第十八章 等腰三角形（高效培优单元自测·培优卷）数学新教材沪教版五四制七年级下册

第十八章 等腰三角形（高效培优单元自测·培优卷） （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一、单选题（本大题共6小题，每题2分，共12分） 1．已知下列各组数据，能构成等腰三角形三边边长的是（    ） A．2，2，1 B．1，2，1 C．1，3，1 D．2，2，5 2．如图，在中，，分别交、于点D、E．若，．，则的周长为（　　）    A． B． C． D． 3．如图，在中，，，的垂直平分线交于点D，交于点E，则的周长为（    ） A．18 B．19 C．20 D．21 4．如图，中，，将绕点逆时针旋转（），得到，交于点．当时，点恰好落在上，此时等于（    ） A． B． C． D． 5．等腰三角形两条边长分别为和，则这个等腰三角形的周长是（   ） A． B． C．或 D．或 6．如图，点在内，与关于对称，与关于对称，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共12小题，每题3分，共36分） 7．已知等腰三角形的一边长为4、另一边长为8，则这个等腰三角形的周长为_______． 8．如图，中，，P是上任意一点，过P作于D，于E，若，则_________ 9．如图，点，在射线上，点，在射线上，满足，且，则的度数为______． 10．在中，的平分线相交于，过点且，若，，则______． 11．如图，等腰，，，则________． 12．如图，是边长为的等边三角形，，分别是边，上的两点，将沿直线折叠，点落在点处，则阴影部分图形的周长为_______． 13．如图，在中，点在的垂直平分线上，，若，则的度数为_____． 14．如图，在四边形中，，，，连接，的面积为，点E是边边上一动点，点P在线段上，连接，则的最小值是________． 15．如图，已知在等边中，，点E、F分别在边、上，将沿翻折，点A正好落在边上的点D处，如果的周长比的周长小，那么________． 16．如图，在已知的中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线交于点D，连接，若，则的周长为 _______． 17．如图，O是内一点，．若，则________度． 18．如图，，在内有一点P，，垂直于M，垂直于N，且，，连接，，则_________．    三、解答题（本大题共7小题，共52分） 19．（本小题6分）如图，等腰中，，一腰上的中线BD将这个等腰三角形的周长分为21和12两部分，求此三角形的腰长及底边长． 20．（本小题6分）如图，D为△边延长线上一点，且，E是的中点，平分交AB于点F．求证：． 21．（本小题6分）如图，在中，，． (1)尺规作图： ①作边的垂直平分线交于点D，连接； ②作边的垂直平分线交于点E，连接（要求：保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）所作的图中，求的度数． 22．（本小题8分）【提出问题】如图1，已知在直线l同侧有两点A、B，请在直线l上找一点C，使得最小． 【分析问题】如图2，作B关于直线的对称点，连接与直线l交于点C，点C就是所求的点． 因为直线l是点B，的对称轴，点C在l上，由此可得． 所以 ． 以上问题的解决过程中运用的数学基本事实是 ． 【解决问题】如图3，在四边形中，，在边，上分别确定点P，点Q，使得周长最小． （1）尺规作图：作出（保留作图痕迹，不写作法）． （2）若，求的度数． 23．（本小题8分）如图，OF是的平分线，点A在射线OM上，P，Q是直线ON上的两动点，点Q在点P的右侧，且，作线段OQ的垂直平分线，分别交直线OF，ON于点B，C，连接AB，PB． (1)如图①，当P，Q两点都在射线ON上时，求线段AB与PB的数量关系． (2)如图②，当P，Q两点都在射线ON的反向延长线上时，线段AB，PB是否还存在（1）中的数量关系？请说明理由． 24．（本小题8分）已知是等边三角形，． (1)当点、分别在、上时， ①如图1，请说明； ②如图2，若平分，平分，请判断与的位置关系，并说明理由． (2)如图3，在的外部，且点在的延长线上，反向延长交射线于点，若平分，平分，则与是否相等？请说明理由． 25．（本小题10分）【问题情境】它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．这种模型称为“手拉手模型”．如果把小等腰三角形的腰长看作是小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手． 【模型探究】（1）如图1，若和均为等边三角形，，，，，点A、D、E在同一条直线上，连接，则__________；线段__________；则的度数为__________； 【探究证明】（2）如图2，已知，分别以为直角边向两侧作等腰直角和等腰直角，其中，，，连接，线段和交于点O．请判断线段和的关系，并说明理由； 【模型应用】（3）如图3，在中，，，将线段绕着点C逆时针旋转至线段，连接，则的面积为____________________． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十八章 等腰三角形（高效培优单元自测·培优卷） （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一、单选题（本大题共6小题，每题2分，共12分） 1．已知下列各组数据，能构成等腰三角形三边边长的是（    ） A．2，2，1 B．1，2，1 C．1，3，1 D．2，2，5 【答案】A 【分析】此题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系定理，根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，三角形两边之差小于第三边逐一判断即可． 【详解】A．，本组数据可以构成等腰三角形；故本选项正确； B．，本组数据不可以构成等腰三角形；故本选项错误； C．，本组数据不可以构成等腰三角形；故本选项错误； D．，本组数据不可以构成等腰三角形；故本选项错误； 故选：A． 2．如图，在中，，分别交、于点D、E．若，．，则的周长为（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，平行线的性质，解题的关键是先证明为等边三角形，得出，，求出，证明为等边三角形，即可求出结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴的周长为． 故选：D． 3．如图，在中，，，的垂直平分线交于点D，交于点E，则的周长为（    ） A．18 B．19 C．20 D．21 【答案】C 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质，由垂直平分线的性质可得出，等量代换可得出的周长为． 【详解】解：∵是是垂直平分线， ∴， ∴的周长为， 故选：C． 4．如图，中，，将绕点逆时针旋转（），得到，交于点．当时，点恰好落在上，此时等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据旋转的性质得出，，，根据等腰三角形的性质得出，根据角的和差关系得出，根据三角形外角性质即可得答案． 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转（），得到，， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 5．等腰三角形两条边长分别为和，则这个等腰三角形的周长是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】根据等腰三角形的定义，对腰长进行分类讨论，再结合三角形三边关系判断能否构成三角形，舍去不符合要求的情况，即可计算得到周长． 【详解】解：分两种情况讨论： 若为等腰三角形的腰长，则三角形三边长为，，， ，不符合三角形三边关系，不能构成三角形，舍去； 若为等腰三角形的腰长，则三角形三边长为，，， ，符合三角形三边关系，能构成三角形， 此时三角形的周长为． 6．如图，点在内，与关于对称，与关于对称，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由对称性判断角与边的关系，得出是等边三角形，即可确定的度数． 【详解】解：∵与关于对称，与关于对称， ， 又， ， 是等边三角形， ， ． 二、填空题（本大题共12小题，每题3分，共36分） 7．已知等腰三角形的一边长为4、另一边长为8，则这个等腰三角形的周长为_______． 【答案】20 【分析】先分类讨论，然后利用三角形的三边关系进行验证即可． 【详解】解：①若三角形的三边长为： 所以不能构成三角形 ②若三角形的三边长为： 此时能构成三角形 故：等腰三角形的周长为： 故答案为：20 【点睛】本题考查等腰三角形的性质．考查学生分类讨论思想以及验证能力． 8．如图，中，，P是上任意一点，过P作于D，于E，若，则_________ 【答案】6 【分析】连接，由，代入数值，解答即可． 【详解】解：连接， 由图可得，， ∵于D，于E，， ∴， ∴． 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形，解答时注意，将一个三角形的面积转化成两个三角形的面积和；体现了转化思想． 9．如图，点，在射线上，点，在射线上，满足，且，则的度数为______． 【答案】 【分析】设 ，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质，依次推导 、、、、 的度数（用 表示），最后利用垂直定义和三角形内角和定理（或外角性质）建立方程求解即可． 【详解】解：设 在 中， 即 解得 故的度数为． 10．在中，的平分线相交于，过点且，若，，则______． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边，利用平行线的性质和角平分线的定义可得，即得，同理可得，再根据线段的和差关系即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， 故答案为：． 11．如图，等腰，，，则________． 【答案】/15度 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质．证明为等边三角形，可得，可得的度数，再由等腰三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵等腰，， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 12．如图，是边长为的等边三角形，，分别是边，上的两点，将沿直线折叠，点落在点处，则阴影部分图形的周长为_______． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质和折叠问题．根据等边三角形的性质和折叠性质进行解答即可得． 【详解】解：∵等边的边长为， ∴， ∵，分别是边，上的两点，将沿直线折叠，点落在处， ∴，， 则阴影部分图形的周长为：， 故答案为：． 13．如图，在中，点在的垂直平分线上，，若，则的度数为_____． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形中等边对等角，垂直平分线的性质以及三角形的外角性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据，，求出，结合点在的垂直平分线上，以及三角形外角的性质，可求出，最终可得出的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵点在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14．如图，在四边形中，，，，连接，的面积为，点E是边边上一动点，点P在线段上，连接，则的最小值是________． 【答案】 【分析】连接AC，CP，根据，，可得BD垂直平分AC，从而得到AP=CP，进而得到PC+PE的最小值为CE的长，且当CE⊥AB时，CE最小，再根据△ABD≌△CBD，可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接AC，CP， ∵，， ∴BD垂直平分AC， ∴AP=CP， ∴PA+PE=PC+PE≥CE， 即PC+PE的最小值为CE的长，且当CE⊥AB时，CE最小， ∵，，BD=BD， ∴△ABD≌△CBD， ∴， ∴， ∴，即PA+PE的最小值为． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，熟练掌握线段垂直平分线的判定，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 15．如图，已知在等边中，，点E、F分别在边、上，将沿翻折，点A正好落在边上的点D处，如果的周长比的周长小，那么________． 【答案】 【分析】本题主要考查了折叠性质和等边三角形性质．根据折叠性质可知：，，由等边性质可知，， 因为的周长比的周长小1cm，所以，结合即可求解． 【详解】解：由折叠性质可知：，， ∴的周长， 的周长， ∵在等边中，， ∴，， ∴，． 故答案为： 16．如图，在已知的中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线交于点D，连接，若，则的周长为 _______． 【答案】12 【分析】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．证明，推出的周长，可得结论． 【详解】解：由作图可知垂直平分线段， ， 的周长． 故答案为：12． 17．如图，O是内一点，．若，则________度． 【答案】63 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 根据等腰三角形的判定与性质可知，再根据三角形内角和定理解答即可． 【详解】解：∵， 是等腰三角形， ， ， 故答案为：63． 18．如图，，在内有一点P，，垂直于M，垂直于N，且，，连接，，则_________．    【答案】5 【分析】连接， 垂直平分，垂直平分，得到，再证明是等边三角形，即可． 【详解】解：连接，    ∵垂直于M，垂直于N，且，， ∴垂直平分，垂直平分， ∴，， ∵， ∴， 即：， ∴是等边三角形， ∴； 故答案为：5． 【点睛】本题考查中垂线的判定和性质，等边三角形的判定和性质．熟练掌握中垂线上的点到线段两端点的距离相等，是解题的关键． 三、解答题（本大题共7小题，共52分） 19．（本小题6分）如图，等腰中，，一腰上的中线BD将这个等腰三角形的周长分为21和12两部分，求此三角形的腰长及底边长． 【答案】三角形的腰长为14，底边为5 【分析】此题考查了学生对等腰三角形的性质及三角形的三边关系的理解和运用．应用方程组求解是正确解答本题的关键．设腰长，则，底边的长为y，分两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：设腰长，则，底边的长为y，则 （1）或（2） 由（1）得：，此时，三边长为14、14、5能构成三角形 由（2）得：，此时，三边长为8、8、12不能构成三角形 故三角形的腰长为14，底边为5． 20．（本小题6分）如图，D为△边延长线上一点，且，E是的中点，平分交AB于点F．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的定义，根据三线合一定理证明平分，然后根据平分，根据邻补角的定义即可证得． 【详解】证明：是的中点， ． 平分， ． ， 即， ． 21．（本小题6分）如图，在中，，． (1)尺规作图： ①作边的垂直平分线交于点D，连接； ②作边的垂直平分线交于点E，连接（要求：保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）所作的图中，求的度数． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2) 【分析】此题考查了垂直平分线的作图和性质、等边对等角、三角形外角的性质、三角形的内角和定理等知识，准确作图是关键． （1）①按照垂直平分线的作图方法作图即可；②按照垂直平分线的作图方法作图即可； （2）根据垂直平分线的性质得到，则根据三角形外角的性质和三角形内角和定理即可求出答案． 【详解】（1）解：①如图，直线即为所求，②如图，直线即为所求， （2）∵垂直平分，垂直平分， ∴， ∴ ∴， ∴ 22．（本小题8分）【提出问题】如图1，已知在直线l同侧有两点A、B，请在直线l上找一点C，使得最小． 【分析问题】如图2，作B关于直线的对称点，连接与直线l交于点C，点C就是所求的点． 因为直线l是点B，的对称轴，点C在l上，由此可得． 所以 ． 以上问题的解决过程中运用的数学基本事实是 ． 【解决问题】如图3，在四边形中，，在边，上分别确定点P，点Q，使得周长最小． （1）尺规作图：作出（保留作图痕迹，不写作法）． （2）若，求的度数． 【答案】，，两点之间线段最短；（1）见解析；（2）80° 【分析】[分析问题]利用轴对称的性质，两点之间线段最短解决问题； [解决问题]①作点D关于的对称点，关于的对称点，连接分别交于点P，交于点Q，连接，即可； ②求出可得结论． 【详解】解：[分析问题]：如图2中，作B关于直线的对称点，连接与直线l交于点C，点C就是所求的点． 因为直线l是点B，的对称轴，点C在l上，由此可得． 所以． 上问题的解决过程中运用的数学基本事实是：两点之间线段最短； [解决问题]：①如图3中，即为所求； 根据轴对称可知：，， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小； ②∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，轴对称最短问题，角的计算，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 23．（本小题8分）如图，OF是的平分线，点A在射线OM上，P，Q是直线ON上的两动点，点Q在点P的右侧，且，作线段OQ的垂直平分线，分别交直线OF，ON于点B，C，连接AB，PB． (1)如图①，当P，Q两点都在射线ON上时，求线段AB与PB的数量关系． (2)如图②，当P，Q两点都在射线ON的反向延长线上时，线段AB，PB是否还存在（1）中的数量关系？请说明理由． 【答案】(1) (2)存在．理由见解析 【分析】（1）要证AB=PB，可通过角平分线性质 + 垂直平分线性质，证明； （2）同理，仍利用角平分线、垂直平分线的性质，证明三角形全等，进而推导． 【详解】（1）解：如图①，连接． ∵垂直平分， ∴． ∴． ∵平分， ∴． 在和中， ∴， ∴． （2）解：如图②，连接． ∵垂直平分， ∴， ∴． ∵平分， ∴． ∴． ∵，， ∴． ∴． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质（垂直平分线上的点到线段两端距离相等）、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，解题关键是通过连接，构造全等三角形，利用 “边 - 角 - 边” 证明全等，进而推导边的关系． 24．（本小题8分）已知是等边三角形，． (1)当点、分别在、上时， ①如图1，请说明； ②如图2，若平分，平分，请判断与的位置关系，并说明理由． (2)如图3，在的外部，且点在的延长线上，反向延长交射线于点，若平分，平分，则与是否相等？请说明理由． 【答案】(1)①见解析；②，见解析 (2)，见解析 【分析】（1）解：①根据三角形的外角定理得出，即．推出，即可得出． ②根据角平分线的定义得出，．则．再根据得出，即可得出结论； （2）先推出．根据角平分线的定义得出，．再通过证明．得出，则，即可得出结论． 【详解】（1）解：①∵是的外角， ∴， 即． ∵是等边三角形，， ∴， ∴． ②． 理由：∵平分，平分， ∴，． ∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴ ． 由（1）可知， ∴， ∴． （2）解：． 理由：∵是等边三角形， ∴，． ∵，，， ∴． ∵平分，平分， ∴，． ∵， ∴． ∵ ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，角平分线，平行线的判定和性质，三角形的外角定理，解题关键的掌握等边三角形三个角都是60度，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，平行线的判定定理和性质． 25．（本小题10分）【问题情境】它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．这种模型称为“手拉手模型”．如果把小等腰三角形的腰长看作是小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手． 【模型探究】（1）如图1，若和均为等边三角形，，，，，点A、D、E在同一条直线上，连接，则__________；线段__________；则的度数为__________； 【探究证明】（2）如图2，已知，分别以为直角边向两侧作等腰直角和等腰直角，其中，，，连接，线段和交于点O．请判断线段和的关系，并说明理由； 【模型应用】（3）如图3，在中，，，将线段绕着点C逆时针旋转至线段，连接，则的面积为____________________． 【答案】（1），， （2），，理由见解析 （3） 【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质解答即可； （2）同理证明，根据全等三角形的性质解答即可； （3）作交于E点，连接，根据旋转的性质和等腰直角三角形性质，推出，从而证明出，，最后利用三角形面积公式求解即可； 【详解】（1）解：∵和均为等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又， ∴； 故答案为：，，； （2）解：，；理由如下： ∵和均为等腰直角三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又， ∴， ∴，； （3）解：如图所示，作交于E点，连接， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，，， 由旋转的性质可知，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴的面积为， 故答案为：； 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的判定和性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $