微专题01 三角形中的倒角模型（专项训练）数学新教材北师大版七年级下册

学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 微专题01三角形中的倒角模型 题型01A字模型 题型028字模型 三角形中的倒角模型 题型03燕尾模型 题型04双内角平分线模型 题型05高线与角平分线综合模型 常点量破 题型01A字模型 螺方法 A字模型 A字模型扩展：老鹰抓小鸡模型 A 图例 B 》 结论 ∠DBC+∠BCE=180°+∠A ∠DBO+∠ECO=∠A+∠O 1. (25-26八年级上陕西延安期末)如图，在△ABC中，直线1∥BC,若∠1=65°，∠B=45°，则∠A 的度数为() 1/11 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.60° B.65° C.70° D.75 2.(2025·陕西汉中·一模)如图①是某相框支架的实物图，其示意图如图②所示，已知AB/CD.若 ∠1=105°，则∠2的度数为() 2△B 图① 图② A.70° B.75 C.80° D.85 3.(25-26八年级上湖北恩施期末)如图，∠1=∠2=130°，则写出∠α的度数是· a 2 4.(2425七年级下全国课后作业)如图，已知少%，∠4=45,2=10，则A的度数为 6 2 12 B 5.(2324七年级下河南路阳期末)知图，若，C1BE.若1=120，则22的度数为一· 2/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E A 6.(23-24七年级下·全国·单元测试)如图，在△ABC中，D,E分别是AB,AC上的点，点F在BC的 延长线上，DE∥BC,∠A=46°，∠1=52°，则∠2=度. 4 D 题型028字模型 啸方法 8字模型 8字模型扩展：角平分线模型 B A 0 图例 D AP平分∠BAD,PC平分∠BCD 结论 ∠A+∠B=∠C+∠D ∠P=B+D 1.(24-25七年级下·全国·随堂练习)如图，为修公路，需测量出被大石头阻挡的∠BAC的大小.为此， 小张师傅便在直线AC上取点D使AC=CD,在BC的延长线上取点E,使BC=CE,连接DE,要想 测出∠A的度数，则需要测出哪个角的度数？() 3/11 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.∠A B.∠B C.∠D D.∠E 2.(25-26八年级上·江西上饶期中)如图，在四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点 O,AD=BC,AC=BD.若∠ACD=30°，则∠AOD的度数为() A.60° B.65° C.70° D.80 3.(24-25七年级下·福建泉州·期末)如图，△ABC≌△ADE,且∠EAB=1I0°，则∠EFC的度数是 () E B A.135 B.115 C.125° D.110° 4.(25-26七年级上山东泰安月考)已知，如图△ABC≌△ADE,AE=AC,∠CAE=20°，则∠BAD的 度数为() D B E A.60° B.90° C.80° D.20° 5.(25-26八年级上·江西南昌·期末)如图，在△AEC和△ADB中，已知AE=AD,AC=AB,∠B=25°， 求∠C的度数. 4/11 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6.(25-26八年级上河北唐山期中)如图，已知AB、EF相交于点O,点O分别为EF、AB的中点. (I)求证：△AOE≌△BOF: (2)若∠A=18°，求∠B的度数. 题型03燕尾（飞镖)模型 城方法 飞镖模型 飞镖模型扩展：角平分线模型 A 图例 E D D B B OB平分∠ABD,OC平分∠ACD ∠BDC=∠A+∠B+∠C 结论 AB+AC>BD+CD ∠0-A+∠D 1.(24-25八年级上·江苏宿迁期中)如图，方格纸中∠1+∠2的度数为 5/11 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.(24-25八年级上·江苏无锡·月考)如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A,B,C,D,E五点均 在格点上，则∠ABC+∠ADE的度数为 3.(24-25八年级上·河北石家庄期中)如图所示的方格中，∠1+2=°. 2 △ABD,△AEC 4.(24-25八年级上浙江杭州·期中)如图， 都是等边三角形，则<BOC 的度数是一 D A B 5.(25-26八年级上广东广州月考)如图，AC平分∠DCB,CB=CD,DA的延长线交BC于点E,若 ∠EAC=45°，求∠BAE的度数. D A B E 6.(24-25七年级下·陕西咸阳期末)如图，AB平分∠DBC,BC=BD,DA的延长线交BC于点E.若 6/11 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠BAE=45°，求∠CAE的度数. 题型04双内角角平分线模型 嫩方法 双内角平分线型 A 图例 OB平分∠ABC,OC平分∠ACB 结论 20-90+3A 1.(24-25七年级下·广东深圳期末)三所学校分别记作A、B、C,体育场记作O,它是△ABC的三条角 平分线的交点，O,A,B,C每两地之间有直线道路相连，一支长跑队伍从体育场O出发，跑遍各校 后返回O点，则所跑路线距离最短的是（已知AC>BC>AB)() B A.OABCO B.OACBO C.OBACO D.OBCAO 2.(24-25八年级上福建泉州期末)如图，在△ABC中，∠C=2∠CAB,，∠CAB和∠ABC的角平分线交 7/11 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AB=14cm BC=8.5 cm C cm 于点，若 ，则点与点的距离为 3.(24-25八年级上广西崇左期末)已知：如图，∠ABC=∠ACB，BD,CE分别是∠ABC，∠ACB的 角平分线.求证：BD=CE. 4.(24-25八年级下·河南郑州期中)求证：等腰三角形两底角的平分线相等.根据条件和结论，结合图 形，用符号语言补充写出“已知”和“求证”. 已知：在△ABC中，，BD和CE是△ABC的角平分线. 求证： 证明： 5.(25-26八年级上北京期中)如图，△ABC中，∠ACB=90°，△ABC的角平分线AD,BE相交于点O. D (1)求∠AOB的度数： (②点p在BC的廷长线上，连接Op交AC于点Q:若满足∠OC-C1B. 8/11 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①依题意补全图形： AQ,BD,AB ②写出线段 之间的数量关系，并证明. 题型05高线与角平分线综合模型 啸方法 双垂直模型 高分棋型 4 图例 ED D OE平分∠BAC 结论 ∠B=∠DAC,∠C=∠BAD DE-c-28 1.(25-26八年级上广西百色期中)如图，BD、BE、BF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下 列关系式中错误的是() A.AC=2AF B.CBE-LARC C.BE-CE D.BD⊥AC 2.(24-25七年级下·河南南阳·月考)如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线，则下 列说法中错误的是() B F ED A.∠C+∠CAD=90 B.∠BAE=∠CAE 9/11 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.△1CB不一定是锐角三角形 D. S△MBc=2 SMABF 3.(25-26八年级上·全国课后作业)如图，在直角三角形ABC中，BC边上有E,D,F三点，BD=CD, ∠BAE=∠DAE,AF⊥BC,垂足为F.以AD为中线的三角形是；以AE为角平分线的三角形 是；以AF为高线的钝角三角形有 个 B E D F 4.(23-24八年级上·天津南开期中)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CF是斜边AB上的高. 图1 图2 (I如图1，若CE是中线，AC=6BC=8,AB=10,填空： ①则△BCE与△ACE的周长差为一： ②则高CF的长为： (2)如图2，若CD是角平分线，∠B=36°，求∠FCD的度数. 5.(25-26八年级上广东肇庆·月考)如图，在△ABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高.填空： EDF 1 (①)BE==2-: 1 (2)∠BAD=_=2; ∠AFB==90° (3) (4)若BC=8,AF=5,则SABB=· 10/11 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6.(25-26八年级上·重庆·月考)如图，在△ABC中，AD,AF分别为△ABC的中线和高，BE为△ABD 的角平分线. B D F (I)若∠BED=60°，∠BAD=40°，求∠DAF的大小： (2)若BC=8,AF=4,AC=5,求△ADC边AC上的高h的长. 11/11 微专题01 三角形中的倒角模型 题型01 A字模型 A字模型 A字模型扩展：老鹰抓小鸡模型 图例 结论 1．（25-26八年级上·陕西延安·期末）如图，在中，直线，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由平行线的性质求出，再利用三角形内角和即可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 2．（2025·陕西汉中·一模）如图①是某相框支架的实物图，其示意图如图②所示，已知．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据两直线平行，同位角相等得出，再根据邻补角的定义即可求出的度数． 【详解】解：， ， ， ， ， 故选：B． 3．（25-26八年级上·湖北恩施·期末）如图，，则写出的度数是______． 【答案】/度 【分析】本题考查了平角为，三角形内角和定理，根据题意得到，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：如图所示，， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为： ． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知，，，则的度数为____________． 【答案】 【分析】根据平角的定义得出，根据三角形内角和得到，再根据平行线的性质即可得解． 【详解】解： ． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． 5．（23-24七年级下·河南洛阳·期末）如图，若，．若，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，三角形内角和定理，关键是掌握平行线的性质．由邻补角的性质得到，求出，由邻补角的性质得到，由平行线的性质推出． 【详解】解：如图， ， ， ， ， ， ． ， ． 故答案为：． 6．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，在中，，分别是，上的点，点在的延长线上，，，，则_____度． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质及三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键，由，，得根据三角形的内角和定理得从而即可得解． 【详解】解：∵，， ∴ ∵， ∴ ∴ 故答案为：． 题型02 8字模型 8字模型 8字模型扩展：角平分线模型 图例 结论 1．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，为修公路，需测量出被大石头阻挡的的大小．为此，小张师傅便在直线上取点D使，在的延长线上取点E，使，连接，要想测出的度数，则需要测出哪个角的度数？（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．根据证明，即可得到． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴要想测出的度数，则需要测出的度数， 故选：C． 2．（25-26八年级上·江西上饶·期中）如图，在四边形中，对角线相交于点．若，则的度数为（ ） A．60° B．65° C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，先证，得出，再根据三角形外角的性质求的度数． 【详解】解：，， ， ， ， 故选A． 3．（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图，，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质． 根据全等三角形的性质得到，，可知，则，根据对顶角相等得到，进而得到，即可求出的度数． 【详解】解：∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ 故选：C 4．（25-26七年级上·山东泰安·月考）已知，如图，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】该题考查了全等三角形的性质，根据得出，即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴． 故选：D． 5．（25-26八年级上·江西南昌·期末）如图，在和中，已知，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，适当选择全等三角形的判定定理证明是解题的关键． 已知，，，根据“”证明，即可通过性质求解． 【详解】解：∵在和中， ， ∴， ∴． 6．（25-26八年级上·河北唐山·期中）如图，已知相交于点，点分别为的中点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形对应角相等是解题关键． （1）利用“”证明全等即可； （2）根据全等三角形对应角相等求解即可． 【详解】（1）证明：点分别为的中点， ， 在和中， ， ； （2）解：， ． 题型03 燕尾（飞镖）模型 飞镖模型 飞镖模型扩展：角平分线模型 图例 平分，平分 结论 1．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，方格纸中的度数为_______． 【答案】/45度 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，如图，利用可证，得到，进而即可得到，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：如图，在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（24-25八年级上·江苏无锡·月考）如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A，B，C，D，E五点均在格点上，则的度数为___________． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，准确识别图形，找出证明全等所需的条件是解题关键． 由图可知：，证明，得，进而得出结果． 【详解】解：由图可知：， ， ， ， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图所示的方格中，_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，标记点、、、、，记一个小方格边长为，得出，，，利用证明，得出，根据三角形的内角和定理，得出，等量代换即可得出答案． 【详解】解：如图，标记点、、、、，记一个小方格边长为， 由图可得：，，， ∴在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，都是等边三角形，则的度数是____． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的性质与判定，利用证出是解题的关键．利用等边三角形的性质得到，，，从而推出，得到，再利用三角形的外角性质得到，即可解答． 【详解】解：都是等边三角形， ，，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的度数是． 故答案为：． 5．（25-26八年级上·广东广州·月考）如图，平分，，的延长线交于点，若，求的度数． 【答案】． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平角定义，角平分线定义，由平分，则，证明，所以，然后通过平角定义可得，故有，最后由角度和差即可求解． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 6．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，平分，，的延长线交于点．若，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，三角形的内角和定理，根据已知易证，解题即可． 【详解】解：∵平分， ∴.     在和中， ， ∴，     ∴.     ∵， ∴， ∴. 题型04 双内角角平分线模型 双内角平分线型 图例 平分，平分 结论 1．（24-25七年级下·广东深圳·期末）三所学校分别记作A、B、C，体育场记作O，它是的三条角平分线的交点，O，A，B，C每两地之间有直线道路相连，一支长跑队伍从体育场O出发，跑遍各校后返回O点，则所跑路线距离最短的是（已知）（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角形全等的判定和性质，根据两点之间线段最短，列出路程和比较解答即可． 本题考查了三角形全等的判定和性质，两点之间线段最短，熟练掌握原理是解题的关键． 【详解】解：在上截取， ∵， ∴， ∴， A. OABCO的线段表示为：,     B. OACBO的线段表示为：,     C. OBACO的线段表示为：,     D. OBCAO的线段表示为：, ∴ ， ∵， ∴， 故B不符合题意； 在上截取， ∵， ∴， ∴， 又 ， ∵， ∴， 故C不符合题意； ． ， ∵， ∴， 故D不符合题意； 故选：A． 2．（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，，和的角平分线交于点，若，，则点与点的距离为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识点，熟练掌握其性质并能正确添加辅助线是解决此题的关键．由题易得平分，进而根据得到，所以，进而再根据角平分线构造全等，在上截取，证，进而得，然后利用线段的和差运算即可得解． 【详解】解：如图，连接并延长，交于点，在上截取， 是和的角平分线的交点， 平分， ，， ， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ，设，则， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·广西崇左·期末）已知：如图，，，分别是，的角平分线．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，根据角平分线的定义结合已知条件得出，再证明，由全等三角形的性质即可得出． 【详解】证明：∵，分别是，的角平分线， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． 4．（24-25八年级下·河南郑州·期中）求证：等腰三角形两底角的平分线相等．根据条件和结论，结合图形，用符号语言补充写出“已知”和“求证”． 已知：在中，_________，和是的角平分线． 求证：_________． 证明： 【答案】，，证明见解析 【分析】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，关键是由等腰三角形的性质推出．由等腰三角形的性质推出，由角平分线的定义得到，判定，推出． 【详解】解：已知：在中，，和是的角平分线． 求证：． 证明：， ， 和是的角平分线， ，， ， 在和中， ， ， ∴等腰三角形两底角的平分线相等． 故答案为：，. 5．（25-26八年级上·北京·期中）如图，中，，的角平分线，相交于点． (1)求的度数； (2)点在的延长线上，连接交于点．若满足． ①依题意补全图形； ②写出线段之间的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)①见详解；②；证明过程见详解 【分析】本题考查三角形全等（）、角平分线性质及直角三角形内角和，解题思路是通过角的推导证明三角形全等，将线段转化后推导关系；解题关键是利用角平分线和角度关系构造全等三角形，易错点是忽略角度等量代换及全等条件的验证． （1）由角平分线的定义，三角形内角和定理即可求解. （2）①根据题意画出图形即可.②过点作于 ，于，于,得四边形是正方形,再利用全等三角形的判定和性质即可求解. 【详解】（1）解：在 中，，故 因为 是角平分线， 所以， 则 （2）解：①如图所示： ②之间的数量关系为 证明：过点作于 ，于，于 又∵、是角平分线，是角平分线交点，故（角平分线性质）； 由得四边形是正方形，故； 设，因为则，； 在和中： 因为，，所以； 则； 同理可证：，则 因为，；所以; 因为,且共线， 则, 所以，即； 故答案为． 题型05 高线与角平分线综合模型 双垂直模型 高分模型 图例 平分 结论 1．（25-26八年级上·广西百色·期中）如图，、、分别是的高、角平分线、中线，则下列关系式中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形高、角平分线、中线的定义，熟悉理解三角形高、角平分线、中线的定义是解题的关键． 根据三角形高、角平分线、中线的定义逐一判断即可． 【详解】解：∵是的中线， ∴，故A说法正确，故A不符合题意； ∵是的角平分线， ∴，故B说法正确，故B不符合题意； ∵与不一定会相等，故C说法不正确，故C符合题意； ∵是的高， ∴，故D说法正确，故D不符合题意； 故选：C． 2．（24-25七年级下·河南南阳·月考）如图，在中，是高，是角平分线，是中线，则下列说法中错误的是（    ） A． B． C．不一定是锐角三角形 D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的高、角平分线、中线的性质以及三角形的面积和形状判断，解题的关键是熟练掌握这些性质并进行分析． 根据三角形的高、角平分线、中线的性质，对每个选项进行分析判断． 【详解】是高， ， ，所以A说法正确； 是角平分线， ，所以B说法正确； 中， ， 锐角； 在和，和都小于， 因此一定是锐角三角形，所以C说法错误； 是中线， ， 和以和为底时，高相同， ，所以D说法正确． 故选：C． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在直角三角形ABC中，BC边上有E，D，F三点，，，，垂足为F．以AD为中线的三角形是_______；以AE为角平分线的三角形是_______；以AF为高线的钝角三角形有_______个． 【答案】 3 【分析】本题考查的是三角形的中线、高、角平分线以及直角三角形的性质，正确认识三角形的中线、高、角平分线是解题的关键． 根据三角形的中线、高、角平分线的概念解答即可． 【详解】解：以为中线的三角形是；以为角平分线的三角形是；以为高线的钝角三角形有、、共3个， 故答案为：；；． 4．（23-24八年级上·天津南开·期中）在中，，是斜边上的高． (1)如图1，若是中线，，填空： ①则与的周长差为______； ②则高的长为_______； (2)如图2，若是角平分线，，求的度数． 【答案】(1)①2；② (2) 【分析】本题考查了三角形中线的性质、角平分线的定义，熟练掌握直角三角形的两锐角互余是解此题的关键． （1）①根据是中线可得，分别表示出出与的周长，作差即可得到答案； ②根据代入数据进行计算即可； （2）由角平分线的定义可得，再由直角三角形的两锐角互余得出，最后根据进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：①在中，，是中线， ， 的周长，的周长， 与的周长差， 故答案为：2； ②， ， ， 故答案为：； （2）解：，平分， ， 是斜边上的高， ， ， ， ． 5．（25-26八年级上·广东肇庆·月考）如图，在中，是中线，是角平分线，是高．填空： (1)_=_； (2)_=_； (3)； (4)若，，则S△ABE=_． 【答案】(1)； (2)； (3) (4) 【分析】本题主要考查了三角形中角平分线、中线和高线的性质，准确理解计算是解题的关键． （1）根据中线的性质判断即可； （2）根据角平分线的性质判断即可； （3）根据高线的性质判断即可； （4）根据三角形面积计算公式即可； 【详解】（1）是的中线， ； 故答案是：，． （2）是中的角平分线， ； 故答案是：，． （3）是中边的高， ， ； 故答案是：． （4），， ， ； 故答案是：10． 6．（25-26八年级上·重庆·月考）如图，在中，，分别为的中线和高，为的角平分线． (1)若，，求的大小； (2)若，，，求边上的高的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的外角性质，角平分线的定义，中线的定义． （1）先利用三角形的外角性质计算出，再利用角平分线定义得到，然后根据高的定义和互余两角的性质求出的度数，即可求出的大小； （2）根据中线的定义得到，根据等面积法计算即可． 【详解】（1）解：， ， 平分， ， 为高， ， ， ∴； （2）解：∵，为的中线 ∴， ∵ ∴ 即． / 学科网（北京）股份有限公司 $