第01讲 二元一次方程和二元一次方程组（知识解读+例题精讲+随堂检测）-2025-2026学年七年级数学下册《知识解读·题型专练》（苏科版新教材）

本讲义聚焦二元一次方程和二元一次方程组核心知识点，先系统梳理二元一次方程的定义（含两个未知数且项次数为1）及解（使方程两边相等的未知数的值），再延伸至二元一次方程组的定义（含两个未知数、项次数为1且共两个方程）及解（公共解），构建从单个方程到方程组的递进学习支架。 该资料通过“概念辨析-典例示范-变式训练”分层设计，突出抽象能力（如判断方程/组是否为二元一次）和推理意识（如已知解求参数）的培养。题型涵盖定义判断、解的验证等，课中辅助教师突破重点难点，课后助力学生巩固知识，有效查漏补缺。

第01讲 二元一次方程和二元一次方程组 考点1：二元一次方程及它的解 考点2：二元一次方程组及它的解 重点： （1）判断是不是二元一次方程/组 （2）二元一次方程（组）解的理解 难点★： （1）二元一次方程（组）解的理解 （2）根据二元一次方程的定义求参数 知识点1：二元一次方程及它的解 1.概念：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的方程，叫做二元一次方程． 2.二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解． 【题型1 二元一次方程的定义】 【典例1】下列方程是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先明确二元一次方程的定义，即含有两个未知数，且含未知数的项的次数均为的整式方程，再逐一判断选项即可． 【详解】解：A、中的次数为，不符合定义，故此选项错误； B、含有两个未知数，且含未知数的项次数都是，是整式方程，符合定义，故此选项正确； C、只含有个未知数，不符合定义，故此选项错误； D、含有三个未知数，不符合定义，故此选项错误． 【变式1】下列属于二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】二元一次方程需满足：是整式方程，含有两个未知数，所有含未知数的项的次数都是1，根据二元一次方程的定义判断即可． 【详解】解：A项：中含未知数的项的次数为2，不符合定义，不是二元一次方程，故A错误； B项：只含有1个未知数，不符合定义，不是二元一次方程，故B错误； C项：整理得，是整式方程，含有两个未知数x，y，且含未知数的项的次数都是1，符合定义，是二元一次方程，故C正确； D项：中是分式，方程不是整式方程，不符合定义，不是二元一次方程，故D错误． 【变式2】下列方程：①；②；③；④．其中二元一次方程的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据二元一次方程的定义判断，含有两个未知数，且所含未知数的次数均为1次的整式方程叫做二元一次方程，逐个判断方程即可得到结果． 【详解】解：①只含有1个未知数，是一元一次方程，不符合二元一次方程定义； ②含有两个未知数，且所有未知数次数都是1，是整式方程，符合二元一次方程定义； ③只含有1个未知数，是一元一次方程，不符合定义； ④中项的次数是2，不符合要求，不是二元一次方程； 故符合条件的二元一次方程只有1个． 【变式3】若关于，的方程是二元一次方程，则的值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二元一次方程的定义求出和的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵关于的方程是二元一次方程， ∴，， ∴． 【题型2 二元一次方程的解】 【典例2】已知是方程的解，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据方程的解的定义，能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解，直接把已知解代入原方程计算即可． 【详解】解：将​代入方程，得： 解得：． 【变式1】方程的解是，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将代入，解方程求出的值即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 解得：． 【变式2】已知是关于，的二元一次方程的一组解，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二元一次方程解的定义，将已知的方程解代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解： 是关于，的二元一次方程的一组解， ， ． 【变3】若关于x、y的方程有一组解是，则a的值是（    ） A．29 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】根据方程解的定义，将已知解代入原方程，得到关于a的一元一次方程，求解即可得到a的值． 【详解】解：∵是方程的解， ∴把，代入原方程得： ， 整理得 ， 移项计算得 ， 解得 ． 知识点2：二元一次方程组及它的解 1.方程组：把 x+y=2 和x-y=0 合在一起写成 ，就组成了一个方程组 2.概念：方程组中含有两个未知数，含有每个未知数的项得次数都是 1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组． 3.二元一次方程的解：二元一次方程组中两个方程的公共解叫做二元一次方程组的解． 【题型3 判断是否是二元一次方程组】 【典例3】下列方程组中，属于二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】二元一次方程组需满足：方程组中共含有两个未知数，每个方程都是整式方程，且未知数的最高次数为1，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A、该方程组含有三个未知数，不符合二元一次方程组定义，故错误； B、该方程组中的次数为2，不是一次方程，不符合定义，故错误； C、该方程组中的次数为2，不是一次方程，不符合定义，故错误； D、该方程组共含有两个未知数，两个方程均为一次整式方程，符合二元一次方程组定义，故正确； 【变式1】下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的定义，二元一次方程组需满足：整个方程组共含有两个未知数，所有含未知数的项最高次数为1，且为整式方程，判断二元一次方程组的关键是看未知数的个数和含未知数项的次数，这是解题的关键．根据定义逐一判断选项即可． 【详解】解：二元一次方程组需满足：方程组共含2个未知数，所有含未知数的项的最高次数为1，且是整式方程组， 对各选项逐一判断： 选项, 该方程组共含两个未知数，所有含未知数的项的次数均为1，符合二元一次方程组的定义，符合题意； 选项, 该方程组含有共3个未知数，不符合定义，不符合题意； 选项, 该方程组中项的次数为2，不是一次，不符合定义，不符合题意； 选项, 该方程组中项的次数为2，不是一次，不符合定义，不符合题意； 故选：． 【变式2】若方程组 是二元一次方程组，则a 的值为________． 【答案】0 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的定义，由两个只含有两个未知数，且含未知数的项的次数为1的方程组成的方程组叫做二元一次方程组，据此求解即可． 【详解】解：∵方程组 是二元一次方程组， ∴， 故答案为：0． 【变式3】在方程组，，，，中．是二元一次方程组的有（   ） A．2个 B．3个 C．1个 D．5个 【答案】A 【分析】本题主要考查二元一次方程组的定义，根据二元一次方程组的定义，需满足：①含有两个未知数；②每个方程均为一次方程；③方程组由两个方程组成． 【详解】解：，是二元一次方程组， 方程含分式，未知数出现在分母中，次数为，不是一次方程， 中，方程含第三个未知数，导致方程组含三个未知数，不符合条件， ，方程中，项次数为2，不是一次方程， 符合条件的有第一个和第三个方程组，共2个， 故选：A． 【题型4 判断是否是二元一次方程组的解】 【典例4】若是下列某二元一次方程组的解，则这个方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】能使方程组中两个方程都成立的未知数的值就是方程组的解，将代入各选项方程组验证即可． 【详解】解：A. 把代入， ∵左边，右边，左边右边， ∴不是该方程组的解，不符合题意； B. 把代入， ∵左边，右边，左边右边， 再代入， ∵左边，右边，左边右边， ∴是该方程组的解，符合题意； C. 把代入， ∵左边，右边，左边右边， ∴不是该方程组的解，不符合题意； D. 把代入， ∵左边，右边，左边右边， ∴不是该方程组的解，不符合题意． 【变式1】以为解的方程组是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将代入代数式和分别求值即可得到最后结果． 【详解】解：，， ，， 以为解的方程组是． 故本题选：D． 【点睛】本题考查了是否是二元一次方程组的解，正确去括号解答是解题关键． 【变式2】观察下表可知关于，的二元一次方程组的解为（    ） 的解 的解 0 1 … 1 5 … 6 4 2 … 3 2 0 … A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解题的关键是掌握解是能使得等式成立的值，观察表格得知能使得两个方程都成了，即可得出答案． 【详解】解：通过观察表格知，与有一组公共解为， 故二元一次方程组的解为， 故选：A． 【变式3】写出一个解为的二元一次方程组________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据给定的解，构造两个满足该解的二元一次方程，联立后即可得到符合要求的二元一次方程组． 【详解】解：，得到方程； ，得到方程． 因此，所求二元一次方程组为． 【题型5 已知二元一次方程组的解求参数】 【典例5】小亮解方程组的解为，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和★，请你帮他找回★这个数，★=______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解的定义，熟练掌握“方程组的解满足方程组中的每一个方程”是解题的关键．利用方程组的解满足方程组中的方程，将已知的值代入对应的方程，求解的值． 【详解】解：∵方程组的解为，且， ∴将代入，得， ∴， ∴ ∴ ∴ 故答案为： 【变式1】若关于x，y的方程组的解为则a，b的值分别是________，________． 【答案】 2 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，将方程组的解代入原方程组，得到关于a和b的方程，求解即可． 【详解】解：由题意得，将代入方程组， 得 解得 故答案为：，． 【变式2】已知关于，的二元一次方程组的解为，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，熟知二元一次方程组的解是能使方程组成立的未知数的值． 将方程组的解代入方程，先求，再求，最后计算． 【详解】方程组组的解为， 将，代入得：，即，解得； 将，代入得：，即，解得； ； 故答案为． 【变式3】若关于x，y的二元一次方程组的解满足，则a的值是________． 【答案】3 【分析】本题考查了二元一次方程组的变形与求解，解题的关键是通过方程组相加得到的表达式，再结合已知条件列方程．将方程组的两个方程相加，得到关于的表达式，结合建立方程求解． 【详解】解：设方程①：， 方程②：． ①②，得：， 即． ∵， ∴， 解得：． 故答案为：3． 1．下列方程中是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】二元一次方程需满足三个条件：含有两个未知数，所含未知数的项的最高次数为1，且是整式方程，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A、，项的次数是2，不符合定义，不是二元一次方程，不符合题意； B、，同时满足三个条件，是二元一次方程，符合题意； C、，只含有一个未知数，不符合定义，不是二元一次方程，不符合题意； D、，不是整式，不属于整式方程，不符合定义，不是二元一次方程，不符合题意． 2．以为解的二元一次方程组是（        ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二元一次方程组的解的定义，将给定的解代入各选项的方程组，能使两个方程左右两边都相等的方程组即为所求． 【详解】解：把依次代入各选项的方程组验证： A选项∵代入得，∴A不符合题意； B选项∵代入得，∴B不符合题意； C选项∵代入得，左右两边相等，代入得，左右两边相等，两个方程都成立，∴C符合题意； D选项∵代入得，∴D不符合题意． 3．判断下列四组x，y的值，是二元一次方程的解的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：对于A，时，， 是二元一次方程的解，符合题意； 对于B，时，， 不是二元一次方程的解，不符合题意； 对于C，时，， 不是二元一次方程的解，不符合题意； 对于D，时，， 不是二元一次方程的解，不符合题意． 4．关于，的方程是二元一次方程，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二元一次方程的定义可知且，解方程即可得解． 【详解】解：关于，的方程是二元一次方程， ，， ，， ． 5．已知是二元一次方程的一组解，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将已知解代入方程得，再将原式变形后代入数值计算即可． 【详解】解：已知是二元一次方程的一组解， 则， ∴ ． 6．已知是关于x，y的方程组的解，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】根据方程组解的定义，将已知解代入方程组，即可求出a和b的值，进而计算得到的值． 【详解】解：∵是方程组的解， ∴将代入方程组，得， 解得， ∴． 7．已知二元一次方程组的解是，则表示的方程可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，“一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解”，熟练掌握二元一次方程组的解的定义是解题关键．先将方程组的解代入第一个方程可求出的值，从而可得这个方程组的解，再在四个选项中，找出满足这个解的方程即可得． 【详解】解：由题意，将代入方程得：， 解得， 所以这个方程组的解为． A、将代入得：，则此项不符合题意； B、将代入得：，则此项不符合题意； C、将代入得：，则此项符合题意； D、将代入得：，则此项不符合题意； 故选：C． 8．已知是关于，的二元一次方程，则______． 【答案】4 【分析】根据二元一次方程未知数的次数是1求解即可． 【详解】解： 是关于，的二元一次方程， ， 解得． 9．已知二元一次方程，则用关于的代数式表示为：______． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程的变形，用含一个未知数的代数式表示另一个未知数，根据等式的基本性质， 把方程变形，移项，系数化为后得到答案． 【详解】解：已知二元一次方程， 移项，整理得：， 则用关于的代数式表示为：． 10．若是关于，的二元一次方程的一个解，则___． 【答案】 【分析】将二元一次方程的解代入原方程，得到关于的一元二次方程，解该方程即可得到的值． 【详解】解：将代入二元一次方程得， 解得：． 11．请写出一个二元一次方程组_______，使该方程组解为． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据二元一次本题考查的是二元一次方程组解的定义，根据方程组的解找出与的和差倍分数量关系是解答此题的关键． 方程组的解为，找到与的数量关系，然后列出方程组即可． 【详解】解：∵二元一次方程组的解为， ∴这个方程组可以是（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 12．已知方程组的解满足，则的值是______． 【答案】1 【分析】本题考查二元一次方程组的解法，观察方程组两个方程的系数，将两个方程相减即可构造出表达式，结合已知条件即可求出k的值． 【详解】解： 得：， ， ， 解得． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 二元一次方程和二元一次方程组 考点1：二元一次方程及它的解 考点2：二元一次方程组及它的解 重点： （1）判断是不是二元一次方程/组 （2）二元一次方程（组）解的理解 难点★： （1）二元一次方程（组）解的理解 （2）根据二元一次方程的定义求参数 知识点1：二元一次方程及它的解 1.概念：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的方程，叫做二元一次方程． 2.二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解． 【题型1 二元一次方程的定义】 【典例1】下列方程是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】下列属于二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】下列方程：①；②；③；④．其中二元一次方程的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3】若关于，的方程是二元一次方程，则的值为（   ）． A． B． C． D． 【题型2 二元一次方程的解】 【典例2】已知是方程的解，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】方程的解是，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知是关于，的二元一次方程的一组解，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变3】若关于x、y的方程有一组解是，则a的值是（    ） A．29 B． C．1 D． 知识点2：二元一次方程组及它的解 1.方程组：把 x+y=2 和x-y=0 合在一起写成 ，就组成了一个方程组 2.概念：方程组中含有两个未知数，含有每个未知数的项得次数都是 1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组． 3.二元一次方程的解：二元一次方程组中两个方程的公共解叫做二元一次方程组的解． 【题型3 判断是否是二元一次方程组】 【典例3】下列方程组中，属于二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】若方程组 是二元一次方程组，则a 的值为________． 【变式3】在方程组，，，，中．是二元一次方程组的有（   ） A．2个 B．3个 C．1个 D．5个 【题型4 判断是否是二元一次方程组的解】 【典例4】若是下列某二元一次方程组的解，则这个方程组为（    ） A． B． C． D． 【变式1】以为解的方程组是（   ） A． B． C． D． 【变式2】观察下表可知关于，的二元一次方程组的解为（    ） 的解 的解 0 1 … 1 5 … 6 4 2 … 3 2 0 … A． B． C． D． 【变式3】写出一个解为的二元一次方程组________． 【题型5 已知二元一次方程组的解求参数】 【典例5】小亮解方程组的解为，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和★，请你帮他找回★这个数，★=______． 【变式2】已知关于，的二元一次方程组的解为，则的值为_____． 【变式3】若关于x，y的二元一次方程组的解满足，则a的值是________． 1．下列方程中是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．以为解的二元一次方程组是（        ） A． B． C． D． 3．判断下列四组x，y的值，是二元一次方程的解的是（  ） A． B． C． D． 4．关于，的方程是二元一次方程，则的值是（   ） A． B． C． D． 5．已知是二元一次方程的一组解，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 6．已知是关于x，y的方程组的解，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 7．已知二元一次方程组的解是，则表示的方程可能是（   ） A． B． C． D． 8．已知是关于，的二元一次方程，则______． 9．已知二元一次方程，则用关于的代数式表示为：______． 10．若是关于，的二元一次方程的一个解，则___． 11．请写出一个二元一次方程组_______，使该方程组解为． 12．已知方程组的解满足，则的值是______． 1 学科网（北京）股份有限公司 $