精品解析：安徽省怀宁县高河中学2025-2026学年度第二学期期中考试高一数学试题

高河中学2025-2026学年度第二学期期中考试 高一数学试题 一、单选题 1. 在复平面内，复数满足，则复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法运算化简，即可根据几何意义求解. 【详解】由可得， 故复数z对应的点为，位于第二象限. 故选：B 2. 已知向量，向量，则实数x等于 A. 9 B. 4 C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】算出的坐标利用可得的值. 【详解】，又，故，所以，故选A. 【点睛】向量的数量积有两个应用：（1）计算长度或模长，通过用 ；（2）计算角，.特别地，两个非零向量垂直的充要条件是. 3. 在△ABC中，若三边之比，则等于（ ） A. B. C. 2 D. －2 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦定理将角化边，再结合已知条件，即可求得结果. 【详解】根据正弦定理可得. 故选：B. 4. 在梯形中，，点在对角线上，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量线性运算在几何图形中的应用，结合题意，直接表示即可. 【详解】根据题意，作图如下所示： 由题意得，. 故选：A. 5. 在△ABC中，若其面积为S，且=2S，则角A的大小为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】A 【解析】 【分析】由数量积的定义，结合条件即可求解. 【详解】因为，而，所以，所以，故. 故选：A 6. 如图所示，要测量底部不能到达的某电视塔的高度，在塔的同一侧选择两个观测点，且在两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得，两地相距500m，则电视塔的高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 设，将用表示，在中，由余弦定理得出关于的方程，求解，即可得到结论. 【详解】设，在中，， 所以. 在中，，所以. 在中，，， 由余弦定理得， 解得（舍去）. 故选:D. 【点睛】本题考查解三角形的实际应用，考查余弦定理，以及计算求解能力，属于中档题. 7. 已知向量满足，且在上的投影向量为单位向量，则（ ） A. B. C. 3 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】将的两边同时平方得，根据在上的投影向量为单位向量得到一个关于的方程，解方程即可. 【详解】将的两边同时平方得，展开得， 整理得， 由在上的投影向量为单位向量，可知其模长为1，即， 即，解得． 故选：A. 8. 在中，内角的对边分别为，且，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】由题意，根据余弦定理可得，结合基本不等式和可得，即可求解. 【详解】因为，由余弦定理可得， 则，则， 又，所以，则的面积， 当且仅当，即时，等号成立， 所以面积的最大值为． 故选：B． 二、多选题 9. 已知复数，为的共轭复数，则（ ） A. B. 的虚部为-2 C. D. 在复平面内，对应的点在第三象限 【答案】ACD 【解析】 【详解】，，则A正确，B错误． ，，C正确． ，对应的点在第三象限，D正确． 10. （多选）的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，则下列说法正确的是（   ） A. 若，则 B. 若，则是钝角三角形 C. 若，则为等腰三角形 D. 若，则有两解 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用大角对大边及正弦定理，结合余弦定理即可求解. 【详解】对于A，，所以，由正弦定理得，故A正确； 对于B，，故边最长，角最大. 设， 则. 所以角为锐角，故是锐角三角形，故B错误； 对于C，，则，则为等腰三角形，故C正确； 对于D，， 因为，故，结合可得， 根据正弦定理 由正弦函数的性质可知有两解， 所以有两解，故D正确. 故选：ACD. 11. 如图，在矩形ABCD内(不包含边界)有一动点Q，满足，，，若，其中，，则下列命题中正确的选项为（ ） A. 为定值 B. 且 C. 的最小值为 D. 的最大值为 【答案】BD 【解析】 【分析】以为原点，所在的直线为轴，以所在的直线为轴建，设，，可得，根据已知条件以及向量线性运算的坐标表示可得 ，，再利用三角函数的性质以及三角恒等变换即可得出正确选项. 【详解】 如图：以为原点，所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立平面直角坐标系， ，，， 设，， 因为，所以， ，，， 由可得：， 所以，，即，， 对于选项A：， 的值随的变化而变化，所以不是定值，故选项A不正确； 对于选项B：可得，所以， 故选项B正确； 对于选项C：，因为，可得 当时，的最大值为，而不是最小值，故选项C不正确； 对于选项D： 当时，最大值为，故选项D正确， 故选：BD. 三、填空题 12. ___________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据复数的乘法法则计算. 【详解】． 故答案为：2 13. 在△ABC中， ，a=c，则=_________. 【答案】1 【解析】 【详解】试题分析：由正弦定理知，所以，则，所以，所以，即． 【考点】解三角形 【名师点睛】①根据所给等式的结构特点，利用余弦定理将角化边是迅速解答本题的关键．②熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用． 14. 如图，为半圆的直径，点为的中点，点为线段上的一动点（含端点、）．若，则的取值范围是________ 【答案】 【解析】 【分析】设半圆的圆心为，分析可知，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，设点，其中，利用平面向量模长的坐标公式可求得的取值范围. 【详解】设半圆的圆心为，因为点为的中点，为半圆的直径，所以， 以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则、、，设点，其中， 则，，所以， 因为，所以，则， 故，即的取值范围是. 四、解答题 15. 已知向量，． （1）若，求； （2）若，，求与的夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量垂直求得的值，代入向量坐标，利用向量模长公式计算即得； （2）利用向量共线求得的值，代入向量坐标，利用向量夹角公式计算即得. 【小问1详解】 由题意， 因为，则，得， 则，所以； 【小问2详解】 由已知，又，， 所以，得， 则，， 故． 16. 已知复数. （1）若是关于的方程的一个根，求的值； （2）若复数满足，且是纯虚数，求复数. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）将代入方程中，结合复数乘法运算法则计算即可得； （2）设，结合复数模长公式及复数乘法运算法则计算即可得. 【小问1详解】 由是关于的方程的一个根， 所以，即有， 化简得，则； 【小问2详解】 设，所以， 又，且是纯虚数， 所以，解得或， 所以或. 17. 已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asin2B＝bsinA. （1）求B的大小； （2）若cosC＝，求的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理以及二倍角公式完成求解； （2）利用计算的正余弦值，再利用两角差的正弦公式完成结果求解. 【详解】解：（1）由正弦定理得： 即 ∵A，B∈(0，π) ∴(*)可化简为 ∴ (2）由(1)知，可得 ∵，C∈(0，π) ∴ ∵A∈(0，π) ∴ 【点睛】（1）边化角、角化边的过程中，对于正余弦定理的选择一定仔细分析； （2）三角形的问题中有一个隐含条件：，要注意使用. 18. 如图，在梯形中，，，E为上一点，且． （1）若，求的值； （2）已知． ①求的长； ②若，设P是线段上的一个动点（含端点），求的最大值． 【答案】（1） （2）①；②． 【解析】 【分析】（1）根据向量的线性运算，结合图形的几何性质，可得答案； （2）①利用同一组基底表示向量，根据数量积的运算律，可得答案； ②设，利用基底计算，根据二次函数性质求最值. 【小问1详解】 因为，，所以， 所以 ， 又，与不共线，所以，， 则． 【小问2详解】 ①由（1）知，， ， 所以 ． 又，所以，解得． ②设， 则， ． 又因为∠BAD＝，，， 所以 ． 因为，函数的对称轴为， 所以时，的最大值为． 19. 已知中，角所对的边分别为，满足． （1）求角的大小； （2）若，求周长的最大值； （3）若，为线段上一点，满足，求的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将已知条件进行边角转化，利用三角恒等变换求解即可； （2）结合余弦定理及基本不等式求解即可； （3）设，利用余弦定理及与互补，可得①，在中，由余弦定理可得②，由①②，求得，代入面积公式求解即可. 【小问1详解】 因为， 所以． 整理得：， 即，， 而,故，又因为，所以； 【小问2详解】 ，， 由余弦定理可得：， 即， 又因为，当且仅当时，等号成立； 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以周长，当且仅当时，等号成立， 所以周长的最大值为； 【小问3详解】 如图所示： 设， 则， 在中，由余弦定理可得： ， 在中，由余弦定理可得： ， 又因为与互补， 所以， 所以①， 在中，由余弦定理可得： ， 整理得，② 由①②可得：， 解得， 所以 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高河中学2025-2026学年度第二学期期中考试 高一数学试题 一、单选题 1. 在复平面内，复数满足，则复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知向量，向量，则实数x等于 A. 9 B. 4 C. 0 D. 3. 在△ABC中，若三边之比，则等于（ ） A. B. C. 2 D. －2 4. 在梯形中，，点在对角线上，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 在△ABC中，若其面积为S，且=2S，则角A的大小为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 6. 如图所示，要测量底部不能到达的某电视塔的高度，在塔的同一侧选择两个观测点，且在两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得，两地相距500m，则电视塔的高度是（ ） A. B. C. D. 7. 已知向量满足，且在上的投影向量为单位向量，则（ ） A. B. C. 3 D. 2 8. 在中，内角的对边分别为，且，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 6 二、多选题 9. 已知复数，为的共轭复数，则（ ） A. B. 的虚部为-2 C. D. 在复平面内，对应的点在第三象限 10. （多选）的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，则下列说法正确的是（   ） A. 若，则 B. 若，则是钝角三角形 C. 若，则为等腰三角形 D. 若，则有两解 11. 如图，在矩形ABCD内(不包含边界)有一动点Q，满足，，，若，其中，，则下列命题中正确的选项为（ ） A. 为定值 B. 且 C. 的最小值为 D. 的最大值为 三、填空题 12. ___________． 13. 在△ABC中， ，a=c，则=_________. 14. 如图，为半圆的直径，点为的中点，点为线段上的一动点（含端点、）．若，则的取值范围是________ 四、解答题 15. 已知向量，． （1）若，求； （2）若，，求与的夹角的余弦值． 16. 已知复数. （1）若是关于的方程的一个根，求的值； （2）若复数满足，且是纯虚数，求复数. 17. 已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asin2B＝bsinA. （1）求B的大小； （2）若cosC＝，求的值． 18. 如图，在梯形中，，，E为上一点，且． （1）若，求的值； （2）已知． ①求的长； ②若，设P是线段上的一个动点（含端点），求的最大值． 19. 已知中，角所对的边分别为，满足． （1）求角的大小； （2）若，求周长的最大值； （3）若，为线段上一点，满足，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $