3.2.2函数的基本性质-奇偶性教学设计-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

《函数的基本性质——奇偶性》 单元教学设计说明 一、单元教学目标 （一）函数概念 1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用。了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域。 2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数，理解函数图象的作用。 3.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用。 （二）函数性质 1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大(小)值，理解它们的作用和实际意义。 2.结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义。 （三）幂函数 1.通过具体实例，结合 的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数。 二、单元教学重点 (1） 重点 1.建立“对应关系说”观点下用集合语言表述的函数概念，在此过程中培养学生的数学抽象素养。 2.函数的单调性、奇偶性。 3.五个幂函数的图象与性质。 (2） 难点 1.从不同的问题情境中提炼出函数要素，并由此抽象出函数概念；理解函数的对应关系。 2.增（减）函数的定义，利用增(减)函数的定义判断函数的单调性。 3.画的图象，并通过5个幂函数的图象概括出它们的共性。 三、单元课时安排 本单元教学约需8课时，具体分配如下(仅供参考)： 3.1函数的概念及其表示 约4课时 3.2函数的基本性质 约3课时 3.3 幂函数 约1课时 四、单元内容结构 课时教学设计理念 《普通高中数学课程标准(2020年修订版)》的课程基本理念中明确指出：高中数学课程以学生发展为本，提升学生数学学科核心素养，同时提出教学时要创设合适的教学情境，启发学生思考，并提倡独立思考、自主学习、合作交流等多种学习方式。作为课程的实施者，要能在教学实践中体现、实现课程的基本理念。因此本课时，我将以章建跃博士提出的“三个理解”作为主要的教学设计理念：即理解数学、理解学生、理解教学。理解数学，即梳理知识脉络、明晰数学本质、挖掘思想方法法，找寻核心素养发展的实施载体；理解学生，即学生已有的知识、方法、技能、经验基础，以及思维长点：理解教学，即发挥学生的主体性，设计培养思维、提升素养的情境与活动。 课时教学内容分析（含教材分析） “函数的奇偶性”为《普通高中教科书数学(必修第一册)》(人教A版)第3章“函数的概念与性质”第3.2.2节的内容。 本章首先学习函数的概念，进而研究函数的性质，在研究函数的单调性和奇偶性的基础上，通过具体的幂函数、指数函数，对数函数进一步巩固对函数性质的理解。其中，函数的奇偶性是函数的重要性质之一，从“形”的角度，函数的奇偶性揭示函数图象在整体上所具有几何特征：从“数”的角度，函数的奇偶性刻画函数自变量与函数值之间存在的一种特殊数量规律。用数量关系刻画函数图象的对称性，体现数形结合的思想。从研究方法上看，它延续函数单调性的研究思想和方法：用数量关系刻画函数的图象性质，是研究函数单调性的思想方法的又一次强化，为探究函数其他性质提供三种语言的研究路径，也是后续研究幂函数、指数函数，对数函数三角函数的基础。具有承上启下的作用。函数奇偶性无论是在知识还是能力方面对学生的教育都起着非常重要的作用，同时是数学美的集中体现。 课时学情分析 本节课的授课对象是万江中学普通班学生，在知识储备方面，他们已经学习过轴对称图形、中心对称图形以及它们的性质，对二次函数、反比例函数图象的对称性也有一定的了解；在数学方法方面，通过函数单调性的学习，具备用数量关系刻画函数图象上升或下降趋势的基本活动经验。在能力水平方面，对于具体函数，能够观察函数图象，描述图象的对称性，但是学生刚进入高中不久，对于用数学符号语言抽象概括得出概念的经历也是第二次，数学抽象能力较弱，将函数的图形特征转化为符号特征并抽象为数学概念存在较大困难。 课时教学目标（需体现学科核心素养的培养） 1.了解函数奇偶性的概念和几何意义；学会用符号语言和图像判断函数的奇偶性； 2.通过函数奇偶性概念的形成过程，培养了观察、归纳、抽象的能力，渗透数形结合、类比的数学思想，进一步体验研究函数性质三种语言的一般方法，发展学生的直观想象和数学抽象素养。 3.在学习过程中，通过视频与实物展示，感受数学与大自然之间密不可分，即它们都拥有对称美，体会数学语言独特的简洁之美，享受数学课堂上发现、思考、探索、归纳的学习乐趣。 课时教学重点、难点 一、教学重点 奇偶性的定义与奇偶性的判定 二、教学难点 函数奇偶性概念的探究与理解 课时教学资源（含教学媒体、工具、素材等） 多媒体PPT投影，实物展示，对称视频，几何画板。 课时教学过程（应包括教学步骤、教学活动、设计意图、组织形式等内容） 一、创设情境，设问激疑 问题1：欣赏视频，说出视频中有哪些对称现? 生：轴对称图形，还有中心对称图形. 师：通过展示视频里的实物与学生一起复习初中如何判断轴对称与中心对称. 【设计意图】从生活情境出发，拉近数学与实际生活的距离，让学生感受对称之美，调动学生的思维，激发学生的兴趣，提升学生直观想象思维. 问题2：辨析下列函数图像是哪类对称图形？ 生：图1图2是轴对称，图3图4是中心对称 师：通过函数图片实物对折，与翻转，让与学生说出图1图2是对称轴为y轴，图3图4关于原点中心对称 问题3：辨析函数 图像是哪类对称图形？ 生：犹豫答不出来 师：大家之所以感到为难，是因为不清楚这个函数的图像特征，就算我们通过描点把它的图画出来，也只是这个函数的草图.所以，仅从几何直观的角度来刻画这种对称性已经不能满足我们的需要了.因此，我们有必要从解析式即代数的角度来理解函数图像的对称性 【设计意图】这一环节的设计旨在打破学生形的思维定式，仅从形的角度分析对称不够准确，自然并合理地引发学生思考“究竟应该如何判断函数图像关于y轴对称？”让学生明白后续的概念学习究竟能解决什么问题。同时也体会到从数的角度分析对称的必要性与合理性。即利用函数的解析式进行研究。 二、复习回顾，借鉴方法 师： 如何从代数的角度来理解函数图像 的对称性？前面我们学习过用数学符号语言 刻画函数单调性能否从中寻找思路？ 问题4：回顾函数单调性的形成过程： · 图形特征（语言）：函数在的图像上升； 填表：观察自变量满足什么关系时，相应的函数值会有什么变化规律？ 0 1 2 3 4 5 ... 0 1 4 9 16 25 ... · 自然语言：当,随着自变量的增大，函数值也增大； · 符号语言：,当时，都有。 【设计意图】回顾函数单调性的探究过程；图像→表格(点)→解析式，并以此方法类比探究偶函数；强化研究函数性质的一般过程与方法,体会函数三种表示方式的差异[图像(不够精确)→表(不能穷尽所有点)→解析式(取任意值可以刻画所有点)],进而解释研究方法的形成过程，而且以图形语言，自然语言，符号语言三种学生在数学中经常接触的语言入手，使得探究路径自然、合理，更平易近人。 三、探究发现，建构概念 师：将刚才探究的函数单调性过程贴在黑板上，与同学们一起类比探究图像关于轴对称的符号语言。 问题5：请类比函数单调性的形成过程，完成三种语言的填写： 生：图形特征（语言）：函数图像关于y轴对称。 师：填表：观察自变量满足什么关系时，相应的函数值会有什么变化规律？ ... -3 -2 -1 0 1 2 3 ... 生：自然语言： 当自变量是一对相反数时，对应的函数值相等。 师追问：自变量是否具有一般性？ 师生活动：教师用“几何画板”演示中自变量互为相反数时，对应的函数值相等，并揭示函数关于轴对称的本质是图上的每一个点都是关于轴对称的，所以自变量具有一般性，即在定义域内恒成立。 生：符号语言： 师：我们就把具有这种符号语言的函数叫做偶函数。 【设计意图】类比函数单调性的三种语言路径，是探究偶函数的过程 指令明确，图形特征语言学生非常容易找出，所以在图形语言转自然语言的时候，进行了适当的引导，也就是自变量有什么关系，对应的函数值也有什么关系，这样的指导，能令学生直接把它的自然语言数出来，符号语言学生都能想到 ，对自变量具有一般性，借助了几何画板直观观察，揭示函数关于y轴对称的本质是图上的每一个点都是关于轴对称的，所以自变量具有一般性，即在定义域内恒成立，突破本节课偶函数概念上自变量x任意性的理解难点。 师生活动：一起朗读书本中偶函数的定义。 偶函数的定义： 一般的设函数的定义域为D,如果 ，那么函数叫做偶函数。 师：根据刚才的探究过程偶函数的图像有什么特征？ 生：图像关于轴对称。 师：那么我们刚才遇到的这个函数 是偶函数吗？ 问题6：函数 是偶函数吗？并把它的图像补充完整！ 师：按照偶函数的定义一步一步的在黑板展示解题过程格式, 加深学生对偶函数概念的理解，并补充好偶函数的图像，加深偶函 数的画图特点知道的图像,可以根据对称性画的图像。 生：在学案上做好笔记，加深偶函数概念理解与应用 【设计意图】本节设计是为了解决引入时遇到的如何判断函数 图像是哪类对称图形这个问题，呼应引入，同时加深了偶函数定 义的作用，让学生明白偶函数的定义是解决什么类的问题，加深对定义的理解，补充偶函数图像，强化学生图像关于轴对称的直观想象。 四、类比方法，自主探究 师：在黑板张贴出偶函数的探究过程，让学生类比着自主探究，并邀请一位同学回答下面问题： 问题7：请类比偶函数的形成过程，完成三种语言的填写： 生：图形特征（语言）： 函数图像关于原点对称 填表：观察自变量满足什么关系时，相应的函数值会用什么变化规律？ ... -3 -2 -1 0 1 2 3 ... 生：自然语言：当自变量是一对相反数时，对应的函数值也是一对相反数 。 生：符号语言： 师：用“几何画板”演示与 中自变量互为相反数时，对应的函数值也是一对相反数，并揭示函数关于原点对称的本质是图上的每一个点都是关于原点对称的，所以自变量具有一般性，即在定义域内恒成立。 【设计意图】类比偶函数概念的建构过程，放手让学生经历直观感知 抽象概括的过程，学生合作交流自主建构奇函数的概念，再一次领会在数形结合思想指导下研究函数性质的方法，加深对概念本质的理解，积累数学概念建构的基本活动经验。 师生活动：一起朗读书本中偶函数的定义。 奇函数的定义：一般的设函数的定义域为D,如果，那么函数叫做奇函数。 师：根据刚才的探究过程奇函数的图像有什么特征？ 生：图像关于原点对称。 问题8：函数 是奇函数吗？并把它的图像补充完整！ 【设计意图】本节设计加深了奇函数定义理解与应用，强化如何从解 析式的角度证明函数奇偶性的解题书写格式，补充奇函数图像，强化学生图像关于原点对称的直观想象。 师：在学生知道了偶函数与奇函数的定义后，顺理成章地指出，如果函数是偶函数或奇函数那么我们就说函数具有奇偶性，并根据黑板板书奇函数偶函数的定义，发现奇函数与偶函数图像跟符号语言的不同点，但是他们有一个共同特征都是在定义域内恒成立，是函数的整体性质，那么他们还有哪些共同特征呢？我们一起去看一下吧。 五、辨析概念，深化理解 问题9：根据下列函数图象,判断函数奇偶性. 生：图一是偶函数，图二不知道 师：那图像关于y轴对称吗？ 生：不 师：那图像关于原点对称吗？ 生：不 师：那它既不是偶函数也不是奇函数，我们叫它非奇非偶函数，图一 图二函数的解析式是一样的为什么得到不一样的奇偶性? 生:定义域不一样. 师：因为图像是对称的，所以定义域也要对称。图一定义域是对称的，图二的定义域是不对称的。通过实物绳子仿照定义域对折，让学生直观感受定义域也要关于原点对称是函数奇偶性判断的前提。 你发现了什么？ 函数奇偶性的前提是定义域关于原点对称。 问题10：函数是奇函数，则等于？ 【设计意图】对奇函数偶函数的概念 进行更深一步的理解，挖掘奇偶性的另一个共同特征定义域关于原点对称，初步认识非奇非偶函数. 六、新知应用，巩固内化 练习1.判断下列函数的奇偶. （1） (2) (3) (4) 师：与学生一起总结如何解析式角度判断函数的奇偶性的步骤。 生：独立完成并上黑板扮演解题格式。 【设计意图】让学生进一步明确奇函数和偶函数的前提条件是定义域关于原点对称，且规范解题格式.明确函数按奇偶性分类可分为四类：奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数，强化对奇函数和偶函数概念的认识。 练习2. （1） 如果右图是奇函数的局部图像，则= ； （2） 如果右图是偶函数的局部图像，试比较 与的大小？ 【设计意图】：可以直接从符号的角度得到答案，也可以引导学生根据奇函数和偶函数的定义独立画出图形，再按要求解题，体会利用函数奇偶性可以从局部推断整体，给解题带来方便与快捷，感受函数奇偶性的应用。本题体现数形结合思想。 七、回顾小结，提升能力 偶函数 奇函数 图形语言 函数图像关于y轴对称 函数图像关于原点对称 自然语言 当自变量是一对相反数时， 相应的函数值也相等 当自变量是一对相反数时， 相应的函数值也是一对相反数 符号语言 都有 都有 共同特征 ①奇（偶）函数的定义域关于原点对称；②奇偶性是函数的整体性质； ③研究函数性质的三种语言 ④数学思想与方法：数形结合，特殊到一般，类比 【设计意图】：以回顾为契机.帮助学生反思本节课学习的内容与研究方法，深化知识的形成过程，完善认知结构，掌握研究的方法和思路，拓宽思维角度、提高思维层次，特别是对于容易混淆的内容再次提出关注，使学生由模糊到清晰、由清晰到深刻，培养学生“学习 反思总结”的良好习惯，促进学生反思升华.提升学生的数学素养。 课时板书设计 示范规范判断函数奇偶性的例题步骤 多媒体投影 几何画板展示 奇函数 偶函数 §3.2.2函数的基本性质——奇偶性 图形语言 自然语言语言 函数单调性，偶函数的探究过程粘贴处 符号语言语言 课时作业设计 必做题： 1. 判断下列函数的奇偶性 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） 2．已知函数 的部分图像如下． (1)判断并证明函数的奇偶性； (2)补全函数的图像。 3.已知函数是奇函数，当时，，且，则实数的值为 4．设是定义在上的偶函数，则 选做题： 5.判断下列函数的奇偶性 （1） 6.已知函数是定义在上的奇函数，且当时， 。现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示． (1)请补充完整函数的图象； (2)求出函数在上的解析式。 【设计意图】分层布置作业意在必做题保证本节课知识和方法的落实。不同的学生在数学上得到不同的发展，同时通过第一题前四个函数的奇偶性证明，重走奇函数偶函数名字由来的数学史之路，又进一步深化奇函数偶函数概念的理解跟它名字的合理性；选做题安排了分段函数的奇偶性证明与求解析式，加深学生对函数性质的整体认知，让学有余力的学生得到更好的发展。 课时评价设计 项目 说明与要求 权重 教学目标 教学目标本课程学生能达到的目标，能按要求，分三维目标进行设计 2 教学重、难点 教学重点与教学目标相联系，本课程要求学生掌握的主要内容。 教学难点与教学目标相联系，学 生完成时比较困难之处。 2 设计思路 分析课程的性质，教学内容和学生特点，所使用的教学模式、教学策略和方法，教学设计的想法 和理论依据。 2 教学过程 思路清晰、教具学具、师生互动、 课堂效果。 4 课时教学反思 一、多媒体使用的思考 1.用：充分考虑多媒体的必用性和实用性，如实例引入，借助一 些图片，让学生更形象的看到对称。例题展现、问题展现，节约了教师黑板抄题的时间，提高了课堂效率。当然本节课不需要动画展示，如果需要有动画演示的可以做在课件上，把一些无法言传的内容呈现在课件上才能真正体现多媒体之“用”。 2.不用：如果要把课件带入每一节新授课，那么在制作课件的时候就要效率高，有一些内容就不用放入课件，如：例题的解题过程和在黑板上必须呈现的内容不用再搬到课件上去，否则学生也不知道该看黑板还是课件，增大了学生学习负担，降低了学习效率。所以我在课件制作中，注重内容与黑板板书不重叠。 在多媒体应用上，我们要注重区分什么该用，什么不该用以确实提高课堂效率。 二、追求以学生为本的教学设计 设计教学设计的过程中，充分考虑课程标准和教材的要求来确定教学 目标，把握学生的学习水平，在教学中给学生充分思考的时间和空间，尊重学生的思想方法，点评优化学生的学习收获，充分调动学生探究的积极性，培养学生学习的兴趣。在教学中不变的是先进的教学理念和合理的教学设计。放手给学生们自主学和研究就是我们应该大胆做的。从学生的角度设计教学，才能体现以学生为本。 三、做到重点突出和难点突破 如何重点突出和难点突破是教学技术、教学专业上挑战，我们在上每 一节课面对这些问题时都必须精心设计，那样的课堂才能高效，学生才会喜欢。在本节课中重点之一是函数奇偶性概念的理解，从实例引入，让学生感到本节课研究的必要性与趣味性，从图像对称的本质让学生给出概念，老师总结，再让学生回头感悟，有利于学生真正理解概念和应用概念。如何理解0在定义域内时，奇函数在0处的值为0时本节课难点之一，从一条辨析题到处问题，在研究问题，自然！同时激发了学生探究的欲望，学得深刻。 附件2 2022年东莞市普通高中新课程新教材实施优质教学课例征集作品汇总表 学校（盖章）： 联系人： 联系手机号码： 序号 学校 名称 学科（课程） 名称 课例 名称 所属年级 学校类别（“双新”示范校、高中学段第一、二批省级学科教研基地学校、其他学校） 授课教师 授课教师 手机号码 指导老师及单位 备注 1 2 3 4 5 6 7 注：此表可加行。 学科网（北京）股份有限公司 $