精品解析：天津市西青区张家窝中学2025-2026学年第二学期九年级结业考数学试卷

2025—2026年度第二学期张家窝中学结业考数学试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 计算的结果等于（ ） A. 0 B. C. D. 5 2. 如图是由个相同的小正方体堆成的几何体，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 估计的值在（ ） A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 4. 下列4个汉字中，从数学的角度可以看作轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 年“五一”期间，海南省旅文厅在全岛推出场体育赛事活动，拉动相关消费约万元．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 6. 的值等于（　　） A. 1 B. 2 C. D. 7. 若点都在反比例函数的图像上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 《九章算术》中记载：今有共买砖，人出半盈四；人出少半，不足三．问人数，砖价各几何？其大意是：今有人合伙买砖石，每人出钱，会多出4钱，每人出钱，又差3钱．问人数，砖价各是多少？设人数为x，砖价为y，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 9. 计算的结果是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 10. 如图，在菱形中，对角线、相交于点，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点、；再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点；作射线，交于点，若，，则是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在中，，．点在上，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在中，，，，点从点出发沿以的速度向移动，点从点出发沿以的速度向移动，如果，分别从，同时出发，其中一点到达终点，另一点也随之停止运动，运动后，的面积等于，有下列结论： ①与之间的函数解析式为； ②当为时，的面积等于； ③的面积可以等于．其中，正确的结论有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 13. 不透明袋子中装有13个球，其中有6个红球、7个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是______． 14. 计算：_________. 15. 分解因式：_________________． 16. 计算：的结果等于______；的结果等于______． 17. 若一次函数y＝2x+b（b是常数）向上平移5个单位后，图象经过第一、二、三象限，则b的取值范围是_____． 18. 如图，在中，． （1）的面积为______________； （2）以为边作正方形，过点作，与的延长线相交于点，则的长为______________． 三、简答题 19. 解不等式组． 请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得______； （2）解不等式②，得______； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为______． 20. 九年级研究性学习小组为研究全校同学课外阅读情况，在全校随机邀请了部分同学参与问卷调查，统计同学们一个月阅读课外书的数量．根据调查结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）本次抽取参与问卷的学生人数为_______，图①中m的值为_______； （2）求统计的这组一个月阅读课外书数量数据的平均数、众数和中位数； （3）全校共有学生1400名，根据样本数据，估计该校学生一个月阅读2本课外书的人数约为多少？ 21. 已知为的直径，为的弦，弦的长为5． （1）如图①，若直径的长为10，求的大小； （2）如图②，过点作的切线与的延长线相交于点，若，线段的长为3，求直径的长． 22. 综合与实践活动中，要利用测角仪测量古塔的高度． 如图，在梯形平台上有一座高为的古塔，已知，点A在水平线上． 某学习小组在梯形平台C处测得古塔顶部B的仰角为，在梯形平台D处测得古塔顶部B的仰角为． （1）求梯形平台的高的长； （2）设古塔的高为h（单位：m）． ①用含有h的式子表示线段的长（结果保留根号）：______________． ②求古塔的高度（，取1.7，结果取整数）． 23. 某无人机表演公司进行无人机表演训练，甲无人机从地而起飞匀速上升，8秒时到达距离地面48米的高度，并停止上升开始第一次表演，完成表演规定动作后，按原速继续飞行上升、到达距离地面96米的高度，进行了时长为20秒的第二次表演，表演完成后立即匀速返回地面．如图，图中表示甲无人机飞行的时间，表示甲无人机所在的位置距离地面的高度．图象反映了这个过程中甲无人机所在的位置距离地面的高度与飞行时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： （1）①填表： 无人机飞行的时间（单位：秒） 1 8 13 30 无人机所在的位置距离地面的高度（单位：米） ___ 48 ＿ __ ②填空：甲无人机返回地面的速度为_________米/秒； ③当时，请直接写出甲无人机所在的位置距离地面的高度关于甲无人机飞行时间的函数解析式； （2）当甲无人机从地面起飞时，乙无人机同时从距离地面27米高的楼顶起飞，与甲无人机同时匀速上升，并与甲无人机同时到达距离地面96米的高度进行联合表演，表演完成后甲乙两架无人机以相同的速度大小同时返回地面，那么两架无人机表演训练到多少秒时，它们距离地面的高度差为12米？（直接写出结果即可） 24. 在平面直角坐标系中，O为原点，矩形的顶点，，；等边的顶点，点E是的中点． （1）填空：如图①，点C的坐标为______，点Q的坐标为______； （2）将等边沿水平方向向右平移，得到等边，点E，P，Q的对应点分别为，设，等边与矩形重叠部分面积记为S． ①如图②，当边与相交于点M，边与相交于点N，点在点的左侧且矩形与重叠部分为五边形时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 25. 已知抛物线（b为常数，）的顶点为P，与x轴相交于点和点B，与y轴相交于点C． （1）当时，求点P的坐标； （2）直线与x轴相交于点D，当时，求b的值； （3）M为线段上的动点，若取得最小值时，求b的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026年度第二学期张家窝中学结业考数学试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 计算的结果等于（ ） A. 0 B. C. D. 5 【答案】B 【解析】 【详解】解：． 2. 如图是由个相同的小正方体堆成的几何体，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查简单组合体的三视图，左视图是从几何体的左面看所得到的视图，需要确定从左面看这个由个相同小正方体堆成的几何体时，能看到的小正方形的个数和排列方式．解题的关键在于理解左视图的定义，培养空间想象能力，从正确的方向去观察几何体的形状． 【详解】解：从左面看该几何体，可看到两列，左边一列有个小正方形，右边一列有个小正方形且在下方． 故选：A． 3. 估计的值在（ ） A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用估算无理数的方法估算出的范围即可得到答案． 【详解】解： ∵ ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，二次根式的化简，正确得出的取值范围是解题关键． 4. 下列4个汉字中，从数学的角度可以看作轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据轴对称图形的意义，对四个汉字逐一分析，再作判断． 【详解】解：不能看作轴对称图形，故A不符合； 不能看作轴对称图形，故B不符合； 能看作轴对称图形，故C符合； 不能看作轴对称图形，故D不符合， 故选：C． 5. 年“五一”期间，海南省旅文厅在全岛推出场体育赛事活动，拉动相关消费约万元．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了用科学记数法表示绝对值较大的数，解题关键是掌握科学记数法的一般形式． 根据科学记数法的一般形式求解，科学记数法的一般形式为，为正整数，． 【详解】解：， 故选：B． 6. 的值等于（　　） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了特殊角的三角函数值混合运算．代入特殊角的三角函数值进行计算即可． 【详解】解：， 故选：B 7. 若点都在反比例函数的图像上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将三点坐标分别代入函数解析式求出，然后进行比较即可． 【详解】将三点坐标分别代入函数解析式，得： ，解得； ，解得； ，解得； ∵-8<2<4， ∴， 故选： B． 【点睛】本题考查反比例函数，关键在于能熟练通过已知函数值求自变量． 8. 《九章算术》中记载：今有共买砖，人出半盈四；人出少半，不足三．问人数，砖价各几何？其大意是：今有人合伙买砖石，每人出钱，会多出4钱，每人出钱，又差3钱．问人数，砖价各是多少？设人数为x，砖价为y，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，根据题意列出方程即可解答，正确找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得方程组， ， 故选：A． 9. 计算的结果是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是同分母分式的减法，根据分母不变，把分子相减，再约分即可． 【详解】解：， 故选：A 10. 如图，在菱形中，对角线、相交于点，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点、；再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点；作射线，交于点，若，，则是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点作，先判定是的角平分线，结合菱形对角线互相垂直的性质，可得，再用三角形面积公式计算出面积． 【详解】解：如图，过点作， 根据题意可知，是的角平分线， 四边形是菱形， ，即， ， ， ， ． 11. 如图，在中，，．点在上，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键； 根据题意，可得，，进而求得，判定，即可求得，进而求解； 【详解】解：将线段绕点顺时针旋转得到线段， ，， 又， ， ， 又， ， ， ，， ， ， 故选项A一定正确， 由已知条件无法一定得出B、C、D正确， 故选：A 12. 如图，在中，，，，点从点出发沿以的速度向移动，点从点出发沿以的速度向移动，如果，分别从，同时出发，其中一点到达终点，另一点也随之停止运动，运动后，的面积等于，有下列结论： ①与之间的函数解析式为； ②当为时，的面积等于； ③的面积可以等于．其中，正确的结论有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】①先用含的式子表示出、，再根据直角三角形面积公式列出面积函数，最后根据动点运动时间确定自变量的取值范围；②令，列出一元二次方程并求解，再把两个解与时间范围对比，舍去超出范围的根；③令，列出一元二次方程并求解，检验解是否在运动时间范围内，存在有效解即说明面积能等于． 【详解】解：根据题意可知，，，点到达需要，点到达需要， 则，①错误； 令，则， 解得，， ，不合题意，舍去， 故当为时，的面积等于，②错误； 令，则， 解得，（不合题意，舍去）， 故当，的面积等于，③正确． 综上，正确的说法有1个． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 13. 不透明袋子中装有13个球，其中有6个红球、7个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用概率公式计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了利用概率公式进行计算，用部分的数量除以总数即可． 14. 计算：_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据积的乘方等于各个因式的乘法，再用同底数幂的乘方法则进行计算. 【详解】解：. 【点睛】本题主要考查积的乘方公式，掌握计算公式是解题的关键. 15. 分解因式：_________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，根据提公因式和公式法进行分解因式，即可作答． 【详解】解： 故答案为： 16. 计算：的结果等于______；的结果等于______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用平方差公式展开，然后结合二次根式的性质计算； 利用完全平方公式展开，分别计算各项后合并，得到最简结果． 【详解】解：：； ：． 17. 若一次函数y＝2x+b（b是常数）向上平移5个单位后，图象经过第一、二、三象限，则b的取值范围是_____． 【答案】b >﹣5 【解析】 【分析】先由“上加下减”的平移规律求出y=2x+b的图象向上平移5个单位后的解析式，再根据一次函数图象与系数的关系即可求解． 【详解】解：将一次函数y＝2x+b（b是常数）向上平移5个单位后，得到的函数解析式为y=2x+b+5， 又平移后的函数图象经过第一、二、三象限，， ， 解得， 故b的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象与系数的关系，正确得出函数图象平移后的解析式是解题的关键． 18. 如图，在中，． （1）的面积为______________； （2）以为边作正方形，过点作，与的延长线相交于点，则的长为______________． 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，正方形的性质； （1）过点作于点，勾股定理求得，进而根据三角形的面积公式，即可求解； （2）过点作交的延长线于点，证明，，进而得出，根据勾股定理，即可求解． 【详解】（1）如图所示，过点作于点， ∵ ∴ 在中， ∴， 故答案为：． （2）如图所示，过点作交的延长线于点， ∵四边形是正方形， ∴， ∴ 由 ∴ ∴ 同理可得 ∴ ∴ 在中，， 故答案为：． 三、简答题 19. 解不等式组． 请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得______； （2）解不等式②，得______； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为______． 【答案】（1） （2） （3）由（1）（2）可得：数轴表示为： （4） 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，利用数轴表示不等式解集，掌握解一元一次不等式的步骤，正确求解是解题的关键． （1）先去括号，再移项，然后合并同类项利用不等式性质即可作答； （2）先去分母，再移项，合并同类项，再利用不等式性质即可作答； （3）画出数轴并表示（1）和（2）中得解集即可； （4）将（3）数轴中重合区域表示即可． 【小问1详解】 解：， ， 解得：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：， ， ， 解得：， 故答案为：； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：由（3）可得，原不等式组的解集为． 20. 九年级研究性学习小组为研究全校同学课外阅读情况，在全校随机邀请了部分同学参与问卷调查，统计同学们一个月阅读课外书的数量．根据调查结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）本次抽取参与问卷的学生人数为_______，图①中m的值为_______； （2）求统计的这组一个月阅读课外书数量数据的平均数、众数和中位数； （3）全校共有学生1400名，根据样本数据，估计该校学生一个月阅读2本课外书的人数约为多少？ 【答案】（1）100,41 （2）2.54,2,2 （3）574 【解析】 【分析】（1）用一个月阅读课外书的数量1本的数量除以其所占的百分比即可求得参与问卷学生的人数，用1减去1本、3本、4本所占的百分比即可求得m； （2）用平均数=，阅读课外书的人数最多的本数即为众数，根据中位数的定义即可确定中位数； （3）用总人数乘以样本中“阅读2本课外书”人数所占百分比即可解答． 【小问1详解】 解：本次抽取参与问卷的学生人数为（人）； ∵． ∴． 故答案为100，41． 【小问2详解】 解：∵， ∴这组数据的平均数是2.54； ∵在这组数据中，2出现了41次，出现的次数最多， ∴这组数据的众数为2； ∵将这组数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是2，有， ∴这组数据的中位数为2． 【小问3详解】 解：该校1400名学生一个月阅读2本课外书的人数约为：（本）． 【点睛】本题主要考查的是条形统计图和扇形统计图的综合、平均数、众数、中位数的求法、用样本估计总体等知识点，读懂统计图、从不同的统计图中得到必要的信息是解答本题的关键． 21. 已知为的直径，为的弦，弦的长为5． （1）如图①，若直径的长为10，求的大小； （2）如图②，过点作的切线与的延长线相交于点，若，线段的长为3，求直径的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）证明是等边三角形，再利用圆周角定理即可求出答案； （2）连接，过点作．求出．证明四边形是矩形．得到．在中，，设，则．利用勾股定理列方程解得即可求出答案． 【小问1详解】 解：如图，连接． 为的直径，， ． ， ． 是等边三角形． ． ， . 【小问2详解】 如图，连接，过点作． ． 为的切线， ．即． ， ． 在Rt中，． ， 四边形是矩形． ． 在中，， 设，则． 可得方程． 解得． . 【点睛】此题考查了圆周角定理、勾股定理、切线的性质、矩形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌握切线的性质和勾股定理是解题的关键． 22. 综合与实践活动中，要利用测角仪测量古塔的高度． 如图，在梯形平台上有一座高为的古塔，已知，点A在水平线上． 某学习小组在梯形平台C处测得古塔顶部B的仰角为，在梯形平台D处测得古塔顶部B的仰角为． （1）求梯形平台的高的长； （2）设古塔的高为h（单位：m）． ①用含有h的式子表示线段的长（结果保留根号）：______________． ②求古塔的高度（，取1.7，结果取整数）． 【答案】（1） （2）①；②古塔的高度为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—仰俯角的问题，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握相关定义是解题关键． （1）过点D作于点H，根据直角三角形30度角所对的边为斜边的一半进行求解即可； （2）①在中，解直角三角形即可求解；②在中，解直角三角形即可求解． 【小问1详解】 解：如图，过点D作于点H， ∴四边形为矩形， ， ，， ； 【小问2详解】 解：①由（1）得， 在中，，， ∴， ∴， ∴； ②在中，，，， ∴，即， 整理得：， 答：古塔的高度为． 23. 某无人机表演公司进行无人机表演训练，甲无人机从地而起飞匀速上升，8秒时到达距离地面48米的高度，并停止上升开始第一次表演，完成表演规定动作后，按原速继续飞行上升、到达距离地面96米的高度，进行了时长为20秒的第二次表演，表演完成后立即匀速返回地面．如图，图中表示甲无人机飞行的时间，表示甲无人机所在的位置距离地面的高度．图象反映了这个过程中甲无人机所在的位置距离地面的高度与飞行时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： （1）①填表： 无人机飞行的时间（单位：秒） 1 8 13 30 无人机所在的位置距离地面的高度（单位：米） ___ 48 ＿ __ ②填空：甲无人机返回地面的速度为_________米/秒； ③当时，请直接写出甲无人机所在的位置距离地面的高度关于甲无人机飞行时间的函数解析式； （2）当甲无人机从地面起飞时，乙无人机同时从距离地面27米高的楼顶起飞，与甲无人机同时匀速上升，并与甲无人机同时到达距离地面96米的高度进行联合表演，表演完成后甲乙两架无人机以相同的速度大小同时返回地面，那么两架无人机表演训练到多少秒时，它们距离地面的高度差为12米？（直接写出结果即可） 【答案】（1）①6，48，96；②6；③ （2）5秒或11秒或19秒 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用； （1）无人机上升的速度为（米/秒），再结函数图象分析即可； （2）根据函数图象可得当时分成三部分，根据无人机上升的速度为（米/秒）求解析式即可； （3）先求出乙无人机所在的位置距离地面的高度关于乙无人机飞行时间的函数解析式为，再根据两架无人机距离地面的高度差为12米，列方程求解． 【小问1详解】 解：①无人机上升的速度为（米/秒）， 根据图象可得， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 填表如下： 无人机飞行的时间（单位：秒） 1 8 13 30 无人机所在的位置距离地面的高度（单位：米） 6 48 48 96 ②甲无人机返回地面的速度为 ③当时，， 当时，， 当时，； ∴当时，甲无人机所在的位置距离地面的高度关于甲无人机飞行时间的函数解析式为； 【小问2详解】 解：设乙无人机所在的位置距离地面的高度关于乙无人机飞行时间的函数解析式为； 由题意可得，过和两点， ∴，解得， ∴乙无人机所在的位置距离地面的高度关于乙无人机飞行时间的函数解析式为； ∵两架无人机距离地面的高度差为12米， 当时，，，解得（舍去）或； 当时，，，解得（舍去）或； 当时，，，解得（舍去）或； ∴两架无人机距离地面的高度差为12米，两架无人机表演训练到5秒或11秒或19秒． 24. 在平面直角坐标系中，O为原点，矩形的顶点，，；等边的顶点，点E是的中点． （1）填空：如图①，点C的坐标为______，点Q的坐标为______； （2）将等边沿水平方向向右平移，得到等边，点E，P，Q的对应点分别为，设，等边与矩形重叠部分面积记为S． ①如图②，当边与相交于点M，边与相交于点N，点在点的左侧且矩形与重叠部分为五边形时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）由，点E是的中点，可得，由等边的顶点，可求； （2）①如图1，连接交轴于，则四边形是矩形， 则，由题意知，，，当重合时，是等边三角形，，，则，当矩形与重叠部分为五边形时，，由平移的性质可知，，根据计算求解即可；②如图2，当时，重合部分为等边，，，则，由平移可知，此时重合部分面积最小，；由平移可知，如图3，当重合部分为五边形时，面积最大，，根据，计算求解即可． 【小问1详解】 解：∵，点E是的中点， ∴， ∵等边的顶点， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 ①解：如图1，连接交轴于，则四边形是矩形， ∴， 由题意知，，， 当重合时，是等边三角形，，， ∴， ∴当矩形与重叠部分为五边形时，，即， 由平移的性质可知，， ∴； ∴； ②解：如图2， 当时，重合部分为等边，，， ∴， 由平移可知，此时重合部分面积最小，； 由平移可知，如图3，当重合部分为五边形时，面积最大， ∵，， ∴， 由①可知，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了坐标与图形，等边三角形的判定与性质，平移的性质，矩形的判定与性质，正切，余弦等知识．熟练掌握坐标与图形，等边三角形的判定与性质，平移的性质，矩形的判定与性质，正切，余弦是解题的关键． 25. 已知抛物线（b为常数，）的顶点为P，与x轴相交于点和点B，与y轴相交于点C． （1）当时，求点P的坐标； （2）直线与x轴相交于点D，当时，求b的值； （3）M为线段上的动点，若取得最小值时，求b的值． 【答案】（1） （2）2 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、等腰三角形的性质、正切的定义、含30度直角三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）将、代入解析式，然后运用配方法化成顶点式即可解答； （2）将代入解析式可得，再求得对称轴为，即顶点P的横坐标为，然后代入解析式求得横坐标即可解答； （3）由（2）可得、，则，即；如图，过点B作直线与y轴的正半轴相交于点E，且．易得；如图：过点M作垂足为Q．可得，易得，即当点P，M，Q共线时，取得最小值；再说明，由正切函数可得，即，再求出b的值即可． 【小问1详解】 解：当时，抛物线的解析式为：， 将点代入可得：，解得：， 所以抛物线解析式为：， ∴． ∴点P的坐标为． 【小问2详解】 解：将代入抛物线可得：， ∴， ∴抛物线解析式为：， 当时，，即， ∵， ∴或， ∴， ∴该抛物线的对称轴为，即顶点P的横坐标为， ∴顶点P的纵坐标坐标为， ∴； 设直线的表达式为， 则，解得：， ∴直线的表达式为． 当时，，解得：， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：． 【小问3详解】 解：∵，， ∴，即 如图，过点B作直线与y轴的正半轴相交于点E，且． ∴． 如图：过点M作垂足为Q．可得．， ∴， ∴当点P，M，Q共线时，取得最小值， ∵， ∴． ∵， ∴ ， 在中，，得， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $