专题03 函数（5大考点）（湖南专用）2026年中考数学一模分类汇编

专题03 函数 5大考点概览 考点01平面直角坐标系与函数 考点02一次函数 考点03反比例函数 考点04二次函数 考点05二次函数的综合应用 平面直角坐标系与函数 考点01 1．(2026·湖南省衡阳市·一模)在平面直角坐标系中，若点在第四象限,则点所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．(2026·湖南省衡阳市·一模)如图，在单位为1的方格纸上，，，，…，是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形，若的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．(2026·湖南省衡阳市耒阳市童星实验学校·一模)如图，在单位为1的方格纸上，，是斜边在轴上，斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形，若的顶点坐标分别为，则依图中所示规律，的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．(2026·湖南省岳阳市汨罗市多校·一模)函数中自变量x的取值范围在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 一次函数 考点02 1．(2026·湖南省湘西州凤凰县·一模)关于一次函数，下列说法正确的是（   ） A．图象经过点 B．图象经过第二、三、四象限 C．随的增大而增大 D．当时， 2．(2026·湖南省娄底市涟源市·一模)在一次物理实验中，小明用平面直角坐标系中的四个点分别描述通过甲、乙、丙、丁四个导体的电流I与导体两端的电压U的情况，其中乙、丁两个点恰好在同一条直线上，如图所示．则四个导体中电阻最大的是（    ） A．甲导体 B．乙导体 C．丙导体 D．丁导体 3．(2026·湖南省怀化市第四中学等校·一模)如图，在平面直角坐标系中，已知下列变换：①沿轴翻折；②沿函数的图象翻折；③绕原点按顺时针方向旋转；④绕点按顺时针方向旋转．其中，能使函数的图象经过一种变换后过点的个数是(    ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．(2026·湖南省张家界市·一模)如图，在同一平面直角坐标系中，直线l1：yx与直线l2：y＝kx+3相交于点A，则方程组的解为 ___． 5．(2026·湖南湘潭市、株洲市部分学校一模)学科融合  图①为平面镜反射示意图，如图②，在平面直角坐标系中，放置一平面镜，其中点的坐标分别为，从点发射光线，其图象对应的函数解析式为．规定横坐标与纵坐标均为整数的点是整点，光线经过镜面反射后，反射光线与轴相交于点，则点是整点的个数为_________． 反比例函数 考点03 1．(2026·湖南湘潭市、株洲市部分学校一模)对于反比例函数，下列说法正确的是（   ） A．图象位于第二、四象限 B．当时，随的增大而减小 C．图象经过点 D．若点都在图象上，且，则 2．(2026·湖南株洲渌口区四校联考·一模)关于反比例函数，下列结论正确的是（   ） A．它与直线没有交点 B．随着的增大而增大 C．图象位于第一、三象限 D．图象经过点，则 3．(2026·湖南省长沙市华益中学·一模)已知点，，均在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 4．(2026·湖南省衡阳市耒阳市童星实验学校·一模)已知点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 5．(2026·湖南长沙市雅礼集团·一模)如图所示，学校举行数学文化竞赛，图中的四个点分别描述了八年级的四个班级竞赛成绩的优秀率y（班级优秀人数占班级参加竞赛人数的百分率）与该班参加竞赛人数x的情况，其中描述1班和4班两个班级情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则成绩优秀人数最多的是（    ） A．1班 B．2班 C．3班 D．4班 6．(2026·湖南省永州市·一模)如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的直角边在轴上，、分别与反比例函数的图象相交于点，且为的中点，过点作轴的垂线，垂足为，连接．若的面积为，则的值为（　　） A． B． C．5 D．10 7．(2026·湖南省湘潭市湘乡市东皋学校·一模)在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象经过点和点，则的值为_________． 8．(2026·湖南省湘西州凤凰县·一模)如图，点A、B是函数y＝x与y＝的图象的两个交点，作AC⊥x轴于C，作BD⊥x轴于D，则四边形ACBD的面积为___________． 9．(2026·湖南省郴州市·一模)已知远视眼镜片的度数y（度）与镜片焦距x（米）满足如图所示的反比例关系．某远视眼镜片的度数是200度，则镜片焦距为________米． 10．(2026·湖南省永州市·一模)公元前世纪，古希腊科学家阿基米德发现：若杠杆上的两物体与支点的距离与其重量成反比，则杠杆平衡．后来人们把它归纳为“杠杆原理”：阻力阻力臂动力动力臂．已知阻力和阻力臂分别为和，当动力为时，动力臂是______． 11．(2026·湖南省娄底市涟源市·一模)在一段时间内，某新能源汽车的续航里程是一个定值，且在满电情况下平均每天行驶路程y（单位：）与行驶时间x（单位：天）满足反比例函数关系．已知该汽车满电情况下平均每天行驶，可行驶4天；若平均每天行驶，则可行驶______天． 12．(2026·湖南省娄底市·一模)在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象位于第二、四象限，则的取值范围是______． 13．(2026·湖南省衡阳市·一模)若点、、都在反比例函数的图象上，且．则，，的大小关系是_______ ．（用“”连接） 14．(2026·湖南长沙长郡教育集团·一模)如图，点M是函数y＝2x与y＝的图象在第一象限内的交点，OM＝，则k的值为_____． 15．(2026·湖南省邵阳市·一模)如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象在第二象限内交于点A，与x轴交于点B，点C坐标为，连接，若，则实数k的值为______． 16．(2026·湖南省邵阳市·一模)如图，点A，C分别是正比例函数的图象与反比例函数的图象的交点，过A点作轴于点D，过C点作轴于点B，则四边形ABCD的面积为___．    17．(2026·湖南省怀化市第四中学等校·一模)如图，是半圆的直径，C为半圆的中点，，，反比例函数的图象经过点C，则k的值为________． 18．(2026·湖南省岳阳市汨罗市多校·一模)如图，点和点是一次函数与反比例函数的图象的交点，且一次函数的图象与坐标轴分别交于点和点． (1)求点和点的坐标； (2)求反比例函数的解析式； (3)连接，直接写出的面积． 二次函数 考点04 1．(2026·湖南省邵阳市·一模)二次函数图象的顶点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．(2026·湖南省娄底市涟源市·一模)对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而增大 3．(2026·湖南湘潭湘乡东皋学校·一模)在同一平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数的图象如图，则一次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 4．(2026·湖南省岳阳市汨罗市多校·一模)下图是函数的图象，直线轴且过点，将该函数在直线l上方的图象沿直线l向下翻折，在直线l下方的图象保持不变，得到一个新图象．若新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于9，则下列m中符合要求的是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 5．(2026·湖南省湘西州凤凰县·一模)新定义：，，为二次函数，，，为实数）的“图像数”，如：的“图像数”为，，，若“图像数”是，，的二次函数的图像与轴只有一个交点，则的值为（   ） A． B． C．或2 D．2 6．(2026·湖南长沙长郡教育集团·一模)若实数m满足，则下列对m值的估计正确的是（　　） A．﹣2＜m＜﹣1 B．﹣1＜m＜0 C．0＜m＜1 D．1＜m＜2 7．(2026·湖南省娄底市涟源市·一模)抛物线的顶点坐标是______． 8．(2026·湖南省娄底市涟源市·一模)如图，，是抛物线上两点，点为的中点，过点作轴的垂线，交抛物线于点，．设，两点的横坐标分别为，．则的值为___________． 9．(2026·湖南省衡阳市耒阳市童星实验学校·一模)已知二次函数，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③；④（其中）；⑤若和均在该函数图象上，且，则．其中正确结论的个数共有_____个． 10．(2026·湖南省娄底市涟源市·一模)已知二次函数的图像经过点， (1)求该二次函数的解析式； (2)直接写出二次函数的图像与轴的交点坐标． 11．(2026·湖南长沙市雅礼集团·一模)在平面直角坐标系中，对于抛物线 ，，是常数， 图象上两个不同的点，，我们不妨约定： 如果满足，且，则称点与点是一对“失衡点”； 如果满足，则称点与点是一对“平衡点”； 若某函数图象上同时存在至少一对“失衡点”和至少一对“平衡点”，则称该函数为“完备函数”． (1)判断下列说法是否正确（正确的打“√”，错误的打“×”）： ①函数是“完备函数”；（   ） ②函数上存在无数对“失衡点”；（   ） ③若点与点是一对“平衡点”，则它们也是一对“失衡点”．（   ） (2)已知抛物线与一次函数相交于两点、，且、恰好是该抛物线上的一对“失衡点”．若，直线是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；否则，请说明理由； (3)若抛物线是“完备函数”，点、是一对“平衡点”．抛物线的顶点为，它与轴交于、两点．当是等边三角形时，记的面积为，试求的最小值． 12．(2026·湖南省长沙市华益中学·一模)我们约定：如果抛物线的顶点坐标满足条件，那么称抛物线为“同频”拋物线．如抛物线的顶点坐标为，此时，，满足条件，所以它是“同频”拋物线． (1)抛物线是“同频”拋物线，请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”）． 当时，；（   ） 当时，；（   ） 抛物线与轴可能只有一个交点；（   ） (2)若，是“同频”拋物线上的点，其中，且，求该抛物线的解析式； (3)“同频”抛物线的顶点为，它与直线交于，两点，若是等腰直角三角形，求代数式的值． 13．(2026·湖南省长沙市望城区·一模)如图，抛物线与 x 轴交于点，与y轴交于点 C，顶点为点 D，直线与x轴交于点 M，点O为坐标原点，不妨约定：若M为线段中点，则称该抛物线为“型”抛物线；若M 为线段中点，则称该抛物线为“型”抛物线．根据该约定，完成下列各题． (1)下列抛物线中是“型”抛物线的有： （填序号）；①；②；③； (2)若抛物线为“型”抛物线，且直线的解析式为，求的值； (3)抛物线G：为“型”抛物线，若将抛物线G向下平移2个单位长度后得到的新抛物线是“型”抛物线，试求出抛物线G的解析式． 14．(2026·湖南长沙长郡教育集团·一模)我们约定：一元二次方程与一元二次方程互为“轮转对称方程”．二次函数与二次函数互为“轮转对称函数”． (1)直接写出的“轮转对称方程”，并解出这个“轮转对称方程”； (2)对于任意非零实数m，n，点与点始终在关于x的函数的图象上运动，函数与互为“轮转对称函数”． ①求函数的图象的对称轴； ②函数的图象是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由； (3)若关于x的二次函数的图象经过平面直角坐标系中三个象限，且，其“轮转对称函数”的图象与x轴交于A、B两点，顶点为点D，与y轴交于点C，点M是的中点，点O是坐标原点．已知，试求：的最大值． 15．(2026·湖南省衡阳市耒阳市童星实验学校·一模)我们约定：点为点的“倍位似点”，当点为函数图象上任意一点时，点均在函数图象上，则称函数为函数的“倍位似函数”．例如，点为点的“2倍位似点”，点为函数图象上任意一点，点均在函数图象上，则称函数为函数的“2倍位似函数”．根据该约定，解答下列问题： (1)①点的“3倍位似点”为 （填坐标）； ②点为函数图象上任意一点，则函数的“3倍位似函数”为 （填解析式）； (2)函数的“2倍位似函数”图象与直线只有一个公共点，求的值； (3)函数为函数的“2倍位似函数”，直线与函数图象交于，两点，与函数图象交于两点，函数的图象交于两点，这三条线段能否组成一个直角三角形？若能，求出直角三角形面积的最小值；若不能，请说明理由． 16．(2026·湖南省张家界市·一模)定义：与为“对偶点”，对于函数，若至少有一组对偶点在其图象上，且，则称该函数为“湖湘对偶函数”． (1)判断函数是不是“湖湘对偶函数”，若是，求出一组“对偶点”； (2)若二次函数是“湖湘对偶函数”，且有唯一“对偶点”，求m，n的关系式（请用含m的式子表示n）； (3)已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点（A在B左侧），与y轴交于C，且点的“对偶点”在函数图像上，点P是函数图像上一动点，当的面积是面积的2倍时，求点P的坐标． 二次函数的综合应用 考点05 1．(2026·湖南省长沙市华益中学·一模)如图，中，，边上的高为，点，，分别在边，，上，且．设点到的距离为，的面积为，则关于的函数图象大致是（   ） A．B． C． D． 2．(2026·湖南省怀化市第四中学等校·一模)如图，在四边形中，，，，，的直角顶点与点重合，另一个顶点在点左侧在射线上，且，将沿方向匀速平移，点与点重合时停止．设的长为，在平移过程中与四边形重叠部分的面积为，则下列图象能正确反映与函数关系的是（    ） A．B．C． D． 3．(2026·湖南省长沙市望城区·一模)如图，将 与正方形按如图所示的方式摆放，边 在直线上，，， ，以的速度沿着方向运动，初始时点与点重合，当点与点 重合时停止运动，在运动过程中，当与正方形重叠部分面积为时，其运动时间为（  　 ） A． B． C．或 D．或 4．(2026·湖南省岳阳市汨罗市多校·一模)如图，抛物线经过点、，交轴于点，点是抛物线上一动点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)当点的坐标为时，求四边形的面积； (3)若，求点的坐标． 5．(2026·湖南省邵阳市·一模)在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)在对称轴上找一点，使的周长最小，求点的坐标； (3)若点是抛物线上一点，点是抛物线对称轴上一点，A、C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标，请说明理由． 6．(2026·湖南省郴州市·一模)已知抛物线（a，h为常数且）． (1)抛物线的对称轴为，且经过点． ①求抛物线的表达式； ②如图1，抛物线与y轴交于点B，点P是抛物线上一动点，且在直线的下方，过点P作于点Q．请问线段的长度是否存在最大值？如果存在，求出最大值；如果不存在，说明理由； (2)如图2，在二次函数（h为常数）中，当时，函数y有最大值为，求h的值． 7． (2026·湖南湘潭市、株洲市部分学校一模)在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，交轴于点，抛物线的对称轴为，连接．点是轴上一点，且． (1)求抛物线的表达式； (2)如图，作直线交抛物线于点．点是直线上方抛物线上一动点，过作轴交于点．当线段长度取得最大值时，在直线上有两动点（点在点的上方），当时，求的最小值； (3)将该抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，新抛物线与轴交于点，连接，点分别为直线下方新抛物线上的两点，当时，连接，若线段被直线平分，求点的坐标． 8．(2026·湖南省衡阳市·一模)如图，在平面直角坐标系中，二次函数交轴于点，，交轴于点，在轴上有一点，连接． (1)求二次函数的表达式； (2)若点为抛物线在轴负半轴上方的一个动点，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)抛物线对称轴上是否存在点，使为以为底的等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标即可；若不存在，请说明理由． 9．(2026·湖南省娄底市涟源市·一模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，点D为的中点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点G是该抛物线对称轴上的动点，若有最小值，求此时点G的坐标； (3)若点P是第四象限内该抛物线上一动点，求面积的最大值； 10．(2026·湖南省湘西州凤凰县·一模)如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，，对称轴是，点在对称轴上运动． (1)求抛物线的解析式； (2)是否存在一点，使得为直角？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)将线段绕着点逆时针方向旋转后得到线段，当点与恰有一点落在抛物线上时，求点的坐标． 11．(2026·湖南省邵阳市·一模)已知抛物线过点，，与轴交于点．点是轴正半轴上的动点，点是抛物线在第四象限图象上的动点，连接，，且交轴于点，交于点． (1)当时，求抛物线的解析式； (2)如图1，在（1）的条件下，若，求直线的解析式； (3)要使得成立，请探索的取值范围（直接写出结果）； (4)如图2，，当为何值时，的长度等于1？ 12．(2026·湖南省永州市·一模)如图，抛物线与直线交于和两点，抛物线与x轴的另一个交点为A，连接，，P是直线下方抛物线上一点． (1)求m的值； (2)如图1，过点P作平行于y轴交于N，求最大值； (3)如图2，连接，交于点D，若，求点P的坐标； (4)如图3，将绕点O旋转至，连接，，试求出的最小值． 13．(2026·湖南株洲渌口区四校联考·一模)如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，． （1）求，，三点的坐标并直接写出直线，的函数表达式； （2）点是直线下方抛物线上的一个动点，过点作的平行线，交线段于点． ①试探究：在直线上是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； ②设抛物线的对称轴与直线交于点，与直线交于点．当时，请直接写出的长． 14．(2026·湖南省怀化市第四中学等校·一模)已知，二次函数图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接． (1)如图1，请判断的形状，并说明理由； (2)如图2，点D为线段上一动点，作交抛物线于点P，过点P作轴，垂足为点E，交于点F，过点F作，交于点G，连接，，求阴影部分面积S的最大值和点D的坐标； (3)如图3，将抛物线沿射线的方向移动个单位得到新的抛物线：，是否在新抛物线对称轴上存在点M，在坐标平面内存在点N，使得以C， B， M， N为顶点的四边形是以为边的正方形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 15．(2026·湖南省娄底市涟源市·一模)如图，函数的图象与函数的图象相交于，两点．直线与图象，分别交于E，F两点． (1)求b，c的值． (2)设直线与线段交于点D，记和的面积分别为，，当时，求t的值． (3)若t满足，且，试问t取何值时，线段的长度最大？并求出这个最大长度． 16．(2026·湖南省娄底市·一模)在平面直角坐标系中，如图（1），抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，直线与坐标轴交于M、N点． (1)求抛物线解析式并求出M、N两点坐标； (2)点E是抛物线上一点，连接、，当的面积最小时，求出点E的坐标并写出面积最小值； (3)如图（2），点F是抛物线上横坐标为t的点，过点F分别作坐标轴的平行线交直线于点G，交x轴于点I，以、为边作矩形，设矩形的周长为L，直接写出当时t的值． 2/23 1/23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 函数 5大考点概览 考点01平面直角坐标系与函数 考点02一次函数 考点03反比例函数 考点04二次函数 考点05二次函数的综合应用 平面直角坐标系与函数 考点01 1．(2026·湖南省衡阳市·一模)在平面直角坐标系中，若点在第四象限,则点所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题考查点的坐标，根据第四象限点的坐标特征判断a、b的符号，从而判断的符号，进而判断点B所在的象限即可． 【详解】解：∵点在第四象限， ∴， ∴， ∴点所在的象限是第三象限． 故选：C． 2．(2026·湖南省衡阳市·一模)如图，在单位为1的方格纸上，，，，…，是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形，若的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据坐标变化找到规律，再依据规律解答．用题中已知条件观察所给例子、图形，找出规律，再运用规律解决问题． 【详解】解：图中的各三角形都是等腰直角三角形， 由直角三角形的性质得到各等腰直角三角形的直角顶点的纵坐标的绝对值为斜边的一半， ∵，且，，，， ∴横坐标为1，纵坐标为下标的一半， ∴的坐标为． 3．(2026·湖南省衡阳市耒阳市童星实验学校·一模)如图，在单位为1的方格纸上，，是斜边在轴上，斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形，若的顶点坐标分别为，则依图中所示规律，的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题是对点的坐标变化规律的考查，根据2025是奇数，求出点的下标是奇数时的变化规律进行求解． 【详解】解：观察点的坐标变化发现：在轴正半轴上的点横坐标每次增加2，在轴负半轴上的点横坐标每次减少2， 根据点旋转的度数，可看作循环，循环周期为4， ∵，由图可知，为循环周期， ∴的坐标为，即为． 4．(2026·湖南省岳阳市汨罗市多校·一模)函数中自变量x的取值范围在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式有意义的条件，可得，解不等式即可解答． 【详解】解：由题意得，， 解得， 即自变量x的取值范围在数轴上表示为：由表示2的点向左，且表示2的点为实心点， 故B选项符合题意． 一次函数 考点02 1．(2026·湖南省湘西州凤凰县·一模)关于一次函数，下列说法正确的是（   ） A．图象经过点 B．图象经过第二、三、四象限 C．随的增大而增大 D．当时， 【答案】A 【分析】利用代入法、一次函数的增减性和象限判断规则，逐一分析选项即可． 【详解】解：选项：将代入，得，故图象经过点，正确； 选项：，，故一次函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，错误； 选项：，故随的增大而减小，错误； 选项：当时，，随的增大而减小，故当时，，错误． 2．(2026·湖南省娄底市涟源市·一模)在一次物理实验中，小明用平面直角坐标系中的四个点分别描述通过甲、乙、丙、丁四个导体的电流I与导体两端的电压U的情况，其中乙、丁两个点恰好在同一条直线上，如图所示．则四个导体中电阻最大的是（    ） A．甲导体 B．乙导体 C．丙导体 D．丁导体 【答案】A 【分析】结合导体电阻R与通过导体的电流I及导体两端的电压U满足关系，可知越大，R的值就越大，分别连接甲、O和丙、O，可发现甲O这条直线的倾斜度最大，即可获得答案． 【详解】解：导体电阻R与通过导体的电流I及导体两端的电压U满足关系， 故越大，R的值就越大，如图，分别连接甲、O和丙、O， 可发现甲O、乙O、丙O、丁O四条直线中，甲O的倾斜度最大， 故在甲处时，的值最大，即甲的电阻最大，故选A． 3．(2026·湖南省怀化市第四中学等校·一模)如图，在平面直角坐标系中，已知下列变换：①沿轴翻折；②沿函数的图象翻折；③绕原点按顺时针方向旋转；④绕点按顺时针方向旋转．其中，能使函数的图象经过一种变换后过点的个数是(    ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】逐一分析每种变换后，函数的图象是否经过点． 【详解】解：①函数沿轴翻折后的解析式为， ∴， 当时，代入得，， ∴函数的图象沿x轴翻折后不过点； ②对于，当时，， ∴直线与轴的交点的坐标为； 设点关于直线的对称点Q为，则线段的中点坐标为， ∴， ∴ ∴， ∵点关于直线对称， ∴， ∴， 解得或（舍去） ∴, 当时，， ∴点在函数的图象， ∴函数的图象沿函数的图象翻折后过点； ③∵点 ∴ ∴将点绕原点按逆时针方向旋转得到， 当时，， ∴函数的图象绕原点按顺时针方向旋转后不过点P(2,2)； ④如图，将点绕点按逆时针方向旋转得到， 当时，， ∴函数的图象绕点按顺时针方向旋转过点 所以，正确的结论有2个． 4．(2026·湖南省张家界市·一模)如图，在同一平面直角坐标系中，直线l1：yx与直线l2：y＝kx+3相交于点A，则方程组的解为 ___． 【答案】 【分析】由题意，两直线的交点坐标就是这两条直线组成的方程组的解，即可得到答案． 【详解】解：根据题意， ∵直线l1：yx与直线l2：y＝kx+3相交于点A（2，1）， ∴方程组的解为； 故答案为：． 5．(2026·湖南湘潭市、株洲市部分学校一模)学科融合  图①为平面镜反射示意图，如图②，在平面直角坐标系中，放置一平面镜，其中点的坐标分别为，从点发射光线，其图象对应的函数解析式为．规定横坐标与纵坐标均为整数的点是整点，光线经过镜面反射后，反射光线与轴相交于点，则点是整点的个数为_________． 【答案】7 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，一次函数图象及性质，作出点C关于对称点，可知的坐标，作直线，，分别求出这两条直线与y轴交点，则点E坐标即在范围内，即可得到整数点的个数，熟练掌握一次函数的性质是解答本题的关键． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，则， 作直线分别交轴于，设直线的函数解析式为， 把和代入中，得， 解得， 点的坐标为． 设直线的函数解析式为， 把和代入中，得， 解得， 点的坐标为， 点纵坐标的取值范围为， 点是整点的有，共7个， 故答案为：． 反比例函数 考点03 1．(2026·湖南湘潭市、株洲市部分学校一模)对于反比例函数，下列说法正确的是（   ） A．图象位于第二、四象限 B．当时，随的增大而减小 C．图象经过点 D．若点都在图象上，且，则 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，理解反比例函数的性质是解题的关键．根据反比例函数的性质，对每个选项逐一进行判断即可． 【详解】解：∵反比例函数中， ∴其图象分布在第一、三象限，且在每一个象限内，随的增大而减小， ∵A选项表述图象位于第二、四象限，与上述结论矛盾，∴A错误， ∵当时，图象在第一象限，结合反比例函数性质可知随的增大而减小，∴B正确， ∵将代入，得∴图象不经过点，C错误． ∵若点，在不同象限，比如，则，无法得出∴D错误． 故选：B． 2．(2026·湖南株洲渌口区四校联考·一模)关于反比例函数，下列结论正确的是（   ） A．它与直线没有交点 B．随着的增大而增大 C．图象位于第一、三象限 D．图象经过点，则 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，正比例函数的图象性质，熟悉掌握图象性质是解题的关键． 根据反比例函数的图象性质逐一判断即可． 【详解】解：A：经过二，四象限，经过一，三象限，它与直线没有交点，故A正确； B：在每一个象限内才会随着的增大而增大，故B错误； C：经过二，四象限，故C错误； D：把代入可得：，解得：或，故D错误； 故选：A． 3．(2026·湖南省长沙市华益中学·一模)已知点，，均在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将各点横坐标代入求出对应纵坐标，再比较大小即可． 【详解】解：∵点，，都在反比例函数的图象上， ∴将各点横坐标分别代入解析式得，，，， ∵， ∴． 4．(2026·湖南省衡阳市耒阳市童星实验学校·一模)已知点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用反比例函数系数的正负和随的增大而变化的关系判断大小即可． 【详解】中系数，得到 或 时随的增大而减小，得到，得． 故选D． 5．(2026·湖南长沙市雅礼集团·一模)如图所示，学校举行数学文化竞赛，图中的四个点分别描述了八年级的四个班级竞赛成绩的优秀率y（班级优秀人数占班级参加竞赛人数的百分率）与该班参加竞赛人数x的情况，其中描述1班和4班两个班级情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则成绩优秀人数最多的是（    ） A．1班 B．2班 C．3班 D．4班 【答案】B 【分析】本题主要考查反比例函数图象与性质的实际应用，读懂题意，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解决问题的关键． 设反比例函数表达式为，过2班点，3班点作轴的平行线交反比例函数于，，设1班点为，2班点，3班点为，4班点，点为，点为，然后比较，，，与的大小即可得出答案． 【详解】解：设反比例函数的表达式为， 过2班点，3班点作轴的平行线交反比例函数于，，    设1班点为，2班点，3班点为，4班点，点为，点为， 由图象可知：，， 依题意得：，，，分别为1班，2班，3班，4班的优秀人数． 1班点，点，点，4班点在反比例函数的图象上， ， ，， ，， ， 即：2班优秀人数1班优秀人数4班优秀人数3班优秀人数， 2班的优秀人数为最多． 故选：B． 6．(2026·湖南省永州市·一模)如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的直角边在轴上，、分别与反比例函数的图象相交于点，且为的中点，过点作轴的垂线，垂足为，连接．若的面积为，则的值为（　　） A． B． C．5 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 设，可证明，则，，那么，再由，即可求解． 【详解】解：设， 由题意得， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 7．(2026·湖南省湘潭市湘乡市东皋学校·一模)在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象经过点和点，则的值为_________． 【答案】 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点 ∴ ∵点在反比例函数的图象上 ∴，即 解得 8．(2026·湖南省湘西州凤凰县·一模)如图，点A、B是函数y＝x与y＝的图象的两个交点，作AC⊥x轴于C，作BD⊥x轴于D，则四边形ACBD的面积为___________． 【答案】2 【分析】根据函数的解析式得到各线段的长度，将四边形ABCD分为四个小三角形即可求出面积. 【详解】根据反比例函数的对称性可知，OB=OA，，OD=OC， ∴的面积都等于|k|=. ∴四边形ABCD的面积为. 故答案为2. 9．(2026·湖南省郴州市·一模)已知远视眼镜片的度数y（度）与镜片焦距x（米）满足如图所示的反比例关系．某远视眼镜片的度数是200度，则镜片焦距为________米． 【答案】0.5/ 【分析】先设反比例函数的解析式为，根据图象代入对应点求得k的值，从而得出反比例函数的解析式，再将代入反比例函数解析式即可求得结果． 【详解】设反比例函数的解析式为， 将代入反比例函数中， 得， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 当时，， 解得， ∴镜片焦距为0.5米． 10．(2026·湖南省永州市·一模)公元前世纪，古希腊科学家阿基米德发现：若杠杆上的两物体与支点的距离与其重量成反比，则杠杆平衡．后来人们把它归纳为“杠杆原理”：阻力阻力臂动力动力臂．已知阻力和阻力臂分别为和，当动力为时，动力臂是______． 【答案】/ 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设动力臂是，根据“阻力阻力臂动力动力臂”列出方程，然后解方程即可，读懂题意，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设动力臂是， 由题意得：， 解得：， 故答案为：． 11．(2026·湖南省娄底市涟源市·一模)在一段时间内，某新能源汽车的续航里程是一个定值，且在满电情况下平均每天行驶路程y（单位：）与行驶时间x（单位：天）满足反比例函数关系．已知该汽车满电情况下平均每天行驶，可行驶4天；若平均每天行驶，则可行驶______天． 【答案】5 【分析】利用待定系数法解得满电情况下新能源汽车平均每天行驶路程y与行驶时间x的反比例函数关系式，然后将代入求解即可． 【详解】解：设满电情况下新能源汽车平均每天行驶路程y（单位：）与行驶时间x（单位：天）的反比例函数关系为， 该汽车满电情况下平均每天行驶，可行驶4天，可得， 即满电情况下新能源汽车平均每天行驶路程y与行驶时间x的反比例函数关系为， 若平均每天行驶，可将代入， 得，解得（天）， 即可行驶5天． 12．(2026·湖南省娄底市·一模)在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象位于第二、四象限，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】由反比例函数的图象位于第二、四象限得到，然后求解即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴， 解得． 13．(2026·湖南省衡阳市·一模)若点、、都在反比例函数的图象上，且．则，，的大小关系是_______ ．（用“”连接） 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图像与性质，根据反比例函数 的性质，当 时，函数图象分别位于第一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小．由，可知点和点在第三象限，点在第一象限，因此 ，而和均小于．在第三象限内，由于 ，且函数单调递减，故 ．综合可得． 【详解】解：反比例函数中，， 的图像在第一、三象限，在每个象限内随的增大而减小， ， ， ， ， ． 故答案为：． 14．(2026·湖南长沙长郡教育集团·一模)如图，点M是函数y＝2x与y＝的图象在第一象限内的交点，OM＝，则k的值为_____． 【答案】2 【分析】设点M的坐标为：（m，2m），根据OM＝，结合勾股定理，得到关于m的一元二次方程，解之，得到点M的坐标，代入y＝，即可得到答案． 【详解】解：设点M的坐标为：（m，2m）， 根据题意得： m2+（2m）2＝，（m＞0） 解得：m＝1， 即点M的坐标为：（1，2）， 把点M（1，2）代入y＝得： k＝2， 故答案为2． 15．(2026·湖南省邵阳市·一模)如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象在第二象限内交于点A，与x轴交于点B，点C坐标为，连接，若，则实数k的值为______． 【答案】 【分析】此题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，勾股定理，解一元二次方程等知识，根据和勾股定理列方程是解题的关键．求出点B的坐标为，设点A坐标为，根据得到，解方程并进一步即可得到点A坐标为，利用待定系数法即可求出实数k的值． 【详解】解：当时，，解得， ∴点B的坐标为， ∵点C坐标为， ∴， 设点A坐标为， ∴ ∵， ∴， ∴， 解得（不合题意，舍去） ∴， ∴点A坐标为， ∴， 解得， 故答案为： 16．(2026·湖南省邵阳市·一模)如图，点A，C分别是正比例函数的图象与反比例函数的图象的交点，过A点作轴于点D，过C点作轴于点B，则四边形ABCD的面积为___．    【答案】8 【分析】由反比例函数的对称性可知，，则，再根据反比例函数k的几何意义可求得这四个三角形的面积，可求得答案． 【详解】A、C是两函数图象的交点， A、C关于原点对称， 轴，轴， ，， ， 又反比例函数的图象上， ， ， 故答案为8. 17．(2026·湖南省怀化市第四中学等校·一模)如图，是半圆的直径，C为半圆的中点，，，反比例函数的图象经过点C，则k的值为________． 【答案】 【分析】连接CD，并延长交x轴于点P，分别求出PD，PO，CD和PC的长，过点C作CF⊥x轴于点F，求出PF，CF的长，进一步得出点C的坐标，从而可得出结论． 【详解】解：连接CD，并延长交x轴于点P，如图， ∵C为半圆的中点， ∴CP⊥AB，即∠ADP=90° 又∠AOB=90° ∴∠APD=∠ABO ∵A（2，0），B（0，1） ∴AO=2，OB=1 ∴ ∴ 又 ∴ ∴ ∴ ∴ 过点C作CF⊥x轴于点F， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴点C的坐标为（，） ∵点C在反比例函数的图象上 ∴， 故答案为： 18．(2026·湖南省岳阳市汨罗市多校·一模)如图，点和点是一次函数与反比例函数的图象的交点，且一次函数的图象与坐标轴分别交于点和点． (1)求点和点的坐标； (2)求反比例函数的解析式； (3)连接，直接写出的面积． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为 (2) (3)8 【分析】（1）将点和点的坐标代入直线解析式即可求出m、n； （2）将点的坐标代入反比例函数解析式即可求出； （3）利用直线解析式求出点C坐标，根据，代入数据计算即可． 【详解】（1）解：∵点和点在一次函数的图象上， ∴把点代入，得； 把点代入，得，解得； ∴，． （2）解：把代入，得， 解得， ∴反比例函数的解析式为． （3）解：∵点为一次函数的图象与轴的交点， ∴当时，， ∴， ∴， ∴． ∴的面积为8． 二次函数 考点04 1．(2026·湖南省邵阳市·一模)二次函数图象的顶点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】根据抛物线，可以写出该抛物线的顶点坐标，从而可以得到顶点在第几象限． 解：， 顶点坐标为， 顶点在第二象限． 故选：． 2．(2026·湖南省娄底市涟源市·一模)对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，能根据所给函数表达式得出开口向下、对称轴、顶点坐标和增减性是解题的关键． 根据二次函数的表达式，可得出抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标及增减性，据此可解决问题． 【详解】解：A、因为二次函数的表达式为，所以抛物线的开口向上．故此选项说法正确，不符合题意； B、抛物线的对称轴是直线，故此选项说法正确，不符合题意； C、因为抛物线的顶点坐标为，故此选项说法正确，不符合题意； D、因为抛物线的对称轴为直线，且开口向上，所以当时，随的增大而减小，故此选项说法不正确，符合题意； 故选：D． 3．(2026·湖南湘潭湘乡东皋学校·一模)在同一平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数的图象如图，则一次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数和二次函数的图象得到，，然后判断一次函数的图象． 【详解】解：∵反比例函数图象在第一，三象限 ∴ ∴一次函数的图象与y轴交于正半轴， ∵二次函数的图象开口向下，顶点在第一象限 ∴， ∴ ∴ ∴一次函数的图象y随x的增大而减小， ∴一次函数的图象大致是： 4．(2026·湖南省岳阳市汨罗市多校·一模)下图是函数的图象，直线轴且过点，将该函数在直线l上方的图象沿直线l向下翻折，在直线l下方的图象保持不变，得到一个新图象．若新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于9，则下列m中符合要求的是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】D 【分析】先将函数配方为，得到顶点，再计算端点值：时，时．翻折后按的范围分类：当时，差值得；当时，差值得；时无解．综上，对照选项选D即可． 【详解】解：如下图所示， 由题意可得， 顶点坐标为， 当时， ， ， 当时， ， ， ∵， ∴当m的范围为时，此时新图象的函数最大值为m，最小值为， 此时差为， 由题意得， 解得， ∴， 当m的范围为时，此时新图象的函数最大值为m，最小值为， 此时差为 ， 由题意得， 解得， ∴， 当m的范围为时，此时新图象的函数最大值为，最小值为， 此时差为 ， 由题意得， 解得， 又∵， ∴此情况不存在， 综上所述，m的范围为， 由选项可得，符合题意的只有D选项． 5．(2026·湖南省湘西州凤凰县·一模)新定义：，，为二次函数，，，为实数）的“图像数”，如：的“图像数”为，，，若“图像数”是，，的二次函数的图像与轴只有一个交点，则的值为（   ） A． B． C．或2 D．2 【答案】C 【分析】根据新定义得到二次函数的解析式为，然后根据判别式的意义得到，从而解的方程即可． 【详解】解：由“图像数”的定义可知：该二次函数的解析式为， 根据题意得， 解得，， 故选：C． 6．(2026·湖南长沙长郡教育集团·一模)若实数m满足，则下列对m值的估计正确的是（　　） A．﹣2＜m＜﹣1 B．﹣1＜m＜0 C．0＜m＜1 D．1＜m＜2 【答案】A 【详解】试题解析：∵， ∴m2+2+=0， ∴m2+2=-， ∴方程的解可以看作是函数y=m2+2与函数y=-， 作函数图象如图， 在第二象限，函数y=m2+2的y值随m的增大而减小，函数y=-的y值随m的增大而增大， 当m=-2时y=m2+2=4+2=6，y=-=-=2， ∵6＞2， ∴交点横坐标大于-2， 当m=-1时，y=m2+2=1+2=3，y=-=-=4， ∵3＜4， ∴交点横坐标小于-1， ∴-2＜m＜-1． 故选A． 7．(2026·湖南省娄底市涟源市·一模)抛物线的顶点坐标是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，依据题意，根据二次函数的顶点式的特点进行判断可以得解． 【详解】解：由题意，∵抛物线为， ∴抛物线的顶点坐标为． 故答案为：． 故答案为：． 8．(2026·湖南省娄底市涟源市·一模)如图，，是抛物线上两点，点为的中点，过点作轴的垂线，交抛物线于点，．设，两点的横坐标分别为，．则的值为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质以及完全平方公式的应用，熟练掌握中点坐标公式和完全平方公式是解题的关键．先根据中点坐标公式求出点的横坐标，进而得到点和的纵坐标，再根据列出方程，最后利用完全平方公式求出的值． 【详解】解：∵，，点是的中点， ∴点的横坐标为，纵坐标为． ∵过作轴的垂线交抛物线于， ∴的横坐标为，纵坐标为． ∵， ∴． ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 故答案为：． 9．(2026·湖南省衡阳市耒阳市童星实验学校·一模)已知二次函数，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③；④（其中）；⑤若和均在该函数图象上，且，则．其中正确结论的个数共有_____个． 【答案】3 【分析】根据抛物线与轴的一个交点以及其对称轴为直线，求出抛物线与轴的另一个交点，代入可得，再根据抛物线开口朝下，可得，进而可得，再结合二次函数的图象和性质逐条判断即可． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，且抛物线与轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与轴的另一个坐标为， ∴代入、得， 解得，故③正确； ∵抛物线开口朝下， ∴， ∴， ∴，故①错误； ∵抛物线与轴有两个交点， ∴当时，方程有两个不相等的实数根， ∴方程的判别式，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即，故④正确； ∵抛物线的对称轴为直线，且抛物线开口朝下， ∴可知二次函数，在时，随的增大而减小． ∵， ∴，故⑤错误． 故正确的有：②③④，共3个． 10．(2026·湖南省娄底市涟源市·一模)已知二次函数的图像经过点， (1)求该二次函数的解析式； (2)直接写出二次函数的图像与轴的交点坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法，把点的坐标代入函数解析式，解出即可． （2）令，解方程即可． 【详解】（1）因为二次函数的图像经过点 则有 解方程组得 即二次函数解析式为 （2）令 所以 所以二次函数的图像与轴的交点坐标为 11．(2026·湖南长沙市雅礼集团·一模)在平面直角坐标系中，对于抛物线 ，，是常数， 图象上两个不同的点，，我们不妨约定： 如果满足，且，则称点与点是一对“失衡点”； 如果满足，则称点与点是一对“平衡点”； 若某函数图象上同时存在至少一对“失衡点”和至少一对“平衡点”，则称该函数为“完备函数”． (1)判断下列说法是否正确（正确的打“√”，错误的打“×”）： ①函数是“完备函数”；（   ） ②函数上存在无数对“失衡点”；（   ） ③若点与点是一对“平衡点”，则它们也是一对“失衡点”．（   ） (2)已知抛物线与一次函数相交于两点、，且、恰好是该抛物线上的一对“失衡点”．若，直线是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；否则，请说明理由； (3)若抛物线是“完备函数”，点、是一对“平衡点”．抛物线的顶点为，它与轴交于、两点．当是等边三角形时，记的面积为，试求的最小值． 【答案】(1)； ； (2)直线过定点 (3)最小值为 【分析】（1）根据“失衡点”和“平衡点”的定义进行判断； （2）设，，可得方程组：，整理得，由韦达定理得：，根据“失衡点”的定义可知：、中一个点坐标为，所以可知，可得直线过定点； （3）根据“失衡点”的定义，可知，根据、是抛物线上的一对“平衡点”，可得，所以当时，取得最小值为． 【详解】（1）解：①中，，无论取何值，都有， ， 不存在一对“失衡点”， 函数不是“完备函数”， 故①错误； ②函数中， 整理可得：， ， ， ， 整理得：， 当时，取任何值都有， 函数上存在无数对“失衡点”， 故②正确； ③若点与点是一对“平衡点”， 则有， 整理得：， 则有， 点与点一定不是一对“失衡点”， 故③错误； （2）解：设，， 根据题意可得：， 消整理得：， 由韦达定理得：， 又， ，， 、是抛物线上的一对“失衡点”， ， 解得：、中一个点坐标为， 将代入， 可得：， ， 直线过定点； （3）解：是等边三角形， 可得：， ， 函数是完备函数， ， 整理得：， 又， 解得：， 、是抛物线上的一对“平衡点”， 令， 整理得：， ， 又， ， ， ， 当时，取得最小值为． 12．(2026·湖南省长沙市华益中学·一模)我们约定：如果抛物线的顶点坐标满足条件，那么称抛物线为“同频”拋物线．如抛物线的顶点坐标为，此时，，满足条件，所以它是“同频”拋物线． (1)抛物线是“同频”拋物线，请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”）． 当时，；（   ） 当时，；（   ） 抛物线与轴可能只有一个交点；（   ） (2)若，是“同频”拋物线上的点，其中，且，求该抛物线的解析式； (3)“同频”抛物线的顶点为，它与直线交于，两点，若是等腰直角三角形，求代数式的值． 【答案】(1)√；√；×； (2)该抛物线的解析式为； (3)代数式的值为或． 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的应用，二次函数与一元二次方程的关系，待定系数法求解析式等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）先求出顶点坐标为，根据“同频”拋物线可得，整理得，再结合已知条件分别判断； （）由（）得抛物线的顶点坐标为，，又，是“同频”拋物线上的点，则，得出，再结合，得，然后求出的值即可； （）先求出抛物线的顶点坐标为，又抛物线是“同频”拋物线，则，整理得，所以，根据题意得，解得，，所以，又是等腰直角三角形，所以顶点到的距离等于，得，整理得，求得，然后分情况求解即可． 【详解】（1）解：由抛物线， ∴顶点坐标为， 根据“同频”拋物线可得：，整理得：， 当时，； ∵，， ∴； 由， ∴抛物线与轴没有交点， 故答案为：√；√；×； （2）解：由（）得抛物线的顶点坐标为，， ∴， ∵，是“同频”拋物线上的点， ∴， 得：， ， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴该抛物线的解析式为； （3）解：由抛物线， ∴顶点坐标为， ∵抛物线是“同频”拋物线， ∴，整理得：， ∴， ∵抛物线与直线交于，两点， ∴， ， 解得：，， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴顶点到的距离等于， ∴， 整理得：， ∵，， ∴， ∴， ∴当时，， ∴ ； 当时，， ∴ ； 综上可得：代数式的值为或． 13．(2026·湖南省长沙市望城区·一模)如图，抛物线与 x 轴交于点，与y轴交于点 C，顶点为点 D，直线与x轴交于点 M，点O为坐标原点，不妨约定：若M为线段中点，则称该抛物线为“型”抛物线；若M 为线段中点，则称该抛物线为“型”抛物线．根据该约定，完成下列各题． (1)下列抛物线中是“型”抛物线的有： （填序号）；①；②；③； (2)若抛物线为“型”抛物线，且直线的解析式为，求的值； (3)抛物线G：为“型”抛物线，若将抛物线G向下平移2个单位长度后得到的新抛物线是“型”抛物线，试求出抛物线G的解析式． 【答案】(1)③ (2) (3) 【分析】（1）利用判别式可得抛物线①与x轴没有交点，据此可判断①；求出抛物线②与x轴的两个交点的横坐标，结合可判断②；求出抛物线与x轴的两个交点的坐标，与y轴的交点的坐标，以及顶点的坐标，进而求出直线的解析式，则可求出点M的坐标，再根据定义可判断③； （2）可求出，，则根据定义可得，根据对称轴公式和待定系数法可推出，据此求出和的值，解方程得到即可得到答案； （3）可求出平移前，，，求出直线的解析式为，则，可推出，利用待定系数法可推出；可求出平移后的顶点坐标为，平移后的抛物线与y轴交于点，则根据定义点和点组成的线段的中点在x轴上，据此可得，则，据此求出的值即可得到答案． 【详解】（1）解：①在中，当时，则， ∵， ∴方程无实数根， ∴抛物线与x轴无交点， ∴抛物线不为“型”抛物线； ②在中，当时，则，解得， 此时不满足， ∴抛物线不为“型”抛物线； ③在中，当时，则，解得， 当时，， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为，则， ∴， ∴直线的解析式为， 在中，当时，，解得， ∴， ∵的中点坐标为， ∴点M是的中点， ∴该抛物线为“型”抛物线； （2）解：在中，当时，，当时，则，解得， ∴，； ∵抛物线为“型”抛物线， ∴M 为线段中点， ∴， ∴，且对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，则， ∴， ∴， ∴ ； （3）解：平移前，在中，当时，， ∴， ∵抛物线G：为“型”抛物线， ∴M为线段中点， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 在中，当时，，解得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 将抛物线G向下平移2个单位长度后得到的新抛物线的解析式为，平移后的顶点坐标为， 在中，当时，， ∴平移后的抛物线与y轴交于点， ∵平移后的抛物线为“型”抛物线， ∴点和点组成的线段的中点在x轴上， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴抛物线G的解析式为． 14．(2026·湖南长沙长郡教育集团·一模)我们约定：一元二次方程与一元二次方程互为“轮转对称方程”．二次函数与二次函数互为“轮转对称函数”． (1)直接写出的“轮转对称方程”，并解出这个“轮转对称方程”； (2)对于任意非零实数m，n，点与点始终在关于x的函数的图象上运动，函数与互为“轮转对称函数”． ①求函数的图象的对称轴； ②函数的图象是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由； (3)若关于x的二次函数的图象经过平面直角坐标系中三个象限，且，其“轮转对称函数”的图象与x轴交于A、B两点，顶点为点D，与y轴交于点C，点M是的中点，点O是坐标原点．已知，试求：的最大值． 【答案】(1)；， (2)①对称轴为；②过定点， (3)6 【分析】（1）根据题意写出方程，然后用因式分解法解方程即可； （2）①根据点P、Q的坐标先求得的对称轴，得到m、n的关系，然后写出表达式，进而根据对称轴公式，即可解答；②根据①中求得的m、n的关系，把的表达式化为，令，据此解答即可； （3）根据题意先求得，设“轮转对称函数”的图象与x轴交于，，根据已知推出，从而得到，进而根据根与系数的关系和二次函数的顶点坐标公式得到，然后化简，根据二次函数的最值问题解答即可． 【详解】（1）解：由题可知，的“轮转对称方程”是， 即， 解得，； （2）解：①点与点始终在关于x的函数的图象上运动， 对称轴为， ， ∵函数与互为“轮转对称函数”， ， 函数的图象的对称轴为； ②， 令， 解得，， 函数的图象过定点，． （3）解：关于x的二次函数的图象经过平面直角坐标系中三个象限， 且， ， 同号， 又且， ， 设“轮转对称函数”的图象与x轴交于，， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， 令， ， ， ， 当时，， 即的最大值为6． 15．(2026·湖南省衡阳市耒阳市童星实验学校·一模)我们约定：点为点的“倍位似点”，当点为函数图象上任意一点时，点均在函数图象上，则称函数为函数的“倍位似函数”．例如，点为点的“2倍位似点”，点为函数图象上任意一点，点均在函数图象上，则称函数为函数的“2倍位似函数”．根据该约定，解答下列问题： (1)①点的“3倍位似点”为 （填坐标）； ②点为函数图象上任意一点，则函数的“3倍位似函数”为 （填解析式）； (2)函数的“2倍位似函数”图象与直线只有一个公共点，求的值； (3)函数为函数的“2倍位似函数”，直线与函数图象交于，两点，与函数图象交于两点，函数的图象交于两点，这三条线段能否组成一个直角三角形？若能，求出直角三角形面积的最小值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)①；②； (2) (3)直角三角形面积的最小值为 【分析】（1）①根据提供信息进行解答即可； ②先求出点的“3倍位似点”，然后得出函数的“3 倍位似函数”即可； （2）先求出函数的“2倍位似函数”关系式，然后联立，根据一元二次方程根的判别式得出，整理得出答案即可； （3）先求出、、，然后分三种情况：①当时，②当时，③当时，分别求出三角形面积的最小值，再得出答案即可． 【详解】（1）解：①点的“3倍位似点”为； ②∵点的“3倍位似点”为， 又∵点在函数的图象上， ∴函数的“3 倍位似函数”为； （2）解：由题可知点为函数 图象上一点， ∴点A 的“2倍位似点”为 即 ， 消去m得， 联立， 整理得， ∵两个函数图象只有一个公共点， ∴， ∴， ∴． （3）解：在函数图象上任取一点， 则点的“2倍位似点”为， 即， 消去m得：， 联立， 整理得：， 解得：， 令，， ∴ ， 联立， 整理得， 解得：， 令，， ∴ ， 联立 ， 整理得， 解得：， 令，， ∴ ， 由题意知：，，或，，， 设，，这三条线段组成的直角三角形面积为S， ①当时， 解得， 即， ∴ ， ∵， ∴当时，S最小，且最小值为； ②当时， ， 解得， 即， ∴ ， ∵， ∴当时，S最小，且最小值为； ③当时， ， 解得：，此时，舍去． 综上所述：直角三角形面积的最小值为． 16．(2026·湖南省张家界市·一模)定义：与为“对偶点”，对于函数，若至少有一组对偶点在其图象上，且，则称该函数为“湖湘对偶函数”． (1)判断函数是不是“湖湘对偶函数”，若是，求出一组“对偶点”； (2)若二次函数是“湖湘对偶函数”，且有唯一“对偶点”，求m，n的关系式（请用含m的式子表示n）； (3)已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点（A在B左侧），与y轴交于C，且点的“对偶点”在函数图像上，点P是函数图像上一动点，当的面积是面积的2倍时，求点P的坐标． 【答案】(1)函数不是“湖湘对偶函数”，见解析 (2) (3)点P的坐标为或 【分析】（1）根据“湖湘对偶函数”需满足与均在函数图象上，且，得到方程组，求解即可判断； （2）由“湖湘对偶函数”定义，联立方程组，化简得，继续化简得，再代入， 整理为，再由求解即可； （3）点的“对偶点”为，代入，求出函数解析式为，然后求出，，，则，则，那么．设，则，得，求出，再代入函数解析式求解即可． 【详解】（1）解：“湖湘对偶函数”需满足与均在函数图象上，且． 联立方程组 解得 此时，不满足． 故函数不是“湖湘对偶函数”． （2）解：由“湖湘对偶函数”定义，联立方程组 化简得． 因为，两边除以，化简得 代入， 整理为， 因为有唯一“对偶点”，所以该方程有唯一解， 故判别式， 所以； （3）解：点的“对偶点”为，代入， 得，解得， 故函数解析式为． 令，得， 解得或． 故，， 所以． 令，得，故， 故， 由题意得． 设，则，得． 当时，，，无实根． 当时，，即， 解得， 所以点P的坐标为或． 二次函数的综合应用 考点05 1．(2026·湖南省长沙市华益中学·一模)如图，中，，边上的高为，点，，分别在边，，上，且．设点到的距离为，的面积为，则关于的函数图象大致是（   ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作边上的高，交于点，交于点．根据相似三角形的性质求出的长，再根据三角形面积公式列出函数关系式，根据函数关系式判断图象． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点， ∵边上的高为，点到的距离为， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵，点在上， ∴点到的距离等于点到的距离，即为， ∴， ∵， ∴该函数图象是开口向下，顶点坐标为的抛物线， 当时，；当时，，观察选项，只有选项符合． 2．(2026·湖南省怀化市第四中学等校·一模)如图，在四边形中，，，，，的直角顶点与点重合，另一个顶点在点左侧在射线上，且，将沿方向匀速平移，点与点重合时停止．设的长为，在平移过程中与四边形重叠部分的面积为，则下列图象能正确反映与函数关系的是（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】根据移动过程分三个阶段讨论，第一个是点B到达点G之前，即时，求出y和x的关系式，确定图象，第二个是点C到达点H之前，即时，求出y和x的关系式，确定图象，第三个是点C到达点F之前，即时，求出y和x的关系式，确定图象，即可确定选项． 【详解】解：过点D作，如图所示： ∵，，， ∴，， 当时，重叠部分为等腰直角三角形，且直角边长为x， ∴， ∵， ∴该部分图象开口向上，故A、C选项不符合题意； 当时，如图， 设与交于点N，与交于点M， 则， 设，则， ∵，， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴该部分图象开口向下，故D选项不符合题意； 当时，重叠部分的面积为，是固定值， ∴该部分图象是平行于x轴的线段，故只有B选项符合题意． 3．(2026·湖南省长沙市望城区·一模)如图，将 与正方形按如图所示的方式摆放，边 在直线上，，， ，以的速度沿着方向运动，初始时点与点重合，当点与点 重合时停止运动，在运动过程中，当与正方形重叠部分面积为时，其运动时间为（  　 ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】设运动时间为秒，与正方形重叠部分面积为，根据三角形与正方形的相对位置，分三种情况讨论重叠部分的面积：当时，三角形部分进入正方形，重叠部分为直角梯形；当时，三角形完全在正方形内部，重叠部分为三角形；当时，三角形部分移出正方形，重叠部分为等腰直角三角形；分别列出面积关于的函数关系式，令求解即可． 【详解】解：设运动时间为秒，与正方形重叠部分面积为，则点运动的距离为， ∵，， ∴是等腰直角三角形，， 分三种情况讨论： 当时，点在点左侧或重合，点在上，此时重叠部分为直角梯形，其高为，下底为，如图， 设交于点，则为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， 令，整理得， 解得，， ∵， ∴； 当时，点在上，点在上（未到达）， 此时 完全在正方形内部，如图 ∴， ∵， ∴此时无解； 当时，点在右侧，点在左侧，此时重叠部分为（为与的交点），如图， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∵点运动的总距离为，初始在左侧处，点相对于的位置为， ∴， ∴， 令，即， 解得或， ∴或， ∵， ∴， 综上所述，当重叠部分面积为时，运动时间为或． 4．(2026·湖南省岳阳市汨罗市多校·一模)如图，抛物线经过点、，交轴于点，点是抛物线上一动点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)当点的坐标为时，求四边形的面积； (3)若，求点的坐标． 【答案】(1) (2)16 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过点P作于T，根据列式求解即可； （3）取，连接，，证明，则线段与抛物线的交点即为所求；求出直线的解析式为，联立，解得或（舍去），则；如图所示，取，连接，同理可得，则直线与抛物线的交点即为所求；同理可得；则符合题意的点P的坐标为或． 【详解】（1）解：将点代入， 得 解得 ∴抛物线解析式为； （2）解∶如图所示，过点P作于T， ∵，，， ∴ ， ∴， ∴ ； （3）解：如图所示，取，连接，， ∵、，， ∴，，， ∴， ∴线段与抛物线的交点即为所求； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 联立，解得或（舍去）， ∴； 如图所示，取，连接，， 同理可得， ∴直线与抛物线的交点即为所求； 同理可知直线的解析式为， 联立，解得或（舍去）， ∴； 综上所述，符合题意的点P的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，勾股定理等知识，解题的关键在于正确作出辅助线并利用数形结合的思想求解． 5．(2026·湖南省邵阳市·一模)在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)在对称轴上找一点，使的周长最小，求点的坐标； (3)若点是抛物线上一点，点是抛物线对称轴上一点，A、C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点的坐标为或或． 【分析】0-、=（1）用待定系数法即可求解； （2）与抛物线的对称轴的交点即为点Q，求出直线的解析式，进而即可求解； （3）当为平行四边形对角线时，则，解得：，即可求解；当为平行四边形对角线时，同理可解． 【详解】（1）解：点，在抛物线的图象上， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：设点，点，， 与关于对称轴对称， 连接与对称轴交于点， ∴， 此时的周长取得最小值， 设解析式为， ， 解得， ， 当时，， ， 点； （3）解：存在，理由如下： ， 抛物线的对称轴为直线， 设点的坐标为，点的坐标为， 分三种情况：①当为平行四边形对角线时， 则，解得：， 点的坐标为； ②当为平行四边形对角线时， 则，解得：， 点的坐标为； ③当为平行四边形对角线时， 则， 解得：， 点的坐标为； 综上，点的坐标为或或． 6．(2026·湖南省郴州市·一模)已知抛物线（a，h为常数且）． (1)抛物线的对称轴为，且经过点． ①求抛物线的表达式； ②如图1，抛物线与y轴交于点B，点P是抛物线上一动点，且在直线的下方，过点P作于点Q．请问线段的长度是否存在最大值？如果存在，求出最大值；如果不存在，说明理由； (2)如图2，在二次函数（h为常数）中，当时，函数y有最大值为，求h的值． 【答案】(1)①，② (2)或 【分析】（1）①根据抛物线对称轴得，再将点A代入抛物线解析式，即可求得抛物线得表达式； ②过点P作轴交于点M，过点A作轴交y轴于点N，先证得是等腰直角三角形，进而证得是等腰直角三角形，推出，利用待定系数法求得直线的解析式，设，，表示出的长度表达式，此时该表达式为开口向下的二次函数，有最大值，通过最后代入即可求得结果； （2）先得出二次函数的对称轴和顶点坐标，再分情况进行讨论h的变化，从而求得结果． 【详解】（1）解：①∵抛物线的对称轴为， ∴， 又∵抛物线经过点， ∴将点A代入抛物线解析式，得：， 解得， ∴抛物线表达式为； ②如图，过点P作轴交于点M，过点A作轴交y轴于点N， 令，则， ∴， ∵， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设直线的解析式为， 将点A，B代入得：，解得， ∴直线的解析式为， 设，则，其中， ∴， 当时，， ∴． （2）解：∵二次函数的对称轴为，顶点坐标为， 此时分情况讨论： ①如图， 若，则当时，y随x的增大而减小， ∴当时函数取得最大值，即， 解得，（舍去）； ②如图， 若，则函数y的最大值为0， ∴与函数y的最大值为矛盾， ∴此情况不符合题意； ③如图， 若，则当时，y随x的增大而增大， ∴当时，函数取得最大值，即， 解得或（舍去）， 综上所述，或． 7． (2026·湖南湘潭市、株洲市部分学校一模)在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，交轴于点，抛物线的对称轴为，连接．点是轴上一点，且． (1)求抛物线的表达式； (2)如图，作直线交抛物线于点．点是直线上方抛物线上一动点，过作轴交于点．当线段长度取得最大值时，在直线上有两动点（点在点的上方），当时，求的最小值； (3)将该抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，新抛物线与轴交于点，连接，点分别为直线下方新抛物线上的两点，当时，连接，若线段被直线平分，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）将点代入抛物线的解析式可得，根据二次函数的对称轴可得，联立解方程组即可得； （2）先求出直线的解析式为，则，再设点的坐标为，则，利用二次函数的性质求出的值，然后作点关于直线的对称点，将沿方向向下平移1个单位长度得到，则，，最后根据两点之间线段最短可得当点共线时，的值最小，最小值为，由此即可得； （3）先求出平移后所得到的新抛物线的解析式为，则，，再过点作的垂线，交于点，过点作轴的平行线，过点作于点，交轴于点，过点作于点，求出，利用待定系数法求出直线的解析式为，然后设点的坐标为，则的中点的坐标为，代入直线的解析式可得的值，由此即可得． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， 联立，解得， ∴抛物线的表达式为． （2）解：将代入得：， 解得或， ∴， 将代入得：， ∴， ∵， ∴， ∵点是轴上一点， ∴， 设直线的解析式为， 将点代入得：，解得， ∴直线的解析式为， 联立，解得或， ∴， 由题意，设点的坐标为， ∵轴，交于点， ∴， ∴， 由二次函数的性质可知，在内，当时，长度取得最大值， 如图，作点关于直线的对称点， 则，，即， 将沿方向向下平移1个单位长度得到， 则，， ∴， ∴由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为， ∴的最小值为， 即的最小值为． （3）解：∵，， ∴， ∴， ∵将该抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线， ∴相当于将该抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度， ∴平移后所得到的新抛物线的解析式为， 将代入得：， ∴，， 如图，过点作的垂线，交于点，过点作轴的平行线，过点作于点，交轴于点，过点作于点， ∴，四边形和四边形都是矩形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 设直线的解析式为， 将点，代入得：，解得， ∴直线的解析式为， 设点的坐标为， ∵线段被直线平分，且， ∴的中点的坐标为，且点在直线上， ∴， 解得或， 当时，； 当时，； 综上，点的坐标为或． 8．(2026·湖南省衡阳市·一模)如图，在平面直角坐标系中，二次函数交轴于点，，交轴于点，在轴上有一点，连接． (1)求二次函数的表达式； (2)若点为抛物线在轴负半轴上方的一个动点，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)抛物线对称轴上是否存在点，使为以为底的等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标即可；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的表达式为 (2)面积的最大值为，此时D点坐标为 (3)存在，点P的坐标为 【分析】此题考查二次函数的图象与性质，用待定系数法求函数表达式，等腰三角形的判定等知识，数形结合与分类讨论数学思想是解题的关键． （1）直接用待定系数法求解即可； （2）可求得直线的表达式为过点D作 轴于点G， 交于点F， 设则所以，则 ，即可求得面积的最大值是； （3）先求得抛物线的对称轴为直线设，再根据为等腰三角形，且以为底边，利用坐标两点距离公式列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ， ， 解得 ∴二次函数的表达式为． （2）解：设直线的表达式为则 解得 ∴直线的表达式为 如图1，过点D作轴于点G，交于点F， 设则 ， ， ， ∴当时， ， 此时，， 面积的最大值是，此时D点坐标为； （3）解：存在，理由如下： ， ∴抛物线的对称轴为直线， 设， 为等腰三角形，且以为底边， ， ，， 解得， ． 9．(2026·湖南省娄底市涟源市·一模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，点D为的中点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点G是该抛物线对称轴上的动点，若有最小值，求此时点G的坐标； (3)若点P是第四象限内该抛物线上一动点，求面积的最大值； 【答案】(1) (2) (3)面积的最大值为2 【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数解析式即可； （2）根据对称轴得出当点G正好在直线与抛物线对称轴的交点上时最小，求出直线的解析式，求出抛物线的对称轴为直线，把代入求出点G的坐标即可； （3）连接，过点P作轴，交于点Q，根据点D是的中点，得出，当面积最大时，面积最大，设，则，用m表示出，求出其最大值，即可得出答案． 【详解】（1）解：把代入抛物线得： ， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：∵点G是该抛物线对称轴上的动点， ∴， ∴， ∴当点G正好在直线与抛物线对称轴的交点上时最小， 把代入得：， ∴点C的坐标为：， 设直线的解析式为：， 把代入得：， 解得：， ∴ 直线的解析式为：， 抛物线的对称轴为直线， 把代入得：， ∴点G的坐标为：； （3）解：连接，过点P作轴，交于点Q，如图所示： ∵点D是的中点， ∴， ∴当面积最大时，面积最大， 设，则， ， ， ∴当时，面积取最大值4， ∴面积的最大值为． 10．(2026·湖南省湘西州凤凰县·一模)如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，，对称轴是，点在对称轴上运动． (1)求抛物线的解析式； (2)是否存在一点，使得为直角？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)将线段绕着点逆时针方向旋转后得到线段，当点与恰有一点落在抛物线上时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)存在，或 (3)，，， 【分析】（1）由题意得出，．结合轴对称的性质得出，再利用待定系数法求解即可； （2）由勾股定理得出．设中点为，则，连接．设点，则．当时，点，，三点在以为圆心，为直径的圆上，由圆周角定理得出此时为直角，由直角三角形的性质得出，即，解方程即可得解； （3）设点．则点逆时针方向旋转后的坐标为，点逆时针方向旋转后的坐标为，再分两种情况：当在抛物线上时，当在抛物线上时，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，． ∵对称轴， ∴． 设抛物线解析式为 由题意得， 解得， ∴抛物线解析式为． （2）解：存在， ∵，， ∴． 设中点为，则，连接． 设点，则． 当时，点，，三点在以为圆心，为直径的圆上， 此时，为直角，，则， ∴， 化简得， 解得，． ∴的坐标为或时，为直角． （3）解：设点． 则点逆时针方向旋转后的坐标为，点逆时针方向旋转后的坐标为， 当在抛物线上时，， 化简得， 解得，． ∴时，，时，． 经检验，此时点不在抛物线上． 当在抛物线上时，， 化简得， 解得，． ∴当时，，当时，． 经检验，此时点不在抛物线上． 综上，满足题意的点的坐标为，，，． 11．(2026·湖南省邵阳市·一模)已知抛物线过点，，与轴交于点．点是轴正半轴上的动点，点是抛物线在第四象限图象上的动点，连接，，且交轴于点，交于点． (1)当时，求抛物线的解析式； (2)如图1，在（1）的条件下，若，求直线的解析式； (3)要使得成立，请探索的取值范围（直接写出结果）； (4)如图2，，当为何值时，的长度等于1？ 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次函数综合问题，角度问题，正切的定义，等腰三角形的性质与判定； （1）当时，二次函数的图象与轴交于，设二次函数的交点式为，展开后得到求解即可得到答案； （2）根据解析式求得点，进而勾股定理求得，作的角平分线交轴于点，则，，进而得出，根据角平分线的定义得出，求得，进而可得，从而求得点的坐标，待定系数法求解析式，即可求解． （3）先找到临界值，当时，，此时得出重合，根据题意可得是第四象限的点，则当时，即可求解； （4）根据题意得出是等腰直角三角形，进而根据已知得出，取得出是等腰直角三角形，进而求得 ，即可得出的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：当时，二次函数的图象与轴交于， ∴设二次函数的交点式为， ，， ∴， 解得， ∴函数的解析式为； （2）解：对于二次函数， 令，可得，则点的坐标为，则 ∵， ∴， ∵ ∴， 如图，作的角平分线交轴于点，则， ∴， 设到的距离为，则， ∵， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵，则， ∴． ∴． 设直线的解析式为，代入， ∴， 解得：， ∴直线的解析式． （3）解：当时，， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∵， ∴，则重合，重合， 又∵是第四象限的点， ∴当时，则，． ∴要使得成立， 的取值范围为； （4）解：∵， ∴是等腰直角三角形． ∴． ∴． 在中，． 如图所示，取． ∴． ∴是等腰直角三角形． ∴． ∴． ∴ ． ∴． 即． 12．(2026·湖南省永州市·一模)如图，抛物线与直线交于和两点，抛物线与x轴的另一个交点为A，连接，，P是直线下方抛物线上一点． (1)求m的值； (2)如图1，过点P作平行于y轴交于N，求最大值； (3)如图2，连接，交于点D，若，求点P的坐标； (4)如图3，将绕点O旋转至，连接，，试求出的最小值． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用待定系数法求得m即可； （2）由（1）知直线 的解析式为，可设点，且点，则求解即可； （3）结合已知可得，则D点纵坐标为，进一步得出点D的坐标，再求出点A的坐标，然后求出的解析式，然后联立的解析式和抛物线解析式即可求出点P的坐标． （4）在x轴取点P，使，连接，证明，可得，从而得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与直线交于点， ∴， 解得； （2）解：由（1）知直线 的解析式为， ∵P是直线下方抛物线上一点 ∴设点， ∵过点P作平行于y轴交于N， ∴点， 那么， 则最大值为； （3）解：∵点， ∴， ∵， ∴，解得， 则D点纵坐标为， ∵点D在直线上， ∴，解得， 则点， ∵抛物线与x轴交于点A和点B， ∴，解得，， ∴点， 设的解解析式为：， 则， 解得： 则的解解析式为：， 联立， 解得：或， 则． （4）解：在x轴取点P，使，连接，如图， 由旋转的性质得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴的最小值为． 13．(2026·湖南株洲渌口区四校联考·一模)如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，． （1）求，，三点的坐标并直接写出直线，的函数表达式； （2）点是直线下方抛物线上的一个动点，过点作的平行线，交线段于点． ①试探究：在直线上是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； ②设抛物线的对称轴与直线交于点，与直线交于点．当时，请直接写出的长． 【答案】（1）点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，直线的函数表达式为：；直线的函数表达式为：；（2）①存在，点的坐标为或；②． 【分析】（1）分别令和时即可求解，，三点的坐标，然后再进行求解直线，的函数表达式即可； （2）①设点的坐标为，其中，由题意易得，，，当时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形，进而可根据菱形的性质分当时，是菱形，当时，是菱形，然后分别求解即可；②由题意可作图，则由题意可得抛物线的对称轴为直线，由（1）可得直线的函数表达式为：；直线的函数表达式为：，点的坐标为，点的坐标为，进而可得，设点，然后可求得直线l的解析式为，则可求得点，所以就有，最后根据面积公式及两点距离公式可进行求解． 【详解】解：（1）当时，，解得，， ∵点在点的左侧， ∴点的坐标为，点的坐标为， 当时，， ∴点的坐标为， 设直线的函数表达式为，代入点A、C的坐标得：， 解得：， ∴直线的函数表达式为：． 同理可得直线的函数表达式为：； （2）①存在．设点的坐标为，其中， ∵点，点的坐标分别为，， ∴，，， ∵， ∴当时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形， 当时，是菱形，如图所示： ∴， 解得，（舍去）， ∴点的坐标为， ∴点的坐标为； 当时，是菱形，如图所示： ∴， 解，得，（舍去）， ∴点的坐标为， ∴点的坐标为； 综上所述，存在点，使得以，，，为顶点的四边形为菱形，且点的坐标为或； ②由题意可得如图所示： 由题意可得抛物线的对称轴为直线，由（1）可得直线的函数表达式为：；直线的函数表达式为：，点的坐标为，点的坐标为， ∴点，， ∴， 设点， ∵， ∴设直线l的解析式为，把点M的坐标代入得：， 解得：， ∴直线l的解析式为， ∴联立直线l与直线AC的解析式得：， 解得：， ∴， ∴点， ∵点是直线下方抛物线上的一个动点，且， ∴点M在点N的上方才有可能， ∴， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴， ∴由两点距离公式可得． 14．(2026·湖南省怀化市第四中学等校·一模)已知，二次函数图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接． (1)如图1，请判断的形状，并说明理由； (2)如图2，点D为线段上一动点，作交抛物线于点P，过点P作轴，垂足为点E，交于点F，过点F作，交于点G，连接，，求阴影部分面积S的最大值和点D的坐标； (3)如图3，将抛物线沿射线的方向移动个单位得到新的抛物线：，是否在新抛物线对称轴上存在点M，在坐标平面内存在点N，使得以C， B， M， N为顶点的四边形是以为边的正方形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)为直角三角形；见解析 (2)最大值为1， (3)存在，为或 【分析】（1）根据抛物线解析式，可以令和，分别求出C、A、B点坐标，继而求得、、长度，利用勾股定理逆定理，来判定三角形为直角三角形； （2）根据轴，判定轴，根据，判定轴，阴影部分面积可以看作与的面积之和，当底边为时，阴影部分面积转化为，由于长已知，所以当取最大值时，阴影部分面积最大，根据，可以得到，从而得到，设，则，得到的长度，继而得到长度，从而求得表达式，根据m的取值范围，确定函数在顶点处取得最大值； （3）根据三边关系，将斜向平移分解成两次平移，即水平移动和竖直移动，从而得到新抛物线解析式，由于为边，M在对称轴上，所以可以得到或者，根据分类，画出图形，利用直角，构造相似三角形，即可求得M点坐标． 【详解】（1）解：令，则， ∴ 令，则，解得：， ， 在中，， 同理，， 又 ， 即为直角三角形； （2）解：设直线的解析式为， 代入点得，， 直线为， 同理，直线为， 轴， 轴， 设，则 ， 轴， 轴，， ， ， 又， ， ， ， ， ， 当最大时，取得最大值， ， 又， 当时，最大值为最大值为1， ， ， 可设直线为， 代入点，得， 直线为：， 令，解得， ， 此时最大值为1； （3）解：存在，或 存在这样的点，使以为顶点的四边形为正方形， ， 当抛物线沿射线方向平移个单位，可以分解为水平向右平移个单位，竖直向上平移1个单位， ， 平移后得抛物线为：， 对称轴为直线， ①当，为对角线，构成正方形时，如图1， 过作轴于点， ， 又， ， ， ， 又 ， ， 由坐标与平移关系可得，， ②当，为对角线，构成正方形时，如图2， ， ， ， ， ， ， ， ， 由坐标与平移关系可得，， 综上所述，为或． 15．(2026·湖南省娄底市涟源市·一模)如图，函数的图象与函数的图象相交于，两点．直线与图象，分别交于E，F两点． (1)求b，c的值． (2)设直线与线段交于点D，记和的面积分别为，，当时，求t的值． (3)若t满足，且，试问t取何值时，线段的长度最大？并求出这个最大长度． 【答案】(1)， (2) (3)当时，线段的长度取得最大值；当时，线段的长度取得最大值；当时，线段的长度取得最大值为 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出直线的表达式为，可得，，，求出．过点B作直线的垂线交于点P，设直线与x轴的交点为点Q．得到，，根据，建立方程求解即可； （3）求出线段，分，即，，即，，即，三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：将，代入函数， 得， 解得，； （2）解：设直线的表达式为， 将，两点代入，则， 解得， ∴直线的表达式为； 直线与图象，分别交于E，F两点，与线段交于点D． ，，， ，， ． 过点B作直线的垂线交于点P，设直线与x轴的交点为点Q． ，． ， ， 解得； （3）解：线段 ． 若t满足，且， ∴直线始终满足． i．若，即， 当时，线段的长度取得最大值． ⅱ．若，即， 当时，线段的长度取得最大值． ⅲ．若，即， 当时，线段的长度取得最大值为． 16．(2026·湖南省娄底市·一模)在平面直角坐标系中，如图（1），抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，直线与坐标轴交于M、N点． (1)求抛物线解析式并求出M、N两点坐标； (2)点E是抛物线上一点，连接、，当的面积最小时，求出点E的坐标并写出面积最小值； (3)如图（2），点F是抛物线上横坐标为t的点，过点F分别作坐标轴的平行线交直线于点G，交x轴于点I，以、为边作矩形，设矩形的周长为L，直接写出当时t的值． 【答案】(1)，点的坐标为，点的坐标为 (2)点的坐标是，的面积最小值是 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数的解析式，根据直线的解析式求出点、的坐标； （2）过点作轴，设点的坐标为，则点的坐标是，根据可得，利用二次函数的性质求出面积的最小值和的值，根据的值求出点的坐标； （3）设点的坐标为，点的坐标为，点的纵坐标为，根据平面直角坐标系中两点之间的距离可得：，，根据矩形的周长公式可得：，分情况求出的值． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于，两点， ∴， 解得：， 抛物线的解析式为； 对于直线，当时，可得：， 点的坐标为， 当时，可得：， 解得：， 点的坐标为； （2）解：过点作轴，交直线于点P， 设点的坐标为，则点的坐标是， ， ， ， ， 当时，有最小值，最小值为， 当时，可得：， 点的坐标是，的面积最小值是； （3）解：点是抛物线上横坐标为的点， ∴点的坐标为， 点的坐标为，点的纵坐标为， 点在直线上， ， 解得：， 点的坐标为，点的坐标为， ，， 矩形的周长为， 当时， 解得：或， 当或时，， 可得方程， 整理得： 解得：或(不符合题意，舍去)； 当时， 可得方程， 整理可得：， 解得：或(不符合题意，舍去)； 综上所述，当或时，矩形的周长为. 2/23 1/23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $