专题03 函数的实际应用题（复习讲义）（江苏专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题03 函数的实际应用题 目 录 01 析·考情目标 02 筑·专题框架 03 攻·重难考点 考点一 函数的实际应用题（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 真题动向 题型一：从函数图象中获取信息 题型二：一次函数中的最大利润问题 题型三：一次函数中的行程问题 题型四：一次函数中的分配问题 题型五：反比例函数中的实际问题 题型六：二次函数中的销售问题 题型七：二次函数中的拱桥、隧道问题 题型八：二次函数中的投球问题 题型九：二次函数中的几何应用 题型十：函数与实际问题（新情境） 题型十一：函数与实际问题（函数综合问题） 必备知识 知识1 一次函数的实际应用 知识2 反比例函数的实际应用 知识3 二次函数的实际应用 命题预测 命题透视 1. 命题形式：呈现 “新材料、新情境、新问题”的特点，以文字、图表、表格、函数图像为主要载体，聚焦核心素养考查，常融入家国情怀、社会热点（如经济发展、科技应用、民生工程），强调数学建模与应用意识。 2.命题内容 1）一次函数：侧重方案选择、费用优化、行程分析等，是高频考查的基础应用模型。 2）二次函数：以利润最大化、面积/建筑设计、抛物线型工程问题为核心，突出顶点最值与实际意义的结合。 4）反比例函数：以工程效率、物理规律（压强、杠杆）等为背景，考查反比例关系的实际应用。 5）综合趋势：函数与统计图表、几何图形、社会热点深度融合，强调从实际问题中抽象函数模型、分析函数性质、解决实际问题的能力，是中考命题的核心区域。 热考角度 考点 2025年 2024年 2023年 一次函数的实际应用 南京·T24：一次函数中的动点函数问题 苏州·T7：一次函数的物理应用 无锡·T25：一次函数的销售问题 南通·T9：一次函数的图象信息获取问题 南通·T24：一次函数的最大利润问题 南京·T13：一次函数的行程问题 南京·T22：一次函数实际应用的其他问题 苏州·T26：一次函数的行程问题 南通·T24：一次函数的最大利润问题 二次函数的实际应用 徐州·T27：二次函数的其他应用 南通·T24：二次函数的图形问题 无锡·T26：二次函数销售利润问题 反比例函数的实际应用 南京·T12：反比例函数的物理应用 南通·T16：反比例函数的物理应用 南通·T14：反比例函数的物理应用 命题预测 函数与实际问题的命题，将以社会热点、传统文化为背景，以文字、图像、表格为载体，重点考查一次函数方案选择、二次函数最值、分段函数计费、行程图像分析及反比例函数应用，突出数学建模与核心素养，压轴题更强调 “函数 + 几何 + 实际情境” 的综合能力。 考点一 函数的实际应用题 题型一 从函数图象中获取信息 从函数图象中获取信息，需仔细观察图象的形状、位置、趋势，准确读取点的坐标、范围、最值、单调性等信息，并结合函数解析式解决问题。 1．（2025·江苏南京·二模）A，B两地相距，甲、乙两辆列车先后从A，B两地出发，匀速相向而行，分别驶向目的地，已知乙列车的速度是甲列车速度的倍．乙列车离地的距离与甲列车出发时间之间的函数图像如图所示，其中线段轴． (1)在同一坐标系中，画出甲列车离A地的距离与之间的函数图像； (2)当甲、乙两辆列车相距时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)的值为或 【分析】本题主要考查了一次函数应用，一元一次方程的应用，从函数图象中获得信息，解题的关键是数形结合，从函数图象中获得有用信息． （1）根据图象求出乙列车的速度为：，再求出甲列车的速度为：， 从而求出甲列车从A地到B地所用时间为：，再画出函数图象即可； （2）分两种情况讨论：甲、乙相遇前，甲、乙相遇后，分别列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：根据函数图象可知：乙列车在内通过的路程为， ∴乙列车的速度为：， ∵乙列车的速度是甲列车速度的倍， ∴甲列车的速度为：， ∴甲列车从A地到B地所用时间为：， 画出函数图象，如图所示： （2）解：甲、乙相遇前，两车相距时， ， 解得：； 甲、乙相遇后，两车相距时， ， 解得：； 综上分析可知：的值为或． 2．（2025·江苏淮安·一模）无人快递车在我市的城市道路上已正式“上岗”．现有一条笔直的路上依次有三个快递网点，甲车由网点地驶往网点，乙车由网点地驶往网点，两车同时出发，匀速行驶．如图是甲、乙两车分别距离网点的路程（单位：千米）与乙车行驶时间（单位：小时）之间的函数图象，结合图象信息，解答下列问题： (1)甲车的速度是_______千米/时； (2)求图象中线段的函数解析式，并写出自变量的取值范围． (3)当两车距网点的路程之和是360千米时，此时乙车的行驶时间为_______． 【答案】(1) (2) (3) 或小时 【分析】本题考查了一次函数的应用，数形结合是解题的关键． （1）根据函数图象，结合路程除以速度，即可求解； （2）先求得乙车的速度，进而得出，待定系数求得解析式，即可求解； （3）分别求得各段解析式，根据题意，列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，千米/时； 故答案为：． （2）解：乙车的速度为千米/时； 而， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴． （3）解：由题意设， ∴， 解得：， ∴， 同理可得：当时，， ∴， 设乙车的行驶小时后，两车距B的路程之和是千米， 当乙未过时， 解得： 当乙经过B后， ， （舍） 当甲到达后， 答：乙车的行驶 或小时后两车距B的路程之和是千米． 3．（2025·江苏南京·一模）一架巡逻机从某基地出发，出发时油箱中油量为24000升．如图①，为了确保巡逻机持续飞行，出发后每隔1小时开始对飞行中的巡逻机进行空中加油，每次加油的速度为1600升/分钟，加油时间为2分钟．飞行过程中，假设巡逻机平均每分钟的耗油量相同，巡逻机的剩余油量y（升）与飞行时间x（分钟）之间的部分关系如图②． (1)飞行过程中，巡逻机平均每分钟的耗油量为_______升；加油过程中，巡逻机油箱中油量上升的速度为_______升/分钟； (2)求线段的函数表达式，并写出点A的实际意义； (3)要使巡逻机返航时的剩余油量不低于16000升，则x的最大值为_______． 【答案】(1)100；1500 (2)线段的函数表达式为：；点A的实际意义是：当巡逻机飞行时间为62分钟时，完成第一次空中加油，此时巡逻机油箱中油量为． (3)144 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式解题的关键． （1）根据油箱中油量的减少量÷飞行时间列式计算飞行过程中，巡逻机平均每分钟的耗油量，根据每分钟的加油量每分钟的耗油量列式计算巡逻机油箱中油量上升的速度即可； （2）分别求出点A、B的坐标，再利用待定系数法求出线段的函数表达式即可； （3）求出120分钟时剩余的油量，此时要加2分钟的油，求出2分钟后的总油量，再根据巡逻机返航时的剩余油量不低于16000升，求出当巡逻机返航时的剩余油量恰好为16000升时，巡逻机的飞行时间，进而求出的最大值即可． 【详解】（1）解：飞行过程中，巡逻机平均每分钟的耗油量为（升）， 加油过程中，巡逻机油箱中油量上升的速度为（升）． 故答案为：100，1500． （2）解：（升）， ∴， （升）， ∴， 设线段的函数表达式为（k、b为常数，且）， 将坐标和分别代入， 得， 解得， ∴线段的函数表达式为，点A的实际意义表示巡逻机飞行62分钟时油箱中剩余油量是21000升． （3）解：根据题意，得当时：， 此时加2分钟的油量，加完油共有（升）； ∵巡逻机返航时的剩余油量不低于16000升，巡逻机平均每分钟的耗油量为升， ∴巡逻机返航前最多还能再飞（分钟）， ∴x的最大值为． 故答案为：144． 4．（2025·江苏南通·一模）五一假期，徐师傅一家驾驶一辆新能源汽车自驾游．该汽车在满电状态下电池能量为，当汽车电池剩余的电量时，电量灯变为红色，提示汽车需要充电．徐师傅在满电状态下出发，汽车的剩余电量y（%）与行驶路程x（）之间的关系如图所示． (1)当电量灯变为红色时，汽车行驶路程为 ； (2)若行驶一段时间后，徐师傅发现电量还有，离景区有，徐师傅能到达景区吗？请说明理由． (3)已知汽车快速充电功率为．徐师傅驾驶满电汽车前往距离的景区，在行驶了后，发现路边有一快速充电站，停车充电一段时间后继续行驶，当到达景区时电量灯恰好变为红色，求在充电站充电的时长．【充电量（kwh）=充电功率（kw）×充电时间（h）】 【答案】(1)450 (2)能，理由见见解析 (3) 【分析】本题考查一次函数的应用，读懂题意，准确求出与之间的函数表达式是解决问题的关键． （1）设与之间的函数表达式为，把 时  ，  时，代入可得出关于、的二元一次方程组，求出解析式，再根据当电量灯变为红色时，即时求出即可．； （2）先计算出电池剩余电量为，即汽车的剩余电量为，把代入（1）中所求解析式，求出的值，加上还要行驶的路程，然后与满电状态可以行驶的总路程比较即可得答案． （3）根据行程需要的电量求出需要停车充电电量，再根据快速充电功率计算充电的时长即可． 【详解】（1）解：设与之间的函数表达式为（、为常数，且）． 将 时  ，  时，分别代入， 得， 解得， ∴与之间的函数表达式为． 当时，，解得：， 故答案为450 （2）解：∵电池剩余电量为，相当于电量 ， ∴， 解得：． ∵， ∴徐师傅能到达景区并且汽车电池剩余的电量大于． （3）当时，， 即：徐师傅驾驶满电汽车前往距离的景区，当到达景区时电量灯恰好变为红色，需要停车充电电量为， 故充电电量为， 充电时间为：， 答：在充电站充电的时长为． 题型二 一次函数中的最大利润问题 解决一次函数中的最大利润问题，需先建立利润与自变量的一次函数关系式，确定自变量的取值范围，再根据函数的增减性（k 的符号）在取值范围内求解利润的最大值或最小值。 5．（2025·江苏南京·二模）某商场销售某种产品，销售量（单位：）与售价（单位：元）之间的函数关系如图所示． (1)当时，求与的函数关系式； (2)若产品的进价为12元，当售价为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)售价为26元时，获得的利润最大，最大利润是980元 【分析】本题主要考查待定系数求一次函数解析式及二次函数的实际应用能力，根据相等关系列出函数关系式，熟练根据二次函数的性质判断函数的最值情况是解题的关键． （1）利用待定系数法直接求解即可； （2）设售价为元时，获得的利润为元．求出当时，和当时，与的函数关系式，再根据一次函数和二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设， 将和分别代入， 得：， 解得：， ． （2）解：设售价为元时，获得的利润为元． 当时，， ． 所以，当时，的值最大，最大值为980． 当时，， ， ， 随的增大而增大， 所以，当时，的值最大，最大值为960． 综上，当售价为26元时，获得的利润最大，最大利润是980元． 6．（2025·江苏南通·二模）小明到服装店进行社会实践活动，服装店老板让小明帮助解决以下问题：服装店准备购进甲、乙两种服装，甲种每件进价120元，售价180元；乙种每件进价100元，售价150元．计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于65件． (1)若购进这100件服装的费用不得超过11500元，则甲种服装最多购进多少件？ (2)在（1）的条件下，该服装店对甲种服装以每件优惠元的价格进行促销活动，乙种服装价格不变，那么该服装店应如何调整进货方案使这批服装获得的利润最大？ 【答案】(1)件 (2)方案1：当时，购进甲种服装75件，乙种服装25件；方案2：当时，所有方案获利相同，所以按哪种方案进货都可以；方案3：当时，当时，购进甲种服装65件，乙种服装35件． 【分析】此题考查了一次函数的应用和一元一次不等式的应用，准确列出不等式和函数解析式是关键． （1）设购进甲种服装x件, 购进这100件服装的费用不得超过11500元，据此列出不等式，解不等式即可得到答案； （2）设总利润为w元，因为甲种服装不少于65件，所以，列出函数解析式，根据一次函数的性质分情况进行解答即可． 【详解】（1）解：设购进甲种服装x件,由题意可知：       解得： 答：甲种服装最多购进75件． （2）设总利润为w元，因为甲种服装不少于65件，所以， 方案1：当时，，w随x的增大而增大 所以当时，w有最大值，则购进甲种服装75件，乙种服装25件； 方案2：当时，所有方案获利相同，所以按哪种方案进货都可以； 方案3：当时，，w随x的增大而减小 所以当时，w有最大值，则购进甲种服装65件，乙种服装35件． 7．（2025·江苏常州·一模）江苏省是中国重要的粮食生产基地，其大米产量在全国占据重要地位．经销商老杨购进了一批南粳1号大米和南粳2号大米进行销售，两种米的进价和价如下： 进价(元/公斤) 售价(元/公斤) 南粳1号 a 6 南粳2号 b 8 已知老杨购进400公斤南粳1号大米和100公斤南粳2号大米共需2000元；购进300公斤南粳1号大米和 200公斤南粳2号大米共需2250元． (1)求a，b的值； (2)若老杨购进两种粳米共320公斤，其中南粳2号大米的进货量不超过南粳1号大米进货量的3倍，且不低于南粳1号大米进货量的，设购进南粳1号大米x公斤，则老杨应该如何进货才能使全部售完后的销售利润y(元)最大?最大利润为多少元? 【答案】(1) (2)购进南粳1号大米200公斤，南粳2号大米120公斤时，全部售完后的销售利润最大，最大为740元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；找准不等量关系，正确列出一元一次不等式组；（3）灵活运用一次函数的性质求最值． 设南粳1号大米的进价是a元，南粳2号大米价是b元，根据购进400公斤南粳1号大米和100公斤南粳2号大米共需2000元；购进300公斤南粳1号大米和 200公斤南粳2号大米共需2250元，列出二元一次方程组，解方程组即可； 设购进南粳1号大米x公斤，则购进南粳2号大米价公斤，根据题意，得，，设销售的总利润为W元，则，根据一次函数的增减性求最值即可． 【详解】（1）解：设南粳1号大米的进价是a元，南粳2号大米价是b元， 由题意得：， 解得：， 答：南粳1号大米的进价是元，南粳2号大米价是6元． （2）解：设购进南粳1号大米x公斤，则购进南粳2号大米价公斤， 根据题意，得：， 解得， 设销售的总利润为W元，则， 由y随x的增大而增大，得当时，利润最大，最大为740元． 购进南粳1号大米200公斤，南粳2号大米120公斤时，全部售完后的销售利润最大，最大为740元． 答：购进南粳1号大米200公斤，南粳2号大米120公斤时，全部售完后的销售利润最大，最大为740元． 8．（2025·江苏无锡·一模）中考临近，校门口文具店生意火爆，文具店老板小张从批发商处了解到甲、乙、丙三种文具套装的部分价格如表： 价格 甲 乙 丙 批发价（元／套） 25 ________ ________ 零售价（元／套） 30 25 35 (1)已知小张第一次批发购进乙260套，丙200套，共花费7900元，且乙每套的批发价比丙低5元，求乙、丙每套的批发价； (2)在（1）的条件下，由于销量好，第一次购进的文具套装全部售完，小张用第一次的销售额全部用于第二次批发购进甲、乙、丙三种文具套装，且购进乙、丙套装的数量相等，但乙的批发价每套比原来提高，丙的批发价每套比原来下降．设第二次销售完这三种文具套装所得利润为元，当甲的数量不少于130套时，求的最大值． 【答案】(1)乙每套的批发价为 15 元，丙每套的批发价为 20 元 (2)当时的值最大， 【分析】本题考查一次函数的应用，二元一次方程组的应用，掌握二元一次方程组的解法和一次函数的增减性是解题的关键． （1）分别设乙，丙每套的批发价为未知数，列二元一次方程组并求解即可； （2）求出第一次的销售额及第二次乙，丙每套的批发价，设第二次购进甲套，购进乙，丙各套，根据题意写出和的数量关系式并用含的代数式把表示出来，写出关于的函数关系式，根据一次函数的增减性和的取值范围，确定当取何值时的值最大，求出其最大值即可． 【详解】（1）解：乙每套的批发价为元，丙每套的批发价为元． 根据题意，得， 解得， ∴乙每套的批发价为 15 元，丙每套的批发价为 20 元． （2）解：第一次的销售额为（元）， 第二次乙每套的批发价为（元）， 第二次丙每套的批发价为（元 ）， 设第二次购进甲套，购进乙，丙各套， 根据题意，得， 经整理，得， ∴， ∴， ∵， ∴随的减小而增大， ∵为非负整数， ∴且为 6 的整数倍， ∴当时的值最大，． 题型三 一次函数中的行程问题 解决一次函数中的行程问题，需先分析题意，建立路程与时间的一次函数关系式，理解图象中斜率（速度）和截距（初始位置）的意义，再根据函数或图象解决相遇、追及等问题。 9．（2025·江苏南京·模拟预测）一支队伍以匀速前进，排尾的传令兵因传达命令，以的速度赶赴排头，到达排头后立即原速返回．假设传令兵第与排尾的距离为．传令兵从排尾赶赴排头的过程中，s与t之间的函数图象如图所示． (1)在图中画出传令兵从排头返回排尾的过程中s与t之间的函数图象； (2)若队伍长，求传令兵从排头回到排尾所走的路程． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，正确读懂函数图象是解题的关键． （1）根据图象，先求出队伍的长度，再求出传令兵返回用的时间即可画出图象； （2）结合（1）中结论，求出传令兵返回走过的路程即可． 【详解】（1）解：函数图象如下： 根据题意得， 赶赴排头时，传令兵的走过的路程为队伍的长度和队伍走过的路程的和， 得出队伍的长度为：； 传令兵返回时，传令兵走过的路程和队伍走过的路程和等于队伍的长度， 所以，传令兵所用的时间为， 所以，在时，传令兵返回排尾； （2）解：结合（1）得， 传令兵返回时，走过的路程为队伍的倍，即为； 所以，传令兵从排头回到排尾所走的路程为． 10．（2025·浙江温州·二模）某无人机社团正在进行表演训练，无人机甲从地面起飞，以的速度匀速上升，后无人机乙从同一地面起飞，以的速度匀速上升，无人机乙起飞后与无人机甲位于同一高度．两架无人机表演训练时距地面的高度均为，无人机距地面的高度与时间之间的函数图象如图所示． (1)求a，b的值． (2)求无人机乙在上升期间高度与时间的函数关系式（标出x的取值范围）． (3)直接写出两架无人机在飞行过程中高度相差时x的值． 【答案】(1)， (2) (3)两架无人机在飞行过程中高度相差时x的值为或或 【分析】本题考查了从函数图象中获取信息，一次函数的应用，一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据题意并结合图象列式计算即可得出、的值； （2）利用待定系数法求解即可； （3）由题意可得无人机甲在上升期间高度与时间的函数关系式为，分三种情况，分别列出一元一次方程，解方程即可得解． 【详解】（1）解：由题意并结合图象可得：， ； （2）解：设无人机乙在上升期间高度与时间的函数关系式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴无人机乙在上升期间高度与时间的函数关系式为， 当时，，解得， ∴； （3）解：由题意可得：无人机甲在上升期间高度与时间的函数关系式为， 当时，，解得， 当时，，解得（舍去）或； 当时，，解得， 故两架无人机在飞行过程中高度相差时x的值为或或． 11．（2025·江苏南京·二模）如图①所示，沪宁高速公路可近似看作一条直线．一辆货车以的速度从南京出发匀速驶往上海；同时，一列轿车以的速度从苏州出发匀速驶往上海，停留后，按照原速度继续开往南京，最终两车同时到达目的地．设货车行驶的时间为，货车与南京的距离，轿车与南京的距离． (1)在图2中，分别画出和补全关于t的函数图象； (2)分别求苏州到上海的距离，南京到上海的距离； (3)若镇江距离南京90 km，直接写出货车和轿车经过镇江的时间间隔． 【答案】(1)见解析； (2)南京到上海距离，苏州到上海距离； (3)h． 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次方程的应用等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据两车都匀速行驶，到达终点的时间相同，即可画出一次函数的图象； （2）先求出苏州到上海的距离，设南京到上海的距离为，依题意列出方程求解即可； （3）分别求出货车从南京到镇江所用的时间和轿车从上海到镇江所用的时间，即可求解． 【详解】（1）解：两车都匀速行驶，到达终点的时间相同， ∴关于t的函数图象如图： （2）解：苏州到上海的距离为： ， 设南京到上海的距离为，依题意得： ， 解得：， 答：南京到上海距离，苏州到上海距离； （3）解：镇江到上海的距离为：， 货车从南京到镇江所用的时间为：， 轿车从上海到镇江所用的时间为：， ∴货车和轿车经过镇江的时间间隔为： ． 12．（2025·江苏苏州·二模）如图，南北向的星港街与东西向的现代大道可以看成互相垂直的两条直线，十字路口记作点，星港街上的点与点的距离为． (1)若甲从点出发，骑车向北匀速直行；同时，乙从点出发，沿现代大道步行向东匀速直行．设出发分钟后，甲、乙两人与点的距离分别为、．当和时，都有． ①则甲的速度是__________，乙的速度是__________； ②求与的函数关系式； (2)若甲从点先出发，骑车向北匀速直行；1分钟后，乙从点出发，沿现代大道步行向东匀速直行．当甲到达点时休息了1分钟，然后继续向北骑行．已知两人各自保持（1）中的速度不变，求甲出发多长时间，两人与点的距离相等? 【答案】(1)①240；80；② (2)甲出发4分钟或分钟后，两人与点的距离相等 【分析】本题考查了一次函数的应用、二元一次方程组的应用、求一次函数的解析式，理解题意是解题的关键． （1）①设甲的速度是，乙的速度是，根据题意列出方程组，解出的值即可；②根据①中甲的速度，分和两种情况即可求解； （2）设甲出发分钟后，甲、乙两人与点的距离分别为、，根据题意分、、、四种情况分析，分别求出、与的关系式，结合列出方程，求出的值即可解答． 【详解】（1）解：①设甲的速度是，乙的速度是， 当时，，， 当时，，， 由题意得，， 解得：， 甲的速度是，乙的速度是． 故答案为：240；80； ②甲的速度是， 甲到达的时间为， 当时，； 当时，； 与的函数关系式为． （2）解：设甲出发分钟后，甲、乙两人与点的距离分别为、， ①当时，，， 令，则，解得（舍去）； ②当时，，， 令，则，解得； ③当，，， 令，则，解得（舍去）； ④当，，， 令，则，解得； 答：甲出发4分钟或分钟后，两人与点的距离相等． 题型四 一次函数中的分配问题 解决一次函数中的分配问题，需先分析题意，建立两个分配对象数量之间的一次函数关系式，确定自变量的取值范围（通常为非负整数），再根据函数性质和取值范围解决最优分配等问题。 13．（2025·江苏南京·模拟预测）为了提升社区居民的健康水平和生活质量，市政府决定对社区内的健身设施进行全面升级计划，采购两种不同类型的健身器材共720台．经过市场调研，发现A种器材的价格y（百元/台）与采购数量x之间的函数关系如图所示，而B种器材的价格为固定值30百元/台． (1)当时，求出y与x的函数关系式，并写出x的取值范围． (2)假设A种器材采购数量不低于60台，且B种器材采购数量不低于A中器材采购数量的3倍．如何分配两种器材的采购数量才能使采购费用w（百元）最少？最少是多少？ 【答案】(1) (2)当采购A种器材180台， B种器材540台时，采购费用w最少，最少为22500（百元）． 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，二次函数的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意列出函数关系式和不等式组是解题的关键． （1）当时，；当时，设，再利用待定系数法求解即可； （2）设采购A种器材m台，则采购B种器材台，根据A种器材采购数量不低于60台，且B种器材采购数量不低于A中器材采购数量的3倍建立不等式组求出m的取值范围为，再分和两种情况，分别求出w关于m的函数关系式，利用一次函数和二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，当时，； 当时，设， 把代入中得：，解得， ∴； 综上所述，； （2）解：设采购A种器材m台，则采购B种器材台， 由题意得，， 解得； 当时，则， ∵， ∴w随m增大而增大， ∴当时，w有最小值，最小值为； 当时，则 ， ∵，对称轴为， ∴离对称轴越远函数值越小， ∵， ∴当时，w有最小值，最小值为， ∵， ∴当，时，w有最小值， 答：当采购A种器材180台， B种器材540台时，采购费用w最少，最少为22500（百元）． 14．（2025·江苏宿迁·一模）姚明将带队来我市体育馆进行表演比赛，市体育局在策划本次活动，在与单位协商团购票时推出两种方案．设购买门票数为（张），总费用为（元）． 方案一：若单位赞助广告费8000元，则该单位所购门票的价格为每张50元；（总费用＝广告赞助费+门票费） 方案二：直接购买门票方式如图所示． 解答下列问题： (1)方案一中，与的函数关系式为 ；方案二中，当时，与的函数关系式为 ，当时，与的函数关系式为 ； (2)如果购买本场篮球赛门票超过100张，你将选择哪一种方案，使总费用最省？请说明理由； (3)甲、乙两单位分别采用方案一、方案二购买本场篮球赛门票共700张，花去总费用计56000元，求甲、乙两单位各购买门票多少张． 【答案】(1) (2)当时，选择方案二总费用最省；当时，方案一、二均可；当时，选择方案一，总费用最省 (3)甲单位购买门票400张，乙单位购买门票300张 【分析】本题主要考查了函数关系式，利用待定系数法求一次函数的解析式，求图象的交点坐标，利用图象判定自变量的大小，利用一元一次方程解决实际问题等知识点，解题的关键是熟练掌握一次函数的图象和性质，分类讨论的数学思想． （1）根据题意列出函数关系式，利用待定系数法求正比例函数和一次函数的解析式即可； （2）联立方案一和方案二解析式，求出交点坐标，利用图象即可判定出省钱的方案； （3）设甲单位购买了张门票，则乙单位购买了张，分类两种情况进行讨论，根据总费用列出一元一次方程进行求解即可． 【详解】（1）解：方案一中，与的函数关系式为； 方案二中，当时，假设与的函数关系式为， 将代入解析式得， ， 解得 所以，当时，与的函数关系式为； 当时，假设与的函数关系式为， 将代入解析式得， 解得 所以，当时，与的函数关系式为， 故答案为：； （2）解：如图所示， 联立 解得 所以，当时，选择方案二总费用最省；当时，方案一、二均可；当时，选择方案一，总费用最省； （3）解：设甲单位购买了张门票，则乙单位购买了张，根据题意得， 当时， 解得，不符合题意舍去； 当时， 解得， 则， 所以，甲单位购买门票400张，乙单位购买门票300张． 15．（2025·四川绵阳·一模）当今，越来越多的青少年在观看影片《流浪地球》后，更加喜欢同名科幻小说，该小说销量也急剧上升，书店为满足广大顾客需求，订购该科幻小说若干本，每本进价为20元，根据以往经验：当销售单价是25元时，每天的销售量是250本，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10本，书店要求每本书的利润不低于10元且不高于18元． (1)直接写出书店销售该科幻小说时每天的销售量y（本）与销售单价x（元）之间的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当销售单价定为多少时，书店每天销售利润最大？最大利润为多少元？ (3)书店决定每销售1本该科幻小说，就捐赠元给困难职工，每天扣除捐赠后可获得最大利润为1960元，求a的值． 【答案】(1) (2)当销售单价定为35元时，书店每天销售利润最大，最大利润为2250元 (3)2 【分析】本题考查了二次函数及一元二次方程在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并正确列式是解题的关键． （1）根据题意列函数关系式即可； （2）设可获得利润为元．根据题意，列出函数关系式，再根据二次函数的性质解答即可； （3）设每天扣除捐赠后可获得利润为W元．列出函数关系式，再根据二次函数的性质可得当时，W取得最大值，然后根据每天扣除捐赠后可获得最大利润为1960元，列出方程即可求解． 【详解】（1）解：∵书店要求每本书的利润不低于10元且不高于18元，每本进价为20元， ∴ 根据题意得：； （2）解：设可获得利润为元． ， ∵， ∴当时，w取得最大值，最大值为2250， 答：当销售单价定为35元时，书店每天销售利润最大，最大利润为2250元； （3）解：设每天扣除捐赠后可获得利润为W元． ∴该函数图象的对称轴为， ∵， ∴， ∵， ∴当时，W取得最大值， ∴， ∴（不合题意舍去）， ∴． 16．（2025·河南开封·一模）春节期间，某商场对某类商品推出两种优惠活动，并规定购物时只能选择其中一种优惠． 活动一：所购商品均按原价八折出售； 活动二：所购商品按原价每满200元减50元． (1)若购买原价为320元的该商品，选择活动一时需付______元，选择活动二时需付______元． (2)若设某商品原价为x元，当时，请分别写出选择这两种活动的实付金额y（元）与原价x（元）之间的函数表达式，并说明选择哪种活动更省钱． 【答案】(1)256，270 (2)活动一：；活动二： 当时，选择活动一更省钱；当时，活动一和活动二实付金额相同，任选其一即可；当时，选择活动二更省钱． 【分析】本题考查一次函数的应用，理解题意是解答的关键． （1）根据活动一的八折规则和活动二每满200减50的规则，分别计算购买原价320元商品的实付金额． （2）先分别写出两种活动实付金额与原价x的函数表达式，再通过比较两个函数的大小，分情况讨论哪种活动更省钱． 【详解】（1）若购买原价为320元的该商品，选择活动一时需付（元）， ， 则选择活动二时需付（元）， 故答案为：256，270； （2）当时，活动一的实付金额与原价之间的函数表达式为， 活动二的实付金额与原价之间的函数表达式为， 当时，得，解得500， 当时，得，解得500， 当时，得，解得500， ∴当时，选择活动一更省钱； 当时，活动一和活动二实付金额相同，任选其一即可； 当时，选择活动二更省钱． 题型五 反比例函数中的实际问题 17．（2025·江苏盐城·二模）一定质量的二氧化碳，它的体积与它的密度之间成反比例函数关系，其图像如图所示． (1)试确定V与之间的函数表达式； (2)要使密度不高于，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，关键是正确掌握反比例函数的图像和性质． （1）设，再把代入可求得k的值，进而可得解析式； （2）把代入（1）中的函数解析式可得到V的值，然后结合图象求解即可． 【详解】（1）设 ∵图像经过点 ∴ 解得 ∴； （2）把代入 ∴由图象可得，要使密度不高于，的取值范围为． 18．（2025·浙江丽水·二模）制作某种金属工具要进行煅烧和锻造两个工序，即将材料由烧到后立即开始锻造操作，当材料温度低于时，须停止锻造并立即进行再次煅烧．每次煅烧温度上升的速度相同，煅烧过程温度与时间成一次函数关系，第一次锻造造时温度与时间成反比例函数关系，开始制作后第8分钟材料的温度为． (1)求第一次锻造操作的时长； (2)求第二次开始锻造的时间． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是求出反比例函数的解析式． （1）先求出反比例函数的解析式，再求出当和时x的值，即可得答案； （2）先求出煅烧温度上升的速度，再求出第二次煅烧时需要的时间，即可得答案． 【详解】（1）解：材料锻造时，设， 由题意得，解得， ， 当时，，解得：， 当时，，解得：， ， 所以第一次锻造操作的时长是； （2），所以煅烧时温度每分钟上升， ，所以第二次煅烧需要， ，所以第二次开始锻造的时间是第． 19．（2025·贵州遵义·模拟预测）某研究性学习小组通过调查发现，在一节40分钟的课中，学生的注意力会随时间的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐渐集中，中间一段时间保持较为理想的稳定状态，随后开始分散．经试验分析可知，学生的注意力指数y随时间x（分）的变化规律如图所示，其中线段的函数表达式为：，线段持续的时间恰为10分钟，曲线为反比例函数图象的一部分． (1)求m的值及曲线的函数表达式，并写出取值范围． (2)若一道数学难题，需要讲解16分钟，为了效果较好，要求学生注意力指数y不低于64，那么老师能否在学生注意力全程达到要求的状态下讲解完这道题？请说明理由． 【答案】(1)； (2)能，理由见解析 【分析】此题考查了一次函数的应用和反比例函数的应用． （1）将B点坐标代入线段的函数解析式，即可求出m的值；再结合题意可得点坐标，进而可求得曲线的函数表达式； （2）分别求出注意力指数为64时的两个时间，再将两时间之差和16比较，大于16则能讲完，否则不能． 【详解】（1）解：把，代入得， 解得， ∴， ∵线段持续的时间恰为10分钟， ∴， ∴， 设反比例函数的解析式为， 把代入得， 解得， ∴曲线的函数表达式为； （2）解：能，理由如下： 令， 解得， 令， 解得， ∵， ∴经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目． 20．（2025·山东青岛·模拟预测）在中国大陆长达万公里的海岸线上，屹立于黄海之滨的崂山“试比天高”，其山脉以主峰为中心向四方延伸，演绎着山海相依的浪漫和道法自然的美学．小飞一家在崂山风景区开了一家超市，为迎接将要到来的旅游黄金季（每年5月到10月），小飞拿出了去年对某种矿泉水（如图1）销售情况的统计数据进行参考，提供如下信息： ①工商管理局规定：该矿泉水零售价不得高于元/瓶 ②统计售价（元/瓶）与需求量的数据：发现当售价为元瓶时，该矿泉水的需求量为箱，售价每上涨元，需求量就减少箱． ③该矿泉水的供给量关于售价（元/瓶）的函数关系如下表所示： 售价（元/瓶）      ④月份该矿泉水的售价（元/瓶），（元/瓶）关于月份的函数表达式分别为，，函数图象见图2 ． (1)写出需求量和供给量关于售价（元/瓶）的函数关系式． (2)哪个月出售这种矿泉水每瓶获利（元/瓶）最大？并说明理由． (3)求该矿泉水需求量与供给量相等时的售价，以及按照该价格出售获得的总利润． 【答案】(1)； (2)6月出售这种矿泉水每瓶获利最大 (3)该矿泉水需求量与供给量相等时的售价为元，按照该价格出售获得的总利润为元 【分析】本题综合考查了一次函数、反比例函数、二次函数的应用，通过分析题目中的数量关系，建立相应的函数模型来解决问题； （1）根据题意列出一次函数与反比例函数解析式，即可求解； （2）根据，根据二次函数的性质，即可求解； （3）依题意，得出，进而求得，进而根据单件利润乘以数量，即可求解． 【详解】（1）解：∵当售价为元瓶时，该矿泉水的需求量为箱，售价每上涨元，需求量就减少箱 ∴，， 根据信息③可得与售价的乘积相等，设， 代入得，， ∴，， （2）解：6月出售这种矿泉水每瓶获利最大，理由如下， 依题意，， ∴ ∴当时，即6月出售这种矿泉水每瓶获利最大； （3）解：依题意， 当该矿泉水需求量与供给量相等时， 解得：（舍去） 当时，， ，解得：， 总利润为（元） 答：该矿泉水需求量与供给量相等时的售价为元，按照该价格出售获得的总利润为元 题型六 二次函数中的销售问题 解决二次函数中的销售问题，需先建立利润（或销售额）与销售单价的二次函数关系式，确定自变量的取值范围，再利用配方法求利润的最大值或最小值。 21．（2025·江苏连云港·模拟预测）某商家计划在暑期销售一款非遗文创产品，根据市场分析，该产品的单价将随销售周期的变化而变化．设该产品在第为正整数）天的单价为元，与之间满足如图所示的一次函数关系． (1)求与的一次函数关系式． (2)设该产品在第天的销售数量为，与的关系可以用 来描述．那么，哪天的销售额最大？此时该产品的单价是多少元？ 【答案】(1) (2)第1天的销售额最大，此时该产品的单价是67元 【分析】本题考查一次函数的应用、二次函数的应用，正确求得函数解析式是解答的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）设该产品第天的销售额为元，根据题意，得，然后利用二次函数性质求解即可． 【详解】（1）解：设与的一次函数关系式为， 将和代入函数关系式， 得，解得， 与的一次函数关系式为． （2）解：设该产品第天的销售额为元，根据题意，得， ． 抛物线的对称轴为，， 当时，随的增大而减小． 当时，销售额最大，此时该产品的单价为67元． 即第1天的销售额最大，此时该产品的单价是67元． 22．（2025·江苏宿迁·三模）近两年直播购物逐渐走进了人们的生活，某电商在网络平台上对一款成本价为120元的商品进行直播销售，如果按每件200元销售，每天可卖出40件．通过市场调查，该商品售价每降低1元，日销售量增加2件，设每件商品降价元． (1)每件商品降价元时，日销售量为______件： (2)若日销售盈利为4800元，为尽快减少库存，的值应为多少； (3)设日销售盈利为元，当为何值时，取值最大，最大值是多少？ 【答案】(1) (2)的值应为40； (3)当时，取最大值，最大值是5000． 【分析】本题主要考查了列代数式，一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，正确理解题意列出对应的解析式和方程是解题的关键． （1）根据售价每降低1元，日销售量增加2件列出对应的代数式即可； （2）根据利润（售价成本价）数量列出方程求解即可； （3）根据利润（售价成本价）数量列出关于x的二次函数关系，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，每件商品降价x元时，日销售量为件， 故答案为：； （2）解：由题意得，， ∴， 解得， ∵为尽快减少库存， ∴的值应为40； （3）解：由题意得，， ， ∴当时，取最大值，最大值是5000． 23．（2025·江苏无锡·二模）五月，正值花果繁茂时节，某市的枇杷新鲜上市．小明以32元/千克的价格购进一批枇杷进行销售，运输成本是6元/千克（运输费用按照进货质量计算），运输过程中枇杷将损坏5%，损坏的枇杷无法销售，完好的枇杷均销售完，假设不计其他费用． (1)小明把购进的枇杷售完至少定价为多少元才不会亏本？ (2)在销售过程中，商店发现每天枇杷的销售量（千克）与销售单价（元/千克）之间的函数关系如图所示，若每天销量至少36千克，那么当销售单价定为多少时，每天获得的利润最大?最大利润是多少? 【答案】(1)至少40元/千克才不亏本； (2)当销售单价定为55元/千克时，每天获得的利润是432元． 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，一次函数及二次函数的应用． （1）设购进枇杷a千克，枇杷定价每千克x元时，水果商才不会亏本，由题意建立不等式求出其值即可； （2）由（1）可知，每千克枇杷的平均成本为40元，再根据题意列出利润关于销售单价的二次函数，然后二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设购进枇杷a千克，枇杷定价每千克x元水果商才不亏本． 由题意得： 解得：， 答：至少40元/千克才不亏本； （2）解：设销售量y与销售单价x之间的函数关系式为： ， 把，代入关系式，得 ， 解得：， ∴销售量y与销售单价x之间的函数关系为： ， ∵每天销量至少36千克， ∴，解得， 由（1）可知，每千克枇杷的平均成本为40元， 由题意得： ， ∵，开口向下， ∴当时，随的增大而增大， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为432元． 答：当销售单价定为55元/千克时，每天获得的利润是432元． 24．（2025·江苏连云港·一模）请根据以下素材，完成表格中信息整理和两个探究任务． 制定购买方案 问题背景 背景1 ◆在征文活动中，学校计划对获得一、二等奖的学生分别奖励一支钢笔，一本笔记本．已知钢笔每支元，笔记本每本元． ◆经与商家协商，购买钢笔超过支时，每增加一支，单价降低元；超过支，均按购买支的单价销售．笔记本一律按原价销售． 背景2 学校计划奖励一、二等奖学生共计人，其中一等奖的人数不少于人，且不超过人． 信息整理 设奖励一等奖学生人，列表如下： 一等奖人数范围 钢笔支数 钢笔单价 笔记本本数 笔记本单价 __________ __________ 探究任务1 建立数学模型 设购买总额元，求关于的函数表达式． 探究任务2 拟定购买方案 制定购买奖品金额最少的购买方案． 【答案】信息整理：，8；探究任务1：当时，；当时，；探究任务2：当一等奖人数为50时花费最少，最少为700元 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键； 信息整理：根据问题背景，购买钢笔超过支时，每增加一支，单价降低元；超过支，均按购买支的单价销售．笔记本一律按原价销售，即可得出钢笔单价； 探究任务1：当， 时，根据总额等于钢笔与笔记本的购买金额，分别列出函数关系式； 探究任务2：根据一次函数的性质，得出的最小值为700元，即可求解． 【详解】信息整理： 当时，钢笔单价为：，     当时，钢笔单价为：8    探究任务： ①当时，           当时，，当时，， 当时，．          ②当时， ，          ，            当时，的最小值为700元， 当一等奖人数为50时花费最少，最少为700元． 题型七 二次函数中的拱桥、隧道问题 解决二次函数中的拱桥、隧道问题，需先建立合适的平面直角坐标系，根据顶点和其他点的坐标求出二次函数解析式，再利用解析式解决拱高、跨度等实际问题。 25．（2025·山西晋中·二模）综合与实践 问题情境：山西的窑洞是中国黄土高原传统民居，它不仅是当地居民适应自然环境的智慧结晶，也承载着深厚的历史记忆和地域文化．图1是小红家乡刚建好的窑洞及内部结构图，图2是某装修公司承揽窑洞装修任务后设计出的窑洞内部墙面及顶部装修示意图． 数学建模： 如图3所示是窑洞的截面图，可近似看成是由抛物线的一部分和矩形构成，已知窑洞的宽为，窑洞顶部最高点离地面，点离地面． （1）在图3中画出以点为原点，平行于的直线为轴、竖直方向为轴的平面直角坐标系，并求抛物线的函数表达式． 问题解决： （2）如图4，装修公司计划在窑洞两侧离地面的，处安装吊顶，若窑洞的深度为，求吊顶所需材料的面积（结果精确到，参考数据：）； （3）小红想在装修完工后为窑洞增添一些装饰．她计划从点到点，从点到点各拉一条彩带，并在，两处悬挂彩灯，，（，在彩带上，，）．试计算小红需要购买彩灯的总长度（结果精确到））． 【答案】（1）（2）吊顶所需材料的面积约为（3）小红需要购买彩灯的总长度约为 【分析】本题考查二次函数的应用∶用到的知识点为∶待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与一元二次方程的关系．理解题意选择恰当的方法是正确解答此题的关键． （1）根据题意画出平面直角坐标系，找到点的坐标为，点的坐标为．设抛物线的函数表达式为．代入坐标即可求解； （2）根据题意求得点的坐标为，点的坐标为．进而可求．即可求出吊顶所需材料的面积； （3）过点作，交的延长线于点．由题意，得，．证明∽．得，求得．进而可求答案． 【详解】解：（1）建立如图1所示的平面直角坐标系． ∵窑洞顶部最高点离地面，点离地面， ∴． ∴点，的纵坐标为． ∵， ∴点的坐标为，点的坐标为． ∵点为抛物线的顶点， ∴设抛物线的函数表达式为． ∵在抛物线上， ∴． 解得． ∴抛物线的函数表达式为． （2）∵离地面， ∴． ∴点，的纵坐标为． ∵点，在抛物线上， ∴将代入，得． 解得，． ∴点的坐标为，点的坐标为． ∴． ∴吊顶所需材料的面积为． 答：吊顶所需材料的面积约为． （3）如图2，过点作，交的延长线于点． 由题意，得，． ∵，， ∴． ∴∽． ∴，则． ∴． ∴ 答：小红需要购买彩灯的总长度约为． 26．（2025·陕西西安·三模）某校阅览室有一个拱门，其截面为抛物线型，如图所示，线段表示水平路面．现需在此抛物线型拱门左侧内壁上的点处安装一个装饰灯，图中与抛物线围成的区域是灯的光照范围，的度数可以调节．以所在直线为轴，以过点垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系．已知此拱门的最高点与的距离是2米，点到的距离为1米，点与拱门最高点的水平距离也是1米，点均在此抛物线型拱门上． (1)求此抛物线的函数表达式． (2)根据设计要求，点的横坐标为，点的横坐标为，的一边需要与轴平行．问，是否存在满足要求的点和点？若存在，请求出点的坐标及此时的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，，， 【分析】（1）根据题意得到顶点，，再利用顶点式求解析式即可； （2）表示出，，在分别根据轴和轴列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵拱门的最高点与的距离是2米，点到的距离为1米，点与拱门最高点的水平距离也是1米， ∴顶点，， ∴设抛物线的解析式为， 把代入得：，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵点的横坐标为，点的横坐标为， ∴，， 当轴时，，解得或（不合题意，舍去），此时，，则，，此时是等腰直角三角形，； 当轴时，，解得或（不合题意，舍去），此时，，则在下方，不合题意； 综上所述，，，． 27．（2025·陕西西安·三模）学习抛物线内容后，数学兴趣小组的同学到户外进行实践探究活动．图1是一座三孔桥的横截面示意图，三个孔都呈抛物线型，左右两个抛物线型是相同的．如图2所示，研究小组以线段所在的直线表示水平的水面，以O为坐标原点，以所在的直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．小组通过查阅资料，了解到正常水位时，中间大孔水面宽度，顶点距离水面的高度，小孔顶点距离水面的高度．请你帮助解决以下问题： (1)求中间大孔抛物线的函数表达式； (2)若雨季来临水位上涨，大孔水面宽度小于等于10米时桥面警戒，禁止通行，请通过计算判断当小孔刚好被淹没时，此桥面可否通行？ 【答案】(1) (2)此桥面可通行． 【分析】（1）读懂题意，先得，再设中间大孔抛物线的函数表达式为，运用待定系数法求出二次函数的解析式，即可作答． （2）读懂题意，把代入，求出，即可作答． 【详解】（1）解：根据题意，得， 设中间大孔抛物线的函数表达式为， 把分别代入， 得， 解得， ∴中间大孔抛物线的函数表达式为； （2）解：∵小孔顶点距离水面的高度．雨季来临水位上涨，小孔刚好淹没， ∴把代入， 得， 解得， ∴， ∴， 答：此桥面可通行． 28．（2025·贵州遵义·一模）【活动背景】如图1，南昌复兴大桥主拱是桥梁的标志性建筑． 某兴建小组将复兴大桥主拱截面视为抛物线，若跨度为，最高点（顶点）到桥面的距离为． 【建立模型】 （1）请在图2、图3中任选一种，求出抛物线的函数表达式； 【初步应用】 （2）在（1）的条件下，在主拱与桥面之间设置等距的吊杆（垂直于桥面），共设置9根吊杆，求从左到右第3根吊杆的长度； 【拓展应用】 （3）如图4，在右边修建副拱为抛物线，与射线交于点K、F（点K在点F左边），，的顶点需在一个正方形内（包括边界，点P在点N右边），垂直桥面于点D，，求抛物线二次项系数的取值范围． 【答案】（1）答案不唯一，见解析；（2）从左到右第3根吊杆的长度是；（3） 【分析】（1）根据坐标系特点，图2中设解析式为，图3中设函数表达式为，确定顶点坐标，待定系数法解答即可， （2）根据函数的解析式，计算时的函数值即可； （3）设抛物线的解析式为，则其顶点为，则，．把，代入，得；把，代入，得，解答即可． 本题考查了待定系数法，抛物线的性质，正方形的性质，熟练掌握待定系数法，抛物线的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：选图2，则，，顶点坐标为， 可设抛物线的函数表达式为， 把代入，得：， 解得． ∴抛物线的函数表达式为． 选图3，则，，顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为， 把，得：， 解得． ∴抛物线的函数表达式为． （2）解：选择图2，抛物线为． 因为共设置9根吊杆，被分成10等份，每一份的距离为． 从左到右第3根吊杆对应的x值为． 把代入，得 所以从左到右第3根吊杆的长度是． 选择图3，抛物线为． 因为共设置9根吊杆，被分成10等份，每一份的距离为． 从左到右第3根吊杆对应的x值为． 把代入，得 所以从左到右第3根吊杆的长度是． （3）解：选择图3的坐标系，设抛物线的解析式为，则其顶点为， 的顶点在正方形内，，，，， 则，． ， ∴当和时，， 把代入，得：，， 把代入，得：，， 当点F左移时，抛物线开口变小，点F右移时，抛物线开口变大， 当顶点在正方形的左上顶点和右下顶点时，开口最小或最大． 把，代入，得； 把，代入，得， ∴抛物线二次项系数的取值范围为． 解法2 如果以点B为原点建立坐标系，则， 设抛物线的解析式为，则其顶点为， 的顶点在正方形内，，，， 则，． ， ∴当和时，， 把代入，得，， 把代入，得，， 当点F左移时，抛物线开口变小，点F右移时，抛物线开口变大， 当顶点在正方形的左上顶点和右下顶点时，开口最小或最大． 把，代入，得； 把，代入，得； ∴抛物线二次项系数的取值范围为． 题型八 二次函数中的投球问题 29．（2025·江苏盐城·一模）如图 1 ，一个小球以的初速度，在一条足够长且平直的轨道上运动．轨道初段绝对光滑；除段外，剩下轨道粗糙．小球在绝对光滑轨道上不存在阻力；在粗糙轨道上，存在恒定的摩擦力，速度会逐渐减小，直至停止．小球运动过程中，其速度与时间之间的关系如图2所示，其路程与时间之间的关系如图3所示（段是抛物线 的一部分）． (1)轨道初段的总长为 ；小球在粗糙轨道（图中射线上）运动时，与之间的函数关系式为 ； (2)若测得小球从开始出发到最终停止，行进的总路程为，如果直线与抛物线有且只有一个交点，则称线段与抛物线光滑连接．请你通过计算和推理判断线段与抛物线是否光滑连接？ (3)在（2）的条件下，在射线上，是否存在一节长为的轨道段，使得小球在通过该段过程中，所用时间恰好为．若存在，请求出这节轨道的起点与点A之间的距离；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)线段与抛物线能光滑连接 (3)存在，这节轨道的起点与点A之间的距离为 【分析】本题考查二次函数的应用，关键是用待定系数法求出函数解析式． （1）由图2可以得出轨道初段的总长，再用待定系数法求出v与t的函数解析式； （2）设出抛物线的顶点式，再把点代入解析式求解即可；求出解析式，再联立直线和抛物线所组成的方程组，根据判别式得出结论； （3）假设存在这节轨道，且小球第m秒行驶至轨道起点，则第秒行驶至轨道终点，由小球在通过该段过程中，所用时间恰好为，求出m的值，再把m的值代入抛物线解析式求出轨道的起点与点A之间的距离． 【详解】（1）解：由图2可知，轨道初段的总长为； 设， 则， 解得， ∴， 故答案为：40；； （2）解：由题意，Q为顶点，设， 则， 把代入解析式得：， 解得（舍去）， ∴； 设直线表达式：，代入，有， 即， 联立， 得， ∵， ∴直线与抛物线有且只有一个交点P，且直线不与抛物线对称轴平行，故线段与抛物线光滑连接； （3）解：假设存在这节轨道，且小球第m秒行驶至轨道起点，则第秒行驶至轨道终点， 由题意得：， 解得：， 当时，， ∴轨道起点与点A之间的距离为． 30．如图1，弹球从原点以一定的方向拋出，弹球抛出的路线是拋物线的一部分，若弹球到达最高点的坐标为，弹球遇挡板后会反弹，反弹后的弹球的运动轨迹仍是拋物线的一部分，且开口大小和方向均与相同． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，弹球在轴的落点为A，在A处放置了一挡板，反弹后弹球运动的最大高度是． ①求点A的横坐标；②反弹后的小球是否经过点？请说明理由． (3)如图2，在第一象限内放置一挡板，挡板可以用一次函数刻画，弹球落到挡板上的点处后反弹，反弹后弹球运动的最大高度是．若第一次反弹后的弹球仍然落在挡板上，直接写出挡板端点横坐标的取值范围______． 【答案】(1) (2)①8；②不经过点，理由见解析 (3) 【分析】本题考查二次函数的应用，涉及待定系数法求函数解析式、抛物线与x轴的交点问题等知识，理解题意，正确求得函数解析式是解答的关键． （1）根据题意，利用二次函数的顶点式求解抛物线L的解析式即可； （2）①令（1）中解析式的，解方程即可求得点A的横坐标； ②求反弹后抛物线的解析式，取，求得对应的y值即可作出判断； （3）求得抛物线L与直线的交点D坐标，进而求得反弹后的抛物线的解析式，进而求得反弹后抛物线与直线的交点的横坐标，进而可求解． 【详解】（1）解：根据题意，设抛物线L的解析式为， 将代入，得，解得， ∴抛物线L的解析式为； （2）解：①令，由得，， ∴点A的横坐标为8； ②反弹后的小球不经过点，理由为： ∵反弹后的弹球的运动轨迹仍是拋物线的一部分，且开口大小和方向均与相同，且最大高度是， ∴反弹后的抛物线的解析式为， 由①得，代入解析式中，得， 解得或（舍去）， ∴设反弹后的抛物线的解析式为， 当时，， ∴反弹后的小球不经过点； （3）解：联立方程组，解得    （舍去），， ∴点D坐标为， 由题意，设反弹后的抛物线解析式为， 将代入，得， 解得，（不合题意，舍去）， ∴反弹后的抛物线解析式为， 联立方程组，解得（舍去），， ∴反弹后抛物线与挡板交点的横坐标为10， ∴挡板端点横坐标的取值范围为， 故答案为：． 31．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线运行，其中是铅球离初始位置的水平距离，是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度为，则铅球掷出的水平距离为________． 【答案】 【分析】本题考查待定系数法求抛物线解析式，二次函数与轴的交点坐标，熟练掌握待定系数法和二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．由题得，代入，得出抛物线的解析式为，令，求解即可， 【详解】解：由题意，， 得， 将代入， 得：， 解得：， ∴， 令，得， 解得：，， ∴为， 故答案为：． 32．（2025·江苏盐城·中考真题）［生活观察］小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，扣杀球和网前吊球这两种击球的运动路线可以近似抽象成如下两种，如图（1）、（2）所示． ［数学建模］小明发现扣杀球的路线近似为一条直线，网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面图如图（3）所示，从点击球，击球点是拋物线的最高点，点到地面的距离，球网上端点到地面的距离，人与球网之间的距离，假设两种击球路线都经过点正上方处的点，网前吊球和扣杀球的落点分别为点、． （1）请在图（3）中建立合适的平面直角坐标系，并分别求出两种击球路线的函数表达式． ［模型应用］ （2）网前吊球的落点到球网的距离的长是_________． （3）甲在处击球，扣杀球时，羽毛球的平均速度约为．网前吊球时，羽毛球下降的高度与时间之间的关系式为．乙在看到甲击球的同时，尝试接球，从甲击球到乙能成功接球的时间至少需要．请通过计算说明，乙能接到哪种方式的击球． 【答案】（1）扣杀球击球路线的函数表达式为；网前吊球击球路线的函数表达式为；（2）；（3）乙能接到网前吊球的击球 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，二次函数图象上点的坐标的特征，一次函数应用，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． （1）以为坐标原点，所在的中线为轴，所在的中线为轴，建立如图所示的坐标系，再利用待定系数法解答即可； （2）利用网前吊球击球路线的函数表达式求得点坐标，则可求，利用解答即可得出结论； （3）分别利用函数的解析式求得两种击球方式接球所需的时间，通过与0.5秒比较即可得出结论． 【详解】解：（1）以为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立如图所示的坐标系， 则，， 设直线的解析式为， ， ， 扣杀球击球路线的函数表达式为； 设网前吊球击球路线的函数表达式为， ， ， 网前吊球击球路线的函数表达式为； （2）令，则， ， ， ， ， ． 故答案为：； （3）对于，令，则， ， ， ， ， 扣杀球时，羽毛球的平均速度约为， （秒 ， 乙不能接到扣杀球的击球． 从点击球，击球点是抛物线的最高点， ， ， ， ， 乙能接到网前吊球的击球． 题型九 二次函数中的几何应用 33．（2025·江苏南通·中考真题）综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动，已知花圃一边靠墙（墙的长度不限），其余部分用总长为的栅栏围成，兴趣小组设计了以下两种方案： 方案一 方案二 如图1，围成一个面积为的矩形花圃． 如图2，围成矩形花圃，有栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个不同矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为的进出口（此处不用栅栏）． (1)求方案一中与墙垂直的边的长度； (2)要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少米？ 【答案】(1)15米； (2)当与墙平行的边的长度为33米时，花圃的面积最大． 【分析】考查了一元二次方程的应用以及二次函数的实际应用，熟练掌握矩形的周长、面积公式，以及二次函数的性质（如顶点式求最值）是解题的关键． （1）设与墙垂直的边为，根据矩形周长（栅栏总长）表示出与墙平行的边，再结合面积公式列方程求解． （2）设与墙平行的边为，根据栅栏总长和出口情况表示出与墙垂直的边，从而得出面积函数，利用二次函数性质求最大值时的值． 【详解】（1）解：设与墙垂直的边的长度为，则与墙平行的边的长度为， 根据题意得， 解得 答：与墙垂直的边的长度为15米； （2）解：设与墙平行的长度为，花圃的面积为， 根据题意得 ∴ ∵， ∴当时，有最大值363， 答：当与墙平行的边的长度为33米时，花圃的面积最大． 34．（2025·江苏连云港·中考真题）一块直角三角形木板，它的一条直角边长，△ABC的面积为． (1)甲、乙两人分别按图1、图2用它设计一个正方形桌面，请说明哪个正方形面积较大； (2)丙、丁两人分别按图3、图4用它设计一个长方形桌面．请分别求出图3、图4中长方形的面积与的长之间的函数表达式，并分别求出面积的最大值． 【答案】(1)图1的正方形面积较大 (2)在图3中，，当时，长方形的面积有最大值为；在图4中，，当时，长方形的面积有最大值为 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，二次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运用勾股定理算出，再运用正方形的性质分别证明，，，然后代入数值化简得，进行计算得，然后进行比较，即可作答． （2）与（1）同理证明，则长方形的面积，结合二次函数的图象性质得当时，长方形的面积有最大值为．，然后证明，，再把数值代入长方形的面积，化简得，结合二次函数的图象性质进行作答即可． 【详解】（1）解：∵，△ABC的面积为， ∴， ∴． 设正方形的边长为， ∵四边形是正方形 ∴，， ∵ ∴ 得， 即， 解得． ∵四边形是正方形 ∴， ∴ ∴， 得， 即， ∴． ， ∵ ∴， 得， 即， 解得． ∵， ∴图1的正方形面积较大． （2）解：∵四边形是长方形 ∴，， ∵ ∴； 得， 则，， ∴长方形的面积， ∵ ∴开口向下， 当时，长方形的面积有最大值为． 在图4中，同理得， 得， ∴，， 同理得， 得， 则， ∴长方形的面积， ∵ ∴开口向下， ∴当时，长方形的面积有最大值为． 35．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，某小区为美化生活环境，拟在一块空地上修建一个花圃，花圃形状如图所示．已知，，其中、两边靠墙，另外两边由20米长的栅栏围成．设米，花圃的面积为y平方米． (1)用含有x的代数式表示出的长； (2)求y与x的函数关系式并写出x的取值范围． 【答案】(1)米 (2) 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解答本题的关键是要能用含x的式子表示出的长度． （1）过点C作于H，用含x的式子表示，再由即可得到的长； （2）根据题意可以得到y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围． 【详解】（1）解：过点C作于点H， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， 在中，米，米， ∴米； （2）解：依题意得：， 解得：； ∵四边形是梯形， ∴ ， 即． 36．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，在矩形中，，．点P从点A出发，沿边向点B以1个单位长度/秒的速度运动，同时点Q从点B出发，沿边向点C以2个单位长度/秒的速度运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t秒． (1)当时，求的面积； (2)当t为何值时，的面积最大？最大面积是多少？ (3)是否存在某一时刻t，使的面积等于矩形面积的？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)8 (2)的面积最大，且为 (3)不存在，理由见详解 【分析】本题考查了矩形的性质，二次函数的其他应用，一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由矩形的性质得，结合时间和速度，得出，运用三角形面积公式进行列式计算，即可作答． （2）先由矩形的性质得，结合时间和速度，得出，运用三角形面积公式进行列式得，根据二次函数的性质进行分析，即可作答． （3）先由矩形的性质得，且结合题意得，运用三角形面积公式进行列式得，即可作答． 【详解】（1）解：连接，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴， 依题意，当时，则， ∴， ∴的面积； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， 依题意， ， ∴， ∵当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动． ∴， 即， ∴； ∵， ∴函数的开口向下，在时，有最大值， 即把代入，得， ∴当t为秒时，的面积最大？最大面积是； （3）解：不存在，理由如下： 在矩形中，，． ∴，矩形的面积， ∵的面积等于矩形面积的， ∴， 由（）得， ∴， 则， ∴， 此时无法找到一个t使得成立， 即不存在某一时刻t，使的面积等于矩形面积的． 题型十 函数与实际问题（新情境） 37．（2025·江苏南京·一模）如何设置挡板？ 如图①，点在直线上，现有一台粒子发射器在处向外连续发射粒子，发射的粒子沿抛物线运动，这些抛物线的开口方向和大小都与相同，发射出的粒子最终落在上．若在直线上的点处有一块挡板，，，由于挡板的遮挡，使得直线上存在粒子未能落到的一段线段，该线段的长记为．（粒子的反弹忽略不计） 【初步体验】 （1）如图②，若，，则_________． 【数学思考】 （2）如图③，若，，建立适当的平面直角坐标系，求的值． 【问题解决】 （3）如图，是直线上一点，是的中点，现要使发射的粒子能覆盖段的每一处，且落不到段．在满足上述要求的所有挡板位置中： （Ⅰ）直接写出最小时的的值； （Ⅱ）直接写出挡板的长的最小值． 【答案】（1）2；（2）；（Ⅰ）；（Ⅱ） 【分析】（1）以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线解析式为，把代入求解即可； （2）以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，过P作于G，解直角三角形求出，，则，当粒子经过P时，粒子落在B处，轨迹为， 当粒子的轨迹与相切（有唯一交点）时，函数图象为，刚好落在处，此时由于遮挡，粒子无法落到上，类似（1）可求，设，抛物线解析式为，根据待定系数法求出直线解析式为，联立方程组，化简得，根据直线与的图象有唯一的交点，可得出，求出解得，则，即可求解； （3）（Ⅰ）当与在点O处相切时，最小，此时，设直线解析式为，联立方程组，化简得，根据直线与的图象有唯一的交点，可得出，求出，则，然后根据正切定义求解即可； （Ⅱ）以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，过P作于H，根据正切的定义可求出，设，则，则，类似（1）求出的解析式为，把代入求出，根据勾股定理得出，则可求，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：（1）以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则， ∴， ∵，， ∴，， 设抛物线解析式为， 把代入，得， 解得， 故答案为：2； （2）以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，过P作于G， ∵，， ∴，， ∴， 当粒子经过P时，粒子落在B处，轨迹为， 当粒子的轨迹与相切（有唯一交点）时，函数图象为，刚好落在处，此时由于遮挡，粒子无法落到上， 设， ∵经过、、， ∴设抛物线解析式为， 把代入，得 ， 解得， ∴， 设 ∵经过经过、， ∴设抛物线解析式为， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴， 联立方程组， 化简得， ∵直线与的图象有唯一的交点， ∴方程有两个相等的实数根， ∴， 解得或（舍去） ∴， ∴， 即m的值为； （3）（Ⅰ）当与在点O处相切时，最小， 此时， 设设直线解析式为， 联立方程组， 化简得， ∵直线与的图象有唯一的交点， ∴方程有两个相等的实数根， ∴， 解得， ∴， 设， 则； （Ⅱ）以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，过P作于H， ∵， ∴， ∴的解析式为， ∵点P在的图象上，设， 则 ∴当时，有最小值为8， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，正切的定义等知识，明确题意，找准临界位置是解题的关键． 38．（2025·江苏苏州·模拟预测）在绿化公园时，需要安装一定数量的自动喷洒装置，定时喷水养护草坪．某公司准备在一块边长为的正方形草坪（图1）中安装自动喷洒装置，为了既节约安装成本，又尽可能提高喷洒覆盖率，需要设计合适的安装方案． 说明：一个自动喷洒装置的喷洒范围是半径为的圆面，喷洒覆盖率，为待喷洒区域面积，为待喷洒区域中的实际喷洒面积． 这个问题可以转化为用圆面覆盖正方形面积的数学问题． (1)如图2，在该草坪中心位置设计安装1个喷洒半径为的自动喷洒装置，该方案的喷洒覆盖率__________． (2)如图3，在该草坪内设计安装4个喷洒半径均为的自动喷洒装置；如图4，设计安装9个喷洒半径均为的自动喷洒装置……以此类推，如图5，设计安装个喷洒半径均为的自动喷洒装置，与（1）中的方案相比，采用这种增加装置个数且减小喷洒半径的方案，能否提高喷洒覆盖率？请判断并给出理由． (3)如图6，该公司设计了用4个相同的自动喷洒装置喷洒的方案，且使得该草坪的喷洒覆盖率． 已知正方形各边上依次取点F，G，H，E，使得，设，的面积为，求y关于x的函数表达式，并求当y取得最小值时r的值． 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 (3)．取得最小值 【分析】（1）根据定义，分别计算圆的面积与正方形的面积，即可求解； （2）根据（1）的方法求得喷洒覆盖率即可求解； （3）根据勾股定理求得的关系，进而根据圆的面积公式得出函数关系式，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：（1）当喷洒半径为时，喷洒的圆面积． 正方形草坪的面积． 故喷洒覆盖率． （2）解：对于任意的，喷洒面积，而草坪面积始终为． 因此，无论取何值，喷洒覆盖率始终为． 这说明增加装置个数同时减小喷洒半径，对提高喷洒覆盖率不起作用． （3）如图所示，连接， 要使喷洒覆盖率，即要求，其中为草坪面积，为喷洒面积． ∴都经过正方形的中心点， 在中，，， ∵ ∴， 在中， ∴ ∴ ∴当时，取得最小值，此时 解得：． 【点睛】本题考查了正方形与圆，二次函数的应用，解决此类问题的关键在于将实际问题转化为数学问题，即如何将喷洒覆盖率的计算问题转化为面积计算和函数求解问题．同时，在解决具体问题时，需要灵活运用已知的数学知识，如圆的面积公式，正方形面积公式，以及函数解析式求解等．最后，还需要注意将数学计算结果还原为实际问题的解决方案． 39．（2025·江苏苏州·二模）【综合实践】 素材1：如图①所示，两地相距千米，地位于两地之间．高铁从地出发经地匀速驶向地，高铁从地出发经地驶往地． 素材2： 5月10日高铁G234时刻表 站名 到时 发时 停留 站 ___________ ___________ 站 分 站 ___________ ___________ 5月10日高铁G235时刻表 站名 到时 发时 停留 站 ___________ ___________ 站 分 站 ___________ ___________ 两辆高铁在行驶过程中距离站的路程与行驶时间之间的函数关系如图②所示． 【问题解决】 (1)图①中，_________，_________，高铁在行驶过程中速度是___________； (2)求高铁由站往站行驶过程中距离站的路程与行驶时间之间的函数表达式； (3)求5月10日、两列高铁在相遇后两车之间距离为时的当日时刻．（提示：答“xx点xx分xx秒”） 【答案】(1)，，； (2) (3)点分秒 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据题意求出相应的函数解析式是解题的关键． （1）根据路程、时间、速度之间的关系，结合函数图象即可求解； （2）利用待定系数法即可求解； （3）利用待定系数法求出从站到站的函数解析式，联立由站往站的函数解析式，求得相遇时刻两车距离地千米，进而求解． 【详解】（1）解：根据素材2可得：在站停留分钟， ∴用于行驶的时间为分， ∵两地相距千米， ∴的速度为：(千米/分)， ∵走到地用了分， ∴距地的距离为(千米)，则 即图②中， ∴离地的距离为(千米)，则 即图②中， 故答案为：，，； （2）设高铁由站往站行驶过程中距离站的路程与行驶时间之间的函数表达式为， ∵过点，， ∴， 解得， ∴； （3）设从站到站的函数解析式 ()， ∵过点，， ∴， 解得， ∴， 由， 解得， ∵出发， ∴点分秒相遇，相遇时，两车距离地千米 ∵千米， ∴当时，在地，距离地路程为：千米 ∴两车相距千米即点分秒 ∴5月日、两列高铁在相遇后两车之间距离为时的当日时刻为点分秒． 40．（2025·江苏苏州·二模）小西和小傅在跑步机上慢跑锻炼．小西先跑，10分钟后小傅才开始跑，小傅跑步时中间休息了两次．跑步机上C档比B档快40米/分、B档比A档快40米/分．小西与小傅的跑步相关信息如表所示，跑步累计里程s（米）与小西跑步时间t（分）的函数关系如图所示． 时间 里程分段 速度档 跑步里程 小西 不分段 A档 4000米 小傅 第一段 B档 1800米 第一次休息 第二段 B档 1200米 第二次休息 第三段 C档 1600米 (1)求A，B，C各档速度（单位：米/分）； (2)小傅第二次休息后，在a分钟时两人跑步累计里程相等，求a的值； (3)若小傅第一次休息时间是第二次时间的4倍，那么t多少时，小西和小傅跑步累计里程相差520米． 【答案】(1)，，各档速度米/分、米/分、米/分 (2) (3)小西和小傅跑步累计里程相差520米时，t为，，或 【分析】本题主要考查一次函数的应用，读懂图中的数据是解题的关键． （1）由小西的跑步里程及时间可得档速度，再根据档比档快米/分、档比档快米/分，即可得出答案； （2）结合图象求出小傅每段跑步所用时间，再根据总时间求出小傅休息的时间，此时小丽在跑第三段，所跑时间为分， 列方程求出的值即可； （3）先求出小傅第一次休息时间为4分钟，第二次休息时间为1分钟，然后分为种情况，根据里程差列一元一次方程解答即可． 【详解】（1）解：由题意可知， 档速度为(米/分) ， 则档速度为(米/分) ， 档速度为(米/分) ， 答：，，各档速度米/分、米/分、米/分； （2）小傅第一段跑步时间为(分)， 小傅第二段跑步时间为(分)， 小傅第三段跑步时间为(分)， 则小傅两次休息时间的总和为(分)， ∵小傅第二次休息后，在分钟时两人跑步累计里程相等， ∴此时小傅在跑第三段，所跑时间为(分)， ∴， ∴； （3）解：∵小傅第一次休息时间是第二次时间的4倍， ∴第一次休息时间为4分钟，第二次休息时间为1分钟， 当时，，解得； 当时，，解得：； 当时，，解得：； 当时，，解得：（舍去）； 当时，，解得：（舍去）； 当时，|，解得：（舍去）或； 综上所述，小西和小傅跑步累计里程相差520米时，t为，，或． 题型十一 函数与实际问题（函数综合问题） 41．（2025·江苏常州·三模）在平面直角坐标系中，给出如下定义：若实数a、b、m、n满足（k为常数，），则称点是点的“k值关联点”．例如，点是点的“2值关联点”． (1)若点是点的“k值关联点”，则 且 ； (2)如图，设点是点的“k值关联点”． ①当轴时，求点Q的坐标及k的值； ②若点，当时，请直接写出点Q的坐标及k的值． 【答案】(1)， (2)①；②，或， 【分析】（1）根据“k值关联点”的定义计算即可得解； （2）①根据“k值关联点”的定义计算得出，结合轴，得出，即可求出，从而得解；②由①可得，求出点在直线上，再分两种情况：当点在点下方时，过点作轴，过点作轴交于；当点在点下方时；分别求解即可． 【详解】（1）解：∵点是点的“k值关联点”， ∴， 解得， 故答案为：，； （2）解：①∵点是点的“k值关联点”， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴，即； ②由①可得， ∵， ∴点在直线上， 如图，当点在点下方时，过点作轴，过点作轴交于， ∴，， ∵，， ∴， ∴以为圆心，为半径作，直线与交于（与在同侧）， ∵， ∴，此时满足条件， 由可得，， 解得：（此时、不在的同侧，舍去）或， ∴； 如图，当点在点下方时， 同理可得：，， ∴， 解得：（舍去）或， ∴； 综上所述，，或，． 【点睛】本题考查了坐标与图形综合、两点间的距离公式、圆周角定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 42．（2025·江苏宿迁·二模）若定义：若一个函数图像上存在纵坐标是横坐标倍的点（为常数，且），则把该函数称为“倍函数”，该点称为“倍点”，例如：“2倍函数”，其“2倍点”坐标为． (1)①判断：函数____“2倍函数”（填“是”或“不是”）； ②函数的图像上的“2倍点”的坐标为____． (2)若抛物线上有两个“3倍点”，求的取值范围； (3)若函数的图像上存在唯一的一个“倍点”，且当时，的最小值为，求的值． 【答案】(1)①不是；②或 (2)的取值范围为：且 (3)的值为或 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的开口，增减性，最值的计算方法是关键． （1）根据题意，①设“倍点”坐标为，代入计算即可求解；②同上述计算方法一样； （2）设“3倍点”坐标为，代入，再根据一元二次方程判别式求解即可； （3）设“倍点”坐标为，则，即是关于的二次函数，图像开口向上，根据二次函数最值的计算方法求解即可． 【详解】（1）解：若一个函数图像上存在纵坐标是横坐标倍的点（为常数，且）， ∴设“倍点”坐标为， ∴，无解， ∴函数不是“2倍函数”； ， 整理得，， 解得，或， ∴函数的图像上的“2倍点”的坐标为或； 故答案为：①不是；②或； （2）解：抛物线上有两个“3倍点”， ∴设“3倍点”坐标为， ∴， 整理得，， ∵抛物线有两个“3倍点”， ∴， 解得，， ∴的取值范围为：且； （3）解：设“倍点”坐标为， ∴，整理得，， ∵图像上存在唯一的一个“倍点”， ∴， ∴， ∴，即是关于的二次函数，图像开口向上， ∴对称轴直线， 当时，的最小值为，根据对称轴于取值范围的关系，分类讨论： ∴①，即， ∴， 解得，； ②当时，， ∴时取到最小值， ∴，整理得，， 解得，（舍去）； ③∴当时，， ∴时取到最小值， ∴，整理得，，无解； 综上所述，的值为或． 43．（2025·江苏常州·三模）如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为． (1)求抛物线与直线l的函数表达式； (2)若点P是抛物线上的点且在直线l上方，连接、，求当面积最大值时点P的坐标及该面积的最大值； (3)若点Q是y轴上的点，且，求点Q的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为；直线l的函数表达式为 (2)的面积最大值为， (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求抛物线和直线的解析式即可； （2），过点作轴交于，设，则，表示出，从而可得，再由二次函数的性质即可得解； （3），将线段绕点逆时针旋转得到，连接交轴于，作轴于，轴于，则为等腰直角三角形，证明，得出，，求得，待定系数法求出直线的解析式为，当时，，即；作点关于直线的对称点，连接交轴于，由轴对称的性质可得，，证明出点为的中点，即可得出，同理可得，直线的解析式为，当时，，即，由此即可得解． 【详解】（1）解：将、、代入二次函数的解析式可得， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 设直线l的函数表达式为， 将、代入解析式可得， 解得：， ∴直线l的函数表达式为； （2）解：如图，过点作轴交于， ∵点P是抛物线上的点且在直线l上方， ∴设，则， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的面积最大，为，此时； （3）解：如图，将线段绕点逆时针旋转得到，连接交轴于，作轴于，轴于， 则为等腰直角三角形， ∴，，， ∴， ∵轴于，轴于，、， ∴，，，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，，即； 作点关于直线的对称点，连接交轴于， 由轴对称的性质可得，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵，即， ∴，即点为的中点， ∴， 同理可得，直线的解析式为， 当时，，即， 综上所述，满足条件的点的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、求一次函数的解析式，二次函数综合—面积问题，等腰直角三角形的判定与性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 44．（2025·江苏常州·三模）如图，平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴相交于点、点，与y轴相交于点C． (1)填空： ___________， ___________； (2)当时，函数的最大值是5，直接写出t的值是___________； (3)点C关于抛物线对称轴对称的点为E，过E作轴于F，点P为抛物线上一点，且点P在抛物线对称轴左侧，过P作轴于M，交直线于点N．若，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法即可求出答案； （2）求出时的自变量的值，根据二次函数的对称轴分两种情况进行解答即可； （3）分两种情况画出图形，进行解答即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与x轴相交于点、点， ∴， 解得 故答案为：，； （2）由（1）可知，二次函数解析式为， 把代入得到，， 解得， ∵ ∴抛物线的对称轴为直线，开口向下， ∴当时，随着的增大而增大，当时，随着的增大而减小， ∵当时，函数的最大值是5， ∴当时，时取得最大值，即，解得， 当时，时取得最大值，即， ∴或， 故答案为：或； （3）当时，， 即点C的坐标为， ∵点C关于抛物线对称轴对称的点为E，对称轴为直线， ∴点E的坐标为， 如图，设交轴于点，交于点， ∵轴， ∴， 根据轴对称性可得，， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则 解得 ∴直线的解析式为， ∵点E的坐标为，， ∴设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， 由， 解得，或 ∴， 设直线交轴于点，点关于直线对称的点为，连接交于点，连接交抛物线于点，此时也满足条件， ∵直线的解析式为， ∴当时，， ∴， 设直线的解析式为，则 解得 ∴直线的解析式为， 设，则，把代入得到① 由轴对称可得，，则， 即② 由①②得到，或（不合题意，舍去） ∴ 设直线的解析式为，则 解得 ∴直线的解析式为， 由由， 解得，或 ∴ 综上可知，点P的坐标为或． 【点睛】此题考查了二次函数的综合题，考查了二次函数和一次函数的图象和性质、轴对称的性质、勾股定理等知识，难度较大，准确画图是关键． 知识1 一次函数的实际应用 用一次函数解决实际问题：应用一次函数解决实际问题时，首先，要判断问题中的两个变量之间是否是一次函数关系；其次，当确定是一次函数关系时，可先求出一次函数解析式，再应用一次函数的相关知识去解决与其相关的实际问题. 1.判断两个变量之间是不是一次函数关系的步骤： （1）通过实验、测量获得数量足够多的两个变量的对应值； （2）建立适当的平面直角坐标系，画出图像； （3）观察图像特征，判断函数的类型. 2.建立一次函数解析式的常用方法 （1）根据基本的量之间存在的关系列函数解析式； （2）若题目中已明确给出两个变量的函数关系，则可用待定系数法求出函数解析式； 3.一次函数应用问题的求解思路： （1）建立一次函数模型→求出一次函数解析式→结合函数解析式、函数性质求解； （2）在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图像求解.要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点； （3）分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图像，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用. 4.利用一次函数的图像解决实际问题的一般步骤： （1）观察图像，获取有效信息； （2）对获取的信息进行加工、处理，理清各数量之间的关系； （3）选择适当的数学工具(如函数、方程、不等式等)，通过建模解决问题. 【提示】时刻注意根据实际情况确定变量的取值范围. 5.求最值的本质为求最优方案，解法有两种： （1）可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较； （2）直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接确定最优方案及最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再进行比较． 【提示】一次函数本身并没有最值，但在实际问题中，自变量的取值往往有一定的限制，其图像为射线或线段.涉及最值问题的一般思路：确定函数解析式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最值． 知识2 反比例函数的实际应用 1. 用反比例函数解决问题的两种思路： （1）通过题目已知条件，明确变量之间的关系，设相应的函数关系式，然后根据题中条件求出函数关系式； （2）已知反比例函数关系式，通过反比例函数的图像和性质解决问题. 2. 列反比例函数解决问题的步骤： （1）审：审题，找出题目中的常量和变量，以及它们之间的关系； （2）设：根据常量与变量之间的关系，设出函数表达式； （3）求：根据题中条件列方程，求出待定系数的值； （4）写：写出函数表达式，并注意表达式中自变量的取值范围； （5）解：用函数解析式去解决实际问题． 利用反比例函数解决实际问题，要做到： （1）能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型； （2）注意在自变量和函数值的取值上的实际意义； （3）问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明． 【易错点】 1.利用反比例函数的性质时，误认为所给出的点在同一曲线上； 2.利用函数图像解决实际问题时，容易忽视自变量在实际问题的意义． 知识3 二次函数的实际应用 1. 用二次函数解决实际问题的一般步骤： （1）审：仔细审题，理清题意； （2）设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数； （3）列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式； （4）解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图像和性质等求解实际问题； （5）检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论. 【注意】二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论． 2. 利用二次函数解决实际问题的常见类型 常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等，对此类问题要正确地建立模型，选择合理的位置建立平面直角坐标系是解决此类问题的关键，然后用待定系数法求出函数表达式，利用函数性质解决问题. 1．（2025·江苏连云港·二模）某地区交通管理部门通过对道路流量的大数据分析可知，某高架路上车辆的平均速度(千米/时）与高架路上每百米车的数量x（辆）的关系如图所示． (1)求y关于x的函数关系式； (2)如果某时刻监测到这一高架路上车辆的平均速度为50千米/时． ①求该时刻高架路上每百米车的数量； ②监测发现从此刻开始这一高架路上每百米车辆数每2分钟增加3辆．已知该高架路上车辆的平均速度小于20千米/时，高架路将严重拥堵，需启动限流措施．为了避免严重拥堵，那么最晚多少分钟需启动限流措施？ 【答案】(1) (2)①该时刻高架路上每百米车的数量为15辆，②最晚10分钟需启动限流措施． 【分析】本题考查了一次函数的应用，正确理解题意是关键． （1）设y关于x的函数解析式为（k、b为常数，且），将坐标和分别代入y关于x的函数解析式求解即可； （2）①令，列方程求解即可；②令，求出，再计算即可． 【详解】（1）解：设y关于x的函数解析式为（k、b为常数，且）， 将坐标和分别代入y关于x的函数解析式， 得， 解得， 关于x的函数解析式为； （2）解：①当时，得， 解得， 答：该时刻高架路上每百米车的数量为15辆； ②当时，得， 解得， （分钟）， 答：最晚10分钟需启动限流措施． 2．（2025·江苏淮安·二模）甲、乙两车从地出发沿同一路线驶向地，甲车先出发匀速驶向地，分钟后，乙车出发，匀速行驶一段时间后，在途中的货站装货耗时半小时，由于满载货物，为了行驶安全，速度减少了千米时，结果与甲车同时到达地．甲、乙两车距地的路程（千米），（千米）与乙车行驶时间（小时）之间的函数图象如图所示．请结合图象信息解答下列问题： (1)的值为______；甲车的速度为______千米时； (2)求乙车减速前的速度，以及图中线段所表示的与的函数关系式． 【答案】(1)，； (2)乙车减速前的速度为千米小时，． 【分析】本题考查了一次函数的应用，从函数图象获取信息，一元一次方程的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据图象求出的值，由速度路程时间求出甲车的速度即可； （）设乙车减速前的速度为千米小时，则减速后的速度为千米小时，根据乙车减速前后路程之和为两地之间的距离，据此列关于的一元一次方程并求解，求出点的坐标和减速后乙车的速度，根据路程速度时间求出所表示的与的函数关系式． 【详解】（1）解：（小时）， ∴， 甲车的速度为（千米小时）， 故答案为：，； （2）解：设乙车减速前的速度为千米小时，则减速后的速度为千米小时， 根据图象，得， 解得， ∴乙车减速前的速度为千米小时， （千米）， ∴， ∴， 乙车减速后的速度为（千米小时）， 则， ∴线段所表示的与的函数关系式为． 3．（2025·江苏无锡·二模）某社区推出智能可回收垃圾投放箱，居民投放可回收物，可以赚取积分兑换生活用品．为了鼓励居民积极投放，超过一定投放质量后，奖励积分升级．其中塑料与纸张的奖励积分（分）与投放质量的函数关系如图所示，已知投放纸张超过后，奖励积分为分，规定积分满分，可以兑换智能扫地机器人一台． (1)求投放塑料的奖励积分； (2)求的值； (3)若投放的塑料的奖励积分是投放相同质量纸张的奖励积分的 倍，求一次性投放塑料和纸张所获得的积分和，可以兑换到智能扫地机器人吗？通过计算说明． 【答案】(1)； (2)； (3)能，理由见解析． 【分析】本题主要考查了一次函数的应用、分段函数的应用，解决本题的关键是根据图象找到因变量与自变量之间的关系． 用待定系数法求出一次函数的关系式为，把代入函数关系式中求值即可； 根据投放纸张超过后，奖励积分为分，从到增加了，可知； 因为获得的积分与投放的塑料与纸张的质量有关，所以应分当时，当时，当时，三种情况求解． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为， 当时，， 当时，， ， 解得：， 与的函数关系式为， 当时，， 答：投放塑料的奖励积分分； （2）解：由图可知投放纸张奖励积分分， 投放纸张超过后，奖励积分为分， ， ； （3）解：当时， 投放的塑料的积分为分， 投放的纸张的积分为分， ， 不符合题意； 当时， 投放的塑料的积分为分， 投放的纸张的积分为分， 塑料的奖励积分是投放相同质量纸张的奖励积分的 倍， ， 解得：， 此时，分， ， 不能兑换扫地机器人； 当时， 投放的塑料的积分为分， 投放的纸张的积分为分， 塑料的奖励积分是投放相同质量纸张的奖励积分的 倍， ， 解得：， 此时，分， ， 能兑换智能扫地机器人． 4．（2025·江苏南京·三模）小明对甲、乙两个保温壶进行了保温测试，同时分别向甲、乙两个保温壶中倒入了同样多的热水，经过一段时间的测试发现：乙的保温性能更好，在这段测试时间内，甲、乙两个保温壶的各自水温（单位：）与测试时间之间的函数图象如图所示． (1)当测试时间为时，乙壶中的水温是___________． (2)求甲壶中的水温与之间的函数关系式． (3)当甲、乙两个保温壶的温差不超过时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)80； (2)； (3)． 【分析】本题考查了一次函数的应用，求函数关系式，一元一次不等式的应用等知识，掌握一元一次不等式的解法是解题的关键． （1）求出乙壶中的水每分钟下降的温度，再根据水的温度测试开始时的水温时下降的温度计算即可； （2）求出甲壶中的水每分钟下降的温度，再根据水的温度测试开始时的水温分钟下降的温度计算即可； （3）写出乙壶中的水温与之间的函数关系式，当时列关于的一元一次不等式并求解即可． 【详解】（1）解：乙壶中的水的温度每分钟下降， ∴当测试时间为时，乙壶中的水温是， 故答案为：． （2）解：甲壶中的水的温度每分钟下降， ∴甲壶中的水温与之间的函数关系式为； （3）解：乙壶中的水温与之间的函数关系式为， 当时，得， 解得：， ∴的取值范围为． 5．（2025·江苏苏州·三模）已知甲、乙两地相距，一辆出租车从甲地出发往返于甲、乙两地，一辆货车沿同一条公路从乙地前往甲地，两车同时出发，货车途经服务区时，停下来用30分钟装完货物后，发现此时与出租车相距，货车改变速度继续出发后，与出租车相遇．出租车到达乙地后立即按原路返回，结果比货车早15分钟到达甲地．如图，这是两车距各自出发地的距离与货车行驶时间之间的函数关系图象． (1)=________，货车装完货物后的行驶速度为________． (2)求出租车从乙地返回甲地的速度． (3)在出租车返回的过程中，货车出发多长时间与出租车相距？ 【答案】(1)120， (2) (3)或 【分析】本题考查了一次函数图象及应用，待定系数法求一次函数解析式，路程、速度和时间的关系．关键在于利用待定系数法求函数表达式，结合路程、速度、时间关系分析各阶段运动状态，第三问需分类讨论“相遇前”和“相遇后”的距离情况．而且注意时间单位统一及图象中坐标的实际意义． （1）求a的值：通过出租车从甲地到乙地的函数图象确定其速度，再代入计算a；求货车装完货物后的速度：利用相遇时的路程和与时间关系求解即可； （2）求出租车从乙地返回甲地的速度：先确定货车到达甲地的时间，再结合出租车比货车早15分钟到达，计算出租车返回时间，进而求速度； （3）求出租车返回时与货车相距的时间：设时间为t小时，分别表示货车和出租车距乙地的距离，分“相遇前”和“相遇后”两种情况列方程求解． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 将代入，得，解得， 的解析式为． 把代入，． 出租车从甲地到乙地的速度为， 货车继续出发小时后，与出租车相遇， 相遇时，货车的速度为； 故答案为：120，； （2）由（1）得， 货车卸货时与乙地相距， 装完货物后，发现此时与出租车相距, 此时出租车距离乙地， 把代入，得，解得， ， 货车的速度为， 直线的解析式为， 把代入得，解得， 出租车到达乙地后立即按原路返回，结果比货车早15分钟到达甲地，且， 点E的坐标为即， 出租车从乙地返回到甲地的速度为； （3）设货车出发t小时后，出租车返回与货车相距， 货车距乙地：， 出租车距乙地：， 分两种情况讨论： 情况一：相遇前相距 ，可得， 解得； 情况二：相遇后相距，可得， 解得． 综上，货车出发或与出租车相距． 6．（2025·江苏无锡·二模）高架的某入口车道设置为“两左三直一右”，早高峰期间，直行排队上高架的车辆非常多，但是两个左转车道车流量较少；晚高峰期间，左转车流量较大．交通部门对该路口的第2和第5车道的车流量（辆／分钟）和时间进行了统计和分析，相应数据如下表所示，并发现两条车道的车流量和时间的变化规律都符合一次函数的特征，其中． 时间x 7时 10时 13时 16时 19时 第2车道车流量（辆／分钟） 20 26 32 38 44 第5车道车流量（辆／分钟） 33 30 27 24 21 (1)与x的函数表达式为__________； (2)在12时，通过计算判断与的大小关系； (3)如图，为了改善路口各时段的通行需求，将此路口的第二和第五车道均设置成可变车道，车道属性会根据早晚高峰等不同时段车流通行需求进行灵活切换．假设单位时间内第2和第5车道的车流总量为，这两车道中较大的车流量为n，经查阅资料得：当时，交通为严重拥堵，此时可将可变车道行车方向变为车流量较大的方向，以改善交通情况．该路段从7时至19时，通过计算判断在严重拥堵时如何设置可变车道行车方向以缓解交通拥堵． 【答案】(1)与x的函数表达式为 (2) (3)时到时，第2车道的方向设置为直行，时到时，第5车道的方向设置为左转 【分析】本题主要考查一次函数的运用，理解题意，掌握一次函数的运用是关键． （1）根据表格信息运用待定系数法即可求解； （2）根据自变量求函数值，再比较即可； （3）根据题意分别得到各自车道的最大拥堵时间，由此即可求解． 【详解】（1）解：当时，，当时，，当时，， ∴设，把代入得， ， 解得，， ∴， ∴与x的函数表达式为； （2）解：当时，，， ∴； （3）解：当时，， 当时，，当时，， ∴， 当时，，当时，， ∴时到时，第2车道的方向设置为直行，时到时，第5车道的方向设置为左转． 7．（2025·江苏南通·一模）某县某水果种植户进行软籽石榴销售．已知每千克石榴的成本为6元，在整个销售旺季的80天里，销售单价（元/千克）与时间第（天）之间的函数关系为： ，日销售量（千克）与时间第（天）之间的函数关系如图所示，请解答： (1)求日销售量与时间的函数关系式？ (2)哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)（，为整数） (2)第天的日销售利润最大，最大利润为元 【分析】（1）设日销售量与时间的函数解析式为，根据图象把，代入即可求解； （2）设日销售利润为为元， 则，然后分当时和当时两种情况分析即可． 【详解】（1）解：设日销售量与时间的函数解析式为，将，代入，得， ，解得， ∴（，为整数）； （2）解：设日销售利润为元， 则， ①当时， ， ∵， ∴当时，有最大值元； ②当时， ， ∵， ∴抛物线开口向上， ∴当时，随的增大而减小， ∵， ∴当时，有最大值，最大值， ∵， ∴第天的日销售利润最大，最大利润为元． 8．（2025·江苏苏州·模拟预测）某学校数学兴趣社团利用二次函数的知识进行探究学习． 【数学建模】 一条公路上有隧道，隧道的纵截面为抛物线形状，且该隧道为同向两车道设计，中间标有行车道分隔线，标线宽度忽略不计，车辆不能压线行驶建立如图所示的直角坐标系，画出了隧道截面图． 【解决问题】 已知隧道的路面宽为，隧道顶部最高处点P距地面．过隧道的车辆的顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为，才能保证车辆安全通过．现有一辆宽、高的厢式货车计划从隧道驶过． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）问厢式货车能否顺利通过隧道？请说明理由． 【拓展应用】 该数学兴趣社团为进一步探索抛物线的有关知识，借助上述抛物线模型，设计两个问题： （3）如图，在抛物线内作矩形，使顶点，落在抛物线上，顶点，落在轴上设矩形的周长为，求的最大值． （4）在（3）的条件下，如图，在矩形周长最大时，将矩形绕点逆时针旋转，若以点，，为顶点的三角形为直角三角形，请直接写出此时的旋转角的度数． 【答案】（1）；（2）厢式货车能顺利通过隧道，理由见解析；（3）的最大值为：20.5m；（4）旋转角的度数为或或 【分析】此题主要考查了顶点式求二次函数解析式以及二次函数最值求法和等腰直角三角形的性质，旋转的性质． （1）利用顶点式求出二次函数解析式即可； （2）根据已知得出当时，正好是厢式货车宽度，求出即可； （3）首先表示出矩形周长，再利用二次函数最值公式求出； （4）根据题意，画出符合条件的三角形，根据旋转的性质分三种情况求解即可． 【详解】解：（1）根据坐标系可知此函数顶点坐标为，且图象过点， 代入顶点式得：， ∴， 解得：， ∴； （2）厢式货车能顺利通过隧道，理由如下： 当宽、高的厢式货车从隧道驶过时， ∴， ∴代入解析式得：； ∴， ∴厢式货车能顺利通过隧道； （3）假设，可得， ∴； ∵矩形的周长为l， ∴， ∴当时，l的最大值为：； （4）在（3）的条件下，当矩形周长最大时，，，， ∴，， 过点P作于点M， ∵， ∴，， ∴，， 如图，分以下三种情况： 当时，根据旋转的性质得， 由勾股定理得， ∴， ∴， ∴； 当时，； 当时，； 综上所述，旋转角的度数为或或． 9．（2025·江苏扬州·模拟预测）如图，学校准备开展劳动教育活动，计划利用围墙和栅栏围成一个矩形的菜园，并用栅栏将其分成n个相同大小的矩形小菜园，共用栅栏． (1)当n＝4时，菜园面积的最大值为______． (2)求菜园面积的最大值（用含n的代数式表示）． (3)在第（2）问的条件下，存在和时，菜园面积的最大值之和为，且，直接写出所有满足条件的a、b的值______． 【答案】(1)80 (2) (3)或或 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． （1）设矩形养殖场的总面积为y，列出y与x的函数关系式，并求出其最大值． （2）设矩形养殖场的总面积为y，列出y与x的函数关系式，并求出其最大值． （3）根据（2）中最大值可列方程，求出，然后根据a、b都是正整数且求解即可． 【详解】（1）解：设菜园的垂直于墙的边为，当时，菜园的平行于墙的边为，菜园面积为，则有： ， ∵， ∴有最大值，最大值为80， 即菜园面积的最大值为， 故答案为：80． （2）解：设菜园的垂直于墙的边为，则平行于墙的边为，菜园面积为，则有： ． ∵， ∴， ∴ ∴当时，有最大值，最大值为， 即菜园面积的最大值为． （3）解∶当时， 菜园面积的最大值为， 当时， 菜园面积的最大值为， ∵菜园面积的最大值之和为 ∴， 整理得， ∴， ∵a、b都是正整数， ∴是16是因数， ∴，，，，， ∴或（舍去）或或（舍去）或或（舍去）或或（舍去）或或（舍去）， 又， ∴或或， 故答案为：或或． 10．（2025·江苏盐城·一模）如图 1 ，一个小球以的初速度，在一条足够长且平直的轨道上运动．轨道初段绝对光滑；除段外，剩下轨道粗糙．小球在绝对光滑轨道上不存在阻力；在粗糙轨道上，存在恒定的摩擦力，速度会逐渐减小，直至停止．小球运动过程中，其速度与时间之间的关系如图2所示，其路程与时间之间的关系如图3所示（段是抛物线 的一部分）． (1)轨道初段的总长为 ；小球在粗糙轨道（图中射线上）运动时，与之间的函数关系式为 ； (2)若测得小球从开始出发到最终停止，行进的总路程为，如果直线与抛物线有且只有一个交点，则称线段与抛物线光滑连接．请你通过计算和推理判断线段与抛物线是否光滑连接？ (3)在（2）的条件下，在射线上，是否存在一节长为的轨道段，使得小球在通过该段过程中，所用时间恰好为．若存在，请求出这节轨道的起点与点A之间的距离；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)线段与抛物线能光滑连接 (3)存在，这节轨道的起点与点A之间的距离为 【分析】本题考查二次函数的应用，关键是用待定系数法求出函数解析式． （1）由图2可以得出轨道初段的总长，再用待定系数法求出v与t的函数解析式； （2）设出抛物线的顶点式，再把点代入解析式求解即可；求出解析式，再联立直线和抛物线所组成的方程组，根据判别式得出结论； （3）假设存在这节轨道，且小球第m秒行驶至轨道起点，则第秒行驶至轨道终点，由小球在通过该段过程中，所用时间恰好为，求出m的值，再把m的值代入抛物线解析式求出轨道的起点与点A之间的距离． 【详解】（1）解：由图2可知，轨道初段的总长为； 设， 则， 解得， ∴， 故答案为：40；； （2）解：由题意，Q为顶点，设， 则， 把代入解析式得：， 解得（舍去）， ∴； 设直线表达式：，代入，有， 即， 联立， 得， ∵， ∴直线与抛物线有且只有一个交点P，且直线不与抛物线对称轴平行，故线段与抛物线光滑连接； （3）解：假设存在这节轨道，且小球第m秒行驶至轨道起点，则第秒行驶至轨道终点， 由题意得：， 解得：， 当时，， ∴轨道起点与点A之间的距离为． 11．（2025·江苏苏州·二模）在“多‘盔’有你”交通安全宣传月期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶40元，售价为每顶68元，平均每周可售出100顶，商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于58元但不低于进价，经调查发现：每降价2元，平均每周可多售出40顶． (1)若每顶头盔降价10元，则平均每周售出_______顶，共获利________元； (2)若该商店希望平均每周获利4000元，则每顶头盔应降价多少？ (3)商店降价销售后，决定每销售1顶头盗就向某慈善机构捐赠m元（m为整数，且）帮助做“交通安全”宣传．捐赠后发现，该商店每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大，求m的值． 【答案】(1)300，5400 (2)每顶头盔应降价20元 (3)或4 【分析】本题主要考查了有理数混合运算、一元二次方程的应用、二次函数的应用等知识，正确理解题意是解题关键． （1）根据“每降价2元，平均每周可多售出40顶”列式求解即可； （2）设每顶头盔应降价元，根据题意列出关于的一元二次方程并求解，结合题意即可获得答案； （3）设每周扣除捐赠后可获得利润为元，每顶头盔售价元，根据题意可得，知该函数图像的对称轴为，开口向下，根据当时，利润仍随售价的增大而增大，可知，进而解得，结合题意即可获得答案． 【详解】（1）解：根据题意，可知若每顶头盔降价10元， 则平均每周售出顶， 共获利元． 故答案为：300，5400． （2）设每顶头盔应降价元， 根据题意，可得， 整理可得，， 解得，， 当时时，售价为元； 当时时，售价为元； ∵每顶售价不高于58元， ∴每顶头盔应降价20元． （3）设每周扣除捐赠后可获得利润为元，每顶头盔售价元， 根据题意，得 ， 则该函数图像的对称轴为，开口向下， 当时，利润仍随售价的增大而增大， ∴，解得， ∵，且为整数， 或4． 12．（2025·江苏南京·模拟预测）二次函数表达式中的二次项系数a有何几何意义？ 【理解a的几何意义】 （1）图①是二次函数（a，h，k为常数， ）的图象，观察图象，用含a和k的式子填写下表：          　　                 　　                 　　                 　　        （2）若点在二次函数（a，p，q为常数，）的图象上，则 ．（用只含s，t，p，q的式子表示） 【运用a的几何意义】 （3）图②是一抛物线形状的桥拱的截面图，桥拱内的水面的宽度为n，拱顶到水面的距离为．梅雨季节，水面上升，桥拱内的水面宽度随之减小，当拱顶到水面的距离为时，直接写出此时桥拱内的水面的宽度．（用只含n的式子表示） 【答案】（1），，，；（2）；（3）水面的宽度为 【分析】本题考查二次函数的应用，关键是求出二次函数解析式． （1）分别把，，，代入求值即可； （2）把代入求出即可； （3）建立适当坐标系，用待定系数法求出函数解析式，再把代入解析式求出即可． 【详解】解：（1），，为常数，， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 故答案为：，，，； （2）点在二次函数，，为常数，的图象上， ， ， ， 故答案为：； （3）以所在直线为轴，以所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图： 此时，， 设拱桥所在抛物线的解析式为， 把点坐标代入解析式得：， 解得， 抛物线的解析式为， 当拱顶到水面的距离为时，此时， 即， 解得， 水面的宽度为． 13．（2025·江苏盐城·二模）学科实践 “科学减重，健康生活”，携手共建健康中国．国家卫生健康委员会提出“体重管理年”3年行动的号召、合理膳食、加强运动已成为人们对健康生活的共识．跳绳是常见的有氧减肥的方法．“博约”学习小组对跳绳运动的心率与时间关系展开了研究．（图1数据来自于初三某班级男生平均值）    【初步思考】 通过运动心率与时间散点图，研究小组准备建立某种函数模型（函数拟合）加以研究： 甲：心率不会随时间的增加而不断增加，也不会明显下降，一次函数不太合理； 乙：运动一段时间后，心率应该趋于相对稳定； 丙：所以二次函数也不能很好地预测长时间运动后的心率情况； 丁：我们可以建立将反比例函数图像经过适当平移后的函数模型． 设拟合函数为： 【问题解决】 (1)如图，若选取，，进行拟合，经计算，请求出拟合函数表达式． (2)从健康角度考虑，中学生运动中的心率不宜超过200次/分钟，在（1）的条件下，请问：跳绳运动几分钟后就应该休息一下？ (3)①根据图像变换，（1）中图像可由的图像向左平移___________个单位，再向上平移___________个单位得到； ②点在（1）中图像上运动，且位于直线左侧，当点到直线距离最大时，达到最佳运动心率，请直接写出达到最佳运动心率的时间． 【答案】(1)； (2)分钟； (3)①75，230；②秒． 【分析】（1）把值和其中两个点代入函数，得到关于、的方程组，解方程组即可得到、的值，进而确定函数表达式． （2）令函数值，代入拟合函数表达式，求解关于的方程，得到的值就是跳绳后应该休息的时间（单位：秒），再将其转化为分钟． （3）①根据函数图象平移“左加右减，上加下减”的原则，对比两个函数的形式，确定和方向上的平移量． ②当与直线平行的直线与曲线相切时，切点到直线的距离最大．因为平行直线间距离处处相等，而在曲线与平行于的直线的位置关系中，相切时的切点是距离最远的点（在曲线一侧）．进而列方程求解即可． 【详解】（1）解：将，，代入，得到 ． 用第二个方程减去第一个方程消去： 解得或（舍去，因为 ）． 把代入，可得，， 解得． ∴拟合函数表达式为． （2）解：令，可得． 解得秒， 分钟． ∴跳绳运动分钟后就应该休息一下 （3）解：①函数到，根据“左加右减，上加下减”原则，变为，图象向左平移了个单位；整体加，图象向上平移了个单位． 故答案为：75，230； ②设与直线平行的直线方程为． ∵该直线与曲线相切时，该切点到的距离最大， ∴联立方程， 得到． ∴． ， ． ∵直线与曲线相切， ∴联立后的一元二次方程的判别式． ∴． ∴． ∴的解为， ∴（舍去）或， ∴最佳运动心率的时间为秒． 【点睛】本题综合考查函数相关知识，关键在于：熟练掌握用待定系数法求函数表达式，通过代入已知点坐标构建方程组求解未知参数．理解函数图象平移规律“左加右减，上加下减”，准确分析函数形式变化确定平移量．利用根的判别式解决最值问题． 14．（2025·江苏泰州·二模）综合实践项目主题：从函数角度探究“大型滑滑梯的设计”． 抽象建模 如图1为滑滑梯实物图．首先，把滑滑梯的滑道抽象地看成一条曲线，如图2所示．其次，建立平面直角坐标系：以水平面为x轴，过曲线最高点A垂直于水平面的直线为y轴，探究发现该曲线整体不是单一的二次函数或反比例函数图像的一部分，但可近似看成是某个二次函数图像一部分与某个反比例函数图像一部分的结合．整条曲线共为、、三段，其中，曲线为冲刺部分，曲线为缓冲部分，曲线为降速部分． 数据与定义 已知，，．现给出如下定义：对于二次函数，称作该二次函数图像的“曲度”；对于反比例函数，称作该反比例函数图像的“曲度”．点P到曲线竖直距离是指：点到曲线上横坐标为的点的距离． 问题解决 (1)从二次函数及反比例函数图像特征看，降速部分是________（只需填序号：①二次函数图像的一部分②反比例函数图像的一部分）； (2)根据曲度的定义，为使滑梯更安全，曲线所在的函数图像“曲度”应该调________（填“大”或“小”）； (3)兴趣小组发现整条曲线各段所在函数图像的“曲度”是一致的，且缓冲部分曲线是冲刺部分曲线或降速部分曲线所在函数图像的一部分，为进一步验证，可计算曲线上一点到这两段曲线所在函数图像的竖直距离，通过比较距离大小来判断（距离越小，则属于该函数的图像的可能性越大）．现测得缓冲部分一点，通过计算判断曲线更可能是哪段曲线所在函数图像的一部分． 【答案】(1)② (2)小 (3)曲线更可能是段曲线所在函数图像的一部分 【分析】本题考查二次函数与反比例函数的应用以及待定系数法求解析式，熟练掌握二次函数与反比例函数的性质是解题的关键． （1）根据题意结合反比例函数的性质即可求解； （2）根据抛物线的性质，曲度的定义，为使滑梯更安全，“曲度”应该调小， （3）待定系数法求得反比例函数解析式，进而可得，再将，代入，再待定系数法求解析式，分别求得纵坐标，和的纵坐标比较，即可求解． 【详解】（1）解：∵段的函数值越来接近，符合反比例函数的特征， ∴降速部分是反比例函数图像的一部分， 故答案为：②． （2）曲线所在的函数图像为二次函数，根据曲度的定义，为使滑梯更安全，抛物线开口要增大，即“曲度”应该调小， 故答案为：小． （3）解：∵在上， 代入得，， ∴ ∵“曲度相等” ∴ ∵二次函数经过，， ∴ 解得： ∴ 当代入得，， ∴ 当代入得，， ∴ ∴ ∴段更可能是段曲线所在函数图像的一部分． 15．（2025·江苏南通·一模）12月2日是“全国交通安全日”，小明同学在学习交通安全知识后，对交通法规产生了兴趣，下面是他和父亲的聊天记录． 请根据以上知识解决下列问题： 已知高速某段区间测速路段长．最低限速是，最高限速是．设汽车通过该路段的平均速度是，时间为． (1)直接写出与的函数关系式及的范围（不违反交通法规）； (2)甲车通过该路段时，以的速度行驶，余下的路程以原速的倍的速度行驶．通过该路段的时间为，求的值． 【答案】(1)， (2)的值为80 【分析】本题考查了反比例函数的应用，分式方程的应用． （1）根据路程=速度时间，可求出与的函数关系式，再利用最低限速和最高限速，求解即可得到的范围； （2）根据“通过该路段的时间为”列分式方程，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，， 最低限速，时，； 最高限速，时，； ∴的范围为； （2）解：前用时，， 剩余用时，， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且在的范围内，符合题意． 16．（2025·江苏盐城·一模）【发现问题】如图1，在一根长的铁丝上任取一点弯折后，再连接形成（如图2），当点在不同位置及取不同的大小时，的面积也不同．         【提出问题】的面积是否存在最大值？ 【分析问题】由于点的位置及的大小都是不确定的，故可借助函数关系式来探究．设，．对于，可以先确定几个特定的便于计算的角度进行尝试，然后再推广到一般的情形． 【解决问题】 (1)如图3，当时，试求与的函数关系式，并判断此时的面积是否存在最大值？如果存在，的值为多少？ (2)当时，记为，当时，记为，若存在一个的值，使得，请求出的长； (3)的面积是否存在最大值？如果存在，最大值是多少，此时的多大，点在什么位置？如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)，的面积存在最大值， (2)的长为或 (3)的面积存在最大值，最大值是，此时，点是的中点 【分析】（1）先构建图形，求解，再利用面积公式建立函数关系式即可； （2）当时，利用面积公式可得．当时，过作于，则，可得，再利用面积公式可得，利用，再建立方程求解即可； （3）分两种情况结合（1）（2）得出函数关系式，再结合函数性质即可得结论． 【详解】（1）解：此时的面积存在最大值，理由如下： 如图，过点作于点， 设，． 在中，，， ． ， ， 有最大值，此时的面积存在最大值， 当， ． （2）解：当时，． 当时，如图， 过作于， ， ， ， ， ， 解得：，， 的长为或． （3）解：的面积存在最大值，理由如下： 由（1）（2）可得： 当为锐角或直角三角形时， ， 当为钝角三角形时， ， 当时，有最大值是，此时，点是的中点． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，二次函数的应用，二次函数的图象与性质，熟练利用数形结合的方法是解题关键． 17．（2024·江苏连云港·一模）张老师在中考总复习二次函数时，对九下教材第8页练习3（3）进行变式探究：如图，用长为的护栏围成一块靠墙，中间用护栏隔开的矩形花圃,其中，且墙长为． (1)设，矩形花圃的面积为．则y关于x的函数关系式为__________，x的取值范围为__________； (2)求矩形花圃面积的最大值； (3)在（2）的情况下，若将矩形和矩形分别种植甲、乙两种鲜切花．甲种鲜切花的年收入（单位：元）与种植面积的函数关系式为；乙种鲜切花的年收入（单位：元）与种植面积的函数关系式为，若两种鲜切花的年收入之和达到28800元，求的长． 【答案】(1)； (2)300平方米 (3)18米或11米 【分析】（1）先求出，利用矩形面积公式求出函数关系式，由得到x的取值范围； （2）利用自变量的取值范围，结合抛物线的增减性即可得到答案； （3），，设，则，根据题意列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴矩形的面积， ∵， ∴， 故答案为：；． （2）解：， ∵， ∴抛物线开口向下， 令， ∵， ∴y随x的增大而减小， ∴当时，y最大值为， ∴矩形花圃面积的最大值为； （3）解：当时，，， 设，则，则： ，， ∴， ， ∵两种鲜切花的年收入之和达到28800元， ∴， 解得：，， 答：的长为或． 【点睛】此题考查了二次函数的实际应用，二次函数的性质与图象，求不等式组的解集，一元二次方程的应用，正确理解题意列得函数关系式是解题的关键． 18．（2025·江苏扬州·三模）将小球（看作一点）从距离地面高的点处向右发射，建立如图所示的平面直角坐标系，小球沿抛物线运动． (1)若当小球运动的水平距离为1m时，小球达到最大高度． ①求小球达到的最大高度； ②当小球前方无障碍物时，求小球落地时的水平距离． (2)若小球的正前方（）处有一个截面为长方形的球筐，其中，，若要使小球落入筐中（小球落在点或均视为入框），求的取值范围． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①根据当小球运动的水平距离为时，小球达到最大高度可求b，然后把代入解析式可求C，最后把解析式化为顶点式即可求解； ②令，得出，然后解方程即可求解； （2）先根据求出c，然后求出E、F的坐标，再分别E、F的坐标代入函数解析式求出b的值，最后数形结合观察图形即可得出答案． 【详解】（1）解：①∵当小球运动的水平距离为时，小球达到最大高度， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得， ∴， 由题意知抛物线经过， ∴， ∴ ∴， ∴当时，y有最大值， ∴小球达到的最大高度为； ②令，则， 解得，， ∴球落地时的水平距离为； （2）解：由题意知抛物线经过， ∴， ∴， 根据题意知，， 当抛物线经过时， 则， 解得， 当抛物线经过时， 则， 解得， ∴要使小球落入筐中，则． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，其中涉及到二次函数顶点坐标的求解方法，待定系数法求二次函数的解析式，难度适中利用数形结合与方程思想是解题的关键． 19．（2025·江苏镇江·二模）【阅读材料】 材料1：驾驶员从发现前方危险到做出刹车或者变道反应需要一定的时间，称为反应时间，这个时间会因为多种因素而有所不同，一般在秒到秒之间．在这段时间内，车辆仍然会以原有速度行驶一段距离． 材料2：自动驾驶的汽车，在遇到前方有突发情况时，会紧急避障，紧急避障路径可以用一个函数来描述，但这个函数的具体形式会取决于所使用的避障算法和传感器数据． 【问题情景】 (1)情景1：一辆行驶的汽车，若发现正前方有障碍物，司机采取紧急刹车反应时间为1秒钟． ①若正前方障碍物在处，则该车采取积极刹车后______避免（填“能”或“不能”）撞上障碍物． ②若该汽车从开始刹车到完全停止的滑行距离为30米，在不考虑其他因素的情况下，该汽车与同车道行驶的前车至少要保持的安全车距为______米． (2)情景2：若一辆具有AI辅助驾驶功能的（具有紧急主动避障功能）小汽车在总宽为12m的单向车道上以向东行驶，已知汽车距离左侧路沿2m． ①如图1，汽车在点处雷达感应到在左侧路边前方20m处突然有一不明物体以一定的速度向正南方向移动，智能驾驶系统立即计算并改变了行驶轨迹，其行驶轨迹的函数（即汽车距离右侧道路的距离（米）与汽车向东水平前进的距离（米））的表达式为，当汽车向东水平前进的距离为时，不明物体向正南方向移动了，这辆小汽车此次避障算法是否安全可靠？ ②如图2，若该汽车继续行驶至某个时刻，汽车在距离左侧车道2米处的处感应到前方因为施工而设置的路障（点在左侧路边），此时汽车智能驾驶系统迅速根据收集的数据计算并设定了一条抛物线（顶点为点）的行驳路径（直至行驶到安全区域再向前直线行驶），并建立了如图所示的平面直角坐标系，通过汽车AI系统计算得到直线的表达式为．若汽车与路障最小安全距离为，为保证行驶安全，求汽车智能驾驶系统设定的抛物线中，的最大值是多少． 【答案】(1)①不能；②50 (2)①可靠；②a的最大值为 【分析】题目主要考查二次函数的实际应用，解三角形，一次函数的平移等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． （1）①利用速度乘以时间得出反应距离，然后比较即可；②根据题意，反应距离加刹车距离即可求解； （2）①直接代入函数解析式确定，结合题意得出不明物体B在汽车正北方向2米，即可求解；②根据题意先确定，设直线与x轴交于点F，得出，由正切函数得出，设平行于直线的直线的函数表达式为，且与x轴交于点E，过点E作于点G，确定 ，得出，由待定系数法确定，根据题意当抛物线与直线相切时，a的值最大，联立两个函数求解即可． 【详解】（1）解：（1）①根据题意得：， ∴该车采取积极刹车后不能避免撞上障碍物， 故答案为：不能； ②根据题意得：米， 故答案为：50； （2）①当汽车向东水平前进的距离为时， ， ∵不明物体向正南方向移动了， ∴米， ∴此时不明物体B在汽车正北方向2米， ∴此次避障算法安全可靠； ②∵直线的表达式为， ∴当时，，解得：， ∴， 设直线与x轴交于点F， ∴当，，解得：， ∴， ∴， ∴， 设平行于直线的直线的函数表达式为，且与x轴交于点E，过点E作于点G，如图所示： ∴， ∴， ∵汽车与路障最小安全距离为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 代入得， ∴， 根据题意当抛物线与直线相切时，a的值最大， 设抛物线的解析式为， 令， 整理得：， ， 解得：， ∴a的最大值为． 20．（2025·江苏盐城·二模）双目视觉测距是通过左、右两个相机从不同视角观测同一目标，计算视差（目标在左右图像中的位置差异）从而推算出目标距离的方法． 【结构认识】 如图1是双目视觉测距的平面结构图．两个相机平行放置，其投影中心点，的连线叫做基线，距离为，基线与相机的左、右投影面（两投影面的长均为）均平行，基线到投影面的距离为相机焦距，（，，是同型号双目相机中内置的不变参数），两投影中心点，分别在左、右投影面的垂直平分线上．根据光的直线传播原理，可以确定物体目标点在左、右相机的成像点分别用点，表示，，分别是左、右成像点到各投影面左端的距离． 【概念学习】 ①视差：物体目标点在左、右相机的视差． ②感应区：在基线上方的平面区域中，若物体目标点在左、右投影面均能形成成像点，则该区域称为感应区． ③盲区：在基线上方的平面区域中，若物体目标点在左、右投影面均不能形成成像点，则该区域称为盲区（如图2，物体目标点在某一盲区内）． 【原理感知】 如图3，两投影面的长均为，表示目标点到基线的距离，可证得，，可得，，，所以…（部分证明过程省略） 【灵活运用】 (1)①填空：图2中，、、、是四个目标点，除点外，盲区内还有点 ；（填字母） ②画图：请在图2中画出感应区边界，并用阴影标示出感应区． (2)如图3可知，用表示为，则与的关系为．结合【原理感知】的部分内容，某双目相机的基线长为200 mm，焦距为5 mm，直接写出位于感应区的目标点到基线的距离（mm）与视差（mm）之间的函数关系式． (3)如图4，小明用（2）中那款双目相机（投影面长为12 mm）正对天空连续拍摄时，一物体正好从相机观测平面的上方从左往右飞过．已知的飞行轨迹是抛物线的一部分，且知，当刚好进入感应区时（即点P的位置），mm，当刚好经过点的正上方时，视差mm，在整个成像过程中，出现最小值 mm． ①当刚进入感光区，目标物到基线的距离m． ②小明以水平基线为轴，右投影面的中垂线为轴，建立了如图4所示的平面直角坐标系，则该抛物线的表达式为． ③求物体刚好落入“盲区”时，距离基线的高度． 【答案】(1)①B；②见解析； (2)；；； (3)①25；②；③． 【分析】本题考查函数的实际问题，读懂题意找准数量关系是解题的关键． （1）①根据“盲区”的定义作答即可； ②利用感应区的定义作图即可； （2）根据题意用表示即可；根据【原理感知】找出相关量即可； （3）①先求出再根据计算即可； ②先根据题意确定抛物线上点的坐标，然后利用待定系数法求出函数解析式即可； ③由盲区的定义可知当M在直线的右侧时，进入盲区，利用方程组解题即可． 【详解】（1）①画出投影面边界如图所示： 由图可知除点外，盲区内还有点B， 故答案为：B ②如图所示∶ （2）如图3可知，同理可得用表示为，则与的关系为； 由图可知， ∴， ∵ ∴ 即 即； 故答案为：；；； （3）①解：如图，刚好进入感应区时， 则，必有一个为0 ∵ ∴ 此时 此时， 故答案为：25； ②， ， 可得，所在直线解析式为： ， 令， 得， 即 ． 当经过点的正上方时， 视差，此时， ， ∴抛物线与轴交点的坐标为， 即抛物线对称轴为直线， 当d出现最小值mm时， ∴抛物线顶点坐标为 设该抛物线的表达式为， 则 解得： 所以，抛物线解析式为； ③由， ，可得直线的解析式为， 得， 解得，(舍) 此时， ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 函数的实际应用题 目 录 01 析·考情目标 02 筑·专题框架 03 攻·重难考点 考点一 函数的实际应用题（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 真题动向 题型一：从函数图象中获取信息 题型二：一次函数中的最大利润问题 题型三：一次函数中的行程问题 题型四：一次函数中的分配问题 题型五：反比例函数中的实际问题 题型六：二次函数中的销售问题 题型七：二次函数中的拱桥、隧道问题 题型八：二次函数中的投球问题 题型九：二次函数中的几何应用 题型十：函数与实际问题（新情境） 题型十一：函数与实际问题（函数综合问题） 必备知识 知识1 一次函数的实际应用 知识2 反比例函数的实际应用 知识3 二次函数的实际应用 命题预测 命题透视 1. 命题形式：呈现 “新材料、新情境、新问题”的特点，以文字、图表、表格、函数图像为主要载体，聚焦核心素养考查，常融入家国情怀、社会热点（如经济发展、科技应用、民生工程），强调数学建模与应用意识。 2.命题内容 1）一次函数：侧重方案选择、费用优化、行程分析等，是高频考查的基础应用模型。 2）二次函数：以利润最大化、面积/建筑设计、抛物线型工程问题为核心，突出顶点最值与实际意义的结合。 4）反比例函数：以工程效率、物理规律（压强、杠杆）等为背景，考查反比例关系的实际应用。 5）综合趋势：函数与统计图表、几何图形、社会热点深度融合，强调从实际问题中抽象函数模型、分析函数性质、解决实际问题的能力，是中考命题的核心区域。 热考角度 考点 2025年 2024年 2023年 一次函数的实际应用 南京·T24：一次函数中的动点函数问题 苏州·T7：一次函数的物理应用 无锡·T25：一次函数的销售问题 南通·T9：一次函数的图象信息获取问题 南通·T24：一次函数的最大利润问题 南京·T13：一次函数的行程问题 南京·T22：一次函数实际应用的其他问题 苏州·T26：一次函数的行程问题 南通·T24：一次函数的最大利润问题 二次函数的实际应用 徐州·T27：二次函数的其他应用 南通·T24：二次函数的图形问题 无锡·T26：二次函数销售利润问题 反比例函数的实际应用 南京·T12：反比例函数的物理应用 南通·T16：反比例函数的物理应用 南通·T14：反比例函数的物理应用 命题预测 函数与实际问题的命题，将以社会热点、传统文化为背景，以文字、图像、表格为载体，重点考查一次函数方案选择、二次函数最值、分段函数计费、行程图像分析及反比例函数应用，突出数学建模与核心素养，压轴题更强调 “函数 + 几何 + 实际情境” 的综合能力。 考点一 函数的实际应用题 题型一 从函数图象中获取信息 从函数图象中获取信息，需仔细观察图象的形状、位置、趋势，准确读取点的坐标、范围、最值、单调性等信息，并结合函数解析式解决问题。 1．（2025·江苏南京·二模）A，B两地相距，甲、乙两辆列车先后从A，B两地出发，匀速相向而行，分别驶向目的地，已知乙列车的速度是甲列车速度的倍．乙列车离地的距离与甲列车出发时间之间的函数图像如图所示，其中线段轴． (1)在同一坐标系中，画出甲列车离A地的距离与之间的函数图像； (2)当甲、乙两辆列车相距时，求的值． 2．（2025·江苏淮安·一模）无人快递车在我市的城市道路上已正式“上岗”．现有一条笔直的路上依次有三个快递网点，甲车由网点地驶往网点，乙车由网点地驶往网点，两车同时出发，匀速行驶．如图是甲、乙两车分别距离网点的路程（单位：千米）与乙车行驶时间（单位：小时）之间的函数图象，结合图象信息，解答下列问题： (1)甲车的速度是_______千米/时； (2)求图象中线段的函数解析式，并写出自变量的取值范围． (3)当两车距网点的路程之和是360千米时，此时乙车的行驶时间为_______． 3．（2025·江苏南京·一模）一架巡逻机从某基地出发，出发时油箱中油量为24000升．如图①，为了确保巡逻机持续飞行，出发后每隔1小时开始对飞行中的巡逻机进行空中加油，每次加油的速度为1600升/分钟，加油时间为2分钟．飞行过程中，假设巡逻机平均每分钟的耗油量相同，巡逻机的剩余油量y（升）与飞行时间x（分钟）之间的部分关系如图②． (1)飞行过程中，巡逻机平均每分钟的耗油量为_______升；加油过程中，巡逻机油箱中油量上升的速度为_______升/分钟； (2)求线段的函数表达式，并写出点A的实际意义； (3)要使巡逻机返航时的剩余油量不低于16000升，则x的最大值为_______． 4．（2025·江苏南通·一模）五一假期，徐师傅一家驾驶一辆新能源汽车自驾游．该汽车在满电状态下电池能量为，当汽车电池剩余的电量时，电量灯变为红色，提示汽车需要充电．徐师傅在满电状态下出发，汽车的剩余电量y（%）与行驶路程x（）之间的关系如图所示． (1)当电量灯变为红色时，汽车行驶路程为 ； (2)若行驶一段时间后，徐师傅发现电量还有，离景区有，徐师傅能到达景区吗？请说明理由． (3)已知汽车快速充电功率为．徐师傅驾驶满电汽车前往距离的景区，在行驶了后，发现路边有一快速充电站，停车充电一段时间后继续行驶，当到达景区时电量灯恰好变为红色，求在充电站充电的时长．【充电量（kwh）=充电功率（kw）×充电时间（h）】 题型二 一次函数中的最大利润问题 解决一次函数中的最大利润问题，需先建立利润与自变量的一次函数关系式，确定自变量的取值范围，再根据函数的增减性（k 的符号）在取值范围内求解利润的最大值或最小值。 5．（2025·江苏南京·二模）某商场销售某种产品，销售量（单位：）与售价（单位：元）之间的函数关系如图所示． (1)当时，求与的函数关系式； (2)若产品的进价为12元，当售价为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？ 6．（2025·江苏南通·二模）小明到服装店进行社会实践活动，服装店老板让小明帮助解决以下问题：服装店准备购进甲、乙两种服装，甲种每件进价120元，售价180元；乙种每件进价100元，售价150元．计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于65件． (1)若购进这100件服装的费用不得超过11500元，则甲种服装最多购进多少件？ (2)在（1）的条件下，该服装店对甲种服装以每件优惠元的价格进行促销活动，乙种服装价格不变，那么该服装店应如何调整进货方案使这批服装获得的利润最大？ 7．（2025·江苏常州·一模）江苏省是中国重要的粮食生产基地，其大米产量在全国占据重要地位．经销商老杨购进了一批南粳1号大米和南粳2号大米进行销售，两种米的进价和价如下： 进价(元/公斤) 售价(元/公斤) 南粳1号 a 6 南粳2号 b 8 已知老杨购进400公斤南粳1号大米和100公斤南粳2号大米共需2000元；购进300公斤南粳1号大米和 200公斤南粳2号大米共需2250元． (1)求a，b的值； (2)若老杨购进两种粳米共320公斤，其中南粳2号大米的进货量不超过南粳1号大米进货量的3倍，且不低于南粳1号大米进货量的，设购进南粳1号大米x公斤，则老杨应该如何进货才能使全部售完后的销售利润y(元)最大?最大利润为多少元? 8．（2025·江苏无锡·一模）中考临近，校门口文具店生意火爆，文具店老板小张从批发商处了解到甲、乙、丙三种文具套装的部分价格如表： 价格 甲 乙 丙 批发价（元／套） 25 ________ ________ 零售价（元／套） 30 25 35 (1)已知小张第一次批发购进乙260套，丙200套，共花费7900元，且乙每套的批发价比丙低5元，求乙、丙每套的批发价； (2)在（1）的条件下，由于销量好，第一次购进的文具套装全部售完，小张用第一次的销售额全部用于第二次批发购进甲、乙、丙三种文具套装，且购进乙、丙套装的数量相等，但乙的批发价每套比原来提高，丙的批发价每套比原来下降．设第二次销售完这三种文具套装所得利润为元，当甲的数量不少于130套时，求的最大值． 题型三 一次函数中的行程问题 解决一次函数中的行程问题，需先分析题意，建立路程与时间的一次函数关系式，理解图象中斜率（速度）和截距（初始位置）的意义，再根据函数或图象解决相遇、追及等问题。 9．（2025·江苏南京·模拟预测）一支队伍以匀速前进，排尾的传令兵因传达命令，以的速度赶赴排头，到达排头后立即原速返回．假设传令兵第与排尾的距离为．传令兵从排尾赶赴排头的过程中，s与t之间的函数图象如图所示． (1)在图中画出传令兵从排头返回排尾的过程中s与t之间的函数图象； (2)若队伍长，求传令兵从排头回到排尾所走的路程． 10．（2025·浙江温州·二模）某无人机社团正在进行表演训练，无人机甲从地面起飞，以的速度匀速上升，后无人机乙从同一地面起飞，以的速度匀速上升，无人机乙起飞后与无人机甲位于同一高度．两架无人机表演训练时距地面的高度均为，无人机距地面的高度与时间之间的函数图象如图所示． (1)求a，b的值． (2)求无人机乙在上升期间高度与时间的函数关系式（标出x的取值范围）． (3)直接写出两架无人机在飞行过程中高度相差时x的值． 11．（2025·江苏南京·二模）如图①所示，沪宁高速公路可近似看作一条直线．一辆货车以的速度从南京出发匀速驶往上海；同时，一列轿车以的速度从苏州出发匀速驶往上海，停留后，按照原速度继续开往南京，最终两车同时到达目的地．设货车行驶的时间为，货车与南京的距离，轿车与南京的距离． (1)在图2中，分别画出和补全关于t的函数图象； (2)分别求苏州到上海的距离，南京到上海的距离； (3)若镇江距离南京90 km，直接写出货车和轿车经过镇江的时间间隔． 12．（2025·江苏苏州·二模）如图，南北向的星港街与东西向的现代大道可以看成互相垂直的两条直线，十字路口记作点，星港街上的点与点的距离为． (1)若甲从点出发，骑车向北匀速直行；同时，乙从点出发，沿现代大道步行向东匀速直行．设出发分钟后，甲、乙两人与点的距离分别为、．当和时，都有． ①则甲的速度是__________，乙的速度是__________； ②求与的函数关系式； (2)若甲从点先出发，骑车向北匀速直行；1分钟后，乙从点出发，沿现代大道步行向东匀速直行．当甲到达点时休息了1分钟，然后继续向北骑行．已知两人各自保持（1）中的速度不变，求甲出发多长时间，两人与点的距离相等? 题型四 一次函数中的分配问题 解决一次函数中的分配问题，需先分析题意，建立两个分配对象数量之间的一次函数关系式，确定自变量的取值范围（通常为非负整数），再根据函数性质和取值范围解决最优分配等问题。 13．（2025·江苏南京·模拟预测）为了提升社区居民的健康水平和生活质量，市政府决定对社区内的健身设施进行全面升级计划，采购两种不同类型的健身器材共720台．经过市场调研，发现A种器材的价格y（百元/台）与采购数量x之间的函数关系如图所示，而B种器材的价格为固定值30百元/台． (1)当时，求出y与x的函数关系式，并写出x的取值范围． (2)假设A种器材采购数量不低于60台，且B种器材采购数量不低于A中器材采购数量的3倍．如何分配两种器材的采购数量才能使采购费用w（百元）最少？最少是多少？ 14．（2025·江苏宿迁·一模）姚明将带队来我市体育馆进行表演比赛，市体育局在策划本次活动，在与单位协商团购票时推出两种方案．设购买门票数为（张），总费用为（元）． 方案一：若单位赞助广告费8000元，则该单位所购门票的价格为每张50元；（总费用＝广告赞助费+门票费） 方案二：直接购买门票方式如图所示． 解答下列问题： (1)方案一中，与的函数关系式为 ；方案二中，当时，与的函数关系式为 ，当时，与的函数关系式为 ； (2)如果购买本场篮球赛门票超过100张，你将选择哪一种方案，使总费用最省？请说明理由； (3)甲、乙两单位分别采用方案一、方案二购买本场篮球赛门票共700张，花去总费用计56000元，求甲、乙两单位各购买门票多少张． 15．（2025·四川绵阳·一模）当今，越来越多的青少年在观看影片《流浪地球》后，更加喜欢同名科幻小说，该小说销量也急剧上升，书店为满足广大顾客需求，订购该科幻小说若干本，每本进价为20元，根据以往经验：当销售单价是25元时，每天的销售量是250本，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10本，书店要求每本书的利润不低于10元且不高于18元． (1)直接写出书店销售该科幻小说时每天的销售量y（本）与销售单价x（元）之间的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当销售单价定为多少时，书店每天销售利润最大？最大利润为多少元？ (3)书店决定每销售1本该科幻小说，就捐赠元给困难职工，每天扣除捐赠后可获得最大利润为1960元，求a的值． 16．（2025·河南开封·一模）春节期间，某商场对某类商品推出两种优惠活动，并规定购物时只能选择其中一种优惠． 活动一：所购商品均按原价八折出售； 活动二：所购商品按原价每满200元减50元． (1)若购买原价为320元的该商品，选择活动一时需付______元，选择活动二时需付______元． (2)若设某商品原价为x元，当时，请分别写出选择这两种活动的实付金额y（元）与原价x（元）之间的函数表达式，并说明选择哪种活动更省钱． 题型五 反比例函数中的实际问题 17．（2025·江苏盐城·二模）一定质量的二氧化碳，它的体积与它的密度之间成反比例函数关系，其图像如图所示． (1)试确定V与之间的函数表达式； (2)要使密度不高于，求的取值范围． 18．（2025·浙江丽水·二模）制作某种金属工具要进行煅烧和锻造两个工序，即将材料由烧到后立即开始锻造操作，当材料温度低于时，须停止锻造并立即进行再次煅烧．每次煅烧温度上升的速度相同，煅烧过程温度与时间成一次函数关系，第一次锻造造时温度与时间成反比例函数关系，开始制作后第8分钟材料的温度为． (1)求第一次锻造操作的时长； (2)求第二次开始锻造的时间． 19．（2025·贵州遵义·模拟预测）某研究性学习小组通过调查发现，在一节40分钟的课中，学生的注意力会随时间的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐渐集中，中间一段时间保持较为理想的稳定状态，随后开始分散．经试验分析可知，学生的注意力指数y随时间x（分）的变化规律如图所示，其中线段的函数表达式为：，线段持续的时间恰为10分钟，曲线为反比例函数图象的一部分． (1)求m的值及曲线的函数表达式，并写出取值范围． (2)若一道数学难题，需要讲解16分钟，为了效果较好，要求学生注意力指数y不低于64，那么老师能否在学生注意力全程达到要求的状态下讲解完这道题？请说明理由． 20．（2025·山东青岛·模拟预测）在中国大陆长达万公里的海岸线上，屹立于黄海之滨的崂山“试比天高”，其山脉以主峰为中心向四方延伸，演绎着山海相依的浪漫和道法自然的美学．小飞一家在崂山风景区开了一家超市，为迎接将要到来的旅游黄金季（每年5月到10月），小飞拿出了去年对某种矿泉水（如图1）销售情况的统计数据进行参考，提供如下信息： ①工商管理局规定：该矿泉水零售价不得高于元/瓶 ②统计售价（元/瓶）与需求量的数据：发现当售价为元瓶时，该矿泉水的需求量为箱，售价每上涨元，需求量就减少箱． ③该矿泉水的供给量关于售价（元/瓶）的函数关系如下表所示： 售价（元/瓶）      ④月份该矿泉水的售价（元/瓶），（元/瓶）关于月份的函数表达式分别为，，函数图象见图2 ． (1)写出需求量和供给量关于售价（元/瓶）的函数关系式． (2)哪个月出售这种矿泉水每瓶获利（元/瓶）最大？并说明理由． (3)求该矿泉水需求量与供给量相等时的售价，以及按照该价格出售获得的总利润． 题型六 二次函数中的销售问题 解决二次函数中的销售问题，需先建立利润（或销售额）与销售单价的二次函数关系式，确定自变量的取值范围，再利用配方法求利润的最大值或最小值。 21．（2025·江苏连云港·模拟预测）某商家计划在暑期销售一款非遗文创产品，根据市场分析，该产品的单价将随销售周期的变化而变化．设该产品在第为正整数）天的单价为元，与之间满足如图所示的一次函数关系． (1)求与的一次函数关系式． (2)设该产品在第天的销售数量为，与的关系可以用 来描述．那么，哪天的销售额最大？此时该产品的单价是多少元？ 22．（2025·江苏宿迁·三模）近两年直播购物逐渐走进了人们的生活，某电商在网络平台上对一款成本价为120元的商品进行直播销售，如果按每件200元销售，每天可卖出40件．通过市场调查，该商品售价每降低1元，日销售量增加2件，设每件商品降价元． (1)每件商品降价元时，日销售量为______件： (2)若日销售盈利为4800元，为尽快减少库存，的值应为多少； (3)设日销售盈利为元，当为何值时，取值最大，最大值是多少？ 23．（2025·江苏无锡·二模）五月，正值花果繁茂时节，某市的枇杷新鲜上市．小明以32元/千克的价格购进一批枇杷进行销售，运输成本是6元/千克（运输费用按照进货质量计算），运输过程中枇杷将损坏5%，损坏的枇杷无法销售，完好的枇杷均销售完，假设不计其他费用． (1)小明把购进的枇杷售完至少定价为多少元才不会亏本？ (2)在销售过程中，商店发现每天枇杷的销售量（千克）与销售单价（元/千克）之间的函数关系如图所示，若每天销量至少36千克，那么当销售单价定为多少时，每天获得的利润最大?最大利润是多少? 24．（2025·江苏连云港·一模）请根据以下素材，完成表格中信息整理和两个探究任务． 制定购买方案 问题背景 背景1 ◆在征文活动中，学校计划对获得一、二等奖的学生分别奖励一支钢笔，一本笔记本．已知钢笔每支元，笔记本每本元． ◆经与商家协商，购买钢笔超过支时，每增加一支，单价降低元；超过支，均按购买支的单价销售．笔记本一律按原价销售． 背景2 学校计划奖励一、二等奖学生共计人，其中一等奖的人数不少于人，且不超过人． 信息整理 设奖励一等奖学生人，列表如下： 一等奖人数范围 钢笔支数 钢笔单价 笔记本本数 笔记本单价 __________ __________ 探究任务1 建立数学模型 设购买总额元，求关于的函数表达式． 探究任务2 拟定购买方案 制定购买奖品金额最少的购买方案． 题型七 二次函数中的拱桥、隧道问题 解决二次函数中的拱桥、隧道问题，需先建立合适的平面直角坐标系，根据顶点和其他点的坐标求出二次函数解析式，再利用解析式解决拱高、跨度等实际问题。 25．（2025·山西晋中·二模）综合与实践 问题情境：山西的窑洞是中国黄土高原传统民居，它不仅是当地居民适应自然环境的智慧结晶，也承载着深厚的历史记忆和地域文化．图1是小红家乡刚建好的窑洞及内部结构图，图2是某装修公司承揽窑洞装修任务后设计出的窑洞内部墙面及顶部装修示意图． 数学建模： 如图3所示是窑洞的截面图，可近似看成是由抛物线的一部分和矩形构成，已知窑洞的宽为，窑洞顶部最高点离地面，点离地面． （1）在图3中画出以点为原点，平行于的直线为轴、竖直方向为轴的平面直角坐标系，并求抛物线的函数表达式． 问题解决： （2）如图4，装修公司计划在窑洞两侧离地面的，处安装吊顶，若窑洞的深度为，求吊顶所需材料的面积（结果精确到，参考数据：）； （3）小红想在装修完工后为窑洞增添一些装饰．她计划从点到点，从点到点各拉一条彩带，并在，两处悬挂彩灯，，（，在彩带上，，）．试计算小红需要购买彩灯的总长度（结果精确到））． 26．（2025·陕西西安·三模）某校阅览室有一个拱门，其截面为抛物线型，如图所示，线段表示水平路面．现需在此抛物线型拱门左侧内壁上的点处安装一个装饰灯，图中与抛物线围成的区域是灯的光照范围，的度数可以调节．以所在直线为轴，以过点垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系．已知此拱门的最高点与的距离是2米，点到的距离为1米，点与拱门最高点的水平距离也是1米，点均在此抛物线型拱门上． (1)求此抛物线的函数表达式． (2)根据设计要求，点的横坐标为，点的横坐标为，的一边需要与轴平行．问，是否存在满足要求的点和点？若存在，请求出点的坐标及此时的度数；若不存在，请说明理由． 27．（2025·陕西西安·三模）学习抛物线内容后，数学兴趣小组的同学到户外进行实践探究活动．图1是一座三孔桥的横截面示意图，三个孔都呈抛物线型，左右两个抛物线型是相同的．如图2所示，研究小组以线段所在的直线表示水平的水面，以O为坐标原点，以所在的直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．小组通过查阅资料，了解到正常水位时，中间大孔水面宽度，顶点距离水面的高度，小孔顶点距离水面的高度．请你帮助解决以下问题： (1)求中间大孔抛物线的函数表达式； (2)若雨季来临水位上涨，大孔水面宽度小于等于10米时桥面警戒，禁止通行，请通过计算判断当小孔刚好被淹没时，此桥面可否通行？ 28．（2025·贵州遵义·一模）【活动背景】如图1，南昌复兴大桥主拱是桥梁的标志性建筑． 某兴建小组将复兴大桥主拱截面视为抛物线，若跨度为，最高点（顶点）到桥面的距离为． 【建立模型】 （1）请在图2、图3中任选一种，求出抛物线的函数表达式； 【初步应用】 （2）在（1）的条件下，在主拱与桥面之间设置等距的吊杆（垂直于桥面），共设置9根吊杆，求从左到右第3根吊杆的长度； 【拓展应用】 （3）如图4，在右边修建副拱为抛物线，与射线交于点K、F（点K在点F左边），，的顶点需在一个正方形内（包括边界，点P在点N右边），垂直桥面于点D，，求抛物线二次项系数的取值范围． 题型八 二次函数中的投球问题 29．（2025·江苏盐城·一模）如图 1 ，一个小球以的初速度，在一条足够长且平直的轨道上运动．轨道初段绝对光滑；除段外，剩下轨道粗糙．小球在绝对光滑轨道上不存在阻力；在粗糙轨道上，存在恒定的摩擦力，速度会逐渐减小，直至停止．小球运动过程中，其速度与时间之间的关系如图2所示，其路程与时间之间的关系如图3所示（段是抛物线 的一部分）． (1)轨道初段的总长为 ；小球在粗糙轨道（图中射线上）运动时，与之间的函数关系式为 ； (2)若测得小球从开始出发到最终停止，行进的总路程为，如果直线与抛物线有且只有一个交点，则称线段与抛物线光滑连接．请你通过计算和推理判断线段与抛物线是否光滑连接？ (3)在（2）的条件下，在射线上，是否存在一节长为的轨道段，使得小球在通过该段过程中，所用时间恰好为．若存在，请求出这节轨道的起点与点A之间的距离；若不存在，请说明理由． 30．如图1，弹球从原点以一定的方向拋出，弹球抛出的路线是拋物线的一部分，若弹球到达最高点的坐标为，弹球遇挡板后会反弹，反弹后的弹球的运动轨迹仍是拋物线的一部分，且开口大小和方向均与相同． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，弹球在轴的落点为A，在A处放置了一挡板，反弹后弹球运动的最大高度是． ①求点A的横坐标；②反弹后的小球是否经过点？请说明理由． (3)如图2，在第一象限内放置一挡板，挡板可以用一次函数刻画，弹球落到挡板上的点处后反弹，反弹后弹球运动的最大高度是．若第一次反弹后的弹球仍然落在挡板上，直接写出挡板端点横坐标的取值范围______． 31．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线运行，其中是铅球离初始位置的水平距离，是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度为，则铅球掷出的水平距离为________． 32．（2025·江苏盐城·中考真题）［生活观察］小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，扣杀球和网前吊球这两种击球的运动路线可以近似抽象成如下两种，如图（1）、（2）所示． ［数学建模］小明发现扣杀球的路线近似为一条直线，网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面图如图（3）所示，从点击球，击球点是拋物线的最高点，点到地面的距离，球网上端点到地面的距离，人与球网之间的距离，假设两种击球路线都经过点正上方处的点，网前吊球和扣杀球的落点分别为点、． （1）请在图（3）中建立合适的平面直角坐标系，并分别求出两种击球路线的函数表达式． ［模型应用］ （2）网前吊球的落点到球网的距离的长是_________． （3）甲在处击球，扣杀球时，羽毛球的平均速度约为．网前吊球时，羽毛球下降的高度与时间之间的关系式为．乙在看到甲击球的同时，尝试接球，从甲击球到乙能成功接球的时间至少需要．请通过计算说明，乙能接到哪种方式的击球． 题型九 二次函数中的几何应用 33．（2025·江苏南通·中考真题）综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动，已知花圃一边靠墙（墙的长度不限），其余部分用总长为的栅栏围成，兴趣小组设计了以下两种方案： 方案一 方案二 如图1，围成一个面积为的矩形花圃． 如图2，围成矩形花圃，有栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个不同矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为的进出口（此处不用栅栏）． (1)求方案一中与墙垂直的边的长度； (2)要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少米？ 34．（2025·江苏连云港·中考真题）一块直角三角形木板，它的一条直角边长，△ABC的面积为． (1)甲、乙两人分别按图1、图2用它设计一个正方形桌面，请说明哪个正方形面积较大； (2)丙、丁两人分别按图3、图4用它设计一个长方形桌面．请分别求出图3、图4中长方形的面积与的长之间的函数表达式，并分别求出面积的最大值． 35．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，某小区为美化生活环境，拟在一块空地上修建一个花圃，花圃形状如图所示．已知，，其中、两边靠墙，另外两边由20米长的栅栏围成．设米，花圃的面积为y平方米． (1)用含有x的代数式表示出的长； (2)求y与x的函数关系式并写出x的取值范围． 36．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，在矩形中，，．点P从点A出发，沿边向点B以1个单位长度/秒的速度运动，同时点Q从点B出发，沿边向点C以2个单位长度/秒的速度运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t秒． (1)当时，求的面积； (2)当t为何值时，的面积最大？最大面积是多少？ (3)是否存在某一时刻t，使的面积等于矩形面积的？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 题型十 函数与实际问题（新情境） 37．（2025·江苏南京·一模）如何设置挡板？ 如图①，点在直线上，现有一台粒子发射器在处向外连续发射粒子，发射的粒子沿抛物线运动，这些抛物线的开口方向和大小都与相同，发射出的粒子最终落在上．若在直线上的点处有一块挡板，，，由于挡板的遮挡，使得直线上存在粒子未能落到的一段线段，该线段的长记为．（粒子的反弹忽略不计） 【初步体验】 （1）如图②，若，，则_________． 【数学思考】 （2）如图③，若，，建立适当的平面直角坐标系，求的值． 【问题解决】 （3）如图，是直线上一点，是的中点，现要使发射的粒子能覆盖段的每一处，且落不到段．在满足上述要求的所有挡板位置中： （Ⅰ）直接写出最小时的的值； （Ⅱ）直接写出挡板的长的最小值． 38．（2025·江苏苏州·模拟预测）在绿化公园时，需要安装一定数量的自动喷洒装置，定时喷水养护草坪．某公司准备在一块边长为的正方形草坪（图1）中安装自动喷洒装置，为了既节约安装成本，又尽可能提高喷洒覆盖率，需要设计合适的安装方案． 说明：一个自动喷洒装置的喷洒范围是半径为的圆面，喷洒覆盖率，为待喷洒区域面积，为待喷洒区域中的实际喷洒面积． 这个问题可以转化为用圆面覆盖正方形面积的数学问题． (1)如图2，在该草坪中心位置设计安装1个喷洒半径为的自动喷洒装置，该方案的喷洒覆盖率__________． (2)如图3，在该草坪内设计安装4个喷洒半径均为的自动喷洒装置；如图4，设计安装9个喷洒半径均为的自动喷洒装置……以此类推，如图5，设计安装个喷洒半径均为的自动喷洒装置，与（1）中的方案相比，采用这种增加装置个数且减小喷洒半径的方案，能否提高喷洒覆盖率？请判断并给出理由． (3)如图6，该公司设计了用4个相同的自动喷洒装置喷洒的方案，且使得该草坪的喷洒覆盖率． 已知正方形各边上依次取点F，G，H，E，使得，设，的面积为，求y关于x的函数表达式，并求当y取得最小值时r的值． 要使喷洒覆盖率，即要求，其中为草坪面积，为喷洒面积． ∴都经过正方形的中心点， 在中，，， ∵ ∴， 在中， ∴ ∴ ∴当时，取得最小值，此时 解得：． 39．（2025·江苏苏州·二模）【综合实践】 素材1：如图①所示，两地相距千米，地位于两地之间．高铁从地出发经地匀速驶向地，高铁从地出发经地驶往地． 素材2： 5月10日高铁G234时刻表 站名 到时 发时 停留 站 ___________ ___________ 站 分 站 ___________ ___________ 5月10日高铁G235时刻表 站名 到时 发时 停留 站 ___________ ___________ 站 分 站 ___________ ___________ 两辆高铁在行驶过程中距离站的路程与行驶时间之间的函数关系如图②所示． 【问题解决】 (1)图①中，_________，_________，高铁在行驶过程中速度是___________； (2)求高铁由站往站行驶过程中距离站的路程与行驶时间之间的函数表达式； (3)求5月10日、两列高铁在相遇后两车之间距离为时的当日时刻．（提示：答“xx点xx分xx秒”） 40．（2025·江苏苏州·二模）小西和小傅在跑步机上慢跑锻炼．小西先跑，10分钟后小傅才开始跑，小傅跑步时中间休息了两次．跑步机上C档比B档快40米/分、B档比A档快40米/分．小西与小傅的跑步相关信息如表所示，跑步累计里程s（米）与小西跑步时间t（分）的函数关系如图所示． 时间 里程分段 速度档 跑步里程 小西 不分段 A档 4000米 小傅 第一段 B档 1800米 第一次休息 第二段 B档 1200米 第二次休息 第三段 C档 1600米 (1)求A，B，C各档速度（单位：米/分）； (2)小傅第二次休息后，在a分钟时两人跑步累计里程相等，求a的值； (3)若小傅第一次休息时间是第二次时间的4倍，那么t多少时，小西和小傅跑步累计里程相差520米． 题型十一 函数与实际问题（函数综合问题） 41．（2025·江苏常州·三模）在平面直角坐标系中，给出如下定义：若实数a、b、m、n满足（k为常数，），则称点是点的“k值关联点”．例如，点是点的“2值关联点”． (1)若点是点的“k值关联点”，则 且 ； (2)如图，设点是点的“k值关联点”． ①当轴时，求点Q的坐标及k的值； ②若点，当时，请直接写出点Q的坐标及k的值． 42．（2025·江苏宿迁·二模）若定义：若一个函数图像上存在纵坐标是横坐标倍的点（为常数，且），则把该函数称为“倍函数”，该点称为“倍点”，例如：“2倍函数”，其“2倍点”坐标为． (1)①判断：函数____“2倍函数”（填“是”或“不是”）； ②函数的图像上的“2倍点”的坐标为____． (2)若抛物线上有两个“3倍点”，求的取值范围； (3)若函数的图像上存在唯一的一个“倍点”，且当时，的最小值为，求的值． 43．（2025·江苏常州·三模）如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为． (1)求抛物线与直线l的函数表达式； (2)若点P是抛物线上的点且在直线l上方，连接、，求当面积最大值时点P的坐标及该面积的最大值； (3)若点Q是y轴上的点，且，求点Q的坐标． 44．（2025·江苏常州·三模）如图，平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴相交于点、点，与y轴相交于点C． (1)填空： ___________， ___________； (2)当时，函数的最大值是5，直接写出t的值是___________； (3)点C关于抛物线对称轴对称的点为E，过E作轴于F，点P为抛物线上一点，且点P在抛物线对称轴左侧，过P作轴于M，交直线于点N．若，求点P的坐标． 知识1 一次函数的实际应用 用一次函数解决实际问题：应用一次函数解决实际问题时，首先，要判断问题中的两个变量之间是否是一次函数关系；其次，当确定是一次函数关系时，可先求出一次函数解析式，再应用一次函数的相关知识去解决与其相关的实际问题. 1.判断两个变量之间是不是一次函数关系的步骤： （1）通过实验、测量获得数量足够多的两个变量的对应值； （2）建立适当的平面直角坐标系，画出图像； （3）观察图像特征，判断函数的类型. 2.建立一次函数解析式的常用方法 （1）根据基本的量之间存在的关系列函数解析式； （2）若题目中已明确给出两个变量的函数关系，则可用待定系数法求出函数解析式； 3.一次函数应用问题的求解思路： （1）建立一次函数模型→求出一次函数解析式→结合函数解析式、函数性质求解； （2）在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图像求解.要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点； （3）分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图像，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用. 4.利用一次函数的图像解决实际问题的一般步骤： （1）观察图像，获取有效信息； （2）对获取的信息进行加工、处理，理清各数量之间的关系； （3）选择适当的数学工具(如函数、方程、不等式等)，通过建模解决问题. 【提示】时刻注意根据实际情况确定变量的取值范围. 5.求最值的本质为求最优方案，解法有两种： （1）可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较； （2）直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接确定最优方案及最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再进行比较． 【提示】一次函数本身并没有最值，但在实际问题中，自变量的取值往往有一定的限制，其图像为射线或线段.涉及最值问题的一般思路：确定函数解析式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最值． 知识2 反比例函数的实际应用 1. 用反比例函数解决问题的两种思路： （1）通过题目已知条件，明确变量之间的关系，设相应的函数关系式，然后根据题中条件求出函数关系式； （2）已知反比例函数关系式，通过反比例函数的图像和性质解决问题. 2. 列反比例函数解决问题的步骤： （1）审：审题，找出题目中的常量和变量，以及它们之间的关系； （2）设：根据常量与变量之间的关系，设出函数表达式； （3）求：根据题中条件列方程，求出待定系数的值； （4）写：写出函数表达式，并注意表达式中自变量的取值范围； （5）解：用函数解析式去解决实际问题． 利用反比例函数解决实际问题，要做到： （1）能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型； （2）注意在自变量和函数值的取值上的实际意义； （3）问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明． 【易错点】 1.利用反比例函数的性质时，误认为所给出的点在同一曲线上； 2.利用函数图像解决实际问题时，容易忽视自变量在实际问题的意义． 知识3 二次函数的实际应用 1. 用二次函数解决实际问题的一般步骤： （1）审：仔细审题，理清题意； （2）设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数； （3）列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式； （4）解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图像和性质等求解实际问题； （5）检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论. 【注意】二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论． 2. 利用二次函数解决实际问题的常见类型 常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等，对此类问题要正确地建立模型，选择合理的位置建立平面直角坐标系是解决此类问题的关键，然后用待定系数法求出函数表达式，利用函数性质解决问题. 1．（2025·江苏连云港·二模）某地区交通管理部门通过对道路流量的大数据分析可知，某高架路上车辆的平均速度(千米/时）与高架路上每百米车的数量x（辆）的关系如图所示． (1)求y关于x的函数关系式； (2)如果某时刻监测到这一高架路上车辆的平均速度为50千米/时． ①求该时刻高架路上每百米车的数量； ②监测发现从此刻开始这一高架路上每百米车辆数每2分钟增加3辆．已知该高架路上车辆的平均速度小于20千米/时，高架路将严重拥堵，需启动限流措施．为了避免严重拥堵，那么最晚多少分钟需启动限流措施？ 2．（2025·江苏淮安·二模）甲、乙两车从地出发沿同一路线驶向地，甲车先出发匀速驶向地，分钟后，乙车出发，匀速行驶一段时间后，在途中的货站装货耗时半小时，由于满载货物，为了行驶安全，速度减少了千米时，结果与甲车同时到达地．甲、乙两车距地的路程（千米），（千米）与乙车行驶时间（小时）之间的函数图象如图所示．请结合图象信息解答下列问题： (1)的值为______；甲车的速度为______千米时； (2)求乙车减速前的速度，以及图中线段所表示的与的函数关系式． 3．（2025·江苏无锡·二模）某社区推出智能可回收垃圾投放箱，居民投放可回收物，可以赚取积分兑换生活用品．为了鼓励居民积极投放，超过一定投放质量后，奖励积分升级．其中塑料与纸张的奖励积分（分）与投放质量的函数关系如图所示，已知投放纸张超过后，奖励积分为分，规定积分满分，可以兑换智能扫地机器人一台． (1)求投放塑料的奖励积分； (2)求的值； (3)若投放的塑料的奖励积分是投放相同质量纸张的奖励积分的 倍，求一次性投放塑料和纸张所获得的积分和，可以兑换到智能扫地机器人吗？通过计算说明． 4．（2025·江苏南京·三模）小明对甲、乙两个保温壶进行了保温测试，同时分别向甲、乙两个保温壶中倒入了同样多的热水，经过一段时间的测试发现：乙的保温性能更好，在这段测试时间内，甲、乙两个保温壶的各自水温（单位：）与测试时间之间的函数图象如图所示． (1)当测试时间为时，乙壶中的水温是___________． (2)求甲壶中的水温与之间的函数关系式． (3)当甲、乙两个保温壶的温差不超过时，直接写出的取值范围． 5．（2025·江苏苏州·三模）已知甲、乙两地相距，一辆出租车从甲地出发往返于甲、乙两地，一辆货车沿同一条公路从乙地前往甲地，两车同时出发，货车途经服务区时，停下来用30分钟装完货物后，发现此时与出租车相距，货车改变速度继续出发后，与出租车相遇．出租车到达乙地后立即按原路返回，结果比货车早15分钟到达甲地．如图，这是两车距各自出发地的距离与货车行驶时间之间的函数关系图象． (1)=________，货车装完货物后的行驶速度为________． (2)求出租车从乙地返回甲地的速度． (3)在出租车返回的过程中，货车出发多长时间与出租车相距？ 6．（2025·江苏无锡·二模）高架的某入口车道设置为“两左三直一右”，早高峰期间，直行排队上高架的车辆非常多，但是两个左转车道车流量较少；晚高峰期间，左转车流量较大．交通部门对该路口的第2和第5车道的车流量（辆／分钟）和时间进行了统计和分析，相应数据如下表所示，并发现两条车道的车流量和时间的变化规律都符合一次函数的特征，其中． 时间x 7时 10时 13时 16时 19时 第2车道车流量（辆／分钟） 20 26 32 38 44 第5车道车流量（辆／分钟） 33 30 27 24 21 (1)与x的函数表达式为__________； (2)在12时，通过计算判断与的大小关系； (3)如图，为了改善路口各时段的通行需求，将此路口的第二和第五车道均设置成可变车道，车道属性会根据早晚高峰等不同时段车流通行需求进行灵活切换．假设单位时间内第2和第5车道的车流总量为，这两车道中较大的车流量为n，经查阅资料得：当时，交通为严重拥堵，此时可将可变车道行车方向变为车流量较大的方向，以改善交通情况．该路段从7时至19时，通过计算判断在严重拥堵时如何设置可变车道行车方向以缓解交通拥堵． 7．（2025·江苏南通·一模）某县某水果种植户进行软籽石榴销售．已知每千克石榴的成本为6元，在整个销售旺季的80天里，销售单价（元/千克）与时间第（天）之间的函数关系为： ，日销售量（千克）与时间第（天）之间的函数关系如图所示，请解答： (1)求日销售量与时间的函数关系式？ (2)哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？ 8．（2025·江苏苏州·模拟预测）某学校数学兴趣社团利用二次函数的知识进行探究学习． 【数学建模】 一条公路上有隧道，隧道的纵截面为抛物线形状，且该隧道为同向两车道设计，中间标有行车道分隔线，标线宽度忽略不计，车辆不能压线行驶建立如图所示的直角坐标系，画出了隧道截面图． 【解决问题】 已知隧道的路面宽为，隧道顶部最高处点P距地面．过隧道的车辆的顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为，才能保证车辆安全通过．现有一辆宽、高的厢式货车计划从隧道驶过． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）问厢式货车能否顺利通过隧道？请说明理由． 【拓展应用】 该数学兴趣社团为进一步探索抛物线的有关知识，借助上述抛物线模型，设计两个问题： （3）如图，在抛物线内作矩形，使顶点，落在抛物线上，顶点，落在轴上设矩形的周长为，求的最大值． （4）在（3）的条件下，如图，在矩形周长最大时，将矩形绕点逆时针旋转，若以点，，为顶点的三角形为直角三角形，请直接写出此时的旋转角的度数． 9．（2025·江苏扬州·模拟预测）如图，学校准备开展劳动教育活动，计划利用围墙和栅栏围成一个矩形的菜园，并用栅栏将其分成n个相同大小的矩形小菜园，共用栅栏． (1)当n＝4时，菜园面积的最大值为______． (2)求菜园面积的最大值（用含n的代数式表示）． (3)在第（2）问的条件下，存在和时，菜园面积的最大值之和为，且，直接写出所有满足条件的a、b的值______． 10．（2025·江苏盐城·一模）如图 1 ，一个小球以的初速度，在一条足够长且平直的轨道上运动．轨道初段绝对光滑；除段外，剩下轨道粗糙．小球在绝对光滑轨道上不存在阻力；在粗糙轨道上，存在恒定的摩擦力，速度会逐渐减小，直至停止．小球运动过程中，其速度与时间之间的关系如图2所示，其路程与时间之间的关系如图3所示（段是抛物线 的一部分）． (1)轨道初段的总长为 ；小球在粗糙轨道（图中射线上）运动时，与之间的函数关系式为 ； (2)若测得小球从开始出发到最终停止，行进的总路程为，如果直线与抛物线有且只有一个交点，则称线段与抛物线光滑连接．请你通过计算和推理判断线段与抛物线是否光滑连接？ (3)在（2）的条件下，在射线上，是否存在一节长为的轨道段，使得小球在通过该段过程中，所用时间恰好为．若存在，请求出这节轨道的起点与点A之间的距离；若不存在，请说明理由． 11．（2025·江苏苏州·二模）在“多‘盔’有你”交通安全宣传月期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶40元，售价为每顶68元，平均每周可售出100顶，商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于58元但不低于进价，经调查发现：每降价2元，平均每周可多售出40顶． (1)若每顶头盔降价10元，则平均每周售出_______顶，共获利________元； (2)若该商店希望平均每周获利4000元，则每顶头盔应降价多少？ (3)商店降价销售后，决定每销售1顶头盗就向某慈善机构捐赠m元（m为整数，且）帮助做“交通安全”宣传．捐赠后发现，该商店每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大，求m的值． 12．（2025·江苏南京·模拟预测）二次函数表达式中的二次项系数a有何几何意义？ 【理解a的几何意义】 （1）图①是二次函数（a，h，k为常数， ）的图象，观察图象，用含a和k的式子填写下表：          　　                 　　                 　　                 　　        （2）若点在二次函数（a，p，q为常数，）的图象上，则 ．（用只含s，t，p，q的式子表示） 【运用a的几何意义】 （3）图②是一抛物线形状的桥拱的截面图，桥拱内的水面的宽度为n，拱顶到水面的距离为．梅雨季节，水面上升，桥拱内的水面宽度随之减小，当拱顶到水面的距离为时，直接写出此时桥拱内的水面的宽度．（用只含n的式子表示） 13．（2025·江苏盐城·二模）学科实践 “科学减重，健康生活”，携手共建健康中国．国家卫生健康委员会提出“体重管理年”3年行动的号召、合理膳食、加强运动已成为人们对健康生活的共识．跳绳是常见的有氧减肥的方法．“博约”学习小组对跳绳运动的心率与时间关系展开了研究．（图1数据来自于初三某班级男生平均值）    【初步思考】 通过运动心率与时间散点图，研究小组准备建立某种函数模型（函数拟合）加以研究： 甲：心率不会随时间的增加而不断增加，也不会明显下降，一次函数不太合理； 乙：运动一段时间后，心率应该趋于相对稳定； 丙：所以二次函数也不能很好地预测长时间运动后的心率情况； 丁：我们可以建立将反比例函数图像经过适当平移后的函数模型． 设拟合函数为： 【问题解决】 (1)如图，若选取，，进行拟合，经计算，请求出拟合函数表达式． (2)从健康角度考虑，中学生运动中的心率不宜超过200次/分钟，在（1）的条件下，请问：跳绳运动几分钟后就应该休息一下？ (3)①根据图像变换，（1）中图像可由的图像向左平移___________个单位，再向上平移___________个单位得到； ②点在（1）中图像上运动，且位于直线左侧，当点到直线距离最大时，达到最佳运动心率，请直接写出达到最佳运动心率的时间． 14．（2025·江苏泰州·二模）综合实践项目主题：从函数角度探究“大型滑滑梯的设计”． 抽象建模 如图1为滑滑梯实物图．首先，把滑滑梯的滑道抽象地看成一条曲线，如图2所示．其次，建立平面直角坐标系：以水平面为x轴，过曲线最高点A垂直于水平面的直线为y轴，探究发现该曲线整体不是单一的二次函数或反比例函数图像的一部分，但可近似看成是某个二次函数图像一部分与某个反比例函数图像一部分的结合．整条曲线共为、、三段，其中，曲线为冲刺部分，曲线为缓冲部分，曲线为降速部分． 数据与定义 已知，，．现给出如下定义：对于二次函数，称作该二次函数图像的“曲度”；对于反比例函数，称作该反比例函数图像的“曲度”．点P到曲线竖直距离是指：点到曲线上横坐标为的点的距离． 问题解决 (1)从二次函数及反比例函数图像特征看，降速部分是________（只需填序号：①二次函数图像的一部分②反比例函数图像的一部分）； (2)根据曲度的定义，为使滑梯更安全，曲线所在的函数图像“曲度”应该调________（填“大”或“小”）； (3)兴趣小组发现整条曲线各段所在函数图像的“曲度”是一致的，且缓冲部分曲线是冲刺部分曲线或降速部分曲线所在函数图像的一部分，为进一步验证，可计算曲线上一点到这两段曲线所在函数图像的竖直距离，通过比较距离大小来判断（距离越小，则属于该函数的图像的可能性越大）．现测得缓冲部分一点，通过计算判断曲线更可能是哪段曲线所在函数图像的一部分． 15．（2025·江苏南通·一模）12月2日是“全国交通安全日”，小明同学在学习交通安全知识后，对交通法规产生了兴趣，下面是他和父亲的聊天记录． 请根据以上知识解决下列问题： 已知高速某段区间测速路段长．最低限速是，最高限速是．设汽车通过该路段的平均速度是，时间为． (1)直接写出与的函数关系式及的范围（不违反交通法规）； (2)甲车通过该路段时，以的速度行驶，余下的路程以原速的倍的速度行驶．通过该路段的时间为，求的值． 16．（2025·江苏盐城·一模）【发现问题】如图1，在一根长的铁丝上任取一点弯折后，再连接形成（如图2），当点在不同位置及取不同的大小时，的面积也不同．         【提出问题】的面积是否存在最大值？ 【分析问题】由于点的位置及的大小都是不确定的，故可借助函数关系式来探究．设，．对于，可以先确定几个特定的便于计算的角度进行尝试，然后再推广到一般的情形． 【解决问题】 (1)如图3，当时，试求与的函数关系式，并判断此时的面积是否存在最大值？如果存在，的值为多少？ (2)当时，记为，当时，记为，若存在一个的值，使得，请求出的长； (3)的面积是否存在最大值？如果存在，最大值是多少，此时的多大，点在什么位置？如果不存在，请说明理由． 17．（2024·江苏连云港·一模）张老师在中考总复习二次函数时，对九下教材第8页练习3（3）进行变式探究：如图，用长为的护栏围成一块靠墙，中间用护栏隔开的矩形花圃,其中，且墙长为． (1)设，矩形花圃的面积为．则y关于x的函数关系式为__________，x的取值范围为__________； (2)求矩形花圃面积的最大值； (3)在（2）的情况下，若将矩形和矩形分别种植甲、乙两种鲜切花．甲种鲜切花的年收入（单位：元）与种植面积的函数关系式为；乙种鲜切花的年收入（单位：元）与种植面积的函数关系式为，若两种鲜切花的年收入之和达到28800元，求的长． 18．（2025·江苏扬州·三模）将小球（看作一点）从距离地面高的点处向右发射，建立如图所示的平面直角坐标系，小球沿抛物线运动． (1)若当小球运动的水平距离为1m时，小球达到最大高度． ①求小球达到的最大高度； ②当小球前方无障碍物时，求小球落地时的水平距离． (2)若小球的正前方（）处有一个截面为长方形的球筐，其中，，若要使小球落入筐中（小球落在点或均视为入框），求的取值范围． 19．（2025·江苏镇江·二模）【阅读材料】 材料1：驾驶员从发现前方危险到做出刹车或者变道反应需要一定的时间，称为反应时间，这个时间会因为多种因素而有所不同，一般在秒到秒之间．在这段时间内，车辆仍然会以原有速度行驶一段距离． 材料2：自动驾驶的汽车，在遇到前方有突发情况时，会紧急避障，紧急避障路径可以用一个函数来描述，但这个函数的具体形式会取决于所使用的避障算法和传感器数据． 【问题情景】 (1)情景1：一辆行驶的汽车，若发现正前方有障碍物，司机采取紧急刹车反应时间为1秒钟． ①若正前方障碍物在处，则该车采取积极刹车后______避免（填“能”或“不能”）撞上障碍物． ②若该汽车从开始刹车到完全停止的滑行距离为30米，在不考虑其他因素的情况下，该汽车与同车道行驶的前车至少要保持的安全车距为______米． (2)情景2：若一辆具有AI辅助驾驶功能的（具有紧急主动避障功能）小汽车在总宽为12m的单向车道上以向东行驶，已知汽车距离左侧路沿2m． ①如图1，汽车在点处雷达感应到在左侧路边前方20m处突然有一不明物体以一定的速度向正南方向移动，智能驾驶系统立即计算并改变了行驶轨迹，其行驶轨迹的函数（即汽车距离右侧道路的距离（米）与汽车向东水平前进的距离（米））的表达式为，当汽车向东水平前进的距离为时，不明物体向正南方向移动了，这辆小汽车此次避障算法是否安全可靠？ ②如图2，若该汽车继续行驶至某个时刻，汽车在距离左侧车道2米处的处感应到前方因为施工而设置的路障（点在左侧路边），此时汽车智能驾驶系统迅速根据收集的数据计算并设定了一条抛物线（顶点为点）的行驳路径（直至行驶到安全区域再向前直线行驶），并建立了如图所示的平面直角坐标系，通过汽车AI系统计算得到直线的表达式为．若汽车与路障最小安全距离为，为保证行驶安全，求汽车智能驾驶系统设定的抛物线中，的最大值是多少． 20．（2025·江苏盐城·二模）双目视觉测距是通过左、右两个相机从不同视角观测同一目标，计算视差（目标在左右图像中的位置差异）从而推算出目标距离的方法． 【结构认识】 如图1是双目视觉测距的平面结构图．两个相机平行放置，其投影中心点，的连线叫做基线，距离为，基线与相机的左、右投影面（两投影面的长均为）均平行，基线到投影面的距离为相机焦距，（，，是同型号双目相机中内置的不变参数），两投影中心点，分别在左、右投影面的垂直平分线上．根据光的直线传播原理，可以确定物体目标点在左、右相机的成像点分别用点，表示，，分别是左、右成像点到各投影面左端的距离． 【概念学习】 ①视差：物体目标点在左、右相机的视差． ②感应区：在基线上方的平面区域中，若物体目标点在左、右投影面均能形成成像点，则该区域称为感应区． ③盲区：在基线上方的平面区域中，若物体目标点在左、右投影面均不能形成成像点，则该区域称为盲区（如图2，物体目标点在某一盲区内）． 【原理感知】 如图3，两投影面的长均为，表示目标点到基线的距离，可证得，，可得，，，所以…（部分证明过程省略） 【灵活运用】 (1)①填空：图2中，、、、是四个目标点，除点外，盲区内还有点 ；（填字母） ②画图：请在图2中画出感应区边界，并用阴影标示出感应区． (2)如图3可知，用表示为，则与的关系为．结合【原理感知】的部分内容，某双目相机的基线长为200 mm，焦距为5 mm，直接写出位于感应区的目标点到基线的距离（mm）与视差（mm）之间的函数关系式． (3)如图4，小明用（2）中那款双目相机（投影面长为12 mm）正对天空连续拍摄时，一物体正好从相机观测平面的上方从左往右飞过．已知的飞行轨迹是抛物线的一部分，且知，当刚好进入感应区时（即点P的位置），mm，当刚好经过点的正上方时，视差mm，在整个成像过程中，出现最小值 mm． ①当刚进入感光区，目标物到基线的距离m． ②小明以水平基线为轴，右投影面的中垂线为轴，建立了如图4所示的平面直角坐标系，则该抛物线的表达式为． ③求物体刚好落入“盲区”时，距离基线的高度． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $