精品解析：安徽省安庆市怀宁县第二中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷

怀宁二中2023-2024学年度第二学期期中考试 高一数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若（i为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知点在所在平面内，满足，则点是的（ ） A. 外心 B. 内心 C. 垂心 D. 重心 3. 用斜二测画法作一个边长为2的正方形，则其直观图的面积为（　　） A. B. 2 C. 4 D. 4. 圣•索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美．为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物，高约为，在它们之间的地面上的点（，，三点共线）处测得楼顶，教堂顶的仰角分别是和，在楼顶处测得塔顶的仰角为，则估算索菲亚教堂的高度约为（ ） A. B. C. D. 5. 下图是一个圆台的侧面展开图，已知，且，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在正方体中，异面直线与所成角为（ ） A. B. C. D. 7. 若复数z满足(为虚数单位），则的最大值为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. +1 8. 在中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足，，则的形状是（ ） A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知点，，则下列向量与平行的向量是（ ） A. B. C. D. 10. 已知的内角所对的边分别是，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则钝角三角形 C. 若，则为等腰三角形 D. 若，则为直角三角形 11. 在正四面体中，若，为的中点，下列结论正确的是（ ） A. 正四面体的体积为 B. 正四面体外接球的表面积为 C. 正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值 D. 正四面体内接一个圆柱，使圆柱下底面在底面上，上底圆面与面、面、面均只有一个公共点，则圆柱的侧面积的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，的夹角为，，，则=__________ ． 13. 若复数，则_________. 14. 已知平面向量满足与的夹角为60°，若与的夹角为钝角，则满足条件的的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知. （1）若与共线，求值； （2）若与垂直，求的值. 16. 在长方体中，，，M、N分别是AD、DC的中点. （1）求：棱锥的体积； （2）求：异面直线与所成角的余弦值. 17. 如图，在中，，斜边是的中点，现将以直角边为轴旋转一周得到一个圆锥，点为圆锥底面圆周上的一点，且． （1）求圆锥表面积； （2）若某动点在圆锥侧面上运动，试求该动点从点出发运动到点所经过的最短距离； （3）若一个棱长为的正方体木块可以在这个圆锥内任意转动，求的最大值． 18. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若； （1）求B； （2）若，试判断的形状. （3）若，求的面积的最大值． 19. 如图是在沿海海面上相距海里的两个哨所，位于的正南方向.哨所在凌晨1点发现其南偏东方向处有一艘走私船，同时，哨所也发现走私船在其东北方向上.两哨所立即联系缉私艇前往拦截，缉私艇位于点南偏西的点，且与相距海里，试求： （1）刚发现走私船时，走私船与哨所距离； （2）刚发现走私船时，走私船距离缉私艇多少海里？在缉私艇的北偏东多少度？ （3）若缉私艇得知走私船以海里/时的速度从向北偏东方向逃窜，立即以30海里/时的速度进行追截，缉私艇至少需要多长时间才能追上走私船？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 怀宁二中2023-2024学年度第二学期期中考试 高一数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若（i为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算化简，结合共轭复数的概念及复数几何意义即可得结论. 【详解】因为，所以， 所以复数在复平面内对应的点为，位于第一象限． 故选：A 2. 已知点在所在平面内，满足，则点是的（ ） A. 外心 B. 内心 C. 垂心 D. 重心 【答案】A 【解析】 【分析】根据点到的距离相等可得答案. 【详解】因为，即点到的距离相等， 所以点是的外心. 故选：A 3. 用斜二测画法作一个边长为2的正方形，则其直观图的面积为（　　） A. B. 2 C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据斜二测画法的原则得到直观图的对应边长关系，即可求出相应的面积. 【详解】根据斜二测画法的原则可知， 所以对应直观图的面积为. 故选：D. 4. 圣•索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美．为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物，高约为，在它们之间的地面上的点（，，三点共线）处测得楼顶，教堂顶的仰角分别是和，在楼顶处测得塔顶的仰角为，则估算索菲亚教堂的高度约为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得，，在中由正弦定理解三角形可得. 【详解】 由题可知，， 由题意，，， 在中由正弦定理可得，即，得， 故选：B 5. 下图是一个圆台的侧面展开图，已知，且，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，求出圆台的上下底面圆的半径，再求出圆台的高并结合圆台的体积公式求解作答. 【详解】设圆台上底面圆半径为，下底面圆半径为，母线长为，高为， 依题意，， 解得，， 而圆台的母线长， 因此圆台的高， 所以圆台的体积. 故选：D. 6. 如图，在正方体中，异面直线与所成的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用几何法求出异面直线所成的角. 【详解】在正方体中，连接，四边形是其对角面， 则四边形是矩形，，于是是异面直线与所成的角， 而，即为正三角形，， 所以异面直线与所成的角为. 故选：C 7. 若复数z满足(为虚数单位），则的最大值为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. +1 【答案】C 【解析】 【分析】设，根据已知可得出.根据几何意义，结合三角恒等变换化简，即可得出答案. 【详解】设，则. 由已知可得，. 设，， 则. 所以，. 当，即时，该式有最大值， 所以，， 所以，. 故选：C. 8. 在中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足，，则的形状是（ ） A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理可得，由三角形内角和可得，由此可得，进而可得到，即可判断三角形形状. 【详解】因为， 所以由正弦定理得， 整理得， 由于， 所以， 由正弦定理可得. 又因为，故， 所以为等边三角形． 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知点，，则下列向量与平行的向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据向量平行的定理逐一判断即可. 【详解】由已知， 存在实数，使， 存在实数，使， 存在实数，使， 不存在实数，使， 故选：ABC. 10. 已知的内角所对的边分别是，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则是钝角三角形 C. 若，则为等腰三角形 D. 若，则为直角三角形 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，利用正弦定理，进而可求，即可判断；对于B，由余弦定理可得，角为钝角，即可判断；对于C，由题意利用正弦定理，二倍角的正弦公式可得，可得或，即可判断；对于D，由题意利用正弦定理，三角函数恒等变换可求，可得，即可判断. 【详解】对于A，，根据正弦定理得，故A正确； 对于B，， 由余弦定理可得，即角为钝角，故B正确； 对于C，由题意及正弦定理得，， 所以. 解得或，即或， 所以是等腰三角形或直角三角形，故C错误； 对于D，由题意及正弦定理得，， . 又，则， ，故D正确. 故选：ABD. 11. 在正四面体中，若，为的中点，下列结论正确的是（ ） A. 正四面体的体积为 B. 正四面体外接球的表面积为 C. 正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值 D. 正四面体内接一个圆柱，使圆柱下底面在底面上，上底圆面与面、面、面均只有一个公共点，则圆柱的侧面积的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A,作出正四面体的高,利用勾股定理可求其值，计算体积即可；对于B，确定外接球球心在高上，利用直角三角形，建立方程，解出后进一步计算即可；对于C，以点为顶点构造四个三棱锥，利用等体积法即可求解；对于D，作出棱锥中一个平行于底面的截面所成正三角形，设其边长为，其内切圆为所求圆柱的上底面，根据条件建立方程，求出底面圆半径后，求得圆柱侧面积，利用函数的性质求最值即可. 【详解】由于正四面体各棱都相等，即各面都正三角形， 故棱长2，如下图所示， 为底面中心，为的中点则共线，为正四面体的高， 故， 所以, 故四面体的体积为 ， 故A错误； 由题意，正四面体外接球球心在上， 且半径, 所以， 则, 故外接球的表面积为， 故B正确； 正四面体内一点，设到四个面的距离分别为， 则正四面体的体积 ， 故， 即正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值， 故C正确； 如下图，棱锥中一个平行于底面的截面所成正三角形的内切圆为正四面体内接圆柱的一个上底面， 若截面所成正三角形边长为， 则圆柱的高， 圆柱底面半径为， 所以其侧面积 ， 故当时，，D正确， 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，的夹角为，，，则=__________ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，利用数量积的定义得到，再根据模的定义及数量积的运算，即可求出结果. 【详解】因为向量，的夹角为，，，所以， 所以，得到， 故答案为：. 13. 若复数，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】首先根据复数代数形式的除法运算化简复数，再根据复数乘方法则计算可得. 【详解】因为， 又，，，所以， 所以 . 故答案为： 14. 已知平面向量满足与的夹角为60°，若与的夹角为钝角，则满足条件的的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据与的夹角为钝角，由，且不反向共线求解. 【详解】因为平面向量满足与的夹角为60°， 所以， ， 因为与的夹角为钝角， 所以，且不反向共线， 由，解得， 由，则， 则，解得， 所以且， 所以取值范围为， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知. （1）若与共线，求的值； （2）若与垂直，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先求向量的坐标，再根据向量共线的坐标表示，即可求解； （2）首先求向量的坐标，再根据向量垂直的坐标表示，即可求解. 【小问1详解】 由， 得，， 若与共线，则， 解得：； 【小问2详解】 ，， 若与垂直，则， 解得；. 16. 在长方体中，，，M、N分别是AD、DC的中点. （1）求：棱锥的体积； （2）求：异面直线与所成角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据锥体体积公式求出答案； （2）作出辅助线，由线线平行得到异面直线与所成角为或其补角，求出各边，由余弦定理得到答案． 【小问1详解】 ∵，，∴，， 故， 又⊥平面， 故三棱锥的体积为： . 【小问2详解】 连接， ∵M、N分别是AD、DC的中点，∴， 又，∴，    异面直线与所成角为或其补角， 其中，， 由余弦定理得， 故异面直线与所成角的余弦值为． 17. 如图，在中，，斜边是的中点，现将以直角边为轴旋转一周得到一个圆锥，点为圆锥底面圆周上的一点，且． （1）求圆锥的表面积； （2）若某动点在圆锥侧面上运动，试求该动点从点出发运动到点所经过的最短距离； （3）若一个棱长为的正方体木块可以在这个圆锥内任意转动，求的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）直接计算表面积即可. （2）确定圆锥的展开图为半圆，再利用余弦定理计算得到答案. （3）正方体的外接球在圆锥内相切时最大，根据中，，解得答案. 【小问1详解】 ，，则，圆锥的表面积为. 【小问2详解】 设圆锥展开扇形的圆心角为，，故，如图所示： ，，故. 动点从点出发运动到点所经过的最短距离为. 【小问3详解】 正方体的外接球在圆锥内，与圆锥相切时最大，球心在上，作于， 设球半径为，，则在中，，解得， ，解得，即的最大值为. 18. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若； （1）求B； （2）若，试判断的形状. （3）若，求的面积的最大值． 【答案】（1） （2）为等边三角形 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意结合正弦定理分析求解； （2）根据题意结合余弦定理分析求解； （3）根据题意利用基本不等式可得，代入面积公式运算求解. 【小问1详解】 因为，由正弦定理可得， 因为，则，可得， 即，所以. 【小问2详解】 由（1）可知：， 由余弦定理可得：， 又因为，即， 可得，整理得，即， 所以为等边三角形. 【小问3详解】 由（2）可知：，即， 当且仅当时，等号成立， 所以的面积的最大值为. 19. 如图是在沿海海面上相距海里的两个哨所，位于的正南方向.哨所在凌晨1点发现其南偏东方向处有一艘走私船，同时，哨所也发现走私船在其东北方向上.两哨所立即联系缉私艇前往拦截，缉私艇位于点南偏西的点，且与相距海里，试求： （1）刚发现走私船时，走私船与哨所的距离； （2）刚发现走私船时，走私船距离缉私艇多少海里？在缉私艇的北偏东多少度？ （3）若缉私艇得知走私船以海里/时的速度从向北偏东方向逃窜，立即以30海里/时的速度进行追截，缉私艇至少需要多长时间才能追上走私船？ 【答案】（1） （2）走私船距缉私艇30海里，在缉私艇的北偏东方向上 （3）小时 【解析】 【分析】（1）在中根据正弦定理可得结果； （2）在中根据余弦定理可得结果； （3）在中由余弦定理可得结果. 【小问1详解】 由在的南偏东，在的东北偏方向，在中， ，由正弦定理得， ， 代入上式得：海里． 答：走私船与观测点距离为海里； 【小问2详解】 在中，海里，海里，， ． ， ，解得海里， 又， 且，所以， 故刚发现走私船时，走私船距缉私艇30海里，在缉私艇的北偏东方向上． 【小问3详解】 设小时后缉私艇在处追上走私船，则， 又，， 在中，由余弦定理得， ，化简得 解得．故缉私艇至少需要小时追上走私船． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$