精品解析：北京市西城区北京师范大学附属实验中学2025-2026学年下学期九年级数学周练习5

初三下数学综合练习5 一、选择题（每题2分，共16分） 1. 熔喷布，俗称口罩的“心脏”，是口罩中间的过滤层，能过滤细菌，阻止病菌传播．经测量，医用外科口罩的熔喷布厚度约为米，将用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 2. 在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图是某个几何体的平面展开图，该几何体是( ) A. B. C. D. 4. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，如果ab=c，那么实数c在数轴上的对应点的位置可能是(　　) A. B. C. D. 5. 如图，在同一平面内，将边长相等的正方形、正五边形的一边重合，则大小为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是半圆的直径，点，在半圆上．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，根据尺规作图的痕迹，给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 如图，为半圆O的直径，C，D是直径上两点，且，过点D作的垂线交半圆于点E，．给出下面四个结论：①；②；③；④．所有正确结论的序号是（ ） A. ①③ B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③ 二、填空题（每题2分，共16分） 9. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_______． 10. 分解因式：________． 11. 分式方程的解是_________． 12. 如图，反比例函数经过矩形的边中点D，则矩形的面积为_________． 13. 能说明命题“若，则”是假命题的一组实数a，b的值为_________，_________． 14. 小丽进行投掷标枪训练，总共投掷10次，前9次标枪的落点如图所示，记录成绩（单位：m），此时这组成绩的平均数是，方差是．若第10次投掷标枪的落点恰好在线上，且投掷结束后这组成绩的方差是，则________（填“”、“”或“”）． 15. 如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A，B，P，Q四点均在正方形网格的格点上，线段AB，PQ相交于点M，则图中∠QMB的正切值是___________ 16. 某社区有四处便民设施需要升级，升级每个设施需要一定数量的工人连续数天完成（每名工人每天的工作量相同）．升级每个设施所需的工人数（单位：人）和天数（单位：天）如下： 设施 A B C D 工人数 5 3 2 6 天数 3 5 6 2 社区计划聘用m人，用n天的时间完成所有升级工作． （1）若，则n的最小值是_________； （2）假设每名工人每天的工资为a元，且一旦聘用，在完成所有设施升级工作前，每天无论是否工作都要支付工资，不得中途辞退，则支付给工人的工资总额最少为_________元（用含a的式子表示）． 三、解答题（共68分，第17~22题每小题5分，第23-26题每小题6分，第27~28题每小题7分） 17. 计算：． 18. 解不等式组． 19. 已知，求代数式的值． 20. 如图，在菱形中，对角线，交于点O，过点A作的垂线，垂足为点E，延长到点F，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 21. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象与函数的图象的一个交点为． （1）求a值及一次函数的表达式； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于一次函数的值，直接写出n的取值范围． 22. 某公园计划用一块宽为13米的矩形空地（）规划50个停车位，为了尽量少占用土地面积，其中一侧停车位设置为垂直式（图中矩形等），另一侧设置为倾斜式（图中等），两侧停车区总长度相等，并在中间设置宽为4米的行车区以保证车辆正常出入，规划方案如图所示在不考虑停车位间隔线和车道间隔线的宽度情况下，求这块空地的长度．（图中）应该至少设计为多少米（精确到）．（） 23. 某校举办中华传统文化知识大赛，为了解答题情况，进行了抽样调查，从八、九两个年级各随机抽取20名学生，获取了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．八、九两个年级学生成绩的频数分布直方图如下（数据分成4组： ）： b．八年级学生的成绩在这一组的是： 80，82，84，85，86，87，87，87，87，87，89 c．八、九年级成绩的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 八年级 84.2 m 87 九年级 84.6 87.5 88 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中m的值； （2）从八年级抽取的成绩在的学生中随机挑选2名同学，则这2名学生的成绩都为87分的概率是_________； （3）该校八年级有240名学生，九年级有260名学生参加了比赛．估计八、九两个年级成绩在的人数一共为_________； 24. 如图，为的弦，为的中点，为延长线上一点，与相切，切点为，连接并延长，交于点，交直线于点． （1）求证：； （2）若，求的半径． 25. 如图，在矩形中，，，点P是边上一动点，连接，过点P作的垂线与，分别相交于点E，F． 小明对线段，的长度之间的关系进行了探究． 下面是小明的探究过程，请补充完整： （1）对于点P在边上的不同位置，画图、测量，得到了线段，的长度的几组值，如下表： 位置1 位置2 位置3 位置4 位置5 位置6 位置7 位置8 位置9 位置10 在，的长度这两个量中，确定_________的长度是自变量，_________的长度是这个自变量的函数； （2）①确定表格中m的值约为_________（结果精确到） ②在平面直角坐标系中，画出（1）中确定的函数的图象； ③结合函数图象，解决问题：当点P与点B，C不重合，且时，________（结果精确到）． 26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）直接写出顶点的坐标（用含m的代数式） （2）已知，为抛物线上两点，对于，，都有．记抛物线在P，Q之间的部分为图形G，若G上存在两个点A，B（A在B左侧），点沿图形G从A运动到B的过程中，s随t的增大而减小，求出m的取值范围． 27. 如图，在中与中，，，设，点E为线段的中点，连接交于K．若点F为线段上一点，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，点P恰好在线段上，连接，与线段交于点G，连接． （1）①依题意补全图形； ②求证：； （2）写出线段、、的数量关系并证明． 28. 在平面直角坐标系中，对于图形Q和，给出如下定义：若图形Q上的所有的点都在的内部或的边上，称的最小值为点P对图形Q的可视度，此时点P为图形Q的可视点． （1）已知点．在点中，对线段的可视度的点是_________； （2）已知：点．直线上存在点F，使得点F对四边形的可视度，求b的取值范围； （3）已知点，圆T的半径为1，若直线上存在长为1的线段，使得上所有点都是圆T的可视点P，且点P对于圆T的可视度满足，直接写出t的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三下数学综合练习5 一、选择题（每题2分，共16分） 1. 熔喷布，俗称口罩的“心脏”，是口罩中间的过滤层，能过滤细菌，阻止病菌传播．经测量，医用外科口罩的熔喷布厚度约为米，将用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的一般形式为，其中，为原数左边起第一个不为零的数字前面的个数，据此解答即可． 【详解】解：． 2. 在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意. 3. 如图是某个几何体的平面展开图，该几何体是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由平面图形的折叠及三棱柱的展开图的特征作答． 【详解】由侧面是3个矩形，上下为2个三角形，可得该几何体为三棱柱 故选：D． 【点睛】此题主要考查了几何体的展开图，熟记常见立体图形的平面展开图的特征是解决此类问题的关键． 4. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，如果ab=c，那么实数c在数轴上的对应点的位置可能是(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据数轴上点的位置，可得a，b，根据有理数的乘法，可得答案． 【详解】由数轴，得 ﹣1＜a＜0，0＜b＜1， ∴﹣1＜ab＜0， ﹣1＜c＜0． 故选：B． 【点睛】本题考查了实数与数轴，利用有理数的乘法是解题关键． 5. 如图，在同一平面内，将边长相等的正方形、正五边形的一边重合，则大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出正五边形和正方形的每个内角的度数，再求出大小即可． 【详解】解：正五边形的每个内角为，正方形的每个内角为， 由于边长相等的正方形、正五边形的一边重合， 则． 6. 如图，是半圆的直径，点，在半圆上．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意易得∠ACB=90°，则有∠A=40°，然后根据圆内接四边形的性质可求解． 【详解】解：∵是半圆的直径， ∴∠ACB=90°， ∵， ∴∠A=40°， ∵四边形ABDC是圆内接四边形， ∴， ∴； 故选D． 【点睛】本题主要考查圆周角及圆内接四边形的性质，熟练掌握圆周角及圆内接四边形的性质是解题的关键． 7. 如图，在中，根据尺规作图的痕迹，给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】由作图方法可知，垂直平分，平分，则，，再由等边对等角可推出，由角平分线的性质得到点E到的距离等于点E到的距离，结合三角形的面积公式可得，若成立，可得到，推出，但题目中并未给出这个条件，据此可得答案． 【详解】解：由作图方法可知，垂直平分，平分， ∴，，故①正确； ∴， ∴，故②正确； ∵平分， ∴点E到的距离等于点E到的距离， 设点E到的距离为h，则，故④正确； 若成立，那么， 又，， ∴， ∴，但题目中并未给出这个条件，故③错误； ∴正确的有①②④，共3个． 8. 如图，为半圆O的直径，C，D是直径上两点，且，过点D作的垂线交半圆于点E，．给出下面四个结论：①；②；③；④．所有正确结论的序号是（ ） A. ①③ B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理、解直角三角形、线段和差关系，熟练掌握相关知识是解题的关键． 连接、、、，根据题意易得到，根据勾股定理求出长，进而得到；在中，，即；先求出、的长，再判断即可；在和中，根据勾股定理求出、，据此判断即可． 【详解】解：连接， 为半圆O的直径， ， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 故①正确； 连接， 在中，， ， ， ， 故②错误； 、， 、， ， 故③正确； 连接， 在中，由勾股定理得： ， ， 在中，由勾股定理得： ， ， 故④正确； 综上所述，正确的有①③④． 二、填空题（每题2分，共16分） 9. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件；二次根式有意义的条件是被开方数要大于等于0，即，据此求解即可. 【详解】解：若在实数范围内有意义，则， 解得. 故答案为：. 10. 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，先提出公因数3，再利用完全平方公式进行因式分解，即可求解． 【详解】解：． 故答案为： 11. 分式方程的解是_________． 【答案】 【解析】 【详解】解： 方程两边同乘得： 去括号得： 移项、合并同类项得： 系数化为得： 检验：当时，， 因此，是原分式方程的解． 12. 如图，反比例函数经过矩形的边中点D，则矩形的面积为_________． 【答案】3 【解析】 【分析】设点坐标为，其中，进而得到、，根据线段中点的性质得到，据此求解即可． 【详解】解：设点坐标为，其中， ∵四边形为矩形， ∴， 、， 点D是边的中点， ， 矩形的面积为． 13. 能说明命题“若，则”是假命题的一组实数a，b的值为_________，_________． 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】要说明已知命题是假命题，需找到一组反例，即满足且的实数a，b，据此求解即可． 【详解】解：由于“若，则”是假命题， 则取、，此时，但， 即满足，但不满足， 则、（答案不唯一）． 14. 小丽进行投掷标枪训练，总共投掷10次，前9次标枪的落点如图所示，记录成绩（单位：m），此时这组成绩的平均数是，方差是．若第10次投掷标枪的落点恰好在线上，且投掷结束后这组成绩的方差是，则________（填“”、“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查方差，熟练掌握方差的意义是解题的关键．根据方差的意义即可得到答案． 【详解】解：设这组数据为前9个数分别为， 由题意可知，， ； 根据方差越小越稳定，即前九次波动较大， ， 故答案为：． 15. 如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A，B，P，Q四点均在正方形网格的格点上，线段AB，PQ相交于点M，则图中∠QMB的正切值是___________ 【答案】2 【解析】 【分析】利用平移的方法将AB进行平移，然后结合平行线的性质，以及勾股定理的逆定理和正切函数的定义求解即可． 【详解】解：如图，将AB平移至CQ，连接PC， 则AB∥CQ，∠QMB=∠CQP， 由题意，，，， ∵， ∴△PCQ为直角三角形，∠PCQ=90°， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题考查求角的正切值，掌握正切函数的定义，灵活运用平移的方法和性质构造适当的直角三角形是解题关键． 16. 某社区有四处便民设施需要升级，升级每个设施需要一定数量的工人连续数天完成（每名工人每天的工作量相同）．升级每个设施所需的工人数（单位：人）和天数（单位：天）如下： 设施 A B C D 工人数 5 3 2 6 天数 3 5 6 2 社区计划聘用m人，用n天的时间完成所有升级工作． （1）若，则n的最小值是_________； （2）假设每名工人每天的工资为a元，且一旦聘用，在完成所有设施升级工作前，每天无论是否工作都要支付工资，不得中途辞退，则支付给工人的工资总额最少为_________元（用含a的式子表示）． 【答案】 ①. 9 ②. 【解析】 【分析】（1）分别求出先做A、B和先做C、D时需要的最小天数，比较即可得到答案； （2）根据D所需要的工人数为6可知，，讨论m的值，确定最小的天数，计算出对应情形下支付给工人的工资总额，比较即可得到答案． 【详解】解：（1）先派5人做A，3人做B，那么前3天可以完成A，前五天可以完成B，第4天开始，做完A的5人中派2人去做C，第6天开始做完B的3人和做完A的剩下3人去做D，第9天可以完成C，第9天可以完成D，此时n的最小值为9； 先派2人做C，6人做D，那么前6天可以完成C，前2天可以完成D，第3天开始做完D的6人中派3人去做B，那么第7天可以完成B，第7天开始派做完C的人和做完D的6人中剩下的2人去做A，第9天可以完成A，此时n的最小值为9； 综上所述，n的最小值为9； （2）根据D所需要的工人数为6可知，， 当时，需要的最小天数为天，支付给工人的工资总额为元， 当时，需要的最小天数为天，支付给工人的工资总额为元， 当时，需要的最小天数为天，支付给工人的工资总额为元， 当时，需要的最小天数为天，支付给工人的工资总额为元， 当时，需要的最小天数为天，支付给工人的工资总额为元， 当时，需要的最小天数一定不会比6小，则支付给工人的工资总额一定不低于元， ∵， ∴支付给工人的工资总额最少为元． 三、解答题（共68分，第17~22题每小题5分，第23-26题每小题6分，第27~28题每小题7分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 18. 解不等式组． 【答案】 【解析】 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 因此，不等式组的解集为． 19. 已知，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】根据平方差公式、提取公因式法化简所求式子，将代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： ， ∵，∴， 则原式． 20. 如图，在菱形中，对角线，交于点O，过点A作的垂线，垂足为点E，延长到点F，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是菱形， ∴，且， ∵， ∴， 即， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． （2） 【解析】 【分析】（1）证明，且，，可得，证明四边形是平行四边形，结合，可得结论； （2）证明，，，可得，求解，可得，结合，再求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， 在中，由勾股定理可得：∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，熟记特殊四边形的判定与性质是解本题的关键． 21. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象与函数的图象的一个交点为． （1）求a值及一次函数的表达式； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于一次函数的值，直接写出n的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先将交点A的坐标代入反比例函数求出a的值，再把A点坐标代入一次函数求出k，进而得到一次函数解析式； （2）先求出一次函数与反比例函数的交点，再根据时函数值的大小关系，结合特殊点的函数值确定n的取值范围． 【小问1详解】 解：将点代入， 得：， 解得， ∴， 将点代入， 得：， 解得， ∴一次函数的解析式为． 【小问2详解】 解：联立与， 得：，解得或， ∴一次函数的图象与函数的图象的交点为，， 如图，作一次函数的图象和函数的图象， ∵当时，，， ∴当直线过点时，， ∴， 当直线过点时，， ∴， ∵当时，对于x的每一个值，函数的值都大于函数的值，且小于一次函数的值， ∴n的取值范围是． 22. 某公园计划用一块宽为13米的矩形空地（）规划50个停车位，为了尽量少占用土地面积，其中一侧停车位设置为垂直式（图中矩形等），另一侧设置为倾斜式（图中等），两侧停车区总长度相等，并在中间设置宽为4米的行车区以保证车辆正常出入，规划方案如图所示在不考虑停车位间隔线和车道间隔线的宽度情况下，求这块空地的长度．（图中）应该至少设计为多少米（精确到）．（） 【答案】86m 【解析】 【分析】利用几何图形中的边角关系，求出倾斜式停车位的水平间距以及单个倾斜车位的水平投影长度，再通过“两侧停车区总长度相等”这一条件建立方程，求出倾斜车位和垂直车位的数量，进而计算出空地的总长度，最后根据“至少”的要求进行取整． 【详解】解：如图，过点作于点T， 由，，，， ∴， 在中，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， 设倾斜车位有x个，则垂直车位有个， 由两侧停车区总长度相等，得：， 解得：， ∴垂直停车位有34个，停车区长度为：， 倾斜停车区长度为：， ∴空地长度应至少设计为． 23. 某校举办中华传统文化知识大赛，为了解答题情况，进行了抽样调查，从八、九两个年级各随机抽取20名学生，获取了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．八、九两个年级学生成绩的频数分布直方图如下（数据分成4组： ）： b．八年级学生的成绩在这一组的是： 80，82，84，85，86，87，87，87，87，87，89 c．八、九年级成绩的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 八年级 84.2 m 87 九年级 84.6 87.5 88 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中m的值； （2）从八年级抽取的成绩在的学生中随机挑选2名同学，则这2名学生的成绩都为87分的概率是_________； （3）该校八年级有240名学生，九年级有260名学生参加了比赛．估计八、九两个年级成绩在的人数一共为_________； 【答案】（1）； （2） （3）126人 【解析】 【分析】（1）根据中位数的计算方法进行求解即可； （2）分别用1，2，3，4，5，6表示6位同学，其中号表示的学生的成绩均为87，6号表示的学生的成绩为89，利用列举法求概率即可； （3）利用样本估计总体进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵共抽取20名学生， ∴将数据排序后，第10个和第11个学生的成绩分别为和， ∴； 【小问2详解】 解：分别用1，2，3，4，5，6表示6位同学，其中号表示的学生的成绩均为87，6号表示的学生的成绩为89，则随机抽取2人，共有，15种等可能的结果，其中满足要求的共有10种等可能的结果， ∴； 【小问3详解】 解：（人）； 答：估计八、九两个年级成绩在的人数一共为126人． 24. 如图，为的弦，为的中点，为延长线上一点，与相切，切点为，连接并延长，交于点，交直线于点． （1）求证：； （2）若，求的半径． 【答案】（1） 证明：连接，， ， ， 与相切， ， ， ， 是等腰三角形， 为的中点， ， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）由切线的性质可得，由余角的性质可求解； （2）设的半径为r，先证明，可得，再解三角形求出，然后列方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设的半径为r． ∵O为的中点，C为的中点， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中． ． 在中，． ∴． ∵， ∴， 化简，得， 解得， 经检验，是原方程的解． ∴的半径为． 25. 如图，在矩形中，，，点P是边上一动点，连接，过点P作的垂线与，分别相交于点E，F． 小明对线段，的长度之间的关系进行了探究． 下面是小明的探究过程，请补充完整： （1）对于点P在边上的不同位置，画图、测量，得到了线段，的长度的几组值，如下表： 位置1 位置2 位置3 位置4 位置5 位置6 位置7 位置8 位置9 位置10 在，的长度这两个量中，确定_________的长度是自变量，_________的长度是这个自变量的函数； （2）①确定表格中m的值约为_________（结果精确到） ②在平面直角坐标系中，画出（1）中确定的函数的图象； ③结合函数图象，解决问题：当点P与点B，C不重合，且时，________（结果精确到）． 【答案】（1）； （2）①； ②函数图像如下： ③ 【解析】 【分析】（1）根据函数的定义解答即可； （2）①根据矩形的性质，结合，易证明，进而得到，即，据此解答即可；②根据表格信息，在坐标系中描点，画出图象即可；③将代入，解方程即可． 【小问1详解】 解：由表格可知，在、的长度这两个量中，确定的长度是自变量，的长度是这个自变量的函数； 【小问2详解】 解：①四边形是矩形， 、， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当时，， 即； ②略 ③由①知，， 当时，， 解得或（舍去）， ． 26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）直接写出顶点的坐标（用含m的代数式） （2）已知，为抛物线上两点，对于，，都有．记抛物线在P，Q之间的部分为图形G，若G上存在两个点A，B（A在B左侧），点沿图形G从A运动到B的过程中，s随t的增大而减小，求出m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将抛物线一般式变为顶点式即可得出顶点坐标； （2）先根据已知条件并结合求出m的初步取值范围，然后根据抛物线的性质分析图形G上s随t的变化情况，进而确定m的最终取值范围． 【小问1详解】 解：， ∴顶点坐标为． 【小问2详解】 解：∵， ∴点P必在对称轴右侧， 又∵G上存在A、B两点，T在从A到B的过程中，s随t的增大而减小， ∴点Q需要在对称轴左侧， ，即， ∴抛物线与轴的交点在对称轴左侧， 如图，作点P关于直线的对称点， ∵函数图象开口向上，时，y随x的增大而减小，且， ， 即． 27. 如图，在中与中，，，设，点E为线段的中点，连接交于K．若点F为线段上一点，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，点P恰好在线段上，连接，与线段交于点G，连接． （1）①依题意补全图形； ②求证：； （2）写出线段、、的数量关系并证明． 【答案】（1） ①补全的图形如图所示； ②设，则， ， 在中，E为中点， ， ， 在中， ， ， ， ； （2）， 理由如下： 由（1）知，， ， 由旋转的性质可知，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 、， ， ， ， 为中点， 为中点， ． 【解析】 【分析】（1）①在上找一点，以点E为圆心，为半径画弧交于F，连接，交线段于点G，连接； ②设，则，根据直角三角形斜边中点的性质得到，进而得到，在中，求出的度数，进而得到； （2）根据题意易证明，进而得到，根据等腰三角形的性质得到，再利用直角三角形的性质得到，进而得到，利用三角形中位线的性质得到，从而得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查旋转的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 28. 在平面直角坐标系中，对于图形Q和，给出如下定义：若图形Q上的所有的点都在的内部或的边上，称的最小值为点P对图形Q的可视度，此时点P为图形Q的可视点． （1）已知点．在点中，对线段的可视度的点是_________； （2）已知：点．直线上存在点F，使得点F对四边形的可视度，求b的取值范围； （3）已知点，圆T的半径为1，若直线上存在长为1的线段，使得上所有点都是圆T的可视点P，且点P对于圆T的可视度满足，直接写出t的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，圆周角定理，直线与圆的位置关系，锐角三角函数； （1）根据定义判断是否等于即可； （2）若在线段上方，且时，要使得，在以为圆心，为半径的弧上；若在线段上方，且时，要使得， 在以为圆心，为半径的弧上；再根据对称性可得出点的可行区域，要使得直线上存在点，只需要与点的可行区域有交点即可，据此即可求出b的取值范围； （3）对于半径为1的，若点对于的可视度满足时，分别过点作的切线，，即时，，得出点在以为圆心，与为半径的圆环内（包括边界），然后讨论一条长为1的线段刚好卡在圆环上的临界状态，据此可求出到直线距离的范围，据此即可求出t的取值范围． 【小问1详解】 解：如图，连接，，，，，， ∵点，， ∴轴，轴， ∴，，，，， ∴， ∴是等边三角形，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴，对线段的可视度为，对线段的可视度不是． 【小问2详解】 解：①若在线段上方，且时，要使得，由圆周角定理可知在以为圆心，为半径的弧上； ∵圆心角， ∴圆周角， ②若在线段上方，且时，要使得，由圆周角定理可知在以为圆心，为半径的弧上； ∵圆心角， ∴圆周角， 根据对称性与中心对称，将弧与弧组成的图案顺时针依次旋转、、所得到的图案，即为对四边形的可视度的点的可行区域，如下图所示， 要使得直线上存在点，只需要与点的可行区域有交点即可， ∴当与上的弧相切于点时， ∴， ∴， 又∵点在第二象限， ∴， 将代入得：， 解得：， 根据中心对称当与上的弧相切于点时，此时， 将代入得：， 解得：， 综上所述，． 【小问3详解】 解：对于半径为1的，若点对于的可视度满足时，分别过点作的切线，，即， 当时，如左图所示， ∵，，， ∴四边形是正方形， ∴此时， 当时，如右图所示， ∵，，， ∴平分，即， ∴此时， ∴当点对于的可视度满足时，， ∴点在以为圆心，与为半径的圆环内（包括边界）， ∴上所有点都是的可视点P，且点P对于的可视度满足，那么必定在这个圆环之内， ∴我们来讨论一条长为1的线段刚好卡在圆环上的临界状态： ①点在半径为2的上，点在半径为的上，此时过点作，如图所示， 设，则， ∵，， ∴，解得， ∴， ②分别在半径为2的上，如图所示， ∴此时由垂径定理可得， ∴， 综上所述，到直线距离需要满足， ∵直线与轴交于， ∴到直线距离， ∴，解得或， 综上所述，t的取值范围为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $