6.2.4 第2课时 组合数的性质及应用-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂课时作业（人教A版）

第六章计数原理 课时作业乡 数课时 第2课时 组合数的性质及应用 学作业 纠错空间 [基础过关] 6.(多选)从7名男生和5名女生中选4人 1.某乒乓球队有9名队员，其中2名是种 参加夏令营，规定男、女生至少各有1 子选手，现在挑选5名选手参加比赛， 个参加，则不同的选法总数应为( 种子选手必须在内，那么不同的选法 A.CCo 共有 ( B.CC+CC+CC A.26种 B.84种 C.C12-C1-C C.35种 D.21种 D.CC (C+CC+C) 2.以一个正三棱柱的顶点为顶点的四面 7.从6男2女共8个学生中选出队长 体有 ( ) 1人，副队长1人，普通队员2人组成4 A.6个 B.12个 人服务队，要求服务队中至少有1名女 C.18个 D.30个 生，共有 种不同的选法.（用数 3.2025年第9届亚冬会将在哈尔滨举办， 学作答) 某校的五位同学准备前往哈尔滨冰雪 8.将4名大学生分配到3个乡镇去当村 文化博物馆、群力音乐公园、哈尔滨极 方法总结 官，每个乡镇至少一名，则不同的分配 地公园三个著名景点进行打卡，已知每 方案有 种（用数字作答）. 个景点至少有一位同学前往，并且每位 9.有四个不同的场馆A,B,C,D,甲、乙2人 同学只能选择其中一个景点，若学生甲 每人选2个去参观，求恰有一个场馆相同 和学生乙必须选同一个景点，则不同的 的概率为 选法种数是 ( 10.12件产品中有3件次品，9件正品，从 A.18 B.36 C.54 D.72 中抽取5件. 4.200件产品中有3件次品，任意抽取5 (1)5件中没有次品的取法有多少种？ 件，其中至少有2件次品的抽法有 (2)5件中有2件次品的取法有多 ( 少种？ A.C,·Cg B.CgCg,十CCg C.Co-Cigz D.Coo-CCi97 5.（多选)下列关系中能成立的是( A.CC B.C- n！ (n-m)！m! C.m! D.Am+mA"=A ·169· 世五维课堂 数学·选择性必修第三册 11.已知∠AOB的边OA上有5个点，边 (2)若选中的4名航天员需分配到A, OB上有6个点，用这些点和O点为顶 B,C三个实验室去，其中每个实验室 间 点，能构成多少个不同的三角形？ 至少一名航天员，共有多少种选派方 纠错空间 式？（结果用数字作答） [能力提升] 12.有12名划船运动员，其中3人只会划左 舷，4人只会划右舷，其他5人既会划左 舷又会划右舷，现要从这12名运动员中 选出6人平均分在左、右舷参加划船比 赛，则不同的选法共有 ) [素养培优] A.1860种 B.2174种 14.有编号为1,2,3,4的四张不同的卡 方法总结 C.2354种 D.2651种 片，按照下列要求处理，各有几种 13.北京时间2024年10月30日4时27 方法？ 分，搭载神舟十九号载人飞船的长征 (1)甲得2张，乙得2张； 二号F遥十九运载火箭在酒泉卫星发 射中心点火发射.“神箭”再起新征程， 奔赴浩瀚宇宙.为了此次航天任务，准 备从7名预备队员中（其中男4人，女 3人)中选择4人作为航天员参加该次 任务. (1)若至少有一名女航天员参加此次 航天任务，共有多少种选法？（结果用 (2)平均分成2堆，每堆2张， 数字作答) ·170·参考答案 14.解：(1)可分两步完成：第一步，先选r,因为r>0,则r 有Ag种选法，第二步，再选a,b,在剩余8个数中任取2 个，有A。种选法，所以由分步乘法计数原理可得有 A8·A=448(个)不同的圆. (2)圆(x-a)2+（y-b)2=r2经过原点，a,b,r满足 a2+b=r2,满足该条件的a,br共有3,4,5与6,8,10 两组，考虑a,b的顺序，有A好种情况，所以符合题意的 圆有2A=4(个. (3)圆心在直线x十y一10=0上，即满足a十b=10,则 满足条件的a,b有三组：0,10：3,7：4,6. 当a,b取10,0时，r有7种情况， 当a,b取3,7；4,6时，r不可取0，有6种情况， 考虑a,b的顺序，有A2种情况， 所以满足题意的圆共有AA;十2AA6=38(个). 6.2.3组合 6.2.4组合数 第1课时组合与组合数 1.AC[A.2名学生完成的是同一件工作，没有顺序，是组 合问题.B.2名学生完成两件不同的工作，有顺序，是排 列问题.C.单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比 赛，没有顺序，是组合问题.D.冠亚军是有顺序的，是排 列问题.」 2.B[三张票没区别，从10人中选3人即可，即C。.] 3.B[由题意知n（n-1)(n-2)=6· nn-1)n-2)n-3),化简得”-3=1， 4×3×2×1 4 所以n=7.] 4.C[第一步，为甲地选1名女教师，有C2=2(种)选法； 第二步，为甲地选2名男教师，有C=6(种)选法；第三 步，剩下的3名教师到乙地，故不同的安排方案共有2X 6×1=12(种)，故选C.] 5.BD[由组合数的性质得：C89+C89=C0=C8o.] 6.ACD[借助组合数的定义，逐项计算即可得，对A: C2C=2×6种=12种，故A正确； 对B:C2Cg=2X3种=6种，故B错误；对C:C2(C2C2+ C号)=2×(4十1)种=10种，故C正确； 对D:C2Cg十C9C=2×2种+1×1种=5种，故D 正确.] 7解析：由题喜可知共有G-淡8-81〔升)不问的选法。 答案：84 8.解析：C8+C8C7=Cg+Cio×1 -8x81+129x9-56+4950=506. 2×1 答案：5006 9.解析：m=C,n=A,.m:n=1:2. 答案：1：2 10.解：由已知得2C5=C十C, n！ n！ n! 所以2·51(0-51-41(m-4十61(m-6 整理得n2-21n十98=0， ·21 课时作业乡 解得n=7或n=14. 要求C2的值，故n≥12， 所以n=14, 于是C=C4=91. 11.解：(1)小组赛中每组6队进行单循环比赛，就是6支球 队的任两支球队都要比赛一次，所需比赛的场次即为 从6个元素中任取2个元素的组合数，共有两组，所以 小组赛共要比赛2C8=2×65=30(场). 2 (2)半决赛中甲组第一名与乙组第二名（乙组的第一名 与甲组的第二名)主客场各赛一场，所以半决赛共要比 赛2A经=2×1×2=4（场）. (3)决赛只需比赛一场，即可决出胜负. 所以全部赛程共需比赛30+十4十1=35（场）. 12.解析：因为1≤m<n≤5，所以Cm可以是C2,Cg,C号， C4,C,C,C,C,C,Cg,计算可知C=C,C4=C,Cg =Cg,C=C,故x2十C”y2=1能表示6个不同的 椭圆. 答案：6 13.解：(1)本题实质上是从52个元素中任选13个元素作 为一组的组合问题，共有C种不同的可能.即一名参 赛者可能得到C手不同的牌。 (2)需分两步： 第1步，根据经纪人的推荐在12种股票中选8种，共有 C2种选法； 第2步，根据经纪人的推荐在7种债券中选4种，共有 C种选法. 根据分步乘法计数原理，此人有C2·C=17325(种) 不同的投资方式 14.证明：因为(k+1)C+1+C n！ n! =(k+1)+1D1m-(k+1)+灰！(n- n! n！ 1n-6+1D+k1- -+红是 n！ =n·n!-k·n!十k·nl k!(n-k)！ n·n！ k!（nP=nC, 所以nC=(k十1)C+1十kC, 第2课时组合数的性质及应用 1C[从7名队黄中选出3人有心=淡=85（种） 选法. 2.B[从6个顶，点中任取4个有C。=15(种)取法，其中四 点共面的有3种，所以满足题意的四面体有15一3 =12(个).] 5 巴五维课堂 3.B[若甲、乙选的景点没有其他人选，则分组方式为：1， 2,2的选法总数为：CA=18,若甲，乙选的景点还有其 他人选择，则分组方式为：，1,3的选法总数为：SA =18,所以不同的选法总数为：18十18=36.] 4.B[至少2件次品包含两类：(1)2件次品，3件正品，共 CC,种，(2)3件次品，2件正品，共CC,种，由分类加 法计数原理得抽法共有C号C,十CC,·] 5.BCD[对于A,令n=3,m=1,可得等式C=子C不 成立，故A错误； 对于B,由组合数的计算公式知 n！ C=(m-m1m,故B正痛： 对于C,由排列数与组合数的定义知A n! C m!(n一m)L=ml,故C正确； n! 对于D,A+mA1=m”m+m一m+ n! m·n! 一A心故D正境 故选BCD.] 6.BC[法一（直接法）：分三类：3男1女，2男2女，1男3 女，所以男、女生至少各有1人参加的选法总数为CC +C2C+CC. 法二（间接法）：任选4人的方法数为C2,减去其中全部 为男生或全部为女生的方法数C十C,故不同的选法总 数应为C2一C一C.经检验，A,D不正确，故选BC.] 7.解析：分两步： 第1步，选出4个，由于选出的人中至少有1名女生，故 不同的选法种数为Cg一C%=55; 第2步，从4人中选出队长、副队人各1人，不同的选法 种数为A=12. 根据分步乘法计数原理知，不同的选法种数为55×12 =660. 答案：660 8.解析：分两步完成：第一步，将4名大学生按2,1,1分成 三组，其分法有C·C·C种；第二步，将分好的三组分 A 配到3个乡镇，其分法有A种.所以满足条件的分配方 案有C·C·C.A=36(种). A 答案：36 9.解析：P=CA=2 C3 答案：号 10.解：(1)5件中没有次品的取法就是从9件正品中取5 件的取法，有C=126种. ·21 数学·选择性必修第三册 (2)第一步，先从3件次品中取2件，有C种取法； 第二步，从9件正品中取3件，有C8种取法 利用分步乘法计数原理，知共有CC=252种取法. 11.解：法一：以O为三角形顶点，其余两顶点分别在OA 和OB上取，能构成Cg·C=30(个)三角形； O不为顶点，又可分两类：第一类，在OA上取两点，OB 上取一点： 第二类，在OA上取一点，OB上取两点」 则能构成C%·C6+C·C%=10×6+5×15=135(个) 三角形. 因此，能构成不同的三角形共有30十135=165（个）； 法二：12个点中任取3个点的取法有C2种，其中，不能 构成三角形的三，点有两类；从OA上6个点中任取三点 或从OB上7个点中任取三点，分别有C和C个，因 此，能构成不同的三角形共有： C12-C8-C=220-20-35=165(个). 12.B[设集合A={只会划左舷的3人}， B={只会划右舷的4人}， C={既会划左舷又会划右舷的5人}.先分类，以集合 A为基准，被选出划左舷的3个人中，有以下几类情况： ①A中有3人；②A中有2人，C中有1人；③A中有1 人，C中有2人；④C中有3人 第①类情况中，由于划左舷的人已选定，划右舷的人可 以在集合B,C中选3人，有C种选法，同理可得第② ③④类情况的选法种数.故不同的选法共有CC。十 C号CgC+CCC+C9CgCg=2174(种).] 13.解析：(1)由题意，分成3种情况讨论：只有1名女性，共 有CgC=12种选法，有2名女性，共有C好C=18种选 法，有3名女性，共有CC=4种选法，所以共有12种 十18种十4种=34种选法，即至少有一名女航天员参 加此次航天任务，共有34种选法； (2)由题意，先选4名航天员，然后分为2,1,1的三组， 然后分配到A,B,C实验室，共有C×CCXA A 1260种方法.所以每个实验室至少一名航天员，共有 1260种选派方式. 14.解：(1)甲先拿两张卡片，有C=6(种)；乙再拿时，只有 从剩下的两张卡片中取两张，有C=1(种)，故利用分 步乘法计数原理可得CC=6(种).可列出所有分法： 甲乙 1234 1324 1423 2314 2413 3412 6· 参考答案 (2)把这四张不同的卡片平均分成2堆，与把这四张不 同的卡片平均分给甲、乙二人是不同的，如甲得编号为 1,2的两张卡片，乙得编号为3、4的两张卡片，与甲得 编号为3、4的两张卡片，乙得编号为1、2的两张卡片是 不同的分法，但若编号为1、2的两张看成一堆，编号为 3、4的两张看成一堆，上面的两种情况实质是一种平均 分成两堆的分法，所以将四张不同卡片平均分给甲、乙 两人，每人2张，相当于把四张不同卡片平均分成2堆 后，再把每次分得的2堆分给甲、乙两人.设平均分成2 堆的方法有工种，则：x·A是将四张不同的卡片平均 分给甲、乙两人的分法，由(1)知：CC=x·A,所以x CC=3(种. A 6.3二项式定理 6.3.1二项式定理 1.C[因为(a十b)”的展开式共有n十1项，而(x十2)"的展开 式共有12项，所以n=11,故选C.] 2.B[(忙-)'的展开式的通项为T4=C, (-1)'x=(-1)rCx0-”,令10-3r=4,r=2,∴x的系 数为C=10.] 3.C[二项展开式第m项的二项式系数为C] 4A[工=C(合 (-2) =C2-5(-2)x5-y', 当r=3时，系数为C23-5(-2)3=-20.故选A.] 5.ABC[二项展开式的通项为T+1= C()广=(-1C·产，根据常数项是15， 可得2n=3k,且(-1)·C=15,验证n=6时，k=4符合题 意，故选ABC.] 6.ABC[令x=-1得(-1-1)5=a,即a=-32,故A正 确.令x=0得(-1)5=a十a1十…十a5,即a十a1十…十a5 =-1,故D不正确.令x十1=y,则(x-1)5=a十a1(x十1) +a2(x+1)2+…十a(x+1)5就变为(y-2)5=a+a1y十 a2y十…十a5y,根据二项式定理知，a2为二项式(y-2)5展 开式中y项的系数，T,+1=CGy(-2y,故a2=Cg·(-2)3 =-80,B正确.a4=C6(-2)'=-10,a3=C号(-2)2 =40.故C正确.故选ABC.] 1:解析：(：-)广展开式的逼项为 T=Cxy（-)厂=(-1rCx-“ 令12一4r=0,则r=3,所以常数项为 T4=(-1)3C=-4. 答案：一4 8解析：(+子)》 的展开式的通项为 ·21 课时作业马 当6,3=0时，r=2, 2 此时常数项为C号=15. 当6,3”为整教时，对应的项为有理项。 2 因为r∈N且r6,所以r可取0,2,4,6，故共有4项为 有理项. 答案：154 9.解析：法一：（双通项法）(1一√)6的展开式的通项为 C·(-√)m=C(-1)”x艺，(1十√)的展开式的通 项为C(W元)”=Cx,则(1-√元)(1十√x)的展开式 的通项为Cg(-1)mCx罗+号，其中m=0,1,2,…,6,n= 0,1,2,3,4.令受+=1，得m+n=2,于是(1-@)(1 十√元)4的展开式中x的系数等于Cg·(一1)°·C十C ·(-1)1·C4+C%·(-1)2·C9=-3. 法二：(1-√)(1十√元)4=[(1-√)(1十)]4(1 √E)2=(1-x)(1-2√E+x). 于是(1-√元)(1十√)的展开式中x的系数为C· 1+ C·(-1)1·1=-3. 答案：-3 10.解：法一：直接利用二项式定理展开并化简. (2x-)广=C(2x)-c(2x)·是+cG2x ()-c2x·(2)+c2x·() c·()）’=32x-80r2+80-0+19- xxx7-xo 法二：先化简再展开。 (2x-2)广=[22x-0]=-1-2xy 高[1-G·2x+g(2xy-c(2x2+ C(2x3)4-C(2x3)5] =-16+10-40+80-80x2+32x. x I 1.解：)因为T=C回（是）=4C宁， =C@(-2)=-2C学， 依题意得4C+2C=162, 所以2C%+C=81, 所以n2=81,即n=9. (2②设第+1项含，则工+1=CW回()】 =(-2)rC5x学， 所以9,3r=3,r=1,所以第二项为含x的项， 2 T2=-2Cgx3=-18x3. 7