24.2.1 点和圆的位置关系（十二大题型）2025-2026学年人教版数学九年级上册

24.2.1 点和圆的位置关系 题型一 判断点和圆的位置关系 1．已知的半径为3，若，则点与的位置关系是（  ） A．点在内 B．点在外 C．点在上 D．无法判断 【答案】B 【分析】本题考查点与圆的位置关系．若圆半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内． 判断圆的半径与大小即可解答． 【详解】解：∵的半径，，且， ∴点P在外． 故选B． 2．若的半径为2，在同一平面内，点P与圆心O的距离为1，则点P与的位置关系是 ． 【答案】点P在内 【分析】本题考查点与圆的位置关系，熟练掌握判断点与圆的位置关系的方法是解题的关键． 通过比较点P到圆心O的距离与圆的半径的大小关系，依据点与圆的位置关系进行判断即可． 【详解】解：根据题意得，的半径为2，点P与圆心O的距离为1， 由于， 则点P在内， 故答案为：点P在内． 3．如图，矩形中，，．作于点． (1)求的长； (2)若以点为圆心作圆，、、、四点中至少有个点在圆内，且至少有个点在圆外，求的半径的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． （1）先利用勾股定理计算出，再利用面积法计算出DE； （2）利用、、、到点的距离可判断的半径的取值范围． 【详解】（1）解：∵矩形中，，， ∴，，，， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵点到的距离：， 点到的距离：， 点到的距离：， 点到的距离：， 且 ∴， ∵至少有个点在圆内，且至少有个点在圆外， ∴的半径的取值范围为． 题型二 利用点和圆的位置关系求半径 4．若点P在内，且，则的半径可能为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查点和圆的位置关系，点P在圆内时，点P到圆心的距离小于圆的半径．掌握点和圆的位置关系是解题的关键． 【详解】∵点P在内， ∴， ∵， ∴， ∴的半径可能为6． 故选：D． 5．已知P点到的最大距离是6，最小距离是2，则的半径是 ． 【答案】2或4 【分析】本题主要考查了点和圆的位置关系，掌握分类讨论思想是解题的关键． 分点P在圆外和圆内两种情况讨论，分别利用距离关系列方程求解即可． 【详解】解：设的半径为r，点P到圆心O的距离为d． 若点P在外，则最大距离为，最小距离为． 若点P在外， 由题意得：两式相减，解得：． 若点P在内，则最大距离为，最小距离为． 由题意得：，解得：． 综上，的半径为2或4． 故答案为：2或4． 6．已知矩形的边，． (1)以点A为圆心、为半径作，求点B，C，D与的位置关系； (2)若以点A为圆心作，使B，C，D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外，求的半径r的取值范围． 【答案】(1)点B在内，点C在外，点D在上 (2) 【分析】此题考查的知识点是点与圆的位置关系，勾股定理，矩形的性质，解题关键是要注意点与圆的位置关系，要熟悉勾股定理，及点与圆的位置关系． （1）根据勾股定理求出的长，进而得出点B，C，D与的位置关系； （2）利用（1）中所求，即可得出半径r的取值范围． 【详解】（1）解：如图所示，连接， ∵在矩形中，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴点在内， ∵， ∴点在上， ∵， ∴点在外； （2）∵以点A为圆心作，使B，C，D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外， ∴的半径r的取值范围是． 题型三 已知半径和圆上两点作圆 7．已知AB＝12 cm，过A，B两点画半径为8 cm的圆，则能画的圆的个数为(   ) A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【答案】C 【分析】根据题意分别以A、B为圆心，以8cm为半径画弧，两弧交于C、D，以点C和点D为圆心的两个圆满足题意． 【详解】分别以A、B为圆心，以8cm为半径画弧，两弧交于 C、D，如下图， 得以C为圆心，以8cm为半径的圆经过点A和点B， 以D为圆心，以8cm为半径的圆经过点A和点B， 即能画的圆的个数是2个． 故选：C． 8．如图，正方形ABCD的边长为4，点E、F分别是BC，CD边上的动点，且CE+CF＝4，DE和AF相交于点P，在点E，F运动的过程中，CP的最小值为 ． 【答案】2﹣2 【分析】根据正方形的性质得到AD=CD=BC=4，∠ADC=∠BCD=90°，求得CE=DF，根据全等三角形的性质得到∠DAF=∠CDE，推出∠APD=90°，得到点P在以AD为直径的圆上，设AD的中点为G，由图形可知：当C、P、G在同一直线上时，CP有最小值，如图所示：根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：在正方形ABCD中，AD＝CD＝BC＝4，∠ADC＝∠BCD＝90°， ∵CE+CF＝4，CF+DF＝4， ∴CE＝DF， 在△ADF和△DCE中， ， ∴△ADF≌△DCE（SAS）， ∴∠DAF＝∠CDE， ∵∠ADE+∠CDE＝90°， ∴∠DAP+∠FDP＝90°， ∴∠APD＝90°， ∴点P在以AD为直径的圆上， 设AD的中点为G， 由图形可知：当C、P、G在同一直线上时，CP有最小值，如图所示： ∵CD＝4，DG＝2， ∴CG＝＝2 ∴CP＝CG﹣PG＝2﹣2， 故答案为：2﹣2． 9．如图，在中，，平分，    (1)在边上找一点O，以点O为圆心，且过A、D两点作（不写作法，保留作图痕迹）． (2)在（1）的条件下，若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)的半径为2． 【分析】（1）作的垂直平分线与的交点为圆心，为半径作圆即可； （2）设的半径为x，根据勾股定理列方程求解． 【详解】（1）解：如图：即为所求；   ； （2）解：连接，设的半径为x，即， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即：， 解得：， ∴的半径为2． 题型四 点与圆上一点的最值问题 10．如图，的半径为2，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则的最小值（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系．由中知要使取得最小值，则需取得最小值，连接，当点在线段上时，取得最小值，据此求解可得． 【详解】解：连接， ， ， ， ， 若要使取得最小值，则需取得最小值， 连接，当点在线段上时，取得最小值， 过点作轴于点， 圆心的坐标为， 则，， ， 又的半径为2， 的最小值为， ， 故选：C 11．如图，的半径为，是直径，点在上，，点是上一动点，取弦的中点，连接，当点在上运动时，线段的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆的性质、三角形的中位线定理、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质等知识，正确得出点的运动轨迹是解题关键．过点作于点，取的中点，连接，先根据三角形的中位线定理可得，则在点的运动过程中，点在以点为圆心、半径为2的圆上运动，再根据圆的性质可得当点在线段上时，线段的值最小，最小值为，然后根据勾股定理可得的长，由此即可得． 【详解】解：如图，过点作于点，取的中点，连接， ∵的半径为， ∴， ∵点为的中点， ∴， 又∵点为的中点，点为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴在点的运动过程中，点在以点为圆心、半径为2的圆上运动， 由圆的性质可知，当点在线段上时，线段的值最小，最小值为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴在中，，， ∴， ∴在中，， ∴线段的最小值为， 故答案为：． 12．如图，为的外接圆，是直径， ，，点是上的动点，且点、分别位于的两侧． (1)求的半径； (2)连接，，当时，求四边形的面积； (3)连接，，当四边形面积最大值，求的长； (4)连接，设的中点为，在点的运动过程中，线段是否存在最大值？若存在，直接写出的最大值． 【答案】(1) (2) (3)； (4)存在， 【分析】（1）结合直径所对的圆周角是90度，得，利用勾股定理求出即可． （2）连接，，证明，，可得，即可求得，进而根据四边形的面积，即可求解； （3）根据（2）可得当取得最大值时，取得最大值，得出，，根据勾股定理分别求得，即可求解； （4）如图中，连接，．证明，推出点的运动轨迹以为直径的，连接，，求出，的值，根据，可得结论． 【详解】（1）解：是直径， ， ，， ， ∴ 的半径为． （2）解：如图，连接，，，过点作于点 ，， ， ， ∵ ， ， 是等边三角形， ， ． ∵ ∴ ∴， ∴四边形的面积 ； （3）由（2）可得四边形的面积， ∴当取得最大值时，取得最大值， 如图所示，当是半径时，此时重合，取得最大值，连接，过点作于点， 由（2）可得，即， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； （4）解：线段存在最大值； 如图，连接，． ， ， 点的运动轨迹以为直径的， 连接，，可知 是等边三角形，， ， ， ， 的最大值为． 题型五 三角形外接圆的概念辨析 13．下列图形中，一定有外接圆的是（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】A 【分析】本题考查了外接圆．外接圆是指多边形的所有顶点都在同一个圆上．三角形一定有外接圆，因为三角形的三条垂直平分线交于一点（外心），该点到各顶点距离相等，四边形、五边形、六边形不一定有外接圆，只有特殊的多边形（如圆内接多边形）才有，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵任何三角形的三条垂直平分线都交于一点（外心）,且外心到三个顶点的距离相等， ∴ 三角形一定有外接圆， 四边形、五边形、六边形不一定有外接圆，只有特殊的多边形（如圆内接多边形）才有， 故选：A 14．如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为，点坐标为．则能完全覆盖的最小圆的半径为 ．    【答案】 【分析】本题考查的是三角形的外接圆与外心，根据勾股定理求出，根据钝角三角形最小覆盖圆是以最长边为直径的圆得到答案． 【详解】解：由勾股定理得：， 则能够完全覆盖这个三角形的最小圆面是以为直径的圆，圆的半径是， 故答案为：． 15．如图，在中，，边上的中线． (1)请用尺规作图法，求作的外接圆（保留作图痕迹，不写作法）； (2)求的外接圆的半径． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】（ ）作线段的垂直平分线交于点，以为圆心，为半径作即可； （）连接，利用勾股定理求出，设，在中，利用勾股定理构建方程求出即可； 本题考查了作三角形的外接圆，等腰三角形的性质，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图，连接， ∵，是边上的中线， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， ∴， 即的外接圆的半径为． 题型六 求三角形外心坐标 16．如图，顶点都在网格格点上，外接圆的圆心的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的外接圆的圆心为三角形三边中垂线的交点，然后根据两点之间的距离公式可知每段线段的大小，根据线段的等量关系求解． 本题考查了三角形的外接圆，平面直角坐标系以及两点之间的距离公式，知道三角形的外接圆的圆心为三角形三边中垂线的交点是解题关键． 【详解】 解： 设外接圆的圆心为点, 外接圆的圆心为三角形三条边中垂线的交点， 由题可知，,, 则作的中垂线交于, 作的中垂线交于, , 设点的坐标为， , ， ， ， 则点的坐标为． 故选: ． 17．如图外接圆的圆心坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的外接圆，根据三角形的外接圆的圆心是三角形三边中垂线的交点，结合网格的特点，画出圆心，即可求解． 【详解】解：如图，点即为外接圆的圆心坐标 故答案为：． 18．如图，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点、、，点为坐标原点．（网格中小正方形的边长为1） (1)该圆弧所在圆的圆心的坐标为______； (2)的半径为______；（结果保留根号） (3)点在______；（填“上”、“内”或“外”） (4)扇形刚好是某圆锥的侧面展开图，该圆锥底面半径为____． 【答案】(1) (2) (3)外 (4) 【分析】（1）可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心，根据位置写出圆心坐标即可； （2）利用勾股定理求出的长即可得到答案； （3）利用勾股定理求出点M到圆心的距离即可判断点和圆的位置关系； （4）利用勾股定理和勾股定理的逆定理证明是直角三角形，圆锥的侧面展开图的扇形圆心角，再根据圆锥底面底面周长等于侧面展开图扇形弧长即可求出半径． 【详解】（1）解：作弦和的垂直平分线，交点即为圆心． 如图所示：， （2）解：①由题意得，， ∵， ∴， ∴的半径为， 故答案为：； （3）解：∵，， ∴， ∴在外， 故答案为：外； （4）解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，即， 设圆锥底面的半径为，可得： ， ∴， 故答案为：． 题型七 求特殊三角形外接圆的半径 19．如图，A，B，C是上的三点，是等边三角形．若，则的半径是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的外接圆与外心，直角三角形的性质，掌握等边三角形的性质，应用垂径定理和勾股定理解题是关键． 连接、，过点作，结合同弧所对的圆心角是圆周角的两倍、等腰三角形的性质和三角形内角和为得到，再利用垂径定理，直角三角形的性质，勾股定理即可求出的半径． 【详解】解：连接、，过点作， ∵是等边三角形的外接圆， ∴， ∴， ， 又∵， ∴， 在中，利用勾股定理得，． 故选：． 20．若直角三角形的两直角边长分别为3和4，则它的外接圆的半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查了特殊三角形的外接圆半径；先利用勾股定理求出直角三角形的斜边长，再根据直角三角形的外接圆半径等于斜边的一半求解． 【详解】解：直角三角形的两直角边长分别为和， 斜边长， 外接圆半径． 故答案为： 21．在如图所示的方格纸中存在，其中，点，，均在格点上． (1)用直尺作出的外接圆圆心； (2)若方格纸中每个小正方形的边长为2，求外接圆半径的长． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】本题考查作图应用与设计作图，三角形的外接圆等知识，解题的关键是理解三角形外接圆的圆心的三边垂直平分线的交点． （1）线段，的垂直平分线的交点即为所求； （2）连接，利用勾股定理求解． 【详解】（1）解：如图，点即为所求； （2）解：连接． ． 故外接圆半径的长为． 题型八 已知外心的位置判断三角形的形状 22．如图，内接于，将绕点A逆时针旋转得到，点C的对应点E在上，连接．若，，则的长为（    ） A． B．13 C．26 D．24 【答案】A 【分析】连接，根据旋转的性质得到，，，推出，是等腰直角三角形，得到，求得，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：连接， 将绕点逆时针旋转得到， ，，， ，是等腰直角三角形， ，， ， ，，三点共线， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 23．如图，在中，，用一个圆面去覆盖，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．找一个三角形的外心，就是找一个三角形的两条边的垂直平分线的交点．也考查了等腰三角形的性质和勾股定理．求出的外接圆半径即可． 【详解】解：作于D，如图， ∵， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴的外心O在上， 连接，设的外接圆的半径为r，则 在中，，解得， ∵能够完全覆盖这个三角形的最小圆为的外接圆， ∴能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径为． 故答案为：． 24．已知圆是等边三角形的外接圆，P是圆上异于的一点 （1）如图，若，直线与直线的交点为，连接，求的长度 （2）若，猜想的数量关系并证明． 【答案】（1）4；（2），证明见解析 【分析】（1）在Rt△PAC中，求出PC，再证明PD＝PC即可解决问题． （2）在PC上截取一点E，使得PB＝PE，连接BE．证明△ABP≌△CBE（SAS）即可解决问题． 【详解】解：（1）是等边三角形，所以 所以 在中， 故的长度是4． （2）由题意得点在，结论 证明，如图，在上取一点，使得，连接 是等边三角形 ． 题型九 判断三角形外接圆的圆心位置 25．如图，在的正方形网格中，A，B在格点上，在网格中找一个格点C，使的外心也在该正方形网格的格点上，这样的点C有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外心，根据三角形的外心是三角形三条边的线段垂直平分线的交点，结合网格，画出图形，即可求解． 【详解】解：如图所示，满足题意，共2个， 故选：C． 26．如图，的网格图中，每个方格的边长为1，经过三点圆弧所在圆的半径的长度为 ．    【答案】 【分析】本题考查的是确定圆弧所在圆的圆心，勾股定理的应用，如图，由网格特点可得：线段，线段的垂直平分线交于格点，再利用勾股定理可得答案. 【详解】解：如图，由网格特点可得：线段，线段的垂直平分线交于格点，    ∴为圆心， ∴半径， 故答案为： 27．如图，的三个顶点在同一个圆上，，，分别为，的中点．请仅用无刻度直尺完成以下作图． (1)在图1中作圆心． (2)在图2中作弦左上方的弧的中点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了特殊三角形的外心，垂径定理，中位线的性质，弧与圆周角的关系； （1）连接，交于点，连接并延长交于点，点即为所求； （2）作直线交于点，连接交于点，连接并延长交于点，则点即为所求． 【详解】（1）如图， 根据作图可得为的重心，则为的中点， 又， ∴点即为圆心； （2）解：如图所示， ∵分别为，的中点， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵是的中点， ∴， ∴点即为所求． 题型十 判断确定圆的位置 28．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【分析】本题考查圆的确定，根据圆的确定方法：不在同一直线上的三个点确定一个圆，进行判断即可． 【详解】解：第①块出现一段完整的弧，可在这段弧上任作两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而确定圆即可． 故选：A． 29．已知，经过A，B两点作圆，则所作的圆的半径最小是 ． 【答案】2 【分析】本题考查的是确定圆的条件，熟知经过线段最小的圆即为以AB为直径的圆是解答此题的关键． 经过线段最小的圆即为以为直径的圆，求出半径即可． 【详解】解：根据题意得：经过线段最小的圆即为以为直径的圆，则此时半径为． 故答案为：2． 30．如图，在平面直角坐标系中，过格点A、B、C作一圆弧． (1)弧所在圆的圆心的坐标为________________； (2)求弧所在圆的半径； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查圆的确定方法，勾股定理，熟练掌握圆的确定方法是解题的关键： （1）根据圆的确定方法，得到线段的中垂线的交点即为圆心，画图即可得出结果； （2）利用勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：如图，点即为圆心，由图可知：； （2）由勾股定理，得； 故半径为． 题型十一 判断确定圆的条件 31．熙熙的一面圆形镜子摔碎了，想配一面与原来大小相同的镜子，她想到的办法是：把三角板的30°顶点A放在圆上，将两边与圆的交点分别记为点B，C，如图所示，测量出弦的长就可以得到镜子的直径．经测量弦的长为，则该镜子的直径为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．连接，根据圆周角定理得出，继而得出是等边三角形，即可求解． 【详解】解：如图，设圆心为O，连接， ， ， 是等边三角形 ， 该镜子的直径为8cm， 故选: Ｃ． 32．如图，在网格中，每个小正方形的边长为1，过格点A、B、C作一圆弧，则圆弧所在圆的半径是 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，先利用网格特点，作和的垂直平分线，它们的交点为E点，利用垂径定理的推论可判断点E为该圆弧所在圆的圆心，连接，利用勾股定理计算出即可． 【详解】解：作和的垂直平分线，它们的交点为E点，则点E为该圆弧所在圆的圆心， 连接， 由勾股定理得，， 即圆弧所在圆的半径是， 故答案为：． 33．如图，某铜镜残片呈圆弧形，测得圆弧的两端A，B之间的距离为，上的点到弦的最大距离为． (1)用无刻度的直尺和圆规作出铜镜残片所在圆的圆心； (2)求该铜镜所在圆的半径． 【答案】(1)见解析 (2)该铜镜所在圆的半径为 【分析】本题考查了圆的基本性质，几何作图能力，及勾股定理的应用，灵活利用圆的基本性质和勾股定理是解题的关键． （1）根据圆的圆心在任意弦的垂直平分线上，这一性质，通过作两条不同弦的垂直平分线，其交点即为圆心． （2）利用“圆的半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形”，结合已知条件列方程求解即可． 【详解】（1）（1）如图所示 （2）（2）如图，设的垂直平分线与圆弧交点为D，则点D是到弦距离最大的点，连接，，交于点； 设圆的半径为，由垂径定理得，，∴， 在中，由勾股定理得：， 解得： 即该铜镜所在圆的半径为． 题型十二 确定圆心（尺规作图） 34．在矩形中，以为圆心，长为半径画弧，交于点，以为圆心，长为半径画弧，交于点，若，，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据题意得到，，利用勾股定理，在直角三角形中求出，进而得到即可求出． 【详解】解：连接，如图所示： ，， 在中，，，，则由勾股定理可得， ， ， 故选：D． 35．已知△ABC中，∠BAC=90°，用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC分成两个相似的三角形，其作法不正确的是 ．（填序号）    【答案】③ 【分析】根据过直线外一点作这条直线的垂线，及线段中垂线的做法，圆周角定理，分别作出直角三角形斜边上的垂线，根据直角三角形斜边上的垂线，把原直角三角形分成了两个小直角三角形，图中的三个直角三角形式彼此相似的；即可作出判断. 【详解】①、在角∠BAC内作作∠CAD=∠B,交BC于点D,根据余角的定义及等量代换得出∠B＋∠BAD=90°,进而得出AD⊥BC,根据直角三角形斜边上的垂线，把原直角三角形分成了两个小直角三角形，图中的三个直角三角形式彼此相似的； ②、以点A为圆心，略小于AB的长为半径，画弧，交线段BC两点，再分别以这两点为圆心，大于两交点间的距离为半径画弧，两弧相交于一点，过这一点与A点作直线，该直线是BC的垂线；根据直角三角形斜边上的垂线，把原直角三角形分成了两个小直角三角形，图中的三个直角三角形是彼此相似的； ③、以点B为圆心BA的长为半径画弧，交BC于点E，再以E点为圆心，AB的长为半径画弧，在BC的另一侧交前弧于一点，过这一点及A点作直线，该直线不一定是BE的垂线；从而就不能保证两个小三角形相似; ④、以AB为直径作圆，该圆交BC于点D，根据圆周角定理，过AD两点作直线该直线垂直于BC，根据直角三角形斜边上的垂线，把原直角三角形分成了两个小直角三角形，图中的三个直角三角形式彼此相似的； 故答案为:③. 36．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． (1)用直尺和圆规作出的外接圆，保留作图痕迹． (2)以边的中点O为旋转中心，将按逆时针方向旋转，得到，请画出． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了画圆，画旋转图形． （1）作的垂直平分线，交的垂直平分线于，以为圆心，为半径作圆即可； （2）连接并延长到使得，同理作出，再顺次连接即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 24.2.1 点和圆的位置关系 题型一 判断点和圆的位置关系 1．已知的半径为3，若，则点与的位置关系是（  ） A．点在内 B．点在外 C．点在上 D．无法判断 2．若的半径为2，在同一平面内，点P与圆心O的距离为1，则点P与的位置关系是 ． 3．如图，矩形中，，．作于点． (1)求的长； (2)若以点为圆心作圆，、、、四点中至少有个点在圆内，且至少有个点在圆外，求的半径的取值范围． 题型二 利用点和圆的位置关系求半径 4．若点P在内，且，则的半径可能为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．已知P点到的最大距离是6，最小距离是2，则的半径是 ． 6．已知矩形的边，． (1)以点A为圆心、为半径作，求点B，C，D与的位置关系； (2)若以点A为圆心作，使B，C，D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外，求的半径r的取值范围． 题型三 已知半径和圆上两点作圆 7．已知AB＝12 cm，过A，B两点画半径为8 cm的圆，则能画的圆的个数为(   ) A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 8．如图，正方形ABCD的边长为4，点E、F分别是BC，CD边上的动点，且CE+CF＝4，DE和AF相交于点P，在点E，F运动的过程中，CP的最小值为 ． 9．如图，在中，，平分，    (1)在边上找一点O，以点O为圆心，且过A、D两点作（不写作法，保留作图痕迹）． (2)在（1）的条件下，若，求的半径． 题型四 点与圆上一点的最值问题 10．如图，的半径为2，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则的最小值（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 11．如图，的半径为，是直径，点在上，，点是上一动点，取弦的中点，连接，当点在上运动时，线段的最小值为 ． 12．如图，为的外接圆，是直径， ，，点是上的动点，且点、分别位于的两侧． (1)求的半径； (2)连接，，当时，求四边形的面积； (3)连接，，当四边形面积最大值，求的长； (4)连接，设的中点为，在点的运动过程中，线段是否存在最大值？若存在，直接写出的最大值． 题型五 三角形外接圆的概念辨析 13．下列图形中，一定有外接圆的是（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 14．如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为，点坐标为．则能完全覆盖的最小圆的半径为 ．    15．如图，在中，，边上的中线． (1)请用尺规作图法，求作的外接圆（保留作图痕迹，不写作法）； (2)求的外接圆的半径． 题型六 求三角形外心坐标 16．如图，顶点都在网格格点上，外接圆的圆心的是（   ） A． B． C． D． 17．如图外接圆的圆心坐标是 ． 18．如图，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点、、，点为坐标原点．（网格中小正方形的边长为1） (1)该圆弧所在圆的圆心的坐标为______； (2)的半径为______；（结果保留根号） (3)点在______；（填“上”、“内”或“外”） (4)扇形刚好是某圆锥的侧面展开图，该圆锥底面半径为____． 题型七 求特殊三角形外接圆的半径 19．如图，A，B，C是上的三点，是等边三角形．若，则的半径是（    ） A． B． C． D． 20．若直角三角形的两直角边长分别为3和4，则它的外接圆的半径为 ． 21．在如图所示的方格纸中存在，其中，点，，均在格点上． (1)用直尺作出的外接圆圆心； (2)若方格纸中每个小正方形的边长为2，求外接圆半径的长． 题型八 已知外心的位置判断三角形的形状 22．如图，内接于，将绕点A逆时针旋转得到，点C的对应点E在上，连接．若，，则的长为（    ） A． B．13 C．26 D．24 23．如图，在中，，用一个圆面去覆盖，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是 ． 24．已知圆是等边三角形的外接圆，P是圆上异于的一点 （1）如图，若，直线与直线的交点为，连接，求的长度 （2）若，猜想的数量关系并证明． 题型九 判断三角形外接圆的圆心位置 25．如图，在的正方形网格中，A，B在格点上，在网格中找一个格点C，使的外心也在该正方形网格的格点上，这样的点C有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 26．如图，的网格图中，每个方格的边长为1，经过三点圆弧所在圆的半径的长度为 ．    27．如图，的三个顶点在同一个圆上，，，分别为，的中点．请仅用无刻度直尺完成以下作图． (1)在图1中作圆心． (2)在图2中作弦左上方的弧的中点． 题型十 判断确定圆的位置 28．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 29．已知，经过A，B两点作圆，则所作的圆的半径最小是 ． 30．如图，在平面直角坐标系中，过格点A、B、C作一圆弧． (1)弧所在圆的圆心的坐标为________________； (2)求弧所在圆的半径； 题型十一 判断确定圆的条件 31．熙熙的一面圆形镜子摔碎了，想配一面与原来大小相同的镜子，她想到的办法是：把三角板的30°顶点A放在圆上，将两边与圆的交点分别记为点B，C，如图所示，测量出弦的长就可以得到镜子的直径．经测量弦的长为，则该镜子的直径为（    ）    A． B． C． D． 32．如图，在网格中，每个小正方形的边长为1，过格点A、B、C作一圆弧，则圆弧所在圆的半径是 ． 33．如图，某铜镜残片呈圆弧形，测得圆弧的两端A，B之间的距离为，上的点到弦的最大距离为． (1)用无刻度的直尺和圆规作出铜镜残片所在圆的圆心； (2)求该铜镜所在圆的半径． 题型十二 确定圆心（尺规作图） 34．在矩形中，以为圆心，长为半径画弧，交于点，以为圆心，长为半径画弧，交于点，若，，则（    ） A．1 B． C． D． 35．已知△ABC中，∠BAC=90°，用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC分成两个相似的三角形，其作法不正确的是 ．（填序号）  36．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． (1)用直尺和圆规作出的外接圆，保留作图痕迹． (2)以边的中点O为旋转中心，将按逆时针方向旋转，得到，请画出． 1 学科网（北京）股份有限公司 $