江苏南京市玄武高级中学、文枢高级中学、溧水区第二高级中学2025-2026 学年第二学期期中学情调研高二数学试卷

2025-2026 学年第二学期期中学情调研 高 二 数 学 试 卷 本卷分值:共150分 考试时间:120分钟 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项 是符合题目要求的. 1. 已知点 ,向量 ,则点 的坐标为 A.(1,2,0) B.(-1, - 2,0) C.(3,4,4) D.(1, - 2,0) 2. 已知向量 ,且 ,则 A. -2 B. -1 C. 2 D. 1 3. 在 的展开式中,只有第 5 项的二项式系数最大,则正整数 的值为 A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 4. 对于任意空间向量 ,下列说法正确的是 A. B. 若 且 ,则 C. 若 ,且 ,则 D. 5. 在空间直角坐标系中, 轴上与点 和点 距离相等的点是 A.(4,0,0) B.(-4,0,0) C.(-5,0,0) D.(5,0,0) 6. 定义 “各位数字之和为 6 的三位数叫幸运数” , 如 123, 222 , 则所有幸运数的个数为 A. 21 B. 16 C. 11 D. 6 7. 已知空间向量 ,若 共面,则 A. 2 B. 1 C. -2 D. -1 8. 下列结论正确的是 A. 若 ,则 B. 若 ,则 C. D. 二、选择题:本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求, 全部选对得6分,部分选对得部分分,有选错的或不选得0分. 9. 如图所示,在正四面体 中, ,则 A. B. C. 在平面 内的投影向量为 D. 在平面 内的投影向量为 10. 已知 ,则 A. B. C. D. 除以 5 所得的余数是 3 11. 已知平行六面体 的所有棱长均为 , 点 在线段 上,如图所示,则 A. B. 平面 C. 四边形 为正方形 D. 的最小值为 三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分. 12. 在 的展开式中, 项的系数为_____▲_____. 13. 甲、乙等 5 名同学站成一排,其中甲、乙相邻且甲在乙的左边,不同的排法种数是_____▲_____. (用数字填空) 14. 阅读材料: 平面直角坐标系 中,直线可以用关于 的二元一次方程 表示,点 到该直线的距离 ；空间直角坐标系 中,平面可以用关于 的三元一次方程 表示,点 到该平面的距离 . 若在空间直角坐标系 中, 点 ,点 ,点 ,则点 到平面 的距离为_____▲_____. 四、解答题:本大题共5小题,共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本题满分 13 分) 如图所示,在正方体 中, 分别是棱 的中点. (1) 求证: ; (2)求异面直线 与 所成角的余弦值. 16. (本题满分 15 分) 如图,在 中, 平面 分别是线段 的中点. (1)求直线 与平面 所成角的大小； (2) 求点 到平面 的距离. 17. (本题满分 15 分) 在二项式 的展开式中,求: (1) 所有二项式系数的和; (2) 所有的有理项; (3) 系数最大的项. 18.(本题满分 17 分) 某公司为包括甲、乙在内的 6 名本科毕业生面试准备了包括 房间的 3 个不同的面试室, 且所有学生都参加面试, 求符合下列各小题要求的不同安排方法. (1) 所有学生任意选择房间； (2)若甲、乙有且只有 1 人在 房间, 房间安排三人,其他每个房间至少安排一人； (3)恰有一个房间没有学生. (需写出必要的文字叙述、列式过程和计算步骤, 并用数字作答. ) 19. (本题满分 17 分) 如图所示,在四棱锥 中,底面 是菱形, , 平面 , 且 . (1) 求证: 平面 ; (2)求平面 与平面 所成角的余弦值； (3)设平面 平面 ,若点 在线段 上运动,且 , 当直线 与平面 所成角取最大值时,求 的值. 学科网（北京）股份有限公司 $2025一2026学年第二学期期中学情调研 高二数学参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分， 1.C 2.D 3.B 4.A 5.B 6.A 7.C 8.D 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分 9.BD 10.ACD 11.BCD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12.10 13.24 14.号 四、解答题：本大题共5小题，共77分. 15.方法一： (1)证明：在正方体ABCD-ABCD1中，因为AB⊥平面ADDA1, 又ADC平面ADDA1,所以AB⊥AD, 分 因为四边形ADD1A1为正方形， 11 所以AD1⊥AD,…2分 11 A 因为AB∩AD1=A,且AB、AD1C平面ABD1, 所以AD⊥平面ABD1,… …2分 又因为BDC平面ABD, D 所以AD⊥BD1.…2分 (2)取BB的中点M,连接EM、FM,CB, 因为E、M分别为BC、BB的中点，所以EM∥CB, 而CB1∥DA1,所以EM∥DA1, …1分 所以直线EM与直线EF的夹角就是直线AD与EF所成的角， 设正方体棱长为2a,设异面直线AD与EF所成的角为0， 计算得ME=√2a,EF=Va2+4a2+a2=W6a,FM=Va2+4a2+a2=√6a,…2分 所以由余弦定理得cos0=ME+EF2-FM 2ME·EF …1分 2a2+6a2-6a2 2×√2a×√6a 6 …2分 所以异面直线A,D与EF所成角的余弦值为3 6 ……1分 方法二： D C (1)证明：以D为原点，建立空间直角坐标系D一xyz,如图所示， 设正方体棱长为2，则D(0,0,0),B(2,2,0),D1(0,0,2), 7 1B A(2,0,2),所以AD=(-2,0,-2),BD1=(-2,-2,2),…2分 AD·BD1=(-2)×(-2)+0×(-2)+(-2)×2 =0,…3分 D 所以AD⊥BD, 即AD⊥BD1…1分 高二数学评分标准（∑9）第1页 (2)因为E,F分别是棱BC,CD的中点， 所以E(1,2,0）,F(0,1,2）,…2分 所以E℉=(-1，-1,2），…1分 设异面直线AD与EF所成的角为0， AD·E 所以cos0=cos(AD,EF)= …l分 ADE 12+0-4 V(-2)}2+(-2)}×√(-1)+(-1)2+22 3 所以异面直线AD与EF所成角的余弦值为怎. …1分 16.(1)因为∠ACB=90°，DA⊥平面ABC,所以以点C为坐标原点，CB为x轴，CA为y轴， 过C与平面ABC垂直的直线为之轴建立空间直角坐标系，如图所示，…1分 则C(0,0,0),B(2,0,0),A(0,2,0),D(0,2,2), AB=(2,-2,0),AD=(0,0,2), 之 D M,N分别是线段AC,BD的中点， 所以M(0,1,0),N(1,1,1),MN=(1,0,1),…2分 设平面ABD的法向量为n=(x,y,之)， 听以n:A马二0，即{2x一=0 22=0’ M 取x=1,则y=1,之=0，所以n=(1,1,0),…2分 设直线MN与平面ABD所成的角为0， 所以sn0=os(M,川= MN-n …1分 MN 1×1+0×1+1×0 √12+02+12.W12+12+02 1 … 因为0∈[0，]所以0=否， 所以直线MN与平面ABD所成角的大小为若， …2分 (2)AB=(2,-2,0),MN=(1,0,1),B☑=(-2,1,0)，… …1分 设平面BMN的法向量为m=(a,b,c), 9ag 取a=1,则b=2,c=-1,所以m=(1,2,-1),… …2分 AB.m 点A到平面BMN的距离d= …1分 m =2×1+-2)×2+0×(-1 √12+22+(-19 =v6 3 所以点A到半面BMV的距离为。 …2分 (第15、16题，若有其他解法，请参考以上标准酌情给分) 高二数学评分标准（②9）第2页 17.(1)所有项式系数的和为C9十C}…十C明=2=128.…3分 )展开式的通项为T山=C:(2）(五……… =(2）7-r.Cx等-7,0≤r≤7，rN,…1分 所以当r=0,3,6时，T,1为有理项，… …分 所以T=27.C9x-7=128x-7;… …1分 T4=24.C月x-3=560x-3; …1分 T2=2…C9x=14x;… …1分 (3)由(2)知，T1=(2-.Cx者-7,0≤r≤7，r∈N, 设第r+1项系数最大， 所以2C≥2xC {27-…C>≥28-.C1’… …2分 2× 7 71 整理得 47-r1≥(+11(6-r ,即2+1)≥7-r 7 1(7-rp≥2X7 7! 8-r≥21 (r-1)(8-r)刀 解得5≤r≤， …2分 而r∈N,则r=2,…1分 所以系数最大的项是第3项：T,=2,Cx号=672x号. …1分 18.(1)所有学生任意选择房间，即每个学生都有3种选择， 根据分步计数原理，方法数有3×3X3×3×3×3=35=729种；…3分 答：所有学生任意选择房间，共有729种不同的安排方法.……1分 (2)首先选择去A房间的人，先从甲、乙中任选一人，有C种选法，…1分 再从剩余四人中任选2人，有C爱种选法，…1分 剩下的三人去剩下的两个房间，只有1、2一种分组方式，有C码种选法，…1分 将该分组进行排列，有A号种排列方法，… …1分 根据分步计数原理，方法数有CCCA=72种； 答：共有72种不同的安排方法。…2分 (3)先将所有大学生进行分组，可分为1、5、0：2、4、0；3、3、0三组.… …1分 由题可知，三个房间进入学生数有如下分配： ①按1、5、0分配，方法数有CCA号=36种：… …1分 ②按2、4、0分配，方法数有CC4A?=90种：… …1分 ③按330分配，方法数有餐=0特 …2分 根据分类计数原理，方法数有36+90+60=186种， 答：恰有一个房间没有学生，共有186种不同的安排方法. …2分 (此题若有其他解法，请参考以上标准酌情给分)】 19.(1)因为底面ABCD是菱形， 所以BC∥AD,…1分 又因为ADC平面PAD,BC4平面PAD, 所以BC∥平面PAD.… …2分 (2)因为PD⊥平面ABCD, 在菱形ABCD中，AB=2,∠ABC=120°，所以∠BCD=60°，则△BCD为等边三角形， 取BC中点E,所以DE⊥BC,又BC∥AD,所以DE⊥AD, 以D为原点，DA所在直线为x轴，DE所在直线为y轴，DP所在直线为z轴建立空间直角坐标系， 高二数学评分标准（∑9）第3页 所以D(0,0,0),A(2,0,0),P(0,0,W6),B(1,√3,0)，C(-1,√3,0)，E(0,3,0), 平面PAD的一个法向量为DE=(0,√3,0).…1分 PB=(1,W3,-6),C序=(2,0,0)， 设平面PBC的一个法向量m=(x,y,z), 所以8即- 2x=0 取y=√2，则x=0,之=1，所以m=(0,√2,1)，…2分 M 所以cos(D2,m)= DE.m …1分 DE.ml =0×0+3×W2+0×1 √3×W2+1 =V 3 …1分 由图可知平面PAD与平面PBC所成角为锐角， 所以平面PAD与平面PBC所成角的余弦值为写. …1分 (3)由(1)知，BC∥平面PAD,且平面PAD∩平面PBC=L, 可得L∥BC,故直线l的方向向量可取为CB=(2,0,0),…1分 点M在线段PB上运动，PB=(1,√3，-√6)，P=λPB=(入，√3λ，-√6)，0≤λ≤1， 而当入=1时，点M在点B处，此时BC在平面ACM内，所成角为0，不可能为最大值， 所以0≤入<1， AC=(-3,√3,0)，AP=(-2,0,√6)， AM=AP+Pi=(入-2，√3λ，√6(1-入)，… …1分 设平面ACM的一个法向量为n=(a,b,c), 所以n:AC-0,即{3a+v3b0 n.AM=0' 1(λ-2)a+√3λb+√6(1-λ)c=01 a1则6=8-高清以-8后品品 …2分 设直线l与平面ACM所成角为0，要使0最大，即sin0最大， CB.n 所以sin9=leos(Ci,n=C+m 2 ++(兰 2 …2分 V4+号=癸 所以当1-2以=0，即入=号时，sn9取到最人值合，此时A=?, 所以当直线L与平面ACM所成角取最大值时，入的值为2· …2分 (此题若有其他解法，请参考以上标准酌情给分)》 高二数学评分标准（②9）第4页