第十六章 相交线与平行线单元复习（高效培优讲义）数学新教材沪教版五四制七年级下册

该初中数学单元复习讲义通过知识框架系统梳理相交线与平行线核心内容，涵盖对顶角、垂直、三线八角、平行线判定与性质及命题与证明，以几何语言表述和图形示例呈现概念内在联系，突出重点难点分布。 讲义亮点在于分层练习设计，典例与变式题覆盖基础应用到综合探究，如结合自行车几何示意图、护眼灯模型培养几何直观和推理意识，帮助不同层次学生掌握方法，支持教师实施精准化复习教学。

第十六章 相交线与平行线单元复习 对顶角 1. 定义 它们有一个公共顶点，且两边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角叫做对顶角. 2. 性质 对顶角相等 【即学即练】 1. 如图，三条直线a,b,c相交于点P，问图中共有几对对顶角？ 解：因为两直线相交有两对对顶角，而图中共有3组直线两两相交，分别是直线a,b相交；直线a,c相交；直线b,c相交. 所以图中共有6对对顶角. 垂直 1. 定义 当两条直线相交，夹角为90o时，这两条直线互相垂直.其中一条直线叫做另一条直线的垂线. 【即学即练】 1. 如图，直线AB与直线CD互相垂直，垂足为O，则记作：CD⏊AB 2 垂线性质 垂线公理：平面说，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 垂线性质指明垂线的存在性和唯一性，是垂线作图的保证. 3. 垂线段 (1)定义：如图1，PO⏊l，垂足为 O，线段 PO 叫作点 P 到 l 的垂线段.其中线段 PO 的长度叫作点 P 到直线 l 的距离. (2)性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短. 如图2，PO<PA，PO<PB(垂线段最短) 三线八角 1.两条直线被第三条直线所截 直线AB、CD都和直线EF相交叫作直线 AB、CD 被直线 EF 所截， 在两个交点处形成八个角叫作“三线八角”，其中AB、CD叫作被截线，EF叫作截线.； 2.同位角、内错角、同旁内角 三线八角是指没有公共顶点的两个角之间的关系. （1）同位角：在两条被截直线的同侧，第三条截线的同旁.同位角形如字母“F”，图中的同位角有:∠1与∠6，∠2与∠5，∠3与∠8，∠4与∠7 （2）内错角：在两条被截直线之间，第三条截线的两旁. 内错角形如字母“N、Z”，图中的内错角有：∠1与∠8，∠4与∠5 （3）同旁内角：在两条被截直线之间，第三条截线的同旁. 同旁内角形如字符“匚”，图中的同旁内角有：∠1与∠5，∠4与∠8 平行线的判定与性质 1. 定义 在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线 易错点：强调是“同一平面内”.生活中还有一种位置关系叫作“异面直线”. 平行线的表示方法：若直线 AB 与直线 CD 平行，记作：AB//CD， 读作：直线AB平行于直线CD. 2.平行公理 （1）基本事实(平行公理)：经过直线外一点，有且只有1条直线与该直线平行。 易错点：强调是“直线外一点” （2）平行公理的推论——平行的传递性 定理：在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 几何语言： ∵b//a，c//a ∴b//c 3.平行线的判定与性质 平行线的判定定理1： 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行. 简称：同位角相等，两直线平行. 平行线的性质定理1： 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等. 简称：两直线平行，同位角相等. 几何语言表述： 判定： ∵∠1=∠5 ∴a//b (同位角相等，两直线平行)  性质： ∵a//b ∴∠1=∠5（两直线平行，同位角相等）   【即学即练】 平行线的判定定理2： 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行. 简称：内错角相等，两直线平行. 平行线的性质定理2： 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等. 简称：两直线平行，内错角相等. 几何语言表述： 判定： ∵∠3=∠5 ∴a//b (内错角相等，两直线平行) 性质： ∵a//b ∴∠3=∠5（两直线平行，内错角相等）   【即学即练】 平行线的判定定理3： 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行. 简称：同旁内角互补，两直线平行. 平行线的性质定理3： 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补. 简称：两直线平行，同旁内角互补. 几何语言表述： 判定： ∵∠2+∠5=180° ∴a//b (同旁内角互补，两直线平行) 性质： ∵a//b ∴∠2+∠5=180°（两直线平行，同旁内角互补）   【即学即练】 命题与证明 1.命题 （1）用自然语言、符号或式子表达，且可以判断其真假的语句叫作命题. 一句话是不是命题，关键是看这句话有无进行判断.如：“同角的余角相等”是命题，因为它对两个角是否相等做出了判断；再比如“互为相反数的绝对值相等吗？”这句话是个疑问句，因为它对两个数是否相等没有做出判断.所以不是命题. 正确的命题叫作真命题，错误的命题叫作假命题. （2）命题的条件和结论 命题通常由条件、结论两部分组成.命题常可以写成“如果……,那么……”的形式.其中，用“如果”开始的部分是条件，用“那么”开始的部分是结论. 有一些命题是简缩句，省略掉的词句要先补充完整再作条件和结论的分析. 如：“对顶角相等” 可改成：“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”. 2. 证明 （1）公理：在几何里，挑选其中一些基本事实，承认其正确性，将其作为用逻辑推理证实其他事实的原始依据.这些基本事实称为公理. 直线公理：过两点有一条直线，并且只有一条直线。 平行线的判定公理：同位角相等，两直线平行. （2）定理：在几何里，通过逻辑推理证实了的猜想作为定理，定理将被作为证实其他事实的依据. 平行线的判定定理2：内错角相等，两直线平行. （3）证明：数学上要求从已知条件出发，依据已被确认的事实(包括定义、公理等),通过逻辑推理说明猜想的正确性，这个过程叫作证明. 题型01 对顶角 【典例1】（24-25七年级下·上海普陀·期中）已知与是对顶角，且与互余，那么______． 【答案】 【分析】本题考查了对顶角、邻补角，余角和补角，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 根据对顶角相等得出，再根据互为余角的定义得出，即可求出的度数． 【详解】解：∵与是对顶角， ∴， ∵与互余， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级下·湖南长沙·月考）如图，直线，相交于点O，，则的度数为 _________ ． 【答案】 【分析】本题考查的是垂直的含义，角的和差运算，对顶角的性质，先求解，可得，再进一步可得答案. 【详解】解：由图可知：， ∴（垂直的定义）， ∵， ∴， ∵直线，相交于点O， ∴（对顶角相等）， 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级下·上海金山·期中）如图，如果，与互余，那么的度数是______． 【答案】 【分析】本题考查了余角的定义及等角的余角相等，对顶角相等，属于基础题，计算过程中细心即可． 根据余角的定义及等角的余角相等，对顶角相等，即可求解． 【详解】解：∵与互余， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·全国·单元测试）若两条直线相交所成的四个角中，有两个角分别是和，则________． 【答案】40或80/80或40 【分析】此题考查了两条直线相交所成角的关系，一元一次方程的应用，正确理解两条直线相交所成角的关系是解题的关键． 由两条直线相交所成的四个角中，有邻补角有对顶角，由此列方程解答． 【详解】解：当两个角是对顶角时，，解得； 当两个角是邻补角时，，解得， 故答案为：40或80． 【变式4】（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，直线a，b相交，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了对顶角的概念，解题的关键掌握对顶角相等的概念． 【详解】解：由题图可知与互为对顶角，所以． 因为， 所以， 所以， 故答案为：． 题型02 两直线垂直 【典例1】（24-25七年级下·上海·期中）如图，在中，，是斜边上的高，那么表示点到直线的距离是（　　） A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 【答案】A 【分析】本题考查了点到直线的距离，根据点到直线的距离是指该点到直线的垂线段的长度，即可得解． 【详解】解：由题意可得：表示点到直线的距离是线段的长度， 故选：A． 【变式1】（24-25七年级上·江苏常州·期末）立定跳远是常州体育中考项目之一，女生成绩达到或超过获得满分，达到或超过获得加分．如图，一女生在起跳线上的点A处起跳，，垂足为C．若该女生获得满分但未加分，则下列说法中正确的是（    ） A．可能为 B．可能为 C．可能为 D．可能为 【答案】D 【分析】本题考查了垂线段最短，熟练掌握垂线段的性质是关键． 根据题意和垂线段最短的性质判断即可． 【详解】解：∵该女生获得满分但未加分， ∴ ∵， ∴可能为， 故选项D符合题意． 故选：D． 【变式2】（24-25七年级下·上海嘉定·期末）如图，直线相交于点O，平分，．如果，那么______． 【答案】 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，垂线的定义，先由垂线的定义得到，则可求出的度数，再由角平分线的定义得到的度数，最后根据平角的定义可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·陕西安康·月考）如图，在直角三角形中，，过点作于点，则线段___________的长可以表示点到直线的距离． 【答案】/ 【分析】本题考查了点到直线的距离的定义（垂线段的长度），能熟记点到直线的距离的定义的内容是解此题的关键．根据点到直线的距离的定义得出即可． 【详解】解：结合图形， ∵， ∴点B到的距离是线段的长度， 故答案为：． 【变式4】（24-25七年级上·上海徐汇·期末）如图，直线、相交于E，，垂足为E．当时，________． 【答案】/57度 【分析】根据垂直的定义求出，可得的度数，再根据对顶角相等即可得出答案． 本题考查了垂线，对顶角，熟练掌握垂直的定义，对顶角的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 题型03 三线八角 【典例1】（24-25七年级下·上海浦东新·期中）如图所示，下列说法中正确的是（   ） A．与是同位角 B．与是同位角 C．与是内错角 D．与是同旁内角 【答案】C 【分析】本题考查三线八角，根据同位角，内错角，同旁内角的定义，进行判断即可． 【详解】解：A、与是同旁内角，原说法错误，不符合题意； B、与不是同位角，原说法错误，不符合题意； C、与是内错角，原说法正确，符合题意； D、与不是同旁内角，原说法错误，不符合题意； 故选C． 【变式1】（24-25七年级下·广东江门·月考）如图，下列结论中错误的是（   ）    A．与是同位角 B．与是同旁内角 C．与是对顶角 D．与是内错角 【答案】D 【分析】本题主要考查了同位角，内错角，同旁内角和对顶角的定义，两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角；有公共顶点，且角的两边互为反向延长线的两个角互为对顶角；据此分别进行分析可得答案． 【详解】解：A、与是同位角，原说法正确，不符合题意； B、与是同旁内角，原说法正确，不符合题意； C、与是对顶角，原说法正确，不符合题意； D、与不是内错角，原说法错误，符合题意； 故选；D． 【变式2】（24-25七年级下·上海·期中）如图，与是___________角，与是___________角．（填“同位角”、“内错角”或“同旁内角”） 【答案】 同位角 同旁内角 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，熟记定义是解题的关键． 根据同位角、内错角、同旁内角的定义求解即可． 【详解】如图，与是同位角，与是同旁内角． 故答案为：同位角，同旁内角． 【变式3】（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，下列结论：①与是内错角；②与是同位角；③与是同旁内角，其中正确的有________（只填序号）． 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查了内错角、同位角及同旁内角的判断，熟练掌握相关概念是解题关键． 根据内错角、同位角及同旁内角的性质逐一判断即可． 【详解】解：与是内错角，①正确； 与是同位角，②正确； 与是同旁内角，③正确； 故答案为：①②③． 【变式4】（24-25七年级上·上海徐汇·期末）如图：与构成同旁内角的角有 _____个． 【答案】3 【分析】本题考查同旁内角，关键是掌握同旁内角的定义．根据两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角，由此即可得到答案． 【详解】解：能与构成同旁内角的角有、、，共3个． 故答案为：3． 题型04 平行线的判定与性质 【典例1】（24-25七年级下·全国·单元测试）已知，，是同一平面内的三条直线，下列说法正确的是（    ） A．若a⏊b，，则 B．若a⏊b，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【详解】解：由，，是同一平面内的三条直线， 、∵a⏊b，， ∴，该选项错误，不符合题意； 、∵a⏊b，， ∴，该选项错误，不符合题意； 、∵，， ∴，该选项错误，不符合题意； 、根据平行公理的推论，同一平面内平行于同一条直线的两条直线互相平行， ∵，， ∴，该选项正确，符合题意． 【典例2】（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，将三角板与两边平行的直尺贴在一起，使三角板的直角顶点在直尺的一边上，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，关键是平行线性质的熟练掌握．根据平行线的性质“两直线平行，同位角相等”即可求得． 【详解】解：，， ， ， ， 所以的度数是， 故选： C． 【典例3】（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，已知，平分，如果，那么_________°． 【答案】50 【分析】本题考查了三角形内角和，平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握角的和差关系是解题的关键．首先证明，再利用三角形内角和是，求解即可． 【详解】解：， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 解得． 故答案为：50． 【变式1】（22-23七年级下·陕西西安·月考）下列说法中正确的是（    ） A．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．从直线外一点到已知直线引垂线，点和垂足之间的垂线段叫做这个点到这条直线的距离 D．如果直线a与b相交，b与c相交，那么a与c相交 【答案】B 【分析】根据平行公理，垂线的性质，点到直线的距离以及相交线的概念分别判断即可． 【详解】解：A、平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故错误，不合题意； B、平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故正确，符合题意； C、从直线外一点到已知直线引垂线，点和垂足之间的垂线段的长度叫做这个点到这条直线的距离，故错误，不合题意； D、如果直线a与b相交，b与c相交，那么a与c不一定相交，有可能平行，故错误，不合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了平行公理，垂线的性质，点到直线的距离以及相交线，熟练掌握相关基本知识方能正确选择． 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）在同一平面内有2026条直线，，…，，如果，，，，…，以此类推，那么与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．重合 【答案】A 【解析】本题主要考查了平行线的判断，图形类的规律探索，从题目中找出各直线间的位置关系是解题的关键． 根据在同一平面内，平行于同一条直线的两直线平行，垂直于同一条直线的两直线平行等，进行判定位置关系，然后推导出一般性规律：从开始，每4条直线为一个循环，与它们的位置关系分别为，，，，然后求解即可． 【变式3】（24-25七年级下·上海青浦·期中）如图，直线a、b被直线c所截，下列选项中不一定能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．根据平行的判定进行判定即可． 【详解】解：，根据同位角相等，两直线平行，可得，故选项A不符合题意； 不一定能判定，故选项B符合题意； ，根据同位角相等，两直线平行，可得，故选项C不符合题意； ，根据内错角相等，两直线平行，可得，故选项D不符合题意； 故选B． 【变式4】（24-25七年级下·上海金山·期中）如图①，“二八大杠”传统老式自行车承载了一代人的回忆，图②是它的几何示意图．已知，，当，时，的度数为_____． 【答案】66 【分析】本题考查了平行线的性质．根据，可得，根据，可得，由此可得，即可得解． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式5】（24-25七年级下·上海·期中）补全下列推理过程： 如图，，，，试说明 解：，，（已知）， ，（________）， （________） （________） （已知）， ________________（等量代换）． （________________）． 【答案】见解析 【分析】本题考查证明补充条件，平行线的判定和性质，根据条件与结论因果关系，平行线的判定和性质直接填写即可得到答案． 【详解】解：∵，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）． 题型05 平行线中的几何模型 【典例1】（24-25七年级下·上海奉贤·期中）如图，已知，交于点，，，那么___________ 【答案】/28度 【分析】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键；过点F作，由平行线的性质推出，，再根据，即可求出的度数． 【详解】解：如图，过点F作， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴. 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级下·上海闵行·月考）近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，．经使用发现，当时，台灯光线最佳，此时的度数为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂线的定义，过点作，先得，由垂线的定义得到，，根据平行线的性质求出，即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点作， ∵， ∴ ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级下·甘肃平凉·月考）如图是一款折叠护眼灯示意图，与桌面垂直，当发光的灯管恰好与桌面平行时，，，则的度数为______． 【答案】/108度 【分析】本题考查平行线的判定和性质，过点作，过点作，根据平行线的性质求解即可，解题的关键是过拐点构造平行线． 【详解】解：如图，过点作，过点作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·上海嘉定·期中）如图，已知，与交于点，，，则的度数为多少？ 【答案】 【分析】本题考查平行线的判定及性质．过点P作，可得，根据平行线的性质求出，，进而根据角的和差即可求解． 【详解】解：过点P作， ∵，， ∴， ∴， ， ∴． 【变式4】（24-25七年级下·重庆·月考）如图，已知是直线，间的一点，于点，交于点，． (1) ． (2)如图2，射线从出发，以每秒的速度绕点按逆时针方向旋转，当垂直时，立刻按原速返回至后停止运动；射线从出发，以每秒的速度绕点按逆时针方向旋转至后停止运动，若射线，射线同时开始运动，设运动时间为秒． ①当时，请求出的度数； ②当时，请求出的值． 【答案】(1) (2)①或；②或 【分析】本题考查了平行线的判定和性质以及一元一次方程的应用，正确理解题意、熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． （1）过点P作，则，根据平行线的判定和性质以及垂直的定义可得，再利用角的和差即可求解； （2）①当时，分两种情况，当在和之间，当在和之间，计算出的运动时间t，根据运动时间可计算出，由已知可计算出的度数； ②分四种情况：当、、与，根据平行线的性质列出方程求解即可． 【详解】（1）解：过点P作，则， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴； （2）解：①当在和之间时，如图2， ∵，， ∴， ∴射线运动的时间秒， ∴射线旋转的角度， 又∵， ∴； 当在和之间时，如图3所示， ∵，， ∴， ∴射线ME运动的时间秒， ∴射线旋转的角度， 又∵， ∴； ∴的度数为或； ②当，即时，若，如图， 则，即， 解得：，不合题意，舍去；      当时，若，如图， 则，即， 解得：；      当时，若，如图， 则，即， 解得：；      当时，不存在互相平行的情况； 综上，当时，t的值是或． 【变式5】（24-25七年级下·上海奉贤·期中）在学习了《相交线与平行线》后，数学小组进行探究平行线的“等角转化”功能的活动． (1)如图1，已知，． ①求证：； ②探究与之间有怎样的数量关系？并说明理由： (2)实际应用：如图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮与支撑平台平行，如果，那么的度数为 【答案】(1)①见解析；②，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，添加平行线求解是解答的关键． （1）①根据同旁内角互补两直线平行，即可得，根据平行线的性质可得，结合已知条件得出，根据内错角相等两直线平行，即可得证； ②过点作，根据两直线平行，内错角相等得出，，进而即可求解； （2）过点作，根据题意以及平行线的性质得出，，即可求解． 【详解】（1）①证明：∵， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴； ②，理由如下， 如图所示，过点作 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （2）解：如图所示，过点作， 依题意，， ∴ ∴，， ∵，， ∴． 题型06 命题与证明 【典例1】（25-26七年级上·上海·期末）下列命题中，判断错误的是（   ） A．所有定理都有逆命题 B．对顶角相等的逆命题是真命题 C．假命题的逆命题不一定是假命题 D．两条平行线被第三条直线所截，内错角的平分线互相平行 【答案】B 【分析】本题考查命题、逆命题的定义及真假判断，解题关键是明确每个命题的逆命题，并判断其真假． 【详解】解：选项A：任何命题都有逆命题，定理属于命题，因此定理都有逆命题，该判断正确； 选项B：“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”，相等的角不一定是对顶角(如两直线平行时的同位角)，因此逆命题是假命题，该判断错误； 选项C：假命题的逆命题可能为真，也可能为假，例如假命题“若，则”的逆命题“若，则”也是假命题；而假命题“相等的角是对顶角”的逆命题“对顶角相等”是真命题，因此该判断正确． 选项D：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，其角平分线分得的角也相等，可推出两条角平分线的内错角相等，故角平分线互相平行，该判断正确． 因此，判断错误的是选项B． 故选：B． 【典例2】（24-25七年级下·上海·期末）将“同角的补角相等”改写成“如果...那么....”的形式：_______． 【答案】如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等 【典例3】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在三角形中，，是上的点，是上一点，，是上的点，．连接，，．有下列三个条件：①；②；③． (1)请从三个条件中任选两个与题干结合作为题设，另一个作为结论．写出所有命题，并判断这些命题是真命题还是假命题； (2)请你选择（1）中的一个真命题进行证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查平行线的性质和判定，垂直的定义； （1）根据题意写出命题，并判断真假即可； （2）选择命题一：先根据垂直得到，即可得到，然后根据角的和差解题即可；选择命题二：延长、交于点，根据垂直可得，然后根据，得到，然后根据等量代换的到，即可得到，证明结论；选择命题三：延长、交于点，可以得到，即可得到，然后推导，即可得到平行． 【详解】（1）命题一：已知， 若，，则；真命题． 命题二：已知， 若，，则；真命题． 命题三：已知， 若，，则；真命题． （2）选择命题一． 证明：，， ， ， ． 又， ， ， ． 选择命题二：延长、交于点， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 选择命题三：延长、交于点， ，， ， ， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【变式1】（24-25七年级下·上海松江·期末）下列各命题的逆命题成立的是（    ） A．直角都相等 B．如果，那么 C．对顶角相等 D．两直线平行，同旁内角互补 【答案】D 【分析】本题考查了写出命题的逆命题，判断命题的真假，先写出各个选项的逆命题，再结合直角的定义、对顶角的定义、有理数的乘方以及平行线的判定与性质逐项分析即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：A、逆命题为：相等的角都是直角，该逆命题不成立，故不符合题意； B、逆命题为：如果，那么，该逆命题不成立，故不符合题意； C、逆命题为：相等的角都是对顶角，该逆命题不成立，故不符合题意； D、逆命题为：同旁内角互补，两直线平行，该逆命题成立，故符合题意； 故选：D． 【变式2】（24-25八年级上·上海·期中）命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． (1)请将此命题改写成“如果，那么”的形式：________； (2)请写出“已知”和“求证”，并证明过程． 【答案】(1)在同一平面内，如果两条直线都和同一条直线垂直，那么这两条直线互相平行； (2)证明见解析． 【分析】（）根据命题是由两部分组成的， 如果后边跟的是条件， 那么后边跟的是结论，在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，这个命题的条件是“两条直线都和同一条直线垂直”，结论是“这两条直线平行”； （）先把原命题用几何语言表达出来，再根据同位角相等两直线平行进行证明即可； 本题主要考查了命题的定义的理解、平行线的判定，解题的关键是掌握知识点的应用． 【详解】（1）解：在同一平面内，如果两条直线都和同一条直线垂直，那么这两条直线互相平行， 故答案为：在同一平面内，如果两条直线都和同一条直线垂直，那么这两条直线互相平行； （2）已知：如图，，， 求证：； 证明：∵，， ∴，， ∴， ∴． 【变式3】（24-25七年级下·四川自贡·期末）如图，已知、、分别是线段、、上的点，，． (1)求证：； (2)若把原题设中“”与结论“”互换，所得命题是真命题吗？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是，理由见解析 【分析】本题考查平行线的判定与性质，解题的关键是掌握平行线的判定与性质． （1）直接利用平行线的性质以及结合平行线的判定方法分析得出答案； （2）直接利用平行线的性质以及结合平行线的判定方法分析得出答案； 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴； （2）解：所得命题是真命题，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式4】（24-25七年级下·上海青浦·期末）如图，已知，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查平行线的判定与性质，根据得出，结合已知可得，即可证明，根据平行线的性质，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 又∵， ∴． 【变式5】（24-25七年级下·上海金山·期中）科技改变世界，为提高快递包裹的分拣效率，物流公司引进了快递自动分拣流水线．如图（1）所示，图（2）是将部分流水线抽象而成的数学模型示意图． 如图（2），，平分，平分． 求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义．根据题意易证，进而推出，得到，由角平分线的定义可得，，推出，即可得出结论． 【详解】证明：， （同旁内角互补，两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）， 平分，平分， ，， ， （内错角相等，两直线平行）． 【变式6】（24-25七年级下·上海闵行·期中）如图，，现将一块含的三角板按如图1放置，，，使点、分别在直线、上，设． (1)求的度数； (2)如果的角平分线交直线于点，如图2． ①当时，求的度数； ②在①的条件下，如果点是射线上的一点，将三角板绕着点以每秒的速度进行顺时针旋转，同时射线绕着点以每秒的速度进行顺时针旋转，射线旋转一周后停止转动，同时三角板也停止转动．当旋转多少时间时，与的一边平行？ 【答案】(1) (2)①；②当旋转20秒或40秒或50秒或80秒时，与的一边平行． 【分析】本题考查了平行线的性质，一元一次方程的应用，添加辅助线是解题的关键，第3问是动点问题，找到模型即可解答． （1）先作辅助线构造平行，然后根据平行线的性质即可解答； （2）①利用两次平行线的性质，找到等量关系，②动点问题，先把图形画出来，然后数形结合找到角之间的数量关系，列出方程，从而求出t． 【详解】（1）解：如图1，过点G，作， ， ， ，， ， ； （2）解：①， ， 平分， ， 又， ，， ， 解得； 【点睛】②如图2，当时，延长至点Q， ， ， ， ， 由题意知，， 由①得， ， 解得：； 当时， ， 由题意知得， ∴， 解得； 如图4，当时，延长交于点T，过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：； 如图4，当（第二次）时， 则， ∴， 解得：； 综上，当旋转20秒或40秒或50秒或80秒时，与的一边平行． 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A B D C $ 第十六章 相交线与平行线单元复习 对顶角 1. 定义 它们有一个公共顶点，且两边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角叫做对顶角. 2. 性质 【即学即练】 1. 如图，三条直线a,b,c相交于点P，问图中共有几对对顶角？ 垂直 1. 定义 当两条直线相交，夹角为90o时，这两条直线互相垂直.其中一条直线叫做另一条直线的垂线. 【即学即练】 1. 如图，直线AB与直线CD互相垂直，垂足为O，则记作：CD⏊AB 2 垂线性质 垂线公理：平面说，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 垂线性质指明垂线的存在性和唯一性，是垂线作图的保证. 3. 垂线段 (1)定义：如图1，PO⏊l，垂足为 O，线段 PO 叫作点 P 到 l 的垂线段.其中线段 PO 的长度叫作点 P 到直线 l 的距离. (2)性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短. 如图2，PO<PA，PO<PB(垂线段最短) 三线八角 1.两条直线被第三条直线所截 直线AB、CD都和直线EF相交叫作直线 AB、CD 被直线 EF 所截， 在两个交点处形成八个角叫作“三线八角”，其中AB、CD叫作被截线，EF叫作截线.； 2.同位角、内错角、同旁内角 三线八角是指没有公共顶点的两个角之间的关系. （1）同位角：在两条被截直线的同侧，第三条截线的同旁.同位角形如字母“F”，图中的同位角有:∠1与∠6，∠2与∠5，∠3与∠8，∠4与∠7 （2）内错角：在两条被截直线之间，第三条截线的两旁. 内错角形如字母“N、Z”，图中的内错角有：∠1与∠8，∠4与∠5 （3）同旁内角：在两条被截直线之间，第三条截线的同旁. 同旁内角形如字符“匚”，图中的同旁内角有：∠1与∠5，∠4与∠8 平行线的判定与性质 1. 定义 在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线 易错点：强调是“同一平面内”.生活中还有一种位置关系叫作“异面直线”. 平行线的表示方法：若直线 AB 与直线 CD 平行，记作：AB//CD， 读作：直线AB平行于直线CD. 2.平行公理 （1）基本事实(平行公理)：经过直线外一点，有且只有1条直线与该直线平行。 易错点：强调是“直线外一点” （2）平行公理的推论——平行的传递性 定理：在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 几何语言： ∵b//a，c//a ∴b//c 3.平行线的判定与性质 平行线的判定定理1： 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行. 简称：同位角相等，两直线平行. 平行线的性质定理1： 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等. 简称：两直线平行，同位角相等. 几何语言表述： 判定： ∵∠1=∠5 ∴a//b (同位角相等，两直线平行)  性质： ∵a//b ∴∠1=∠5（两直线平行，同位角相等）   【即学即练】 平行线的判定定理2： 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行. 简称：内错角相等，两直线平行. 平行线的性质定理2： 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等. 简称：两直线平行，内错角相等. 几何语言表述： 判定： ∵∠3=∠5 ∴a//b (内错角相等，两直线平行) 性质： ∵a//b ∴∠3=∠5（两直线平行，内错角相等）   【即学即练】 平行线的判定定理3： 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行. 简称：同旁内角互补，两直线平行. 平行线的性质定理3： 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补. 简称：两直线平行，同旁内角互补. 几何语言表述： 判定： ∵∠2+∠5=180° ∴a//b (同旁内角互补，两直线平行) 性质： ∵a//b ∴∠2+∠5=180°（两直线平行，同旁内角互补）   【即学即练】 命题与证明 1.命题 （1）用自然语言、符号或式子表达，且可以判断其真假的语句叫作命题. 一句话是不是命题，关键是看这句话有无进行判断.如：“同角的余角相等”是命题，因为它对两个角是否相等做出了判断；再比如“互为相反数的绝对值相等吗？”这句话是个疑问句，因为它对两个数是否相等没有做出判断.所以不是命题. 正确的命题叫作真命题，错误的命题叫作假命题. （2）命题的条件和结论 命题通常由条件、结论两部分组成.命题常可以写成“如果……,那么……”的形式.其中，用“如果”开始的部分是条件，用“那么”开始的部分是结论. 有一些命题是简缩句，省略掉的词句要先补充完整再作条件和结论的分析. 如：“对顶角相等” 可改成：“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”. 2. 证明 （1）公理：在几何里，挑选其中一些基本事实，承认其正确性，将其作为用逻辑推理证实其他事实的原始依据.这些基本事实称为公理. 直线公理：过两点有一条直线，并且只有一条直线。 平行线的判定公理：同位角相等，两直线平行. （2）定理：在几何里，通过逻辑推理证实了的猜想作为定理，定理将被作为证实其他事实的依据. 平行线的判定定理2：内错角相等，两直线平行. （3）证明：数学上要求从已知条件出发，依据已被确认的事实(包括定义、公理等),通过逻辑推理说明猜想的正确性，这个过程叫作证明. 题型01 对顶角 【典例1】（24-25七年级下·上海普陀·期中）已知与是对顶角，且与互余，那么______． 【变式1】（24-25七年级下·湖南长沙·月考）如图，直线，相交于点O，，则的度数为 _________ ． 【变式2】（24-25七年级下·上海金山·期中）如图，如果，与互余，那么的度数是______． 【变式3】（24-25七年级下·全国·单元测试）若两条直线相交所成的四个角中，有两个角分别是和，则________． 【变式4】（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，直线a，b相交，，求的度数． 题型02 两直线垂直 【典例1】（24-25七年级下·上海·期中）如图，在中，，是斜边上的高，那么表示点到直线的距离是（　　） A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 【变式1】（24-25七年级上·江苏常州·期末）立定跳远是常州体育中考项目之一，女生成绩达到或超过获得满分，达到或超过获得加分．如图，一女生在起跳线上的点A处起跳，，垂足为C．若该女生获得满分但未加分，则下列说法中正确的是（    ） A．可能为 B．可能为 C．可能为 D．可能为 【变式2】（24-25七年级下·上海嘉定·期末）如图，直线相交于点O，平分，．如果，那么______． 【变式3】（24-25七年级下·陕西安康·月考）如图，在直角三角形中，，过点作于点，则线段___________的长可以表示点到直线的距离． 【变式4】（24-25七年级上·上海徐汇·期末）如图，直线、相交于E，，垂足为E．当时，________． 题型03 三线八角 【典例1】（24-25七年级下·上海浦东新·期中）如图所示，下列说法中正确的是（   ） A．与是同位角 B．与是同位角 C．与是内错角 D．与是同旁内角 【变式1】（24-25七年级下·广东江门·月考）如图，下列结论中错误的是（   ）    A．与是同位角 B．与是同旁内角 C．与是对顶角 D．与是内错角 【变式2】（24-25七年级下·上海·期中）如图，与是___________角，与是___________角．（填“同位角”、“内错角”或“同旁内角”） 【变式3】（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，下列结论：①与是内错角；②与是同位角；③与是同旁内角，其中正确的有________（只填序号）． 【变式4】（24-25七年级上·上海徐汇·期末）如图：与构成同旁内角的角有 _____个． 题型04 平行线的判定与性质 【典例1】（24-25七年级下·全国·单元测试）已知，，是同一平面内的三条直线，下列说法正确的是（    ） A．若a⏊b，，则 B．若a⏊b，，则 C．若，，则 D．若，，则 【典例2】（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，将三角板与两边平行的直尺贴在一起，使三角板的直角顶点在直尺的一边上，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【典例3】（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，已知，平分，如果，那么_________°． 【变式1】（22-23七年级下·陕西西安·月考）下列说法中正确的是（    ） A．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．从直线外一点到已知直线引垂线，点和垂足之间的垂线段叫做这个点到这条直线的距离 D．如果直线a与b相交，b与c相交，那么a与c相交 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）在同一平面内有2026条直线，，…，，如果，，，，…，以此类推，那么与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．重合 【变式3】（24-25七年级下·上海青浦·期中）如图，直线a、b被直线c所截，下列选项中不一定能判定的是（    ） A． B． C． D． 【变式4】（24-25七年级下·上海金山·期中）如图①，“二八大杠”传统老式自行车承载了一代人的回忆，图②是它的几何示意图．已知，，当，时，的度数为_____． 【变式5】（24-25七年级下·上海·期中）补全下列推理过程： 如图，，，，试说明 解：，，（已知）， ，（________）， （________） （________） （已知）， ________________（等量代换）． （________________）． 题型05 平行线中的几何模型 【典例1】（24-25七年级下·上海奉贤·期中）如图，已知，交于点，，，那么___________ 【变式1】（24-25七年级下·上海闵行·月考）近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，．经使用发现，当时，台灯光线最佳，此时的度数为______． 【变式2】（24-25七年级下·甘肃平凉·月考）如图是一款折叠护眼灯示意图，与桌面垂直，当发光的灯管恰好与桌面平行时，，，则的度数为______． 【变式3】（24-25七年级下·上海嘉定·期中）如图，已知，与交于点，，，则的度数为多少？ 【变式4】（24-25七年级下·重庆·月考）如图，已知是直线，间的一点，于点，交于点，． (1) ． (2)如图2，射线从出发，以每秒的速度绕点按逆时针方向旋转，当垂直时，立刻按原速返回至后停止运动；射线从出发，以每秒的速度绕点按逆时针方向旋转至后停止运动，若射线，射线同时开始运动，设运动时间为秒． ①当时，请求出的度数； ②当时，请求出的值． 【变式5】（24-25七年级下·上海奉贤·期中）在学习了《相交线与平行线》后，数学小组进行探究平行线的“等角转化”功能的活动． (1)如图1，已知，． ①求证：； ②探究与之间有怎样的数量关系？并说明理由： (2)实际应用：如图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮与支撑平台平行，如果，那么的度数为 题型06 命题与证明 【典例1】（25-26七年级上·上海·期末）下列命题中，判断错误的是（   ） A．所有定理都有逆命题 B．对顶角相等的逆命题是真命题 C．假命题的逆命题不一定是假命题 D．两条平行线被第三条直线所截，内错角的平分线互相平行 【典例2】（24-25七年级下·上海·期末）将“同角的补角相等”改写成“如果...那么....”的形式：_______． 【典例3】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在三角形中，，是上的点，是上一点，，是上的点，．连接，，．有下列三个条件：①；②；③． (1)请从三个条件中任选两个与题干结合作为题设，另一个作为结论．写出所有命题，并判断这些命题是真命题还是假命题； (2)请你选择（1）中的一个真命题进行证明． 【变式1】（24-25七年级下·上海松江·期末）下列各命题的逆命题成立的是（    ） A．直角都相等 B．如果，那么 C．对顶角相等 D．两直线平行，同旁内角互补 【变式2】（24-25八年级上·上海·期中）命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． (1)请将此命题改写成“如果，那么”的形式：________； (2)请写出“已知”和“求证”，并证明过程． 【变式3】（24-25七年级下·四川自贡·期末）如图，已知、、分别是线段、、上的点，，． (1)求证：； (2)若把原题设中“”与结论“”互换，所得命题是真命题吗？请说明理由． 【变式4】（24-25七年级下·上海青浦·期末）如图，已知，求的度数． 【变式5】（24-25七年级下·上海金山·期中）科技改变世界，为提高快递包裹的分拣效率，物流公司引进了快递自动分拣流水线．如图（1）所示，图（2）是将部分流水线抽象而成的数学模型示意图． 如图（2），，平分，平分． 求证：． 【变式6】（24-25七年级下·上海闵行·期中）如图，，现将一块含的三角板按如图1放置，，，使点、分别在直线、上，设． (1)求的度数； (2)如果的角平分线交直线于点，如图2． ①当时，求的度数； ②在①的条件下，如果点是射线上的一点，将三角板绕着点以每秒的速度进行顺时针旋转，同时射线绕着点以每秒的速度进行顺时针旋转，射线旋转一周后停止转动，同时三角板也停止转动．当旋转多少时间时，与的一边平行？ 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A B D C $