取20名男生进行体能测试，并对测试成绩（单位：分）进行统计分析． 【收集数据】 【整理数据】 该校规定：为不合格，为合格，为良好，为优秀．（成绩用表示） 等次 不合格 合格 良好 优秀 合计 频数（人数） 频率 【分析数据】 此组数据的平均数是，众数是，中位数是． 【解决问题】 （1）填空：________，________，________； （2）若该校七年级共有男生人，估计体能测试达到优秀的男生有多少人； （3）体育老师对本次测试数据分析后，准备对成绩排在前一半的男生进行奖励．小林说：“我的测试成绩是分，高于平均数，所以肯定会得到奖励．”你认为小林的说法是否正确？请说明理由． 22. 凤凰古城是湖南十大文化遗产之一，沱江作为古城的母亲河，不仅承载着丰富的历史文化底蕴，还以其独特的自然风光和人文景观吸引着无数游客．为了促进古城旅游业发展，古城文旅局计划在端午节期间举办“端午探宝”定向寻宝赛，以古城街巷为场地还原古驿道寻宝路线．如图，已知打卡点C位于打卡点A正东方向2000米，打卡点D在打卡点A的东北方向，打卡点B在打卡点A的南偏东方向，打卡点C在打卡点B的北偏西方向，打卡点C在打卡点D的东南方向． （1）求打卡点B与打卡点C之间的距离； （2）比赛中，小衡从打卡点A出发，沿向B点匀速奔跑；小阳从打卡点D出发，沿向B点匀速奔跑，且两人经过A，C两点均不停留．若两人同时出发，速度相同，谁先到达B点？请通过计算说明． 23. 综合与探究： 数学活动课上，同学们每人画了一个矩形，然后剪了一个直角三角形纸片并记为，，，将这个直角三角形纸片和矩形按图1摆放，使两个图形的点重合，点在上，点在上，将直角三角形纸片绕点顺时针方向旋转，观察图形的变化，完成探究活动． （1）【特例探究】如图2，某生画的矩形恰好是正方形，连接，则线段的数量关系是_________，位置关系是_________； （2）【问题解决】将图1中直角三角形纸片绕点顺时针旋转，位置如图3所示，连接、，（1）中与的位置关系是否仍成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由； （3）【拓广探索】如图4，若矩形中，，直角三角形纸片中，，，将直角三角形纸片绕点顺时针方向旋转，使三点恰好在同一直线上，求的长． 24. 如图，是坐标原点，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，其中． （1）求b、c的值； （2）点为抛物线上第一象限内一点，连结，与直线交于点，若，求点D的坐标； （3）若为抛物线的顶点，平移抛物线使得新顶点为，若又在原抛物线上，新抛物线与直线交于点，连结．探新抛物线与轴是否存在两个不同的交点．若存在，求出这两个交点之间的距离；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $