微专题04 全等三角形判定的常考模型（专项训练）数学新教材北师大版七年级下册

微专题04 全等三角形判定的常考模型 题型01 平移模型 模型特征：两个三角形通过“平移”重合，通常有一组边共线或部分重合，另外两组边分别平行。 核心考点：利用平移性质转移边和角，构造或识别全等。 解题方法：等价转化为“SAS”或“ASA” 1. 找平行，推等角：见到“平行＋中点”或“平行＋共线”，立刻反应出内错角/同位角相等。 2. 寻共线，加减速：在共线的边上，利用等式的性质（同加或同减公共线段）推导出隐含的对应边相等。 3. 定判定，写过程：优先观察是否有两边及其夹角对应相等（SAS），这是平移模型最高频的判定定理。 1．（24-25七年级下·安徽宿州·期中）如图，已知，，要使，可以添加的一个条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由全等三角形的判定方法，即可判断． 【详解】解：A、由推出，由判定，故A符合题意； B、由得不到，不能判定，故B不符合题意； C、和分别是和的对角，不能判定，故C不符合题意； D、和分别是和的对角，不能判定，故D不符合题意． 2．（25-26八年级上·广东汕尾·期末）如图，已知点B，E，C，F在同一条直线上，，，请你添加一个合适的条件，使，其中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查全等三角形的判定方法，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即、、、和． 根据全等三角形的判定方法逐项判断即可． 【详解】对于A，， ，满足，可以判定，故A不符合题意； 对于B，，无法判定，故B符合题意； 对于C，，满足，可以判定，故C不符合题意； 对于D，，满足，可以判定，故D不符合题意． 故选：B． 3．（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图，，，要使得，需要补充的条件不能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理逐一判断即可，全等三角形的判定定理有、、、、． 【详解】解：∵， ∴， A．添加，可以根据证明，故不符合题意； B．添加，可以根据证明，故不符合题意； C．添加，根据无法证明，故符合题意； D．添加，则，可以根据证明，故不符合题意； 故选：C． 4．（25-26八年级上·湖南怀化·月考）如图，点A、D、C、F在同一直线上，，添加下列条件，不能判定的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，根据全等三角形的判定方法逐一判定即可求解． 【详解】解：已知， 添加，运用边边角不能判定，故A选项符合题意； 添加，则，运用角角边可以判定，故B选项不符合题意； 添加，运用角边角可以判定，故C选项不符合题意； 添加，运用边角边可以判定，故D选项不符合题意； 故选：A ． 5．（25-26八年级上·湖南株洲·期末）如图，点在同一条直线上，，，添加下列条件不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有． 【详解】解：∵， ∴， A、添加条件，结合条件，，可以由证明，不符合题意； B、添加条件，结合条件，，可以由证明，不符合题意； C、添加条件，则，即，结合条件，，可以由证明，不符合题意； D、添加条件，得，结合条件，，不可以由证明，符合题意． 6．（2026·广东佛山·一模）如图，已知点B、E、C、F在同一直线上．给出以下三组条件： ①，，； ②，，； ③，，． 请你选用其中一组可以证明的条件进行证明． 你选的一组条件的序号是______． 证明： 【答案】见解析 【分析】若选①利用证得，进而可证；若选②利用证得，进而可证；若选③，无法证明，进而不能证明． 【详解】解：若选①，证明如下： ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴； 若选②，证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 若选③，则无法证明，进而无法证明． 题型02 对称模型 模型特征：图形沿某条直线折叠后能完全重合，这条直线就是对称轴。常考角平分线、垂直平分线、折叠问题。 核心考点：对称前后的三角形全等，对应点连线被对称轴垂直平分。 解题方法：见轴就作“双垂线” 1. 定轴线：明确对称轴（通常是角平分线、垂直平分线或折叠痕）。 2. 作双垂：从对称中心或关键点向对称轴两侧作垂线，这是该模型最核心的辅助线。 3. 证全等：作完垂线后，立刻会出现一对全等的直角三角形，直接用AAS或ASA判定。 1．（25-26七年级下·重庆·月考）如图，点在一条直线上，，．再添加一个条件后仍然不能证明的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据全等三角形的判定方法，进行判断即可. 【详解】解：∵，， ∴当时，利用可以证明； 当，即时，不能证明； 当时，利用可以证明； 当时，则，可以证明. 2．（2026·河北张家口·一模）如图，已知，，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据全等三角形的判定方法进行判断即可. 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴当时，可以判定； 当时，则，可以判定； 当时，可以判定； 当时，无法判定. 3．（2026·黑龙江佳木斯·一模）如图：点在同一直线上，，，请添加一个条件______，使得（填一个即可）． 【答案】（答案不唯一 、 ） 【分析】根据全等三角形的判定方法即可解决问题． 【详解】解：∵点在同一直线上，， ∴， ∴； 又∵， 根据平行线的性质，得 此时已经具备一边一角对应相等，根据三角形全等判定定理，添加条件即可： 添加，可由判定全等； 添加，可由判定全等； 添加，可由判定全等，以上均正确 综上， 答案不唯一，，、 都正确． 4．（2026·湖北黄冈·模拟预测）如图，，，，相交于点．求证． 【答案】见解析 【分析】直接证明，根据全等三角形的性质，即可求解． 【详解】证明：在和中， ， ． 5．（2026·吉林·一模）如图，平分，，求证． 【答案】见解析 【分析】根据平分得到，证明，即可证明． 【详解】证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴． 6．（2026·广东广州·一模）如图，和相交于点O，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】根据平行线得出相等的角，然后证明，即可得出结论． 【详解】证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 题型03 手拉手模型 模型特征：两个等腰三角形（或等边三角形、正方形）共一个顶点（拉手点），且顶角相等。 核心考点：拉手线相等且夹角等于顶角，极大简化了角度推导。 解题方法：锁定“共点等边”，直击“SAS” 1. 找拉手点：确认两个等腰三角形的公共顶点。 2. 证顶角等：推导出两个等腰三角形的顶角相等（或通过加减公共角进行转换）。 3. 用SAS：公共顶点处的两组腰相等，且顶角相等，直接用SAS证明全等。 1．（25-26八年级上·山西临汾·期末）已知：如图，在和中，，且点，点，点在一条直线上． (1)求证： (2)若，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)等腰直角三角形，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等角对等边，三角形的外角性质． （1）先求得，再利用证明即可； （2）由全等三角形的性质求得，再根据三角形的外角性质求得，据此可判断是等腰直角三角形． 【详解】（1）证明：， ， ， 又，， ； （2）解：由（1）可得， ， 是的外角， ， ∴， ， ∴是等腰直角三角形． 2．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）如图，已知，，． (1)求证：； (2)若，，则_____． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定， （1）根据证明根据全等三角形的性质即可得证； （2）由两三角形全等，可得，再由三角形的外角性质即可解答． 【详解】（1）证明： 又， ， 在和中， ， ∴； （2）解： ， 又，，， ． 3．（25-26八年级上·山东聊城·期末）如图，为等边三角形，点在边上，过点作，且． (1)求证：； (2)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)为等边三角形，见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由是等边三角形，得，，又，得，所以，然后通过“”证明即可； （）由，所以，，则，从而证明为等边三角形． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：为等边三角形，理由如下： ∵， ∴，， ∴， ∴为等边三角形． 4．（2024·浙江温州·二模）如图，在和中，，，，点在线段上，，交于点，连结． (1)求证：平分． (2)若，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定； （1）先证明，得出，由得出，可得，即可得证； （2）根据等边对等角以及三角形内角和定理，得出，进而证明，得出，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵， ∴． ∴， 又∵， ∴， ∴， 即平分． （2）∵，，， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 5．（25-26八年级上·湖南娄底·期末）如图，在等边中，点P为内一点，连接，，，将线段绕点A顺时针旋转得到，连接，． (1)求证：； (2)若，E是的中点． ①求的度数； ②求证：． 【答案】(1)见解析 (2)①；②见解析 【分析】（1）利用等边三角形的性质可得，，结合旋转的性质得，，推导出，再根据可证得，由全等三角形的性质即可求解； （2）①由，根据三角形的内角和定理得，结合等边三角形，推得，再由（1）可知，通过角的代换得； ②采用倍长中线法，延长至点，使，结合E是的中点，通过证得，得，，通过角的代换得，由可得，再通过证得，则，最后由旋转可知是等边三角形，则，从而证得． 【详解】（1）证明：是等边三角形． ，， 绕点A顺时针旋转得到， 是等边三角形， ，， ， 即， 在和中， ， ， ； （2）①， ， 是等边三角形， ， ， 由（1）知， ∴， 又， ； ②证明：延长至点，使， 则， 是的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ∴， ， ， ∴， 又， ， ， 是等边三角形， ， ． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的性质和判定、旋转的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 6．（25-26八年级下·广西南宁·开学考试）【探究实践】某数学兴趣小组准备了一些等腰三角形纸板平放在同一平面上进行探究．比如把等腰三角形的顶角顶点重合在一起，位置摆放可以进行变化．设， ，该数学兴趣小组对与的数量关系展开积极探究，组员们提出了自己的猜想或发现： (1)探究一：如图1，当时，连接、交于点O，小林发现一个结论：．小亚证明了小林发现的结论是对的，请你写出小亚的证明过程； (2)探究二：如图2，连接，得到四边形，点P始终在四边形内部．小海对小美说：点E是边的中点，当时，发现线段与线段存在一定的数量关系，你知道这个数量关系吗？请你帮小美回答这个问题，并说明理由； (3)探究三：如图3，在探究二条件的基础上，小君同学将图3的三角板固定，将另外一个三角板绕点P旋转，设计了一道题：若F为边所在直线上一点，，当E、P、F三点共线时，请直接写出的度数（结果用含的式子表示）． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)的度数为或 【分析】（1）利用证明，即可得到； （2）延长到，使，连接，证明，得到，，再证明，即可得到； （3）连接并延长到，使，连接，分两种情况：点在边上和点在边延长线上，画出对应的示意图，同理证明，，再根据全等三角形的性质和角之间的关系求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 如图，延长到，使，连接， ∴， ∵点为的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）解：连接并延长到，使，连接． 当点在边上时， 由题意得，， 同理可证明，， ∴， ∵，， ∴； 当点在边延长线上时， 同理可证明， ∴， 同理可得， 综上，的度数为或． 题型04 一线三等角模型 模型特征：一条直线上依次出现三个相等的角（通常为直角、60°或45°），且有一组边相等。 核心考点：利用平角性质或三角形外角性质进行“等角代换”。 解题方法：遇“K字”结构，先找等角再AAS 1. 识图形：认出“K字型”或“台阶型”结构。 2. 推等角：利用“同角的余角相等”或“三角形的外角等于不相邻两内角之和”，推导出两组内等角。 3. 定AAS：结合题目给出的“一组边相等”，直接用AAS判定全等。 1．（25-26八年级下·云南玉溪·开学考试）如图①，在中，，过点在外作直线，于点，于点． (1)试说明：； (2)如图②，将（1）中条件改为，，请问（1）中的结论是否还成立？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)成立，理由见解析 【分析】（1）利用“”，可得，从而，，根据，等量代换即可说明； （2）利用“”，可得，从而，，再根据，等量代换即可． 【详解】（1）解：， ， ，， ， ， ， 在和中， ， （） ，， ， ； （2）解：成立，理由如下， ， ， ， ， ， 在和中， ， （） ，， ， ． 【点睛】注意识别题中的“一线三等角”模型和类比的数学思想． 2．（25-26八年级上·广西河池·期末）如图，在中，，，，，垂足分别是，，，． (1)请说明和的数量关系，并说明理由； (2)求的长． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】（1）根据条件可以得出，进而得出，即可解答； （2）利用（1）中结论，根据全等三角形的性质即可解决问题； 【详解】（1）解：，理由如下； ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中 ∴ ∴； （2）解：由（1）得：， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴． 3．（25-26八年级上·宁夏吴忠·期中）如图，中，是边上的中线，E，F为直线上的点，连接，，且． (1)求证：； (2)若，，试求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据三角形中线性质推出，利用平行线性质推出，再结合全等三角形判定定理证明即可； （2）根据全等三角形性质，以及线段的和差分析求解，即可解题． 熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． 【详解】（1）证明：是边上的中线， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ，， ， ， 解得． 4．（24-25八年级上·江西吉安·期中）如图，在中，，，，三点在同一直线上，， (1)求证：； (2)猜想线段，，之间的数量关系并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】（1）根据角的和差求出，利用即可证明； （2）根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴，， ∴ 5．（24-25七年级下·广东佛山·期中）模型意识以及知识运用 (1)【感知模型】如图1，正方形的顶点在直线上，分别过点、作于，于．则______． (2)【模型应用】如图2所示，在中，，，于，于，，，则的长为______． (3)【模型变式】如图3，在中，，点、分别是边、上一点，连接、交于点．点是上一点，连接，若，求证：． 【答案】(1) (2)6 (3)见解析 【分析】（1）依据题意，由于E，于F，则，，又四边形是正方形，可得，，从而，进而，最后由即可判断得解； （2）由“”可证，可得，即可求解； （3）根据及三角形外角的性质得，，进而可依据“”判定，然后根据全等三角形的性质即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意，∵于E，于F， ∴，． ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）证明：∵，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 6．（25-26八年级上·江西赣州·期末）【问题初探】 （1）如图①，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，，则，，的数量关系是_____________； 【变式探究】 （2）如图②， 在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，．已知，，求的长； 【拓展应用】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图③所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高．延长交于点，设的面积为，的面积为，猜想，的大小关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3），理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握一线三垂直模型，是解题的关键： （1）证明，得到，根据线段的和差关系和等量代换即可得出结论； （2）证明，根据线段的和差关系和等量代换即可得出结果； （3）过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，则，进而得，再根据得，由此得，进而依据“”判定和全等得，同理证明和全等得，进而得，然后再根据三角形的面积公式即可得出与之间的数量关系． 【详解】解：（1）； ∵从点，向直线作垂线，垂足分别为，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2），， ， 在中，， ， ， ， 在和中， ， ； ，， ； （3）与之间的数量关系是：，理由如下： 如图3，过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N， ∵是的高，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理证明：， ∴， ∴， ∵的面积为，的面积为， ∴． 题型05 半角模型 模型特征：一个角的度数恰好是另一个大角度数的一半（如90°内含45°，120°内含60°），且大角的两边相等。 核心考点：通过旋转或截长补短，将分散的线段集中到一个三角形中。 解题方法：大角含半角，“旋转”或“截补”构造SAS 1. 选策略： (1) 旋转法（推荐）：将半角一侧的三角形绕公共顶点旋转，使等大边重合。 (2) 截长法：在长边上截取一段等于短边，创造对应边相等。 2. 证两次全等： (1) 第一次：证明旋转/截长后得到的三角形与原三角形全等（SAS），转移边和角。 (2) 第二次：证明含有半角的两个小三角形全等（SAS），得出线段等量关系。 3. 出结论：观察图形，通常会得出“长边 = 两短边之和”的倍分关系。 1．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图1：在四边形中，，，，、分别是，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出，，之间的数量关系，他的结论应是_． 像上面这样有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等的几何模型称为半角模型． 拓展如图，若在四边形中，，，、分别是，上的点，且，则，，之间的数量关系是_．请证明你的结论． 【答案】（1）；（2），证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据题意证，推出，，然后利用，，以及角的和差关系得到，从而证明，推出，结合，即可得到结论； （2）延长到点，使，连接，根据，推出，易证，推出，，然后利用，以及角的和差关系得到，从而证明，推出，结合，即可得到结论． 【详解】解：（1）在和中 ， 又， 在和中 （2）， 理由：如图所示，延长到点，使，连接 ， 在和中 ， 在和中 2．（25-26八年级上·山东临沂·期中）【问题背景】 半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等．通过翻折、旋转或截长补短等方法，将角的倍分关系转化为角的相等关系，进一步构成全等三角形，从而构建模型，解决问题． 如图1，在四边形中，，点，分别是上的点，且，连接，探究线段之间的数量关系． (1)探究发现：小雨同学的方法是延长到点．使，连接，先证明，再证明，从而得出结论：_____； (2)拓展延伸：如图2，在四边形中，分别是边上的点，且，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． 【答案】(1) (2)（1）中的结论仍然成立．理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）先证明得到，再证明，得到，再由线段的和差关系可得结论； （2）延长到，使，连接，先导角证明，再证明得到，再接着证明，得到，再由线段的和差关系可得结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：（1）中的结论仍然成立，证明如下： 如图，延长到，使，连接． ，， ， 在与中， ， ， ， ， ． 在和中 ， ． ． 3．（24-25七年级下·安徽宿州·月考）阅读下列学习内容： (1)如图1，在四边形中，，，，E，F分别是、上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 探究思路如下：延长到点G，使，连接． 则由探究结果可知，图中线段、、之间的数量关系为________． (2)根据上面的方法，解决问题：如图2，若在四边形中，，，E、F分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； (3)如图3，在四边形中，，，点M、N分别在边、上，且，若，，请求直接写出的长度． 【答案】(1) (2)仍然成立，理由见解析 (3) 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解题的关键. （1）根据三角形的全等可得出线段、、之间的数量关系； （2）延长到点，使，连结，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题； （3）旋转至位置，证明，得到，即可解答. 【详解】（1）解：， ∴， 故答案为：； （2）结论仍然成立； 理由：延长到点，使，连结，如图， 在和中， ， ， ， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵四边形中，，， ∴四边形是正方形， 如图，旋转至位置， ， ， 在和中， ， ， ， ． 4．（24-25八年级上·重庆万州·期中）按要求解答下列问题： (1)如图1，在四边形中，，、分别是边、上的点，且．求证：； (2)如图2，在四边形中，，、分别是边、上的点，且，请先写出、、之间的数量关系再证明； (3)如图3，在四边形中，，、分别是边、延长线上的点，且，请直接写出、、之间的数量关系（不证明）． 【答案】(1)见解析 (2)；证明见解析 (3) 【分析】本题考查了全等角形的判定与性质， （1）延长到，使，连接，证明三角形和三角形全等，将转换为，证得， （2）思路和辅助线方法与（1）一样，证明三角形和三角形全等， （3）在上截取，使，连接，用（1）中方法，可证得，，则 【详解】（1）解：如图，延长到，使，连接， 在与中， ； （2）， 证明：如图，延长到，使， 在与中 即 在与中 即 ； （3），理由如下， 证明：在上截取，使，连接， 在与中 ． 5．（23-24八年级上·山东临沂·期中）【基本模型】 （1）如图1，是正方形，，当在边上，在边上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【模型运用】 （2）如图2，是正方形，，当在的延长线上，在的延长线上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1），证明见解析（2），证明见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质．本题蕴含半角模型，遇到半角经常要通过旋转构造全等三角形． （1）结论：．将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，然后求出，利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而得解； （2）结论：，证明方法同法（1）． 【详解】解：（1）结论：． 理由：如图1，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，    则：，，， ∴，即：三点共线， ， ∴， ∴， ， 在和中， ， ， ， 又， ． （2）结论：． 理由：如图2，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，    则：， 同法（1）可得：， ， 又， ． 6．（24-25八年级上·山东威海·期末）如图1，在四边形中，，点，点分别在边，上，已知，． (1)求证：； (2)如图2，若点，点分别在边，的延长线上，其它条件不变，（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请写出新的结论，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)不成立，，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握利用半角模型去截长补短是解题的关键． （1）延长至点，使，构造，得出，，再利用，得出，证明，得出，再利用线段的和差即可证明； （2）在上截取，构造，得出，，再利用，得出，证明，得出，再利用线段的和差即可证明． 【详解】（1）证明：如图，延长至点，使， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图，在上截取， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 即：． / 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 微专题04全等三角形判定的常考模型 题型01平移模型 题型02对称模型 全等三角形判定的常考模型 题型03手拉手模型 题型04一线三等角模型 题型05半角模型 常点量破 题型01平移模型 啸方法 模型特征：两个三角形通过“平移”重合，通常有一组边共线或部分重合，另外两组边分别平行。 核心考点：利用平移性质转移边和角，构造或识别全等。 解题方法：等价转化为“SAS”或“ASA” 1.找平行，推等角：见到“平行+中点”或“平行+共线”，立刻反应出内错角/同位角相等。 2.寻共线，加减速：在共线的边上，利用等式的性质（同加或同减公共线段）推导出隐含的对应边相 等。 3.定判定，写过程：优先观察是否有两边及其夹角对应相等(SAS),这是平移模型最高频的判定定 理。 1. (24-25七年级下·安徽宿州期中)如图，已知AB=DE,BC=EF,要使△ABC≌aDEF,可以添加 的一个条件是() 1/14 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.AD=CF B.AD=CD C.∠A=∠EDF D.∠ACB=∠F 2.(25-26八年级上广东汕尾·期末)如图，已知点B,E,C,F在同一条直线上，BE=CF, ∠B=∠DEF,请你添加一个合适的条件，使△ABC≌△DEF,其中不正确的是() A D A.AC∥DF B.AC=DF C.∠A=∠D D.AB=DE 3.(25-26八年级上·安徽六安期未)如图，AB∥EF，BC=DF,要使得△ABC≌aEFD,需要补充的条 件不能是() D A B E F A.∠A=∠E B.AB=EF C.AC=DE D.AC∥DE 4.(25-26八年级上·湖南怀化月考)如图，点A、D、C、F在同一直线上，AB=DE,∠A=∠EDF,添 加下列条件，不能判定△ABC≌aDEF的是() B A D BC=EF BCEF B C.∠B=∠E D.AC=DF 5.(25-26八年级上湖南株洲期末)如图，点B,E,C,F在同一条直线上，AB∥DE,∠A=∠D,添 加下列条件不能判定△ABC≌△DEF的是() 2/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.AB=DE B.AC=DF C.BE=CF D.AC∥DF 6.(2026广东佛山一模)如图，已知点B、E、C、F在同一直线上.给出以下三组条件： D ①BE=CF,AC=DF,AB=DE: ②BE=CF,AC=DF4CIDF ③BE=CF,AC=DF,∠B=∠DEF. 请你选用其中一组可以证明∠A=∠D的条件进行证明. 你选的一组条件的序号是一· 证明： 题型02对称模型 啸方法 模型特征：图形沿某条直线折叠后能完全重合，这条直线就是对称轴。常考角平分线、垂直平分线、折 叠问题。 核心考点：对称前后的三角形全等，对应点连线被对称轴垂直平分。 解题方法：见轴就作“双垂线” 1.定轴线：明确对称轴（通常是角平分线、垂直平分线或折叠痕）。 2.作双垂：从对称中心或关键点向对称轴两侧作垂线，这是该模型最核心的辅助线。 3.证全等：作完垂线后，立刻会出现一对全等的直角三角形，直接用AAS或ASA判定。 B,F,C,E 1.(25-26七年级下·重庆月考)如图，点 在一条直线上，AB=DE∠A=∠D 再添加一个条 件后仍然不能证明△ABC≌△DEF的是() A.AC=DF B.BF=CE C.∠B=∠E D.AC∥DF 3/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.(2026河北张家口·一模)如图，已知AM=CN,∠AWD=∠CMB,添加下列一个条件后，仍无法判 定△ADN≌△CBM的是() y M B D A.∠D=∠BB.AD∥BC C.DN=BM D.AD=BC 3。(2026黑龙江佳木斯一模)如图：点小月CD CEBF AB=CD 在同一直线上， ,请添加一个 条件，使得△ACE≌aDBF(填一个即可)· D 4.(2026湖北黄冈模拟预测)如图，CB=DA,CA=DB,CB,DA相交于点O.求证∠C=∠D. D 5.(2026吉林一模)如图，AD平分∠BAC,∠B=∠C,求证BD=CD. 6.(2026广东广州一模)如图，AD和CB相交于点O,AB∥CD,OB=OC,求证：OA=OD 4/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型03手拉手模型 煤方法 模型特征：两个等腰三角形（或等边三角形、正方形）共一个顶点（拉手点），且顶角相等。 核心考点：拉手线相等且夹角等于顶角，极大简化了角度推导。 解题方法：锁定“共点等边”，直击“SAS” 1.找拉手点：确认两个等腰三角形的公共顶点。 2.证顶角等：推导出两个等腰三角形的顶角相等（或通过加减公共角进行转换）。 3.用SAS:公共顶点处的两组腰相等，且顶角相等，直接用SAS证明全等。 B C 1.(25-26八年级上·山西临汾·期末)已知：如图，在△ABB和△APP中， AB=AB,AP=AP,∠BAB=∠PAP,且点B,点P,点P在一条直线上· (I)求证：△ABP≌△AB'P ∠BAP=20°，∠AB'P'=25° (2)若 判断△MPP的形状，并说明理由。 2.(25-26八年级上江苏镇江·期末)如图，已知AB=AC,∠2=∠4，∠BAC=∠EAD」 5/14 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)求证：AE=AD: (2)若∠1=35°，∠2=20°，则∠3= 3.(25-26八年级上山东聊城期末)如图，△ABC为等边三角形，点D在BC边上，过点B作BE∥AC, 且BE=CD (I)求证：△ABE≌△ACD: (2)判断△ADE的形状，并说明理由 4.(2024浙江温州·二模)如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE,AB=AC,AD=AE,点D在 线段BC上，DE,AC交于点O,连结CE. (I)求证：AC平分∠BCE (2)若AO·AC=8,求AD的值 5.(25-26八年级上·湖南娄底·期末)如图，在等边△ABC中，点P为△ABC内一点，连接AP,BP,CP, 将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到AD,连接PD,PB. 6/14 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)求证：∠ABD=∠ACP: (2)若∠BPC=120°，E是BC的中点. ①求∠DBP的度数： ②求证：AP=2PE 6.(25-26八年级下广西南宁·开学考试)【探究实践】某数学兴趣小组准备了一些等腰三角形纸板平放 在同一平面上进行探究.比如把等腰三角形的顶角顶点重合在一起，位置摆放可以进行变化.设 PA=PB,PC=PD,该数学兴趣小组对∠APB与∠CPD的数量关系展开积极探究，组员们提出了自 己的猜想或发现： 图1 图2 图3 (I探究一：如图1，当∠APB=∠CPD时，连接AC、BD交于点O,小林发现一个结论：AC=BD 小亚证明了小林发现的结论是对的，请你写出小亚的证明过程： (2)探究二：如图2，连接BC,AD得到四边形ABCD,点P始终在四边形ABCD内部.小海对小美说： 点E是边AD的中点，当∠APB+∠CPD=18O°时，发现线段BC与线段PE存在一定的数量关系，你知 道这个数量关系吗？请你帮小美回答这个问题，并说明理由： (3)探究三：如图3，在探究二条件的基础上，小君同学将图3的三角板APB固定，将另外一个三角板 CPD绕点P旋转，设计了一道题：若F为BC边所在直线上一点，∠APB=a,当E、P、F三点共线时， 请直接写出∠CFP的度数（结果用含a的式子表示）. 题型04一线三等角模型 7/14 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 熔方法 模型特征：一条直线上依次出现三个相等的角（通常为直角、60°或45°），且有一组边相等。 核心考点：利用平角性质或三角形外角性质进行“等角代换”。 解题方法：遇“K字”结构，先找等角再AAS 1.识图形：认出“K字型”或“台阶型”结构： 2.推等角：利用“同角的余角相等”或“三角形的外角等于不相邻两内角之和”，推导出两组内等 角。 3.定AAS:结合题目给出的“一组边相等”，直接用AAS判定全等。 1.(25-26八年级下·云南玉溪开学考试)如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC过点C在△ABC 外作直线I,AM⊥I于点M,BN⊥I于点N M 图① 图② (I)试说明：MW=AM+BN, 2)图@，将（1)中条件政为∠10C=∠CEB=∠4CB=a0<a<180),4C=8C,请间(D中 的结论DE=AD+BE是否还成立？请说明理由. 2.(25-26八年级上：广西河池期末)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,AD⊥CE, BE⊥CE,垂足分别是D,E,BE=0.8,DE=1.7. B D 8/14 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)请说明CD和BE的数量关系，并说明理由： (2)求AD的长. 3.(25-26八年级上·宁夏吴忠·期中)如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，E,F为直线AD上的点， 连接BE,CF,且BE∥CF. (I)求证：△BDE≌aCDF： (2)若AE=15,AF=8,试求DE的长. 4.(24-25八年级上江西吉安期中)如图，在△ABC中，AB=AC,A,D,E三点在同一直线上， ∠BAD=∠ACE,∠BAC=∠ABD+∠BAD. B (I)求证：△BAD≌△ACE: (2)猜想线段BD,CE,DE之间的数量关系并证明. 5.(24-25七年级下·广东佛山期中)模型意识以及知识运用 B D E D DA E 图1 图2 图3 (I)【感知模型】如图1，正方形ABCD的顶点B在直线I上，分别过点A、C作AE⊥1于E,CF⊥I于 F.则△ABE≌ (2)【模型应用】如图2所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,BE⊥CE于E,AD⊥CE于D, 9/14 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 DE=12cm,AD=18cm,则BE的长为 cm (3)【模型变式】如图3，在△ABC中，AB=AC,点D、E分别是边AC、BC上一点，连接AE、BD 交于点G.点F是AE上一点，连接CF,若∠BAC=∠BGE=∠EFC,求证：AG=CF」 6.(25-26八年级上江西赣州期末)【问题初探】 (1)如图①，∠BAC=90°，AB=AC,直线I经过点A,分别从点B,C向直线I作垂线，垂足分别 为D,E,则DE,BD,CE的数量关系是 【变式探究】 (2)如图②， 在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,直线I经过点A,分别从点B,C向直线I作垂线，垂足分别为 D,E.已知BD=l0,CE=5,求DE的长： 【拓展应用】 (3)小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图③所示，以△ABC的边AB,AC 为一边向外作△BAD和△CAE,其中∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD,AC=AE,AF是边BC上的高. 延长PH交DE于点G,设△DG的面积为S,△1G的面积为，猫起S,S的大小关系，并说明 理由 B 图① 图② 图③ 题型05半角模型 啸方法 模型特征：一个角的度数恰好是另一个大角度数的一半（如90°内含45°，120°内含60°），且大角的两 边相等。 核心考点：通过旋转或截长补短，将分散的线段集中到一个三角形中。 解题方法：大角含半角，“旋转”或“截补”构造SAS 10/14 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1. 选策略： ()旋转法（推荐）：将半角一侧的三角形绕公共顶点旋转，使等大边重合。 (2)截长法：在长边上截取一段等于短边，创造对应边相等。 2.证两次全等： (I)第一次：证明旋转/截长后得到的三角形与原三角形全等(SAS),转移边和角。 (2)第二次：证明含有半角的两个小三角形全等(SAS),得出线段等量关系。 3.出结论：观察图形，通常会得出“长边=两短边之和”的倍分关系。 D B M 1.(24-25七年级下·四川成都期中)如图1：在四边形ABCD中，AB=AD,∠BAD=120°， ∠B=∠ADC=90°，E、F分别是BC,CD上的点，且∠EAF=60°，探究图中线段BE,EF,FD之 间的数量关系 E 图1 小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,先证明△ABE≌△ADG,再 证明△AEF≌△AGF,即可得出BE,EF,FD之间的数量关系，他的结论应是_， 像上面这样有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等的几何模型称为半角 模型. 拓展：如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=18O°，E、F分别是BC,CD上的点，且 ∠EAF=BD,则BE,EF,FD之间的数量关系是_，请证明你的结论. 11/14 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E 图2 2.(25-26八年级上山东临沂·期中)【问题背景】 半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等.通过翻折、旋转 或截长补短等方法，将角的倍分关系转化为角的相等关系，进一步构成全等三角形，从而构建模型， 解决问题. 如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，点E,F分别是BC,CD上 的点，且∠EAF=6O°，连接EF,探究线段BE,EF,DF之间的数量关系. G 、D 图1 图2 (I)探究发现：小雨同学的方法是延长FD到点G.使DG=BE，连接AG,先证明△ABE≌△ADG, 再证明△AEF≌aAGF,从而得出结论： 、 (2)拓展延伸：如图2，在四边形1BCD AB=AD,∠B+∠D=180°，E,F 中， BC,CD 分别是边 上的点，且 ∠E=∠BD,请问(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理 由 3.(24-25七年级下·安徽宿州月考)阅读下列学习内容： D D B F M E B G E N D 图1 图2 图3 12/14 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,∠BAD=120°，∠ABC=∠D=90°，E,F分别是BC、CD 上的点，且∠EAF=60°，探究图中线段BE,EF,FD之间的数量关系. 探究思路如下：延长EB到点G,使BG=DF,连接AG. AB=AD [∠GAB=∠DAF →AABG2AADF→ ∠ABG=∠D AG=AF ∠BAD=120°] →∠DAF+∠BAE=60°→∠GAB+∠BAE=60° ∠EAF=60°J AE=AE ∠EAG=60°→∠FAE=∠EAG →△AEF≌AAEG→EF=EG AF=AG 则由探究结果可知，图中线段BE、EF、FD之间的数量关系为 (2)根据上面的方法，解决问题：如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°，E、F分 别是BC、CD上的点，且∠E-BD,上述结论是否仍然成立，并说明理由： (3)如图3，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA,∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°，点M、N分别在 边BC、CD上，且∠MAN=45°，若BM=4,ND=3,请求直接写出MN的长度， 4.(24-25八年级上·重庆万州期中)按要求解答下列问题： 图1 图2 图3 (I如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且 ∠BAD=2∠EAF.求证：EF=BE+FD: (2②)如图2，在四边形1BCD中，1B=1D,∠B+∠D=180°EF BC CD 中， “、分别是边 上的点，且 ∠BAD=2∠EAF,请先写出EF、BE、FD之间的数量关系再证明： )如图3，在四边形4BCD中，AB=AD,∠B+∠ADC=180°EF 中， BC CD 分别是边、 延长线上的点， 13/14 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 且∠BAD=2∠EAF,请直接写出EF、BE、FD之间的数量关系（不证明）· 5.(23-24八年级上·山东临沂·期中)【基本模型】 (I)如图1，ABCD是正方形，∠EAF=45°，当E在BC边上，F在CD边上时，请你探究BE、DF与 EF之间的数量关系，并证明你的结论. 【模型运用】 (2)如图2，ABCD是正方形，∠EAF=45°，当E在BC的延长线上，F在CD的延长线上时，请你探 究BE、DF与EF之间的数量关系，并证明你的结论. D B E B C E 图1 图2 6.(24-25八年级上山东威海·期末)如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,点E,点F分别在边BC, CD上，已知∠EAF=D1B, ∠ABC+∠ADC=180°： D D A F 图1 图2 (I)求证：EF=BE+DF: (2)如图2，若点E,点F分别在边CB,DC的延长线上，其它条件不变，(1)中的结论还成立吗？ 若成立，请写出证明过程；若不成立，请写出新的结论，并说明理由. 14/14