专题05图形的旋转 专项训练（26大核心题型精讲+分层精练突破）-2025-2026学年北师大版数学八年级下学期.

**基本信息** 以“概念-性质-应用”为主线，系统覆盖旋转与中心对称全题型，通过分层精练培养几何直观与空间观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |旋转基础|题型1-7（7题型）|生活现象判断、要素识别、性质应用|从具体现象到抽象性质，构建旋转三要素认知| |坐标旋转|题型8-12（5题型）|原点/非原点旋转、坐标规律探究|结合坐标系实现数形转化，强化空间观念| |中心对称|题型16-26（11题型）|图形识别、对称中心找法、坐标计算|从中心对称定义到性质应用，形成对称思维| |旋转综合|题型13-15（3题型）|线段/面积/角度综合题|融合旋转性质与几何推理，提升综合解题能力|

专题05图形的旋转 专项训练 题型梳理归纳 题型1.判断生活中的旋转现象 题型2.判断由一个图形旋转而成的图案 题型3.找旋转中心、旋转角、对应点 题型4.旋转的性质及辨析 题型5.根据旋转性质说明线段或角相等 题型6.旋转中的规律性问题 题型7.画旋转图形 题型8.坐标系中的旋转 题型9.求绕原点旋转90度的点的坐标 题型10.求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 题型11.求绕原点旋转一定角度的点的坐标 题型12.坐标与旋转规律问题 题型13.线段问题（旋转综合题） 题型14.面积问题（旋转综合题） 题型15.角度问题（旋转综合题） 题型16.成中心对称 题型17.画已知图形关于关于某点对称的图形 题型18.画两个图形的对称中心 题型19.根据中心对称的性质求面积、长度、角度 题型20..中心对称图形的识别 题型21.判断中心对称图形的对称中心 题型22.在方格中补画图形使之成为中心对称图形 题型23.中心对称图形规律问题 题型24.求关于原点对称的点的坐标 题型25.已知两点关于原点对称求参数 题型26.判断两个点是否关于原点对称 题型27.分层精练13道题 核心题型精讲 题型1.判断生活中的旋转现象 1．如图，三兔共耳图案是敦煌莫高窟的经典纹样，三只兔子首尾相连、两两共用一只耳朵，形成循环追逐的动态视觉错觉．三兔共耳图案主要涉及的图形变换是（     ） A．平移 B．轴对称 C．旋转 D．位似 【答案】C 【详解】解：三兔共耳图案主要涉及的图形变换是旋转． 2．下列现象：①火车行驶；②荡秋千运动；③方向盘的转动；④钟摆的运动；⑤圆规画圆．属于旋转的有______个． 【答案】4 【分析】本题考查了生活中的平移、旋转现象．根据平移和旋转的定义对各小题分析判断即可． 【详解】解：①火车行驶，是平移现象； ②荡秋千运动，是旋转现象； ③方向盘的转动，是旋转现象； ④钟摆的运动，是旋转现象； ⑤圆规画圆，是旋转现象． 属于旋转的有②③④⑤共4个． 故答案为：4． 3．时钟秒针扫过的痕迹，由此说明了______的数学事实． 【答案】线动成面 【分析】本题主要考查了点、线、面、体，解题的关键是掌握点动成线，线动成面，面动成体． 根据线动成面进行回答． 【详解】解：时钟秒针扫过的痕迹，由此说明了线动成面， 故答案为：线动成面． 题型2.判断由一个图形旋转而成的图案 1．下面（   ）图形不是通过旋转得到的 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】旋转是绕着一个定点转动，平移是沿某个方向移动．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、该图形可以看作由一个基本三角形绕中心旋转得到，属于旋转现象； B、该图形是由一个基本图形沿直线方向移动得到的，属于平移现象，不是通过旋转得到的； C、该图形可以看作由一个基本部分绕中心旋转得到，属于旋转现象； D、该图形可以看作由一个基本部分绕中心旋转得到，属于旋转现象． 2．如图，都是等边三角形．可由绕点______，______方向，旋转______角度得到． 【答案】 顺时针 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定，旋转的定义，由等边三角形的性质可得，，，进而得到，即可根据旋转的定义求解，掌握等边三角形的性质和旋转的定义是解题的关键． 【详解】解：∵都是等边三角形， ∴，，， ∴ 即， ∴， ∴可由绕点顺时针方向旋转得到， 故答案为：，顺时针，． 3．如图，和都是等边三角形，可以看作是经过平移、轴对称或旋转得到． (1)说明得到的过程； (2)若点恰为的中点，，求的长． 【答案】(1)可以看作是由绕顶点逆时针旋转而得到 (2)3 【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、图形的旋转等知识，熟练掌握图形的旋转和等边三角形的性质是解题关键． （1）先根据等边三角形的性质可得，，，再证出，根据全等三角形的性质可得，由此即可得； （2）先根据等边三角形的性质可得，，再根据全等三角形的性质可得，，然后求出，根据含30度角的直角三角形的性质可得，由此即可得． 【详解】（1）解：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴可以看作是由绕顶点逆时针旋转而得到． （2）解：∵是等边三角形，， ∴，， ∵点恰为的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）已证：， ∴，， ∴， ∴在中，， ∴． 题型3.找旋转中心、旋转角、对应点 1．如图，将三角形绕点按逆时针方向旋转一定的角度得到三角形，则旋转中心和旋转角是（   ） A．点B， B．点O， C．点B， D．点O， 【答案】D 【分析】本题主要考查了旋转的概念，熟练掌握“旋转中心是旋转过程中不动的点，旋转角是对应点与旋转中心连线的夹角”是解题的关键．根据旋转的定义，确定旋转中心，再找出对应点与旋转中心连线的夹角作为旋转角． 【详解】解：∵三角形绕点旋转得到三角形， ∴旋转中心是点， ∵点的对应点是点， ∴旋转角是， 故选：D． 2．如图，在正方形网格中，将绕某一点旋转变化得到，则旋转中心为点_____． 【答案】G 【分析】分别连接两组对应点作它们的垂直平分线，确定两条垂直平分线的交点，该交点即为旋转中心． 【详解】解：如图：分别作线段和的垂直平分线， ， 由图可得，旋转中心为点． 3．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均在格点上． (1)将向上平移5个单位长度得到，请画出； (2)如图，可绕某一点逆时针旋转（）得到，请在图中画出旋转中心点，且的度数为______． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析， 【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置，进而得出答案． （2）根据网格的特点作的垂直平分线的交点即为，旋转角，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图所示，点即为所求，旋转角，即的度数为 题型4.旋转的性质及辨析 1．下列事件中，属于必然事件的是（    ） A．将绕点旋转30度，面积扩大了2倍 B．若，则是正数 C．点不在第一象限 D．画一个梯形，它的对角相等 【答案】C 【分析】本题考查必然事件的判断，先明确必然事件的定义：一定会发生的事件称为必然事件，再结合旋转的性质，平方的性质，平面直角坐标系内点的坐标特征，梯形的性质逐一判断即可． 【详解】解：一定条件下必然发生的事件是必然事件． 对于A ∵旋转不改变图形的形状和大小，旋转后面积不变，∴A是不可能事件，不符合要求． 对于B ∵当为负数时，也满足，例如时， ，∴“是正数”不一定发生，B是随机事件，不符合要求． 对于C ∵第一象限内点的横坐标恒为正数，点的横坐标为，∴点一定不在第一象限，该事件一定发生，属于必然事件，符合要求． 对于D ∵只有特殊梯形才满足对角相等，任意梯形不一定对角相等，∴该事件不一定发生，D是随机事件，不符合要求． 故选C． 2．在平面内把一个图形绕着某__________沿着某个方向转动__________的图形变换叫做旋转．这个点O叫做__________，转动的角叫做__________．因此，图形的旋转是由__________，__________和__________决定的． 【答案】 点O 一个角度 旋转中心 旋转角 旋转中心 旋转方向 旋转角 【分析】根据旋转的定义解答即可. 【详解】在平面内把一个图形绕着某点O沿着某个方向转动一个角度的图形变换叫做旋转．这个点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角．因此，图形的旋转是由旋转中心，旋转方向和旋转角决定的． 故答案为：点O；一个角度；旋转中心；旋转角；旋转中心；旋转方向；旋转角 【点睛】此题考查了旋转的定义，掌握定义是解答此题的关键. 3．如图，的顶点坐标分别为，将绕点O顺时针旋转得到，点A旋转后的对应点为．    (1)画出旋转后的图形： (2)点的坐标是 (3)的形状是 【答案】(1)图见解析 (2) (3)等腰直角三角形 【分析】（1）根据旋转的性质作图即可； （2）由图可得答案； （3）由旋转可得，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，将点分别绕点O顺时针旋转得点，依次连接点， 即为所求；    （2）解：如图：    由旋转得：，，， ， 点的坐标是； （3）解：如图：    由旋转可得，， 是等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角三角形． 【点睛】本题考查作图﹣旋转变换，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键． 题型5.根据旋转性质说明线段或角相等 1．如图，已知中，，，将绕点A逆时针旋转得到，以下结论中错误的是（    ） A． B． C．D． 【答案】A 【分析】此题考查了旋转性质的应用，图形的旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小，还考查了等腰三角形的性质、平行线的判定等知识．熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 根据旋转的性质可得，，再根据旋转角的度数为，通过推理证明对四个结论进行判断即可． 【详解】解：∵绕A点逆时针旋转得到， ∴，，，故B结论正确，不符合题意； ∵， ∴． ∴． ∴．故C结论正确，不符合题意； 在中，， ∴． ∴． ∴与不垂直．故A结论错误，符合题意； 在中，， ∴． ∴．故D结论正确，不符合题意． 故选：A． 2．如图，将绕着点C顺时针旋转一定的角度得到，若，，则______． 【答案】 30 【分析】根据旋转的性质可知对应角相等，即，结合图形中角的和差关系即可求解． 【详解】解：由旋转的性质可知，， ，，且， ， ． 3．如图①，是等边三角形，点D在的内部，连接，将线段绕点A按逆时针方向旋转，得到线段，连接． (1)判断线段与的数量关系并给出证明； (2)如图②，延长交直线于点F．当点F与点B重合时，证明： ． 【答案】(1)，理由见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据等边三角形的性质以及旋转的性质证明即可得出结论； （2）借助（1）的结论，利用线段的和差证明． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ∵是由绕点A逆时针旋转得到的， ∴， ∴， ∴， 即：， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：由（1）得：， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 题型6.旋转中的规律性问题 1．李华利用平面直角坐标系绘制了如图的风车图形，他先将固定在坐标系中，其中，，接着他将绕点O逆时针旋转（）至，此次旋转称为第1次旋转，然后进行第2次旋转：将绕点O逆时针转动至，…，那么按照这种旋转方式，旋转第2026次后，点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据每次转动可知，4次一个循环，分别求出第一次到第四次的点的坐标，利用规律解决问题即可． 【详解】解：∵绕原点O逆时针转动至，，， ∴， ∵绕原点O逆时针转动至， ∴， ∵绕原点O逆时针转动至， ∴， ∵绕原点O逆时针转动至， ∴， 即点与点A重合， ∴点A每旋转4次为一个循环， ∵， ∴在转动2026次后，点A在点的位置，此时点A的坐标为． 2．如图，在Rt中，，且在直线上，将绕点A顺时针旋转到位置①，可得点，将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，可得点，将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③，可得点，按此规律继续旋转，得到点为止，则的长度为__________． 【答案】8105 【分析】观察不难发现，每旋转3次为一个循环组依次循环，用2026除以3求出循环组数，然后列式计算即可得解． 【详解】解：∵在中，，，，， ∴将绕点顺时针旋转到位置①时，， 将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②时，， 将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③时，， ……， 以此类推可知，每旋转3次为一个循环组，每一个循环长度增加12， ∵， ∴ ． 3．两块全等的等腰直角三角板如图放置，∠BAC＝∠EDF＝90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，当点D落在直线AB上时，若BC＝2，则AD＝______． 【答案】或 【分析】作直线AE，则AE⊥BC；设E点为坐标原点，则A（0，1），B（-1，0），则直线AB为：y=x+1，设D点（a，a+1），利用D、E两点的距离公式求得D点坐标，再求A、D两点距离即可解答； 【详解】解：如图，作直线AE， △ABC是等腰直角三角形，E是BC中点，∴AE⊥BC， ∵BC=2，∴BE=1，AE=1，AB==， ∵△ABC≌△DEF，∴DE=AB=， 设E点为坐标原点，则A（0，1），B（-1，0）， 设AB所在的直线为：y=kx+b，代入A，B坐标可得直线为：y=x+1， D点在直线AB上，设D点（a，a+1），由两点距离公式可得： DE==， ，解得：a= ∴D点坐标为（，）（在BA延长线上）， 或（，）（在AB延长线上）， A点坐标（0，1）， ∴AD==， 或AD==， 故答案为：或； 【点睛】本题考查了图形的旋转，等腰三角形的性质，勾股定理，通过建立坐标系构造一次函数求得D点坐标是解题关键． 题型7.画旋转图形 1．如图，点O为正方形的中心，点E、F分别为边、的中点，若经过一次变换后会得到，下列变换方式中能实现的是（     ）    A．沿直线翻折 B．沿直线翻折 C．向右平移2个单位 D．绕点O逆时针旋转 【答案】D 【分析】根据旋转变换，翻折变换，平移变换的性质即可求解． 【详解】解：由题可知, ∴点与，点与,点与,一一对应， 沿直线翻折，得：   ， 则该选项错误； B.沿直线翻折    则该选项错误； C. 向右平移2个单位， ∵平移不改变方向， 则该选项错误； D. 绕点O逆时针旋转    则该选项正确． 2．如图，在平面直角坐标系中，，将绕原点顺时针旋转得到（分别是A，B的对应点）．若点位于内（不含边界），点为点绕原点顺时针旋转的对应点，则点的纵坐标的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了旋转作图，旋转的性质．熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 由旋转的性质可确定点旋转后对应点在线段上，且不与点重合，然后作答即可． 【详解】解：∵点位于内， ∴， 旋转后对应点在线段上，且不与点，重合，如图， ∴， 故答案为：． 3．实践操作． 在方格纸上画出图形和图形． (1)图形向下平移3格得到图形． (2)图形绕点顺时针方向旋转，得到图形． 【答案】(1) (2) 【分析】本题是作图题，考查平移和旋转后的图形，注意：平移后，图形的大小、形状、方向均不变，而图形旋转后，方向变了. （1）根据平移图形的特征，把图形的各顶点分别向下平移3格即可得到图形； （2）根据图形旋转的方法，以顶点为旋转中心，先找出另外两个顶点绕点顺时针旋转后的对应点，再把这三个顶点依次连接起来，即可得到旋转后的图形. 【详解】（1）解：见答案； （2） 解：见答案． 题型8.坐标系中的旋转 1．如图，在平面直角坐标系中，的顶点与原点重合，点，分别在轴的负半轴和轴的正半轴上，将绕点顺时针旋转得到，点恰好落在上，点，的对应点分别为，．若，则点的坐标为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用旋转的性质，先证为等边三角形，再用含角的直角三角形性质求的长度，最后通过作辅助线构造含角的直角三角形，直接用边长关系求点的坐标． 【详解】解：过点作轴于点， ∵将绕点顺时针旋转得到， ∴，，，． ∴是等边三角形， ∴． ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴． ∵，， ∴． ∴， 由勾股定理得：． ∴点的坐标为． 2．如图，直角三角形的斜边在轴的正半轴上，点与原点重合，点的坐标是，且．若将绕着点旋转后，点和点分别落在点和点处，那么直线的表达式是________． 【答案】或 【分析】先根据旋转的方向确定点和点的坐标，再利用待定系数法即可求得结论． 【详解】解：∵直角三角形中点的坐标是，且， ∴， ∴，， 当顺时针旋转后，如图， ∴， ∴点，， ∴直线的解析式是； 当逆时针旋转后，如图， ∴， 过点作轴交轴于点，过点作轴交轴于点， ∴轴，， 在直角三角形中，， ∴， 同理， ∴点，， ∴设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式是， 综上，直线的解析式是或． 3．如图在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，和的顶点均在格点上，请解答下列问题： (1)画出平面直角坐标系，使的顶点的坐标分别为； (2)画出绕点顺时针旋转得到的（点的对应点分别为点）； (3)将绕某点逆时针旋转后，其对应点分别为，则旋转中心的坐标为_________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了坐标与平面，画旋转图形，旋转中心的确定等知识点． （1）根据顶点的坐标分别为建立平面直角坐标系即可； （2）将点分别绕着点得到点，再顺次连接即可； （3）连接对应点，交点即为旋转中心，即可求解． 【详解】（1）解：平面直角坐标系如图： （2）解：如图，即为所求； （3）解：连接，交点即为旋转中心，可得坐标为， 故答案为：． 题型9.求绕原点旋转90度的点的坐标 1．在平面直角坐标系中，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点A作轴于点B，过点作轴于点C，证明，得到，则点的坐标为． 【详解】解：如图所示，过点A作轴于点B，过点作轴于点C， ∴， 由旋转的性质可得，， ∴， ∴， ∴， ∵点的坐标为， ∴， ∴点的坐标为． 2．已知：点，，为坐标原点，将线段绕原点顺时针方向旋转到线段，则四边形的面积为_______． 【答案】 【分析】先根据旋转变换的坐标规律得到旋转后，的坐标，得到四边形为梯形，再利用梯形的面积公式求解即可． 【详解】解：，，将线段绕原点顺时针方向旋转到线段， ，， 如图，四边形为梯形，设梯形的高为， ，，， 四边形的面积为． 3．如图，在的正方形网格中建立平面直角坐标系，为坐标原点，每个小正方形边长都是1，其顶点叫做格点，的顶点均在格点上．按下列要求作图并解答： (1)将向左平移5个单位得到，点的对应点分别为，画出； (2)将绕着点O顺时针方向旋转得到，点的对应点分别为． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； 题型10.求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 1．如图，在中，，点的坐标为，点的坐标为，点是上一动点，连接，将绕点逆时针旋转得到线段，使点恰好落在上，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由旋转得，，过点D作于E，构造，推出，再根据是含30度角的直角三角形，计算出的长度，进而计算出的长度，即可求解． 【详解】解：如图，过点D作于E， 点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ， ∴． ∵将绕点逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴点D的坐标为． 2．如图，直线与轴、轴分别相交于点，将绕点顺时针方向旋转得到，则点的坐标为__________． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象与坐标轴的交点，旋转的性质，正方形的判定和性质等．延长交x轴于点E，先求出点A和点B的坐标，再根据旋转的性质证明四边形是正方形，进而求出和的长度即可求解． 【详解】解：如图，延长交x轴于点E， 中，令，则，令，解得， ，， ，， 绕点顺时针方向旋转得到， ，，， 四边形是正方形． ， ， 点的坐标为． 故答案为：． 3．在平面直角坐标系中，的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形） (1)若和关于原点O成中心对称图形，画出； (2)将绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的； (3)在x轴上存在一点P，满足点到点与点距离之和最小，标出点P的位置，并直接写出的最小值为____． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)图形见解析， 【分析】（1）根据中心对称图形的定义画图即可； （2）根据旋转的定义画图即可； （3）如图所示，过点关于轴的对称点，连接交轴于点，根据的最小值为，进行计算即可． 【详解】（1）解：如图为所作图形： （2）解：如图为所作图形： （3）解：如图所示，过点关于轴的对称点，连接交轴于点， ， 的最小值为． 题型11.求绕原点旋转一定角度的点的坐标 1．将绕原点旋转得到，点的对应点的坐标为，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得点A和点关于原点对称，关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数，据此可得答案． 【详解】解：∵将绕原点旋转得到， ∴点A和点关于原点对称， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为． 2．如图，点O为坐标系的原点，点A在x轴上，是边长为2的等边三角形，以O为旋转中心，将按顺时针方向旋转，得到，则点的坐标是__________． 【答案】 【分析】根据等边三角形的性质和旋转的性质可求出，，，过作轴于C，则，根据含角的直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，即可求解. 【详解】解：∵是边长为2的等边三角形， ∴，， ∵按顺时针方向旋转，得到， ∴，， 过作轴于C， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标是. 3．如图，每个小方格都是边长为1个单位长度的小正方形． (1)将向右平移6个单位长度，画出平移后的并写出点的坐标． (2)将绕点O旋转，画出旋转后的并写出点的坐标． (3)请求出的面积． 【答案】(1)见解析， (2)见解析， (3) 【分析】（1）把的三个顶点分别向右平移6个单位长度，得到点，顺次连接得到，再写出点的坐标即可； （2）把三个顶点分别绕点O旋转，得到点，顺次连接得到，写出点的坐标即可； （3）运用整体减部分的方法可求得的面积． 【详解】（1）解：如图所示，点的坐标为； （2）解：如图所示，点的坐标为； （3）解：的面积为． 题型12.坐标与旋转规律问题 1．如图，在平面直角坐标系中，将绕点A顺时针旋转到的位置，点B、O分别落在点、处，点在x轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，依次进行下去…若点，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用勾股定理求出，然后分别求出，，…，找到横坐标的规律，进而求解即可． 【详解】解：∵，， ，， ， ∴，即 同理可得，，… ∴序号为奇数时， ∴点的坐标为，即． 2．如图，在平面直角坐标系中，长方形的两边与坐标轴重合，．将长方形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转结束时，点的坐标是_____． 【答案】 【分析】根据长方形的性质求出点B初始位置的坐标，再根据题意可得每4次旋转为一个循环，点B都会回到初始位置，求出2026除以4的余数为2，则第2026次旋转结束时点B的位置即为点绕原点逆时针旋转后的位置，据此可得答案． 【详解】解：旋转前，∵四边形是长方形， ∴， 又∵， ∴， ∵将长方形绕点逆时针旋转，每次旋转，且， ∴每4次旋转为一个循环，点B都会回到初始位置， ∵， ∴第2026次旋转结束时点B的位置与第2次旋转结束时点B的位置相同， ∴第2026次旋转结束时点B的位置即为点绕原点逆时针旋转后的位置， ∴此时点B的坐标为． 3．在平面直角坐标系中，我们给出如下定义：将点M绕直线上某一点P顺时针旋转，再关于直线对称，得到点N，我们称点N为点M关于点P的二次关联点．已知点． (1)若点P的坐标是，如图1，记点A旋转后对应的点为，关于直线对称的点为，则点即为点A关于点P的二次关联点，求出的坐标； (2)若点A关于点P的二次关联点与点A重合，在图2中画出图形找出A旋转后对应的点和点P，并求点P的坐标； (3)若点A关于点P的二次关联点在直线上，直接写出此时点P的坐标． 【答案】(1)的坐标为 (2)点P的坐标为 (3)点P的坐标为 【分析】（1）如图1，记旋转后对应的点为，关于直线对称的点为，过作轴于，证明，则，进而可得，； （2）如图2，记旋转后对应的点为，与直线的交点为，则垂直平分，，，由，，可得，，则，进而可得； （3）设，过作轴于，连接与直线的交点为，证明，得出，，进而可得，可得与的纵坐标相同，即点的纵坐标为，再由点在直线上，可求得a的值，即可求得答案． 【详解】（1）解：如图1，记旋转后对应的点为，关于直线对称的点为，过作轴于， 由旋转的性质可知，，， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， ∴，； （2）解：如图2，记旋转后对应的点为，与直线的交点为，则垂直平分，，， ∵，， ∴，， ∴， ∴； （3）解：如图3，设，过作轴于，连接与直线的交点为，    则， ∵将点A绕点P顺时针旋转得到点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵与关于直线对称， ∴与的纵坐标相同，即点的纵坐标为， ∵点在直线上， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴点P的坐标为． 【点睛】本题考查了旋转的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，等角对等边，一次函数的应用．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 题型13.线段问题（旋转综合题） 1．在中，，，点在边上，．若，，则的长为（    ） A．9 B． C．10 D． 【答案】B 【分析】解题的核心思路是旋转构造．将绕点顺时针旋转至，连接、．首先利用证明，从而得到，并推导出．再证明，得到．这样，在中，由勾股定理得，即．最后代入已知数值，即可求出的长度． 【详解】解：如图， 将绕点顺时针旋转得到，连接． 由旋转可知，，且． ∴． 在与中， ∵，，， ∴． ∴，． ∵中，，， ∴． ∴． ∴． 在中，由勾股定理得：． 又∵， ∴． 在与中， ∵，，， ∴． ∴． ∴，即． 已知，， 代入得：． 解得：． 故选：B． 【点睛】本题考查旋转法构造全等三角形、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理．解题的关键是成功构造旋转全等，并利用角证明第二次全等，从而将转移到． 2．如图，边长为8的等边三角形中，M是高所在直线上的一个动点，连接，将线段绕点B逆时针旋转得到，连接．则在点M运动过程中，线段长度的最小值是_______． 【答案】2 【分析】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，作辅助线构造全等三角形是解题关键．取的中点，连接，根据等边三角形的性质和旋转的性质，可证，得到，由垂线段最短可知，当时，有最小值，此时有最小值，再结合30度角所对的直角边等于斜边一半求解即可． 【详解】解：如图，取的中点，连接， 等边三角形的边长为8， ， ， ，， 是的中点， ， ， 线段绕点B逆时针旋转得到， ，， ， ，即， 在和中， ， ， 由垂线段最短可知，当时，有最小值，此时有最小值， ，， ， 线段长度的最小值是2， 故答案为：2． 3．如图，中，，，为射线上一点，过点作于点，是的中点． (1)如图1，与有何关系，并说明理由； (2)如图2，将绕点顺时针旋转，使点落在内部，判断（1）中的结论是否还成立？如果不成立，请说明理由，如果成立，请证明； (3)将绕点顺时针旋转，若，且，连接，请直接写出的面积． 【答案】(1)，，理由见解析； (2)成立，理由见解析； (3) 【分析】（1）根据题意得到，，；，同时可以得到点在以为圆心，为直径的圆上，得出，； （2）成立，取中点，中点，连接、、、，证明，得到，，推出； （3）取中点，中点，中点，作，连接、、、，证明，得到，，证明，设，则，，求出， ，得到，继而得到． 【详解】（1）解：，，理由如下， ，是的中点， ， ， ， ， ； ， ， ， 点在以为圆心，为直径的圆上， ， ； （2）解：成立，理由如下， 如图，取中点，中点，连接、、、， ，， ， 是的中点， 是的中位线，是的中位线， ，， ,由旋转得， ， , ， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ； （3）解：如图，取中点，中点，中点，作，连接、、、， ，，，，，，， ，，， ， ，即， ， ，， ， ， ， ， 由旋转得， ， ， ， 设，则，， ， ，即， ， ， ， ， ． 题型14.面积问题（旋转综合题） 1．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，点D是斜边上任意一点，将点D绕点C逆时针旋转60°得到点E，则线段DE长度的最小值为（　　） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】由旋转的性质可证△CDE为等边三角形，当DE最短，CD最短，CD⊥AB时，CD最短，由直角三角形等面积法，即可求得． 【详解】解：由旋转的性质得，CD＝CE，∠DCE＝60°， ∴△CDE为等边三角形， ∴CD＝CE＝DE， 当DE最短，CD最短， 当CD⊥AB时，CD最短， 此时S△ABC＝AC•BC＝AB•CD， 即AC•BC＝AB•CD， 在Rt△ABC中，∠ACD＝90°，AB＝5，BC＝3， 由勾股定理得，AC＝4， ∴3×4＝5CD， ∴CD＝， ∴线段DE长度的最小值是， ∴故选：A． 【点睛】本题主要考查了旋转以及等边三角形，熟练等面积法是解决本题的关键． 2．如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分的面积为______． 【答案】 【分析】根据旋转，可得，，，过点作于点，可判定为等腰直角三角形，利用勾股定理可求得，最后通过求得答案． 【详解】解：在中，，将绕点按逆时针方向旋转后得到， ，，． 如图，过点作于点， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ． ，， ． 3．如图，为等边内一点；将绕点顺时针旋转至的位置，连接． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)若，求的长与的面积． 【答案】(1)是等边三角形，理由见解析 (2)，的面积为 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的性质． （1）根据旋转的性质得到，可知，即可证明是等边三角形； （2）根据等边三角形的性质得到，根据勾股定理求出，将绕点顺时针旋转至的位置，连接，将绕点顺时针旋转至的位置，连接，可知，，，最后根据计算即可． 【详解】（1）解：是等边三角形．理由如下： 由旋转可知：． ， 是等边三角形． （2）解：是等边三角形， ， ． ． 如图2，将绕点顺时针旋转至的位置，连接，将绕点顺时针旋转至的位置，连接． ； 同理可得：． ． 题型15.角度问题（旋转综合题） 1．如图，将绕点顺时针旋转得到，若点共线，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用旋转的性质和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵将绕点顺时针旋转得到，且点共线， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了旋转的性质，同时也利用了三角形的内角和定理，比较简单． 2．如图，将线段绕点B逆时针旋转得到线段，点D是平面内一动点，且D、B两点之间的距离为5，连接、，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】把绕点B顺时针旋转，交的延长线于点，过点B作，则，，利用等量代换可得，从而证得，可得，即的最小值为的值，再根据等腰三角形的性质可得，，根据直角三角形的性质和勾股定理求得，即可求解． 【详解】解：如图，把绕点B顺时针旋转，交的延长线于点，过点B作，则，， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴的最小值为的值， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质及勾股定理，根据旋转的性质构造全等三角形是解题的关键． 3．从一个角的顶点出发，把这个角分成的两个角的射线，叫做这个角的三等分线，显然一个角的三等分线有两条． 例如：如图1，若，则是的一条三等分线． (1)如图1，若，，则___________； (2)如图2，若，，是的两条三等分线． ①求的度数； ②将绕点逆时针旋转度得到，当射线恰好是的三等分线时，求的值； (3)如图3，若，射线是的一条三等分线（射线在的上方），分别是和的角平分线，将绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，若射线恰好是的三等分线，直接写出此时绕点旋转的时间． 【答案】(1)或； (2)①；②或； (3)，，或秒． 【分析】本题主要考查角的和差倍分运算，根据题意，画出图形，分类讨论，是解题的关键． （1）由是的一条三分等线，分类讨论，即可求解； （2）以O为中心，将逆时针旋转n度得到，当恰好是的三等分线时，分两种情况：当是的三等分线，且时；当是的三等分线，且时，分别求解即可； （3）由是的一条三等分线，，得或，分两种情况讨论：当时；当时，分别求出绕点O沿逆时针方向旋转的度数，进而即可求解． 【详解】（1）解：，是的一条三等分线， ，或， 或． （2）解：①∵，，是的两条三等分线 ∴ ②以O为中心，将逆时针旋转n度得到，当恰好是的三等分线时，分两种情况： 当是的三等分线，时，如图， ∴ ∴ ∴ 当是的三等分线，时，如图， ∴ ∴ 故答案为：或；． （3）解：是的一条三等分线，， 或， ，分别是与的平分线， ， 当时，如图， 或， 绕点O沿逆时针方向旋转或时，是的一条三等分线， （秒）或（秒）； 当时，如图， 或， 绕点O沿逆时针方向旋转或时，是的一条三等分线， （秒）或（秒）； 综上，绕点O沿逆时针方向旋转的时间是，，或秒． 题型16.成中心对称 1．将绕点旋转得到，则下列作图正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的定义，掌握旋转的定义是解题的关键． 把一个图形绕某一点O旋转的图形变换叫做中心对称，据此进行判断即可． 【详解】解：观察选项中的图形，只有C选项是绕点旋转得到， 故选：C． 2．如图，将先向右平移5个单位长度，再关于原点中心对称得到，则点的对应点的坐标是__________． 【答案】 【分析】本题考查了坐标的平移变换，关于原点中心对称的坐标变换，掌握向右平移横坐标加，关于原点对称横纵坐标取相反数是解题的关键． 先确定点的初始坐标，按向右平移的坐标规则计算平移后的坐标，再按关于原点对称的坐标变换规则求最终坐标． 【详解】解：根据图像，点的初始坐标为 将点向右平移5个单位长度，其坐标变为 ，即 将平移后的点 关于原点中心对称，其坐标变为 因此，点的对应点的坐标是 故答案为：． 3．如图，的三个顶点与点O均在正方形网格的格点上． (1)作，使得与关于点O成中心对称； (2)已知网格中小正方形的边长均为1，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）分别作出点关于点的对称点，再顺次连接即可； （2）利用割补法求解即可． 【详解】（1）解：即为所求； （3） 解：的面积． 题型17.画已知图形关于关于某点对称的图形 1．三个全等的等边三角形按图1所示位置摆放，现添加一个大小相同的等边三角形，使四个等边三角形组成一个中心对称图形（如图2），则添加的等边三角形所放置的位置是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案． 【详解】解：依题意，添加的等边三角形④，可得中心对称图形， 故选：D． 【点睛】本题考查了中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键． 2．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A与点O分别为格线上一点． （1）当O为所在小正方形一边的中点，A为三等分点（距下方格点近）时，的长度为_____； （2）在如图所示的网格中，请用无刻度的直尺，先将点A向上平移2个单位长度得到点B，再以点O为中心，画出线段关于点O的中心对称图形（A的对应点为，B的对应点为），并简要说明点和点的位置是如何找到的（不要求证明）_____． 【答案】 取格点C，连接并延长交格线于点D，取格点E，连接并延长交格线于点B，连接并延长交格线于点，连接并延长交格线于点，则点和点即为所求 【分析】本题主要考查了作图-复杂作图，中心对称，勾股定理等知识点， （1）利用已知和勾股定理即可得解； （2）利用三角形的中位线定理可得出，即为两个单位长度，利用矩形的中心对称性可知和成中心对称，和成中心对称，进而即可得解； 熟练掌握其性质，合理作出图形是解决此题的关键． 【详解】（1）如图，连，过A作格线的垂线交于点C， ∵O为所在小正方形一边的中点，A为三等分点（距下方格点近）， ∴， 故答案：； （2）如图， ， 取格点C，连接并延长交格线于点D，取格点E，连接并延长交格线于点B，连接并延长交格线于点，连接并延长交格线于点，则点和点即为所求． 3．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)平移，使点A的对应点的坐标为． ①请在图中画出平移后的； ②将平移到的过程可描述为先向左平移 个单位长度，再 ． (2)请在图中画出关于原点中心对称的，此时与关于某一点中心对称，这一点的坐标为 ． 【答案】(1)①②2，向下平移4个单位长度 (2) 【分析】（1）①根据坐标的平移可进行求解；②由①中坐标系可进行求解； （2）根据点的坐标关于原点对称的特征得到点的坐标，然后问题可求解． 【详解】（1）解：①略 ②由坐标系可知：将平移到的过程可描述为先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度； （2）解：图略 则由坐标系可知：与关于某一点中心对称，这一点的坐标为． 题型18.画两个图形的对称中心 1．如图，两个半圆分别以O，为圆心，它们关于某点成中心对称，点A，B，，在同一直线上，则对称中心为（    ）    A．点O B．点B C．线段的中点 D．线段的中点 【答案】D 【分析】由已知两个图形的位置，判断它们是否中心对称，可以把各对应点连线，看所有连线是否交于同一点． 【详解】解：如图：    作法：1．过点作交于点，过点作交于点， 2．连接交于点， 故点即为所求 证明：，， 是对称点，是对称点， 故的交点为对称中心． 故选：D． 【点睛】本题考查了中心对称，正确的作出图形是解题的关键． 2．如图，在平面直角坐标系中，若与关于点E成中心对称，点A，B，C的对应点分别为，，，则对称中心点E的坐标是______． 【答案】 【分析】由题意可知和关于点E成中心对称，根据对应点连线经过对称中心可知连接，交于点E，即可得出答案． 【详解】解：连接，交于点E，其坐标是． 3．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，（每个方格的边长均为1个单位长度）． (1)将平移，使点A移动到点，请画出； (2)作出关于O点成中心对称的； (3)与是否成中心对称？若是，请写出对称中心的坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)是， 【分析】（1）先根据平移的性质确定点的位置，再顺次连接即可； （2）先根据中心对称的性质确定点的位置，再顺次连接即可； （3）根据中心对称的定义判断，进而根据平面直角坐标系写出对称中心的坐标即可． 【详解】（1）解：如图，为所作； （2）解：如图，为所作； （3）解：与关于点P中心对称，如图，对称中心的坐标为． 题型19.根据中心对称的性质求面积、长度、角度 1．如图，正六边形的对角线交于原点O，若，则点E的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据中心对称图形的性质可得B、E两点关于原点成中心对称，即可求解． 【详解】解：正六边形为中心对称图形，为对角线，正六边形的对角线交于原点O， B、E两点关于原点成中心对称， ∵， ． 2．如图，四边形与四边形关于点成中心对称，，则的度数为_____，的长度为_____． 【答案】 92° 3 【分析】本题考查了中心对称的性质：对应线段相等，对应角相等；根据中心对称的性质即可求解． 【详解】解：四边形与四边形关于点O成中心对称， ， 故答案为：，3． 3．如图，与关于点O中心对称，点E、F在线段上，且．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据中心对称的性质得出，，然后证明，得出，最后根据平行线的判定即可得证． 【详解】证明：∵与关于O中心对称， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型20..中心对称图形的识别 1．下列图形中，是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A、B、C中的图形都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形． 选项D中的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 2．下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是___________.（填序号） ①线段；  ②角；  ③等边三角形；  ④平行四边形.  ⑤正六边形． 【答案】①⑤ 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念. 在平面内，若一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，则这个图形是轴对称图形；在平面内，若把一个图形绕着某个点旋转，旋转后的图形能和原来的图形重合，则这个图形是中心对称图形；根据两个概念逐一判断各图形即可． 【详解】解：①线段，沿线段的垂直平分线或线段所在直线折叠都能重合，是轴对称图形，绕线段中点旋转能与原图形重合，是中心对称图形，符合要求； ②角，沿角平分线所在直线折叠能重合，是轴对称图形，绕任意点旋转后不能与原图形重合，不是中心对称图形，不符合要求； ③等边三角形，是轴对称图形，旋转后不能与原图形重合，不是中心对称图形，不符合要求； ④平行四边形，绕对角线交点旋转能与原图形重合，是中心对称图形，不存在直线使折叠后重合，不是轴对称图形，不符合要求； ⑤正六边形，有多条对称轴，是轴对称图形，绕中心旋转能与原图形重合，是中心对称图形，符合要求． 故答案为①⑤． 3．如图，的顶点坐标分别为，，． (1)将向右平移个单位长度，画出平移后的； (2)画出关于轴对称的； (3)将绕原点旋转，画出旋转后的； (4)在、、中： ___________与___________成轴对称； ___________与___________成中心对称，且对称中心的坐标为___________． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 (4)，；，， 【分析】本题考查平移作图，轴对称作图，旋转作图，轴对称图形和中心对称图形的辨认，掌握好相应的作图技巧是关键． （1）描出平移后的点、、，连接成三角形即可； （2）关于轴对称的点。横坐标相等，纵坐标互为相反数，描出点、、，连接成三角形即可； （3）绕原点旋转的点，横纵坐标都互为相反数，描出点、、，连接成三角形即可； （4）结合图形进行判断即可． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：如图所示： （3）解：如图所示： （4）解：由图可知，与成轴对称，与成中心对称，对称中心为． 故答案为：，；，，． 题型21.判断中心对称图形的对称中心 1．如图，在平面直角坐标系中，小明画关于点O对称的图形时，由于紧张选错了对称中心，画出的图形是，则此时的对称中心的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据中心对称的性质，对称中心即为对应点连线的中点，从图中读取一对对应点的坐标，利用中点坐标公式求解即可． 【详解】解：由图可知，点A的坐标为，其对应点的坐标为， ∵ 对称中心是对应点连线的中点， ∴ 对称中心的横坐标为，纵坐标为， ∴对称中心的坐标为． 2．如图，四边形与四边形关于某一点成中心对称，则这个点是______． 【答案】 【分析】本题考查了中心对称图形的知识点，解题的关键是了解呈中心对称的两个图形的对应点的连线经过对称中心． 连接任意两对对应点，连线的交点即为对称中心，即可解答. 【详解】解：如图所示： 可知：连线的交点为，故对称中心为 故答案为：． 3．如图，的顶点坐标分别为． (1)以原点为对称中心，画出与成中心对称的图形； (2)将平移后得到，若点A的对应点的坐标为，画出平移后的； (3)和关于点P中心对称，请直接写出P点坐标_____． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据中心对称的性质即可作图； （2）由点的对应点，得到平移方式，即可作图； （3）连接交于点，即可得出结果． 【详解】（1）解：如图所示，为所求； （2）解：∵点的对应点，且， ∴平移方式为向左平移个单位长度，向下平移个单位长度， ∴如图，即为所求， （3）解：如图，连接交于点， 则． 题型22.在方格中补画图形使之成为中心对称图形 1．如图所示的是的正方形网格，选择一空白小正方形，能与阴影部分组成中心对称图形的方法有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】C 【分析】根据中心对称图形定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，进行分析即可． 【详解】解：如图，能与阴影部分组成中心对称图形的方法有3种： 2．如图，在正方形方格中，已有三个小正方形被涂上阴影，将一个空白的小正方形涂上阴影，使它与现有三个带有阴影的小正方形一起组成中心对称图形的情况有______种． 【答案】3 【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，依据中心对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：如图所示，涂黑一个小正方形，使四个涂黑的小正方形构成的图案是中心对称图形，则不同的涂法有3种． 3．如图，正方形网格中，每一个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为． (1)将向左平移6个单位长度，再向下平移2个单位长度得到．画出平移后得到的；如果把这个过程看成是经过一次平移，则平移距离为______个单位长度； (2)画出关于原点对称的； (3)将绕着点顺时针旋转画出旋转后得到的 【答案】(1)图见解析， (2)图见解析 (3)图见解析 【分析】（1）根据平移规则画出；利用勾股定理求出平移距离即可； （2）根据中心对称的性质，画出即可； （3）根据旋转的性质，画出； 【详解】（1）解：如图，即为所求； 由题意，把这个过程看成是经过一次平移，则平移距离为个单位长度； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图，即为所求． 题型23.中心对称图形规律问题 1．如图，在平面直角坐标系中，点，，，，，，……都是平行四边形的顶点，点，，……在轴正半轴上，，，，，，，……，平行四边形按照此规律依次排列，则第6个平行四边形的对称中心的坐标是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是点的坐标变化规律，中心对称和平行四边形的性质，熟练掌握上述知识点是解题的关键．根据题意，先求出前几个点的坐标，即可找出规律：第个平行四边形的对称中心坐标为，即可求解． 【详解】解：如图所示，作轴于点， ，， ， ， ，重合， ， 则的中点即为第1个平行四边形的对称中点，其坐标为； 同理可得：，，， 则的中点即为第2个平行四边形的对称中点，其坐标为； 同理可得：第3个平行四边形的对称中心的坐标是； 同理可得：第个平行四边形的对称中心的坐标是； 第6个平行四边形的对称中心的坐标是，即，，， 故选：D． 2．如图，小明用计算机软件绘制函数的图象，发现它关于点中心对称．若点都在函数图象上，这些点的横坐标从0开始依次增加0.2，则的值是______． 【答案】 【分析】根据函数图象关于点中心对称，可知若两点横坐标之和为，则纵坐标之和为；观察点列横坐标，发现除外，其余点到可关于对称配对，其中为对称中心，纵坐标为，计算即可得出结果； 【详解】解：函数的图象关于点中心对称， 若点与在函数图象上，且，则， 点的横坐标从开始依次增加， 横坐标分别为， ， ， 又当时，对应点为对称中心， ， ， 当时，， ． 3．如图1，平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+m交x轴于点A（4，0），交y轴正半轴于点B，直线AC交y轴负半轴于点C，且BC＝AB． （1）求线段AC的长度． （2）P为线段AB（不含A，B两点）上一动点． ①如图2，过点P作y轴的平行线交线段AC于点Q，记四边形APOQ的面积为S，点P的横坐标为t，当S＝时，求t的值． ②M为线段BA延长线上一点，且AM＝BP，在直线AC上是否存在点N，使得△PMN是以PM为直角边的等腰直角三角形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）①；②存在一点或，使是以MN为直角边的等腰直角三角形． 【分析】（1）把代入一次函数解析式即可确定一次函数解析式为，得到，由勾股定理确定，求出，即求得，在中，利用勾股定理即可得出结果； （2）①设，利用待定系数法直线AC的解析式为，由，根据代入数值即可求出t的值； ②当N点在轴下方时，得到，设，过P点作直线轴，作，，根据全等三角形的判定定理可得：，得到，，再证明，得到，，求得，则，根据，得到，列出方程求出a即可得到点N的坐标；当N点在x轴上方时，点与N关于对称，得到点N’的坐标． 【详解】（1）把代入得：， 一次函数解析式为， 令，得， ∴， 在中，，， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中， ； （2）①设， ∴P在线段AB上， ∴， 设直线AC的解析式为，代入，得： ， ∴， ∴， 又∵轴，则， ∴， ， 又∵， ∴得． ②如图所示，当N点在轴下方时， ∵， ∴， ∴， ∵是以PM为直角边的等腰直角三角形， 当时，，， 设， 过P点作直线轴，作，， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴，作，则， ∵， ∴， ∴M在直线AB上， ∴ ， ∴， ∴． 当N点在x轴上方时，如图所示： 点与关于对称， 则，即， 综上：存在一点或，使是以MN为直角边的等腰直角三角形． 【点睛】题目主要是考查一次函数的综合题，待定系数法求函数解析式，直线所成三角形的面积，等腰直角三角形的性质，勾股定理，三角形全等的判定及性质，中心对称的点的性质，熟练掌握各知识点综合运用是解题的关键． 题型24.求关于原点对称的点的坐标 1．点关于原点对称的点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】关于原点对称的两个点，横、纵坐标分别互为相反数； 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是． 2．若点与点关于原点对称，则点P的坐标是________． 【答案】 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴根据关于原点对称的点的坐标性质，可得，， ∴点P的坐标是． 3．判断下列说法是否正确： (1)点和点表示同一个点； (2)点与点关于原点对称； (3)坐标轴上的点的横坐标和纵坐标至少有一个为0； (4)第一象限内的点的横坐标和纵坐标均为正数． 【答案】(1)错误 (2)正确 (3)正确 (4)正确 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标的相关概念．需根据有序数对定义，关于原点对称的点的坐标特点，坐标轴上点的坐标特征以及象限内点的符号规律逐一判断每个说法． 【详解】（1）解：平面直角坐标系中，有序数对表示点的坐标，顺序不同表示不同的点．点横坐标为，纵坐标为，点横坐标为，纵坐标为，坐标不同，不是同一个点，因此该说法错误． （2）解：关于原点对称的两个点，横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数．和互为相反数，和互为相反数，因此点与点关于原点对称，该说法正确． （3）解：轴上的点纵坐标为，轴上的点横坐标为，因此坐标轴上的点的横坐标和纵坐标至少有一个为，该说法正确． （4）解：根据象限的坐标符号规则，第一象限内的点的横坐标和纵坐标都为正数，该说法正确． 题型25.已知两点关于原点对称求参数 1．已知点关于原点对称的点在第四象限，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据原点对称点的坐标特征，结合第四象限点的坐标特征列不等式求解，即可得到a的取值范围． 【详解】解：∵点关于原点对称的点在第四象限， ∴点在第二象限，第二象限内的点满足横坐标小于，纵坐标大于， ∵点的纵坐标为，已经满足要求， ∴只需满足横坐标小于，即 ， 解得． 2．在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，且点在第三象限，则的取值范围是_______． 【答案】 【分析】本题考查平面直角坐标系中关于原点对称的点的坐标特征，以及第三象限内点的坐标符号特征，根据关于原点对称的点横纵坐标互为相反数得到点的坐标，再结合第三象限内点的坐标符号列出不等式，求解即可得到的取值范围． 【详解】解： 点 与点关于原点对称， 点的坐标为， 点在第三象限，第三象限内点的横坐标小于，纵坐标小于， ， 解得：． 3．在平面直角坐标系中，点，点． (1)若点A和点B关于x轴对称，求的值； (2)若点A和点B关于原点对称，求的值． 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题主要考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律． （1）根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”列方程组求解即可； （2）根据关于原点对称的点的坐标规律：横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得方程组，根据解方程组，可得a、b的值，根据有理数的乘法，可得答案． 【详解】（1）解：∵点A和点B关于x轴对称， ∴， 解得， ∴； （2）解：∵点A和点B关于原点对称， ∴， 解得， ∴． 题型26.判断两个点是否关于原点对称 1．如图，点是直线在第二象限上的一个点，点关于轴对称的点为，关于轴对称的点为，连接，则线段的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，坐标与图形变化——轴对称和关于原点对称，设直线分别与x轴，y轴交于G，H，连接，则，利用勾股定理求出的长；设，根据轴对称的性质得到，，则点D和点E关于原点对称，故三点共线，可推出，则当时，有最小值，即此时有最小值，利用等面积法求出的长即可得到答案． 【详解】解：设直线分别与x轴，y轴交于G，H，连接， 在中，当时，，当时，， ∴， ∴， ∴； 设， ∵点关于轴对称的点为，关于轴对称的点为， ∴，， ∴点D和点E关于原点对称， ∴三点共线， ∴， ∴当时，有最小值，即此时有最小值， ∵此时， ∴， ∴的最小值为， 故选：D． 2．在平面直角坐标系中，点与点是关于某点成中点对称的两点，则对称中心的坐标为___________ 【答案】 【分析】根据两个点的横纵坐标均为相反数，得到两个点关于原点对称，即可． 【详解】解：∵，，两个点的横纵坐标均为相反数， ∴点关于原点对称， ∴对称中心的坐标为：； 故答案为：． 【点睛】本题考查坐标与中心对称．解题的关键是掌握关于原点对称的两个点的横纵坐标均为相反数． 3．如下图，在平面直角坐标系中，是经过某种变换后得到的图形，观查点A与点P，点B与点Q，点C与点R的坐标之间的关系．在这种变换下： (1)分别写出点A与点P，点B与点Q，点C与点R的坐标． (2)从中你发现了什么特征？请你用文字语言表达出来． (3)根据你发现的特征，解答下列问题：若内有一个点经过变换后，在内的坐标称为，求关于x的不等式的解集． 【答案】(1)；； (2)）与关于原点对称 (3) 【分析】本题考查了直角坐标系中点的坐标表示形式、判断两点是否关于原点对称、解一元一次不等式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据图像与坐标轴之间的位置关系，将各个点的坐标写出来； （2）根据（1）中写出的各点的坐标，发现点A、P，点B、Q，点C、R的横纵坐标互为相反数，所以可推推得与关于原点对称； （3）根据（2）所得出的原点对称的结论，即点M、N的横纵坐标互为相反数，可以得出a、b的值，再代入不等式可解得最后的答案． 【详解】（1）解：根据图像与坐标轴之间的位置关系，得出：点A的坐标为，点P的坐标为；点B的坐标为，点Q的坐标为；点C的坐标为，点R的坐标为． （2）解：根据（1）中写出的各点的坐标，发现点A、P，点B、Q，点C、R的横纵坐标互为相反数，所以与关于原点对称． （3）解：∵由（2）可知与关于原点对称， ∴点M、N也是关于原点对称的， ∴点M、N的横纵坐标互为相反数，可得： ， 解得：， 将代入关于x的不等式得： ， 解得：． 分层精练 一、单选题 1．如图，在的正方形网格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，熟练掌握确定旋转中心的方法：分别作两组对应点所连线段的垂直平分线，其交点就为旋转中心是解题的关键．如图根据题意，可知点绕某点旋转后的对应点为点，点绕某点旋转后的对应点为点，点绕某点旋转后的对应点为点，连接，，借助网格，画出线段，的垂直平分线，找到其垂直平分线的交点，即可所求． 【详解】解：如图所示，点即为所求， 故选：C． 2．如图，将绕点逆时针旋转，得到，若点落在线段的延长线上，则大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查旋转的性质、等腰三角形的性质及三角形内角和，熟练掌握旋转的性质、等腰三角形的性质及三角形内角和是解题的关键；由旋转的性质可知：，则有，然后问题可求解． 【详解】解：由旋转的性质可知：， ∴， ∴； 故选A． 3．如图，在平面直角坐标系中，位于第四象限，点的坐标是，把向左平移个单位长度得到，再将绕点按顺时针方向旋转，得到，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】按照题意画出，结合网格写出坐标即可． 【详解】解：如图所示： 由图可知，点的坐标为． 4．在平面直角坐标系中，的位置如图所示．将绕点顺时针旋转得到；再将绕点顺时针旋转得到；再将绕点顺时针旋转得到 以此类推，第次旋转得到，则顶点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据初始点和绕原点顺时针转的坐标变换规律，算出前次旋转后的坐标，发现周期为；再用除以，余数为，故第次旋转后坐标与第次相同，为． 【详解】解：由图可得，初始点的坐标为， 绕原点顺时针旋转的坐标，旋转后的对应点坐标： 第次旋转后：； 第次旋转后：； 第次旋转后：； 第次旋转后：，回到初始坐标， ∴每旋转次，坐标会循环一次（旋转，回到原位置），周期为， ∴，余数为， 说明第次旋转后坐标和第次旋转后坐标相同，为． 5．如图，在中，，，D为内一点，，，连接BD，将绕点A按逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点为点E，连接DE，DE交AC于点F，则CF的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点A作AG⊥DE于G，根据旋转的性质得∠CAE=∠BAD=15°，AE=AD=6，∠DAE=∠BAC=90°，从而得△ADE是等腰直角三角形，即可求得∠AED=45°，DE=，从而得出∠AFG=∠CAE+∠AED=15°+45°=60°，再因为AG⊥DE，根据等腰直角三角形的性质得到∠GAF=30°，AG=GE=，然后在Rt△AGF中，由勾股定理，得，从而求得AF=，即可由CF=AC-AF求解． 【详解】解：如图，过点A作AG⊥DE于G， 由旋转可得：∠CAE=∠BAD=15°，AE=AD=6，∠DAE=∠BAC=90°， ∴△ADE是等腰直角三角形， ∴∠AED=45°，DE=， ∴∠AFG=∠CAE+∠AED=15°+45°=60°， ∵AG⊥DE， ∴DG=GE，∠GAF=30°， ∴AG=GE=，FG=， 在Rt△AGF中，由勾股定理，得 ，即， 解得：AF=, ∴CF=AC-AF=， 故选：A． 【点睛】本题考查旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，三角形外角的性质，熟练掌握旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理是解题的关键． 二、填空题 6．如图，中，，将绕点逆时针旋转到的位置，当时，连接，则的度数为___________．    【答案】/75度 【分析】根据旋转得出，，得出等腰三角形，利用三角形的内角和计算即可． 【详解】解：∵中，，，， ∴， ∵绕点C逆时针旋转到的位置， ∴，， ∴是等腰三角形， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是直角三角形和旋转，解题的关键是旋转前后的线段长度不变，旋转的角度相等． 7．在直角坐标系中，有，，三点，D是坐标平面内另一点，且以A，B，C，D四点为顶点的四边形是中心对称图形，那么D的坐标是___________． 【答案】或或 【分析】分三种情况，①当四边形是中心对称图形，②当四边形是中心对称图形时，③当四边形是中心对称图形时，利用中心对称的性质分别求解即可． 【详解】解：设点，分三种情况，如图， ①当四边形是中心对称图形，则点B、点C对称，点A、点对称， ∵，， ∴对称中心坐标为， ∵点A、点对称，， ∴，， 解得：，， ∴； ②当四边形是中心对称图形时， 则点A、点C对称，点B、点对称， ∵，， ∴对称中心坐标为， ∵点B、点对称，， ∴，， 解得：，， ∴； ③当四边形是中心对称图形时， 则点A、点B对称，点C、点对称， ∵，， ∴对称中心坐标为， ∵点C、点对称，， ∴，， 解得：，， ∴， 综上，以A，B，C，D四点为顶点的四边形是中心对称图形，那么D的坐标是或或． 【点睛】本题考查中心对称图形，关于某点是心对称点的坐标，掌握中心对称点的坐标规律是解题的关键． 8．如图，在平面直角坐标系中，已知点，点在第一象限内，，，将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转后，点的坐标为_____． 【答案】 【分析】本题考查了等边对等角，含角的直角三角形的性质，坐标系中点的旋转的坐标规律，发现每旋转4次点B回到初始位置是解题关键． 利用已知条件，先求出点B的坐标，由每次旋转，旋转4次是，点B恰好旋转1圈，从而将旋转2026次，等效成旋转2次，从而确定结果． 【详解】解：如图，过点B作轴于点C， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∴， 由每次旋转，旋转4次是，点B恰好旋转1圈， ， ， ∴第2026次旋转后，点B从初始位置旋转了， 由坐标系中的点绕原点旋转的坐标规律可知，此时， 故答案为： ． 9．如图，菱形的对角线交于原点，点的坐标为，将菱形绕原点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时点的坐标为______________． 【答案】/ 【分析】先找到旋转的规律，每4次是一个循环，故旋转次后的位置与旋转次后的位置相同，即绕原点顺时针旋转，求出对应的坐标即可． 【详解】解：∵， ∴点每旋转4次会回到原来的位置， ∵， ∴旋转次后的位置与旋转次后的位置相同，即绕原点顺时针旋转， ∴第次旋转结束时点的坐标为． 10．如图，已知点，将线段OA绕点A逆时针旋转90°至，则点的坐标是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化﹣旋转，熟知图形旋转的性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键．过点A作y轴的平行线，交x轴于点N，再过点作的垂线，垂足为M，利用全等三角形的判定与性质结合点的坐标即可解决问题． 【详解】解：过点A作y轴的平行线，交x轴于点N，再过点作的垂线，垂足为M， 由旋转可知，，， ∴． 又∵，轴， ∴， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，． ∵点A的坐标为， ∴，， ∴，， ∴点的坐标为． 三、解答题 11．如图，已知的各顶点均在网格图的格点上，并且每小格均为边长是1的正方形． (1)画出关于点逆时针旋转后得到的； (2)求的面积； (3)在直线上画出点，使最小（保留作图痕迹）． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查了画旋转图形，根据轴对称线的性质求线段和的最小值，掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据旋转的性质作图即可． （2）利用割补法求三角形的面积． （3）作点关于的对称点，连接，交于点，此时点即为所求． 【详解】（1）如图所示，即为所求 （2）， ∴的面积为； （3）如图所示，作点关于的对称点，连接，交于点，此时点即为所求． 12．如图，中，，将绕点逆时针旋转到，的延长线与相交于点，连接、． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及含角的直角三角形的性质，关键是熟练运用旋转的性质得到相等的边和角，结合等边三角形与全等三角形的判定完成推理，再利用特殊直角三角形的性质求解线段长度． （1）根据旋转的性质得到，旋转角，据此判定为等边三角形，得到，结合已知，利用内错角相等，两直线平行即可证明； （2）由等边三角形的性质得，结合已知，公共边，利用判定，得到，进而推出相关角为，再利用含角的直角三角形中，角所对的直角边是斜边的一半的性质求解的长度． 【详解】（1）解：∵绕点逆时针旋转到， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵是等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由旋转的性质得， ∵， ∴， 在中，，， ∴． 13．如图，在中，，点为的中点，动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动．点关于点的对称点为点，当点不与点重合时，以为直角边向上作等腰直角，使．设点的运动时间为秒． (1)用含的代数式表示线段的长． (2)当点落在的边上时，求的值． (3)当与重叠部分为三角形时，设其面积为．用含的代数式表示． (4)与的直角边交于点．当点恰为线段的中点时，直接写出的值． 【答案】(1)当时，．当时， (2)或 (3) (4)1或3 【分析】（1）由为的中点，根据点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，表示出线段长，再分类讨论即可求解； （2）当点M在边上，可得，列出方程即可；当点在边上，可得，列出方程即可； （3）根据题意分类讨论，表示出线段长，再根据面积公式求解即可； （4）当与交于点，点恰为线段的中点时，表示出线段长，列出方程即可求解；当与交于点，点恰为线段的中点时，表示出线段长，列出方程即可求解． 【详解】（1）解：由题意得， ，点D为的中点， ， ∵点P关于点D的对称点为点Q， , ， 当时，， ． 当时，， ． ∴当时，．当时，． （2）解：如图1，点M在边上时，， 由题意可知，， ， ， ， 解得； 如图2，点M在边上时，， 由题意可知，， ， ， ， 解得； 所以，t的值为或． （3）解：当时，与重叠部分为，面积为4； 当时，与重叠部分为， 此时，， ； 当时，与重叠部分为， 此时，， ； 当时，与重叠部分为，面积为4； 所以，． （4）解：t的值为1或3，理由如下： 如图3，与交于点N，点恰为线段的中点时，，则， ， 解得； 如图4，与交于点N，点恰为线段的中点时，，则， ， 解得； 综上所述，t的值为1或3． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、轴对称的性质，解题关键是根据运动速度表示出线段长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05图形的旋转 专项训练 题型梳理归纳 题型1.判断生活中的旋转现象 题型2.判断由一个图形旋转而成的图案 题型3.找旋转中心、旋转角、对应点 题型4.旋转的性质及辨析 题型5.根据旋转性质说明线段或角相等 题型6.旋转中的规律性问题 题型7.画旋转图形 题型8.坐标系中的旋转 题型9.求绕原点旋转90度的点的坐标 题型10.求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 题型11.求绕原点旋转一定角度的点的坐标 题型12.坐标与旋转规律问题 题型13.线段问题（旋转综合题） 题型14.面积问题（旋转综合题） 题型15.角度问题（旋转综合题） 题型16.成中心对称 题型17.画已知图形关于关于某点对称的图形 题型18.画两个图形的对称中心 题型19.根据中心对称的性质求面积、长度、角度 题型20..中心对称图形的识别 题型21.判断中心对称图形的对称中心 题型22.在方格中补画图形使之成为中心对称图形 题型23.中心对称图形规律问题 题型24.求关于原点对称的点的坐标 题型25.已知两点关于原点对称求参数 题型26.判断两个点是否关于原点对称 题型27.分层精练13道题 核心题型精讲 题型1.判断生活中的旋转现象 1．如图，三兔共耳图案是敦煌莫高窟的经典纹样，三只兔子首尾相连、两两共用一只耳朵，形成循环追逐的动态视觉错觉．三兔共耳图案主要涉及的图形变换是（     ） A．平移 B．轴对称 C．旋转 D．位似 2．下列现象：①火车行驶；②荡秋千运动；③方向盘的转动；④钟摆的运动；⑤圆规画圆．属于旋转的有______个． 3．时钟秒针扫过的痕迹，由此说明了______的数学事实． 题型2.判断由一个图形旋转而成的图案 1．下面（   ）图形不是通过旋转得到的 A． B． C． D． 2．如图，都是等边三角形．可由绕点______，______方向，旋转______角度得到． 3．如图，和都是等边三角形，可以看作是经过平移、轴对称或旋转得到． (1)说明得到的过程； (2)若点恰为的中点，，求的长． 题型3.找旋转中心、旋转角、对应点 1．如图，将三角形绕点按逆时针方向旋转一定的角度得到三角形，则旋转中心和旋转角是（   ） A．点B， B．点O， C．点B， D．点O， 2．如图，在正方形网格中，将绕某一点旋转变化得到，则旋转中心为点_____． 3．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均在格点上． (1)将向上平移5个单位长度得到，请画出； (2)如图，可绕某一点逆时针旋转（）得到，请在图中画出旋转中心点，且的度数为______． 题型4.旋转的性质及辨析 1．下列事件中，属于必然事件的是（    ） A．将绕点旋转30度，面积扩大了2倍 B．若，则是正数 C．点不在第一象限 D．画一个梯形，它的对角相等 2．在平面内把一个图形绕着某__________沿着某个方向转动__________的图形变换叫做旋转．这个点O叫做__________，转动的角叫做__________．因此，图形的旋转是由__________，__________和__________决定的． 3．如图，的顶点坐标分别为，将绕点O顺时针旋转得到，点A旋转后的对应点为．    (1)画出旋转后的图形： (2)点的坐标是 (3)的形状是 题型5.根据旋转性质说明线段或角相等 1．如图，已知中，，，将绕点A逆时针旋转得到，以下结论中错误的是（    ） A． B． C．D． 2．如图，将绕着点C顺时针旋转一定的角度得到，若，，则______． 3．如图①，是等边三角形，点D在的内部，连接，将线段绕点A按逆时针方向旋转，得到线段，连接． (1)判断线段与的数量关系并给出证明； (2)如图②，延长交直线于点F．当点F与点B重合时，证明： ． 题型6.旋转中的规律性问题 1．李华利用平面直角坐标系绘制了如图的风车图形，他先将固定在坐标系中，其中，，接着他将绕点O逆时针旋转（）至，此次旋转称为第1次旋转，然后进行第2次旋转：将绕点O逆时针转动至，…，那么按照这种旋转方式，旋转第2026次后，点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在Rt中，，且在直线上，将绕点A顺时针旋转到位置①，可得点，将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，可得点，将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③，可得点，按此规律继续旋转，得到点为止，则的长度为__________． 3．两块全等的等腰直角三角板如图放置，∠BAC＝∠EDF＝90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，当点D落在直线AB上时，若BC＝2，则AD＝______． 题型7.画旋转图形 1．如图，点O为正方形的中心，点E、F分别为边、的中点，若经过一次变换后会得到，下列变换方式中能实现的是（     ）    A．沿直线翻折 B．沿直线翻折 C．向右平移2个单位 D．绕点O逆时针旋转 2．如图，在平面直角坐标系中，，将绕原点顺时针旋转得到（分别是A，B的对应点）．若点位于内（不含边界），点为点绕原点顺时针旋转的对应点，则点的纵坐标的取值范围是______． 3．实践操作． 在方格纸上画出图形和图形． (1)图形向下平移3格得到图形． (2)图形绕点顺时针方向旋转，得到图形． 题型8.坐标系中的旋转 1．如图，在平面直角坐标系中，的顶点与原点重合，点，分别在轴的负半轴和轴的正半轴上，将绕点顺时针旋转得到，点恰好落在上，点，的对应点分别为，．若，则点的坐标为（） A． B． C． D． 2．如图，直角三角形的斜边在轴的正半轴上，点与原点重合，点的坐标是，且．若将绕着点旋转后，点和点分别落在点和点处，那么直线的表达式是________． 3．如图在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，和的顶点均在格点上，请解答下列问题： (1)画出平面直角坐标系，使的顶点的坐标分别为； (2)画出绕点顺时针旋转得到的（点的对应点分别为点）； (3)将绕某点逆时针旋转后，其对应点分别为，则旋转中心的坐标为_________． 题型9.求绕原点旋转90度的点的坐标 1．在平面直角坐标系中，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．已知：点，，为坐标原点，将线段绕原点顺时针方向旋转到线段，则四边形的面积为_______． 3．如图，在的正方形网格中建立平面直角坐标系，为坐标原点，每个小正方形边长都是1，其顶点叫做格点，的顶点均在格点上．按下列要求作图并解答： (1)将向左平移5个单位得到，点的对应点分别为，画出； (2)将绕着点O顺时针方向旋转得到，点的对应点分别为． 题型10.求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 1．如图，在中，，点的坐标为，点的坐标为，点是上一动点，连接，将绕点逆时针旋转得到线段，使点恰好落在上，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．如图，直线与轴、轴分别相交于点，将绕点顺时针方向旋转得到，则点的坐标为__________． 3．在平面直角坐标系中，的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形） (1)若和关于原点O成中心对称图形，画出； (2)将绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的； (3)在x轴上存在一点P，满足点到点与点距离之和最小，标出点P的位置，并直接写出的最小值为____． 题型11.求绕原点旋转一定角度的点的坐标 1．将绕原点旋转得到，点的对应点的坐标为，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 2．如图，点O为坐标系的原点，点A在x轴上，是边长为2的等边三角形，以O为旋转中心，将按顺时针方向旋转，得到，则点的坐标是__________． 3．如图，每个小方格都是边长为1个单位长度的小正方形． (1)将向右平移6个单位长度，画出平移后的并写出点的坐标． (2)将绕点O旋转，画出旋转后的并写出点的坐标． (3)请求出的面积． 题型12.坐标与旋转规律问题 1．如图，在平面直角坐标系中，将绕点A顺时针旋转到的位置，点B、O分别落在点、处，点在x轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，依次进行下去…若点，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，长方形的两边与坐标轴重合，．将长方形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转结束时，点的坐标是_____． 3．在平面直角坐标系中，我们给出如下定义：将点M绕直线上某一点P顺时针旋转，再关于直线对称，得到点N，我们称点N为点M关于点P的二次关联点．已知点． (1)若点P的坐标是，如图1，记点A旋转后对应的点为，关于直线对称的点为，则点即为点A关于点P的二次关联点，求出的坐标； (2)若点A关于点P的二次关联点与点A重合，在图2中画出图形找出A旋转后对应的点和点P，并求点P的坐标； (3)若点A关于点P的二次关联点在直线上，直接写出此时点P的坐标． 题型13.线段问题（旋转综合题） 1．在中，，，点在边上，．若，，则的长为（    ） A．9 B． C．10 D． 2．如图，边长为8的等边三角形中，M是高所在直线上的一个动点，连接，将线段绕点B逆时针旋转得到，连接．则在点M运动过程中，线段长度的最小值是_______． 3．如图，中，，，为射线上一点，过点作于点，是的中点． (1)如图1，与有何关系，并说明理由； (2)如图2，将绕点顺时针旋转，使点落在内部，判断（1）中的结论是否还成立？如果不成立，请说明理由，如果成立，请证明； (3)将绕点顺时针旋转，若，且，连接，请直接写出的面积． 题型14.面积问题（旋转综合题） 1．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，点D是斜边上任意一点，将点D绕点C逆时针旋转60°得到点E，则线段DE长度的最小值为（　　） A． B． C． D．3 2．如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分的面积为______． 3．如图，为等边内一点；将绕点顺时针旋转至的位置，连接． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)若，求的长与的面积． 题型15.角度问题（旋转综合题） 1．如图，将绕点顺时针旋转得到，若点共线，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 2．如图，将线段绕点B逆时针旋转得到线段，点D是平面内一动点，且D、B两点之间的距离为5，连接、，则的最小值为__________． 3．从一个角的顶点出发，把这个角分成的两个角的射线，叫做这个角的三等分线，显然一个角的三等分线有两条． 例如：如图1，若，则是的一条三等分线． (1)如图1，若，，则___________； (2)如图2，若，，是的两条三等分线． ①求的度数； ②将绕点逆时针旋转度得到，当射线恰好是的三等分线时，求的值； (3)如图3，若，射线是的一条三等分线（射线在的上方），分别是和的角平分线，将绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，若射线恰好是的三等分线，直接写出此时绕点旋转的时间． 题型16.成中心对称 1．将绕点旋转得到，则下列作图正确的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，将先向右平移5个单位长度，再关于原点中心对称得到，则点的对应点的坐标是__________． 3．如图，的三个顶点与点O均在正方形网格的格点上． (1)作，使得与关于点O成中心对称； (2)已知网格中小正方形的边长均为1，求的面积． 题型17.画已知图形关于关于某点对称的图形 1．三个全等的等边三角形按图1所示位置摆放，现添加一个大小相同的等边三角形，使四个等边三角形组成一个中心对称图形（如图2），则添加的等边三角形所放置的位置是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 2．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A与点O分别为格线上一点． （1）当O为所在小正方形一边的中点，A为三等分点（距下方格点近）时，的长度为_____； （2）在如图所示的网格中，请用无刻度的直尺，先将点A向上平移2个单位长度得到点B，再以点O为中心，画出线段关于点O的中心对称图形（A的对应点为，B的对应点为），并简要说明点和点的位置是如何找到的（不要求证明）_____． 3．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)平移，使点A的对应点的坐标为． ①请在图中画出平移后的； ②将平移到的过程可描述为先向左平移 个单位长度，再 ． (2)请在图中画出关于原点中心对称的，此时与关于某一点中心对称，这一点的坐标为 ． 题型18.画两个图形的对称中心 1．如图，两个半圆分别以O，为圆心，它们关于某点成中心对称，点A，B，，在同一直线上，则对称中心为（    ）    A．点O B．点B C．线段的中点 D．线段的中点 2．如图，在平面直角坐标系中，若与关于点E成中心对称，点A，B，C的对应点分别为，，，则对称中心点E的坐标是______． 3．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，（每个方格的边长均为1个单位长度）． (1)将平移，使点A移动到点，请画出； (2)作出关于O点成中心对称的； (3)与是否成中心对称？若是，请写出对称中心的坐标；若不是，请说明理由． 题型19.根据中心对称的性质求面积、长度、角度 1．如图，正六边形的对角线交于原点O，若，则点E的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．如图，四边形与四边形关于点成中心对称，，则的度数为_____，的长度为_____． 3．如图，与关于点O中心对称，点E、F在线段上，且．求证：． 题型20..中心对称图形的识别 1．下列图形中，是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是___________.（填序号） ①线段；  ②角；  ③等边三角形；  ④平行四边形.  ⑤正六边形． 3．如图，的顶点坐标分别为，，． (1)将向右平移个单位长度，画出平移后的； (2)画出关于轴对称的； (3)将绕原点旋转，画出旋转后的； (4)在、、中： ___________与___________成轴对称； ___________与___________成中心对称，且对称中心的坐标为___________． 题型21.判断中心对称图形的对称中心 1．如图，在平面直角坐标系中，小明画关于点O对称的图形时，由于紧张选错了对称中心，画出的图形是，则此时的对称中心的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．如图，四边形与四边形关于某一点成中心对称，则这个点是______． 3．如图，的顶点坐标分别为． (1)以原点为对称中心，画出与成中心对称的图形； (2)将平移后得到，若点A的对应点的坐标为，画出平移后的； (3)和关于点P中心对称，请直接写出P点坐标_____． 题型22.在方格中补画图形使之成为中心对称图形 1．如图所示的是的正方形网格，选择一空白小正方形，能与阴影部分组成中心对称图形的方法有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 2．如图，在正方形方格中，已有三个小正方形被涂上阴影，将一个空白的小正方形涂上阴影，使它与现有三个带有阴影的小正方形一起组成中心对称图形的情况有______种． 3．如图，正方形网格中，每一个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为． (1)将向左平移6个单位长度，再向下平移2个单位长度得到．画出平移后得到的；如果把这个过程看成是经过一次平移，则平移距离为______个单位长度； (2)画出关于原点对称的； (3)将绕着点顺时针旋转画出旋转后得到的 题型23.中心对称图形规律问题 1．如图，在平面直角坐标系中，点，，，，，，……都是平行四边形的顶点，点，，……在轴正半轴上，，，，，，，……，平行四边形按照此规律依次排列，则第6个平行四边形的对称中心的坐标是(   ) A． B． C． D． 2．如图，小明用计算机软件绘制函数的图象，发现它关于点中心对称．若点都在函数图象上，这些点的横坐标从0开始依次增加0.2，则的值是______． 3．如图1，平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+m交x轴于点A（4，0），交y轴正半轴于点B，直线AC交y轴负半轴于点C，且BC＝AB． （1）求线段AC的长度． （2）P为线段AB（不含A，B两点）上一动点． ①如图2，过点P作y轴的平行线交线段AC于点Q，记四边形APOQ的面积为S，点P的横坐标为t，当S＝时，求t的值． ②M为线段BA延长线上一点，且AM＝BP，在直线AC上是否存在点N，使得△PMN是以PM为直角边的等腰直角三角形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 题型24.求关于原点对称的点的坐标 1．点关于原点对称的点的坐标是（     ） A． B． C． D． 2．若点与点关于原点对称，则点P的坐标是________． 3．判断下列说法是否正确： (1)点和点表示同一个点； (2)点与点关于原点对称； (3)坐标轴上的点的横坐标和纵坐标至少有一个为0； (4)第一象限内的点的横坐标和纵坐标均为正数． 题型25.已知两点关于原点对称求参数 1．已知点关于原点对称的点在第四象限，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，且点在第三象限，则的取值范围是_______． 3．在平面直角坐标系中，点，点． (1)若点A和点B关于x轴对称，求的值； (2)若点A和点B关于原点对称，求的值． 题型26.判断两个点是否关于原点对称 1．如图，点是直线在第二象限上的一个点，点关于轴对称的点为，关于轴对称的点为，连接，则线段的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，点与点是关于某点成中点对称的两点，则对称中心的坐标为___________ 3．如下图，在平面直角坐标系中，是经过某种变换后得到的图形，观查点A与点P，点B与点Q，点C与点R的坐标之间的关系．在这种变换下： (1)分别写出点A与点P，点B与点Q，点C与点R的坐标． (2)从中你发现了什么特征？请你用文字语言表达出来． (3)根据你发现的特征，解答下列问题：若内有一个点经过变换后，在内的坐标称为，求关于x的不等式的解集． 分层精练 一、单选题 1．如图，在的正方形网格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 2．如图，将绕点逆时针旋转，得到，若点落在线段的延长线上，则大小为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在平面直角坐标系中，位于第四象限，点的坐标是，把向左平移个单位长度得到，再将绕点按顺时针方向旋转，得到，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，的位置如图所示．将绕点顺时针旋转得到；再将绕点顺时针旋转得到；再将绕点顺时针旋转得到 以此类推，第次旋转得到，则顶点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，，D为内一点，，，连接BD，将绕点A按逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点为点E，连接DE，DE交AC于点F，则CF的长为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．如图，中，，将绕点逆时针旋转到的位置，当时，连接，则的度数为___________．    7．在直角坐标系中，有，，三点，D是坐标平面内另一点，且以A，B，C，D四点为顶点的四边形是中心对称图形，那么D的坐标是___________． 8．如图，在平面直角坐标系中，已知点，点在第一象限内，，，将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转后，点的坐标为_____． 9．如图，菱形的对角线交于原点，点的坐标为，将菱形绕原点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时点的坐标为______________． 10．如图，已知点，将线段OA绕点A逆时针旋转90°至，则点的坐标是_____． 三、解答题 11．如图，已知的各顶点均在网格图的格点上，并且每小格均为边长是1的正方形． (1)画出关于点逆时针旋转后得到的； (2)求的面积； (3)在直线上画出点，使最小（保留作图痕迹）． 12．如图，中，，将绕点逆时针旋转到，的延长线与相交于点，连接、． (1)求证：； (2)若，求的长． 13．如图，在中，，点为的中点，动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动．点关于点的对称点为点，当点不与点重合时，以为直角边向上作等腰直角，使．设点的运动时间为秒． (1)用含的代数式表示线段的长． (2)当点落在的边上时，求的值． (3)当与重叠部分为三角形时，设其面积为．用含的代数式表示． (4)与的直角边交于点．当点恰为线段的中点时，直接写出的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $