专题02 方程（组）与不等式组（4大考点）（湖南专用）2026年中考数学一模分类汇编

专题02 方程（组）与不等式（组） 4大考点概览 考点01一元一次不等式（组） 考点02二元一次方程（组）及其实际应用 考点03分式方程 考点04一元二次方程 一元一次不等式 考点01 1．(2026·湖南省长沙市华益中学·一模)不等式组的解集在数轴上可表示为（   ） A． B． C． D． 2．(2026·湖南省邵阳市·一模)不等式组的整数解是（　　） A．0 B． C． D．1 3．(2026·湖南省娄底市涟源市·一模)不等式组的解集是（    ） A． B． C． D． 4．(2026·湖南省郴州市涟源市·一模)定义：已知二次多项式（a，b，c为常数，且），把关于x的方程的解称为该二次多项式的“溯源值”．若二次多项式的“溯源值”的取值范围是，则m的最小值是（   ） A．2 B． C． D． 5．(2026·湖南省怀化市第四中学·一模)已知非零实数x，y，z满足，，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 6．(2026·湖南省郴州市·一模)不等式组的解集是________． 7．(2026·湖南省怀化市第四中学等校·一模)请写出不等式组 的一个整数解：__________． 二元一次方程（组）及其实际应用 考点02 1．(2026·湖南省衡阳市耒阳市童星实验学校·一模)数学家朱世杰所著的《四元玉鉴》是中国元代重要的数学著作之一，书中记载着这样一个问题，大意是：999文钱买了甜果和苦果共1000个，11文钱可买9个甜果，4文钱可买7个苦果，问甜果，苦果各买了多少个？设买了甜果个，苦果个，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 2．(2026·湖南株洲渌口区四校联考·一模)《九章算术》中有一道题目，其译文如下：若两人坐一辆车，则九人需要步行；若三人坐一辆车，则有两辆空车．问人与车各多少？下列说法正确的是（   ） A．设有x辆车，则可列方程为 B．设有y人，则可列方程为 C．设有x辆车，有y人，则可列方程组为 D．设有x辆车，有y人，则可列方程组为 3．(2026·湖南衡阳市耒阳市童星实验学校·一模)2026马年央视春晚中，宇树科技的机器人《武》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率．拟购买、两种型号智能机器人进行快递分拣．若买1台型机器人、3台型机器人，共需260万元；若买3台型机器人、2台型机器人，共需360万元． (1)求、两种型号智能机器人的单价． (2)该企业现计划用960万元采购型和型机器人，两种机器人均要购买且预算必须全部用完．请列出所有可能的购买方案． 4．(2026·湖南湘西州凤凰县·一模)问界车型中有一款增程版车型，汽车先通过车身电池中电力续航（续航：汽车持续行驶），亏电（电池中电量使用完）后会通过汽油发动机发电来为电池充电，再用电力续航，满电满油情况下可续航1400千米，因此具有更强的续航里程．问界增程版电池容量为40度，可在纯电模式下行驶180千米．亏电后通过汽油发电续航，100千米耗油6.3升．2024年清明假期，小张从长沙出发，驾驶满电满油的问界到距离380千米的湘西游玩三日两晚再回到长沙．当行驶280千米时，电费与油费共82.4元；当行驶到达湘西时，电费与油费共132.8元． (1)求每度电的价格与每升油的价格； (2)与小张同行的小李驾驶某品牌纯燃油车（车身不带电池），每100千米耗油5升．根据景区规定：纯燃油车停车费25元/晚，而问界属新能源车，受国家扶持，景区免收停车费．请问小张这次出游（说明：往返长沙，中途不充电、不加油）比小李节省了多少费用？ 5．(2026·湖南长沙市华益中学·一模)为储备常用物资，某健身馆分三次采购运动毛巾和加厚款瑜伽垫，其中第二次采购时正赶上商场周年店庆，这两种商品同时按相同折扣促销，其余两次均按市场单价采购，三次采购的物品数量及总费用如下表． 采购批次 运动毛巾/条 瑜伽垫/个 总费用/元 第一次购物 5 6 400 第二次购物 7 6 396 第三次购物 4 3 230 (1)分别求出运动毛巾和加厚款瑜伽垫的市场单价； (2)求商场打折促销期间是打几折出售这两种商品的？ 6．(2026·湖南省娄底市·一模)2026年是中国农历马年，以生肖马为主题的玩偶凭借可爱的形象“圈粉”无数．某商店销售甲、乙两种型号以马为主题的生肖玩偶，已知1只甲型玩偶和2只乙型玩偶的价格为160元，2只甲型玩偶和3只乙型玩偶价格为260元． (1)求甲、乙两种型号玩偶的单价各是多少元？ (2)某公司计划采购两种型号玩偶共60个作为员工新年礼物，总费用不超过3000元，最多可以采购多少个乙型玩偶？ 7．(2026·湖南省湘潭市、株洲市部分学校·一模)为响应“绿色出行”号召，某社区计划在小区内安装共享单车停放点．若购买A型停放架3个和B型停放架2个，共需1100元；购买A型停放架2个和B型停放架3个，共需1050元． (1)求每个A型停放架和B型停放架的单价； (2)该社区准备购买A、B两种型号的停放架共15个，且购买总费用不超过3000元，求最多可以购买A型停放架多少个． 8.(2026·湖南省湘潭市湘乡市东皋学校·一模)年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出两款“哪吒”文旅纪念品．已知购进款个，款个，需花费元；购进款个，款个，需花费元． (1)求两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？ (2)根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过元的资金购进两款“哪吒”纪念品共个，那么至少需要购进款纪念品多少个？ 9．(2026·湖南省衡阳市·一模)习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．”某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得矛盾文学奖的甲、乙两种书共100本，已知购买2本甲种书和1本乙种书共需100元，购买3本甲种书和2本乙种书共需165元． (1)求甲，乙两种书的单价分别为多少元： (2)若学校决定购买以上两种书的总费用不超过3200元，那么该校最多可以购买甲种书多少本？ 10．(2026·湖南省长沙市望城区·一模)2026年央视春晚舞台上，多款国产智能机器人惊艳亮相，展现了我国人工智能与机器人技术的飞速发展．某科技公司计划采购A、B两款小机器人，用于科普展览．已知购买1台A型机器人与2台B型机器人共需要700元；购买2台A型机器人与3台B型机器人共需要1200元． (1)求A型机器人和B型机器人的单价分别为多少元？ (2)该公司计划采购A、B两种型号机器人共200台，且总费用不超过50000元，那么最多能购买A型机器人多少台？ 11．(2026·湖南省岳阳市汨罗市多校·一模)学校计划在科技节举办模型展示活动，准备采购两种科技模型：“智能小车”模型和“简易飞机”模型．“智能小车”模型每套99元，“简易飞机”模型每套29元，这两种模型均需购买，用于学生分组实践与展示． (1)若学校计划购买这两种模型共200套，采购总费用恰好为9300元．请问“智能小车”模型和“简易飞机”模型各购买了多少套？ (2)若学校采购这两种模型的总预算资金只有8000元，且仍需购买200套模型．那么，在预算范围内，最多可以购买“智能小车”模型多少套？ 12．(2026·湖南省郴州市·一模)马年春晚一系列机器人表演，展示了中国的科技实力．已知购买1台入门级人形机器人和2台商用级人形机器人共需18万元，购买3台入门级人形机器人和4台商用级人形机器人共需38万元． (1)求入门级人形机器人和商用级人形机器人的单价分别是多少万元； (2)某公司计划购买入门级人形机器人和商用级人形机器人共30台，总费用不超过120万元，问最多可以购买商用级人形机器人多少台？ 13．(2026·湖南省张家界市·一模)湖南乡村振兴项目中，种植3亩水稻和4亩蔬菜共需投入18000元，种植5亩水稻和2亩蔬菜共需投入16000元，某农场计划种植水稻和蔬菜共300亩，总投入不超过80万元． (1)求种植每亩水稻和蔬菜分别需要投入多少元？ (2)若水稻每亩利润为800元，蔬菜每亩利润为1200元，求该农场最多可获得多少利润？ 14．(2026·湖南省长沙市雅礼集团·一模)网红长沙本土奶茶店“茶颜悦色”销售A，B两种饮品，部分销售记录如表所示： A B 销售金额 60杯 20杯 1220元 30杯 40杯 1090元 (1)求A，B两种饮品的单价； (2)某班准备购买A，B两种饮品共30杯作为奖品发放给学生，若购买A种饮品的数量不超过B种饮品数量的4倍，那么该班购买30杯饮品最少花多少钱？ 15.(2026·湖南省邵阳市·一模)请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 某校计划购买篮球和排球，供更多学生参加体育锻炼，增强身体素质． 素材一 购买个篮球与购买个排球需要的费用相等； 素材二 购买个篮球和个排球共需元； 素材三 该校计划购买篮球和排球共个，篮球和排球均需购买，且购买排球的个数不超过购买篮球个数的倍． 请完成下列任务： 任务一 每个篮球，每个排球的价格分别是多少元？ 任务二 给出最节省费用的购买方案． 16.(2026·湖南省株洲渌口区四校联考·一模)古柏渡飞黄旅游区的樱花盛开，“上春山赏繁花”已成为年轻人的打卡新潮流！郑州大学某班级共30名同学来到景区，准备租用汉服拍照游玩．景区有甲、乙两家汉服体验店．已知甲店每件汉服的租用价格比乙店少20元，该班级三个小组租用汉服的部分情况如下表（每人只租一件）： 甲店 乙店 费用 第一小组 8件 2件 m元 第二小组 4件 5件 m元 第三小组 ？ ？ ？ (1)求甲、乙两家汉服体验店每件汉服的租用价格； (2)若租用汉服的班级预算不超过1980元，则第三小组有几种不同的选择方案？请具体列出选择甲店、乙店的人数． 分式方程及其应用 考点03 1．(2026·湖南郴州市·一模)为防止水土流失，某村计划在荒坡上种1200棵树．由于志愿者支援，每天种植的棵树是原计划的2倍，结果提前10天完成任务．设原计划每天种植x棵树，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 2．(2026·湖南湘潭湘乡东皋学校·一模)某快递公司为提高配送效率，引进甲乙两种型号的分拣机器人，已知甲型号每小时分拣数量比乙型号每小时分拣数量多30件，且甲型号分拣600件与乙型号分拣500件所用时间相同．若设甲型号每小时分拣数量为件，则可列方程（   ） A． B． C． D． 3．(2026·湖南邵阳市·一模)将分式方程去分母后得到的整式方程为（   ） A． B． C． D． 4．(2026·湖南株洲渌口区四校联考·一模)方程的解是_________． 5．(2026·湖南省娄底市·一模)分式方程的解是______． 6．(2026·湖南省长沙市望城区·一模)方程的解为________． 7．(2026·湖南省长沙市雅礼集团·一模)当___________时，分式与的值互为相反数． 8．(2026·湖南长沙长郡教育集团·一模)某家电销售商城电冰箱的销售价为每台2100元，空调的销售价为每台1750元，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多400元，商城用80000元购进电冰箱的数量与用64000元购进空调的数量相等． (1)求每台电冰箱与空调的进价分别是多少； (2)现在商城准备一次购进这两种家电共100台，设购进电冰箱x台，这100台家电的销售总利润为y元，要求购进空调数量不超过电冰箱数量的2倍，总利润不低于13200元，请分析合理的方案共有多少种，并确定获利最大的方案以及最大利润． 9．(2026·湖南省永州市·一模)长沙某文创店主小张计划在网上开设A和B两种产品专卖店．已知：用800元购买A产品的个数与用500元购买B产品的个数相等，且A产品的单价比B产品的单价多6元． (1)求A产品和B产品的单价各是多少元？ (2)开业大促期间，小张计划购进两种产品共150个，要求A产品的数量不少于70个．请问：购进A产品多少个时，总费用最低？最低费用是多少元？ 10．(2026·湖南省怀化市第四中学等校·一模)阅读理解，解决问题： 背景：随着我国科技事业的不断发展，国产无人机越来越多应用于实际生产生活，为人们的工作生活带来了便利．某农业公司欲购进甲、乙两种型号的农用无人机用来喷洒农药，甲型机比乙型机平均每小时少喷洒公顷农田，甲型机喷洒公顷农田所用时间与乙型机喷洒公顷农田所用时间相等．该农业公司共购进甲、乙两种型号的无人机架，其中甲型无人机万元／架，乙型无人机万元／架． 问题解决： (1)甲、乙两种型号无人机平均每小时分别喷洒多少公顷地？ (2)若公司要求这批无人机每小时至少喷洒公顷农田，那么该公司如何购买甲型和乙型无人机，才能使总成本最低？并求出最低成本． 11． (2026·湖南邵阳市·一模)端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上猪肉粽的进价比豆沙粽的进价每盒多20元，某商家用5000元购进的猪肉粽盒数与3000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价52元时，可售出180盒；每盒售价提高1元时，少售出10盒． (1)求这两种粽子的进价； (2)设猪肉粽每盒售价元，表示该商家销售猪肉粽的利润（单位：元），求关于的函数表达式并求出的最大值． 一元二次方程及其应用 考点04 1．(2026·湖南省永州市·一模)广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现快速增长态势．某公司工业机器人在今年5月产值达到2500万元，预计7月产值将增至9100万元．设该公司6，7两个月产值的月均增长率为，可列出的方程为（   ） A． B． C． D． 2．(2026·湖南省娄底市涟源市·一模)如图，某校有一块靠墙（墙的长度不限）的空地．为加强劳动教育，增加学生实践机会，学校拟用总长为的篱笆，在空地内围出一块面积为的矩形菜地作为实践基地，设与墙平行的一边长为x米，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 3．(2026·湖南省郴州市·一模)一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法判断 4．(2026·湖南省衡阳市耒阳市童星实验学校·一模)下列方程有两个相等的实数根的是（    ） A． B． C． 5．(2026·湖南省长沙市望城区·一模)若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（    ） A． B． C．1 D．4 6．(2026·湖南省娄底市涟源市·一模)若关于x的方程无实数根，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．(2026·湖南省怀化市第四中学等校·一模)一元二次方程的两根之和为a，两根之积为b，则点在平面直角坐标系中位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8．(2026·湖南省娄底市涟源市·一模)若方程的两根满足，则在下列关于、的等量关系式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 9．(2026·湖南省娄底市涟源市·一模)用配方法解方程，配方正确的是（    ） A． B． C． D． 10．(2026·湖南省衡阳市·一模)若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则__________． 11．(2026·湖南省娄底市涟源市·一模)关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 _____． 12．(2026·湖南长沙长郡教育集团·一模)若关于x的方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是______． 13．(2026·湖南省娄底市涟源市·一模)已知方程，用配方法化为．则___________． 14．(2026·湖南省邵阳市·一模)若是一元二次方程的一个根，则的值为______． 15．(2026·湖南省湘西州凤凰县·一模)若关于x的一元二次方程一个根为2，则m的值为______． 16．(2026·湖南省邵阳市·一模)已知方程的一根为，则方程的另一根为_______． 17．(2026·湖南湘潭湘乡东皋学校·一模)定义一种新运算：※，例：．若，则的值为______． 18．(2026·湖南省娄底市涟源市·一模)解方程： 19．(2026·湖南省涟源市·一模)2026年央视春晚舞台上的人形机器人节目，引发了国际媒体对中国在机器人产业发展的关注．某市机器人产业2023年总产值约为256亿元，2025年总产值约为400亿元． (1)求这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率； (2)该市2026年机器人产业总产值的目标是600亿元，若按照这个年平均增长率增长，该市能否实现目标？ 20．(2026·湖南省娄底市涟源市·一模)2022年北京冬奥会吉祥物深受大家的喜欢，某特许零售店的冬奥会吉祥物销售量日益火爆．据统计，该店2022年1月的“冰墩墩”销量为1万件，2022年3月的“冰墩墩”销量为1.21万件． (1)求该店“冰墩墩”销量的月平均增长率； (2)该零售店4月将采用提高售价的方法增加利润，根据市场调研得出结论：如果将进价80元的“冰墩墩”按每件100元出售，每天可销售500件，在此基础上售价每涨1元，那么每天的销售量就会减少10件，该零售店要想每天获得12000元的利润，且销量尽可能大，则每件商品的售价应该定为多少元？ 2/23 1/23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 方程（组）与不等式（组） 4大考点概览 考点01一元一次不等式（组） 考点02二元一次方程（组）及其实际应用 考点03分式方程 考点04一元二次方程 一元一次不等式 考点01 1．(2026·湖南省长沙市华益中学·一模)不等式组的解集在数轴上可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出两个不等式的解集，在数轴上表示出解集即可． 【详解】解：， 解不等式①，得； 解不等式②，得， 在数轴上表示为： 所以C符合题意． 2．(2026·湖南省邵阳市·一模)不等式组的整数解是（　　） A．0 B． C． D．1 【答案】B 【来源】2026年湖南省邵阳市九年级联考一模数学试题 【分析】先求出不等式组的解集，再求出整数解，即可得出选项． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的整数解是， 故选B． 3．(2026·湖南省娄底市涟源市·一模)不等式组的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分别求解不等式组中两个一元一次不等式，再根据不等式组解集的确定法则“同大取大”得到最终解集． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， 则原不等式组的解集为． 4．(2026·湖南省郴州市涟源市·一模)定义：已知二次多项式（a，b，c为常数，且），把关于x的方程的解称为该二次多项式的“溯源值”．若二次多项式的“溯源值”的取值范围是，则m的最小值是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据“溯源值”的定义，将二次多项式代入方程，求出方程的解（用含m的式子表示），再结合“溯源值”的取值范围，通过不等式的性质求出m的取值范围，进而得到m的最小值． 【详解】解：∵是二次多项式， ∴，，， 将，，代入方程， 得：，即， 解得， ∵二次多项式的“溯源值”的取值范围是， ∴， 解得， 由可知，m的最小值是． 5．(2026·湖南省怀化市第四中学·一模)已知非零实数x，y，z满足，，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用已知等式对代数式变形，代入不等式化简，即可判断各选项正误。 【详解】解：∵非零实数满足， ∴， 将代入得： ， 化简得，与选项C一致； A、，由只能推出，无法得到，A错误。 B、，无法由已知推出，举反例：满足条件，此时，B错误。 D、，无法推出，举反例：满足条件，此时，D错误。 综上，选项C正确． 6．(2026·湖南省郴州市·一模)不等式组的解集是________． 【答案】 【分析】分别求出每个不等式的解集，再取解集的公共部分即可． 【详解】解：， 解不等式①得：，解得， 解不等式②得：，解得， ∴不等式组的解集为． 7．(2026·湖南省怀化市第四中学等校·一模)请写出不等式组 的一个整数解：__________． 【答案】3（或4） 【分析】按照解一元一次不等式的方法分别求解不等式组中两个不等式，再确定不等式组的解集，最后找出解集范围内的整数即可． 【详解】解： 解不等式①，得 解不等式②，得 不等式组的解集为 ， 不等式组的整数解为，．，填写其中一个即可． 二元一次方程（组）及其实际应用 考点02 1．(2026·湖南省衡阳市耒阳市童星实验学校·一模)数学家朱世杰所著的《四元玉鉴》是中国元代重要的数学著作之一，书中记载着这样一个问题，大意是：999文钱买了甜果和苦果共1000个，11文钱可买9个甜果，4文钱可买7个苦果，问甜果，苦果各买了多少个？设买了甜果个，苦果个，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵设甜果个，苦果个，两种果一共个， ∴， ∵文可买个甜果，因此单个甜果价格为文，文可买个苦果，因此单个苦果价格为文，总花费为文， ∴， 综上可得方程组． 2．(2026·湖南株洲渌口区四校联考·一模)《九章算术》中有一道题目，其译文如下：若两人坐一辆车，则九人需要步行；若三人坐一辆车，则有两辆空车．问人与车各多少？下列说法正确的是（   ） A．设有x辆车，则可列方程为 B．设有y人，则可列方程为 C．设有x辆车，有y人，则可列方程组为 D．设有x辆车，有y人，则可列方程组为 【答案】C 【分析】根据两种乘车情况，梳理总人数与车辆数的等量关系，即可判断各选项对错. 【详解】解：设有辆车，人， ∵两人坐一辆车，九人步行，总人数为坐车人数加步行人数， ∴， ∵三人坐一辆车，空出辆车，实际用车为辆，总人数等于实际用车承载的人数， ∴， 因此可列方程组为． 3．(2026·湖南衡阳市耒阳市童星实验学校·一模)2026马年央视春晚中，宇树科技的机器人《武》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率．拟购买、两种型号智能机器人进行快递分拣．若买1台型机器人、3台型机器人，共需260万元；若买3台型机器人、2台型机器人，共需360万元． (1)求、两种型号智能机器人的单价． (2)该企业现计划用960万元采购型和型机器人，两种机器人均要购买且预算必须全部用完．请列出所有可能的购买方案． 【答案】(1)A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元 (2)共有三种采购方案：①A型机器人9台，B型机器人4台；②A型机器人6台，B型机器人8台；③A型机器人3台，B型机器人12台． 【详解】（1）解：设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元， 得：，解得：． 答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元； （2）解：设购买A型机器人a台，B型机器人b台，得：， ∵a、b为正整数， ∴此方程的解为：，，． 答：共有三种采购方案：①A型机器人9台，B型机器人4台；②A型机器人6台，B型机器人8台；③A型机器人3台，B型机器人12台． 4．(2026·湖南湘西州凤凰县·一模)问界车型中有一款增程版车型，汽车先通过车身电池中电力续航（续航：汽车持续行驶），亏电（电池中电量使用完）后会通过汽油发动机发电来为电池充电，再用电力续航，满电满油情况下可续航1400千米，因此具有更强的续航里程．问界增程版电池容量为40度，可在纯电模式下行驶180千米．亏电后通过汽油发电续航，100千米耗油6.3升．2024年清明假期，小张从长沙出发，驾驶满电满油的问界到距离380千米的湘西游玩三日两晚再回到长沙．当行驶280千米时，电费与油费共82.4元；当行驶到达湘西时，电费与油费共132.8元． (1)求每度电的价格与每升油的价格； (2)与小张同行的小李驾驶某品牌纯燃油车（车身不带电池），每100千米耗油5升．根据景区规定：纯燃油车停车费25元/晚，而问界属新能源车，受国家扶持，景区免收停车费．请问小张这次出游（说明：往返长沙，中途不充电、不加油）比小李节省了多少费用？ 【答案】(1)每度电的价格为0.8元，每升油的价格为8元 (2)29.68元 【分析】（1）设每度电的价格为x元，每升油的价格为y元，根据当行驶280千米时，电费与油费共82.4元；当行驶到达湘西时，电费与油费共132.8元，列出方程组进行求解即可； （2）根据题意用油车需花费的总费用减去电车需花费的总费用进行求解即可. 【详解】（1）解：设每度电的价格为x元，每升油的价格为y元， 根据题意得， 解得； 答：每度电的价格为0.8元，每升油的价格为8元． （2）解：（元） 答：小张这次出游比小李节省了29.68元． 5．(2026·湖南长沙市华益中学·一模)为储备常用物资，某健身馆分三次采购运动毛巾和加厚款瑜伽垫，其中第二次采购时正赶上商场周年店庆，这两种商品同时按相同折扣促销，其余两次均按市场单价采购，三次采购的物品数量及总费用如下表． 采购批次 运动毛巾/条 瑜伽垫/个 总费用/元 第一次购物 5 6 400 第二次购物 7 6 396 第三次购物 4 3 230 (1)分别求出运动毛巾和加厚款瑜伽垫的市场单价； (2)求商场打折促销期间是打几折出售这两种商品的？ 【答案】(1)运动毛巾的市场单价为20元，加厚款瑜伽垫的市场单价为50元 (2)打9折 【分析】（1）设运动毛巾的市场单价为x元，加厚款瑜伽垫的市场单价为y元，列出方程组求出x和y的值； （2）设商场打折促销期间是打折出售这两种商品的，根据题意列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设运动毛巾的市场单价为x元，加厚款瑜伽垫的市场单价为y元， 根据题意知第一、三次购物为原价，则， 解得：， 答：运动毛巾的市场单价为20元，加厚款瑜伽垫的市场单价为50元； （2）解：设商场打折促销期间是打折出售这两种商品的， 由题意得，， 解得：． 答：商场打折促销期间是打九折出售这两种商品的． 6．(2026·湖南省娄底市·一模)2026年是中国农历马年，以生肖马为主题的玩偶凭借可爱的形象“圈粉”无数．某商店销售甲、乙两种型号以马为主题的生肖玩偶，已知1只甲型玩偶和2只乙型玩偶的价格为160元，2只甲型玩偶和3只乙型玩偶价格为260元． (1)求甲、乙两种型号玩偶的单价各是多少元？ (2)某公司计划采购两种型号玩偶共60个作为员工新年礼物，总费用不超过3000元，最多可以采购多少个乙型玩偶？ 【答案】(1)甲型号玩偶单价为40元，乙型号玩偶单价为60元 (2)最多可以采购30个乙型玩偶 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，不等式的应用等知识，理解题意正确列方程组和不等式是解题关键． （1）设甲型号玩偶单价为元，乙型号玩偶单价为元，根据“1只甲型玩偶和2只乙型玩偶的价格为160元，2只甲型玩偶和3只乙型玩偶价格为260元”，列方程组求解即可； （2）设采购个乙型玩偶，根据“总费用不超过3000元”列不等式求解即可． 【详解】（1）解∶设甲型号玩偶单价为元，乙型号玩偶单价为元， 根据题意，得， 解得， 答：甲型号玩偶单价为40元，乙型号玩偶单价为60元； （2）解：设采购个乙型玩偶， 根据题意，得， 解得， 答：最多可以采购30个乙型玩偶． 7．(2026·湖南省湘潭市、株洲市部分学校·一模)为响应“绿色出行”号召，某社区计划在小区内安装共享单车停放点．若购买A型停放架3个和B型停放架2个，共需1100元；购买A型停放架2个和B型停放架3个，共需1050元． (1)求每个A型停放架和B型停放架的单价； (2)该社区准备购买A、B两种型号的停放架共15个，且购买总费用不超过3000元，求最多可以购买A型停放架多少个． 【答案】(1)每个A型停放架的单价为240元，每个B型停放架的单价为190元； (2)最多可以购买A型停放架3个． 【分析】此题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用． （1）设每个A型停放架的单价为x元，每个B型停放架的单价为y元．购买A型停放架3个和B型停放架2个，共需1100元；购买A型停放架2个和B型停放架3个，共需1050元．据此列出方程组并解方程组即可； （2）设购买A型停放架m个，则购买B型停放架个．购买总费用不超过3000元，据此列出一元一次不等式并解不等式即可得到答案． 【详解】（1）解：设每个A型停放架的单价为x元，每个B型停放架的单价为y元． 根据题意，得方程组： 解得： 答：每个A型停放架的单价为240元，每个B型停放架的单价为190元． （2）解：设购买A型停放架m个，则购买B型停放架个． 根据题意，得不等式： 化简： 解得 答：最多可以购买A型停放架3个． 8.(2026·湖南省湘潭市湘乡市东皋学校·一模)年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出两款“哪吒”文旅纪念品．已知购进款个，款个，需花费元；购进款个，款个，需花费元． (1)求两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？ (2)根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过元的资金购进两款“哪吒”纪念品共个，那么至少需要购进款纪念品多少个？ 【答案】(1)款“哪吒”纪念品每个进价为元，款“哪吒”纪念品每个进价为元； (2)至少需要购进款纪念品个． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，正确理解题意，列出方程组和不等式是解题的关键． （）设款“哪吒”纪念品每个进价为元，款“哪吒”纪念品每个进价为元，由题意得二元一次方程组，然后解方程组即可； （）设需要购进款纪念品个，则需要购进款纪念品个，由题意得，然后解不等式即可． 【详解】（1）解：设款“哪吒”纪念品每个进价为元，款“哪吒”纪念品每个进价为元， 由题意得， 解得， 答：款“哪吒”纪念品每个进价为元，款“哪吒”纪念品每个进价为元； （2）解：设需要购进款纪念品个，则需要购进款纪念品个， 由题意得：， ， 答：至少需要购进款纪念品个． 9．(2026·湖南省衡阳市·一模)习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．”某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得矛盾文学奖的甲、乙两种书共100本，已知购买2本甲种书和1本乙种书共需100元，购买3本甲种书和2本乙种书共需165元． (1)求甲，乙两种书的单价分别为多少元： (2)若学校决定购买以上两种书的总费用不超过3200元，那么该校最多可以购买甲种书多少本？ 【答案】(1)甲种书的单价为35元，乙种书的单价为30元 (2)该校最多可以购买甲种书40本 【分析】（1）设甲种书的单价为x元，乙种书的单价为y元，利用2本甲种书的价格1本乙种书的价格；3本甲种书的价格2本乙种书的价格，列方程解答即可； （2）设购买甲种书本，则购买乙种书本，根据购买甲种书的总价购买乙种书的总价，列不等式解答即可． 【详解】（1）解：设甲种书的单价为x元，乙种书的单价为y元， 可得方程， 解得， 原方程的解为， 答：甲种书的单价为35元，乙种书的单价为30元． （2）解：设购买甲种书本，则购买乙种书本， 根据题意可得， 解得， 故该校最多可以购买甲种书40本， 答：该校最多可以购买甲种书40本． 10．(2026·湖南省长沙市望城区·一模)2026年央视春晚舞台上，多款国产智能机器人惊艳亮相，展现了我国人工智能与机器人技术的飞速发展．某科技公司计划采购A、B两款小机器人，用于科普展览．已知购买1台A型机器人与2台B型机器人共需要700元；购买2台A型机器人与3台B型机器人共需要1200元． (1)求A型机器人和B型机器人的单价分别为多少元？ (2)该公司计划采购A、B两种型号机器人共200台，且总费用不超过50000元，那么最多能购买A型机器人多少台？ 【答案】(1)每台型机器人的单价为元，每台型机器人的单价为元； (2)最多能购买A型机器人台． 【分析】（1）设每台型机器人的单价为元，每台型机器人的单价为元，根据购买1台A型机器人与2台B型机器人共需要700元；购买2台A型机器人与3台B型机器人共需要1200元，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）该公司购买型机器人台（为正整数），则购买型机器人台，根据总费用不超过50000元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设每台型机器人的单价为元，每台型机器人的单价为元， 由题意得：， 解得：， 答：每台型机器人的单价为元，每台型机器人的单价为元； （2）解：该公司购买型机器人台（为正整数），则购买型机器人台， 由题意得：， 解得：， 答：最多能购买A型机器人台． 11．(2026·湖南省岳阳市汨罗市多校·一模)学校计划在科技节举办模型展示活动，准备采购两种科技模型：“智能小车”模型和“简易飞机”模型．“智能小车”模型每套99元，“简易飞机”模型每套29元，这两种模型均需购买，用于学生分组实践与展示． (1)若学校计划购买这两种模型共200套，采购总费用恰好为9300元．请问“智能小车”模型和“简易飞机”模型各购买了多少套？ (2)若学校采购这两种模型的总预算资金只有8000元，且仍需购买200套模型．那么，在预算范围内，最多可以购买“智能小车”模型多少套？ 【答案】(1)“智能小车”模型50套，“简易飞机”模型150套 (2)31套 【分析】本题考查二元一次方程组和不等式的实际应用，审清题意找到等量关系是解题的关键． （1）根据等量关系“两种模型共200套，总费用恰好为9300元”，列出方程组求解即可； （2）根据不等量关系“总预算资金只有8000元”，列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设购买“智能小车”模型x套，“简易飞机”模型y套， 由题意可得，，解得， 答：购买“智能小车”模型50套，“简易飞机”模型150套； （2）解：设在预算范围内，可以购买“智能小车”模型m套，则购买“简易飞机”模型套， 由题意可得，，解得， 又∵m为正整数， ∴m的最大值为31， 答：在预算范围内，最多可以购买“智能小车”模型31套． 12．(2026·湖南省郴州市·一模)马年春晚一系列机器人表演，展示了中国的科技实力．已知购买1台入门级人形机器人和2台商用级人形机器人共需18万元，购买3台入门级人形机器人和4台商用级人形机器人共需38万元． (1)求入门级人形机器人和商用级人形机器人的单价分别是多少万元； (2)某公司计划购买入门级人形机器人和商用级人形机器人共30台，总费用不超过120万元，问最多可以购买商用级人形机器人多少台？ 【答案】(1)入门级人形机器人单价为2万元，商用级人形机器人单价为8万元 (2)最多可以购买商用级人形机器人10台 【分析】（1）设入门级人形机器人单价为万元，商用级人形机器人单价万元，根据购买1台入门级人形机器人和2台商用级人形机器人共需18万元，购买3台入门级人形机器人和4台商用级人形机器人共需38万元，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）该公司可购买商用级人形机器人台，则购买入门级人形机器人台，根据总费用不超过120万元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设入门级人形机器人单价为万元，商用级人形机器人单价万元， 由题意得：， 解得：， 答：入门级人形机器人单价为2万元，商用级人形机器人单价为8万元； （2）解：该公司可购买商用级人形机器人台，则购买入门级人形机器人台， 由题意得：， 解得：， 为非负整数， 的最大值为10， 答：该公司最多可以购买商用级人形机器人10台． 13．(2026·湖南省张家界市·一模)湖南乡村振兴项目中，种植3亩水稻和4亩蔬菜共需投入18000元，种植5亩水稻和2亩蔬菜共需投入16000元，某农场计划种植水稻和蔬菜共300亩，总投入不超过80万元． (1)求种植每亩水稻和蔬菜分别需要投入多少元？ (2)若水稻每亩利润为800元，蔬菜每亩利润为1200元，求该农场最多可获得多少利润？ 【答案】(1)水稻每亩需要投入2000元，蔬菜每亩需要投入3000元 (2)该农场最多可获得320000元利润 【分析】（1）设水稻每亩需要投入x元，蔬菜每亩需要投入y元，根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设种植蔬菜m亩，则种植水稻亩，根据题意建立一元一次不等式求出的取值范围，然后建立利润关于的一次函数关系式，再由一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设水稻每亩需要投入x元，蔬菜每亩需要投入y元， 由题意得 解得 答：水稻每亩需要投入2000元，蔬菜每亩需要投入3000元； （2）解：设种植蔬菜m亩，则种植水稻亩， 由题意得： 解得． 利润 ， W随m增大而增大，当时， （元）． 答：该农场最多可获得320000元利润． 14．(2026·湖南省长沙市雅礼集团·一模)网红长沙本土奶茶店“茶颜悦色”销售A，B两种饮品，部分销售记录如表所示： A B 销售金额 60杯 20杯 1220元 30杯 40杯 1090元 (1)求A，B两种饮品的单价； (2)某班准备购买A，B两种饮品共30杯作为奖品发放给学生，若购买A种饮品的数量不超过B种饮品数量的4倍，那么该班购买30杯饮品最少花多少钱？ 【答案】(1)A种饮品的单价为15元，B种饮品的单价为16元 (2)456元 【分析】（1）根据销售量、销售单价、销售金额之间的关系列出方程，解方程组即可； （2）设购买杯种饮品，则购买杯种饮品，购买A种饮品的数量不超过B种饮品数量的4倍，据此列出不等式并解不等式得到的取值范围，设购买这30杯饮品的总费用为元，根据题意列出一次函数并根据一次函数的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：设种饮品的单价为元，种饮品的单价为元， 依题意得： 解得： 答：种饮品的单价为15元，种饮品的单价为16元． （2）设购买杯种饮品，则购买杯种饮品， 依题意得：， 解得：． 设购买这30杯饮品的总费用为元，则， , 随的增大而增大， ∴当时，取得最小值，最小值． 答：该班购买30杯饮品最少花456元钱． 15．(2026·湖南省邵阳市·一模)请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 某校计划购买篮球和排球，供更多学生参加体育锻炼，增强身体素质． 素材一 购买个篮球与购买个排球需要的费用相等； 素材二 购买个篮球和个排球共需元； 素材三 该校计划购买篮球和排球共个，篮球和排球均需购买，且购买排球的个数不超过购买篮球个数的倍． 请完成下列任务： 任务一 每个篮球，每个排球的价格分别是多少元？ 任务二 给出最节省费用的购买方案． 【答案】任务一：每个篮球元，每个排球元；任务二：购买篮球个，排球个，最节省费用． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． 任务一：设每个篮球元，每个排球元，根据题意得，然后解方程组即可； 任务二：设购买篮球个，则购买排球个，费用为元，根据题意得，求出的取值范围，由，可得随的增大而增大，则当时，有最小值，从而求解． 【详解】解：任务一：设每个篮球元，每个排球元， 根据题意得：， 解得：， 答：每个篮球元，每个排球元； 任务二：设购买篮球个，则购买排球个，总的费用为元， 根据题意得：， ∴且a为整数， ∴， ∵ ∴随的增大而增大， ∴当时，有最小值，为元，此时， 答：购买篮球个，排球个，最节省费用． 16．(2026·湖南省株洲渌口区四校联考·一模)古柏渡飞黄旅游区的樱花盛开，“上春山赏繁花”已成为年轻人的打卡新潮流！郑州大学某班级共30名同学来到景区，准备租用汉服拍照游玩．景区有甲、乙两家汉服体验店．已知甲店每件汉服的租用价格比乙店少20元，该班级三个小组租用汉服的部分情况如下表（每人只租一件）： 甲店 乙店 费用 第一小组 8件 2件 m元 第二小组 4件 5件 m元 第三小组 ？ ？ ？ (1)求甲、乙两家汉服体验店每件汉服的租用价格； (2)若租用汉服的班级预算不超过1980元，则第三小组有几种不同的选择方案？请具体列出选择甲店、乙店的人数． 【答案】(1)甲、乙两家汉服体验店每件汉服的租用价格分别为60元和80元 (2)共有三种不同的选择方案；方案1：选择甲店11人，选择乙店0人；方案2：选择甲店10人，选择乙店1人；方案1：选择甲店9人，选择乙店2人 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设甲、乙两家汉服体验店每件汉服的租用价格分别为x元和y元，结合题意得然后解方程组，即可作答． （2）先得出第一、二小组的费用和第三小组的人数，然后设有n个人选择乙店，则有个人选择甲店，再结合“租用汉服的班级预算不超过1980元”列出不等式，解不等式，即可作答． 【详解】（1）解：设甲、乙两家汉服体验店每件汉服的租用价格分别为x元和y元， 则， 解得， 答：甲、乙两家汉服体验店每件汉服的租用价格分别为60元和80元； （2）解：第一、二小组的费用元， 第三小组的人数为：（人）， 设有个人选择乙店，则有个人选择甲店， 由题意得， 解得， ∴， ∵为整数， ∴或1或2， 当时，， 当时，， 当时，， 答：共有三种不同的选择方案； 方案1：选择甲店11人，选择乙店0人； 方案2：选择甲店10人，选择乙店1人； 方案1：选择甲店9人，选择乙店2人． 分式方程及其应用 考点03 1．(2026·湖南郴州市·一模)为防止水土流失，某村计划在荒坡上种1200棵树．由于志愿者支援，每天种植的棵树是原计划的2倍，结果提前10天完成任务．设原计划每天种植x棵树，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据总棵数和每天种植棵数分别求出原计划完成天数与实际完成天数，再利用“实际比原计划提前10天完成”的等量关系列方程即可． 【详解】∵原计划每天种植x棵树，总种植棵数为1200棵， ∴原计划完成任务的天数为， ∵实际每天种植的棵数是原计划的2倍， ∴实际每天种植棵，实际完成任务的天数为， ∵实际比原计划提前10天完成任务，即原计划天数比实际天数多10， ∴列方程得， 因此正确选项为B． 2．(2026·湖南湘潭湘乡东皋学校·一模)某快递公司为提高配送效率，引进甲乙两种型号的分拣机器人，已知甲型号每小时分拣数量比乙型号每小时分拣数量多30件，且甲型号分拣600件与乙型号分拣500件所用时间相同．若设甲型号每小时分拣数量为件，则可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定乙每小时的分拣数量，再根据时间相等列出方程即可． 【详解】解：设甲型号每小时分拣数量为件，则乙型号每小时分拣数量为件， 由题意得． 3．(2026·湖南邵阳市·一模)将分式方程去分母后得到的整式方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解． 将分式方程两边同时乘以最简公分母，消去分母，转化为整式方程． 【详解】解：． 方程两边同时乘以，得：． 故选：A． 4．(2026·湖南株洲渌口区四校联考·一模)方程的解是_________． 【答案】 【分析】将分式方程去分母转化为一元一次方程，求解后检验，可得到原方程的解． 【详解】解：方程两边同乘，得 移项，得 检验：当时，， 因此是原分式方程的解． 5．(2026·湖南省娄底市·一模)分式方程的解是______． 【答案】/ 【分析】本题主要考查解分式方程的一般步骤，熟练掌握解分式方程的方法是解题关键．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并得：， 解得：， 经检验是分式方程的解． 故答案为：． 6．(2026·湖南省长沙市望城区·一模)方程的解为________． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程，方程两边同时乘以分母的最小公分母，将方程化为一元一次方程，求出的值，再通过检验，判断的值是否满足题意，即可解答． 【详解】解：方程两边同乘，得 解得 检验：当时， ∴是原方程的解． 故答案为． 7．(2026·湖南省长沙市雅礼集团·一模)当___________时，分式与的值互为相反数． 【答案】0 【分析】本题考查了相反数和解分式方程，利用相反数的性质列出方程并熟练解分式方程是解题的关键．利用互为相反数两数之和为0列出方程，求出方程的解即可得到x的值． 【详解】解：分式与的值互为相反数， 去分母，得∶， 解得：． 经检验，是分式方程的解． 故答案为∶0． 8．(2026·湖南长沙长郡教育集团·一模)某家电销售商城电冰箱的销售价为每台2100元，空调的销售价为每台1750元，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多400元，商城用80000元购进电冰箱的数量与用64000元购进空调的数量相等． (1)求每台电冰箱与空调的进价分别是多少； (2)现在商城准备一次购进这两种家电共100台，设购进电冰箱x台，这100台家电的销售总利润为y元，要求购进空调数量不超过电冰箱数量的2倍，总利润不低于13200元，请分析合理的方案共有多少种，并确定获利最大的方案以及最大利润． 【答案】(1)每台空调的进价为1600元，每台电冰箱的进价为2000元 (2)共3种方案；购买电冰箱34台，购进空调66台，利润最大，为13300元 【分析】（1）设每台空调的进价为a元，则每台电冰箱的进价为元，根据购进数量列出方程解答即可； （2）设购进电冰箱x台，则购进空调台，根据数量关系和总利润列出不等式组，结合x整数，得到方案数量，再根据一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：设每台空调的进价为a元，则每台电冰箱的进价为元， 由题意，得：， 解得， 经检验是原方程的解； ； 答：每台空调的进价为1600元，每台电冰箱的进价为2000元； （2）解：设购进电冰箱x台，则购进空调台， 由题意，得： 解得， x为整数， ，共3种方案； ， y随x的增大而减小， 当时，购进空调台，y有最大值为13300元， 答：购买电冰箱34台，购进空调66台，利润最大，为13300元． 9．(2026·湖南省永州市·一模)长沙某文创店主小张计划在网上开设A和B两种产品专卖店．已知：用800元购买A产品的个数与用500元购买B产品的个数相等，且A产品的单价比B产品的单价多6元． (1)求A产品和B产品的单价各是多少元？ (2)开业大促期间，小张计划购进两种产品共150个，要求A产品的数量不少于70个．请问：购进A产品多少个时，总费用最低？最低费用是多少元？ 【答案】(1)A产品的单价是16元， B产品的单价是10元 (2)购进A产品70个时，总费用最低，最低费用是1920元 【分析】（1）设A产品的单价是a元， B产品的单价是元，根据“用800元购买A产品的个数与用500元购买B产品的个数相等”，列出方程，即可求解； （2）设购进A产品x个，总费用为w元，根据题意，列出函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：设A产品的单价是a元， B产品的单价是元，根据题意得： ， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 此时， 答：A产品的单价是16元， B产品的单价是10元； （2）解：设购进A产品x个，总费用为w元，根据题意得： ， ∵A产品的数量不少于70个， ∴， ∵， ∴w随x的增大而增大， ∴当时，w取得最小值，最小值为1920， 10．(2026·湖南省怀化市第四中学等校·一模)阅读理解，解决问题： 背景：随着我国科技事业的不断发展，国产无人机越来越多应用于实际生产生活，为人们的工作生活带来了便利．某农业公司欲购进甲、乙两种型号的农用无人机用来喷洒农药，甲型机比乙型机平均每小时少喷洒公顷农田，甲型机喷洒公顷农田所用时间与乙型机喷洒公顷农田所用时间相等．该农业公司共购进甲、乙两种型号的无人机架，其中甲型无人机万元／架，乙型无人机万元／架． 问题解决： (1)甲、乙两种型号无人机平均每小时分别喷洒多少公顷地？ (2)若公司要求这批无人机每小时至少喷洒公顷农田，那么该公司如何购买甲型和乙型无人机，才能使总成本最低？并求出最低成本． 【答案】(1)甲型无人机每小时喷洒公顷，乙型无人机每小时喷洒公顷 (2)采购甲型无人机台，乙型机台时总费用最少，最少费用为万元 【分析】（）设甲型无人机每小时喷洒公顷，则乙型每小时喷洒公顷，根据题意列出方程解答即可求解； （）设甲型无人机台，则乙型无人机台，总费用为万元，根据题意求出的取值范围和与的函数解析式，再根据一次函数的性质解答即可求解； 本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：设甲型无人机每小时喷洒公顷，则乙型每小时喷洒公顷， 由题意得， 解得 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲型无人机每小时喷洒公顷，乙型无人机每小时喷洒公顷； （2）解：设甲型无人机台，则乙型无人机台，总费用为万元， 由题意得，， 解得， 又由题意得，， ∵， 的值随的增大而减小， 当时，（万元）， 此时乙型无人机（台）， 答：采购甲型无人机台，乙型机台时总费用最少，最少费用为万元． 11． (2026·湖南邵阳市·一模)端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上猪肉粽的进价比豆沙粽的进价每盒多20元，某商家用5000元购进的猪肉粽盒数与3000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价52元时，可售出180盒；每盒售价提高1元时，少售出10盒． (1)求这两种粽子的进价； (2)设猪肉粽每盒售价元，表示该商家销售猪肉粽的利润（单位：元），求关于的函数表达式并求出的最大值． 【答案】(1)猪肉粽每盒50元，豆沙粽每盒30元 (2)或，当时，取得最大值为1000元 【来源】2026年湖南省邵阳市九年级联考一模数学试题 【分析】本题考查列分式方程解应用题和二次函数求最值，解决本题的关键是正确寻找本题的等量关系及二次函数配方求最值问题． （1）设豆沙粽每盒的进价为n元，则猪肉粽每盒的进价为元．根据“用5000元购进的猪肉粽盒数与3000元购进的豆沙粽盒数相同”即可列出方程，求解并检验即可； （2）根据题意可列出y关于x的函数解析式，再根据二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：设豆沙粽每盒的进价为n元，则猪肉粽每盒的进价为元 由题意得： 解得： 经检验：是原方程的解且符合题意 ∴ 答：猪肉粽每盒50元，豆沙粽每盒30元． （2）解：设猪肉粽每盒售价元，表示该商家销售猪肉粽的利润（单位：元），则 ∵，， ∴当时，取得最大值为1000元． 一元二次方程及其应用 考点04 1．(2026·湖南省永州市·一模)广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现快速增长态势．某公司工业机器人在今年5月产值达到2500万元，预计7月产值将增至9100万元．设该公司6，7两个月产值的月均增长率为，可列出的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，涉及平均增长率问题，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键．设该公司6，7两个月产值的月均增长率为，根据连续两个月的月均增长率建立方程即可． 【详解】解：设该公司6，7两个月产值的月均增长率为， 根据题意，得． 故选：A． 2．(2026·湖南省娄底市涟源市·一模)如图，某校有一块靠墙（墙的长度不限）的空地．为加强劳动教育，增加学生实践机会，学校拟用总长为的篱笆，在空地内围出一块面积为的矩形菜地作为实践基地，设与墙平行的一边长为x米，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设与墙平行的一边长为x米，则与墙垂直的一边长为米，根据矩形的面积公式建立方程即可． 【详解】解：设与墙平行的一边长为x米，则与墙垂直的一边长为米， 根据题意，得． 3．(2026·湖南省郴州市·一模)一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法判断 【答案】A 【分析】对于一元二次方程，若，方程有两个不相等的实数根，若，方程有两个相等的实数根，若，方程无实数根，计算判别式即可判断根的情况． 【详解】对于一元二次方程，可得，，， ∴， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根． 4．(2026·湖南省衡阳市耒阳市童星实验学校·一模)下列方程有两个相等的实数根的是（    ） A． B． C． 【答案】B 【分析】根据“判别式Δ等于0时，方程有两个相等的实数根”，分别计算各选项的判别式，即可得出答案． 【详解】解：A：， ，方程无实数根． B：， ，方程有两个相等的实数根． C：， ，方程有两个不相等的实数根． 5．(2026·湖南省长沙市望城区·一模)若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（    ） A． B． C．1 D．4 【答案】C 【分析】本题考查根的判别式，根据方程有两个相等的实数根，得到，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故选C． 6．(2026·湖南省娄底市涟源市·一模)若关于x的方程无实数根，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对于一元二次方程，其根的判别式为．若，则该方程有两个不相等的实数根；若，则该方程有两个相等的实数根；若，则该方程没有实数根． 【详解】解：若关于x的方程无实数根，则判别式， 即，解得． 7．(2026·湖南省怀化市第四中学等校·一模)一元二次方程的两根之和为a，两根之积为b，则点在平面直角坐标系中位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】先将方程化为一般形式，再利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，得到点的坐标后即可判断所在象限． 【详解】解：∵将原方程化为一般式得， 对于一元二次方程，两根之和为，两根之积为， ∴，，， ∴题目中两根之和，两根之积， ∴点的坐标为， ∵点的横坐标为正，纵坐标为负， ∴点位于第四象限． 8．(2026·湖南省娄底市涟源市·一模)若方程的两根满足，则在下列关于、的等量关系式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，解决此题的关键是熟记公式；利用根与系数的关系和给定的根的比例关系，代入求解即可． 【详解】解：∵方程 的两根为 和 ， 由根与系数的关系可得：，， 又 ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴， 将 代入： ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴． 故选：D． 9．(2026·湖南省娄底市涟源市·一模)用配方法解方程，配方正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】2026年湖南省娄底市涟源市中考一模数学试题 【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上4，然后把方程左边写成完全平方的形式即可． 【详解】解：， ， ． 故选：A． 10．(2026·湖南省衡阳市·一模)若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则__________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解， 本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：； 故答案为：． 11．(2026·湖南省娄底市涟源市·一模)关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 _____． 【答案】 【分析】利用根的判别式列出关于的方程，求解即可． 【详解】解：根据题意，可得， 即， 解得． 12．(2026·湖南长沙长郡教育集团·一模)若关于x的方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程没有实数根．关于的方程有两个不相等的实数根，即判别式．即可得到关于的不等式，从而求得的范围． 【详解】解：， 解得：． 的取值范围是． 故答案为：． 13．(2026·湖南省娄底市涟源市·一模)已知方程，用配方法化为．则___________． 【答案】3 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程， 根据完全平方公式加上一次项系数一半的平方配方，再根据对应系数相等可得答案. 【详解】解：方程， 配方，得， 即， 则， 解得. 故答案为：3. 14．(2026·湖南省邵阳市·一模)若是一元二次方程的一个根，则的值为______． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程的解，把代入方程即可求解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键． 【详解】解：将代入原方程得：， 解得：， 故答案为：． 15．(2026·湖南省湘西州凤凰县·一模)若关于x的一元二次方程一个根为2，则m的值为______． 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键．将代入原方程，即可求出的值． 【详解】解：将代入原方程得：， 解得：， 的值为． 故答案为：1． 16．(2026·湖南省邵阳市·一模)已知方程的一根为，则方程的另一根为_______． 【答案】 【分析】设方程的另一个根为c，再根据根与系数的关系即可得出结论． 【详解】解：设方程的另一个根为c， ∵， ∴． 故答案为． 17．(2026·湖南湘潭湘乡东皋学校·一模)定义一种新运算：※，例：．若，则的值为______． 【答案】或 【分析】本题考查了新定义运算，解一元二次方程，分和两种情况，列出方程解答即可，看懂新定义运算是解题的关键． 【详解】解：当，即时， ， 解得，（不合，舍去）； 当，即时， ， 解得，（不合，舍去）； 综上，的值为或， 故答案为：或． 18．(2026·湖南省娄底市涟源市·一模)解方程： 【答案】， 【分析】此题考查了一元二次方程的求解，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的求解方法． 利用因式分解法，求解即可． 【详解】解：， ∴， ∴， 即或， 解得：，． 19．(2026·湖南省涟源市·一模)2026年央视春晚舞台上的人形机器人节目，引发了国际媒体对中国在机器人产业发展的关注．某市机器人产业2023年总产值约为256亿元，2025年总产值约为400亿元． (1)求这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率； (2)该市2026年机器人产业总产值的目标是600亿元，若按照这个年平均增长率增长，该市能否实现目标？ 【答案】(1)这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率为； (2)不能实现目标． 【分析】（1）设年平均增长率为x，根据2023年总产值约为256亿元，2025年总产值约为400亿元．列出方程求解，并取符合实际的值即可； （2）按照这个年平均增长率增长，即可求出该市2026年机器人产业总产值，比较即可解答． 【详解】（1）解：设年平均增长率为x，根据题意得，， 解得或（舍去）， 答：这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率为； （2）解：按照这个年平均增长率增长，该市2026年机器人产业总产值为（亿元）亿元， 答：不能实现目标． 20．(2026·湖南省娄底市涟源市·一模)2022年北京冬奥会吉祥物深受大家的喜欢，某特许零售店的冬奥会吉祥物销售量日益火爆．据统计，该店2022年1月的“冰墩墩”销量为1万件，2022年3月的“冰墩墩”销量为1.21万件． (1)求该店“冰墩墩”销量的月平均增长率； (2)该零售店4月将采用提高售价的方法增加利润，根据市场调研得出结论：如果将进价80元的“冰墩墩”按每件100元出售，每天可销售500件，在此基础上售价每涨1元，那么每天的销售量就会减少10件，该零售店要想每天获得12000元的利润，且销量尽可能大，则每件商品的售价应该定为多少元？ 【答案】(1)10％ (2)110 【分析】（1）设月平均增长率为x，再根据2022年1月的销售量×（1+x）2=2022年3月的销售量列出方程，求出解，舍去不符合题意的解即可； （2）设商品的售价为m元，可表示利润和每天的销售量，再根据单件利润×销售量=12000列出方程，再求出解，根据题意确定答案即可． 【详解】（1）解：设月平均增长率为x，根据题意，得 ， 解得，（舍去）． 所以该店“冰墩墩”销售量的月平均增长率是10％； （2）解：设每件商品的售价应该定在m元，则每件商品得销售利润是（m-80）元，每天的销售量是500-10（m-100）=（1500-10m）件，根据题意，得 ， 解得，． 因为要使销售量尽可能大， 所以． 所以每件商品的售价应该定为110元． 2/23 1/23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $