第十七章 三角形单元复习（高效培优讲义）数学新教材沪教版五四制七年级下册

第十七章 三角形单元复习 三角形的有关概念 1. 三角形的三边关系 公理： 三角形的任意两边之和大于第三边. 利用不等式的性质，由上述公理可以推出“三角不等式”的推论； 推论：三角形任意两边的差小于第三边 总结：三角形任意一边的长大于另外两边之差，小于另外两边之和.a-c<b<a+c 【即学即练】有两根长度分别为5cm、7cm的木棒，用长度为13cm的木棒与它们能拼成一个三角形吗?用长度为2cm的木棒呢? 2. 三角形的分类 （1）按角分 按角分 （2）按边分 按边分 【即学即练】 一个等腰三角形的一边长是5，周长是17，那么它的另外两边长是多少？ 3. 三角形的主要线段 （1）三角形的高 锐角三角形的高都在三角形的内部；直角三角形有两条高与两条直角边重合；钝角三角形有两条高在三角形外部。 应用：利用等积法计算 根据高的位置分类讨论求角的度数 （2）三角形的中线 应用：同（等）底等高的三角形面积相等 AD为中线⇒BD=DC⇒= （3）三角形的角平分线 三角形的内角和 1.三角形的内角和 三角形内角和定理：三角形内角和等于180°. 2.三角形的外角及其性质 三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和. 三角形的外角大于和它不相邻 的任一内角. ∠ACD=∠A+∠B ∠ACD∠A，∠ACD>∠B 3.常见的导角模型 （1）常见的三种基本模型 8字型 A字型 燕尾型 图形 结论 ∠A+∠B=∠C+∠D ∠B+∠C=∠ADE+∠AED ∠BOC=∠A+∠B+∠C （2）三角形中的叠角模型 不压边求角 压一边求角 压两边求角 图形 结论 ∠1+∠2=2∠A ∠1-∠2=2∠A ∠1+∠2=2∠A （3）双角平分线的夹角模型 全等三角形及其性质 1.全等变换 常见的全等变换有：平移、旋转、翻折 【即学即练】 如图所示，图中有四对三角形，每对中的△ABC通过怎样的运动能与另一个三角形重合？ 解：图（1）△ABC向下平移四个单位与△DEF重合； （2） △ABC绕点A顺时针旋转90与△AEF重合； （3） △ABC沿着直线BC翻折与△DBC重合； （4）△ABC绕点A顺时针旋转90再沿着AC边所在的直线翻折与△AED重合. 2. 全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等，对应角相等. 全等三角形的判定 判定1 公理：三边对应相等的两个三角形全等(简记为“边边边”或“SSS”) 判定2 公理：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(简记为“边角边”或“SAS”)； 判定3 公理：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(简记为“角边角”或“ASA”) 判定4 定理： 两角对应相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(简记为“角角边”或“AAS”) 题型01 三角形的有关概念 【典例1】（25-26八年级上·上海浦东新·期中）下列各组线段中，能组成三角形的是（   ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【典例2】（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，，分别是的边，的高线，，，，则的长为________． 【变式1】（2025·海南·中考真题）已知三角形三条边的长分别为3、5、，则的值可能是（   ） A．2 B．5 C．8 D．11 【变式2】（24-25八年级上·重庆巴南·月考）如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．都有可能 【变式3】（24-25八年级上·安徽六安·期末）如图，在中，G是边上任意一点，D、E、F分别是、、的中点，，则的值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式4】（24-25七年级下·上海宝山·期中）a、b、c为三角形的三边，化简： 题型02 三角形的内角和 【典例1】（25-26八年级上·上海浦东新·期中）已知中，，则_______，该三角形是________三角形（按角分类）． 【典例2】（24-25七年级下·上海·期中）如图，的两条边被一直线所截，用含和的式子表示______． 【变式1】（24-25七年级下·上海宝山·期中）根据图中的数据，可得的度数为_________________． 【变式2】（24-25七年级下·上海崇明·期中）将一副三角板按照如图方式摆放，则的度数为________． 【变式3】（24-25七年级下·上海·期中）如图，在中，，垂足为点，平分，交于点，，，则的度数是______． 【变式4】（25-26八年级上·上海徐汇·期中）定义：若三角形的两个内角和满足，则称这样的三角形为“奇异互余三角形”．在中，，，是射线上一点，若是“奇异互余三角形”，则_______ 【变式5】（24-25七年级下·上海金山·期中）如图，在中，，，绕点逆时针旋转的三角形的一边平行于原三角形的一边，如果旋转角小于，那么______°． 题型03 三角形中的导角模型 【典例1】（25-26八年级上·河北邢台·月考）如图，小明在计算机上用“几何画板”画了一个，点A，B分别在射线，上（均不与点O重合），的角平分线与角平分线交于点 E．随着点A，B位置的变化，对于和，下列判断正确的是（   ） A． 和的度数均会改变 B．和的度数均不会改变 C．只有的度数不会改变 D．只有的度数不会改变 【变式1】（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，在中，，将沿直线l翻折，点B落在点的位置，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·四川绵阳·月考）如图，在中，，外角，若P是和的平分线的交点，则的度数为 ______． 【变式3】（24-25七年级下·上海奉贤·期中）综合与实践 (1)如图1，在中，与的平分线交于点，如果，那么 ． (2)如图2，作外角、的平分线交于点，试求出、之间的数量关系． (3)如图3，延长、交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，请直接写出的度数． 【变式4】直线与直线垂直相交于点在直线上运动，点在直线上运动．    (1)如图1，已知分别是和角的平分线，点在运动的过程中，的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出的大小． (2)如图2，已知不平行分别是和的角平分线，又分别是和的角平分线，点在运动的过程中，的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值． (3)如图3，延长至，已知的角平分线与的角平分线及延长线相交于，在中，如果有一个角是另一个角的3倍，试求的度数． 题型04 全等三角形的性质 【典例1】（24-25七年级下·上海闵行·期中）如图，已知，那么的度数是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·上海·期中）如图，且，，，． (1)求的长度． (2)求的度数． 【变式2】（24-25七年级下·上海松江·期中）如图，，顶点A、C分别与顶点D、B对应，点E在边上，边与边相交于点F． (1)若，求线段的长； (2)若，求的度数 【变式3】（24-25七年级下·上海青浦·期中）如图，已知，，，那么______． 【变式4】（24-25七年级下·上海闵行·期中）如图，已知，并将它们摆成如图所示的形式，那么的度数等于___________． 题型05 全等三角形的判定 【典例1】如图，四边形中，，，， (1)求证：； (2)求证：； 【变式1】如图，点B、E、C、F在同一直线上，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【变式2】如图，在四边形中，，点E为对角线上一点，，且． (1)求证：； (2)求证：． 【变式3】如图，在中，是边上的中线，若，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式4】如图，已知在四边形中，，E为的中点，连接，，，，，求的长度． 题型05 尺规作图 【典例1】如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，请根据所学的三角形全等的有关知识，说明得出的依据是 ． 【变式1】尺规作图． 已知：（如图）． 求作：，使与全等． 要求： (1)不写作法，保留作图痕迹； (2)写出作图时选取的相等的边或角． 【变式2】已知：，（图1、图2）．在图2中，以为一边，在的内部作（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 【变式3】已知直线，小明和小亮想画出的平行线，他们的方法如下：    下列说法正确的是(    ) A．小明的方法正确，小亮的方法不正确 B．小明的方法不正确，小亮的方法正确 C．小明、小亮的方法都正确 D．小明、小亮的方法都不正确 【变式4】（24-25七年级下·上海·期中）通过“三角形全等的判定”的学习，大家知道“两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等”是一个基本事实，可以判定两个三角形全等；而满足条件“两边和其中一边所对的角分别相等”的两个三角形全等吗？下面请你来探究． 任务：已知，求作，使（即两边和其中一边所对的角分别相等）． (1)【实践与操作】请依据下面的步骤，用尺规完成作图过程（保留作图痕迹）； ①作线段； ②在线段的上方作； ③作，交射线于点； ④连接得所求三角形． (2)【观察与小结】观察你作的图形，你会发现满足条件的三角形有___________个；其中___________（填三角形的名称）与不全等． 因此可得：“两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形全等”是：_______命题．（填“真”或“假”） 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十七章 三角形单元复习 三角形的有关概念 1. 三角形的三边关系 公理： 三角形的任意两边之和大于第三边. 利用不等式的性质，由上述公理可以推出“三角不等式”的推论； 推论：三角形任意两边的差小于第三边 总结：三角形任意一边的长大于另外两边之差，小于另外两边之和.a-c<b<a+c 【即学即练】有两根长度分别为5cm、7cm的木棒，用长度为13cm的木棒与它们能拼成一个三角形吗?用长度为2cm的木棒呢? 解：用长度为13cm的木棒时，因为5+7=12<13，所以这三根木棒不能拼成三角形. 用长度为2cm的木棒时，因为2+5=7，所以这三根木棒也不能拼成三角形 2. 三角形的分类 （1）按角分 按角分 （2）按边分 按边分 【即学即练】 一个等腰三角形的一边长是5，周长是17，那么它的另外两边长是多少？ 解：设等腰三角形中不等于5的那条边长为x，则三角形的三边长分别为5、5、x；或x、x、5, 若5、5、x，由周长为17，可得方程5+5+x=17, 解之得x=7, 所以另外两边为5和7； 若三边长为x、x、5,由周长为17，可得方程x+x+5=17 解之得x=6 所以另外两边为6和6； 答：另外两边长为5和7或6和6； 3. 三角形的主要线段 （1）三角形的高 锐角三角形的高都在三角形的内部；直角三角形有两条高与两条直角边重合；钝角三角形有两条高在三角形外部。 应用：利用等积法计算 根据高的位置分类讨论求角的度数 （2）三角形的中线 应用：同（等）底等高的三角形面积相等 AD为中线⇒BD=DC⇒= （3）三角形的角平分线 三角形的内角和 1.三角形的内角和 三角形内角和定理：三角形内角和等于180°. 2.三角形的外角及其性质 三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和. 三角形的外角大于和它不相邻 的任一内角. ∠ACD=∠A+∠B ∠ACD∠A，∠ACD>∠B 3.常见的导角模型 （1）常见的三种基本模型 8字型 A字型 燕尾型 图形 结论 ∠A+∠B=∠C+∠D ∠B+∠C=∠ADE+∠AED ∠BOC=∠A+∠B+∠C （2）三角形中的叠角模型 不压边求角 压一边求角 压两边求角 图形 结论 ∠1+∠2=2∠A ∠1-∠2=2∠A ∠1+∠2=2∠A （3）双角平分线的夹角模型 全等三角形及其性质 1.全等变换 常见的全等变换有：平移、旋转、翻折 【即学即练】 如图所示，图中有四对三角形，每对中的△ABC通过怎样的运动能与另一个三角形重合？ 解：图（1）△ABC向下平移四个单位与△DEF重合； （2） △ABC绕点A顺时针旋转90与△AEF重合； （3） △ABC沿着直线BC翻折与△DBC重合； （4）△ABC绕点A顺时针旋转90再沿着AC边所在的直线翻折与△AED重合. 2. 全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等，对应角相等. 全等三角形的判定 判定1 公理：三边对应相等的两个三角形全等(简记为“边边边”或“SSS”) 判定2 公理：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(简记为“边角边”或“SAS”)； 判定3 公理：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(简记为“角边角”或“ASA”) 判定4 定理： 两角对应相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(简记为“角角边”或“AAS”) 题型01 三角形的有关概念 【典例1】（25-26八年级上·上海浦东新·期中）下列各组线段中，能组成三角形的是（   ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【答案】C 【分析】本题考查构成三角形的条件． 根据构成三角形的条件，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．，不能组成三角形，不符合题意； B．，不能组成三角形，不符合题意； C．，，能组成三角形，符合题意； D．，不能组成三角形，不符合题意． 故选：C． 【典例2】（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，，分别是的边，的高线，，，，则的长为________． 【答案】 【分析】本题考查三角形中求线段长，熟记三角形面积公式是解决问题的关键． 根据题意，由等面积法列等式，代值求解即可得到答案． 【详解】解：，分别是的边，的高线， ， ，，， ， 解得， 故答案为：． 【变式1】（2025·海南·中考真题）已知三角形三条边的长分别为3、5、，则的值可能是（   ） A．2 B．5 C．8 D．11 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 根据三角形的三边关系列出不等式，即可求出x的取值范围． 【详解】解：∵三角形的三边长分别为3，x，5， ∴， 即， 故选B． 【变式2】（24-25八年级上·重庆巴南·月考）如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．都有可能 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的高，钝角三角形的三条高所在的直线的交点在三角形的外部；锐角三角形的三条高所在的直线的交点在三角形的内部；直角三角形的三条高所在的直线的交点是三角形的直角顶点据此判断即可． 【详解】解：一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，这个三角形是直角三角形． 故选C． 【变式3】（24-25八年级上·安徽六安·期末）如图，在中，G是边上任意一点，D、E、F分别是、、的中点，，则的值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理为等底等高的三角形的面积相等．根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答． 【详解】解：连接，如图所示： ∵点是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵点是的中点， ∴． 故选：A． 【变式4】（24-25七年级下·上海宝山·期中）a、b、c为三角形的三边，化简： 【答案】 【分析】本题考查了三角形三边的不等关系：任两边的和大小第三边，任两边的差小于第三边，化简绝对值等知识；根据三角形三边关系确定的符号，由绝对值的性质及整式加减法则即可化简． 【详解】解：∵a、b、c为三角形的三边， ∴， 即， ∴ ． 题型02 三角形的内角和 【典例1】（25-26八年级上·上海浦东新·期中）已知中，，则_______，该三角形是________三角形（按角分类）． 【答案】 70 锐角 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理．根据三角形内角和定理，计算的度数，再根据各角的大小判断三角形的形状． 【详解】解：∵， ∴， ∴是锐角三角形． 故答案为：70；锐角 【典例2】（24-25七年级下·上海·期中）如图，的两条边被一直线所截，用含和的式子表示______． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的应用，对顶角相等，根据三角形内角和为和对顶角相等，进行解答即可． 【详解】解：∵，， ∴ ． 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级下·上海宝山·期中）根据图中的数据，可得的度数为_________________． 【答案】/50度 【分析】本题考查了三角形外角的性质：三角形的外角等于不相邻的两个内角的和；据此即可求解． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级下·上海崇明·期中）将一副三角板按照如图方式摆放，则的度数为________． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，熟知三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角的度数之和是解题的关键．根据题意先得到，再根据三角形的外角性质进行计算即可． 【详解】解：由题意可知， 根据三角形外角性质，， 所以的度数为． 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·上海·期中）如图，在中，，垂足为点，平分，交于点，，，则的度数是______． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了与角平分线有关的三角形内角和问题，先由三角形内角和定理求出的度数，再由角平分线的定义求出的度数，再求出的度数即可求出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式4】（25-26八年级上·上海徐汇·期中）定义：若三角形的两个内角和满足，则称这样的三角形为“奇异互余三角形”．在中，，，是射线上一点，若是“奇异互余三角形”，则_______ 【答案】或或 【分析】本题主要考查了“奇异互余三角形”的定义，三角形外角的性质，直角三角形的性质等知识，理解新定义“奇异互余三角形”是解题关键．根据“奇异互余三角形”的定义，分三种情况：当点P在延长线上，，则，当点P在延长线上，时，则，当点P在线段上时，，，分别求出结果即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 分三种情况讨论， 如图，当点P在延长线上，，则， 此时， 即， ∴①， ∵②， 由，可得， ∴； 如图，当点P在延长线上，时，则， 此时，即， ∴③， ∵④， ∴得， ∴； 如图，当点P在线段上时，，， ∴， ∴此时； 综上所述，的所有可能的度数为或或． 故答案为：或或． 【变式5】（24-25七年级下·上海金山·期中）如图，在中，，，绕点逆时针旋转的三角形的一边平行于原三角形的一边，如果旋转角小于，那么______°． 【答案】62、70、110、118 【分析】本题主要考查了旋转的性质及平行线的性质，三角形内角和定理，熟知图形旋转的性质及巧用分类讨论的数学思想是解题的关键．根据旋转后的一边与原三角形的一边进行分类讨论，并画出图形，再结合平行线的性质求解． 【详解】解：令绕点A逆时针旋转后的对应三角形为（其中点B对应点为M，点C对应点为N）， 当时， ∵， ∴， ∴旋转角α为； 当时， ∵， ∴， ∴， ∴旋转角α为； 当时，如图所示， 在中，∵，， ∴， 由旋转可知：， ∵， ∴， ∴旋转角α为； 当时，如图所示， ∵， ∴， ∴， ∴旋转角α为， 综上所述，旋转角或或或． 故答案为：或或或． 题型03 三角形中的导角模型 【典例1】（25-26八年级上·河北邢台·月考）如图，小明在计算机上用“几何画板”画了一个，点A，B分别在射线，上（均不与点O重合），的角平分线与角平分线交于点 E．随着点A，B位置的变化，对于和，下列判断正确的是（   ） A． 和的度数均会改变 B．和的度数均不会改变 C．只有的度数不会改变 D．只有的度数不会改变 【答案】D 【分析】本题考查三角形的角平分线，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，掌握三角形内角和定理和三角形外角的性质是解题的关键． 由角平分线得到，，从而根据三角形外角的性质得到，即可判断的度数会改变．由，可判断的度数不会改变． 【详解】解：∵平分， ∴， ∴， ∵随着点A，B位置的改变，的大小也随之改变， ∴的度数会改变． ∵平分， ∴， ∴ ， ∴随着点A，B位置的改变，的度数不会改变． 故选：D 【变式1】（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，在中，，将沿直线l翻折，点B落在点的位置，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了折叠问题，三角形外角的性质等知识点，熟练掌握折叠的性质及三角形外角的性质是解题的关键．设与交于点，由折叠的性质可得，由三角形外角的性质可得，由此即可求出的度数． 【详解】解：如图，设与交于点，    由折叠的性质可得：， 由三角形外角的性质可得： ， ， 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·四川绵阳·月考）如图，在中，，外角，若P是和的平分线的交点，则的度数为 ______． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的应用，角平分线定义，熟练掌握三角形内角和为是解题的关键．先根据角平分线定义得出，求出，再根据角平分线定义求出，最后根据三角形内角和定理即可得出答案． 【详解】解：∵平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·上海奉贤·期中）综合与实践 (1)如图1，在中，与的平分线交于点，如果，那么 ． (2)如图2，作外角、的平分线交于点，试求出、之间的数量关系． (3)如图3，延长、交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出，进而求出即可解决问题； （2）根据三角形的外角性质分别表示出与，再根据角平分线的性质可求得，最后根据三角形内角和定理即可求解； （3）在中，由于，求出，，所以如果中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么分四种情况进行讨论：①；②；③；④；分别列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵． ∴， ∵点P是和的平分线的交点， ∴， （2）解：∵外角，的角平分线交于点Q， ∴ ， ∴； （3）解：延长至F， ∵为的外角的角平分线， ∴是的外角的平分线， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴，即； ∵ ， ∴； 如果中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，那么分四种情况： ①，则，； ②，则，； ③，则，解得； ④，则，解得． 综上所述，的度数是或或或． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识；灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键． 【变式4】直线与直线垂直相交于点在直线上运动，点在直线上运动．    (1)如图1，已知分别是和角的平分线，点在运动的过程中，的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出的大小． (2)如图2，已知不平行分别是和的角平分线，又分别是和的角平分线，点在运动的过程中，的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值． (3)如图3，延长至，已知的角平分线与的角平分线及延长线相交于，在中，如果有一个角是另一个角的3倍，试求的度数． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理以及三角形外角性质的运用，解题时注意：三角形内和为；三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．解题时注意分类思想的灵活运用． （1）根据角平分线的定义以及三角形内角和定理进行计算，即可得到的大小不变； （2）根据延长、交于点．根据角平分线的定义以及三角形内角和定理，可得，再根据角平分线的定义以及三角形内角和定理，即可得到； （3）先根据角平分线的定义以及三角形内角和定理，得到，再根据分别是和的角平分线，可得．最后根据中，有一个角是另一个角的3倍，分四种情况进行讨论，即可得到的度数． 【详解】（1）的大小不变． ∵直线与直线垂直相交于， ∵、分别是和角的平分线，    （2）如图2，延长、交于点．    ∵直线与直线垂直相交于， ∵、分别是和的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵、分别是和的角平分线， ∴； （3）∵与的角平分线相交于， ∵、分别是和的角平分线， 在中，有一个角是另一个角的3倍，故有： ① ②（舍去） ③ ④（舍去） 或．    题型04 全等三角形的性质 【典例1】（24-25七年级下·上海闵行·期中）如图，已知，那么的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的对应角相等，根据全等三角形的性质可得，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 【变式1】（24-25七年级下·上海·期中）如图，且，，，． (1)求的长度． (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等． （1）根据题意求出的长，根据全等三角形的性质得到答案； （2）根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：，， ， ， ； （2）解：∵ ∴． 【变式2】（24-25七年级下·上海松江·期中）如图，，顶点A、C分别与顶点D、B对应，点E在边上，边与边相交于点F． (1)若，求线段的长； (2)若，求的度数 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题主要考查了三角形全等的性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键． （1）由全等三角形的性质可得，再由进行计算即可得到答案； （2）由全等三角形的性质可得，再由三角形内角和定理可得，最后由进行计算即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， ． 【变式3】（24-25七年级下·上海青浦·期中）如图，已知，，，那么______． 【答案】/度 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，平行线的性质，等边对等角，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键．根据平行线的性质得到，根据全等三角形的性质得到，计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式4】（24-25七年级下·上海闵行·期中）如图，已知，并将它们摆成如图所示的形式，那么的度数等于___________． 【答案】/度 【分析】此题考查了三角形内角和定理、全等三角形的性质等知识，熟练掌握三角形内角和定理是关键．根据三角形全等得到，则，进一步根据平角定义和三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：∵ ∴， ∴ 由题意可得，， 又∵ ∴ 故答案为； 题型05 全等三角形的判定 【典例1】如图，四边形中，，，， (1)求证：； (2)求证：； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由证明即可； （2）由全等三角形的性质得，利用证明，根据全等三角形的性质求出，再根据角的和差得出结论． 【详解】（1）证明：， ， 即， 在和中， （2）证明：由（1）可知，， ， 在和中， ， ， ， 即． 【变式1】如图，点B、E、C、F在同一直线上，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． （1）先由平行得到，再根据即可证明； （2）先由三角形内角和定理求出，再由全等三角形对应边相等求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ∴； （2）解：在中，， 由（1）知， ∴． 答：． 【变式2】如图，在四边形中，，点E为对角线上一点，，且． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，掌握全等三角形的判定与性质，平行线的性质是解题的关键． （1）先由得，再由可证； （2）由全等三角形的性质可得，由等腰三角形的性质可得结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴． 【变式3】如图，在中，是边上的中线，若，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形三边关系，全等三角形的判定及性质；延长至，使，由判定，由三角形的三边关系得，即可求解． 【详解】解：延长至，使， 是边上的中线， ， ， （）， ， ， ， ， 故选：A． 【变式4】如图，已知在四边形中，，E为的中点，连接，，，，，求的长度． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，延长交于F，可证明，得到，；再证明，得到，则． 【详解】解：如图所示，延长交于F， ∵， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∴， ∴，； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 题型05 尺规作图 【典例1】如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，请根据所学的三角形全等的有关知识，说明得出的依据是 ． 【答案】 【分析】本题考查了作图基本作图，全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定定理是正确解答本题的关键．由作法易得，，，依据定理得到，由全等三角形的对应角相等得到． 【详解】解：由作图方法可知，，， 在与中， ， ∴， ∴（全等三角形的对应角相等）． 故答案为：． 【变式1】尺规作图． 已知：（如图）． 求作：，使与全等． 要求： (1)不写作法，保留作图痕迹； (2)写出作图时选取的相等的边或角． 【答案】(1)图见解析 (2) 【分析】本题考查尺规作图—作三角形，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键： （1）利用，作射线，截取，分别以为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，即可； （2）根据进行作答即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）由作图，． 【变式2】已知：，（图1、图2）．在图2中，以为一边，在的内部作（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】见解析 【分析】本题考查尺规作图画已知角，掌握尺规作图画已知角是解题的关键． 分别以顶点与点为圆心，任意长度为半径画弧，再以弧与的交点为圆心，以弧与交点长度为半径画弧，连接点与两弧交点并延长，即可得到 ． 【详解】解：如图所示，即为所求： 【变式3】已知直线，小明和小亮想画出的平行线，他们的方法如下：    下列说法正确的是(    ) A．小明的方法正确，小亮的方法不正确 B．小明的方法不正确，小亮的方法正确 C．小明、小亮的方法都正确 D．小明、小亮的方法都不正确 【答案】C 【分析】根据内错角相等两直线平行可知小明的方法正确，根据同位角相等两直线平行可知小亮的方法正确，由此得解． 【详解】解：小明的方法： 设三角板的第三个顶点是F，    依题意得：， ∴，即小明的方法正确； 小亮的方法： 依题意，这是尺规作图—作相等的角， ∴， ∴，即小亮的方法正确； ∴小明、小亮的方法都正确， 故选：C． 【点睛】本题考查平行线的判定，尺规作图—作相等的角，掌握相关定理是解题的关键． 【变式4】（24-25七年级下·上海·期中）通过“三角形全等的判定”的学习，大家知道“两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等”是一个基本事实，可以判定两个三角形全等；而满足条件“两边和其中一边所对的角分别相等”的两个三角形全等吗？下面请你来探究． 任务：已知，求作，使（即两边和其中一边所对的角分别相等）． (1)【实践与操作】请依据下面的步骤，用尺规完成作图过程（保留作图痕迹）； ①作线段； ②在线段的上方作； ③作，交射线于点； ④连接得所求三角形． (2)【观察与小结】观察你作的图形，你会发现满足条件的三角形有___________个；其中___________（填三角形的名称）与不全等． 因此可得：“两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形全等”是：_______命题．（填“真”或“假”） 【答案】(1)见解析 (2)2；；假 【分析】本题考查尺规作图，全等三角形的判定； （1）根据步骤尺规作图，得两个三角形； （2）如图，满足条件的三角形有两个，，，其中与△ABC明显不全等，因此可得结论：两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形不一定相等． 【详解】（1）解：作图如下， ； （2）解：观察所作的图形，发现满足条件的三角形有2个；其中（填三角形的名称）与不全等． 因此可得：“两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形全等”是假命题． 故答案为：2；；假． 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $