专题24.4 点和圆的位置关系（五大题型）（题型训练+易错精练）-2025-2026学年九年级数学上册《知识解读•题型专练》（人教版）

专题24.4 点和圆的位置关系（五大题型） 【题型1判断点与圆的位置关系】.......................................................................................1 【题型2利用点与圆的位置关系求半径】...........................................................................4 【题型3求能确定的圆的个数】...........................................................................................8 【题型4求三角形外心坐标】..............................................................................................9 【题型5确定圆心(尺规作图)】...........................................................................................12 【题型1判断点与圆的位置关系】 1．已知的半径为，，则点P与的位置关系是（   ） A．点P在外 B．点P在上 C．点P在内 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系的判断方法是解题关键．将点到圆心的距离（即的长度）与的半径进行比较即可得． 【详解】解：∵的半径为，，且， ∴点在外， 故选：A． 2．如图，在中，，，，，分别是上的高线和中线．如果是以点为圆心，3为半径的圆，那么下列判断中，正确的是（   ） A．点，均在内 B．点，均在外 C．点在内，点在外 D．以上选项都不正确 【答案】B 【分析】本题考查了点与圆的位置关系的判定，先利用勾股定理求得的长，再根据面积公式求出的长，根据勾股定理求出的长，根据中线的定义求出的长，然后由点、到点的距离判断点、与的位置关系即可． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∵、分别是上的高和中线， ∴， ∴， ∴， ∵是以点为圆心，3为半径的圆，，， ∴点，均在外， 故选：B． 3．的半径为6，圆心在坐标原点上，点的坐标为，则点P与的位置关系是（    ） A．点P在内 B．点P在上 C．点P在外 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查了两点之间的距离公式、点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是解题关键．先求出，再根据点与圆的位置关系求解即可得． 【详解】解：∵圆心在坐标原点上，点的坐标为， ∴， ∵的半径为， ∴点在内， 故选：A． 4．在平面内，已知的直径为，点P与圆心O的距离为，则（   ） A．点P在圆上 B．点P在圆内 C．点P在圆外 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了对点与圆的位置关系的判断．要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系；当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内． 【详解】解：∵的直径为， ∴的半径为， ∵点P到圆心O的距离为， ∴， ∴点P与的位置关系是：P在上． 故选：A． 5．如图，在中，已知，点是的中点，以点为圆心作一个半径为的圆，则下列说法正确的是（    ） A．点在外 B．点在上 C．点在内 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系，设点与圆心的距离d，则时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内．连接，由等腰三角形三线合一得，求出，根据勾股定理求出，和半径比较即可得出答案． 【详解】解：连接， ∵，，D是的中点， ∴，， ∴， ∴在中，由勾股定理得： ， ∵的半径为， ∴点A在上， 故选B． 【题型2利用点与圆的位置关系求半径】 1．已知△ABC，AC=3，CB=4，以点C为圆心r为半径作圆，如果点A、点B只有一个点在圆内，那么半径r的取值范围是（　　） A．r＞3 B．r≥4 C．3＜r≤4 D．3≤r≤4 【答案】C 【分析】根据点与圆的位置关系即可得到答案. 【详解】根据题意可知，以点C为圆心r为半径作圆，如果只要一个点在圆内，当r＞3时，则只有点A在圆内，而当r＞4时，则点A、点B都在圆内，不符合题意，而当r＝4时，点B在圆上，不在圆内，故r＝4可取，故r的取值范围为3＜r≤4，故答案选C. 【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系，解本题的要点在于根据题意求出r的取值范围，从而得到答案. 2．熙熙的一面圆形镜子摔碎了，想配一面与原来大小相同的镜子，她想到的办法是：把三角板的30°顶点A放在圆上，将两边与圆的交点分别记为点B，C，如图所示，测量出弦的长就可以得到镜子的直径．经测量弦的长为，则该镜子的直径为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．连接，根据圆周角定理得出，继而得出是等边三角形，即可求解． 【详解】解：如图，设圆心为O，连接， ， ， 是等边三角形 ， 该镜子的直径为8cm， 故选: Ｃ． 3．若的半径是，点在圆外，则的长可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，熟练掌握若点与圆心的距离d，圆的半径为，则当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内是解题的关键． 根据点与圆的位置关系判断方法求解即可． 【详解】解：的半径是，点在圆外， ∴， 故选：D． 4．已知的半径为，点P在外，则可能等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查点和圆的位置关系，解答本题的关键是明确题意，求出的取值范围． 根据题意可以求得的取值范围，从而可以解答本题． 【详解】解：∵的半径为，点在外， ． 故选：D． 5．如果的直径为，且点在上，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据点和圆的位置关系即可求解，解题的关键是正确理解：点和圆心的距离为半径为，点在外，则，点在上，则，点在内，则． 【详解】解：如图： ∵点在上， ∴为半径， ∴， 故答案为：． 6．已知点P为平面内一点，若点P到上的点的最长距离为5，最短距离为1，则的半径为 ． 【答案】3或2 【分析】本题应分两种情况进行讨论，当P在圆内，直径长度为，半径为3；当P在圆外，直径长度为，半径为2． 【详解】解：∵当P在圆内，直径长度为，半径为3， 当P在圆外，直径长度为，半径为2， ∴的半径为3或2． 故答案为：3或2． 【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，在解答此题时要注意分类讨论． 7．若点在以为圆心，以2为半径的圆内，则a的取值范围为 ． 【答案】-1<a<3 【分析】熟记“设点到圆心的距离为d，则当d=R时，点在圆上；当d＞R时，点在圆外；当d＜R时，点在圆内”即可解答. 【详解】解：以A（1，0）为圆心，以2为半径的圆交x轴两点的坐标为（-1，0），（3，0）， ∵点B（a，0）在以A（1，0）为圆心，以2为半径的圆内， ∴-1＜a＜3． 故答案为-1＜a＜3. 【点睛】本题考查了对点与圆的位置关系的判断的知识点，解答本题的关键是理解点B在以A（1，0）为圆心，以2为半径的圆内的含义，本题比较简单. 8．在Rt△ABC中，，，，如果以点C为圆心作圆，使点A在圆C内，点B在圆C外，那么圆C半径r的取值范围为 【答案】 【分析】根据点A在圆C内，则r>AC，点B在圆C外，则r<BC，即可得出答案. 【详解】∵以点C为圆心作圆，使点A在圆C内， ∴r>AC， 即r>5， ∵以点C为圆心作圆，使点B在圆C外， ∴r<BC， 即r<8， ∴. 故答案为. 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系.熟记“设点到圆心的距离为d，则当d<r时，点在圆内；当d=r时，点在圆上；当d>r时，点在圆外”是解题的关键． 9．已知点P在外，的直径是10，则点O到点P的距离d的范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，当点P在外，则点O到点P的距离d大于半径，再结合的直径是10，即可作答． 【详解】解：∵点P在外， ∴点O到点P的距离d大于半径， ∵的直径是10， ∴， 故答案为：． 10．已知的圆心与坐标原点重合，半径为r，若点在内，点在外，则r的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意知，，，由点在内，点在外，可得． 【详解】解：由题意知，，， ∵点在内，点在外， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，勾股定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 【题型3求能确定的圆的个数】 1．如图，点，，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ）    A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】根据不共线三点确定一个圆可得，直线上任意2个点加上点可以画出一个圆，据此列举所有可能即可求解． 【详解】解：依题意，；；；；，加上点可以画出一个圆， ∴共有6个， 故选：D． 【点睛】本题考查了确定圆的条件，熟练掌握不共线三点确定一个圆是解题的关键． 2．在同一平面内，过已知A，B，C三个点可以作的圆的个数为(     ) A．0 B．1 C．2 D．0或1 【答案】D 【详解】分析：分两种情况讨论：①A、B、C三个点共线，不能做圆；②A、B、C三个点不在同一条直线上，有且只有一个圆． 解答：解：当A、B、C三个点共线，过A、B、C三个点不能作圆； 当A、B、C不在同一条直线上，过A、B、C三个点的圆有且只有一个，即三角形的外接圆； 故选D． 3．经过两点可以作 个圆，不在同一直线的 个点可以确定一个圆． 【答案】 无数 三 【分析】根据确定圆的条件解答即可． 【详解】解：经过两点可以做无数个圆， 不在同一直线的三个点可以确定一个圆， 故答案为：无数，三． 【点睛】本题考查了确定圆的条件，属于基础题，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【题型4求三角形外心坐标】 1．如图，直角坐标系中，经过三点的圆，圆心为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形的外接圆的圆心，掌握三角形的外心是三边垂直平分线的交点是正确解答此题的关键．先求得的垂直平分线所在的直线为，可知圆心在直线上，设，根据，可求点M坐标． 【详解】解： ，， 的垂直平分线所在直线上， 圆心在直线上，设， ， ， 解得，则． 故答案为：． 2．如图，外接圆的圆心坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的外接圆，根据三角形的外接圆的圆心是三角形三边中垂线的交点，结合网格的特点，画出圆心，即可． 【详解】解：如图， 点即为外接圆的圆心； 故答案为：． 3．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为和，则外接圆的圆心坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的外接圆以及圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．由于是直角三角形，根据直径所对的圆周角为直角，可得外接圆的圆心是斜边的中点，再利用中点坐标公式即可得解． 【详解】解：∵是直角三角形，, ∴外接圆的圆心是斜边的中点， ∵点A、B的坐标分别为和， ∴外接圆的圆心坐标是， 故答案为：． 4．如图△ABC是坐标纸上的格点三角形，试写出△ABC外接圆的圆心坐标 ． 【答案】（5，2） 【分析】外心是三角形三边垂直平行线的交点，设外心为D，根据C、B的坐标求出D的纵坐标，设D（a，2），根据DA=DC和勾股定理得出方程，求出方程的解即可． 【详解】 解：由图象可知B（1，4），C（1，0）， 根据△ABC的外接圆的定义，圆心的纵坐标是y=2， 设D（a，2）， 根据勾股定理得：DA=DC （1-a）2+22=42+（3-a）2 解得：a=5， ∴D（5，2）． 故答案为（5，2）． 【点睛】本题主要考查了对三角形的外接圆与外心，坐标与图形性质，勾股定理，垂径定理等知识点的理解和掌握，能根据题意得出D点的纵坐标和得出方程是解此题的关键． 【题型5确定圆心(尺规作图)】 1．小慧爷爷家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树、、．为了响应“建设美丽乡村，共建美好家园”的号召，小慧爷爷想要修建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上． (1)请你帮小慧爷爷把花坛的位置画出来；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)若中米，米，，试求这个圆形花坛的面积． 【答案】(1)见解析 (2)平方米 【分析】本题主要考查了三角形外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，及90度的圆周角所对的弦是直径，然后利用勾股定理求半径，从而求圆的面积． （1）想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．即分别作三边的垂直平分线的交点就是圆心的位置； （2）解直角三角形求出圆的半径，再根据圆的面积公式计算． 【详解】（1）解：如图，即为所求作的花坛的位置； （2）解：∵， ∴是直径， ∵米，米， ∴米， ∴外接圆的半径为10米， ∴小明家圆形花坛的面积为（平方米）． 2．如图是一块圆形砂轮破碎后的部分残片，请你用尺规作图的方法找出该残片的圆心，并将它还原成一个圆．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了应用设计与作图，正确掌握垂径定理是解题关键． 由垂径定理知，直径是弦的中垂线，不同的直径的交点是圆心，故作两弦垂直平分线，其交点就是圆心 【详解】解：在圆弧作两条弦， ，分别作出，的中垂线，交于点，以点为圆心，的长为半径，如图，即为所求． 3．如图，在中，，交的延长线于点C，交的延长线于点E． (1)求证：． (2)运用无刻度的直尺和圆规画出的外接圆，且当，时，的外接圆半径为________． 【答案】(1)见解析 (2)作图见解析， 【分析】本题考查了作图-复杂作图，全等三角形的判定和性质，勾股定理，证明三角形全等是解题的关键. （1）由“”可证 （2）分别作的垂直平分线，两条直线交于点，以点为圆心，长为半径画圆即可画出的外接圆，由勾股定理可求的长， 即可求解. 【详解】（1）)证明：， ， 又 ， 在 和 ， ， ； （2） ∵，， ∴， ， ∴， 的外接圆半径 ， 故答案为： 4．如图，在中，，． (1)尺规作图：作的外接圆（不写作法，保留作图痕迹）； (2)求所作的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了画三角形外接圆，圆周角定理，勾股定理： （1）作的垂直平分线，二者交于点O，点O即为圆心，再以点O为圆心，的长为半径画圆即可得到答案； （2）如图所示，连接，由圆周角定理得到，进而利用勾股定理求出即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴所作的半径为． 5．如图，要把破残的圆片复制完整，已知弧上的三点A，B，C． (1)试确定所在圆的圆心O（保留作图痕迹）； (2)设是等腰三角形，底边，腰，求圆片的半径R． 【答案】(1)见解析 (2)圆片的半径R为 【分析】（1）分别作出线段、的垂直平分线（以点A，B为圆心，大于的长度为半径画弧，分别相交于点M、N；以点C，A为圆心，大于的长度为半径画弧，分别相交于点E、F；连接，），与的交点即为所在圆的圆心O； （2）连接交于D，连接，由等腰三角形的性质得，，由垂径定理得，根据勾股定理，得，建立等式，即，即可作答． 【详解】（1）解：如图所示，圆心O即为所求． （2）解：如图，连接交于D，连接， ∵是等腰三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即圆片的半径R为． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆，作垂直平分线，等腰三角形的性质，垂径定理，勾股定理，综合性较强，难度适中，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 1．如图，矩形中，，以A为圆心，1为半径作．若动点在上，动点在上，则的最大值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，勾股定理的应用及圆的最值问题等，作出对称图形是本题的关键．以为轴作矩形的对称图形以及对称圆，连接交于P，并延长，交于一点G，则就是最小值；根据勾股定理求得的长，即可求得最大值． 【详解】解：如图，以为轴作矩形的对称图形以及对称圆，连接交于P，并延长，交于一点G，则就是最大值； ∵矩形中，，圆A的半径为1， ∴， ∴， ∴， 即的最大值为6， 故选C． 2．如图，E为正方形内一点，，垂足为E，连接，F，G分别是的中点，若，则的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】根据三角形中位线定理得到，又有、、三点共圆，圆心为的中点，当、、三点共线时，的值最小，即的值最小，利用正方形性质和勾股定理得到，进而推出，即可求． 【详解】解：∵，分别是，的中点， 连接， ， ， 、、三点共圆，圆心为的中点， 当、、三点共线时，的值最小，即的值最小， 连接，交于点， ∵四边形为正方形，， ， ， ， 的最小值是． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形性质，勾股定理，圆周角定理，三角形中位线定理，解题的关键在于找到最小值情况． 3．如图，等腰三角形中，，，点为平面内一点，且，连接，则的最小值为 ，最大值 ． 【答案】 / / 【分析】根据题意，得，，得点D的运动轨迹是以为直径的，且的半径为2，连接，并延长交于点E，F，利用的等腰三角形的性质，勾股定理，圆的性质解答即可． 本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，圆的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得，， ∴点D的运动轨迹是以为直径的，且的半径为2， 连接，并延长交于点E，F， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴当点D与点E重合时，由最小值，当点D与点F重合时，由最大值， 故答案为：，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题24.4 点和圆的位置关系（五大题型） 【题型1判断点与圆的位置关系】.......................................................................................1 【题型2利用点与圆的位置关系求半径】...........................................................................2 【题型3求能确定的圆的个数】...........................................................................................3 【题型4求三角形外心坐标】..............................................................................................3 【题型5确定圆心(尺规作图)】...........................................................................................4 【题型1判断点与圆的位置关系】 1．已知的半径为，，则点P与的位置关系是（   ） A．点P在外 B．点P在上 C．点P在内 D．不能确定 2．如图，在中，，，，，分别是上的高线和中线．如果是以点为圆心，3为半径的圆，那么下列判断中，正确的是（   ） A．点，均在内 B．点，均在外 C．点在内，点在外 D．以上选项都不正确 3．的半径为6，圆心在坐标原点上，点的坐标为，则点P与的位置关系是（    ） A．点P在内 B．点P在上 C．点P在外 D．不能确定 4．在平面内，已知的直径为，点P与圆心O的距离为，则（   ） A．点P在圆上 B．点P在圆内 C．点P在圆外 D．无法确定 5．如图，在中，已知，点是的中点，以点为圆心作一个半径为的圆，则下列说法正确的是（    ） A．点在外 B．点在上 C．点在内 D．无法确定 【题型2利用点与圆的位置关系求半径】 1．已知△ABC，AC=3，CB=4，以点C为圆心r为半径作圆，如果点A、点B只有一个点在圆内，那么半径r的取值范围是（　　） A．r＞3 B．r≥4 C．3＜r≤4 D．3≤r≤4 2．熙熙的一面圆形镜子摔碎了，想配一面与原来大小相同的镜子，她想到的办法是：把三角板的30°顶点A放在圆上，将两边与圆的交点分别记为点B，C，如图所示，测量出弦的长就可以得到镜子的直径．经测量弦的长为，则该镜子的直径为（    ）    A． B． C． D． 3．若的半径是，点在圆外，则的长可能是（   ） A． B． C． D． 4．已知的半径为，点P在外，则可能等于（　　） A． B． C． D． 5．如果的直径为，且点在上，则 ． 6．已知点P为平面内一点，若点P到上的点的最长距离为5，最短距离为1，则的半径为 ． 7．若点在以为圆心，以2为半径的圆内，则a的取值范围为 ． 8．在Rt△ABC中，，，，如果以点C为圆心作圆，使点A在圆C内，点B在圆C外，那么圆C半径r的取值范围为 9．已知点P在外，的直径是10，则点O到点P的距离d的范围是 ． 10．已知的圆心与坐标原点重合，半径为r，若点在内，点在外，则r的取值范围是 ． 【题型3求能确定的圆的个数】 1．如图，点，，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ）    A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．在同一平面内，过已知A，B，C三个点可以作的圆的个数为(     ) A．0 B．1 C．2 D．0或1 3．经过两点可以作 个圆，不在同一直线的 个点可以确定一个圆． 【题型4求三角形外心坐标】 1．如图，直角坐标系中，经过三点的圆，圆心为，则点的坐标为 ． 2．如图，外接圆的圆心坐标是 ． 3．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为和，则外接圆的圆心坐标是 ． 4．如图△ABC是坐标纸上的格点三角形，试写出△ABC外接圆的圆心坐标 ． 【题型5确定圆心(尺规作图)】 1．小慧爷爷家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树、、．为了响应“建设美丽乡村，共建美好家园”的号召，小慧爷爷想要修建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上． (1)请你帮小慧爷爷把花坛的位置画出来；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)若中米，米，，试求这个圆形花坛的面积． 2．如图是一块圆形砂轮破碎后的部分残片，请你用尺规作图的方法找出该残片的圆心，并将它还原成一个圆．（保留作图痕迹，不写作法） 3．如图，在中，，交的延长线于点C，交的延长线于点E． (1)求证：． (2)运用无刻度的直尺和圆规画出的外接圆，且当，时，的外接圆半径为________． 4．如图，在中，，． (1)尺规作图：作的外接圆（不写作法，保留作图痕迹）； (2)求所作的半径． 5．如图，要把破残的圆片复制完整，已知弧上的三点A，B，C． (1)试确定所在圆的圆心O（保留作图痕迹）； (2)设是等腰三角形，底边，腰，求圆片的半径R． 1．如图，矩形中，，以A为圆心，1为半径作．若动点在上，动点在上，则的最大值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．如图，E为正方形内一点，，垂足为E，连接，F，G分别是的中点，若，则的最小值是 ． 3．如图，等腰三角形中，，，点为平面内一点，且，连接，则的最小值为 ，最大值 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $