专题02 方程与方程组（9大考点）（山西专用）2026年中考数学一模分类汇编

专题02 方程与方程组 9大考点概览 考点01正负数的实际应用 考点06一元二次方程的实际应用 考点02解二元一次方程组 考点07解分式方程 考点03二元一次方程组的实际应用 考点08分式方程的实际应用 考点04解一元二次方程 考点09一元一次方程与不等式的实际应用 考点05一元二次方程根的判别式 二元一次方程组的解 考点01 1．（2026·山西吕梁·一模）方程组的解是（　　） A． B． C． D． 2．（2026·山西运城·一模）阅读与思考 下面是玥玥同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务． 二元一次方程的解与一次函数图象的关系在初中学习阶段，我们了解到二元一次方程描述的是某个变化过程的瞬间，一个变量在某一瞬间有一个值，另一个变量也有唯一确定的值与之对应．而函数描述的是某一事物在变量间变化的完整过程．下面是我对二元一次方程的解与一次函数图象的关系研究过程．二元一次方程的解有，，，，，，，…，若将方程解中的x看作横坐标，y看作纵坐标，即，，，，…．在平面直角坐标系中分别将它们标出来，观察发现这些点恰好都在同一条直线上，反过来，在这条直线上任意选取一点，比如，将这个点的坐标作为一对未知数的值即，代入方程中，发现它也是该方程的一个解．这样，二元一次方程的所有解与这条直线上的所有点就建立了一一对应关系． (1)由上述阅读材料可知，二元一次方程的解所表示的点组成的图象是一条直线，画它的图象至少需要描出___________个点； (2)方程在正整数范围内的解有___________； A． 2组    B． 3组    C． 4组    D． 5组 (3)已知一次函数和另一个一次函数．当a取任意一个不为0的实数时，方程组一定有解吗？若一定有解，请求出该解；若不一定有解，请说明理由． 解二元一次方程组 考点02 1．（2026·山西吕梁·一模）解方程组 (2)解方程组：． 2．（2026·山西吕梁·一模）解方程组 (2)解方程组： 3．（2026·山西太原·一模）解方程组 (2)解方程组： 4．（2026·山西太原·一模）按要求完成下列各题： (2)解方程组：． 二元一次方程组的实际应用 考点03 1．（2026·山西朔州·一模）我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一道题：“今有绫三尺，绢四尺，共价四钱八分；又绫七尺，绢二尺，共价六钱八分．问：绫、绢各价若干？”其大意如下：三尺绫和四尺绢共值四钱八分，七尺绫和二尺绢共值六钱八分，则绫和绢每尺各值多少？设每尺绫值分，每尺绢值分，则可列方程组为（“钱”和“分”为古代货币单位，1钱=10分） A． B． C． D． 2．（2026·山西长治·一模）《算学启蒙》是中国古代重要的著作，书中记载：今有军士分甲，人分五领，少十领；人分四领，多二领，问军士、甲各几何？题目大意：今有士兵分铠甲，如果每人分5领，则缺少10领；如果每人分4领，则多出2领．问士兵和铠甲各有多少？设士兵有x人，铠甲有y领，则所列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·山西大同·一模）学校图书馆分两次购买了相同版本的《红岩》和《昆虫记》供学生借阅．第一次买了2套《红岩》和3套《昆虫记》，共花费182.4元；第二次买了4套《红岩》和2套《昆虫记》，共花费217.6元．每套《红岩》和《昆虫记》的价格分别是多少元？设一套《红岩》的价格为元，一套《昆虫记》的价格为元．则列方程组为___________． 4．（2026·山西·一模）为响应“数字校园”建设，某校采购一批智能答题器和错题打印机，用于课堂教学，已知采购2台智能答题器和3台错题打印机共花费1480元，采购4台智能答题器和1台错题打印机共花费1840元．若设1台智能答题器的价格为元，1台错题打印机的价格为元，则可列方程组为________． 5．（2026·山西运城·一模）山西晋剧是国家级非物质文化遗产，其戏服制作工艺精湛．某戏服工坊制作晋剧戏服时，分为“蟒袍”和“褶子”两类款式．已知制作一套“蟒袍”比制作一套“褶子”多用2米锦缎，且制作3套“蟒袍”所用的锦缎与制作5套“褶子”所用的锦缎米数相等．问制作一套“蟒袍”和一套“褶子”分别需要多少米锦缎？ 6．（2026·山西吕梁·一模）闻喜花馍是山西省的传统名点，被列入第二批国家级非物质文化遗产名录．春节到来之际，某公司计划购进甲、乙两种闻喜花馍礼盒，已知购买甲种礼盒4个、乙种礼盒3个，需要花费620元；购买甲种礼盒5个、乙种礼盒6个，需要花费1000元．求甲、乙两种闻喜花馍礼盒的单价． 解一元二次方程 考点04 1．（2026·山西长治·一模）用配方法解方程，下列配方正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·山西吕梁·一模）计算及解方程： (1)计算：； (2)解方程组：． 3．（2026·山西阳泉·一模）计算与解方程 (1)计算： (2)解方程 4．（2026·山西长治·一模）（1）计算：；   （2）解方程：． 一元二次方程根的判别式 考点05 1．（2026·山西临汾·一模）关于的方程（为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（    ） A．两个正根 B．两个负根 C．一个正根，一个负根 D．无实数根 2．（2026·山西运城·一模）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值是_________． 3．（2026·山西吕梁·一模）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______． 1．（2026·山西晋城·一模）某家电商铺售卖符合1级能效标准的节能台灯，每盏台灯的进价为40元，当售价定为每盏50元时，每天可售出500盏台灯．经市场调研发现，该台灯每盏售价每上涨1元，每天的销售量就会减少10盏．若设此款台灯每盏上涨x元（x为正整数），且该商铺每天销售该台灯的总利润为8000元，则下列所列方程正确的是（   ）一元二次方程的实际应用 考点06 A． B． C． D． 2．（2026·山西长治·一模）如图，某小区有一长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们面积之和为60平方米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道，设人行道的宽度为x米．由题意可列方程（    ）    A． B． C． D． 3．（2026·山西·一模）某电商直播平台的山西专场开展了以“寻华夏之根，溯文明之源”为主题的直播，现场讲解山西的美食文化，其中山西老陈醋以色、香、醇、浓、酸五大特征，引得广大网友争相购买品尝，直播刚开始，就有1000人下单购买某款老陈醋，2小时后购买人数达到4360，求每小时购买山西老陈醋人数的平均增长率．若设每小时购买山西老陈醋人数的平均增长率为，则可列方程_______． 4．（2026·山西太原·一模）2026年央视总台春晚由人形机器人与武术少年共同呈现的《武》节目，在除夕夜掀起了一阵“科技+传统”的视觉风暴．据了解，某科技公司2023年人形机器人项目营业收入2400万元，经过连续两年的增长，2025年全年该项目营业收入达到4704万元，请根据以上信息求出该公司人形机器人项目营业收入的年平均增长率，并预测2026年该公司的此项目营业收入（单位：万元，结果保留整数）． 5．（2026·山西长治·一模）我市沁州黄小米享有“天下米王”的美誉，富含蛋白质、矿物质与膳食纤维等营养物质，口感软糯香甜，养胃健脾，深受消费者青睐．某电商平台销售精品包装的沁州黄小米，已知每盒小米的进价为30元．当售价定为每盒45元时，每月可售出1200盒．为提升销量，平台开展促销活动，调研发现：售价每降低2元，每月的销售量就增加100盒．电商平台把销售单价降低多少元时，每月所获利润为15400元． 1．（2026·山西晋城·一模）计算、解方程解分式方程 考点07 (1) (2) 2．（2026·山西临汾·一模）计算及问题解答 (1)计算：． (2)下面是小明同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． ． 解：方程两边同乘，得，……第一步 ，……第二步 ．……第三步 检验：当时，． 所以是分式方程的解……第四步 任务一：小明的解法从第_____步开始出现错误，这一步错误的原因是_______． 任务二：请直接写出该分式方程的解． 分式方程的实际应用 考点08 1．（2026·山西太原·一模）某科幻主题乐园有两种体验票：星际穿越票和火星漫步票．已知星际穿越票的单价比火星漫步票的单价贵25元，用480元购买的星际穿越票比火星漫步票少2张．设火星漫步票的单价为x元，则x满足的方程为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·山西运城·一模）的蔗糖溶液是生物课堂上的常用试剂，该试剂可利用的的蔗糖溶液加入的蒸馏水稀释而成，由题意可列方程（    ） A． B． C． D． 3．（2026·山西太原·一模）文创制作工艺在不断升级迭代，某文创工作室改进文创印章制作工艺后，每小时比原来多制作15枚印章．已知现在制作120枚印章与原来制作75枚印章所用的时间相同．设原来每小时制作枚印章，根据题意可列方程为__________． 4．（2026·山西晋城·一模）我省某中学科技社团开展“古建探秘”项目式学习，计划用专项经费采购一批设备，用于拍摄和测量．经过市场调研，确定了所购买的测量无人机和智能测距仪的型号．已知确定购买的智能测距仪的单价是测量无人机单价的，用11200元购买测量无人机的数量比购买智能测距仪的数量多1，分别求测量无人机和智能测距仪的单价． 5．（2026·山西大同·一模）近年来，大数据与新一代大模型快速发展，智能算力与数据处理能力持续突破，已成为数字经济发展的核心引擎．某科技公司先后研发了新一代通用大模型与垂直领域专用模型．已知通用大模型每小时比专用模型多处理数据．通用大模型处理数据所用的时间，与专用模型处理数据所用的时间相同．求专用模型每小时能处理多少数据？ 6．（2026·山西吕梁·一模）随着L3级自动驾驶技术的日趋成熟，首批获批的两种车型北汽极狐阿尔法S和长安深蓝分别在北京、重庆指定区域上路试点运行．经测试，长安深蓝的最高车速是北汽极狐阿尔法S的，两车均以最高车速行驶时，长安深蓝行驶100公里所用的时间比驾驶北汽极狐阿尔法S行驶120公里所用的时间多30分钟，求长安深蓝SL03的最高车速是多少公里/时？ 7．（2026·山西长治·一模）为推进乡村振兴，建设美丽乡村，某乡村计划安装路灯．已知每盏太阳能路灯的价格比普通路灯贵200元；用12000元采购太阳能路灯的盏数与用9000元采购普通路灯的盏数相同．求每盏太阳能路灯的价格． 8．（2026·山西大同·一模）研究表明：植物具有固碳能力，所谓固碳能力，具体表现为植物通过光合作用将大气中的二氧化碳转化为有机碳，并固定在植物体内的能力．生物兴趣小组的同学们通过查阅资料发现，洋槐一天固碳2700克所需的种植面积是垂柳一天固碳2150克所需种植面积的2倍，而垂柳一天平均每平方米固碳量比洋槐一天平均每平方米固碳量多克，求洋槐一天平均每平方米的固碳量． 9．（2026·山西吕梁·一模）科技创新是推动高质量发展的核心动力，山西省重点研发计划有能源环保、信创、智能化、大健康生物医药、新材料、现代农业等六个领域项目，展现出山西从一个能源型省份向一个绿色生态省份的转变．某科技公司为助力数智时代产业升级，计划批量制作智能服务机器人，总计完成180台的生产任务，项目启动后，研发团队优化算法与生产流程，实际每个月制作的机器人数量是原计划的1．5倍．若最终提前2个月完成任务，求该公司每个月实际制作的机器人数量． 10．（2026·山西吕梁·一模）山西聚焦能源革命，推进晋北采煤沉陷区“风光储”一体化新能源基地建设．某工程队承接了基地内240组光伏板安装工程，为响应“提速转型”号召，实际施工时优化技术，在确保工程质量的前提下每天安装的光伏板组数是原计划的1.5倍，结果提前2天完成了全部安装任务．问原计划每天安装光伏板多少组？ 11．（2026·山西晋城·一模）为推进智慧城市建设，某社区服务中心计划采购一批智能安防摄像头．第一次用9000元购进若干台，安装后效果良好；第二次又用30000元购进了同型号的智能安防摄像头，所购数量是第一次的3倍，但每台智能安防摄像头的进价比第一次贵50元．求该社区第一次购进智能安防摄像头的数量． 一元一次方程与不等式的实际应用 考点09 1．（2026·山西·一模）炎炎夏日，外观迷你、携带方便的迷你小电扇受到越来越多人的喜爱，某商家计划购进两款迷你小电扇进行销售，已知款迷你小电扇的进价为30元，款迷你小电扇的进价为40元．该商家购进这两种迷你小电扇共100台，用去了3350元． (1)该商家分别购进这两款迷你小电扇多少台？ (2)为了满足市场需求，该商家决定用不超过5200元的资金再购进一批这两款迷你小电扇共150台，问该商家这次至少购进款迷你小电扇多少台？ 2．（2026·山西太原·一模）学校科创社团采购两种实验器材：简易电路套件和智能传感器套件，简易电路套件每套元，智能传感器套件每套元． (1)该社团首次采购两种套件共套，共花费元，求采购简易电路套件和智能传感器套件各多少套． 2/6 1/6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 方程与方程组 9大考点概览 考点01正负数的实际应用 考点06一元二次方程的实际应用 考点02解二元一次方程组 考点07解分式方程 考点03二元一次方程组的实际应用 考点08分式方程的实际应用 考点04解一元二次方程 考点09一元一次方程与不等式的实际应用 考点05一元二次方程根的判别式 二元一次方程组的解 考点01 1．（2026·山西吕梁·一模）方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】方程组运用加减法求解即可． 【详解】解： 得，， 解得， 把代入①得：， 解得， 所以，方程组的解为． 2．（2026·山西运城·一模）阅读与思考 下面是玥玥同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务． 二元一次方程的解与一次函数图象的关系在初中学习阶段，我们了解到二元一次方程描述的是某个变化过程的瞬间，一个变量在某一瞬间有一个值，另一个变量也有唯一确定的值与之对应．而函数描述的是某一事物在变量间变化的完整过程．下面是我对二元一次方程的解与一次函数图象的关系研究过程．二元一次方程的解有，，，，，，，…，若将方程解中的x看作横坐标，y看作纵坐标，即，，，，…．在平面直角坐标系中分别将它们标出来，观察发现这些点恰好都在同一条直线上，反过来，在这条直线上任意选取一点，比如，将这个点的坐标作为一对未知数的值即，代入方程中，发现它也是该方程的一个解．这样，二元一次方程的所有解与这条直线上的所有点就建立了一一对应关系． (1)由上述阅读材料可知，二元一次方程的解所表示的点组成的图象是一条直线，画它的图象至少需要描出___________个点； (2)方程在正整数范围内的解有___________； A． 2组    B． 3组    C． 4组    D． 5组 (3)已知一次函数和另一个一次函数．当a取任意一个不为0的实数时，方程组一定有解吗？若一定有解，请求出该解；若不一定有解，请说明理由． 【答案】(1)两 (2)B (3)不一定有解，理由见解析 【详解】（1）解：二元一次方程的解所表示的点组成的图象是一条直线，画它的图象至少需要描出两个点； （2）解：方程整理得， ∵、都是正整数， ∴是偶数， ∴在正整数范围内的解有或或，共3组； （3）解：方程组， 由①得，代入②得，即， 当即时，， ∵； 当即时，方程组无解； ∴当时，方程组的解为， 当时，方程组无解； ∴方程组不一定有解． 解二元一次方程组 考点02 1．（2026·山西吕梁·一模）解方程组 (2)解方程组：． 【答案】(2)． 【分析】（）用加减消元法解方程组即可． 【详解】（2）解： ，得，解得， 将代入，得， ∴原方程组的解为． 2．（2026·山西吕梁·一模）解方程组 (2)解方程组： 【答案】(2) 【分析】（2）利用加减消元法求解即可． 【详解】（2）解： 由①②得，，解得； 将代入①得，，解得， ∴原方程组的解为：． 3．（2026·山西太原·一模）解方程组 (2)解方程组： 【答案】(2) 【详解】（2）解： 得：， 解得： 将代入②，得 解得： 方程组解为：． 4．（2026·山西太原·一模）按要求完成下列各题： (2)解方程组：． 【答案】(2) 【分析】（2）利用加减消元法或代入消元法解方程组即可． 【详解】（2）解：， 方法1：，得③， ，得，解得． 把代入①，得． 所以方程组的解是． 方法2：由①得：③， 把③代入②得：④，解得：， 把代入③得：． 所以方程组的解是． 二元一次方程组的实际应用 考点03 1．（2026·山西朔州·一模）我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一道题：“今有绫三尺，绢四尺，共价四钱八分；又绫七尺，绢二尺，共价六钱八分．问：绫、绢各价若干？”其大意如下：三尺绫和四尺绢共值四钱八分，七尺绫和二尺绢共值六钱八分，则绫和绢每尺各值多少？设每尺绫值分，每尺绢值分，则可列方程组为（“钱”和“分”为古代货币单位，1钱=10分） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查根据题意列二元一次方程组，解题关键是找准等量关系，完成正确单位换算，和的单位为分，需将总价换算为分后列等式． 【详解】解：∵设每尺绫值分，每尺绢值分，且钱分 ∴ 由“三尺绫和四尺绢共值四钱八分”可得，四钱八分分，列等式得 ； 由“七尺绫和二尺绢共值六钱八分”可得，六钱八分分，列等式得 ． 因此可得方程组 ． 2．（2026·山西长治·一模）《算学启蒙》是中国古代重要的著作，书中记载：今有军士分甲，人分五领，少十领；人分四领，多二领，问军士、甲各几何？题目大意：今有士兵分铠甲，如果每人分5领，则缺少10领；如果每人分4领，则多出2领．问士兵和铠甲各有多少？设士兵有x人，铠甲有y领，则所列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两种分铠甲的情况，分别找出铠甲总数与士兵人数的等量关系，列出方程组即可判断选项. 【详解】解：设士兵有人，铠甲有领， ∵每人分领铠甲时缺少领，即铠甲总数比少， ∴； ∵每人分领铠甲时多出领，即铠甲总数比多， ∴； 因此可得方程组. 3．（2026·山西大同·一模）学校图书馆分两次购买了相同版本的《红岩》和《昆虫记》供学生借阅．第一次买了2套《红岩》和3套《昆虫记》，共花费182.4元；第二次买了4套《红岩》和2套《昆虫记》，共花费217.6元．每套《红岩》和《昆虫记》的价格分别是多少元？设一套《红岩》的价格为元，一套《昆虫记》的价格为元．则列方程组为___________． 【答案】 【分析】根据两次购买的数量与总花费，找出对应等量关系即可列出方程组. 【详解】解：根据题意，总花费等于单价乘以数量之和， 第一次购买2套《红岩》和3套《昆虫记》，总花费182.4元，可得方程， 第二次购买4套《红岩》和2套《昆虫记》，总花费217.6元，可得方程， 联立得方程组. 4．（2026·山西·一模）为响应“数字校园”建设，某校采购一批智能答题器和错题打印机，用于课堂教学，已知采购2台智能答题器和3台错题打印机共花费1480元，采购4台智能答题器和1台错题打印机共花费1840元．若设1台智能答题器的价格为元，1台错题打印机的价格为元，则可列方程组为________． 【答案】 【分析】根据题目给出的两个总费用的等量关系，分别列出方程，组成二元一次方程组即可． 【详解】解：由题意得． 5．（2026·山西运城·一模）山西晋剧是国家级非物质文化遗产，其戏服制作工艺精湛．某戏服工坊制作晋剧戏服时，分为“蟒袍”和“褶子”两类款式．已知制作一套“蟒袍”比制作一套“褶子”多用2米锦缎，且制作3套“蟒袍”所用的锦缎与制作5套“褶子”所用的锦缎米数相等．问制作一套“蟒袍”和一套“褶子”分别需要多少米锦缎？ 【答案】制作一套“蟒袍”需要5米锦缎，制作一套“褶子”需要3米锦缎 【详解】解：设制作一套“褶子”需要米锦缎，制作一套“蟒袍”需要米锦缎． 由题意可得， 解得， 答：制作一套“蟒袍”需要5米锦缎，制作一套“褶子”需要3米锦缎． 6．（2026·山西吕梁·一模）闻喜花馍是山西省的传统名点，被列入第二批国家级非物质文化遗产名录．春节到来之际，某公司计划购进甲、乙两种闻喜花馍礼盒，已知购买甲种礼盒4个、乙种礼盒3个，需要花费620元；购买甲种礼盒5个、乙种礼盒6个，需要花费1000元．求甲、乙两种闻喜花馍礼盒的单价． 【答案】甲种闻喜花馍礼盒的单价为80元，乙种闻喜花馍礼盒的单价为100元 【分析】设甲种闻喜花馍礼盒的单价为元，乙种闻喜花馍礼盒的单价为元，根据“购买甲种礼盒4个、乙种礼盒3个，需要花费620元；购买甲种礼盒5个、乙种礼盒6个，需要花费1000元”列出二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设甲种闻喜花馍礼盒的单价为元，乙种闻喜花馍礼盒的单价为元， 根据题意，得 解得 答：甲种闻喜花馍礼盒的单价为80元，乙种闻喜花馍礼盒的单价为100元． 解一元二次方程 考点04 1．（2026·山西长治·一模）用配方法解方程，下列配方正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，先移项，再配方即可得出结果，熟练掌握配方法是解题的关键． 【详解】解： ， 故选：A． 2．（2026·山西吕梁·一模）计算及解方程： (1)计算：； (2)解方程组：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算负整数指数幂，化简二次根式，再加减即可； （2）利用加减消元法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：， 得， 解得， 把代入①可得， 解得， 所以原方程组的解为． 3．（2026·山西阳泉·一模）计算与解方程 (1)计算： (2)解方程 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据实数的运算法则进行计算即可； （2）根据配方法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：， 移项得， 配方得，即， 开方得， 解得：，． 4．（2026·山西长治·一模）（1）计算：；   （2）解方程：． 【答案】（1），（2）， 【分析】解题的关键在于熟练掌握平方根、立方根的意义，特殊角的三角函数值，零指数幂的运算法则，以及一元二次方程的解法． （1）分别根据平方根、立方根的意义，特殊角的三角函数值，零指数幂的运算法则计算出各项，再根据实数的混合运算法则进行计算即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【详解】解：（1） ； （2） 或 ，． 一元二次方程根的判别式 考点05 1．（2026·山西临汾·一模）关于的方程（为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（    ） A．两个正根 B．两个负根 C．一个正根，一个负根 D．无实数根 【答案】C 【分析】先利用判别式判断方程是否有实数根，再根据两根乘积的符号判断根的正负性，即可得出结论. 【详解】解：∵ ∴，，， ∴， ∵ 无论取任意实数，都有 ∴ ，因此方程有两个不相等的实数根 设方程的两个根分别为，，则， ∴ 两个根异号，即方程有一个正根，一个负根. 2．（2026·山西运城·一模）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值是_________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程根的判别式及方程有两个相等的实数根，即可求得． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：． 故答案为： 3．（2026·山西吕梁·一模）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式的知识点，解题思路是根据“方程有两个不相等实数根”这一条件，利用判别式建立关于k的不等式求解．解题关键是熟练掌握判别式与根的个数的关系，易错点是在解不等式时，忘记不等号方向改变的规则（当不等式两边同时除以负数时，不等号方向改变）． 【详解】方程的判别式; 由题意，即，解得． 故答案为： ． 1．（2026·山西晋城·一模）某家电商铺售卖符合1级能效标准的节能台灯，每盏台灯的进价为40元，当售价定为每盏50元时，每天可售出500盏台灯．经市场调研发现，该台灯每盏售价每上涨1元，每天的销售量就会减少10盏．若设此款台灯每盏上涨x元（x为正整数），且该商铺每天销售该台灯的总利润为8000元，则下列所列方程正确的是（   ）一元二次方程的实际应用 考点06 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据总利润公式“总利润每盏利润销售量”，分别求出涨价后每盏台灯的利润和销售量，即可列出正确方程. 【详解】解：涨价元后，每盏台灯售价为元，进价为40元， ∴每盏台灯的利润为元； ∵售价每上涨1元，每天销售量减少10盏， ∴涨价元后，每天销售量为盏； ∵每天总利润为8000元， ∴可得方程. 2．（2026·山西长治·一模）如图，某小区有一长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们面积之和为60平方米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道，设人行道的宽度为x米．由题意可列方程（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设人行道的宽度为x米，根据两块相同的矩形绿地面积之和为60平方米列出方程即可． 【详解】解：设人行道的宽度为x米，根据题意得： ，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了列一元二次方程，解题的关键是用x表示出两块矩形绿地的总长和宽． 3．（2026·山西·一模）某电商直播平台的山西专场开展了以“寻华夏之根，溯文明之源”为主题的直播，现场讲解山西的美食文化，其中山西老陈醋以色、香、醇、浓、酸五大特征，引得广大网友争相购买品尝，直播刚开始，就有1000人下单购买某款老陈醋，2小时后购买人数达到4360，求每小时购买山西老陈醋人数的平均增长率．若设每小时购买山西老陈醋人数的平均增长率为，则可列方程_______． 【答案】 【分析】此题考查了列一元二次方程解决实际问题．设每小时购买山西老陈醋人数的平均增长率为，1000人下单购买某款老陈醋，2小时后购买人数达到4360，据此列出方程即可． 【详解】∵直播刚开始，就有1000人下单购买某款老陈醋，2小时后购买人数达到4360， ∴第1小时有人购买，第2小时有人购买， 可得：． 故答案为：． 4．（2026·山西太原·一模）2026年央视总台春晚由人形机器人与武术少年共同呈现的《武》节目，在除夕夜掀起了一阵“科技+传统”的视觉风暴．据了解，某科技公司2023年人形机器人项目营业收入2400万元，经过连续两年的增长，2025年全年该项目营业收入达到4704万元，请根据以上信息求出该公司人形机器人项目营业收入的年平均增长率，并预测2026年该公司的此项目营业收入（单位：万元，结果保留整数）． 【答案】该公司人形机器人项目营业收入的年平均增长率为，预测2026年该公司的人形机器人项目营业收入约为6586万元． 【分析】设该公司人形机器人项目营业收入的年平均增长率为x，根据2023年和2025年的项目营业收入建立方程求解即可． 【详解】解：设该公司人形机器人项目营业收入的年平均增长率为x． 根据题意得． 解得，（舍去）． ∴该公司人形机器人项目营业收入的年平均增长率为， （万元）． 答：该公司人形机器人项目营业收入的年平均增长率为，预测2026年该公司的人形机器人项目营业收入约为6586万元． 5．（2026·山西长治·一模）我市沁州黄小米享有“天下米王”的美誉，富含蛋白质、矿物质与膳食纤维等营养物质，口感软糯香甜，养胃健脾，深受消费者青睐．某电商平台销售精品包装的沁州黄小米，已知每盒小米的进价为30元．当售价定为每盒45元时，每月可售出1200盒．为提升销量，平台开展促销活动，调研发现：售价每降低2元，每月的销售量就增加100盒．电商平台把销售单价降低多少元时，每月所获利润为15400元． 【答案】降低4元 【详解】解：设电商平台把销售单价降低x元， 根据题意得：， 解得：，（不符题意，舍去）， 答：电商平台把销售单价降低4元，每月所获利润为15400元． 1．（2026·山西晋城·一模）计算、解方程解分式方程 考点07 (1) (2) 【答案】(1)7 (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． ． 检验：当时，． 所以原分式方程的根为 2．（2026·山西临汾·一模）计算及问题解答 (1)计算：． (2)下面是小明同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． ． 解：方程两边同乘，得，……第一步 ，……第二步 ．……第三步 检验：当时，． 所以是分式方程的解……第四步 任务一：小明的解法从第_____步开始出现错误，这一步错误的原因是_______． 任务二：请直接写出该分式方程的解． 【答案】(1)4 (2)任务一：一，去分母时方程右边的1没有乘最简公分母；任务二：该分式方程的解为 【分析】（1）利用负整数指数幂、有理数的乘法和除法计算后，再进行加减法即可； （2）任务一：根据解分式方程的步骤进行解答即可；任务二：根据解分式方程的正确步骤解方程，即可得到答案． 【详解】（1）解： （2）任务一：小明的解法从第一步开始出现错误，这一步错误的原因是去分母时方程右边的1没有乘最简公分母． 任务二：． 解：方程两边同乘，得 , , 检验：当时，． 所以是分式方程的解 分式方程的实际应用 考点08 1．（2026·山西太原·一模）某科幻主题乐园有两种体验票：星际穿越票和火星漫步票．已知星际穿越票的单价比火星漫步票的单价贵25元，用480元购买的星际穿越票比火星漫步票少2张．设火星漫步票的单价为x元，则x满足的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设火星漫步票的单价为元，则星际穿越票单价为元， ∵总费用为元， ∴可购买火星漫步票数量为张，可购买星际穿越票数量为张， ∵购买的星际穿越票比火星漫步票少张， ∴． 2．（2026·山西运城·一模）的蔗糖溶液是生物课堂上的常用试剂，该试剂可利用的的蔗糖溶液加入的蒸馏水稀释而成，由题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据列方程即可． 【详解】解：∵的的蔗糖溶液加入的蒸馏水稀释成的蔗糖溶液， ∴可列方程． 3．（2026·山西太原·一模）文创制作工艺在不断升级迭代，某文创工作室改进文创印章制作工艺后，每小时比原来多制作15枚印章．已知现在制作120枚印章与原来制作75枚印章所用的时间相同．设原来每小时制作枚印章，根据题意可列方程为__________． 【答案】 【分析】根据现在制作120枚印章与原来制作75枚印章所用的时间相同，列出方程即可. 【详解】解：设原来每小时制作枚印章，则现在每小时制作枚印章，由题意，得： . 4．（2026·山西晋城·一模）我省某中学科技社团开展“古建探秘”项目式学习，计划用专项经费采购一批设备，用于拍摄和测量．经过市场调研，确定了所购买的测量无人机和智能测距仪的型号．已知确定购买的智能测距仪的单价是测量无人机单价的，用11200元购买测量无人机的数量比购买智能测距仪的数量多1，分别求测量无人机和智能测距仪的单价． 【答案】测量无人机的单价为1400元，智能测距仪的单价为1600元． 【分析】设测量无人机的单价为x元，则智能测距仪的单价为元，根据“用11200元购买测量无人机的数量比购买智能测距仪的数量多1”可以列出相应的分式方程，然后求解即可． 【详解】解：设测量无人机的单价为x元，则智能测距仪的单价为元，根据题意，得： ， 解得， 经检验，是原方程的根， ∴， 答：测量无人机的单价为1400元，智能测距仪的单价为1600元． 5．（2026·山西大同·一模）近年来，大数据与新一代大模型快速发展，智能算力与数据处理能力持续突破，已成为数字经济发展的核心引擎．某科技公司先后研发了新一代通用大模型与垂直领域专用模型．已知通用大模型每小时比专用模型多处理数据．通用大模型处理数据所用的时间，与专用模型处理数据所用的时间相同．求专用模型每小时能处理多少数据？ 【答案】 【分析】设专用模型每小时能处理数据，根据通用大模型处理数据所用的时间，与专用模型处理数据所用的时间相同，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设专用模型每小时能处理数据，则通用模型每小时能处理数据，由题意，得， 解得 经检验是原方程的解，且符合实际意义． 答：专用模型每小时能处理数据． 6．（2026·山西吕梁·一模）随着L3级自动驾驶技术的日趋成熟，首批获批的两种车型北汽极狐阿尔法S和长安深蓝分别在北京、重庆指定区域上路试点运行．经测试，长安深蓝的最高车速是北汽极狐阿尔法S的，两车均以最高车速行驶时，长安深蓝行驶100公里所用的时间比驾驶北汽极狐阿尔法S行驶120公里所用的时间多30分钟，求长安深蓝SL03的最高车速是多少公里/时？ 【答案】长安深蓝的最高车速为公里/时． 【分析】设北汽极狐阿尔法S的最高车速为x公里/时，则长安深蓝的最高车速为公里/时，根据“长安深蓝行驶100公里所用的时间比驾驶北汽极狐阿尔法S行驶120公里所用的时间多30分钟”列出分式方程，据此求解即可． 【详解】解：设北汽极狐阿尔法S的最高车速为x公里/时，则长安深蓝的最高车速为公里/时， 根据题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：长安深蓝的最高车速为公里/时． 7．（2026·山西长治·一模）为推进乡村振兴，建设美丽乡村，某乡村计划安装路灯．已知每盏太阳能路灯的价格比普通路灯贵200元；用12000元采购太阳能路灯的盏数与用9000元采购普通路灯的盏数相同．求每盏太阳能路灯的价格． 【答案】800元 【分析】设每盏普通路灯的价格为x元，根据用12000元采购太阳能路灯的盏数与用9000元采购普通路灯的盏数相同，列出方程进行求解即可. 【详解】解：设每盏普通路灯的价格为x元，则每盏太阳能路灯的价格为元． 根据题意得． 解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． （元）． 答：每盏太阳能路灯的价格为800元． 8．（2026·山西大同·一模）研究表明：植物具有固碳能力，所谓固碳能力，具体表现为植物通过光合作用将大气中的二氧化碳转化为有机碳，并固定在植物体内的能力．生物兴趣小组的同学们通过查阅资料发现，洋槐一天固碳2700克所需的种植面积是垂柳一天固碳2150克所需种植面积的2倍，而垂柳一天平均每平方米固碳量比洋槐一天平均每平方米固碳量多克，求洋槐一天平均每平方米的固碳量． 【答案】洋槐一天平均每平方米固碳量是克 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系正确列出分式方程是解题的关键．设洋槐一天平均每平方米固碳量是克，则垂柳一天平均每平方米固碳量是克，根据题意列出分式方程，求出的值即可解答． 【详解】解：设洋槐一天平均每平方米固碳量是克，则垂柳一天平均每平方米固碳量是克． 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：洋槐一天平均每平方米固碳量是克． 9．（2026·山西吕梁·一模）科技创新是推动高质量发展的核心动力，山西省重点研发计划有能源环保、信创、智能化、大健康生物医药、新材料、现代农业等六个领域项目，展现出山西从一个能源型省份向一个绿色生态省份的转变．某科技公司为助力数智时代产业升级，计划批量制作智能服务机器人，总计完成180台的生产任务，项目启动后，研发团队优化算法与生产流程，实际每个月制作的机器人数量是原计划的1．5倍．若最终提前2个月完成任务，求该公司每个月实际制作的机器人数量． 【答案】实际每个月制作机器人45台 【分析】设原计划每个月制作台机器人，则实际每个月制作台机器人，然后根据题意列分式方程求解即可． 【详解】解：设原计划每个月制作台机器人，则实际每个月制作台机器人， 根据题意得，解得， 经检验：是原方程的解， 实际每个月制作机器人（台）． 答：实际每个月制作机器人45台． 10．（2026·山西吕梁·一模）山西聚焦能源革命，推进晋北采煤沉陷区“风光储”一体化新能源基地建设．某工程队承接了基地内240组光伏板安装工程，为响应“提速转型”号召，实际施工时优化技术，在确保工程质量的前提下每天安装的光伏板组数是原计划的1.5倍，结果提前2天完成了全部安装任务．问原计划每天安装光伏板多少组？ 【答案】40组 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设原计划每天安装光伏板x组，根据“每天安装的光伏板组数是原计划的1.5倍，结果提前2天完成了全部安装任务”列方程求解即可． 【详解】解：设原计划每天安装光伏板x组． 依题意得， 解得， 经检验，是原分式方程的根，且符合题意． 答：原计划每天安装光伏板40组． 11．（2026·山西晋城·一模）为推进智慧城市建设，某社区服务中心计划采购一批智能安防摄像头．第一次用9000元购进若干台，安装后效果良好；第二次又用30000元购进了同型号的智能安防摄像头，所购数量是第一次的3倍，但每台智能安防摄像头的进价比第一次贵50元．求该社区第一次购进智能安防摄像头的数量． 【答案】 【分析】该社区第一次购进智能安防摄像头台，则第二次购进台，根据第二次每台智能安防摄像头的进价比第一次贵50元列出方程进行计算即可． 【详解】解：设该社区第一次购进智能安防摄像头台，则第二次购进台， 由题意得：， 解得， 经检验，是原方程的根且符合题意． 答：该社区第一次购进智能安防摄像头台． 一元一次方程与不等式的实际应用 考点09 1．（2026·山西·一模）炎炎夏日，外观迷你、携带方便的迷你小电扇受到越来越多人的喜爱，某商家计划购进两款迷你小电扇进行销售，已知款迷你小电扇的进价为30元，款迷你小电扇的进价为40元．该商家购进这两种迷你小电扇共100台，用去了3350元． (1)该商家分别购进这两款迷你小电扇多少台？ (2)为了满足市场需求，该商家决定用不超过5200元的资金再购进一批这两款迷你小电扇共150台，问该商家这次至少购进款迷你小电扇多少台？ 【答案】(1)购进A款小电扇65台，款小电扇35台． (2)80 【分析】此题考查一元一次方程的实际应用，一元一次不等式的应用，正确理解题意是解题的关键． (1) 设购进A款小电扇台，则款小电扇台，根据小电扇共100台，用去了3350元列一元一次方程，即可得出结论； (2) 设购进款小电扇台，则购进款小电扇台，根据用不超过元的资金购进，两款小电扇共台，即可得出关于y的一元一次不等式，解不等式即可得出结论． 【详解】（1）解：设购进A款小电扇台，则款小电扇台， 解得： 答：购进A款小电扇65台，款小电扇35台． （2）解：设购进款小电扇台，则购进款小电扇台． 购进款小电扇至少80台． 2．（2026·山西太原·一模）学校科创社团采购两种实验器材：简易电路套件和智能传感器套件，简易电路套件每套元，智能传感器套件每套元． (1)该社团首次采购两种套件共套，共花费元，求采购简易电路套件和智能传感器套件各多少套． 2/6 1/6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $