微专题03 旋转中的全等模型（专项训练）数学新教材北师大版八年级下册

命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 微专题03旋转中的全等模型 题型01基础模型识别与直接证明（手拉手模型） 题型02条件分散型求解（自旋转/奔驰模型） 旋转中的全等模型 题型03特殊角中的线段转化（半角模型）】 题型04动态最值与路径探究（费马点/旋转相似） /oo 常点堂破 题型01基础模型识别与直接证明（手拉手模型) 啸方法 这是旋转全等最基础的考法，通常以等边三角形、等腰直角三角形或正方形为背景，给出“共顶点的 相等线段”，要求学生直接证明两个三角形全等，或推导线段、角度的数量与位置关系。 解题方法：找共性，抓不变量 1. 识图定位：圈出图形中的“共顶点”和“相等的线段”（如等边三角形边长、等腰直角三角形腰）。 2. 推导夹角：利用“公共角”或“角的和差”，证明需要全等的两个三角形的“夹角相等”。 3. 判定全等：利用SAS(边角边)判定定理直接证明两个三角形全等。 4. 转化结论：将要求解的线段或角，映射到全等的对应边或对应角上进行求解。 1.(23-24八年级下·辽宁沈阳·期中)数学研究小组以“手拉手图形”为主题开展数学活动，两个顶角相等的 等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把他们的底角顶点连接起来，则形成一组全等三角形，我 们把这个规律的图形称为“手拉手图形”.如图1，已知等边ABC的边长为6，点D,E分别为AC, BC的中点，现将aCDE绕点C顺时针旋转角度为a(0°<a<360),直线BE,AD相交于点F;当 △CDE旋转到图2位置(B、C、D在同一直线上)时，∠AFB的度数为；在整个旋转过程中， 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 当点D与F重合时，BE的长为 图1 图2 2.(25-26八年级上山东东营·期中)“数学区别于其它学科最主要的特征是抽象与推理”，几何学习尤其需要 我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以解决新 的问题 D 图1 图2 图3 (I)模型探究：如图I,ABC和△AED中，AB=AC,AE=AD,∠BAC=∠EAD,连接BE、CD.这里 △ABE与△ACD有一个公共的顶点，且将其中的一个三角形通过旋转可以和另一个三角形重合，我们将 这样的图形称为“手拉手模型”.请你说明△ABE与△ACD全等的理由 (2)模型应用①：如图2，ABC中，AB=AC,LBAC=50,D为平面内一点，且∠ADB=∠ACB,求 ∠BDC的度数.聪明的小亮同学，想到可以通过辅助线构造“手拉手模型”来解决这个问题，小亮先在线 段BD上找到一点E,使得AE=AD,请你根据小亮的思路，求出LBDC的度数（要有必要的说理过程). (3)模型应用②：如图3，在四边形ABCD中，AB=BC,∠ABC=60°，∠ADC=30°，试探究线段AD、 BD、CD的数量关系，并说明理由. 3.(24-25八年级上·湖南岳阳·期中)【综合实践】如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合， 则称此图形为“手拉手全等模型”，因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉 手模型”. 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 450 图(1) 图(2) 图(3) 【问题初探】 (1)ABC和△DBE是两个都含有45°角的大小不同的直角三角板，当两个三角板如图1所示的位置摆 放时，D、B,C在同一直线上，连接AD、CE,请证明：AD=CE 【类比探究】 (2)ABC和△DBE是两个都含有45°角的大小不同的直角三角板，当三角板ABC保持不动时，将三角 板DBE绕点B顺时针旋转到如图2所示的位置，判断AD与CE的数量关系和位置关系，并说明理由. 【拓展延伸】 (3》如图3，在四边形ABCD中，∠BAD=90,AB=AD,BC=3CD,连接AC,BD,∠ACD=45°，A 4 到直线CD的距离为7，请求出△BCD的面积. 4.(23-24九年级上山西吕梁期末)综合与实践 【模型感知】 手拉手模型是初中数学里三角形全等知识点考察的重要模型，两个有公共顶点且顶角相等的等腰三角形 组成的图形叫手拉手模型. (I)如图1，已知ABC和ADE都是等边三角形，连接BE,CD.求证：BE=CD; E B B 图1 图2 图3 【模型应用】 (2)如图2，己知ABC和ADE都是等边三角形，将ADE绕点A旋转一定的角度，当点D在CB的 延长线上时，求证：AB+BD=BE; 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【类比探究】 (3)如图3，已知ABC和ADE都是等边三角形.当点D在射线BC上时，过点E作EF⊥AB于点F ,直接写出线段AB,BF与BD之间存在的数量关系为 5.(24-25八年级上江苏扬州期中)“数学区别于其它学科最主要的特征是抽象与推理”，几何学习尤其需要 我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以解决新 的问题 【认识模型】如图I,ABC和△AED中，AB=AC,AE=AD,∠BAC=∠EAD,连接BE、CD.这 里△ABE与△ACD有一个公共的顶点，其中的一个三角形通过旋转可以和另一个三角形重合，我们将这 样的图形称为“手拉手模型”. 【理解模型】如图2，点P是等边ABC外一点，∠APB=∠APC=60°.求证：PA=PB+PC. 聪明的小明同学，想到可以通过辅助线构造“手拉手模型”来解决这个问题，将△APB绕点A逆时针旋转 60°到△ADC,使点B与点C重合，只要证得P、C、D三点在同一直线上，进而就可以证明△APD为 等边三角形，请你根据小明的思路，写出完整的推理过程 图1 图2 图3 【变式迁移】如图3，四边形ABDC中，∠BAC=LBDC=90°，AB=AC,连接AD.请直接写出AD、 BD、CD之间的数量关系： 【构造模型】如图4，在ABC中，AC=BC,∠ACB=60°，D是ABC外一点，若线段AD、BD、 CD满足关系式AD2+BD2=CD2,则∠ADB的度数为 ,请说明理由. D B 图4 6.(25-26八年级上·四川成都月考)研究性学习：在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一 个模型：如果两个等腰三角形的顶点重合，且顶角相等，则称此图形为“手拉手全等模型”。 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 图3 (I)【模型感知】如图1，ABC与ADE都是等腰三角形，其中∠BAC=∠DAE,求证△ABD≌△ACE (②)【知识迁移】如图2，在ABC中，∠CAB=90°，AB=AC,E、F为BC边上的点且∠EAF=45°，请 判断EF,BE,FC的数量关系，并证明你的结论， (3)【方法推广】如图3，在ABC中，∠ABC=30°，AB=3,BC=5,点P为ABC内一点，连接PA、 PB、PC,求PA+√2PB+PC的最小值. 题型02条件分散型求解（自旋转/奔驰模型） 啸方法 此类题型通常给出一个几何图形（如直角三角形、普通三角形），并将其中一部分（一个三角形）绕某 点旋转一定角度，形成交叉的“Y”字型或“奔驰”标志型。考查目标是求线段长度、证明线段和差关系或 计算角度。 解题方法：遇中点等腰，旋转180°160°/90° 1. 找旋转源：锁定图形中具有“中点”或“等边/等腰”特征的三角形。 2. 构造旋转： (1)若有中点，将三角形绕中点旋转180°，构造中心对称（倍长中线法）。 (2)若有60°角/等边，旋转60°构造新等边三角形。 (3)若有90°角等腰直角，旋转90°构造等腰直角三角形。 3. 集中条件：通过旋转，将原本分散的线段“搬运”到一起，汇聚到一个新的三角形中。 4. 计算求解：利用全等性质和勾股定理三角函数求出目标线段或角度。 1.(25-26八年级上·江苏南通期末)如图，在ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4,点D是边BC的中点， 点P是AC边上一个动点，连接PD,以PD为边在PD的下方作等边△PDO,连接CQ,则CQ的最小值 为() 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.5 B.V3-1 C.√2 D.1 2.(25-26九年级上·四川广安期末)Rt△ABC中，∠ACB=90°，将ABC绕点C顺时针旋转得到△A'B'C ,点A的对应点为A. 图① 图② 图③ (1)如图①，当LACB'=20°时，ABC绕点C顺时针旋转了 (2)如图②，当点B在AB上时，若A'B'∥BC,求∠A的度数： (3)如图③，当点P为A'B的中点时，连接BP,若BC=2,AC=4,在ABC绕点C顺时针旋转一周的 过程中，直接写出线段BP的最大值和最小值， 3.(25-26九年级上·吉林白山期中)如图①，在直角三角形纸片ABC中，∠BAC=90°，AB=6,AC=8. B (W) B E M AM E G 图① 图② 【数学活动】 将三角形纸片ABC进行以下操作： ①折叠三角形纸片ABC,使点C与点A重合，得到折痕DE,然后展开铺平； ②将△DEC绕点D顺时针方向旋转得到△DFG,点E、C的对应点分别是点F、G,直线GF与边AC交 于点M(点M不与点A重合)，与边AB交于点N. 【数学思考】 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)在△DEC绕点D旋转的过程中，如图①，试判断MF与ME的数量关系，并证明你的结论： 【数学探究】 (2)如图②，在△DEC绕点D旋转的过程中，当直线GF经过点B时，求AM的长： 【问题延伸】 (3)在△DEC绕点D旋转的过程中，连接AF,则AF的取值范围是 4.(2022辽宁沈阳·三模)在等腰三角形ADC和等腰三角形BEC中，∠ADC=∠BEC=90°，BC<CD,将 △BEC绕点C逆时针旋转，连接AB,点O为线段AB的中点，连接DO,EO D 图1 各用图 (1)如图1，当点B旋转到CD边上时，请直接写出线段D0与EO的关系为_； (2)在(1)的基础上，△BEC绕点C逆时针继续旋转45°，(1)中的结论是否成立？若成立，请画出图形并 写出证明过程；若不成立，请说明理由； (3)若BC=2,CD=√6，在△BEC绕点C逆时针旋转的过程中，当∠ACB=60°时，请直接写出线段OD 的长 5.(23-24八年级下江苏无锡期中)如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=AC,点D在AB上， DE⊥AB交BC于点E,F是AE中点. 图1 图2 (I)线段FD与线段FC的数量关系是FD FC,位置关系是FD FC: (2)如图2，将△BDE绕点B逆时针旋转a(0°<a<90°)，其他条件不变，线段FD与线段FC的关系是否 发生变化？写出你的结论并证明； (3)将△BDE绕点B逆时针旋转一周，如果BC=2√2，BE=2,直接写出线段BF长的取值范围 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 6.(2023河南新乡三模)如图，在ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,点D,E分别在边AB,AC上， 且DE⊥AD,连接BE,点F为BE的中点，连接DF,CF. B B D E (I)观察猜想：线段DF,CF的数量关系为；DF,CF的位置关系为· (2)探究证明：把ADE绕点A逆时针旋转到如图所示位置，试判断(1)中的关系是否仍然成立.如果 成立，请加以证明；如果不成立，请说明理由 (3)拓展应用；若AB=25,AD=7,把ADE绕点A逆时针旋转的过程中，请直接写出当D,E,B三 点共线时CF的长度 题型03特殊角中的线段转化（半角模型) 煤方法 高频出现在正方形、等腰直角三角形中。特征为“大角包含一半的角”。考查重点是通过旋转将分开的 两条线段转化为一条线段，证明线段的和差倍分关系。 解题方法：截长补短思路下的“绕顶点旋转凑角'” 1.定中心：确定含有半角的顶点（通常是特殊四边形的顶点）。 2. 选目标：选择半角的一条边所在的三角形，将其绕中心点旋转，使这条边与另一条边重合。 3. 证全等：证明旋转后的三角形与原图形中的某个三角形全等（通常用SAS)。 4. 得结论：此时半角的两边完全重合，从而得出“两段线段之和等于第三段线段”的结论。 1.(2025八年级上河北专题练习)阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 从正方形的一个顶点引出夹角为45°的两条射线，并连接 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称 为半角模型.半角模型可证出多个几何结论，例如： 如图1，在正方形ABCD中，以A为顶点的∠EAF=45°， AE、AF与BC、CD边分别交于E、F两点.易证得 EF=BE +FD 大致证明思路：如图2，将△ADF绕点A顺时针旋转90°， 得到△ABH,由∠HBE=180°可得H、B、E三点共线， ∠HAE=∠EAF=45°，进而可证明△AEH≌△AEF,故 EF BE DF 任务：如图3，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B=∠D=90°，∠BAD=120°，以A为顶点的∠EAF=60° ,AE、AF与BC、CD边分别交于E、F两点.请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论 EF=BE+DF是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由， A D 60 H-- E B E 图1 图2 图3 2.（2025·山东济宁三模)当几何图形中，两个共顶点的角所在角度是公共大角一半的关系，我们称之为“半 角模型”，通常用“旋转的观点”看待图形的几何变换，使得两个分散的角变换成为一个三角形，相当于构 造出两个三角形全等， 【问题初探】 图1 图2 图3 (1)如图1，在四边形ABCD中，AD=CD,∠A=∠ADC=∠BCD=90°，E、F分别是AB、BC边上的 点，且LEDF=45°，求出图中线段EF,AE,FC之间的数量关系. 如图1，从条件出发：将ADE绕着点D逆时针旋转90°到位置，根据“旋转的性质”分析CM与AE之间 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 的关系，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系，可证得结论. 【类比分析】 (2)如图2，在四边形ABCD中，AB=AD,∠BAD=∠BCD=90°，∠EAF=45°，且BC=10, DC=14,CF=8,求BE的长， 【学以致用】 (3)如图3，在四边形ABCD中，AB=AD,∠ABC与∠ADC互补，点E、F分别在射线CB、DC上， 且∠EAF=BAD,当BC=4,DC=9,CF=2时，求出△CEF的周长. 3.(25-26九年级上·甘肃庆阳·期中)【建立模型】如图1，正方形ABCD的边长为6，点E,F分别在边BC ,CD上，LEAF=45°，将△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADG. B 图1 图2 (1)求证：EF=GF; 【模型应用】 (2)当BE=2时，①CG= ②求EF的长. 【模型拓展】 (3)如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,点M,N在边BC上，且∠MAN=45°， 若BM=1,CN=3,求MN的长。 4.(25-26九年级上·贵州毕节·月考)【阅读理解】半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组 成这个较大角的两边相等.通过旋转或截长补短，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构成 全等三角形，用以解决线段关系、角度、面积等问题. 【初步探究】如图1，在正方形ABCD中，点E,F分别在边BC,CD上，连接AE,AF,EF,若 ∠EAF=45°，将△ADF绕点A顺时针旋转90°.点D与点B重合，得到△ABG易证： △AEF≌△AEG, (I)根据以上信息，填空：①∠EAG=_。;②线段BE、EF、DF之间满足的数量关系为； 【迁移探究】(2)如图2，在正方形ABCD中，若点E在射线CB上，点F在射线DC上， 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 LEAF=45°，猜想线段BE、EF、DF之间的数量关系，请证明你的结论； 【拓展探索】(3)如图3，已知正方形ABCD的边长为3√2，∠EAF=45°，连接BD分别交AE、AF于 点M、N,若点M恰好为线段BD的三等分点，且BM<DM,求线段MN的长， D D 4 O B B E E 图1 图2 图3 5.(24-25九年级上·吉林·期末)【综合与探究】数学课上，李老师布置了一道题目：如图①，点E,F分别 在正方形ABCD的边AB,BC上，∠EDF=45°，连接EF,求证：EF=AE+CF. B F 图① 图② 图③ (①)【思路梳理勤奋”小组的同学给出了如下的思路分析过程，请你补充完整： :AD=CD,:将ADE绕点D逆时针旋转90至aCDG,可使AD与CD重合， :∠A=∠DCG,∠ADE=∠CDG,AE=CG,DE=DG, :∠DCB=∠A=90°，∠FCG=180°即点F,C,G共线， :∠EDG=∠EDC+∠CDG=∠EDC+∠ADE=∠ADC=90°， :∠EDF=45°，，∠GDF=∠EDF=45°， 又：DF=DF,· ≌△DEF,( )(写依据) :EF=FG=CG+CF=AE+CF. (2)【类比引申智慧”小组的同学在“勤奋”小组同学的基础上，改变了条件：如图②，在四边形ABCD中， AD=DC,∠ADC=90°点E,F分别在边AB,BC上，∠EDF=45°，连接EF.若∠A,∠C都不是 直角，且∠A+∠C=180°，则(1)中的结论是否还成立？并说明理由. (3)【联想拓展创新”小组的同学提出了下面的问题：如图③，在ABC中，∠ABC=90°，AB=BC, 点D,E均在边AC上，且∠DBE=45°.当AD=1,CE=2时，直接写出DE的长度. 6.(24-25八年级下·黑龙江大庆期末)我们可以通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 一类题的目的，下面是一个题目案例. B F 原题：如图，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B=∠D=∠BAD=90°，点E、F分别在边BC、CD上， LEAF=45°，连接EF. 求证：EF=BE+DF. 【思路梳理】如图1，延长CD至点G,使DG=BE,连接AG,通过△ABE≌△ADG及△AEF≌△AGF, 可证EF=BE+DF; B B E M G 图1 图2 图3 【类比联想】 (1)如图2，在四边形ABCD中，AB=AD,∠BAD=90°，点E、F分别在边BC、CD上， LEAF=45°.若∠B+∠D=180°，试判断EF=BE+DF是否成立，并说明理由； (2)如图3，在△ABD中，∠BAD=90°，AB=AD,点M、N在边BD上，且∠MAN=45°，猜想 BM、MN、ND应满足的等量关系，并写出推理过程； 【引申拓展】 (3)在等腰直角ABC中，点P在斜边AB上，请直接写出CP、AP、BP所满足的数量关系 题型04动态最值与路径探究（费马点/旋转相似) 煤方法 压轴大题高频考点。给定一个动点绕定点旋转，或者平面内一点到三个定点的距离之和最小（费马点 问题)。核心考查旋转构造、轨迹思想和转化思想。 解题方法：定轨迹，转分散，破最值 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1. 找定点与动线：确定旋转中心，判断动点运动的轨迹（通常为圆或圆弧）。 2. 等值代换：当遇到形如PA十PB十PC的最小值问题时，通过旋转60°构造等边三角形，将一条线段“搬 运”到EQ,从而将折线PA十PB+PC转化为直线段PQ+PB+EQ之和。 3. 三点共线：当转化后的两条线段处于同一条直线上时，距离和取得最小值（即两点之间线段最短）。 4. 回归计算：将几何最值问题转化为在直角三角形中利用勾股定理求解。 E B 1.(25-26九年级上·吉林长春期末)【问题呈现】如图①，点M是边长为4的等边三角形ABC内一点，连 接MA、MB、MC,求MA+MB+MC的最小值. M B B 图① 图② 图③ 【问题解决】小明利用旋转的方法，将三条线段转化后首尾相接，求出了MA+MB+MC的最小值，过程 如下： 如图②，将△ABM绕点B逆时针旋转60°得到△DBN,连接MN,由旋转可知： △DBN≌△ABM,∠MBN=60 .MA=DN,MB NB. △BMN是等边三角形. :NM =MB .MA+MB+M C =D N NM M C. 而DN+NM+MC的最小值是线段①的长度（②）_， :MA+MB+MC的最小值为③ 请将上面的过程补充完整. 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【拓展应用】如图③，△ABE是等边三角形，M是正方形ABCD对角线BD(不含点B)上一点. (1)用圆规和无刻度的直尺在图③中作等边△BMN,使点N在△ABE内；（不写作法，保留作图痕迹， 作图确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑)； (2)当AM+BM+CM的最小值为V5+1时，正方形ABCD的边长为 2.(25-26八年级上重庆北碚期末)如图，在ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于点D D C 图1 图2 图3 (1)如图1，若AC=5,BC=42,求ABC的面积. (2)如图2，将AC绕点C顺时针旋转90°到CE,连接BE交CD于点F,请猜想并证明DF,AD,CF之 间的数量关系。 (3)如图3，在(1)的条件下，若点P、Q分别是CD、AB边上的两个动点，且满足CP=AQ,连结BP 、CO,点K为△BPC内部一点，连结KP、KB、KC,当BP+CO取得最小值时，请判断 KP+√2KB+KC是否有最小值，若没有请说明理由；若有请直接写出最小值. 3.(24-25八年级下·陕西西安期中)在综合与实践课上，同学们以“图形的旋转”为主题开展数学探究活动. 【问题呈现】如图1，ABC内部有一点P,连接PA、PB、PC,求PA+PB+PC的最小值 【问题解快】小明是这样做的：他将△APC绕点C顺时针旋转60°得到△EDC，连接PD,可得 △PCD为等边三角形，故PC=PD,由旋转可得PA=DE,因此PA+PB+PC=DE+PB+PD. (1)由 （数学依据)可知：PA+PB+PC的最小值与线段的 的长度相等，此时 ∠BPC= (2)【类比应用】如图2，在ABC中，∠ACB=60°，AC=6,BC=4,P为ABC内一点，连接 PA、PB、PC,求PA+PB+PC的最小值 (3)【生活实际】如图3，是某新建公园的一块四边形空地，其中∠B=90°，∠BAD=105°， AB=BC=40米，AD=40√2米，规划部门计划在等腰Rt△MNQ区域种植花卉，其中M、N是边 AB、BC上的两个动点，且始终保持BM=CN·同时为了方便市民观赏与休息，决定在这块空地内部的 点P处建造一个凉亭，从P点分别向A、D、Q处修建文化长廊，为节约修建文化长廊的成本，不考虑 其他因素，是否存在这样的点P,使得PA+PD+PQ最小，若存在，请求出PA+PD+PQ的最小值；若不 存在，请说明理由 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A C 图1 图2 图3 4.(2024陕西西安模拟预测)(1)问题背景 如图1，P为ABC内部一点，连接PA、PB、PC,将△APC绕，点C顺时针旋转60°得到△A'P'C,连 接PP', 图1 图2 由PC=P'C,∠PCP'=60°，可知△PCP'为 三角形，故PP'=PC,又PA'=PA,故 PA+PB+PC=PA'+PB+PP'≥A'B,由 可知，当B,P,P,A在同一条直线上时， PA+PB+PC取最小值，如图2，最小值为A'B,此时的P点为该三角形的“费马点”. (2)问题解决 如图3，在ABC中，三个内角均小于120°，且AC=3,BC=4,∠ACB=30°，求PA+PB+PC的最 小值； (3)问题应用 如图4，设村庄A,B,C的连线构成一个三角形，且AC=6km,BC=4V3km,∠ACB=30°.现欲在 ABC内部建一中转站P沿直线向A,B,C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A,B,C的铺 设成本分别为1000元/km,1000元/km,1000√5万元/km,是否存在合适的P的位置，可以使总的铺 设成本最低，若存在请求出成本的最小值. 图3 图4 5.(24-25八年级下·广东梅州月考)提出问题： 如果点P是锐角ABC内一动点，如何确定一个位置，使点P到ABC的三个顶点的距离之和 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 PA+PB+PC的值为最小？ 转化问题： 连接AP,BP,CP,把△APC绕点A逆时针旋转60°得到△APC,连接PP',这样就把确定 PA+PB+PC的最小值的问题转化成确定BP+PP'+P'C'的最小值的问题了，请你利用图1证明： PA+PB+PC=BP+PP'+P'C'. 图1 图2 解决问题： 当点P到锐角ABC的三个顶点的距离之和PA+PB+PC的值为最小时，请你用一定的数量关系刻画此 时点P的位置： 延伸问题： 如图2，这是有一个锐角为30°的直角三角形，如果斜边为6，点P是这个三角形内一动点，请你利用 上述方法，求点P到这个三角形的三个顶点的距离之和的最小值. 6.(25-26九年级上福建龙岩期中)阅读与思考 构图法在初中数学解题中的应用 构图法指的是构造与数量关系对应的几何图形，用几何图形中反映的数量关系来解决数学 问题的方法.巧妙地构造图形有助于我们把握问题的本质，明晰解题的路径，也有利于发 现数学结论.以下通过列举一个例子，介绍构图法在解题中的应用 例：17世纪有着“业余数学家之王”美誉的法国律师皮耶德费马，提出一个问题： 求作三角形内的一个点，使它到三角形三个顶点的距离之和最小，后来这点被称之为“费 马点” 解决这种问题的经典方法，就是利用旋转变换，将三条线段PA,PB,PC进行转化： 如图：把△APC绕点A逆时针旋转60度得到△APC,连接PP',这样就把确定 PA+PB+PC的最小值的问题转化成确定BP+PP'+P'C'的最小值的问题了.当B,P,P',C 四点共线时，线段BC'的长为所求的最小值【依据】，此时点P为ABC的“费马点”. 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 P B B 任务：【发现】用数学的眼光观察 (1)上面文中的“依据”是 【探索】用数学的思维思考 (2)请你根据文中所给解决思路.证明：当点P为ABC的“费马点”时， ∠APB=∠BPC=∠CPA=120°. 【应用】用数学的语言表达 (3)如图，在等腰直角三角形ABC内任取一点P,连接PA、PB、PC, 求证：PC+V2PA>PB. 微专题03 旋转中的全等模型 题型01 基础模型识别与直接证明（手拉手模型） 这是旋转全等最基础的考法，通常以等边三角形、等腰直角三角形或正方形为背景，给出“共顶点的相等线段”，要求学生直接证明两个三角形全等，或推导线段、角度的数量与位置关系。 解题方法：找共性，抓不变量 1. 识图定位：圈出图形中的“共顶点”和“相等的线段”（如等边三角形边长、等腰直角三角形腰）。 2. 推导夹角：利用“公共角”或“角的和差”，证明需要全等的两个三角形的“夹角相等”。 3. 判定全等：利用SAS（边角边）判定定理直接证明两个三角形全等。 4. 转化结论：将要求解的线段或角，映射到全等的对应边或对应角上进行求解。 1．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）数学研究小组以“手拉手图形”为主题开展数学活动，两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把他们的底角顶点连接起来，则形成一组全等三角形，我们把这个规律的图形称为“手拉手图形”．如图，已知等边的边长为，点，分别为，的中点，现将绕点顺时针旋转角度为，直线，相交于点；当旋转到图位置（、、在同一直线上）时，的度数为________；在整个旋转过程中，当点与重合时，的长为________．      【答案】 /60度 或 【分析】根据等边三角形的性质及全等三角形的判定及性质得，，从而得，利用勾股定理及等边三角形的性质分类讨论求解的长即可． 【详解】解：如图， 是等边三角形， ，， 等边的边长为，点，分别为，的中点， ∴ 是边长为的等边三角形， ， ∴，即， ， ，， ， 如下图，在整个旋转过程中，当点与重合时，且点在的上方时，过点作于点， ∵是边长为的等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 如下图，在整个旋转过程中，当点与重合时，且点在的下方时，过点作于点， 同理得，， ∴． 故答案为：，或； 【点睛】本题主要考查了勾股定理、全等三角形的判定及性质、等边三角形的性质、三角形的内角和定理以及直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理、全等三角形的判定及性质以及等边三角形的性质是解题的关键． 2．（25-26八年级上·山东东营·期中）“数学区别于其它学科最主要的特征是抽象与推理”，几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以解决新的问题． (1)模型探究：如图1，和中，，连接、．这里与有一个公共的顶点，且将其中的一个三角形通过旋转可以和另一个三角形重合，我们将这样的图形称为“手拉手模型”．请你说明与全等的理由． (2)模型应用①：如图2，中，，为平面内一点，且，求的度数．聪明的小亮同学，想到可以通过辅助线构造“手拉手模型”来解决这个问题，小亮先在线段上找到一点，使得．请你根据小亮的思路，求出的度数（要有必要的说理过程）． (3)模型应用②：如图3，在四边形中，，试探究线段、、的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)理由见解析 (2)，说理过程见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定（）、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质及勾股定理，解题的关键是利用“手拉手模型”构造全等三角形，结合旋转法转化线段与角的关系． （1）通过角的和差得，结合、，用证； （2）构造，利用等腰三角形性质得角相等，再通过“手拉手模型”证全等，结合角的计算求出； （3）将绕点逆时针旋转，构造等边和直角，利用勾股定理得线段关系． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， 又∵，， ∴； （2）解：∵、， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：猜想：线段和之间的数量关系为：，理由如下 ∵， ∴将绕着点逆时针旋转得到，连接，如图， 则，， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 3．（24-25八年级上·湖南岳阳·期中）【综合实践】如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”． 【问题初探】 （1）和是两个都含有角的大小不同的直角三角板，当两个三角板如图1所示的位置摆放时，D、B，C在同一直线上，连接，请证明： 【类比探究】 （2）和是两个都含有角的大小不同的直角三角板，当三角板保持不动时，将三角板绕点B顺时针旋转到如图2所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，在四边形中，，连接，，，A到直线的距离为7，请求出的面积． 【答案】（1）见解析；（2），，理由见解析；（3）24 【分析】本题考查了旋转性质，全等三角形的判定与性质，三角板中角度计算问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）因为和是两个都含有角的大小不同的直角三角板，则证明，即可作答． （2）与（1）同理证明，所以，；延长与交于点，所以，整理得，即； （3）过作交延长线于，过作交于，得出，结合，故，证明，因为点A到直线的距离为7，所以，，结合，得出，，故． 【详解】解：（1）∵和是两个都含有角的大小不同的直角三角板， ∴，，， ∴， ∴； （2），，理由如下： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，； 延长与交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）过作交延长线于，过作交于， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵点A到直线的距离为7， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 4．（23-24九年级上·山西吕梁·期末）综合与实践 【模型感知】 手拉手模型是初中数学里三角形全等知识点考察的重要模型．两个有公共顶点且顶角相等的等腰三角形组成的图形叫手拉手模型． （1）如图，已知和都是等边三角形，连接，．求证：； 【模型应用】 （2）如图，已知和都是等边三角形，将绕点旋转一定的角度，当点在的延长线上时，求证：； 【类比探究】 （3）如图，已知和都是等边三角形．当点在射线上时，过点作于点，直接写出线段，与之间存在的数量关系为_____________． 【答案】（）见解析；（）见解析；（）或． 【分析】（）由和都是等边三角形得，，，．进而得．最后证明，即可得证； （）由和都是等边三角形，得，，，，从而得．进而证明得，即可得证； （）如图，当在线段上时，如图，当在线段的延长线上时，证明，可得；再证明，从而可得结论． 【详解】证明：（）和都是等边三角形， ，，，． ．． ． 在和中， ， ； （）和都是等边三角形， ，，，， ，， ． 在和中， ， ． ． ， ； （）或．理由如下： 如图，当在线段上时， ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴；， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图，当在线段的延长线上时， 同理可得：， ∴， ∵， ∴， 同理可得：， ∴． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，含度角的直角三角形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件． 5．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）“数学区别于其它学科最主要的特征是抽象与推理”，几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以解决新的问题． 【认识模型】如图1，和中，，，，连接、．这里与有一个公共的顶点，其中的一个三角形通过旋转可以和另一个三角形重合，我们将这样的图形称为“手拉手模型”． 【理解模型】如图2，点P是等边外一点，．求证：． 聪明的小明同学，想到可以通过辅助线构造“手拉手模型”来解决这个问题，将绕点A逆时针旋转到，使点B与点C重合，只要证得P、C、D三点在同一直线上，进而就可以证明为等边三角形，请你根据小明的思路，写出完整的推理过程． 【变式迁移】如图3，四边形中，，，连接．请直接写出、、之间的数量关系：________． 【构造模型】如图4，在中，，，是外一点，若线段、、满足关系式，则的度数为________，请说明理由． 【答案】【理解模型】证明见解析；【变式迁移】；【构造模型】，理由见解析 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和，外角定理，平行线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握这些知识点，正确添加辅助线是解题的关键； 【理解模型】先证明三点在同一直线上，则是等边三角形，即可得出结论； 【变式迁移】将绕点A逆时顺旋转到，证明三点在同一直线上，证明，再根据勾股定理得出结论； 【构造模型】先证明是等边三角形，将绕点C顺时针旋转到，连接，再证明，根据角的和差关系得出结论； 【详解】解：理解模型：将绕点A逆时针旋转到， ， 是等边三角形，， ， ， ， ， 三点在同一直线上， 是等边三角形， ， ； 变式迁移：将绕点A逆时顺旋转到， ， ， ， ， 三点在同一直线上， ， 是等腰直角三角形， ， ； 构造模型：，， 是等边三角形， 将绕点C顺时针旋转到，连接， ， 是等边三角形， ， ， ． 6．（25-26八年级上·四川成都·月考）研究性学习：在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：如果两个等腰三角形的顶点重合，且顶角相等，则称此图形为“手拉手全等模型”． (1)【模型感知】如图1，与都是等腰三角形，其中，求证； (2)【知识迁移】如图2，在中，，，E、F为边上的点且，请判断，，的数量关系，并证明你的结论． (3)【方法推广】如图3，在中，，，，点P为内一点，连接、、，求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析过程 (3)7 【分析】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰的性质，勾股定理，读懂题目信息，理解利用旋转构造出全等三角形以及直角三角形是解题的关键． （1）根据证明即可； （2）根据旋转的性质可得，，，，，再求出，从而得到，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再利用勾股定理列式即可得证； （3）由旋转的性质可得，由等腰直角三角形的性质可得，即，则当A，P，，四点共线时，取到最小值，最小值为长，由勾股定理可求解． 【详解】（1）证明：∵与都是等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 如图2，把绕点A逆时针旋转得到， 由旋转的性质得，，，，，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， 由勾股定理得，， 即； （3）解：如图，在内部任取一点P，连接，，， 将绕点B顺时针旋转得到， 由旋转的性质得：，， ∴由勾股定理得， ， 当A，P，，四点共线时，取到最小值，最小值为长， 如图，过点A作垂线交延长线于点D， ∴， ∴， ， ， ，， 又， ， ，即的最小值为 ． 题型02 条件分散型求解（自旋转/奔驰模型） 此类题型通常给出一个几何图形（如直角三角形、普通三角形），并将其中一部分（一个三角形）绕某点旋转一定角度，形成交叉的“Y”字型或“奔驰”标志型。考查目标是求线段长度、证明线段和差关系或计算角度。 解题方法：遇中点/等腰，旋转180°/60°/90° 1. 找旋转源：锁定图形中具有“中点”或“等边/等腰”特征的三角形。 2. 构造旋转： (1) 若有中点，将三角形绕中点旋转180°，构造中心对称（倍长中线法）。 (2) 若有60°角/等边，旋转60°构造新等边三角形。 (3) 若有90°角/等腰直角，旋转90°构造等腰直角三角形。 3. 集中条件：通过旋转，将原本分散的线段“搬运”到一起，汇聚到一个新的三角形中。 4. 计算求解：利用全等性质和勾股定理/三角函数求出目标线段或角度。 1．（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，点D是边的中点，点P是边上一个动点，连接，以为边在的下方作等边，连接，则的最小值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】本题为利用旋转求最短距离问题，考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，旋转的性质，直角三角形的性质等知识，综合性强，难度较大﹒根据题意得到， ，根据等边三角形性质得到，将线段绕点D逆时针旋转，得到线段，连接﹒证明是等边三角形，得到﹒证明，得到，进而得到，从而得到点Q在经过定点R且的定直线上运动，即可得到当，线段的值最小，结合，求出，得到的最小值为1． 【详解】解：∵，点D是边的中点，点P是边上一个动点， ∴， ， ∵是等边三角形， ∴， 如图，将线段绕点D逆时针旋转，得到线段，连接， ∵， ∴是等边三角形，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴点Q在经过定点R且的定直线上运动， ∴当，即时，线段的值最小， ∵， ∴， ∴的最小值为1， 故选：D． 2．（25-26九年级上·四川广安·期末）中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为． (1)如图①，当时，绕点顺时针旋转了__________°； (2)如图②，当点在上时，若，求的度数； (3)如图③，当点为的中点时，连接，若，，在绕点顺时针旋转一周的过程中，直接写出线段的最大值和最小值． 【答案】(1)110 (2)30° (3)最大值：；最小值： 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形的性质等内容，解题的关键是掌握相关性质，确定出点的轨迹． （1）由旋转的性质可得，为旋转角，求解即可； （2）根据旋转的性质可得，，，得到，再由可得，由题意可得，，从而得到，即可求解； （3）由勾股定理可得，，由点为的中点可得，，即点在以为圆心，以为半径的圆上运动，从而得到的最大值与最小值． 【详解】（1）解：由旋转的性质可得，为旋转角， 则， 故答案为：； （2）解：根据旋转的性质可得，，， ∴， ∵， ∴， 由题意可得，，即， 解得， ∴； （3）解：连接，如图： 由旋转的性质可得，，， 由勾股定理可得，， ∵点为的中点， ∴， ∴点在以为圆心，以为半径的圆上运动， 从而得到的最大值为，的最小值为． 3．（25-26九年级上·吉林白山·期中）如图①，在直角三角形纸片中，，，． 【数学活动】 将三角形纸片进行以下操作： ①折叠三角形纸片，使点C与点A重合，得到折痕，然后展开铺平； ②将绕点D顺时针方向旋转得到，点E、C的对应点分别是点F、G，直线与边交于点M（点M不与点A重合），与边交于点N． 【数学思考】 （1）在绕点D旋转的过程中，如图①，试判断与的数量关系，并证明你的结论； 【数学探究】 （2）如图②，在绕点D旋转的过程中，当直线经过点B时，求的长； 【问题延伸】 （3）在绕点D旋转的过程中，连接，则的取值范围是________． 【答案】（1），证明见解析；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、旋转的性质、直角三角形的性质、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）连接，证即可得证； （2）先证，再设未知数，在中利用勾股定理建立方程即可； （3）分别求出和，利用三角形三边关系即可得解． 【详解】（1）解：，证明如下：连接， 由旋转的性质，得，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴ ∴； （2）解：由旋转的性质可得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴； （3）解：如图，连接， 在中， ∵，， ∴， 由题意得 当点F在上时，最小，此时； 当点F在的延长线上时，最大，此时 ∴， 故答案为：． 4．（2022·辽宁沈阳·三模）在等腰三角形和等腰三角形中，，．将绕点逆时针旋转，连接，点为线段的中点，连接，． (1)如图，当点旋转到边上时，请直接写出线段与的关系为_； (2)在的基础上，绕点逆时针继续旋转，中的结论是否成立？若成立，请画出图形并写出证明过程；若不成立，请说明理由； (3)若，，在绕点逆时针旋转的过程中，当时，请直接写出线段的长． 【答案】(1)，； (2)仍然成立，图见解析，证明见解析； (3)线段的长为或． 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可知，，所以可得； 延长交于点，连接，根据等腰直角三角形的性质可证，四边形是矩形，利用可证，根据全等三角形的性质可证； 当时，要分在左侧时和在右侧两种情况求解，当边在边的左侧时，连接，作垂足为点，利用勾股定理和含角的直角三角形中边之间的关系求解即可；当边在边的右侧时，，过作，与交于点，连接，利用勾股定理和含角的直角三角形中边之间的关系求解即可． 【详解】（1）解：是等腰三角形，， ， ， ， 点是的中点， 在中，， ， ， 又，点是的中点， ， ， ，， ； 故答案为：，； （2）解：仍然成立， 理由如下： 如下图所示，延长交于点，连接， 和是等腰直角三角形，， ， ， ， 点为线段的中点， ，，， ， ， ， 四边形是矩形， ， 在和中，， ， ，， ， ，， 中关系仍然成立； （3）解：如下图所示，当边在边的左侧时，连接，作垂足为点， ， 和是等腰直角三角形， ，， 又， ， ， ， ， 在中，， 由可知，， ； 如下图所示，当边在边的右侧时，，过作，与交于点，连接， 和是等腰直角三角形， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 是的垂直平分线， ， 由可知，， ； 综上所述，的长度为或. 【点睛】本题主要考查了图形的旋转变换、直角三角形的性质、三角形全等判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理，解决本题的关键是作辅助线构造特殊的直角三角形，利用直角三角形的性质求解． 5．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图1，在中，，，点D在上，交于点E，F是中点． (1)线段与线段的数量关系是 _____，位置关系是 _____； (2)如图2，将绕点B逆时针旋转，其他条件不变，线段与线段的关系是否发生变化？写出你的结论并证明； (3)将绕点B逆时针旋转一周，如果，，直接写出线段长的取值范围 _______． 【答案】(1)＝，⊥； (2)线段与线段的关系不发生变化．证明见解析； (3)． 【分析】（1）由直角三角形斜边中线定理即可证明，进而可证； （2）如图，延长到M使得，延长到N，使得，连接、、、，延长交于H，交于O，证明，推出，再利用三角形中位线定理即可解决问题； （3）分别求出的最大值、最小值即可解决问题． 【详解】（1）∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， 故答案为：＝，⊥； （2）线段与线段的关系不发生变化．理由如下： 如图，延长到M使得，延长到N，使得，连接、、、，延长交于H，交于O，     ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 同理可证， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， 同理可证，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，； （3）如图2，连接．     ∵， ∴如图3时取得最大值时，点E落在上时，     ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵点F是的中点， ∴， ∴的最大值； 如图4中，当点E落在的延长线上时，的值最小，     ∵，， ∴， ∵点F是的中点， ∴， ∴的最小值， 综上所述，． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，三角形三边的关系，三角形中位线定理等知识，解题的关键是 学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 6．（2023·河南新乡·三模）如图，在中，，，点，分别在边，上，且，连接，点为的中点，连接，． (1)观察猜想：线段，的数量关系为_；，的位置关系为_． (2)探究证明：把绕点逆时针旋转到如图所示位置，试判断（1）中的关系是否仍然成立．如果成立，请加以证明；如果不成立，请说明理由． (3)拓展应用；若，，把绕点逆时针旋转的过程中，请直接写出当，，三点共线时的长度． 【答案】(1)， (2)成立，证明见解析 (3)长为或 【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线可得，根据等边对等角，以及三角形的外角的性质得出，即可得出结论； （2）在的延长线上截取，连接，，，延长，交于点．证明，得出是等腰直角三角形，进而即可得证； （3）分两种情况：①当点在直线上方，且，，三点共线时，②当点在直线下方，且，，三点共线时，勾股定理求得，结合图形求得，，进而即可求解． 【详解】（1）证明：在中，，，点为的中点， ，， ， ，， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， 故答案为：，； （2）成立，证明：如图（1），在的延长线上截取，连接，，，延长，交于点． ，，， ， ，， ， ， ， ，， 又， ， ， 又，． ， ，， ， 是等腰直角三角形， 点为的中点， ，； （3）分两种情况： ①当点在直线上方，且，，三点共线时，如图（2）， ， ， ， ， ， ， ②当点在直线下方，且，，三点共线时，如图（3）． ， ， ， ， ， ； 综上所述，长为或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，全等三角形的性质与判定，分类讨论，熟练掌握以上知识是解题的关键． 题型03 特殊角中的线段转化（半角模型） 高频出现在正方形、等腰直角三角形中。特征为“大角包含一半的角”。考查重点是通过旋转将分开的两条线段转化为一条线段，证明线段的和差倍分关系。 解题方法：截长补短思路下的“绕顶点旋转凑角” 1. 定中心：确定含有半角的顶点（通常是特殊四边形的顶点）。 2. 选目标：选择半角的一条边所在的三角形，将其绕中心点旋转，使这条边与另一条边重合。 3. 证全等：证明旋转后的三角形与原图形中的某个三角形全等（通常用SAS）。 4. 得结论：此时半角的两边完全重合，从而得出“两段线段之和等于第三段线段”的结论。 1．（2025八年级上·河北·专题练习）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型．半角模型可证出多个几何结论，例如： 如图1，在正方形中，以为顶点的，、与、边分别交于、两点．易证得． 大致证明思路：如图2，将绕点顺时针旋转，得到，由可得、、三点共线，，进而可证明，故． 任务：如图3，在四边形中，，，，以为顶点的，、与、边分别交于、两点．请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 【答案】成立，见解析 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 根据旋转的性质得到，，，，，推出、、三点共线，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：成立． 证明：将绕点顺时针旋转得到， ，，，，， ， 、、三点共线， ， ， ，， ， ， ． 2．（2025·山东济宁·三模）当几何图形中，两个共顶点的角所在角度是公共大角一半的关系，我们称之为“半角模型”，通常用“旋转的观点”看待图形的几何变换，使得两个分散的角变换成为一个三角形，相当于构造出两个三角形全等． 【问题初探】 （1）如图1，在四边形中，，，E、F分别是、边上的点，且，求出图中线段，，之间的数量关系． 如图1，从条件出发：将绕着点D逆时针旋转到位置，根据“旋转的性质”分析与之间的关系，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系，可证得结论． 【类比分析】 （2）如图2，在四边形中，，，，且，，，求的长． 【学以致用】 （3）如图3，在四边形中，，与互补，点E、F分别在射线、上，且．当，，时，求出的周长． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查三角形的知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，学会用旋转法添加辅助线，构造全等三角形，即可． （1）绕点旋转得到，则，推出，，，根据，，全等三角形的判定和性质，则，即可； （2）在上取点，使得，根据四边形的内角和，则，得到，根据全等三角形的判定和性质，则，得到，，再根据全等三角形的判定和性质，则，设，得到，，，根据勾股定理解出即可； （3）在上取点，使得，根据四边形的内角和，与互补，得到，根据等量代换，推出，根据全等三角形的判定和性质，则，推出，，再根据角之间的运算，得到，再根据全等三角形的判定和性质，则，，根据三角形的周长，即可． 【详解】解：（1），理由如下： ∵在四边形中，，， ∴绕点旋转得到， ∴， ∴，，，， ∵， ∴点，，三点共线， ∵， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴； （2）在上取点，使得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设， ∵，，， ∴，，， ∴在中，， ∴， 解得：， ∴； （3）在上取点，使得， ∵与互补， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴． 3．（25-26九年级上·甘肃庆阳·期中）【建立模型】如图1，正方形的边长为6，点E，F分别在边，上，，将绕点A逆时针旋转，得到． （1）求证：； 【模型应用】 （2）当时，①____________； ②求的长． 【模型拓展】 （3）如图，等腰直角三角形中，，，点M，N在边上，且，若，，求的长． 【答案】（1）见详解；（2）①8；②；（3） 【分析】本题主要考查正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键； （1）由题意易得，由旋转的性质可知：，则点C、D、G三点共线，然后可得，进而根据全等三角形的性质可进行求证； （2）①由（1）可知：，点C、D、G三点共线，然后问题可求解； ②由题意易得，设，则有，然后根据勾股定理可进行求解； （3）把绕点A逆时针旋转得到，连接，同理（1）可得，由旋转的性质可知：，然后根据勾股定理可进行求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，且边长为6， ∴， 由旋转的性质可知：， ∴，即点C、D、G三点共线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）①由（1）可知：，点C、D、G三点共线， 由旋转的性质可知：， ∴； ②∵， ∴， 设，则有， 在中，由勾股定理可得：， 解得：， 即； （3）解：把绕点A逆时针旋转得到，连接，如图所示： 同理（1）可得， ∴， ∵在等腰直角三角形中，，， ∴， 由旋转的性质可知：， ∴， ∵， ∴． 4．（25-26九年级上·贵州毕节·月考）【阅读理解】半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等．通过旋转或截长补短，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构成全等三角形，用以解决线段关系、角度、面积等问题． 【初步探究】如图 1 ，在正方形中，点 E，F 分别在边上，连接．若，将绕点A 顺时针旋转 ．点 D 与点B 重合，得到 易证：． （1）根据以上信息，填空：① _ ° ； ②线段之间满足的数量关系为_； 【迁移探究】（2）如图 2 ，在正方形 中，若点 E 在射线上，点 F 在射线上，，猜想线段之间的数量关系，请证明你的结论； 【拓展探索】（3）如图 3 ，已知正方形的边长为，连接分别交于点 M 、N ，若点 M 恰好为线段的三等分点，且，求线段的长． 【答案】（1）45； （2），理由见解析 （3）2.5 【分析】（1）根据正方形的性质得，再根据旋转得，可知点G，B，E共线，即可说明，然后根据“边角边”证明，可得答案； （2）在上截取，连接，根据“边角边”可得， 接下来说明，即可得出答案； （3）将绕点A顺时针旋转得到，连接，先根据正方形的性质及勾股定理求出，进而求出，再根据旋转的性质得，即可说明，得，然后设，则，根据勾股定理可得答案． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴． 将绕点A旋转，点D与点B重合，得到， 则， ∴点G，B，E共线． ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． 故答案为：45；； （2），理由如下： 如图，在上截取，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴； （3）将绕点A顺时针旋转得到，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴． 由旋转，得， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 设，则． 在中，， ∴， 解得， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，旋转的性质，勾股定理，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 5．（24-25九年级上·吉林·期末）【综合与探究】数学课上，李老师布置了一道题目：如图①，点，分别在正方形的边，上，，连接，求证：． (1)【思路梳理】“勤奋”小组的同学给出了如下的思路分析过程，请你补充完整： ，将绕点逆时针旋转至，可使与重合， ，，，， ，即点，，共线， ， ，， 又，__________（__________________）（写依据） ． (2)【类比引申】“智慧”小组的同学在“勤奋”小组同学的基础上，改变了条件：如图②，在四边形中，，点，分别在边，上，，连接．若，都不是直角，且，则（1）中的结论是否还成立？并说明理由． (3)【联想拓展】“创新”小组的同学提出了下面的问题：如图③，在中，，，点，均在边上，且．当，时，直接写出的长度． 【答案】(1)； (2)成立，理由见详解 (3) 【分析】本题考查勾股定理，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的性质和判定是解题的关键； （1）根据全等三角形的判定求解即可； （2）将绕点逆时针旋转至，可使与重合，由旋转可知，，，判定，即可求解； （3）将绕点逆时针旋转至，可使与重合，连接，由旋转可知，，，，判定，根据勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解：， 将绕点逆时针旋转至，可使与重合， ，，，， ， ， 即点，，共线， ， ， ， 又， ， ； 故答案为：；； （2）解：， 将绕点逆时针旋转至，可使与重合， 则，又， , 即，，，三点共线， ，， ， 由旋转可知，，， ， 即， ， ， ， ， ，， ； （3）解：， ∴将绕点逆时针旋转至，可使与重合，连接， 由旋转可知，，，， ，， ， ， 即， ， ， ， ， ，， ， ， ， 在中，， ，，， ． 6．（24-25八年级下·黑龙江大庆·期末）我们可以通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类题的目的，下面是一个题目案例． 原题：如图，在四边形中，，，点E、F分别在边、上，，连接． 求证：． 【思路梳理】如图1，延长至点G，使，连接，通过及，可证； 【类比联想】 （1）如图2，在四边形中，，，点E、F分别在边、上，．若，试判断是否成立，并说明理由； （2）如图3，在中，，，点M、N在边上，且，，猜想、、应满足的等量关系，并写出推理过程； 【引申拓展】 （3）在等腰直角中，点P在斜边上，请直接写出、、所满足的数量关系． 【答案】（1）见解析；  （2）；    （3）； 【分析】（1）延长至点使，证明，再证明，，从而证明，继而证明，结合即可得到答案； （2）绕点逆时针旋转至，可使和重合，连接，证明，继而得到，，再根据勾股定理即可解决问题； （3）过点C作于点Q，根据三线合一和斜边上的中线等于斜边的一半得到，根据点P在斜边上，得到，根据勾股定理得到，再代入即可得解； 【详解】解：（1）成立，理由如下： 延长至点使， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， 又， ∴ ∴， （2），理由如下： 把绕点逆时针旋转至，可使和重合，连接． ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴ ∴ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴ （3），理由如下： 过点C作于点Q， ∵在等腰直角中，， ∴， ∵点P在斜边上， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题主要考查了三角形的旋转，直角等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，解决此题的关键是要合理的作出辅助线． 题型04 动态最值与路径探究（费马点/旋转相似） 压轴大题高频考点。给定一个动点绕定点旋转，或者平面内一点到三个定点的距离之和最小（费马点问题）。核心考查旋转构造、轨迹思想和转化思想。 解题方法：定轨迹，转分散，破最值 1. 找定点与动线：确定旋转中心，判断动点运动的轨迹（通常为圆或圆弧）。 2. 等值代换：当遇到形如PA＋PB＋PC的最小值问题时，通过旋转60°构造等边三角形，将一条线段“搬运”到EQ，从而将折线PA＋PB＋PC转化为直线段PQ＋PB＋EQ之和。 3. 三点共线：当转化后的两条线段处于同一条直线上时，距离和取得最小值（即两点之间线段最短）。 4. 回归计算：将几何最值问题转化为在直角三角形中利用勾股定理求解。 1．（25-26九年级上·吉林长春·期末）【问题呈现】如图①，点M是边长为4的等边三角形内一点，连接，求的最小值． 【问题解决】小明利用旋转的方法，将三条线段转化后首尾相接，求出了的最小值，过程如下： 如图②，将绕点B逆时针旋转得到，连接，由旋转可知： ． 是等边三角形． ． ． 而的最小值是线段①_的长度（②）_， 的最小值为_③___ 请将上面的过程补充完整． 【拓展应用】如图③，是等边三角形，M是正方形对角线（不含点B）上一点． （1）用圆规和无刻度的直尺在图③中作等边，使点在内；（不写作法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑）； （2）当的最小值为时，正方形的边长为_____． 【答案】[问题解决]，两点之间，线段最短， [拓展应用]（1）见解析（2） 【分析】本题考查了旋转的性质，两点之间线段最短，勾股定理，等边三角形的判定与性质及解含角的直角三角形，构造题目中的模型是解题的关键． [问题解决]过点作，交的延长线于点，利用含角的直角三角形的性质及勾股定理进行求解即可； [拓展应用]（1）根据三条边相等的三角形是等边三角形作相等线段的交点即可； （2）连接，根据模型，过点作，交延长线于点，设正方形的边长为，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：【问题解决】由题意知，， 此时，的最小值是线段的长度，其依据为两点之间，线段最短， 如图，过点作，交的延长线于点， ∵， ∴， 又∵， ∴在中，， 由勾股定理得，， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴的最小值为， 故答案为：，两点之间，线段最短，； [拓展应用] （1）即为所求； （2）如图，连接， 由题意知，绕点逆时针旋转得， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 而的最小值是线段， 过点作，交延长线于点， ∵的最小值为， ∴， 设正方形的边长为， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴， 解得，（负值已舍）， ∴， 故答案为：． 2．（25-26八年级上·重庆北碚·期末）如图，在中，，于点D． (1)如图1，若，，求的面积． (2)如图2，将绕点C顺时针旋转到，连接交于点F，请猜想并证明，，之间的数量关系． (3)如图3，在（1）的条件下，若点P、Q分别是、边上的两个动点，且满足，连结、，点K为内部一点，连结、、，当取得最小值时，请判断是否有最小值，若没有请说明理由；若有请直接写出最小值． 【答案】(1)14 (2)，证明见详解 (3)的最小值为 【分析】（1）根据已知条件利用等腰直角三角形的性质得出的值，再由勾股定理得出的值，进而求得的值，最后利用三角形面积公式即可求得结果； （2）过点E作交的延长线于点G，证得，得出，再证得，，继而得到，由此得出结论； （3）根据题意作，证得，平移使得，且，再作点G关于直线的对称点M，当B、P、M三点共线时，的值最小，即，连接交于点，连接交于点O，证得和，当取得最小值时，，将绕点B顺时针旋转得，连接，，过点作交延长线于点H，为等腰直角三角形，得到，当，，K，四点共线时，有最小值，有最小值，最小值即为，再利用勾股定理和三角形面积公式求出相关线段的值，最终可求出结果． 【详解】（1）解：∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 又∵， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴， ∴． （2）解：， 证明如下：如图，过点E作交的延长线于点G， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即． （3）解：由（1）知，，， ∵点P，Q分别为，上的动点，且， ∴点P随点Q在运动， 如图，作， 在和中， ， ∴， ∴， 平移使得，且， ∴， 作点G关于直线的对称点M， ∴， ∴， 当B、P、M三点共线时，的值最小，即， ∴， 连接交于点，连接交于点O， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当取得最小值时，， ∴， 如图，将绕点B顺时针旋转得，连接，，过点作交延长线于点H， ∴， ∴，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 当，，K，四点共线时，有最小值， ∴， ∴的最小值即为， 在中，， ∴， 解得：， 在中，由勾股定理得，， 在中，由勾股定理得，， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，垂线段最短及等腰三角形的性质，二次根式的运算等，作出合适的辅助线是解本题的关键． 3．（24-25八年级下·陕西西安·期中）在综合与实践课上，同学们以“图形的旋转”为主题开展数学探究活动． 【问题呈现】如图1，内部有一点P，连接，求的最小值． 【问题解快】小明是这样做的：他将绕点C顺时针旋转得到，连接，可得为等边三角形，故，由旋转可得，因此． （1）由_______（数学依据）可知：的最小值与线段的_______的长度相等，此时_______ （2）【类比应用】如图2，在中，为内一点，连接，求的最小值． （3）【生活实际】如图3，是某新建公园的一块四边形空地，其中，米，米，规划部门计划在等腰区域种植花卉，其中是边上的两个动点，且始终保持．同时为了方便市民观赏与休息，决定在这块空地内部的点P处建造一个凉亭，从P点分别向处修建文化长廊，为节约修建文化长廊的成本，不考虑其他因素，是否存在这样的点P，使得最小，若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）两点之间，线段最短；；；（2）；（3）米 【分析】（1）由旋转的性质可得，则可证明是等边三角形，得到，根据两点之间线段最短可得当四点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为线段的长，根据平角的定义可求出的度数； （2）将绕点C顺时针旋转得到，连接，同（1）当四点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为线段的长；过点E作交延长线于G，求出，则，进而可得，；由勾股定理得，则，即的最小值为； （3）过点Q分别作的垂线，垂足分别为T，N，连接，则四边形是矩形，则，，，，证明，得到，进一步证明米，推出是等腰直角三角形，则；可证明三点共线，由勾股定理得米，米，则点Q为的中点；证明是等边三角形，得到，则米；将绕点Q顺时针旋转得到，连接，同理可得的最小值为线段的长，据此求出的长，再利用勾股定理求出的长即可求出的长，进而可得答案． 【详解】解；（1）将绕点C顺时针旋转得到，连接， 由旋转的性质可得， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵两点之间，线段最短， ∴当四点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为线段的长， ∴此时； （2）将绕点C顺时针旋转得到，连接， 由旋转的性质可得，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵两点之间，线段最短， ∴当四点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为线段的长； 如图所示，过点E作交延长线于G， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴的最小值为； （3）如图所示，过点Q分别作的垂线，垂足分别为T，N，连接，则四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴米， ∴是等腰直角三角形， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴三点共线， 在中，由勾股定理得米， 在中，由勾股定理得米， ∴，即点Q为的中点； ∵， ∴， 又∵米， ∴是等边三角形， ∴， ∴米； 如图所示，将绕点Q顺时针旋转得到，连接， 同理可得，的最小值为线段的长， 由旋转的性质可得米，， ∴， ∴米， ∴米， ∴米， ∴米， ∴的最小值为米． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等等，解题的关键在于通过旋转把三条不在一条直线上的三条线段转换到一条直线上． 4．（2024·陕西西安·模拟预测）（1）问题背景 如图1，P为内部一点，连接，将绕，点C顺时针旋转得到，连接， 由，，可知为___________三角形，故，又，故，由___________可知，当在同一条直线上时，取最小值，如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”． （2）问题解决 如图3，在中，三个内角均小于，且，，，求的最小值； （3）问题应用 如图4，设村庄的连线构成一个三角形，且，，．现欲在内部建一中转站P沿直线向三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄的铺设成本分别为元，元，万元，是否存在合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低，若存在请求出成本的最小值． 【答案】（1）等边；两点之间线段最短 （2）5 （3） 【分析】（1）根据推论过程填写根据即可；（2）根据（1）的方法将绕点顺时针旋转得到△，即可得出可知当、、、在同一条直线上时，取最小值，最小值为，再根据可证明，根据勾股定理即可求出；（3）根据总铺设成本，将绕点顺时针旋转得到△，得到等腰△，推出，即可得出当、、、在同一条直线上时，取最小值，即取最小值为的长，然后根据已知条件和旋转的性质求出即可． 【详解】（1），， 为等边三角形， 由几何公理：两点之间线段最短可得：， 当，，，在同一条直线上时，取最小值． 故答案为：等边，两点之间线段最短． （2）如图4，将绕点顺时针旋转得到△，连接， 由（1）可知当、、、在同一条直线上时，取最小值，最小值为， ， ， 又， ， 根据旋转的性质可知：， ， 即的最小值为5； （3）总铺设成本万元， 当最小时，总铺设成本最低， 将绕点顺时针旋转得到△，连接，，过点作于，过点作于，如图： 由旋转性质可知：，，，， 在中， ， ， 当、、、在同一条直线上时，取最小值，即取最小值，其最小值为的长度， ，， ， ， ， ， 的最小值为， 总铺设成本最小值为：（元． 【点睛】本题考查几何变换综合应用，涉及等边三角形判定与性质，等腰直角三角形判定与性质，勾股定理及应用等知识，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形解决问题． 5．（24-25八年级下·广东梅州·月考）提出问题： 如果点P 是锐角内一动点，如何确定一个位置，使点 P 到的三个顶点的距离之和的值为最小？ 转化问题： 连接，把绕点A 逆时针旋转得到，连接，这样就把确定的最小值的问题转化成确定的最小值的问题了，请你利用图1证明：． 解决问题： 当点P到锐角的三个顶点的距离之和的值为最小时，请你用一定的数量关系刻画此时点的位置：________． 延伸问题： 如图2，这是有一个锐角为的直角三角形，如果斜边为6，点P 是这个三角形内一动点，请你利用上述方法，求点P到这个三角形的三个顶点的距离之和的最小值． 【答案】转化问题：见解析；解决问题：点满足；延伸问题： 【分析】本题主要考查三角形的旋转变换的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质，将待求线段的和通过旋转变换转化为同一直线上的线段来求是解题的关键，学会利用旋转的方法添加辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考压轴题． （1）转化问题：根据旋转的性质证明是等边三角形，则，可得结论； （2）解决问题：由“转化问题”可知：当、、、在同一直线上时，的值为最小，确定当时，满足三点共线； （3）延伸问题：作辅助线，构建直角，利用勾股定理求的长，即是点到这个三角形各顶点的距离之和的最小值． 【详解】解：转化问题：由旋转得：，， 是等边三角形， ， ． 解决问题：如图，把绕点逆时针旋转60度得到，连接， 由“转化问题”可知：当、、、在同一直线上时，的值为最小， ， ， 由旋转得：， 所以当时，的值为最小， 故答案为：点满足； 延伸问题：如图，把绕点逆时针旋转60度得到，连接， ，， ，， 当、、、在同一直线上时，的值为最小， 由旋转得：，，， ， ， 由勾股定理得：， 则点到这个三角形各顶点的距离之和的最小值为． 6．（25-26九年级上·福建龙岩·期中）阅读与思考 构图法在初中数学解题中的应用 构图法指的是构造与数量关系对应的几何图形，用几何图形中反映的数量关系来解决数学问题的方法．巧妙地构造图形有助于我们把握问题的本质，明晰解题的路径，也有利于发现数学结论．以下通过列举一个例子，介绍构图法在解题中的应用． 例：17世纪有着“业余数学家之王”美誉的法国律师皮耶·德·费马，提出一个问题： 求作三角形内的一个点，使它到三角形三个顶点的距离之和最小，后来这点被称之为“费马点”． 解决这种问题的经典方法，就是利用旋转变换，将三条线段进行转化： 如图：把绕点A逆时针旋转60度得到，连接，这样就把确定的最小值的问题转化成确定的最小值的问题了．当四点共线时，线段的长为所求的最小值【依据】，此时点P为的“费马点”． 任务：【发现】用数学的眼光观察 （1）上面文中的“依据”是________． 【探索】用数学的思维思考 （2）请你根据文中所给解决思路．证明：当点P为的“费马点”时， ． 【应用】用数学的语言表达 （3）如图，在等腰直角三角形内任取一点P，连接． 求证：． 【答案】（1）两点之间线段最短；（2）见解析；（3）见解析 【分析】本题主要考查三角形的旋转变换的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质，将待求线段的和通过旋转变换转化为同一直线上的线段来求是解题的关键，学会利用旋转的方法添加辅助线，构造特殊三角形解决问题． （1）根据两点之间线段最短即可求解； （2）根据当点P为的“费马点”时， 、、、在同一直线上，的值为最小，确定当时，满足三点共线； （3）作辅助线，把绕点逆时针旋转90度得到，连接，根据勾股定理可得，进而可得垂直平分，设交于点，连接，则，根据点P是内一点得出，即可得证． 【详解】（1）上面文中的“依据”是两点之间线段最短； 如图，把绕点逆时针旋转60度得到，连接， 当点P为的“费马点”时， 、、、在同一直线上， ， ， 由旋转得：， ∴， ∴， 所以当点P为的“费马点”时，， （3）如图，把绕点逆时针旋转90度得到，连接， ∴，，，，， ∴ 当、、在同一直线上时，的值为最小， ∵ ∴ 又∵是等腰直角三角形， ∴， ∴垂直平分 设交于点，连接， ∴， ∴ ∵点P是内一点 ∴ ∴． / 学科网（北京）股份有限公司 $