专题04 三角形（5大考点）（湖南专用）2026年中考数学一模分类汇编

专题04 三角形 5大考点概览 考点01几何初步 考点02三角形及其全等 考点03等腰三角形 考点04相似 考点05解直角三角形 几何初步 考点01 1．(2026·湖南省娄底市·一模)投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．若四位投壶者分别站在直线l上的点A，B，C，D处往点P处的壶内投箭矢，小明认为站在点C处的投壶者最近会更容易获胜，其中蕴含的数学道理是（   ） A．垂线段最短 B．线段可以度量 C．两点确定一条直线 D．两点之间，线段最短 2．(2026·湖南省永州市·一模)榫卯结构是两个构件采取凹凸结合的连接方式．如图是某个构件的截面图，其中，，则（    ） A． B． C． D． 3．(2026·湖南省怀化市第四中学等校·一模)如图，，，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 4．(2026·湖南长沙长郡教育集团·一模)光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中斜射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，则（    ） A． B． C． D． 5．(2026·湖南省衡阳市耒阳市童星实验学校·一模)如图，平行于主光轴的光线和经过凸透镜折射后，折射光线，交于主光轴上一点，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 6．(2026·湖南省长沙市望城区·一模)如图，直线，若，于点，则为（   ） A． B． C． D． 7．(2026·湖南省衡阳市·一模)如图，的直角顶点A在直线a上，斜边在直线b上，若，则（    ）    A． B． C． D． 8．(2026·湖南省娄底市·一模)如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当时，则的度数为（    ） A． B． C． D． 9．(2026·湖南长沙市雅礼集团·一模)如图，将直尺与三角尺叠放在一起，如果，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 10．(2026·湖南省长沙市华益中学·一模)将一把直尺与一块含有角的直角三角板按如图方式放置，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 11．(2026·湖南省岳阳市汨罗市多校·一模)下列命题是真命题的是（    ） A．9的算术平方根是 B．同位角相等 C．点和点关于轴对称，则的值为5 D．在一个直角三角形中，已知两边长为3和4，则第三边长为5 12．(2026·湖南省娄底市涟源市·一模)如图，将一把剪刀张开一定的角度，若，则______． 13．(2026·湖南省张家界市·一模)已知直线，将一块含角的直角三角板按如图所示方式放置，并且顶点A，C分别落在直线a，b上，若，则的度数是_________． 14．(2026·湖南省郴州市·一模)如图，将一块正方体货柜静止放在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，摩擦力的方向与斜面平行，支持力的方向与斜面垂直．若摩擦力与重力G的夹角，则斜面的坡角________度． 三角形及其全等 考点02 1．(2026·湖南省邵阳市·一模)如图，已知，请你添加一个条件，使得，你添加的条件是______．（不添加任何字母和辅助线） 2．(2026·湖南省衡阳市·一模)如图，点、、、在同一条直线上，，， (1)求证：； (2)若，，求的度数． 3．(2026·湖南省永州市·一模)如图，交于点，点在线段上，且，，连接． (1)求证：． (2)若，，求的度数． 等腰三角形 考点03 1．(2026·湖南省长沙市华益中学·一模)如图，在中，D是的中点，，，垂足分别为E，F，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 相似 考点04 1．(2026·湖南省邵阳市·一模)如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，在第三象限画与位似，若与的相似比为，则点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．(2026·湖南株洲渌口区四校联考·一模)如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABO∽△CDO，且，若，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．(2026·湖南湘潭湘乡东皋学校·一模)如图，在中，分别是边上的点，且，若，则的长为（   ） A．6 B． C．10 D． 4．(2026·湖南长沙市雅礼集团·一模)如图，在中，点在AB边上，若，且，则的长为（   ） A．2 B． C． D． 5．(2026·湖南省衡阳市耒阳市童星实验学校·一模)如图，数学实践活动中，为了测量校园内被花坛隔开的，两点间的距离，同学们在外选择一点，测得，,，两边中点的距离，则，两点间的距离是_____． 6.(2026·湖南省长沙市华益中学·一模)如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是点O．若，，则与面积的比值是________． 7．(2026·湖南省岳阳市汨罗市多校·一模)如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都相等，点、、、都在格点上，连接、交于点，那么的值是___________． 8.(2026·湖南省邵阳市·一模)如图，在中，E是上一点，，、的延长线相交于点F，若，则________． 9.(2026·湖南省娄底市涟源市·一模)如图，在中，，，垂足为，若，，那么线段的长为__________． 10．(2026·湖南省娄底市涟源市·一模)如图，是的中线，点G是上一点，且，过点G作交于点F，过点D作交的延长线于点E，已知的面积为18． (1)求的值． (2)求四边形的面积． 11．(2026·湖南省郴州市·一模)如图，在中，，平分交于点D，点E是延长线上一点，，则________度，且下列结论正确的是________（填序号）． ①若，则； ②若，则； ③若，，则． 12．(2026·湖南省郴州市·一模)【问题背景】 如图1，在菱形纸片中，，沿对角线将纸片剪开，得到和，如图2所示． 将按图3摆放，使得点与的中点重合．现将绕点顺时针旋转，旋转到线段与射线无交点时停止．边与相交于点M，边与射线相交于点N． (1)如图3，当点M与A重合时，则______； (2)如图4，当N为边与的延长线的交点时，求证：； (3)如图5，当N为边与线段的交点时，且．设菱形纸片的边长为a，探究线段，之间的数量关系（用含a的式子表示）． 13．(2026·湖南湘潭湘乡东皋学校·一模)问题背景： 一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知AD是△ABC的角平分线，可证＝．小慧的证明思路是：如图2，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，构造相似三角形来证明＝． (1)尝试证明：请参照小慧提供的思路，利用图2证明＝； (2)应用拓展：如图3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是边BC上一点．连接AD，将△ACD沿AD所在直线折叠，点C恰好落在边AB上的E点处． ①若AC＝1，AB＝2，求DE的长； ②若BC＝m，∠AED＝，求DE的长（用含m，的式子表示）． 14．(2026·湖南省娄底市涟源市·一模)在直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点D、E和F分别是斜边AB、直角边AC和直角边BC上的动点，∠EDF=90°， (1)如图1，若四边形DECF是正方形，求这个正方形的边长． (2)如图2，若E点正好运动到C点，并且tan∠DCF=，求BF的长． (3)如图3，当时，求的值 15．(2026·湖南长沙市雅礼集团·一模)如图1，在矩形中，是上一点，于点，设． (1)若，求证：； (2)如图2，若，且D、B、F在同一直线上时，求的值． 16．(2026·湖南省邵阳市·一模)如图1，在矩形中，点为边上不与端点重合的一动点，点是对角线上一点，连接，交于点，且． 【模型建立】 （1）求证：； 【模型应用】 （2）若，，，求的长； 【模型迁移】 （3）如图2，若矩形是正方形，，求的值． 解直角三角形 考点05 1．(2026·湖南长沙长郡教育集团·)如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形，其中，，，则高约为（   ）（参考数据：，，） AI A． B． C． D． 2．(2026·湖南省娄底市涟源市·一模)在中，，，则的值为______________． 3．(2026·湖南省邵阳市·一模)如图，网格图中每个小正方形的面积都为，经过网格点的一条直线，把网格图分成了两个部分，其中的面积为，则（1）______，（2）的值为_______． 4．(2026·湖南省湘西州凤凰县·一模)有诗云：东山雨霁画屏开，风卷松声入耳来．一座楼阁镇四方，团结一心建家乡．年为庆祝湘西自治州成立三十周年，湘西州政府在花果山公园内修建了一座三层楼高的“一心阁”民族团结楼阁．芙蓉学校数学实践活动小组为测量“一心阁”的高度，在楼前的平地上A处，观测到楼顶处的仰角为30°，在平地上处观测到楼顶处的仰角为，并测得A、两处相距，求“一心阁”的高度．（结果保留小数点后一位，参考数据：，） 5．(2026·湖南省张家界市·一模)如图①是长沙市标志性建筑大楼，其设计灵感来自湖南张家界的奇峰异石，裙楼部分体现水的元素，彰显湖湘文化特色，双子塔楼远望如同并肩而立的山峰，顶部有精美的雕塑作品，是游客们打卡的热门景点．如图②是某学习小组测量楼高的数据，点A为最高点，点B，F，D是地面同一直线上的三个点，且，在点D处测得后，向前走了到达点F处，测得，其中（测角仪的高度），求大楼的高度（结果精确到）．（参考数据：，） 6．(2026·湖南省永州市·一模)道县西洲公园碧水环绕，绿树成荫，文昌阁点缀其间，宛如城市中的生态明珠．数学实践活动小组想去测量文昌阁建筑物的高如图，在楼前平地A处测得楼顶C处的仰角为，沿方向前进到达B处，测得楼顶C处的仰角为，求此建筑物的高．（结果保留整数，参考数据：，） 7．(2026·湖南长沙市雅礼集团·一模)烈士公园纪念塔1958年建于今东风路湖南烈士公园内，由块白玉石和花岗石砌成，雕栏刻柱，翠绿琉璃瓦塔顶，威武雄伟．为测量纪念塔的高度，数学建模小组同学先在该纪念塔附近一栋楼房的底端点处观测纪念塔顶端处的仰角是，然后在安全人员的引导下去该楼房顶端点处观测纪念塔底部处的俯角是．已知楼房高是，求： (1)楼房与纪念塔底部距离的长（保留根号）； (2)该纪念塔的高度．（结果精确到，参考数据：，） 8．(2026·湖南省衡阳市·一模)随着科技的发展，无人机在实际生活中应用广泛．如图，O，C是同一水平线上的两点，无人机从O点竖直上升到A点，在A点测得C点的俯角为，A，C两点的距离为．无人机继续竖直上升到B点，在B点测得C点的俯角为．求无人机从A点到B点的上升高度（结果精确到）．（点O，A，B，C在同一平面内，参考数据：，，，） 9．(2026·湖南株洲渌口区四校联考·一模)（1）【实践探究】如图1，在中，，，，求的值．小南构造了包含的直角三角形：延长到点，使，连接．可得，问题即转化为求的正切值，请按小南的思路求的值． （2）【拓展延伸】如图2，在中，，，，求的值． 10．(2026·湖南省娄底市涟源市·一模)小华同学将笔记本电脑水平放置在桌子上，当显示屏的边缘线与底板的边缘线所在水平线的夹角为120°时，感觉最舒适（如图①）．侧面示意图为图②；使用时为了散热，他在底板下面垫入散热架，如图③，点、、在同一直线上，，，． （1）求的长； （2）如图④，垫入散热架后，要使显示屏的边缘线与水平线的夹角仍保持120°，求点到的距离．（结果保留根号） 11．(2026·湖南省邵阳市·一模)某型号起重机吊起一货物M在空中保持静止状态时，如图1，货物M与点O的连线恰好平行于地面，米，．（参考数据：，结果精确到1米） (1)求直吊臂的长； (2)如图2，直吊臂与的长度保持不变，绕点O逆时针旋转，当时，货物M上升了多少米？ 12．(2026·湖南省邵阳市·一模)数学实践 【问题背景】 中国传统农业智慧遇上现代数学模型．“豇豆不上架，产量少一半”的农谚流传至今，现代科学揭示了其秘密：当支架与地面形成夹角时，既能在早春聚热防冻害，又能在盛夏分散强光，就像给豇豆装了智能遮阳篷． 【问题呈现】 用两根竹竿交叉，斜插入地面，交叉点在何处会使支架与地面形成夹角？ 【模型建立】 环节一：数据收集 两根竹竿长度均为1.8米，插入地下的部分为0.3米，竹竿与地面接触点间距为0.6米且与地面所形成的夹角均为． 环节二：数学抽象 如图：已知线段与交于点，，与直线分别交于点，， ， ，， ，求的长度．（结果精确到0.1，参考数据：，，） 【模型求解】 【问题总结】 交叉点距顶端的长度即为______时，支架与地面形成夹角，这样更贴合作物的生长规律． 13．(2026·湖南株洲渌口区四校联考·一模)在平面内，先将一个多边形以点O为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为k，并且原多边形上的任一点P，它的对应点在线段或其延长线上；接着将所得多边形以点O为旋转中心，逆时针旋转一个角度，记为，如果是顺时针旋转一个角度，则记为负值，这种经过位似和旋转的图形变换叫做旋转相似变换，其中点O叫做旋转相似中心，k叫做相似比，叫做旋转角． (1)填空： ①如图1，将以点A为旋转相似中心，放大为原来的2倍，再逆时针旋转，得到，这个旋转相似变换记为A（_____，_____）； ②如图2，是边长为的等边三角形，，将它作旋转相似变换，得到，则线段的长为__________． (2)如图3，经过得到，又将经过得到，连接，求证：． 14．(2026·湖南省怀化市第四中学等校·一模)如图①所示的是一款机械手臂，由上臂、中臂和底座三部分组成，其中上臂和中臂可自由转动，底座与水平地面垂直．在实际操作中要求三部分始终处于同一平面内，其示意图如图②所示，经测量，上臂，中臂，底座． (1)若上臂与水平面平行，，计算点A到地面的距离；（结果保留根号） (2)在一次操作中，上臂与中臂的夹角为，如图③，此时点A与点C到地面的距离相等，求两点之间的距离．（结果保留根号） 15．(2026·湖南省娄底市·一模)某手机支架如图1所示，立杆垂直于地面，其高为，为支杆，它可绕点旋转，其中长为，为悬杆，滑动悬杆可调节的长度．（参考数据：，，） (1)如图2，、、三点共线，支杆与立杆之间的夹角为，且点距离地面的距离为，求此时滑动悬杆的长； (2)调节支杆，悬杆，使得悬杆，，，如图3所示，求此时点到地面的高度． 16．(2026·湖南湘潭湘乡东皋学校·一模)为建设美好社区，某社区在文化活动室墙外安装遮阳篷（如图1所示），便于社区居民休憩，如图2，在侧面示意图中，遮阳篷长为6米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为5米（图中所有的点都在同一平面内）．（参考数据：） (1)求遮阳篷边缘点到墙体的距离； (2)当太阳光线与地面的夹角为时，求阴影的长． 17．(2026·湖南省湘潭市、株洲市部分学校·一模)如图1，“天幕”是大家特别喜欢的一种露营设备，通常由支杆、天幕布、拉绳组成．图2是其截面示意图，天幕布，为可伸缩支杆，拉绳、固定在水平地面上，且点A、D、E共线，点A、C、F共线，于点B，于点O．拉绳在地面的固定点E与点B的距离，，． (1)求拉绳的长； (2)如图3，现将支杆向上伸长至点，同时将固定点E、F分别移动至、，使、、共线，、、共线，且，在此过程中，拉绳长度保持不变，求的长．（结果保留根号） 18．(2026·湖南省郴州市·一模) 某数学学习小组测量某块巨型显示屏，设计如下测量方案： 活动主题 测算巨型显示屏的高度与长度 测量工具 皮尺、测角仪、无人机、计算器等 活动过程 模型抽象 矩形显示屏的边与地面垂直，其示意图如下：    测绘过程 ①测得支柱米，找到垂直于地面的垂足点P； ②在显示屏外取一点E，使得点E，P，M在同一条直线上，测米； ③无人机在点E处，以2米/秒的速度竖直向上飞行14秒至点F停止； ④在点F处测得显示屏顶点C的俯角，测得显示屏顶点D的俯角． 参考数据 ，，． 请根据表格中提供的信息，解决下列问题： (1)求显示屏的高度； (2)求显示屏的长度（结果精确到）． 19．(2026·湖南省娄底市涟源市·一模)如图1，某仓库有一传送带运输货柜，为水平地面，为斜坡上的传送带，．在距离（长为4米）的正上方米处，有一限高装置．棱长为2米的正方体货柜（其侧面是正方形）的底面在传送带上，从起点A出发，传送到地面点B处． (1)判断正方体货柜能否通过限高装置，并说明理由． (2)如图2，因特殊要求，需在货物底端放置一块如图3所示的直三棱柱式楔子，使得正方体货柜在传送带的运输过程中与水平地面保持平行．已知直三棱柱式楔子的一个底面为，且．楔子的侧面与正方体货物的底面全等重合，侧面与传送带重合．判断此时正方体货柜能否通过限高装置，并求直三棱柱式楔子的侧面积（不包含前、后两个底面，结果保留两小数）． （参考数据：，，） 20．(2026·湖南省长沙市望城区·一模)如图，已知屋面的倾斜角为，长为米的真空管与水平线的夹角为，安装热水器的铁架竖直管的长度为米．（参考数据： ）． (1)真空管上端到水平线的距离； (2)求安装热水器的铁架水平横管的长度． 21．(2026·湖南省岳阳市汨罗市多校·一模)跳皮筋是学生时代的课间游戏，由两个人拉皮筋分别固定皮筋的两端，跳皮筋的人需要按照特定的节奏和动作，用脚勾、踩、跨过皮筋来完成跳跃，边跳还会边唱着童谣“小皮球，香蕉梨，马兰开花二十一……”．如图，拉皮筋的两人位置为、，跳皮筋孩子脚踩位置为点，点、、在地面同一直线上，此时橡皮筋离地面的高度米．（，垂直地面）若，．，最后结果保留到）    (1)求拉皮筋的两个孩子之间的距离； (2)当脚把橡皮筋踩在地面上的点时，橡皮筋比原来拉长了多少米． 2/23 1/23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 三角形 5大考点概览 考点01几何初步 考点02三角形及其全等 考点03等腰三角形 考点04相似 考点05解直角三角形 几何初步 考点01 1．(2026·湖南省娄底市·一模)投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．若四位投壶者分别站在直线l上的点A，B，C，D处往点P处的壶内投箭矢，小明认为站在点C处的投壶者最近会更容易获胜，其中蕴含的数学道理是（   ） A．垂线段最短 B．线段可以度量 C．两点确定一条直线 D．两点之间，线段最短 【答案】A 【分析】本题主要考查了垂线的性质．根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短求解即可． 【详解】解：若四位投壶者分别站在直线上的点，，，处往点处的壶内投箭矢，小明认为站在点处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是垂线段最短， 故选A． 2．(2026·湖南省永州市·一模)榫卯结构是两个构件采取凹凸结合的连接方式．如图是某个构件的截面图，其中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质可得，结合题意，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴ ， 故选：C． 3．(2026·湖南省怀化市第四中学等校·一模)如图，，，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用平行线的性质可得，再根据垂直定义可得，然后利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】， ， ， ， ， 4．(2026·湖南长沙长郡教育集团·一模)光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中斜射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质的应用，根据平行线的性质，两直线平行，同位角相等或同旁内角互补，即可求出答案，解题的关键在于熟练掌握平行线的性质． 【详解】解：如图所示， ∵，， ∴，，， ∵，， ∴，，， ∴， 故选：． 5．(2026·湖南省衡阳市耒阳市童星实验学校·一模)如图，平行于主光轴的光线和经过凸透镜折射后，折射光线，交于主光轴上一点，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，对顶角，先根据平行线的性质求出的度数，再根据角的和差关系和对顶角相等，求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； 故选C 6．(2026·湖南省长沙市望城区·一模)如图，直线，若，于点，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质． 根据得到，根据“两直线平行同旁内角互补”得到，计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． 故选：C． 7．(2026·湖南省衡阳市·一模)如图，的直角顶点A在直线a上，斜边在直线b上，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平行线的性质及直角三角形两内角互余即可得解； 【详解】 ， , 又 故选择：C 8．(2026·湖南省娄底市·一模)如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当时，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角板中角度计算问题，两直线平行同位角相等． 由平行线的性质，可得，即可得的度数． 【详解】解：∵直尺的两边互相平行， ∴， ∴， 故选：D． 9．(2026·湖南长沙市雅礼集团·一模)如图，将直尺与三角尺叠放在一起，如果，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两直线平行，同位角相等可知，根据余角的定义可以求出． 【详解】解：如下图所示， ， ， ，， ， . 10．(2026·湖南省长沙市华益中学·一模)将一把直尺与一块含有角的直角三角板按如图方式放置，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质求出，然后利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴ ∴ ∴． 11．(2026·湖南省岳阳市汨罗市多校·一模)下列命题是真命题的是（    ） A．9的算术平方根是 B．同位角相等 C．点和点关于轴对称，则的值为5 D．在一个直角三角形中，已知两边长为3和4，则第三边长为5 【答案】C 【分析】根据算术平方根，平行线的性质，轴对称的性质，勾股定理逐一判断即可． 【详解】解：A．9的算术平方根是，原命题是假命题； B．两直线平行，同位角相等，原命题是假命题； C．点和点关于轴对称，则，，即，原命题是真命题； D．在一个直角三角形中，已知两边长为3和4，则第三边长为或，原命题是假命题； 故选：C． 12．(2026·湖南省娄底市涟源市·一模)如图，将一把剪刀张开一定的角度，若，则______． 【答案】/57度 【分析】观察图形可知与是对顶角，根据对顶角的性质即可求出的度数． 【详解】与是对顶角，对顶角相等， ． 13．(2026·湖南省张家界市·一模)已知直线，将一块含角的直角三角板按如图所示方式放置，并且顶点A，C分别落在直线a，b上，若，则的度数是_________． 【答案】 【分析】先求出的度数，再由平行线的性质求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴ ∵ ∴． 14．(2026·湖南省郴州市·一模)如图，将一块正方体货柜静止放在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，摩擦力的方向与斜面平行，支持力的方向与斜面垂直．若摩擦力与重力G的夹角，则斜面的坡角________度． 【答案】26 【分析】根据题意，由平行线的性质得到，根据三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵摩擦力的方向与斜面平行．摩擦力与重力方向的夹角， ∴， ∵重力的方向竖直向下， ∴， ∴， 三角形及其全等 考点02 1．(2026·湖南省邵阳市·一模)如图，已知，请你添加一个条件，使得，你添加的条件是______．（不添加任何字母和辅助线） 【答案】或或 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据图形可知证明已经具备了一个公共角和一对相等边，因此可以利用、、证明两三角形全等． 【详解】解：∵ ，， ∴可以添加 ，此时满足； 添加条件 ，此时满足； 添加条件，此时满足， 故答案为：或或． 2．(2026·湖南省衡阳市·一模)如图，点、、、在同一条直线上，，， (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练地掌握全等三角形的判定和性质是解决本题的关键. （1）先证明，再结合已知条件可得结论； （2）证明，再结合三角形的内角和定理可得结论. 【详解】（1）证明：∵ ∴，即 ∵， ∴ （2）∵，， ∴， ∵， ∴ 3．(2026·湖南省永州市·一模)如图，交于点，点在线段上，且，，连接． (1)求证：． (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理和三角形外角的性质，证明是解题的关键． （1）由平行线的性质得到，则可由证明，据此可证明结论； （2）由三角形外角的性质可得，由全等三角形的性质可得，，则，再由等边对等角和三角形内角和定理可求出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴ ， 又∵， ∴． 等腰三角形 考点03 1．(2026·湖南省长沙市华益中学·一模)如图，在中，D是的中点，，，垂足分别为E，F，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)的长为2 【分析】（1）根据是的中点，可得，证明，进而即可得证； （2）由（1）可得，则是等边三角形，再求出，最后根据含的直角三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵是的中点， ∴． ∵，， ∴． 在和中： ∴， ∴； （2）解：由（1）知， ∴． 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴． ∵是中点， ∴． 在中，，， ∴， ∴． 相似 考点04 1．(2026·湖南省邵阳市·一模)如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，在第三象限画与位似，若与的相似比为，则点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质得出对应点的位置是解题的关键．利用相似比为，，直接利用相似比可得出坐标． 【详解】解：∵与位似，相似比为， ∴， ∵，位似中心为原点， ∴， 故选：B． 2．(2026·湖南株洲渌口区四校联考·一模)如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABO∽△CDO，且，若，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据两相似三角形的面积之间的关系求得相似比，然后根据点A的坐标求得点C的坐标即可． 【详解】解：∵△ABO∽△CDO，且， ∴OA：OC＝1：2， ∵点A的坐标为（4，6）， ∴点C的坐标为（8，12）， 故选：C． 3．(2026·湖南湘潭湘乡东皋学校·一模)如图，在中，分别是边上的点，且，若，则的长为（   ） A．6 B． C．10 D． 【答案】D 【分析】已知，根据平行线分线段成比例定理，可得，由，可求，进而可求． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 4．(2026·湖南长沙市雅礼集团·一模)如图，在中，点在AB边上，若，且，则的长为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】先证明，再根据相似三角形的性质即可证明． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 解得． 5．(2026·湖南省衡阳市耒阳市童星实验学校·一模)如图，数学实践活动中，为了测量校园内被花坛隔开的，两点间的距离，同学们在外选择一点，测得，,，两边中点的距离，则，两点间的距离是_____． 【答案】 【分析】根据中位线定理得到，即可求解． 【详解】解：由题可得：、为、的中点， 是的中位线， ， ， ． 6.(2026·湖南省长沙市华益中学·一模)如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是点O．若，，则与面积的比值是________． 【答案】4 【分析】先说明 ，再求出相似比，然后相似三角形的性质得出答案． 【详解】解：∵与位似，且点O是位似中心， ∴ ． ∵点， ∴， ∴， 则与的相似比为2， ∴与的面积比是4． 7．(2026·湖南省岳阳市汨罗市多校·一模)如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都相等，点、、、都在格点上，连接、交于点，那么的值是___________． 【答案】 【分析】本题考查了利用平行判定相似，相似三角形的判定与性质综合，利用相似三角形的性质求解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先证明，再列出比例式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 8.(2026·湖南省邵阳市·一模)如图，在中，E是上一点，，、的延长线相交于点F，若，则________． 【答案】1 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键．先利用平行四边形的性质得，，证明，得出，结合，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：1． 9.(2026·湖南省娄底市涟源市·一模)如图，在中，，，垂足为，若，，那么线段的长为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质以及直角三角形的性质，首先证，然后根据相似三角形的对应边成比例求出的长即可，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解决此题的关键． 【详解】解：在中，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， 故答案为：． 10．(2026·湖南省娄底市涟源市·一模)如图，是的中线，点G是上一点，且，过点G作交于点F，过点D作交的延长线于点E，已知的面积为18． (1)求的值． (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2)6 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质． （1）证明，得到，求出，即可得到； （2）由三角形中线的性质得到，由，，得到．则，得到，证明，得，则．即可求出四边形的面积． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∴．    ∵， ∴．     ∴． （2）∵是的中线，的面积为18， ∴，    ∵，， ∴． ∴．    ∴．     ∵， ∴，． ∴． ∵， ∴，． ∴． 11．(2026·湖南省郴州市·一模)如图，在中，，平分交于点D，点E是延长线上一点，，则________度，且下列结论正确的是________（填序号）． ①若，则； ②若，则； ③若，，则． 【答案】 45 ①③/③① 【分析】先根据角平分线的定义求出和的度数，再利用三角形内角和定理结合已知条件求出的度数；根据全等三角形的判定定理判断和是否全等，通过证明和相似，利用相似三角形的性质得到对应边的比例关系，最后根据勾股定理求出的长度，再利用三角形面积公式求出的长度． 【详解】解：∵平分，， ∴， 在中，， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 验证①：在和中， ， ∴，故①正确； 验证②：∵，， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴，故②错误； 验证③：在中，， ∵平分， ∴点D到和的距离相等，设为h， ∴，即， 解得， 又∵， 在中，，即， 解得，故③正确， 综上，正确的结论有①③． 12．(2026·湖南省郴州市·一模)【问题背景】 如图1，在菱形纸片中，，沿对角线将纸片剪开，得到和，如图2所示． 将按图3摆放，使得点与的中点重合．现将绕点顺时针旋转，旋转到线段与射线无交点时停止．边与相交于点M，边与射线相交于点N． (1)如图3，当点M与A重合时，则______； (2)如图4，当N为边与的延长线的交点时，求证：； (3)如图5，当N为边与线段的交点时，且．设菱形纸片的边长为a，探究线段，之间的数量关系（用含a的式子表示）． 【答案】(1) (2)见解析 (3)． 【分析】（1）利用含30度角的直角三角形的性质求解即可； （2）证明，即可得到； （3）作于点，求得，证明，得到，设，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵菱形纸片中，，沿对角线将纸片剪开，得到和， ∴，， 当点M与A重合时，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）证明：∵，又， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：作于点， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∵，且， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设， ∴，， ∴． 13．(2026·湖南湘潭湘乡东皋学校·一模)问题背景： 一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知AD是△ABC的角平分线，可证＝．小慧的证明思路是：如图2，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，构造相似三角形来证明＝． (1)尝试证明：请参照小慧提供的思路，利用图2证明＝； (2)应用拓展：如图3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是边BC上一点．连接AD，将△ACD沿AD所在直线折叠，点C恰好落在边AB上的E点处． ①若AC＝1，AB＝2，求DE的长； ②若BC＝m，∠AED＝，求DE的长（用含m，的式子表示）． 【答案】(1)详见解析 (2)①DE=；② 【分析】（1）利用AB∥CE，可证得，即，由AD平分∠BAC，可知AC=EC，即可证得结果； （2）利用（1）中的结论进行求解表示即可． 【详解】（1）解：∵AB∥CE， ∴∠BAD=∠DEC， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠CAD， ∴∠CAD=∠DEC， ∴AC=EC， ∵∠BDA=∠CDE， ∴， ∴， 即， ∴； （2）①由折叠可知，AD平分∠BAC，CD=DE， 由（1）得，， ∵AC＝1，AB＝2， ∴， ∴， 解得：CD=， ∴DE= CD=； ②由折叠可知∠AED＝∠C=， ∴， 由①可知， ∴， ∴， 即：． 14．(2026·湖南省娄底市涟源市·一模)在直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点D、E和F分别是斜边AB、直角边AC和直角边BC上的动点，∠EDF=90°， (1)如图1，若四边形DECF是正方形，求这个正方形的边长． (2)如图2，若E点正好运动到C点，并且tan∠DCF=，求BF的长． (3)如图3，当时，求的值 【答案】(1)； (2)1； (3) 【分析】（1）设正方形的边长为x，则AE＝3－x，由正方形的性质，得DEBC，则AE：AC＝DE：BC，代入计算即可求解； （2）过D点作DG⊥BC，垂足为G点，由tan∠DCF＝，得DG：CG＝1：2，设DG＝y，则CG＝2y，则BG＝4－2x，根据DGAC，得DG：AC＝BG：BC，代入即可求得x=1.2，从而求得BG＝4－2x＝1.6，再根据tan∠GDF =tan∠DCF＝，得，即可求得FG＝0.6，然后由FB＝BG－FG求解即可； （3）过D点作DM⊥AC，垂足为M点，作DN⊥BC，垂足为N点，先由勾股定理求得AB=5，再证明Rt△DME∽Rt△DNF，得＝，由=，得=，设DM＝z，则DN＝2z，再由DMBC ，得DM：BC＝AM：AC＝AD：AB，即z：4＝（3－2z）：3  ，解得 z＝，所以：4＝AD：5 ，求得AD＝，BD＝5－＝，即可代入求解． 【详解】（1）解：∵四边形AOBC是的正方形， ∴DEBC， ∴AE：AC＝DE：BC 设正方形的边长为x，则AE＝3－x， ∴（3－x）：3＝x：4， 解得 x＝， 即这个正方形的边长为； （2）解：过D点作DG⊥BC，垂足为G点，如图2， ∵tan∠DCF＝， ∴DG：CG＝1：2 设DG＝y，则CG＝2y， ∴BG＝4－2y， ∵DGAC， ∴DG：AC＝BG：BC， ∴y：3＝（4－2y）：4，解得 y＝1.2 ， BG＝4－2y＝1.6， ∵∠EDF＝， ∴∠CDG＋∠GDF＝， ∵DG⊥BC， ∴∠CDG＋∠DCG＝， ∴∠GDF＝∠DCG， ∵tan∠DCF＝， ∴tan∠GDF＝， ∴， ∵DG＝1.2， ∴FG＝0.6， ∴FB＝BG－FG＝1.6－0.6 ＝1； （3）解：过D点作DM⊥AC，垂足为M点，过D点作DN⊥BC，垂足为N点，如图3， ∵∠ACB＝，AC＝3，BC＝4， ∴AB＝5， ∵DM⊥AC，DN⊥BC，∠ACB＝， ∴∠MDN＝， ∴∠MDE＋∠EDN＝， ∵∠EDF＝， ∴∠FDN＋∠EDN＝， ∴∠MDE＝∠FDN， ∴Rt△DME∽Rt△DNF， ∴＝， ∵=， ∴=， 设DM＝z，则DN＝2z， ∵DMBC ， ∴DM：BC＝AM：AC＝AD：AB， ∴z：4＝（3－2z）：3  ，解得 z＝， ∴：4＝AD：5 ， ∴AD＝，BD＝5－＝， ∴＝． 15．(2026·湖南长沙市雅礼集团·一模)如图1，在矩形中，是上一点，于点，设． (1)若，求证：； (2)如图2，若，且D、B、F在同一直线上时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明得出，再证得出即可； （2）根据等角的正弦值相等求出，然后利用勾股定理计算出，再根据求解即可． 【详解】（1）证明：连接，如图： ∵四边形为矩形， ，，， ，， ， ， ， 在和中，， ， ， ， 又∵，， ∴ ， ； （2）∵四边形为矩形， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得，， ． 16．(2026·湖南省邵阳市·一模)如图1，在矩形中，点为边上不与端点重合的一动点，点是对角线上一点，连接，交于点，且． 【模型建立】 （1）求证：； 【模型应用】 （2）若，，，求的长； 【模型迁移】 （3）如图2，若矩形是正方形，，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】本题考查矩形的性质，正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，构造相似三角形，是解题的关键： （1）根据矩形的性质，结合同角的余角，求出，即可得证； （2）延长交于点，证明，得到，再证明，求出的长，进而求出的长； （3）设正方形的边长为，延长交于点，证明，得到，进而得到，勾股定理求出，进而求出的长，即可得出结果． 【详解】解：（1）∵矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）延长交于点， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）设正方形的边长为，则：， 延长交于点， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 解直角三角形 考点05 1．(2026·湖南长沙长郡教育集团·)如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形，其中，，，则高约为（   ）（参考数据：，，） AI A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，正切的计算，掌握解直角三角形的方法是解题的关键． 根据等腰三角形的三线合一可得，，在中，根据，，代入计算即可求解． 【详解】解：，，， ， 在中， ，， ． 故选：． 2．(2026·湖南省娄底市涟源市·一模)在中，，，则的值为______________． 【答案】 【分析】本题主要考查三角函数，熟练掌握三角函数是解题的关键；如图，由题意易得，则有，然后根据余弦的定义可进行求解． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 3．(2026·湖南省邵阳市·一模)如图，网格图中每个小正方形的面积都为，经过网格点的一条直线，把网格图分成了两个部分，其中的面积为，则（1）______，（2）的值为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的判定与性质，勾股定理等，掌握以上性质是解题的关键． 设，根据相似三角形的判定和性质可求得，根据的面积为3，得到，求得，解方程得到，根据勾股定理求得，即可求出的值． 【详解】解：如图， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵的面积为，网格图中每个小正方形的面积都为， ∴， 即， ， ∴， 解得，（舍去）， 即； 在中，， 故， ∴． 故答案为：，． 4．(2026·湖南省湘西州凤凰县·一模)有诗云：东山雨霁画屏开，风卷松声入耳来．一座楼阁镇四方，团结一心建家乡．年为庆祝湘西自治州成立三十周年，湘西州政府在花果山公园内修建了一座三层楼高的“一心阁”民族团结楼阁．芙蓉学校数学实践活动小组为测量“一心阁”的高度，在楼前的平地上A处，观测到楼顶处的仰角为30°，在平地上处观测到楼顶处的仰角为，并测得A、两处相距，求“一心阁”的高度．（结果保留小数点后一位，参考数据：，） 【答案】m 【分析】由题意易得CH=BH，设CH=BH=xm，则有m，进而根据三角函数可进行求解． 【详解】解：由题意得：， ∴CH=BH， 设CH=BH=xm，则有m， ∴，即， 解得：， ∴m． 5．(2026·湖南省张家界市·一模)如图①是长沙市标志性建筑大楼，其设计灵感来自湖南张家界的奇峰异石，裙楼部分体现水的元素，彰显湖湘文化特色，双子塔楼远望如同并肩而立的山峰，顶部有精美的雕塑作品，是游客们打卡的热门景点．如图②是某学习小组测量楼高的数据，点A为最高点，点B，F，D是地面同一直线上的三个点，且，在点D处测得后，向前走了到达点F处，测得，其中（测角仪的高度），求大楼的高度（结果精确到）．（参考数据：，） 【答案】大楼的高度约为 【分析】设，易得，，得到，求解出，再由即可求出大楼的高度． 【详解】解：设， ， ． ， ． ，解得． ． 答：大楼的高度约为． 6．(2026·湖南省永州市·一模)道县西洲公园碧水环绕，绿树成荫，文昌阁点缀其间，宛如城市中的生态明珠．数学实践活动小组想去测量文昌阁建筑物的高如图，在楼前平地A处测得楼顶C处的仰角为，沿方向前进到达B处，测得楼顶C处的仰角为，求此建筑物的高．（结果保留整数，参考数据：，） 【答案】此建筑物的高度约为米 【分析】设为，则，，由列出方程，求解即可． 【详解】解：在中，， 设为，则， 在中，， ， ， ， ， 解得． 答： 此建筑物的高度约为米． 答：购进A产品70个时，总费用最低，最低费用是1920元． 7．(2026·湖南长沙市雅礼集团·一模)烈士公园纪念塔1958年建于今东风路湖南烈士公园内，由块白玉石和花岗石砌成，雕栏刻柱，翠绿琉璃瓦塔顶，威武雄伟．为测量纪念塔的高度，数学建模小组同学先在该纪念塔附近一栋楼房的底端点处观测纪念塔顶端处的仰角是，然后在安全人员的引导下去该楼房顶端点处观测纪念塔底部处的俯角是．已知楼房高是，求： (1)楼房与纪念塔底部距离的长（保留根号）； (2)该纪念塔的高度．（结果精确到，参考数据：，） 【答案】(1) (2)该纪念塔的高度约为59米． 【分析】（1）根据正切的定义即可求出答案； （2）根据正切的定义即可求出答案． 【详解】（1）解：∵顶端点处观测纪念塔底部处的俯角是， ， 在Rt中，， （2）∵在一楼房的底端点处观测纪念塔顶端处的仰角是， 在Rt中，， ． 答：该纪念塔的高度约为59米． 8．(2026·湖南省衡阳市·一模)随着科技的发展，无人机在实际生活中应用广泛．如图，O，C是同一水平线上的两点，无人机从O点竖直上升到A点，在A点测得C点的俯角为，A，C两点的距离为．无人机继续竖直上升到B点，在B点测得C点的俯角为．求无人机从A点到B点的上升高度（结果精确到）．（点O，A，B，C在同一平面内，参考数据：，，，） 【答案】无人机从A点到B点的上升高度为 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，解，求出的长，解，求出的长，利用线段的和差关系求出的长即可．熟练掌握三角函数，是解题的关键． 【详解】解：由题意得：，，，． 在中，，， ，， 在中，， ， 答：无人机从A点到B点的上升高度为． 9．(2026·湖南株洲渌口区四校联考·一模)（1）【实践探究】如图1，在中，，，，求的值．小南构造了包含的直角三角形：延长到点，使，连接．可得，问题即转化为求的正切值，请按小南的思路求的值． （2）【拓展延伸】如图2，在中，，，，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据题意可知，，即可求解的值． （2）在上取一点，连接，使得，根据正切的定义得出，设，则，在中，根据勾股定理，求出，进而根据正切的定义，即可求解． 【详解】解：（1）在中，，，， ， ， ， ，， ， （2）如图，在上取一点，连接，使得， ∴ ∴， ∵在中，，，， ∴， 设，则， 在中， ∴ 解得： ∴ ∴ 10．(2026·湖南省娄底市涟源市·一模)小华同学将笔记本电脑水平放置在桌子上，当显示屏的边缘线与底板的边缘线所在水平线的夹角为120°时，感觉最舒适（如图①）．侧面示意图为图②；使用时为了散热，他在底板下面垫入散热架，如图③，点、、在同一直线上，，，． （1）求的长； （2）如图④，垫入散热架后，要使显示屏的边缘线与水平线的夹角仍保持120°，求点到的距离．（结果保留根号） 【答案】（1）12cm；（2）点到的距离为（12+12）cm． 【分析】（1）在Rt△AOC中，由30度角所对的直角边长度是斜边的一半求解即可； （2）过点O作OM∥AC，过点B′作B′E⊥AC交AC的延长线于点E，交OM于点D，B′E即为点到的距离，根据题意求出∠OB′D=30°，四边形OCED为矩形，根据B′E=B′D+DE求解即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴． 即OC的长度为12cm． （2）如图，过点O作OM∥AC，过点B′作B′E⊥AC交AC的延长线于点E，交OM于点D，B′E即为点到的距离， ∵OM∥AC，B′E⊥AC， ∴B′E⊥OD， ∵MN∥AC， ∴∠NOA=∠OAC=30°， ∵∠AOB=120°， ∴∠NOB=90°， ∵∠NOB′=120°， ∴∠BOB′=120°-90°=30°， ∵BC⊥AC，B′E⊥AE，MN∥AE， ∴BC∥B′E，四边形OCED为矩形， ∴∠OB′D=∠BOB′=30°，DE=OC=12cm， 在Rt△B′OD中，∵∠OB′D=30°，B′O=BO=24cm， ∴ B′D= ， B′E=B′D+DE= ， 答：点到的距离为． 11．(2026·湖南省邵阳市·一模)某型号起重机吊起一货物M在空中保持静止状态时，如图1，货物M与点O的连线恰好平行于地面，米，．（参考数据：，结果精确到1米） (1)求直吊臂的长； (2)如图2，直吊臂与的长度保持不变，绕点O逆时针旋转，当时，货物M上升了多少米？ 【答案】(1)直吊臂的长为10米 (2)上升了5米 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，旋转的性质，矩形的性质与判定，正确理解题意，构造直角三角形是解题的关键． （1）根据，即可解，即可求解； （2）记旋转后的点的对应点为，延长交于点，过点作于点，可得四边形为矩形，则米，在中，由求出，再由，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，， ∵，米， ∴在中，（米）， 答：直吊臂的长为10米； （2）解：记旋转后的点的对应点为，延长交于点，过点作于点，则， 由题意得：米，米， ∴， ∴四边形为矩形， ∴米， 在中，米， ∴（米）， ∴货物上升了5米． 12．(2026·湖南省邵阳市·一模)数学实践 【问题背景】 中国传统农业智慧遇上现代数学模型．“豇豆不上架，产量少一半”的农谚流传至今，现代科学揭示了其秘密：当支架与地面形成夹角时，既能在早春聚热防冻害，又能在盛夏分散强光，就像给豇豆装了智能遮阳篷． 【问题呈现】 用两根竹竿交叉，斜插入地面，交叉点在何处会使支架与地面形成夹角？ 【模型建立】 环节一：数据收集 两根竹竿长度均为1.8米，插入地下的部分为0.3米，竹竿与地面接触点间距为0.6米且与地面所形成的夹角均为． 环节二：数学抽象 如图：已知线段与交于点，，与直线分别交于点，， ， ，， ，求的长度．（结果精确到0.1，参考数据：，，） 【模型求解】 【问题总结】 交叉点距顶端的长度即为______时，支架与地面形成夹角，这样更贴合作物的生长规律． 【答案】， 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，如图，过作于，根据等腰三角形的性质可得，结合可得答案；最后由即可得到答案. 【详解】解：数学抽象：如图，过作于， ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴， 问题总结：∵ ， ， ∴. 13．(2026·湖南株洲渌口区四校联考·一模)在平面内，先将一个多边形以点O为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为k，并且原多边形上的任一点P，它的对应点在线段或其延长线上；接着将所得多边形以点O为旋转中心，逆时针旋转一个角度，记为，如果是顺时针旋转一个角度，则记为负值，这种经过位似和旋转的图形变换叫做旋转相似变换，其中点O叫做旋转相似中心，k叫做相似比，叫做旋转角． (1)填空： ①如图1，将以点A为旋转相似中心，放大为原来的2倍，再逆时针旋转，得到，这个旋转相似变换记为A（_____，_____）； ②如图2，是边长为的等边三角形，，将它作旋转相似变换，得到，则线段的长为__________． (2)如图3，经过得到，又将经过得到，连接，求证：． 【答案】(1)①，；② (2)见解析 【分析】（1）①直接根据定义作答即可；②根据旋转相似变换，得到，再通过勾股定理解答即可； （2）根据经过得到，得到，得到，；根据经过得到，得到，得到从而得到；由得即结合得到得到，继而得到得到． 【详解】（1）解：①根据新定义的意义，得答案为； ②根据旋转相似变换，得到，， 是边长为的等边三角形， ，， ． （2）证明：∵经过得到， ∴． ∴，； ∵经过得到， ∴． ∴ ∴； ∵， ∴即， ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 14．(2026·湖南省怀化市第四中学等校·一模)如图①所示的是一款机械手臂，由上臂、中臂和底座三部分组成，其中上臂和中臂可自由转动，底座与水平地面垂直．在实际操作中要求三部分始终处于同一平面内，其示意图如图②所示，经测量，上臂，中臂，底座． (1)若上臂与水平面平行，，计算点A到地面的距离；（结果保留根号） (2)在一次操作中，上臂与中臂的夹角为，如图③，此时点A与点C到地面的距离相等，求两点之间的距离．（结果保留根号） 【答案】(1)点到地面的距离为 (2) 【分析】（1）如图②，过点C作，垂足为M，则，求可得结论； （2）如图③，过点作垂直于，垂足为，则，求出，，再利用勾股定理求解． 【详解】（1）解：如图②，过点作，垂足为，则， ， ∴ ∴ ． 即点到地面的距离为； （2）解：如图③，过点作垂直于，垂足为， ， ， ∴， ∴ ∴ ， 点到点的距离为． 15．(2026·湖南省娄底市·一模)某手机支架如图1所示，立杆垂直于地面，其高为，为支杆，它可绕点旋转，其中长为，为悬杆，滑动悬杆可调节的长度．（参考数据：，，） (1)如图2，、、三点共线，支杆与立杆之间的夹角为，且点距离地面的距离为，求此时滑动悬杆的长； (2)调节支杆，悬杆，使得悬杆，，，如图3所示，求此时点到地面的高度． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查可解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是关键． （1）过点作，垂足为，利用解直角三角形求出，根据即可求出答案； （2）过点作，过点作，过点作，根据求出，即可求出，得到点到地面的高度． 【详解】（1）解：过点作，垂足为， 点距离地面的距离为，即 在中，， ， （2）过点作，过点作，过点作， ， ， ， 在中， ， 在中， ， 点到地面的高度为 16．(2026·湖南湘潭湘乡东皋学校·一模)为建设美好社区，某社区在文化活动室墙外安装遮阳篷（如图1所示），便于社区居民休憩，如图2，在侧面示意图中，遮阳篷长为6米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为5米（图中所有的点都在同一平面内）．（参考数据：） (1)求遮阳篷边缘点到墙体的距离； (2)当太阳光线与地面的夹角为时，求阴影的长． 【答案】(1)遮阳篷边缘点到墙体的距离为米； (2)阴影的长为米． 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义，求出相关线段的长度． （1）在中，根据已知数据及的余弦值即可解答； （2）首先，在中，根据，可得，然后，根据，证得四边形是矩形，可得，，接着，在中，根据已知数据及的正弦值可求得的长，最后，可求得的长． 【详解】（1）解：在中，米，，， ∴（米）． 即遮阳篷边缘点B到墙体的距离为米； （2）解：如图2，过点B作于点G， ∴，， ∴， 在中，米，，， ∴（米）， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵米，米， ∴（米），米， ∴（米）， 即阴影的长为米． 17．(2026·湖南省湘潭市、株洲市部分学校·一模)如图1，“天幕”是大家特别喜欢的一种露营设备，通常由支杆、天幕布、拉绳组成．图2是其截面示意图，天幕布，为可伸缩支杆，拉绳、固定在水平地面上，且点A、D、E共线，点A、C、F共线，于点B，于点O．拉绳在地面的固定点E与点B的距离，，． (1)求拉绳的长； (2)如图3，现将支杆向上伸长至点，同时将固定点E、F分别移动至、，使、、共线，、、共线，且，在此过程中，拉绳长度保持不变，求的长．（结果保留根号） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形、等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由等腰三角形的性质可得，再解直角三角形得出，即可得解； （2）由题意可得，，求出，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：由题意可得：，， ∵， ∴， ∴． 18．(2026·湖南省郴州市·一模) 某数学学习小组测量某块巨型显示屏，设计如下测量方案： 活动主题 测算巨型显示屏的高度与长度 测量工具 皮尺、测角仪、无人机、计算器等 活动过程 模型抽象 矩形显示屏的边与地面垂直，其示意图如下：    测绘过程 ①测得支柱米，找到垂直于地面的垂足点P； ②在显示屏外取一点E，使得点E，P，M在同一条直线上，测米； ③无人机在点E处，以2米/秒的速度竖直向上飞行14秒至点F停止； ④在点F处测得显示屏顶点C的俯角，测得显示屏顶点D的俯角． 参考数据 ，，． 请根据表格中提供的信息，解决下列问题： (1)求显示屏的高度； (2)求显示屏的长度（结果精确到）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）作于点H，利用平行线的性质，等腰直角三角形的性质得出，从而通过线段和差关系即可求得结果； （2）利用解直角三角形求得的长度，从而通过矩形的性质结合线段和差关系即可求得结果． 【详解】（1）解：如图，作于点H， 则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：, ，， ∴， ∴， ∴ 19．(2026·湖南省娄底市涟源市·一模)如图1，某仓库有一传送带运输货柜，为水平地面，为斜坡上的传送带，．在距离（长为4米）的正上方米处，有一限高装置．棱长为2米的正方体货柜（其侧面是正方形）的底面在传送带上，从起点A出发，传送到地面点B处． (1)判断正方体货柜能否通过限高装置，并说明理由． (2)如图2，因特殊要求，需在货物底端放置一块如图3所示的直三棱柱式楔子，使得正方体货柜在传送带的运输过程中与水平地面保持平行．已知直三棱柱式楔子的一个底面为，且．楔子的侧面与正方体货物的底面全等重合，侧面与传送带重合．判断此时正方体货柜能否通过限高装置，并求直三棱柱式楔子的侧面积（不包含前、后两个底面，结果保留两小数）． （参考数据：，，） 【答案】(1)可以通过限高装置，理由见解析 (2)正方体货柜不能通过限高装置；平方米 【来源】湖南省娄底市涟源市2026年初中学业水平适应性检测数学 【分析】（1）如图，过点P作，垂足为点G，设与相交于点K，解直角三角形求出，得到米，然后解直角三角形求出判断即可； （2）解直角三角形求出，，然后求出判断即可；然后根据直三棱柱式楔子的侧面积公式求解即可． 【详解】（1）解：可以通过限高装置，理由如下： 如图，过点P作，垂足为点G，设与相交于点K． 在中，米，， （米）． 米， （米）． 在中，， ， ， （米）米， 正方体货柜能通过限高装置； （2）解：楔子的侧面与正方体货物的底面全等重合， 米． ， ∴在中，（米）， （米）， （米）． 由（1）得米， （米）米， 此时正方体货柜不能通过限高装置． 直三棱柱式楔子的侧面展开图是三个矩形， 且米，米，米，米， 直三棱柱式楔子的侧面积（平方米）． 20．(2026·湖南省长沙市望城区·一模)如图，已知屋面的倾斜角为，长为米的真空管与水平线的夹角为，安装热水器的铁架竖直管的长度为米．（参考数据： ）． (1)真空管上端到水平线的距离； (2)求安装热水器的铁架水平横管的长度． 【答案】(1)真空管上端到的距离约为米 (2)安装热水器的铁架水平横管的长度约为米 【分析】本题主要考查了直角三角形中三角函数的应用以及矩形的性质． （1）过作于，通过作垂线构造直角三角形，利用正弦函数定义求出真空管上端到水平线的距离即可解答； （2）先在直角三角形中求出相关线段长度，再根据矩形性质得到线段间的关系，最后通过线段的和差即可求出水平横管的长度． 【详解】（1）解：如图，过作于， 在中，， 则（米）， 答：真空管上端到的距离约为米； （2）在中，， 则（米）， ，，， 四边形是矩形， ，， 米， 米， 在中，， 则（米）， （米）， 答：安装热水器的铁架水平横管的长度约为米． 21．(2026·湖南省岳阳市汨罗市多校·一模)跳皮筋是学生时代的课间游戏，由两个人拉皮筋分别固定皮筋的两端，跳皮筋的人需要按照特定的节奏和动作，用脚勾、踩、跨过皮筋来完成跳跃，边跳还会边唱着童谣“小皮球，香蕉梨，马兰开花二十一……”．如图，拉皮筋的两人位置为、，跳皮筋孩子脚踩位置为点，点、、在地面同一直线上，此时橡皮筋离地面的高度米．（，垂直地面）若，．，最后结果保留到）    (1)求拉皮筋的两个孩子之间的距离； (2)当脚把橡皮筋踩在地面上的点时，橡皮筋比原来拉长了多少米． 【答案】(1)拉皮筋的两个孩子之间的距离为米 (2)当脚把橡皮筋踩在地面上的点时，橡皮筋比原来拉长了米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用． （1）根据正切的定义，分别求得的长，进而根据，即可求解； （2）解，求得    的长，结合题意，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴； 答：拉皮筋的两个孩子之间的距离为米； （2）解：在中，， 在中， ∴， 答：当脚把橡皮筋踩在地面上的点时，橡皮筋比原来拉长了米 2/23 1/23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $