精品解析：天津市静海区模范中学2025--2026学年第二学期结课考九年级数学试卷

模范中学2025-2026第二学期九年级数学 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 计算的结果等于（ ） A. 3 B. C. 9 D. 18 2. 如图是由几个相同的正方体搭成的一个几何体，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 估计的值（ ） A. 在4和5之间 B. 在3和4之间 C. 在2和3之间 D. 在1和2之间 4. 中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广.下列四个选项中，是轴对称图形的为（ ） A. B. C. D. 5. 我国的北斗卫星导航系统中有一颗高轨道卫星高度大约是21500000米．将数字21500000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 6. 的值等于（ ） A. 1 B. C. D. 7. 若点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（3，y3）在双曲线上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ） A. y1＜y2＜y3 B. y3＜y2＜y1 C. y2＜y1＜y3 D. y3＜y1＜y2 8. 小妍同学在翻阅《九章算术》时，看到这样一个问题：“今有二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙持钱各几何？”题目大意为：甲、乙两人各有钱若干，若乙将他所有钱的给甲，则甲有钱50；若甲将他所有钱的给乙，则乙也有钱50，问甲、乙原本各有多少钱？ 为解决这个问题，小妍设甲原有钱，乙原有钱，可以得到方程组（ ） A. B. C. D. 9. 计算的结果等于（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，分别以A点，B点为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于E，F，连接交于点D，交于点H．连接，以C为圆心，长为半径作弧，交于G点，若，则的长度为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，将绕点逆时针旋转后得到，点，的对应点分别为，，点恰好在边上，且点在的延长线上，连接，若，则下列结论一定正确的是（　　） A. B. C. 旋转角是 D. 12. 如图1所示的矩形窗框的周长及其两条隔断、的总长为米，且隔断、分别与矩形的两条邻边平行，设的长为米，矩形的面积为平方米，关于的函数图象如图2，给出的下列结论：①矩形的最大面积为8平方米；②与之间的函数关系式为；③当时，矩形的面积最大；④的值为12．其中正确的结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 13. 不透明袋子中装有12个球，其中有3个红球、4个黄球和5个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是__________． 14. 计算的结果等于________． 15. 计算的结果等于______________． 16. 若一次函数（b为常数）的图象经过第一、二、四象限，则b的值可以为_______．（写出一个即可） 17. 如图，在正方形中，E为对角线上一点，连接，F是延长线上一点，，交于点G．正方形的边长为4 （1）若，则线段的长为______； （2）若G为的中点，则线段的长为______． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A在格点上，B是小正方形边的中点，，经过点的圆的圆心在边上． （1）线段的长等于___________； （2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出一个点P，使其满足，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）____________________ 三、解答题：本题共7小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 解不等式组：，并在数轴上表示它的解集． 请结合解题过程，完成本题的解答． （Ⅰ）解不等式①，得　　； （Ⅱ）解不等式②，得　　； （Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （Ⅳ）原不等式组的解集为　　． 20. 在一次“爱心助学”捐款活动中，全校同学人人拿出自己的零花钱，踊跃捐款，学生捐款额有5元、10元、15元、20元四种情况．李老师在全校范围内随机抽取部分学生，对捐款金额进行了统计，根据统计结果，绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题： （Ⅰ）本次抽取的学生人数为________，图①中的值为________； （Ⅱ）求统计的这组学生捐款数据的平均数、众数和中位数； （Ⅲ）根据统计的学生捐款的样本数据，若该校共有800名初中学生，估计该校学生共捐款的钱数． 21. 在中，以为直径的⊙O分别与边交于点D，E，且． （1）如图①，若，求的大小； （2）如图②，过点E作⊙O的切线，交的延长线于点F，交于点G，若，求的大小． 22. 综合与实践活动中，要用测角仪测量山坡的高度． 某学习小组设计了一个方案：如图，点，，依次在同一条水平直线上，，处距离地面的垂直高度，在处测得山顶的仰角为，处距离地面的垂直高度，在处测得山顶的仰角为，求山坡的高度（取0.5，结果取整数）． 23. 已知李明的家、健身园、文化中心依次在同一条直线上，健身园离家，文化中心离家，李明从家出发，先匀速步行了到健身园，在健身园停留了，之后匀速步行了到文化中心，在文化中心停留了后，再匀速骑行返回家，下面图中表示时间，表示离家的距离，图象反映了这个过程中李明离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： （1）①填表： 时间 3 7 12 21 距离 ②填空：李明从健身园步行到文化中心的速度为_____； ③当时，请直接写出李明离家的距离关于时间的函数解析式； （2）当李明离开家时，他的爸爸从文化中心出发匀速步行回到家中，那么李明从文化中心回家途中（）两人相遇时离家的距离是多少（直接写出结果即可）？ 24. 将一个梯形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点在轴的正半轴上，点在第一象限，且． （1）填空：如图①，点的坐标为_____，点的坐标为_____； （2）若为边上一动点（点不与点，重合），过点作直线，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点为．设，折叠后重叠部分的面积为． ①如图②，若直线与边相交于点，点的对应点为，当折叠后点落在梯形的内部，且重叠部分为四边形时，与边相交于点，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围； ②当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 25. 抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点，对称轴为直线． （1）求该抛物线的顶点坐标； （2）作直线BC，点P是抛物线上一动点． ①作直线PC，当时，求点P的坐标； ②当点P在第一象限的抛物线上运动时，过点P作直线BC的垂线交BC于点E，作轴交BC于点F，有最大值吗？若有，请直接写出该值；若没有，请写出理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 模范中学2025-2026第二学期九年级数学 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 计算的结果等于（ ） A. 3 B. C. 9 D. 18 【答案】A 【解析】 【分析】原式利用减法法则变形，计算即可得到结果． 【详解】解：原式， 故选：A． 【点睛】此题考查了有理数的减法，熟练掌握减法法则是解本题的关键． 2. 如图是由几个相同的正方体搭成的一个几何体，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． 【详解】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层在中间位置一个小正方形，故选项D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，重点培养学生的空间想象能力，熟练掌握简单几何体的三视图的概念是解题的关键． 3. 估计的值（ ） A. 在4和5之间 B. 在3和4之间 C. 在2和3之间 D. 在1和2之间 【答案】B 【解析】 【分析】35介于25与36之间，即25＜35＜36，则根据算术平方根的性质可知介于5与6之间，再减去2即可得到原式的范围． 【详解】解：∵， ∴ 即， ∴， 即 ∴的值应在3和4之间． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了无理数的估算，用“夹逼法”估算是解答此题的关键． 4. 中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广.下列四个选项中，是轴对称图形的为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，属于基础概念题型，熟知轴对称图形的概念是关键； 根据轴对称图形的定义：将一个图形沿着某条直线对折，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形是轴对称图形，逐项判断即可得解. 【详解】解：A、是轴对称图形，故本选项符合题意； B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：A. 5. 我国的北斗卫星导航系统中有一颗高轨道卫星高度大约是21500000米．将数字21500000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【详解】解：将21500000用科学记数法表示为：． 故选：A． 6. 的值等于（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法，特殊角三角函数值的混合运算，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 直接代入已知三角函数值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故选： C． 7. 若点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（3，y3）在双曲线上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ） A. y1＜y2＜y3 B. y3＜y2＜y1 C. y2＜y1＜y3 D. y3＜y1＜y2 【答案】C 【解析】 【分析】利用反比例函数的增减性解决问题． 【详解】解：∵点（-2，y1），（-1，y2），（3，y3）在双曲线上， ∴（-2，y1），（-1，y2）分布在第三象限，（3，y3）在第一象限，每个象限内，y随x的增大而减小， ∴y2＜y1＜y3． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质，正确掌握反比例函数增减性是解题关键，注意：反比例函数的增减性要在各自的象限内． 8. 小妍同学在翻阅《九章算术》时，看到这样一个问题：“今有二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙持钱各几何？”题目大意为：甲、乙两人各有钱若干，若乙将他所有钱的给甲，则甲有钱50；若甲将他所有钱的给乙，则乙也有钱50，问甲、乙原本各有多少钱？ 为解决这个问题，小妍设甲原有钱，乙原有钱，可以得到方程组（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了列二元一次方程组，审清题意、弄清楚量之间的关系成为解题的关键． 设甲原有钱，乙原有钱，根据乙将他所有钱的给甲，则甲有钱50；若甲将他所有钱的给乙，则乙也有钱50列二元一次方程组即可解答． 【详解】解：设甲原有钱，乙原有钱， 由题意可得：． 故选C． 9. 计算的结果等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用平方差公式分解分母，再通分化简即可得到结果． 【详解】解：原式 ． 10. 如图，在中，，分别以A点，B点为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于E，F，连接交于点D，交于点H．连接，以C为圆心，长为半径作弧，交于G点，若，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，根据直角三角形的性质得出，根据勾股定理求出，求出，设，则，根据勾股定理得出，求出，最后求出结果即可． 【详解】解：连接，如图所示： 根据作图可知，垂直平分， ∴，， ∵为直角三角形， ∴， ∴， 根据勾股定理得：， ∴， 设，则， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，尺规作垂直平分线，垂直平分线的性质，直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 11. 如图，将绕点逆时针旋转后得到，点，的对应点分别为，，点恰好在边上，且点在的延长线上，连接，若，则下列结论一定正确的是（　　） A. B. C. 旋转角是 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，掌握旋转的性质可求解． 由旋转的性质可得，，，，，由等腰三角形的性质可求，可得，即可求解． 【详解】解：将绕点逆时针旋转后得到， ，，，，， ， ， ， ，即旋转角为，故C错误； ，， ，故B错误； ， 与不平行，故D错误； ， ，故A正确， 故选：A． 12. 如图1所示的矩形窗框的周长及其两条隔断、的总长为米，且隔断、分别与矩形的两条邻边平行，设的长为米，矩形的面积为平方米，关于的函数图象如图2，给出的下列结论：①矩形的最大面积为8平方米；②与之间的函数关系式为；③当时，矩形的面积最大；④的值为12．其中正确的结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象和性质，观察图2，得出当时，函数值最大，根据题意确定a的值，并可求出二次函数解析式，即可做出正确判断． 【详解】解：由图2可知，函数图象最高点为，经过原点， 设二次函数解析式为， 代入，得： 解得， ∴， 由此判断：①矩形最大面积是4平方米，说法错误； ②二次函数解析式为，说法正确； ③矩形面积最大时，，说法错误； ④当时，矩形面积取最大值， ∴， ∴，说法正确． 所以，说法正确的是②④，共2个， 故选：B． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 13. 不透明袋子中装有12个球，其中有3个红球、4个黄球和5个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】用红球的个数除以总球的个数即可得出答案． 【详解】解：不透明袋子中装有12个球，3个红球， ∴从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是； 故答案为：． 【点睛】本题考查了概率公式．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 14. 计算的结果等于________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方，按照相关计算法则计算即可，熟练计算是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 15. 计算的结果等于______________． 【答案】-3 【解析】 【分析】直接利用平方差公式和二次根式的性质计算即可． 【详解】． 故答案为：-3． 【点睛】本题考查二次根式的计算和平方差公式．利用平方差公式展开是解答本题的关键． 16. 若一次函数（b为常数）的图象经过第一、二、四象限，则b的值可以为_______．（写出一个即可） 【答案】1（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据一次函数的图象经过第一、二、四象限判断出b的符号，再找出符合条件的b的可能值即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限，， ∴， 故答案是：1（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，对于一次函数（k为常数，），当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小．当，图象与y轴的正半轴相交，当，图象与y轴的负半轴相交，当，图象经过原点． 17. 如图，在正方形中，E为对角线上一点，连接，F是延长线上一点，，交于点G．正方形的边长为4 （1）若，则线段的长为______； （2）若G为的中点，则线段的长为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（）证明，得，进而利用余角性质和对顶角的性质可得，得到即可； （）过点作于，利用等腰三角形的性质可得，再证明，可得，最后利用勾股定理计算即可求解． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形，为对角线上一点， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； （2）过点作于， 则， ∵，为中点，正方形的边长为， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，余角性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A在格点上，B是小正方形边的中点，，经过点的圆的圆心在边上． （1）线段的长等于___________； （2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出一个点P，使其满足，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）____________________ 【答案】 ①. ②. 取圆与网格线的交点E，F连接与相交，得圆心O，与网格线交于点D，连接并延长交于点Q，连接并延长，与点B，O的连线相交于点P，连接，则点P满足 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理即可得到结论； （2）如图，取圆与网格的交点E，F，连接与交于一点，则这一点是圆心O，与网格线相交于D，连接并延长交于点Q，连接并延长，与B，O的连线相交于点P，连接，于是得到结论． 【详解】（1）， 故答案为：； （2）如图，取圆与网格线的交点E，F连接与相交，得圆心O，与网格线交于点D，连接并延长交于点Q，连接并延长，与点B，O的连线相交于点P，连接，则点P满足， 理由：连接， ∵， 为的直径， 则与的交点是圆心， 由题可知，点是的中点， 连接， 根据垂径定理可知：， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ， ， ∴ 故答案为：取圆与网格线的交点E，F连接与相交，得圆心O，与网格线交于点D，连接并延长交于点Q，连接并延长，与点B，O的连线相交于点P，连接，则点P满足． 三、解答题：本题共7小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 解不等式组：，并在数轴上表示它的解集． 请结合解题过程，完成本题的解答． （Ⅰ）解不等式①，得　　； （Ⅱ）解不等式②，得　　； （Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （Ⅳ）原不等式组的解集为　　． 【答案】（Ⅰ）x≤1； （Ⅱ）x≤4； （Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （Ⅳ）x≤1． 【解析】 【分析】求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出即可． 【详解】解：， （Ⅰ）解不等式①，得x≤1； （Ⅱ）解不等式②，得x≤4； （Ⅲ）略 （Ⅳ）原不等式组的解集为x≤1． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 20. 在一次“爱心助学”捐款活动中，全校同学人人拿出自己的零花钱，踊跃捐款，学生捐款额有5元、10元、15元、20元四种情况．李老师在全校范围内随机抽取部分学生，对捐款金额进行了统计，根据统计结果，绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题： （Ⅰ）本次抽取的学生人数为________，图①中的值为________； （Ⅱ）求统计的这组学生捐款数据的平均数、众数和中位数； （Ⅲ）根据统计的学生捐款的样本数据，若该校共有800名初中学生，估计该校学生共捐款的钱数． 【答案】（Ⅰ）50，36；（Ⅱ）平均数是13；众数是10；中位数是15；（Ⅲ）10400元 【解析】 【分析】（I）利用捐款20元的人数除以它所占百分比可得本次抽取的学生人数；利用1减去各部分所占百分比即可求出m的值； （II）求出数据的总和再除以50即可得到平均数；根据一组数据中出现次数最多的数据叫做众数可得这组样本数据的众数为10；把数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，位置处于中间的是两个数都是15，从而可得中位数为15； （III）利用学生捐款的平均数乘以学生总人数即可求解． 【详解】（Ⅰ）10÷20%=50（人）； m%=1-12%-32%-20%=36%， ∴m=36； 故答案为：50，36． （Ⅱ）， ∴这组数据的平均数是13． ∵在这组数据中，10出现了18次，出现的次数最多， ∵这组数据的众数是10； ∵将这组数据按照由小到大的顺序排列，其中处于中间位置的两个数都是15， 有． ∴这组数据的中位数是15． （Ⅲ）∵统计的学生捐款的平均数是13， ∴估计该校学生共捐款的钱数是：， 答：估计该校学生共捐款的钱数约是10400元． 【点睛】本题主要考查了扇形统计图和条形统计图，以及众数、中位数、加权平均数的计算，关键是正确从统计图中获取正确信息． 21. 在中，以为直径的⊙O分别与边交于点D，E，且． （1）如图①，若，求的大小； （2）如图②，过点E作⊙O的切线，交的延长线于点F，交于点G，若，求的大小． 【答案】（1）71°；（2）26° 【解析】 【分析】（1）连接，根据可得，根据圆周角定理可得，所以得到，根据“直径所对的圆周角是90°”可得，根据直角三角形的性质即可得到的大小； （2）连接，，根据切线的性质可得，根据圆周角定理可得，从而得到的度数，根据等腰三角形的性质可得，继而可求得的大小． 【详解】解：（Ⅰ）如图，连接． ∵ ， ∴ ． ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∵ 为⊙的直径， ∴ ． ∴ ． （2）如图，连接，． ∵ 为⊙的切线， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∴ ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识．熟练掌握各个知识点是解题的关键． 22. 综合与实践活动中，要用测角仪测量山坡的高度． 某学习小组设计了一个方案：如图，点，，依次在同一条水平直线上，，处距离地面的垂直高度，在处测得山顶的仰角为，处距离地面的垂直高度，在处测得山顶的仰角为，求山坡的高度（取0.5，结果取整数）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，矩形的性质，根据矩形的性质得到，，，，设，则，，根据三角函数的定义得到，，再由得到关于关于x的方程，解方程即可得到结论． 【详解】解：由题意知，，，，，， 四边形是矩形， ，，，， 设，则，， 在中，，， ， 在中，，， ， ， ， 得． 答：山坡的高度约为． 23. 已知李明的家、健身园、文化中心依次在同一条直线上，健身园离家，文化中心离家，李明从家出发，先匀速步行了到健身园，在健身园停留了，之后匀速步行了到文化中心，在文化中心停留了后，再匀速骑行返回家，下面图中表示时间，表示离家的距离，图象反映了这个过程中李明离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： （1）①填表： 时间 3 7 12 21 距离 ②填空：李明从健身园步行到文化中心的速度为_____； ③当时，请直接写出李明离家的距离关于时间的函数解析式； （2）当李明离开家时，他的爸爸从文化中心出发匀速步行回到家中，那么李明从文化中心回家途中（）两人相遇时离家的距离是多少（直接写出结果即可）？ 【答案】（1）①，，2；②；③当时，；当时，； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数与行程问题，一元一次方程与行程问题，理解函数图象，正确列式，求解函数解析式是关键． （1）①根据图示可得李明的速度，由行程的数量关系即可求解；②结合图示，运用行程的数量关系计算即可；③结合图示，运用待定系数法即可求解； （2）分别算出李明回家的速度，李明的爸爸回家的速度，设李明走了追到，即两人相遇，由此列式得到相遇时间，根据行程的数量关系即可求解． 【小问1详解】 解：①健身园离家，匀速步行了到健身园， ∴李明的速度为， ∴当时间为的距离为， ∵在健身园停留了， ∴当时间为的距离为， ∵之后匀速步行了到文化中心，即时间为时，李明到了文化中心，并在文化中心停留了， ∴当时间为的距离为， ∴填表如下， 时间 距离 ②李明从健身园步行到文化中心的速度为， 故答案为：； ③当时，设距离关于时间的函数解析式为，把点代入解析式得 ， ， 解得，， ∴， 当时，距离的值不变， ∴； 【小问2详解】 解：当李明离开家时，李明距家的距离为，此时李明的爸爸从文化中心回家，用时， ∴李明的爸爸的速度为， ∵李明用时回到家， ∴李明的速度为， 设李明走了追到，即两人相遇， ∴， 解得，， ∴当时，两人相遇， ∴李明走了， ∴两人相遇时离家的距离是． 24. 将一个梯形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点在轴的正半轴上，点在第一象限，且． （1）填空：如图①，点的坐标为_____，点的坐标为_____； （2）若为边上一动点（点不与点，重合），过点作直线，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点为．设，折叠后重叠部分的面积为． ①如图②，若直线与边相交于点，点的对应点为，当折叠后点落在梯形的内部，且重叠部分为四边形时，与边相交于点，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围； ②当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）先利用解直三角形求出，，再证明四边形是矩形，根据矩形的性质求得，，即可求得，； （2）①先证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可求得，再证明四边形是矩形，根据矩形的性质得出，并求得，设，用表示出，进而表示出与的坐标，再利用解直角三角形表示出，进而求得，再根据折叠的性质得出，从而可得； ②分三种情况：当时，当时，当时，分别找出重叠部分，求出对应的S的取值范围，再最后确定其范围即可． 【小问1详解】 解：过点B作轴于点D， ∵， ∴， ， ∵点， ∴， ∵梯形中， ，轴， ∴， 又， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， 故答案为：； 【小问2详解】 ①过点Q作于点E， ，， 四边形是平行四边形， ∴， ∵， ． ， ∵， ， ∴， 又， ∴四边形是矩形， ∴，， 设， ∴，， ∴， ， 由折叠可知：，， ， ，解得：， ， ， ， 由折叠可知：， ∵折叠后重叠部分的面积为， ， 又，解得：， ； ②当时，折叠后重叠部分为，如图所示： 根据折叠可知：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，； 当时，折叠部分为四边形，如图所示： 根据解析①可知：此时， ∴； 当时，重叠部分为四边形，如图所示： 则， ∵， ∴， 根据折叠可知：， ∴， ∵， ∴为等边三角形，且边长为， ∴， ∴ ， ∴当时，； 综上分析可知：． 【点睛】本题考查了坐标与图形综合，解直角三角形的相关计算，的最值，用勾股定理解三角形等知识，解题关键是熟悉上述知识，并能熟练运用求解． 25. 抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点，对称轴为直线． （1）求该抛物线的顶点坐标； （2）作直线BC，点P是抛物线上一动点． ①作直线PC，当时，求点P的坐标； ②当点P在第一象限的抛物线上运动时，过点P作直线BC的垂线交BC于点E，作轴交BC于点F，有最大值吗？若有，请直接写出该值；若没有，请写出理由． 【答案】（1） （2）①或；②有，当时，有最大值 【解析】 【分析】（1）将点B坐标代入抛物线解析式中，结合抛物线的对称轴为直线列方程组求解即可； （2）①分当轴时和点P在第二象限时两种情况，分别画出图象，利用抛物线的对称性、等腰三角形的性质以及直线与抛物线的交点联立方程组求解即可； ②过P作轴交于Q，可证明，设，，则，，，要最大，只需x最大即可，求直线的解析式为，设点，则，求解的最大值，可得 x的最大值，进而可求解． 【小问1详解】 解：将点代入中，得①， 又对称轴为直线，则②， 由①②解得：，， ∴， ∴该抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：①当时，， ∴， ∵，对称轴为直线， ∴， 根据题意，可分两种情况： 1）当轴时，，如图，此时点P与点C关于直线对称， ∵， ∴点P坐标为； 2）当点P在第二象限时，有，如图， 设直线与x轴交于点D，则， 设点，则， ∵， ∴，解得， ∴，又， 故设直线的解析式为， 将代入，得， ∴直线的解析式为， 由得，（舍去）， ∴点P的纵坐标为， ∴点P坐标为， 综上，满足条件的点P坐标为或； ②如图，过P作轴交于Q，则，， ∵，∴， ∴， ∴， 设，，则，， ∴要最大，只需x最大即可， ∵， 设直线的解析式为， 将代入，得， ∴直线的解析式为， 设点，则， ， ∵，， ∴当时，有最大值3，此时点P坐标为， 由得，即x的最大值为 ， ∴当时，有最大值． 【点睛】本题考查二次函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质、抛物线与直线的交点问题、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、坐标与图形、解直角三角形等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键，本题综合性强，常作为中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $