第六单元 长方体和正方体 思维导图&知识梳理-【经纶学霸】2025-2026学年五年级下册数学知识梳理思维导图（苏教版）

第六单元 思维导图 长方体 定义 的特征 面：6个面。长方体的面是长 长方体 和正方 方形（也可能有2个相对的面是 体的认 长方体 正方形)，相对的面完全相同。 识 的表面 积 棱：12条棱。按长度可分为 三组，每组的4条棱相互平 长方体 行，长度相等；长方体相交 和正方 正方体 体的表 于同一个顶，点的三条棱的长 的表面 面积 积 度，分别叫作它的长、宽、高。 顶，点：8个顶点。 定义 棱长总和：长×4+宽×4+ 高×4=（长+宽+高）×4。 长方体和正方 体积 长方体 正方体 和容 正方体 的特征 积 单位 面：6个面都是完全相同的 正方形。 棱：12条棱长度都相等。 顶，点：8个顶点 长方体 棱长总和：棱长×12 和正方 长方体 体的展 的体积 开图 立体图形中相对的面在展开 长方体 正方体 图中不相邻。 和正方 的体积 体的体 正方体展开图类型：“141”型 积 “231”型、“222”型、“33”型。 体积单位 底面积 关系 间的进率 ×1000 ×1000 立方米 立方分米 立方厘米 ÷1000 ÷1000 第六单元知识梳理>21 长方体（或正方体）6个面的 总面积，叫作它的表面积。 长×高×2+宽×高×2+长× 宽×2=（长×高+宽×高+ 长×宽)×2。 棱长×棱长×6。 体积：物体所占空间的大小 叫作物体的体积。 容积：容器所能容纳物体的 体积叫作容器的容积。 体积单位：立方厘米(cm)、 立方分米(dm)、立方米(m): 容积单位：升（心）、毫升(mL): 转化：1立方分米=1升、 1立方厘米=1毫升 长×宽×高(V=abh) 棱长×棱长×棱长 (V=a·a·a=a3） 定义：长方体和正方体底面 的面积，叫作它们的底面积。 公式：长方体（或正方体）的 体积=底面积×高(V=Sh)。 第六单元 知识梳理 单元知识清单 长方体的定义：由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形 叫作长方体。 长方体的特征：在一个长方体中，相对的面完全相同，相对的棱长度相等。 长方体的面、棱、顶点：两个面相交的线叫作棱，三条棱相交的点叫作顶点，相交于 长方体和 个顶点的三条棱的长度，分别叫作长方体的长、宽、高。 正方体的 长方体有6个面，8个顶点，12条棱。 认识 正方体的定义：正方体是由6个完全相同的正方形围成的立体图形。 正方体的特征：正方体有12条棱，它们的长度都相等，所有的面完全相同。 长方体和正方体的关系：长方体和正方体都有6个面，8个顶点，12条棱，正方体是 长、宽、高都相等的长方体，是特殊的长方体。 棱长和公式：①长方体：长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4： ②正方体：正方体的棱长总和=棱长×12。 表面积定义：长方体或正方体6个面的总面积，叫作它的表面积。 长方体的表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2=长×宽×2+长×高×2+宽×高×2 长方体和 S长方体=2(ab+ah+bh)=2ab+2ah+2bh 正方体的 表面积 正方体的表面积=棱长×棱长×6S正方体=aXa×6=6a2 在解决一些具体问题时，要充分考虑实际情况，想清楚要算几个面。 ①具有六个面的长方体、正方体物品：油箱、罐头盒、纸箱子等； ②具有五个面的长方体、正方体物品：水池、无盖鱼缸等； ③具有四个面的长方体、正方体物品：通风管、水管、烟囱等。 物体所占空间的大小叫作物体的体积。计量体积要用体积单位，常用的体积单位有 立方厘米，立方分米，立方米，可以分别写成cm3、dm3和m3。 箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，通常叫作它们的容积。计量容积，一般用体 积单位。计量液体的体积，如水、油等，常用容积单位升和毫升，也可以写成L和mL。 长方体和 长方体的体积=长×宽×高=底面积×高V长方体=abh=S底h 正方体的 正方体的体积=棱长×棱长×棱长V正方体=a×a×a=a 体积 (容积) 相邻两个体积单位间的进率为1000。 1立方米=1000立方分米1m3=1000dm3 1立方分米=1000立方厘米1dm3=1000cm 1升=1000毫升1L=1000mL1升=1立方分米1L=1dm3 1毫升=1立方厘米1mL=1cm3 第六单元知识梳理>22 尼易错分析 易错点1 不能根据实际面积进行计算 一种铁皮烟囱的截面是边长为20厘米的正方形，做10节长为1米的烟囱，至少需要多少平方米的 铁皮？ 分析：烟囱和通风管、通气管类似，只有4个面；注意单位的不统一；要求10节烟囱的面积。 答案：20厘米=0.2米0.2×1×4×10=8（平方米）答：至少需要8平方米的铁皮。 易错点2 不理解图形割拼过程中面积的变化 如图，一个长方体是由三个同样大小的正方体拼成的。如果去掉一个正方体，表面积就比子子 原来减少30平方厘米，原来长方体的表面积是多少平方厘米？ 分析：有些同学误以为去掉一个正方体就减少了5个面。实际上，去掉一个正方体，表面积减少的 是4个正方形的面。 答案：30÷4=7.5（平方厘米）7.5×14=105（平方厘米）答：原来长方体的表面积是105平方厘米。 易错点3 把表面积和体积（容积）混为一谈 -个长方体铁皮油桶，长2.5分米，宽2分米，高20分米。①做这个油桶至少需要多少平方分米的 铁皮？②如果每升油重0.75千克，这个油桶最多能装油多少千克？ 分析：有些同学把问题①的结果，直接去和0.75千克相乘，得到问题②的结果。问题①的实质是求 这个长方体的表面积，而问题②和表面积没有关系，它的实质是要先求长方体的体积。 答案：①(2.5×2+2.5×20+2×20)×2=95×2=190（平方分米） 答：做这个油桶至少需要190平方分米的铁皮。 ②2.5×2×20=100（立方分米）=100升100×0.75=75（千克） 答：这个油桶最多能装油75千克。 易错点4 用大体积：小体积计算容纳物体的个数 一个长方体的盒子，从里面量长8分米、宽5分米、高4分米。如果把棱长2分米的正方体木块放 到这个盒子里，最多能放多少个？ 分析：此题容易错解成用长方体盒子的体积直接除以小正方体的体积，即8×5×4÷(2×2×2)= 20(个)。实际上，沿着长方体盒子的宽摆放，不能正好放整数个正方体，还余下1分米。 答案：沿着长方体盒子的长可以摆8÷2=4（个），沿着长方体盒子的宽只能摆5÷2=2（个）…1（分 米)，沿着长方体盒子的高可以摆4÷2=2（个），4×2×2=16（个），即最多能放16个正方体木块。 尼重难点拨 ◆ 重难点1 组合立体图形的表面积 如图是由棱长为1厘米的小正方体摆成的立体图形，它的表面积是多少平方厘米？ 第六单元知识梳理>23 分析：从前面、上面、右面看到的都是由10个面积为1平方厘米的小正方形组成的图形，由此可知 从后面、下面、左面看到的也是由10个面积为1平方厘米的小正方形组成的图形，所以图中立体图 形的表面积是(10+10+10)×2=60（平方厘米）。 答案：(10+10+10)×2=60（平方厘米） 答：它的表面积是60平方厘米。 重难点2 包装纸最少问题 李老师买了3本同样的科普书（如图），长、宽、高分别为20厘米、12厘米、2厘米，准备包装好再邮 递给大西北一所希望小学的孩子。你们知道怎样包装最省纸吗？ 分析：根据题意，有以下三种包装方法： ① ② 3 不用计算也能知道按照图③的方法最省包装纸。图①的表面积比3本科普书的表面积之和减少 了4个“宽×高”面的面积；图②的表面积比3本科普书的表面积之和减少了4个“长×高”面的面 积；图③的表面积比3本科普书的表面积之和减少了4个“长×宽”面的面积。宽×高=12×2= 24(平方厘米)，长×高=20×2=40（平方厘米），长×宽=20×12=240（平方厘米）。显然，图③的表 面积比3本科普书的表面积之和减少得最多，那么它的表面积就最小。 答案：图③的包装最节省包装纸。 重难点3 将一个长方体容器中的水分配到两个长方体容器中使两个容器水面高度相等问题 有甲、乙两个无盖的长方体水箱，其中，甲水箱里装有一些水，乙水箱空着。从里面量，甲水箱长 40厘米，宽30厘米，高50厘米，水面高21厘米：乙水箱长30厘米，宽20厘米，高50厘米。现将甲 水箱中的一部分水倒入乙水箱，使两个水箱里的水面高度相同，问现在两个水箱里水的高度是多 少厘米？ 分析：根据长方体体积计算公式，先求出甲水箱中有多少立方厘米水，要求现在两个水箱中水的高 度，用水的体积除以两个水箱的底面积之和即可。列式解答为40×30×21÷(40×30+30×20)= 14(厘米)。 答案：40×30×21÷(40×30+30×20)=14（厘米） 答：现在两个水箱里水的高度是14厘米。 第六单元知识梳理>24