专题17.1 三角形有关概念 优等生讲义 (11考点精讲+压轴题+课后巩固)2025-2026学年沪教版（五四制）数学七年级下册

本讲义聚焦三角形有关概念这一核心知识点，系统梳理从基本概念（边、角、顶点）、分类（按角/按边）到三边关系（判断构成、求取值范围），再到高、中线、角平分线等重要线段及面积计算（等面积法）的完整脉络，搭建从基础认知到综合应用的学习支架。 资料以思维导图总览课程内容，通过16类题型精讲（含创新压轴题如“特征三角形”“倍长三角形”）培养几何直观与推理能力，结合随堂检测与课后巩固，助力教师授课效率提升，学生可通过分层练习查漏补缺，发展模型意识与应用能力。

专题17.1 三角形有关概念 优等生讲义 (11大考点精讲+创新压轴题+课后巩固) 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 理解 三角形的概念，掌握三角形的边、角、顶点等基本元素。 · 掌握 三角形的分类方法（按角、按边）。 · 理解并掌握 三角形三边关系，能判断三条线段能否构成三角形，会求第三边的取值范围。 · 理解 三角形的高、中线、角平分线的定义，能画出这些线段，并利用它们解决相关问题。 · 掌握 等面积法，能利用高、中线进行面积计算。 · 体会 数形结合、分类讨论思想在三角形中的应用。 ✨ 核心思想：三角形是边、角、顶点构成的封闭图形，三边关系决定存在性，高、中线、角平分线是重要线段。 知识梳理（详细版） ☆三角形的基本概念 · 定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 · 基本元素：边、角、顶点。三角形用符号“△”表示，顶点为 A,B,C 的三角形记作 △ABC。 · 角的对边、边的对角：三角形中，一个角所对的边是指这个角的两边所夹的边；一条边所对的角是指这条边两端点所夹的角。 · 三角形的内角：三角形相邻两边组成的角。 ☆三角形的分类 · 按角分类：锐角三角形（三个角都小于90°）、直角三角形（有一个角等于90°）、钝角三角形（有一个角大于90°）。 · 按边分类：不等边三角形（三边互不相等）、等腰三角形（至少有两边相等，其中相等的两边叫腰）、等边三角形（三边都相等，是特殊的等腰三角形）。 ☆三角形三边关系 · 定理：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 · 应用：判断三条线段能否构成三角形；已知两边求第三边的取值范围；化简含绝对值的式子。 · 推论：在三角形中，较大的边所对的角较大（大边对大角），反之亦然。 ☆三角形的高、中线、角平分线 · 高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段。三角形的三条高所在直线交于一点（垂心）。 · 中线：连接三角形的一个顶点和它对边中点的线段。三角形的三条中线交于一点（重心），重心将每条中线分成2:1的两部分。 · 角平分线：三角形一个内角的平分线与对边相交，顶点与交点之间的线段。三角形的三条角平分线交于一点（内心）。 · 重要性质：三角形的中线将三角形分成面积相等的两个三角形；等底（同底）等高的三角形面积相等；角平分线上的点到角的两边距离相等。 ☆三角形的面积 · 面积公式：S= ×底×高。 · 等面积法：利用同一个三角形的面积不同表示方法建立方程，求线段长或高。 · 中线分割面积：三角形的中线将原三角形面积平分。 ☆知识总结表 类别 定义/内容 重要性质/应用 三角形的边、角、顶点 三角形由三条线段首尾顺次相接 表示法、对角对边关系 三角形的分类 按角分：锐角、直角、钝角；按边分：不等边、等腰、等边 等边三角形是特殊的等腰三角形 三边关系 两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 判断能否构成三角形，求第三边范围，大边对大角 高线 从顶点向对边作垂线 垂心，等面积法常用 中线 顶点与对边中点连线 重心，平分面积 角平分线 顶点与对边交点，平分内角 内心，到两边距离相等 核心考点 · 16类题型精讲 【考点1】三角形的识别与有关概念 （题1-3） ❤ 知识点/方法 · 三角形的基本元素：顶点、边、角，会用符号表示三角形及内角。 · 能识别图形中的三角形，知道一个角可以属于多个三角形。 · 理解角的对边、边的对角等概念，并能从图形中正确指认。 1．（2026七年级下·全国·专题练习）如图，中，与的夹角是____________，，的公共边是____________． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】三角形的识别与有关概念 【分析】本题主要考查三角形的基本构成，掌握角、边的表示是关键，根据图示，写出角、边即可． 【详解】解：与的夹角是， ，的公共边是， 故答案为：①，②． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，下列说法错误的是（    ） A．DF是的边 B．是的内角 C．以为内角的三角形有3个 D．以BC为边的三角形有3个 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】三角形的识别与有关概念 【分析】此题考查三角形的识别与有关概念，关键是根据三角形的内角和边进行解答． 根据三角形的内角和边判断即可． 【详解】解：A、是的边，说法正确，不符合题意； B、是的内角，说法正确，不符合题意； C、以为内角的三角形有个，分别为、、，说法正确，不符合题意； D、以为边的三角形有个，分别是、、、，说法错误，符合题意； 故选：D． 3．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）下列各组线段中，能组成三角形的是（   ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】构成三角形的条件 【分析】本题考查构成三角形的条件． 根据构成三角形的条件，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．，不能组成三角形，不符合题意； B．，不能组成三角形，不符合题意； C．，，能组成三角形，符合题意； D．，不能组成三角形，不符合题意． 故选：C． 【考点2】构成三角形的条件 （题4-6） ❤ 知识点/方法 · 三角形三边关系定理：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 · 判断三条线段能否构成三角形：只需检查较小两边之和是否大于最大边。 · 当题目给出边的关系式时，需结合不等式进行判断。 4．（24-25七年级下·上海普陀·期中）已知四条线段的长度分别为厘米、厘米、厘米、厘米，任取其中三条线段，能构成的三角形的个数是(    ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】构成三角形的条件 【分析】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．共有4种取法，由三角形三边关系定理分别进行判断，即可得到答案． 【详解】解：共有以下4种取法： 、、；、、；、、；、、． ，不能构成三角形， ，不能构成三角形， ，不能构成三角形， ，能构成三角形， ∴能构成的三角形的个数是1个． 故选：A． 5．（24-25七年级下·上海杨浦·期中）下列各组条件中，不能组成三角形的是（   ） A．2，， B．3厘米，8厘米，10厘米 C．三条线段之比为 D．6厘米，6厘米，6厘米 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】构成三角形的条件 【分析】本题考查构成三角形的条件，解题的关键构成三角形的条件：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，只要验证较小两边长之和是否小于最长边．根据构成三角形的条件逐项判断即可． 【详解】解：A．由得，能构成三角形，故此选项不合题意； B．，能构成三角形，故此选项不合题意； C．设最小边为a，则剩余两边是，．，不能构成三角形，故此选项符合题意； D．因为，能构成三角形，故此选项不合题意． 故选：C． 6．（24-25七年级下·上海闵行·期末）在中，厘米，那么的长度有可能是（    ） A．8厘米 B．7.2厘米 C．6厘米 D．5.4厘米 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】构成三角形的条件 【分析】本题主要考查了三角形的边角关系， 根据三角形中“大角对大边”的性质，结合已知条件分析的可能长度． 【详解】解： 在中，，由大角对大边定理可知，的对边大于的对边，已知厘米，因此厘米， 所以只有D选项5.4厘米满足此条件． 故选：D． 【考点3】确定第三边的取值范围 （题7-10） ❤ 知识点/方法 · 已知三角形两边 a,b（a≤b），则第三边 c 满足 b-a<c<a+b。 · 注意：当第三边用含参数的代数式表示时，需解不等式组得到参数范围。 7．（24-25七年级下·上海·月考）若一个三角形的两条边分别是和，则第三边的长度不可以取（   ） A．5 B．7 C．9 D．10 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】已知三角形两边的长，根据三角形三边关系定理知：第三边的取值范围应该是大于已知两边的差而小于已知两边的和． 【详解】设第三边长度为，根据三角形三边关系得：， 求得， 故四个选项里面，A不满足． 故选：A． 8．（24-25七年级下·上海闵行·月考）一个三角形的两边长分别为和，那么第三边的长可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边；三角形的两边之差小于第三边． 根据三角形的三边关系，第三边的长应大于已知的两边的差，而小于两边的和． 【详解】解：设第三边的长为， 由三角形的三边关系可得， 即， 所以它的第三边的长可能是． 故选：B． 9．（24-25七年级下·上海杨浦·期中）在中，，，则长度的取值范围是________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】本题考查三角形三边关系，熟知三角形的三边关系是解答的关键．根据三角形的三边关系：三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴，即， 故答案为：． 10．（24-25七年级下·上海长宁·期末）三角形的三边分别为5，，9，则a的取值范围是_______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键．根据三角形的三边关系，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 即． 故答案为：． 【考点4】三角形三边关系的应用 （题11-14） ❤ 知识点/方法 · 化简含绝对值的式子：利用三角形三边关系判断绝对值内式子的正负。 · 新定义问题（如“特征三角形”“倍长三角形”）：根据定义列方程，结合三边关系求解。 · 证明线段和差关系：利用三角形两边之和大于第三边进行不等式的传递。 11．（24-25七年级下·上海静安·期末）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（    ）． A．2，2，3 B．5，6，11 C．3，4，8 D．10，5，5 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】三角形三边关系的应用 【分析】本题考查三角形三边的关系． 根据三角形三边之间的关系，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．2，2，3，最长的边为，，能组成三角形，符合题意； B．5，6，11，最长的边为，，不能组成三角形，不符合题意； C．3，4，8，最长的边为，，不能组成三角形，不符合题意； D．10，5，5，最长的边为，，不能组成三角形，不符合题意． 故选：A． 12．（24-25七年级下·上海·期中）已知三边长分别为、、，可判断表达式的符号为（   ） A．正 B．负 C．零 D．不能判断 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】因式分解的应用、三角形三边关系的应用 【分析】此题主要考查因式分解的应用．把代数式因式分解，再根据三角形的三边关系即可判断． 【详解】解： ， 因为为三角形三边长，所以，， 所以原式小于零． 故选：B． 13．（24-25七年级下·上海闵行·期末）定义：如果一个三角形一边长为m，另一条边长为，那么我们把这个三角形叫做“特征三角形”，其中长为m的边叫作“特征边”．已知在特征三角形中，，边是特征边，那么边的长为_______． 【答案】3 【难度】0.65 【知识点】三角形三边关系的应用 【分析】本题考查了新定义，掌握三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键． 先根据三角形三边关系求出，再根据“特征边”的定义分类讨论求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， 若，则（舍）； 若，则， ∴边的长为3， 故答案为：3． 14．（24-25七年级下·上海青浦·月考）定义：一个三角形的一边长是另一边长的倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若是“倍长三角形”，有两条边的长分别为和，则第三条边的长为___________． 【答案】或 【难度】0.65 【知识点】确定第三边的取值范围、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查三角形三边关系，设第三边的长为，先根据三角形三边关系定理得，再根据是“倍长三角形”，分四种情况讨论并求解即可．正确理解题意并利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：设第三边的长为， 则，即， ∵是“倍长三角形”，则： ①若，则（不符合题意，舍去）； ②若，则； ③若，则； ④若，则（不符合题意，舍去）； 综上所述，第三条边的长为或． 故答案为：或． 【考点5】三角形的分类 （题15-18） ❤ 知识点/方法 · 按角分类：锐角三角形（三个角都小于90°）、直角三角形（一个角90°）、钝角三角形（一个角大于90°）。 · 按边分类：不等边三角形、等腰三角形（包括等边三角形）。 · 利用非负数的性质（平方和为零）判断三角形形状。 15．（24-25七年级下·上海金山·期末）在中，若，则是（  ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上三种情况都有可能 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】三角形的分类 【分析】本题考查了三角形的识别． 根据，结合钝角三角形的定义即可判断． 【详解】解：∵， ∴是钝角三角形． 故选：C． 16．（24-25八年级上·贵州·月考）下列说法：①等边三角形是等腰三角形；②三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形、不等边三角形；③三角形的两边之差大于第三边；④三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形． 其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】三角形的分类、构成三角形的条件 【分析】本题主要考查三角形的基本性质，熟练掌握三角形的相关概念是解题的关键；因此此题可根据三角形的相关概念进行求解即可． 【详解】解：①等边三角形是等腰三角形，说法正确； ②三角形按边分类可分等腰三角形和不等边三角形，原说法错误； ③三角形的两边之差小于第三边，原说法错误； ④三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，说法正确； 故选：B． 17．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法：（1）三角形按边分类可分为不等边三角形、等腰三角形和等边三角形；（2）三角形两边之和不一定大于第三边；（3）等边三角形一定是等腰三角形；（4）有两边相等的三角形一定是等腰三角形．其中说法正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】三角形的分类、构成三角形的条件 【分析】本题考查三角形的分类及三角形的三边关系，熟练掌握相关知识点是解题关键． 根据三角形的分类和三角形的三边关系逐个判断每个说法的正确性． 【详解】解：三角形按边分类可分为不等边三角形和等腰三角形， 说法（1）错误的将等边三角形与等腰三角形并列作为分类，表述不够严谨，通常按边分类为不等边三角形和等腰三角形（等边三角形是等腰三角形的特殊形式）．故说法错误； ∵三角形三边关系为两边之和一定大于第三边， ∴说法（2）错误． ∵等边三角形的三边都相等，满足等腰三角形“至少有两边相等”的定义， ∴说法（3）正确． ∵等腰三角形的定义就是有两边相等的三角形， ∴说法（4）正确． 综上，正确的说法有2个． 故选：B． 18．（25-26八年级上·安徽亳州·期末）已知的三边长分别为，，． (1)若，，满足，试判断的形状； (2)若，，且为整数，求的周长的最大值． 【答案】(1)是等边三角形 (2)的周长的最大值为19 【难度】0.65 【知识点】三角形的分类、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查了三角形的三边关系，非负数的性质，三角形的分类． （1）根据偶次幂的非负性可得，然后问题可求解； （2）根据三角形的三边关系可得，然后问题可求解． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：∵，， ∴根据三角形三边关系可知， ∵为整数， ∴当时，的周长为最大，即为． 【考点6】三角形角平分线的定义 （题19-22） ❤ 知识点/方法 · 角平分线是线段，将角分成两个相等的角。 · 三角形三条角平分线交于一点（内心）。 · 结合高、中线进行角度计算或推理。 19．（24-25七年级下·上海青浦·月考）下列说法中，正确的是（　　） A．三角形的高、中线是线段，角平分线是射线 B．三角形的三条高中，至少有一条在三角形的内部 C．钝角三角形的三条角平分线在三角形的外部 D．在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的直线叫作三角形的中线 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】画三角形的高、根据三角形中线求长度、三角形角平分线的定义 【分析】本题考查与三角形有关的线段，解题的关键是理解三角形的高、中线、角平分线的定义，据此分析即可． 【详解】解：A．三角形的高、中线、角平分线都是线段，故此选项不符合题意； B．三角形的三条高中，至少有一条在三角形的内部，故引选项符合题意； C．钝角三角形的三条角平分线都在三角形的内部，故此选项不符合题意； D．在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线，故此选项不符合题意． 故选：B． 20．（24-25七年级下·上海闵行·期末）已知：如图，在中，，分别是斜边上的高和中线，是的平分线，某同学想直接得到点B到直线的距离，那么他应该测量线段_______的长度． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】点到直线的距离、画三角形的高、根据三角形中线求长度、三角形角平分线的定义 【分析】本题考查点到直线的距离，根据点到直线的距离为垂线段的长，进行作答即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴点B到直线的距离为线段的长， 故他应该测量线段的长； 故答案为：． 21．（25-26八年级上·山西太原·月考）如图，在中，是角平分线，是中线，若，则，若，则_____度． 【答案】36 【难度】0.85 【知识点】三角形角平分线的定义、根据三角形中线求长度 【分析】本题考查了三角形的角平分线和中线，掌握相关定义是解题关键． 根据角平分线将角分成相等的两个角，可求出的度数． 【详解】解：∵是角平分线，， ∴， ∴， 故答案为：36． 22．（23-24七年级下·陕西西安·月考）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，给出以下结论：①；②；③；④；⑤．其中结论正确的有 ________．（只填序号） 【答案】②③④ 【难度】0.65 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求面积、三角形角平分线的定义 【分析】此题考查了三角形的高、中线、角平分线等相关线段的性质，根据相关性质和角之间的关系逐项进行判断即可 ． 【详解】解：∵是的中线， ∴， 故④正确，符合题意； ∵是角平分线，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故②正确，符合题意； ∵， ∴， 故③正确，符合题意； 由已知条件不能确定， ∴与的关系不能确定，故⑤错误，不符合题意； 根据已知条件无法证明，故①错误，不符合题意； 故答案为：②③④． 【考点7】画三角形的高 （题23-25） ❤ 知识点/方法 · 过三角形一个顶点向对边所在直线画垂线，顶点到垂足的线段即为高。 · 钝角三角形的高可能在三角形外部。 · 掌握垂线的画法，能根据作图填空或计算相关线段长度。 23．（24-25七年级下·上海松江·期中）如图，在中，点D是边的中点，根据下面的要求画出图形并填空． (1)画出的边上的高； (2)过点D画，直线交边于点F； (3)点A到直线的距离是线段________的长度； (4)写出图形中面积相等的两个三角形：________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) (4)和 【难度】0.85 【知识点】点到直线的距离、画垂线、画三角形的高、根据三角形中线求面积 【分析】本题主要考查了画垂线，画三角形的高，点到直线的距离等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）过点C作交延长线于点E，则即为所求； （2）根据垂线的画法画图即可； （3）根据点到直线的距离的定义求解即可； （4）根据线段中点的意义得到，在由三角形面积公式得到． 【详解】（1）解：如图，过点C作交延长线于点E，则即为所求： （2）解：如图，直线即为所求： （3）解：∵， ∴点A到直线的距离是线段的长度， 故答案为：； （4）解：∵点D是边的中点，， ∴， ∵，， ∴， ∴图形中面积相等的两个三角形是：和， 故答案为：和． 24．（24-25七年级下·上海·月考）如图，点是的边上的一点， (1)过点作的垂线，交于点； (2)在（1）的基础上作的边上的高，垂足为； (3)线段______的长度是点到直线的距离； (4)线段、这两条线段大小关系是______用“”号连接． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)； (4)． 【难度】0.85 【知识点】垂线段最短、点到直线的距离、画垂线、画三角形的高 【分析】本题考查作图基本作图、点到直线的距离，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据垂线的定义画图即可． （2）根据三角形的高的定义画图即可． （3）结合点到直线的距离的定义可得答案． （4）根据垂线段最短可得答案． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求． （2）解：如图，直线即为所求． （3）解：由图可知，线段的长度是点到直线的距离． 故答案为：． （4）解：由题意得，线段、这两条线段大小关系是． 故答案为：． 25．（24-25七年级下·上海·期中）如图，已知，，根据下列要求画图并回答问题： (1)画边上的高； (2)点到直线的距离是线段______的长度； (3)边上有一点，连接，如果，那么线段是的______；（填“高”、“中线”或“角平分线”），并在图中画出． (4)在（1）（3）的条件下，如果，，那么______． 【答案】(1)见解析 (2) (3)中线 (4)30 【难度】0.65 【知识点】点到直线的距离、画三角形的高、根据三角形中线求面积 【分析】本题考查作图-复杂作图、三角形的中线和高、三角形的面积，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据三角形的高的定义画图即可； （2）根据点到直线的距离的定义求解即可； （3）由题意可得，则线段是的中线； （4）由题意可得，则进而可得， ， 则 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）解：点到直线的距离是线段的长度， 故答案为：； （3）解：如图， ∴线段是的中线， 故答案为：中线； （4）解： ， ， 故答案为：． 【考点8】与三角形的高有关的计算问题 （题26-29） ❤ 知识点/方法 · 等面积法：利用同一个三角形面积的不同表示建立方程，求高或边长。 · 等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高（定值）。 · 利用面积关系探究动点问题中的线段和差关系。 26．（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，，分别是的边，的高线，，，，则的长为________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查三角形中求线段长，熟记三角形面积公式是解决问题的关键． 根据题意，由等面积法列等式，代值求解即可得到答案． 【详解】解： ，分别是的边，的高线， ， ，，， ， 解得， 故答案为：． 27．（24-25七年级下·上海·月考）如图，在等腰中，，其一腰上的高为h，M是底边上的任意一点，M到腰的距离分别为，，则_______ 【答案】 【难度】0.85 【知识点】与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查了三角形的面积．根据，结合三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵， ，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 28．（24-25七年级下·上海·月考）如图，在中，，D为中点，过点D作，，E为上一点，过点E作，，，则________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求面积 【分析】本题考查了与三角形的高有关的面积计算，添加适当的辅助线，根据题意得出是解此题的关键．连接，，根据D为中点，得出，从而得出，根据三角形面积得出，从而得出，代入数据计算即可． 【详解】解：如图，连接，， ，D为中点， ∴， ∴， ∵，， ， ∴， ∵，， ∴， 解得：． 故答案为：． 29．（24-25七年级下·上海青浦·月考）在中，，为直线上任意一点，连结，于点，于点．为边上的高；（第一小问7分，第二小问2分，第三小问2分） 【画图探究】（1）如图①，当点在边上时，请画出，猜想，，之间的数量关系并证明． 【运用】（2）如图②，当点为中点时，与的数量关系为___________ 【拓展】（3）如图③，当点在的延长线上时，、、之间的数量关系为___________； 【答案】（1）作图见解析；，证明见解析；（2），理由见解析；（3），理由见解析 【难度】0.65 【知识点】画三角形的高、与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求面积 【分析】本题属于三角形综合题，考查中线平分三角形的面积，割补法求三角形的面积， （1）过点作交于一点，再根据列式化简，即可得证； （2）同理得，根据点为中点时得，继而推出，可得结论； （3）同理结合面积之间的关系列式化简，即可得出结论． 解题的关键是熟练运用数形结合思想． 【详解】解：（1）依题意，边上的高如下图所示： ，，之间的数量关系：． 证明：∵，，，， ∴， ∴， ∴； （2）与的数量关系为：． 理由：如图，过点作交于点， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵，点为中点时， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：； （3），，之间的数量关系：． 理由：如图，过点作交于点， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【考点9】根据三角形中线求长度 （题30-33） ❤ 知识点/方法 · 中线将三角形分成两个面积相等的小三角形。 · 利用中线定义得到线段相等，结合周长差求边长。 · 注意三角形三边关系的验证。 30．（25-26八年级上·江苏连云港·周测）如图，已知分别是的中线，，，的周长为，则的周长为_______，若，则________． 【答案】 30 4 【难度】0.85 【知识点】根据三角形中线求长度、根据三角形中线求面积 【分析】本题主要考查三角形的中线，熟练掌握三角形的中线是解题的关键；由题意易得，然后可得，进而根据三角形的周长可进行求的周长，最后根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分进行求解即可． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵，的周长为， ∴， ∵， ∴的周长为； ∵分别是、的中线，， ∴，； 故答案为30；4． 31．（25-26八年级上·云南昆明·期末）如图，在中，是上两点，且平分，下列说法中不正确的是（   ） A． B．是的角平分线 C．是的中线 D．是的高 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、三角形角平分线的定义、根据三角形中线求长度 【分析】本题考查三角形的高线，三角形的角平分线定义，三角形的中线等知识点，能熟记知识点的内容是解此题的关键．利用和三角形中线的定义可判断C选项的正确；利用平分和角平分线的定义即可判断出B选项的正确；由三角形的高线的定义，可判断D选项的正确；利用角平分线的定义只能得到，但没有办法得到，可判断出A选项错误． 【详解】解：∵，即点E为中点， ∴是的中线，故C正确，不符合题意； ∵平分， ∴是的角平分线，故B正确，不符合题意； ∵，即， ∴是的高，故D正确，不符合题意； ∵平分， ∴． 但没有办法得到，故A错误，符合题意． 故选：A． 32．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，在中，，是的中线，若的周长比的周长大，求边的长． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据三角形中线求长度 【分析】本题考查了三角形中线，由三角形的中线得，由已知的周长差得，即可求解． 【详解】解：是的中线， ， 的周长比的周长大， ， ， 又， ． 33．（25-26八年级上·广东东莞·月考）如图，已知的周长为35，是边上的中线，． (1)当时，求的长． (2)能否等于12？为什么？ 【答案】(1)5 (2)不能等于12，理由见解析 【难度】0.65 【知识点】三角形三边关系的应用、根据三角形中线求长度 【分析】本题考查了与三角形中线有关的计算、三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题关键． （1）先求出，再根据三角形的周长公式可得，然后根据三角形中线的性质解答即可得； （2）假设能等于12，则，再利用三角形的三边关系解答即可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵的周长为35， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴． （2）解：不能等于12，理由如下： 假设能等于12， ∵， ∴， ∵的周长为35， ∴， ∴， ∴的三边长分别为，此时，不满足三角形的三边关系， ∴不能等于12． 【考点10】根据三角形中线求面积 （题34-37） ❤ 知识点/方法 · 三角形的中线平分面积。 · 多个中线（或等分点）可将三角形分成若干面积相等的小三角形，通过面积比等于底边比（等高时）进行计算。 · 常设未知数，利用方程组求解复杂图形的面积。 34．（2025·上海徐汇·二模）如图，在中，点D是边的中点，点E在边上，，和交于点O，那么和四边形的面积比是________．    【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查中线求三角形的面积，掌握“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”是解题的关键．连接，设，根据“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”将各三角形的面积用含S的代数式表示出来，从而求出和四边形的面积比即可． 【详解】解：如图，连接．    设， ，点D是边的中点， ， ， ， ， ，即， ， ， ． 故答案为：． 35．（24-25七年级下·上海·期末）如图，、是的中线，连接，的面积是10，则的面积是______． 【答案】2.5 【难度】0.94 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查了三角形中位线定理，三角形的面积，熟练掌握三角形中线的性质是解题的关键．根据是边上的中线，得到，根据是边上的中线，解答即可． 【详解】解：∵、是的中线，连接，的面积是10， ∴， ∴， 故答案为：2.5． 36．（24-25六年级上·上海·月考）如图，在长方形中，点是的中点，，，则的面积是长方形面积的___________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查了分数的应用，三角形的面积公式；根据三角形的面积公式可得，，则，进而得出，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∵ ∴     ∴ 即 故答案为：． 37．（25-26六年级上·上海·月考）如图，中，，，那么的面积是的面积的几分之几？ 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查了三角形的面积，解题的关键是掌握高相同的三角形面积之比等于底边之比． 连接，根据，可得的面积是面积的，再结合，可得的面积是面积的，然后根据，可得的面积是面积的，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴的面积是面积的， ∵， ∴的面积是面积的， ∴的面积是面积的， ∵， ∴的面积是面积的， ∴的面积是面积的． 【考点11】创新及压轴题 （题1-4） ❤ 知识点/方法 · 结合面积、中线、高线的综合探究题，常需构造方程组或利用面积比推导。 · 新定义问题（如“倍长三角形”“特征三角形”）需理解定义并应用三边关系。 · 将军饮马问题在三角形中的应用（轴对称转化）。 · 利用等面积法、中线性质解决多边形面积分割问题。 1．（25-26七年级上·上海·月考）如图，已知 的面积是 30，请完成下列问题∶ (1)如图 1， 是 的中线，则 _____ (填“>”、“<”或“=”) (2)如图 2 ，若 、 分别是 的中线，求四边形 的面积可以用如下方法∶ 连接 ，由 得 ，同理，可得 ． 设 ，则 ． 由题意得 可列方程组 ，解得_____； 通过解这个方程组可得四边形 的面积为_____； (3)如图3， ， ，请直接写出四边形 的面积∶_____． 【答案】(1)= (2)， (3) 【难度】0.65 【知识点】加减消元法、根据三角形中线求面积 【分析】主要考查了等底同高的三角形面积相等，高相同的三角形的面积比等于底的比，二元一次方程组的解法．准确理解题干中的方法并正确应用是解题的关键． （1）利用三角形的面积公式计算即可得出结论； （2）解方程组求解即可，四边形 的面积为； （3）利用（2）中的方法，设，，则，，利用已知条件列出方程组，解方程组即可得出结论． 【详解】（1）解：过点作于点，如图1， 是的边上的中线， ． ，， ． 故答案为：； （2）解：． 解得：， 四边形的面积为：． 故答案为：，； （3）解：∵ ， ， ∴设，，则，， ∵， ， ∵， ，， 可列方程组：， 解得：． ． 2．（24-25七年级上·上海青浦·期末）【问题提出】唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题．如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的点出发，走到河边饮马后再到点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙的解决了这个问题． 【解决问题】如图2，作关于直线的对称点，连接与直线交于点，点就是所求的位置． 证明过程如下：如图3，在直线上另取任一点，连接，，， 因为直线是点，的对称轴，点，在直线上， 所以______，______． 所以______． 因为在中，（三角形的两边之和大于第三边） 所以，即最小． 本问题实际上是利用了轴对称变换的思想，把，在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中在与直线的交点上，即，，三点共线），本问题可归纳为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”的问题的数学模型． 【拓展延伸】如图所示，点是锐角内部的一点．请你在边和边上分别找到点，，使得的周长最小． 【答案】[解决问题]，，； [拓展延伸]见解析 【难度】0.65 【知识点】两点之间线段最短、三角形三边关系的应用、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题主要考查了轴对称的性质、三角形三边的关系、以及两点之间线段最短等知识，利用轴对称的性质对线段进行转化是解题的关键． [解决问题]利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决； [拓展延伸]作出点M关于的对称点，点M关于的对称点，连接，交于P，交于Q，根据两点之间线段最短，P、Q即为所求． 【详解】[解决问题] 证明：如图3，在直线上另取任一点，连接，，， 因为直线是点，的对称轴，点，在直线上， 所以，． 所以． 因为在中，（三角形的两边之和大于第三边） 所以，即最小． 故答案为： ，，； [拓展延伸] 解：如图所示，作出点M关于的对称点，点M关于的对称点，连接，交于P，交于Q，此时的周长最小． 3．（23-24七年级下·山西临汾·期末）阅读与思考 下面是小文同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务． 构造同高三角形解决图形的面积问题 根据三角形中线的定义，可以证明中线将原三角形分成面积相等的两个三角形，我们还知道，只要两个三角形的高相同，那么他们的面积比等于底边之比，利用这两个结论可以在多边形中探索有关面积的问题，下面是我的思考过程： 【发现结论】 如图1，在中，点D是线段上任意一点，连接．过点A作于点E， ． 【特例探究】 如图2，在任意四边形中，点E、F分别是边、上离点A和点C最近的三等分点，连接、．若四边形的面为S，则． 证明思路如下： 连接，过点C作于点P，过点A作于点Q，…… 【一般探究】 如图3，在任意四边形中，点E、F分别是边、上离点B和点D最近的n等分点，连接、，若四边形的面积为S，则与S的关系为______． 任务： (1)请将【特例探究】的过程补充完整； (2)【一般探究】中的结论为与S的关系为：______． (3)如图4，若任意的十边形的面积为100，点K、L、M、N、O、P、Q、R分别是、、、、、、、边上离点A、C、E、E、F、H、I、A最近的四等分点，连接、、、、、、、，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】(1) (2) (3)75 【难度】0.4 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题是四边形综合题目，考查了三角形面积、三角形的中线性质以及多边形面积等知识，本题综合性强，得出一般探究中的面积关系是解题的关键，属于中考常考题型． （1）连接，过点C作于点P，过点A作于点Q，根据，，，，，则，； （2）连接，过点C作于点P，过点A作于点Q，由模型得，，再由，，即可陈经理； （3）连接、、，由（2）得：，同理，，，，再由，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，连接，过点C作于点P，过点A作于点Q， 点、分别是边、上离点和点最近的三等分点， ，， ∵，，，， ，， ，， ∴ ． （2）解：如图，连接，，过点C作于点P，过点A作于点Q， 点、分别是边、上离点和点最近的等分点， ，， ∵，，，， ，， ，， ， 即． 故答案为：． （3）解：如图，连接、、， 由（2）得：， 同理，，，， ， ， 故答案为：75． 4．（23-24七年级下·山东青岛·期末）【问题情境】 如图1，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？ 小旭同学在图1中作边上的高，根据中线的定义可知．因为高相同，所以，于是． 据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积． (1)【深入探究】 如图2，点D在的边上，点P在上． ①若是的中线，______． ②若，则______． (2)【拓展延伸】 如图3，分别延长四边形的各边，使得A，B，C，D分别为的中点，依次连接E，F，G，H得四边形． ①：直接写出，与之间的等量关系；_______ ②：若，则_______． 【答案】(1)① ② (2)① ②30 【难度】0.4 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查了三角形的中线，掌握三角形的一条中线把原三角形分成两个等底同高的三角形是题的关键． （1）①根据中线的性质可得，点为的中点，推得是的中线，，得到，即可得出结果； ②设边上的高为，根据三角形的面积公式可得，，即可推得，同理推得，即可求得，即可证明； （2）①连接，，，根据中线的判定和性质可得，，，，推得，，即可求得，即可证明， ②由①可得，同理可证得，根据，即可推得，即可求解． 【详解】（1）解：①证明：∵是的中线， ∴，点为的中点， ∴是的中线， ∴， ∴， 即， ∴ ②， 解：设边上的高为， 则，， ∵， ∴， 同理， 则， 即， ∴． （2）①证明：连接，，，如图： ∵点、、、分别为、、、的中点， ∴，，，分别为，，，的中线， ∴，，，， ∴， ∵， 即； ②由①可得，同理可证得， ， 即， ∵， ∴． 42．（25-26八年级上·江西赣州·期末）【阅读理解】 例题：若，求和的值； 解：由题意得：， ， ，解得 【问题解决】 (1)若，求的值； (2)若是的边长，满足是的最长边，且为偶数，则可能是哪几个数？ 【答案】(1) (2)或 【难度】0.65 【知识点】因式分解的应用、三角形三边关系的应用、已知式子的值，求代数式的值 【分析】（1）先因式分解将变形为，再根据非负数的性质，求出，，最后代入求值即可； （2）先因式分解将变形为，再根据非负数的性质得出，然后根据三角形三边关系得出，最后根据c为最长边，且c为偶数，得出答案即可． 【详解】（1）解：， ． ． ． ，， ． （2）解：， ， ， ∴，， 解得：， ， 即， 又为最长边， ． 为偶数， 或． 随堂检测 · 精选练习 · 练习1  与三角形的高有关的计算问题（折叠与面积比求线段长） · 练习2  根据三角形中线求面积（阴影部分面积关系） · 练习3  三角形三边关系（已知两边，求第三边参数范围） · 练习4  三角形三边关系的应用（证明四边形中AC+BD小于周长） 1．（25-26七年级上·上海·期末）如图所示，在中．沿着过点的直线折叠这个三角形，使顶点落在边上的点处，折痕为，并连接．如果，且满足，边________．(用含的代数式表示结果） 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查三角形中的高线以及面积的计算，关键是利用折叠得到面积关系，再结合“同高三角形面积比等于底边比”推导线段长度． 【详解】解：设，由，得． ∵沿着折叠得到， ∴， 则，解得， ∴． ∵与同高(从点到的高)， ∴面积比等于底边比，即， 即， ∴． 故答案为：． 2．（25-26七年级上·重庆万州·月考）如图，在中，，图中阴影部分的面积为25平方厘米，则的面积为______平方厘米． 【答案】200 【难度】0.65 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题主要考查三角形面积，与等高，又因为，所以，同理，，，即可解答． 【详解】解：因为与等高， 又因为， 所以， 同理，， 所以． 所以（平方厘米） 故答案为：200． 3．（24-25七年级下·上海·月考）若三角形三边的长分别为、、，则应满足的条件是______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】确定第三边的取值范围、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查三角形三边关系，三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，由此即可求出应满足的条件． 【详解】解：由三角形三边关系定理得到：， ． 故答案为：． 4．（23-24七年级下·上海浦东新·期中）如图，如图四边形中，是与的交点，试说明：与的和小于四边形的周长． 【答案】见解析 【难度】0.85 【知识点】三角形三边关系的应用 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，根据三角形两边之和大于第三边得出，，，，计算得出，即可得证，熟练掌握三角形三边关系是解此题的关键． 【详解】证明：在中，， 在中，， 在中，， 在中，， ， ， ， 与的和小于四边形的周长． 课后巩固 · 核心作业 · 题1  构成三角形的条件 · 题2  根据三角形中线求长度 · 题3  构成三角形的条件 · 题4  确定第三边的取值范围 · 题5  三角形三边关系的应用 · 题6  三角形的识别与有关概念（比较角的大小） · 题7  确定第三边的取值范围 · 题8  三角形三边关系的应用（化简绝对值） · 题9  根据三角形中线求面积（求阴影部分比例） · 题10  根据三角形中线求面积 · 题11  画三角形的高（作图填空） · 题12  与三角形的高有关的计算问题（等面积法求定值） · 题13  根据三角形中线求面积（画高、求长度） · 题14  根据三角形中线求面积（复杂分割） · 题15  与三角形的高有关的计算问题（探究题） ※复习建议 熟练掌握三角形三边关系，能灵活运用高、中线、角平分线解决线段和面积问题，注意等面积法、分类讨论、方程思想的应用。 1．（2025·上海·模拟预测）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（    ） A．2，3，6 B．3，3，6 C．2，5，8 D．4，5，7 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】构成三角形的条件 【分析】本题考查三角形的三边关系，根据“三角形任意两边之和大于第三边”即可逐个判断． 【详解】A：，故2，3，6不能组成三角形； B：，故3，3，6不能组成三角形； C：，故2，5，8不能组成三角形； D：，故4，5，7能组成三角形． 故选：D． 2．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中，是边上的中点，，与的周长之差为2，则的长为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】根据三角形中线求长度 【分析】本题考查了中点的定义及线段的和差，根据图中信息找到线段的关系是解题的关键． 根据中点的定义得出，再根据线段的和差即可得出，从而得出答案． 【详解】解： 是边上的中点， ， 与的周长之差为2， ， 即， ， ， ， 故选C． 3．（24-25七年级下·上海普陀·月考）下列长度的三条线段能组成三角形的是（   ） A．1，2，1 B．2，7，8 C．4，6，11 D．1.5，2.5，4 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】构成三角形的条件 【分析】根据三角形三边关系定理，任意两边之和必须大于第三边．判断时只需验证较短两边的和是否大于最长边即可． 【详解】解：A. 1，2，1：较短边之和，等于最长边2，不能组成三角形． B. 2，7，8：较短边之和，满足条件，能组成三角形． C. 4，6，11：较短边之和，不能组成三角形． D. 1.5，2.5，4：较短边之和，等于最长边4，不能组成三角形． 故选B． 4．（24-25七年级下·上海嘉定·期末）如果一个三角形的两边长分别为2cm和7cm，那么这个三角形第三边的长可能是（   ） A．2cm B．4cm C．5cm D．6cm 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】本题考查三角形的三边关系，解题的关键是掌握三角形的任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边．根据三角形的三边关系进行判断即可． 【详解】解：由题意，得：第三边， ∴第三边； 故选D． 5．（24-25七年级下·上海·月考）三角形的三边分别为、、，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】三角形三边关系的应用 【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，列出不等式解答即可求解，掌握三角形的三边关系是解题的关键． 【详解】解：由三角形三边关系可得，， 解得， 故选：． 6．（24-25七年级下·上海·期末）在中，已知，那么_______（大小比较）． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】三角形的识别与有关概念 【分析】本题考查比较三角形的内角度数的大小关系，根据大边对大角，比较角度之间的关系即可． 【详解】解：∵分别为的对边，且， ∴； 故答案为：． 7．（24-25七年级下·上海崇明·期中）已知的三边长为a、b、c，其中，则边长c的取值范围是___________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】本题考查三角形的三边关系，根据三角形的三边关系，进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴； 故答案为：． 8．（24-25七年级下·上海·期中）已知的三边长分别是、、，化简：______． 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】整式的加减运算、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查三角形的三边关系，根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，结合绝对值的意义，化简计算即可． 【详解】解：∵的三边长分别是a、b、c， ∴， ∴， ∴ ； 故答案为：． 9．（24-25六年级下·上海·期中）如图所示，在中，，求阴影部分面积是三角形面积的______（几分之几）． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查了三角形的中线及三角形的面积，解题的关键是熟练运用三角形的高、底边与面积的关系．大三角形面积减去3个小三角形面积等于阴影面积，再求解即可． 【详解】解：，， 面积：面积， 设的面积为， 面积：， 面积， 面积面积， 面积， 同理，面积：面积， 面积：， 面积， 面积面积， 面积， 阴影面积， 阴影部分面积是三角形面积的． 故答案为：． 10．（24-25七年级下·上海闵行·期中）如图，已知是中边上的中线，点、分别在、的延长线上，，如果的面积是8，那么的面积等于___________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查了根据三角形的中线求面积，连接，根据三角形中线的性质易求，进而求出，同理得到，即可求解． 【详解】解：连接， ∵是中边上的中线，的面积是8， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 11．（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，已知，根据下列要求作图并回答问题： (1)作边上的高； (2)过点作直线的垂线，垂足为； (3)点到直线的距离是线段_______的长度； (4)线段的长度表示点_____到直线_______的距离．（不要求写画法，只需写出结论即可） 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析； (3)； (4)，； 【难度】0.65 【知识点】两点间的距离、点到直线的距离、画垂线、画三角形的高 【分析】本题主要考查了三角形的高、点到直线的距离． 过点作线段垂足在的延长线上，线段即为边上的高； 过点作线段，垂足为点，线段即为所求； 点到直线的距离是点到直线的垂线段的长度； 因为线段是点到线段的垂线段，所以线段是点到线段的距离． 【详解】（1）解：如下图所示， 线段即为边上的高； （2）解：如下图所示， （3）解：点到直线的距离是线段的长度， 故答案为：； （4）解：线段的长度表示点到直线的距离， 故答案为：，； 12．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在中，，P是上任意一点，且于点D，于点E．若面积为32，则的值是否为定值？请说明理由． 【答案】的值为定值．理由见解析 【难度】0.85 【知识点】与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题主要考查了三角形高的定义．可连接，由图得，，代入数值，解答出即可． 【详解】解：连接， 由图可得，， 于，于，，的面积为32， ， ； 所以的值为8． 故的值为定值． 13．（23-24七年级下·四川乐山·期末）如图，是的中线，是的中线． (1)在中作边上的高； (2)若的面积为，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】画三角形的高、根据三角形中线求面积 【分析】本题考查了三角形的高，三角形中线的性质，三角形面积公式，掌握三角形中线平分三角形面积是解题关键． （1）根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法作图即可； （2）由三角形中线的性质，得到，再根据三角形面积公式，求出即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求作； （2）解： 为的中线，为中线， ， ， ， ， ， ． 14．（25-26七年级上·重庆·自主招生）如图，三角形的面积是1，，三角形被分成9部分，请写出这9部分的面积各是多少？ 【答案】，，， ，，，． 【难度】0.4 【知识点】根据三角形中线求面积、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查了线段的三等分点产生的图形的面积，熟练掌握线段的三等分点性质，三角形面积公式，是解题的关键． 运用连接顶点与边的三等分点的线段三等分三角形面积，同高的三角形的面积比等于底边比，逐步推演，即得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， 同理， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ， ． 15．（25-26八年级上·山东日照·期末）在中，，为直线上任意一点，连接，于点，于点，于点． 【探究】（1）如图1，通过观察、测量，请猜想，，之间的数量关系为__________；为了说明，，之间的数量关系，小明是这样做的： 证明：__________． __________． ， __________． 【运用】（2）如图，当点为中点时，试判断与的数量关系，并说明理由． 【拓展】（3）如图2，当点在的延长线上时，请猜想，，之间的数量关系并证明． 【答案】（1）；；； （2）；理由见解析 （3）；证明见解析 【难度】0.65 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求面积 【分析】本题考查了中线平分三角形的面积，割补法求三角形的面积． （1），根据已有的过程结合面积之间的关系列式化简，即可作答． （2）同理得，因为点D为中点，所以，结合，化简得，即可作答． （3）同理结合面积之间的关系列式化简，，即可作答． 【详解】（1）； 证明：， ， ， ； （2）过点作交于点， ， ， 点为中点， ， ， ； ， ， ． （3）过点作交于点， ， ， ， ， 则． 第 1 页 共 61 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题17.1 三角形有关概念 优等生讲义 (11大考点精讲+创新压轴题+课后巩固) 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 理解 三角形的概念，掌握三角形的边、角、顶点等基本元素。 · 掌握 三角形的分类方法（按角、按边）。 · 理解并掌握 三角形三边关系，能判断三条线段能否构成三角形，会求第三边的取值范围。 · 理解 三角形的高、中线、角平分线的定义，能画出这些线段，并利用它们解决相关问题。 · 掌握 等面积法，能利用高、中线进行面积计算。 · 体会 数形结合、分类讨论思想在三角形中的应用。 ✨ 核心思想：三角形是边、角、顶点构成的封闭图形，三边关系决定存在性，高、中线、角平分线是重要线段。 知识梳理（详细版） ☆三角形的基本概念 · 定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 · 基本元素：边、角、顶点。三角形用符号“△”表示，顶点为 A,B,C 的三角形记作 △ABC。 · 角的对边、边的对角：三角形中，一个角所对的边是指这个角的两边所夹的边；一条边所对的角是指这条边两端点所夹的角。 · 三角形的内角：三角形相邻两边组成的角。 ☆三角形的分类 · 按角分类：锐角三角形（三个角都小于90°）、直角三角形（有一个角等于90°）、钝角三角形（有一个角大于90°）。 · 按边分类：不等边三角形（三边互不相等）、等腰三角形（至少有两边相等，其中相等的两边叫腰）、等边三角形（三边都相等，是特殊的等腰三角形）。 ☆三角形三边关系 · 定理：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 · 应用：判断三条线段能否构成三角形；已知两边求第三边的取值范围；化简含绝对值的式子。 · 推论：在三角形中，较大的边所对的角较大（大边对大角），反之亦然。 ☆三角形的高、中线、角平分线 · 高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段。三角形的三条高所在直线交于一点（垂心）。 · 中线：连接三角形的一个顶点和它对边中点的线段。三角形的三条中线交于一点（重心），重心将每条中线分成2:1的两部分。 · 角平分线：三角形一个内角的平分线与对边相交，顶点与交点之间的线段。三角形的三条角平分线交于一点（内心）。 · 重要性质：三角形的中线将三角形分成面积相等的两个三角形；等底（同底）等高的三角形面积相等；角平分线上的点到角的两边距离相等。 ☆三角形的面积 · 面积公式：S= ×底×高。 · 等面积法：利用同一个三角形的面积不同表示方法建立方程，求线段长或高。 · 中线分割面积：三角形的中线将原三角形面积平分。 ☆知识总结表 类别 定义/内容 重要性质/应用 三角形的边、角、顶点 三角形由三条线段首尾顺次相接 表示法、对角对边关系 三角形的分类 按角分：锐角、直角、钝角；按边分：不等边、等腰、等边 等边三角形是特殊的等腰三角形 三边关系 两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 判断能否构成三角形，求第三边范围，大边对大角 高线 从顶点向对边作垂线 垂心，等面积法常用 中线 顶点与对边中点连线 重心，平分面积 角平分线 顶点与对边交点，平分内角 内心，到两边距离相等 核心考点 · 16类题型精讲 【考点1】三角形的识别与有关概念 （题1-3） ❤ 知识点/方法 · 三角形的基本元素：顶点、边、角，会用符号表示三角形及内角。 · 能识别图形中的三角形，知道一个角可以属于多个三角形。 · 理解角的对边、边的对角等概念，并能从图形中正确指认。 1．（2026七年级下·全国·专题练习）如图，中，与的夹角是____________，，的公共边是____________． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，下列说法错误的是（    ） A．DF是的边 B．是的内角 C．以为内角的三角形有3个 D．以BC为边的三角形有3个 3．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）下列各组线段中，能组成三角形的是（   ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【考点2】构成三角形的条件 （题4-6） ❤ 知识点/方法 · 三角形三边关系定理：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 · 判断三条线段能否构成三角形：只需检查较小两边之和是否大于最大边。 · 当题目给出边的关系式时，需结合不等式进行判断。 4．（24-25七年级下·上海普陀·期中）已知四条线段的长度分别为厘米、厘米、厘米、厘米，任取其中三条线段，能构成的三角形的个数是(    ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（24-25七年级下·上海杨浦·期中）下列各组条件中，不能组成三角形的是（   ） A．2，， B．3厘米，8厘米，10厘米 C．三条线段之比为 D．6厘米，6厘米，6厘米 6．（24-25七年级下·上海闵行·期末）在中，厘米，那么的长度有可能是（    ） A．8厘米 B．7.2厘米 C．6厘米 D．5.4厘米 【考点3】确定第三边的取值范围 （题7-10） ❤ 知识点/方法 · 已知三角形两边 a,b（a≤b），则第三边 c 满足 b-a<c<a+b。 · 注意：当第三边用含参数的代数式表示时，需解不等式组得到参数范围。 7．（24-25七年级下·上海·月考）若一个三角形的两条边分别是和，则第三边的长度不可以取（   ） A．5 B．7 C．9 D．10 8．（24-25七年级下·上海闵行·月考）一个三角形的两边长分别为和，那么第三边的长可能是（   ） A． B． C． D． 9．（24-25七年级下·上海杨浦·期中）在中，，，则长度的取值范围是________． 10．（24-25七年级下·上海长宁·期末）三角形的三边分别为5，，9，则a的取值范围是_______． 【考点4】三角形三边关系的应用 （题11-14） ❤ 知识点/方法 · 化简含绝对值的式子：利用三角形三边关系判断绝对值内式子的正负。 · 新定义问题（如“特征三角形”“倍长三角形”）：根据定义列方程，结合三边关系求解。 · 证明线段和差关系：利用三角形两边之和大于第三边进行不等式的传递。 11．（24-25七年级下·上海静安·期末）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（    ）． A．2，2，3 B．5，6，11 C．3，4，8 D．10，5，5 12．（24-25七年级下·上海·期中）已知三边长分别为、、，可判断表达式的符号为（   ） A．正 B．负 C．零 D．不能判断 13．（24-25七年级下·上海闵行·期末）定义：如果一个三角形一边长为m，另一条边长为，那么我们把这个三角形叫做“特征三角形”，其中长为m的边叫作“特征边”．已知在特征三角形中，，边是特征边，那么边的长为_______． 14．（24-25七年级下·上海青浦·月考）定义：一个三角形的一边长是另一边长的倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若是“倍长三角形”，有两条边的长分别为和，则第三条边的长为___________． 【考点5】三角形的分类 （题15-18） ❤ 知识点/方法 · 按角分类：锐角三角形（三个角都小于90°）、直角三角形（一个角90°）、钝角三角形（一个角大于90°）。 · 按边分类：不等边三角形、等腰三角形（包括等边三角形）。 · 利用非负数的性质（平方和为零）判断三角形形状。 15．（24-25七年级下·上海金山·期末）在中，若，则是（  ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上三种情况都有可能 16．（24-25八年级上·贵州·月考）下列说法：①等边三角形是等腰三角形；②三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形、不等边三角形；③三角形的两边之差大于第三边；④三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形． 其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 17．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法：（1）三角形按边分类可分为不等边三角形、等腰三角形和等边三角形；（2）三角形两边之和不一定大于第三边；（3）等边三角形一定是等腰三角形；（4）有两边相等的三角形一定是等腰三角形．其中说法正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 18．（25-26八年级上·安徽亳州·期末）已知的三边长分别为，，． (1)若，，满足，试判断的形状； (2)若，，且为整数，求的周长的最大值． 【考点6】三角形角平分线的定义 （题19-22） ❤ 知识点/方法 · 角平分线是线段，将角分成两个相等的角。 · 三角形三条角平分线交于一点（内心）。 · 结合高、中线进行角度计算或推理。 19．（24-25七年级下·上海青浦·月考）下列说法中，正确的是（　　） A．三角形的高、中线是线段，角平分线是射线 B．三角形的三条高中，至少有一条在三角形的内部 C．钝角三角形的三条角平分线在三角形的外部 D．在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的直线叫作三角形的中线 20．（24-25七年级下·上海闵行·期末）已知：如图，在中，，分别是斜边上的高和中线，是的平分线，某同学想直接得到点B到直线的距离，那么他应该测量线段_______的长度． 21．（25-26八年级上·山西太原·月考）如图，在中，是角平分线，是中线，若，则，若，则_____度． 22．（23-24七年级下·陕西西安·月考）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，给出以下结论：①；②；③；④；⑤．其中结论正确的有 ________．（只填序号） 【考点7】画三角形的高 （题23-25） ❤ 知识点/方法 · 过三角形一个顶点向对边所在直线画垂线，顶点到垂足的线段即为高。 · 钝角三角形的高可能在三角形外部。 · 掌握垂线的画法，能根据作图填空或计算相关线段长度。 23．（24-25七年级下·上海松江·期中）如图，在中，点D是边的中点，根据下面的要求画出图形并填空． (1)画出的边上的高； (2)过点D画，直线交边于点F； (3)点A到直线的距离是线段________的长度； (4)写出图形中面积相等的两个三角形：________． 24．（24-25七年级下·上海·月考）如图，点是的边上的一点， (1)过点作的垂线，交于点； (2)在（1）的基础上作的边上的高，垂足为； (3)线段______的长度是点到直线的距离； (4)线段、这两条线段大小关系是______用“”号连接． 25．（24-25七年级下·上海·期中）如图，已知，，根据下列要求画图并回答问题： (1)画边上的高； (2)点到直线的距离是线段______的长度； (3)边上有一点，连接，如果，那么线段是的______；（填“高”、“中线”或“角平分线”），并在图中画出． (4)在（1）（3）的条件下，如果，，那么______． 【考点8】与三角形的高有关的计算问题 （题26-29） ❤ 知识点/方法 · 等面积法：利用同一个三角形面积的不同表示建立方程，求高或边长。 · 等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高（定值）。 · 利用面积关系探究动点问题中的线段和差关系。 26．（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，，分别是的边，的高线，，，，则的长为________． 27．（24-25七年级下·上海·月考）如图，在等腰中，，其一腰上的高为h，M是底边上的任意一点，M到腰的距离分别为，，则_______ 28．（24-25七年级下·上海·月考）如图，在中，，D为中点，过点D作，，E为上一点，过点E作，，，则________． 29．（24-25七年级下·上海青浦·月考）在中，，为直线上任意一点，连结，于点，于点．为边上的高；（第一小问7分，第二小问2分，第三小问2分） 【画图探究】（1）如图①，当点在边上时，请画出，猜想，，之间的数量关系并证明． 【运用】（2）如图②，当点为中点时，与的数量关系为___________ 【拓展】（3）如图③，当点在的延长线上时，、、之间的数量关系为___________； 【考点9】根据三角形中线求长度 （题30-33） ❤ 知识点/方法 · 中线将三角形分成两个面积相等的小三角形。 · 利用中线定义得到线段相等，结合周长差求边长。 · 注意三角形三边关系的验证。 30．（25-26八年级上·江苏连云港·周测）如图，已知分别是的中线，，，的周长为，则的周长为_______，若，则________． 31．（25-26八年级上·云南昆明·期末）如图，在中，是上两点，且平分，下列说法中不正确的是（   ） A． B．是的角平分线 C．是的中线 D．是的高 32．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，在中，，是的中线，若的周长比的周长大，求边的长． 33．（25-26八年级上·广东东莞·月考）如图，已知的周长为35，是边上的中线，． (1)当时，求的长． (2)能否等于12？为什么？ 【考点10】根据三角形中线求面积 （题34-37） ❤ 知识点/方法 · 三角形的中线平分面积。 · 多个中线（或等分点）可将三角形分成若干面积相等的小三角形，通过面积比等于底边比（等高时）进行计算。 · 常设未知数，利用方程组求解复杂图形的面积。 34．（2025·上海徐汇·二模）如图，在中，点D是边的中点，点E在边上，，和交于点O，那么和四边形的面积比是________．    35．（24-25七年级下·上海·期末）如图，、是的中线，连接，的面积是10，则的面积是______． 36．（24-25六年级上·上海·月考）如图，在长方形中，点是的中点，，，则的面积是长方形面积的___________． 37．（25-26六年级上·上海·月考）如图，中，，，那么的面积是的面积的几分之几？ 【考点11】创新及压轴题 （题1-4） ❤ 知识点/方法 · 结合面积、中线、高线的综合探究题，常需构造方程组或利用面积比推导。 · 新定义问题（如“倍长三角形”“特征三角形”）需理解定义并应用三边关系。 · 将军饮马问题在三角形中的应用（轴对称转化）。 · 利用等面积法、中线性质解决多边形面积分割问题。 1．（25-26七年级上·上海·月考）如图，已知 的面积是 30，请完成下列问题∶ (1)如图 1， 是 的中线，则 _____ (填“>”、“<”或“=”) (2)如图 2 ，若 、 分别是 的中线，求四边形 的面积可以用如下方法∶ 连接 ，由 得 ，同理，可得 ． 设 ，则 ． 由题意得 可列方程组 ，解得_____； 通过解这个方程组可得四边形 的面积为_____； (3)如图3， ， ，请直接写出四边形 的面积∶_____． 2．（24-25七年级上·上海青浦·期末）【问题提出】唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题．如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的点出发，走到河边饮马后再到点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙的解决了这个问题． 【解决问题】如图2，作关于直线的对称点，连接与直线交于点，点就是所求的位置． 证明过程如下：如图3，在直线上另取任一点，连接，，， 因为直线是点，的对称轴，点，在直线上， 所以______，______． 所以______． 因为在中，（三角形的两边之和大于第三边） 所以，即最小． 本问题实际上是利用了轴对称变换的思想，把，在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中在与直线的交点上，即，，三点共线），本问题可归纳为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”的问题的数学模型． 【拓展延伸】如图所示，点是锐角内部的一点．请你在边和边上分别找到点，，使得的周长最小． 3．（23-24七年级下·山西临汾·期末）阅读与思考 下面是小文同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务． 构造同高三角形解决图形的面积问题 根据三角形中线的定义，可以证明中线将原三角形分成面积相等的两个三角形，我们还知道，只要两个三角形的高相同，那么他们的面积比等于底边之比，利用这两个结论可以在多边形中探索有关面积的问题，下面是我的思考过程： 【发现结论】 如图1，在中，点D是线段上任意一点，连接．过点A作于点E， ． 【特例探究】 如图2，在任意四边形中，点E、F分别是边、上离点A和点C最近的三等分点，连接、．若四边形的面为S，则． 证明思路如下： 连接，过点C作于点P，过点A作于点Q，…… 【一般探究】 如图3，在任意四边形中，点E、F分别是边、上离点B和点D最近的n等分点，连接、，若四边形的面积为S，则与S的关系为______． 任务： (1)请将【特例探究】的过程补充完整； (2)【一般探究】中的结论为与S的关系为：______． (3)如图4，若任意的十边形的面积为100，点K、L、M、N、O、P、Q、R分别是、、、、、、、边上离点A、C、E、E、F、H、I、A最近的四等分点，连接、、、、、、、，则图中阴影部分的面积是______． 4．（23-24七年级下·山东青岛·期末）【问题情境】 如图1，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？ 小旭同学在图1中作边上的高，根据中线的定义可知．因为高相同，所以，于是． 据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积． (1)【深入探究】 如图2，点D在的边上，点P在上． ①若是的中线，______． ②若，则______． (2)【拓展延伸】 如图3，分别延长四边形的各边，使得A，B，C，D分别为的中点，依次连接E，F，G，H得四边形． ①：直接写出，与之间的等量关系；_______ ②：若，则_______． 5．（25-26八年级上·江西赣州·期末）【阅读理解】 例题：若，求和的值； 解：由题意得：， ， ，解得 【问题解决】 (1)若，求的值； (2)若是的边长，满足是的最长边，且为偶数，则可能是哪几个数？ 随堂检测 · 精选练习 · 练习1  与三角形的高有关的计算问题（折叠与面积比求线段长） · 练习2  根据三角形中线求面积（阴影部分面积关系） · 练习3  三角形三边关系（已知两边，求第三边参数范围） · 练习4  三角形三边关系的应用（证明四边形中AC+BD小于周长） 1．（25-26七年级上·上海·期末）如图所示，在中．沿着过点的直线折叠这个三角形，使顶点落在边上的点处，折痕为，并连接．如果，且满足，边________．(用含的代数式表示结果） 2．（25-26七年级上·重庆万州·月考）如图，在中，，图中阴影部分的面积为25平方厘米，则的面积为______平方厘米． 3．（24-25七年级下·上海·月考）若三角形三边的长分别为、、，则应满足的条件是______． 4．（23-24七年级下·上海浦东新·期中）如图，如图四边形中，是与的交点，试说明：与的和小于四边形的周长． 课后巩固 · 核心作业 · 题1  构成三角形的条件 · 题2  根据三角形中线求长度 · 题3  构成三角形的条件 · 题4  确定第三边的取值范围 · 题5  三角形三边关系的应用 · 题6  三角形的识别与有关概念（比较角的大小） · 题7  确定第三边的取值范围 · 题8  三角形三边关系的应用（化简绝对值） · 题9  根据三角形中线求面积（求阴影部分比例） · 题10  根据三角形中线求面积 · 题11  画三角形的高（作图填空） · 题12  与三角形的高有关的计算问题（等面积法求定值） · 题13  根据三角形中线求面积（画高、求长度） · 题14  根据三角形中线求面积（复杂分割） · 题15  与三角形的高有关的计算问题（探究题） ※复习建议 熟练掌握三角形三边关系，能灵活运用高、中线、角平分线解决线段和面积问题，注意等面积法、分类讨论、方程思想的应用。 1．（2025·上海·模拟预测）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（    ） A．2，3，6 B．3，3，6 C．2，5，8 D．4，5，7 2．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中，是边上的中点，，与的周长之差为2，则的长为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 3．（24-25七年级下·上海普陀·月考）下列长度的三条线段能组成三角形的是（   ） A．1，2，1 B．2，7，8 C．4，6，11 D．1.5，2.5，4 4．（24-25七年级下·上海嘉定·期末）如果一个三角形的两边长分别为2cm和7cm，那么这个三角形第三边的长可能是（   ） A．2cm B．4cm C．5cm D．6cm 5．（24-25七年级下·上海·月考）三角形的三边分别为、、，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·上海·期末）在中，已知，那么_______（大小比较）． 7．（24-25七年级下·上海崇明·期中）已知的三边长为a、b、c，其中，则边长c的取值范围是___________． 8．（24-25七年级下·上海·期中）已知的三边长分别是、、，化简：______． 9．（24-25六年级下·上海·期中）如图所示，在中，，求阴影部分面积是三角形面积的______（几分之几）． 10．（24-25七年级下·上海闵行·期中）如图，已知是中边上的中线，点、分别在、的延长线上，，如果的面积是8，那么的面积等于___________． 11．（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，已知，根据下列要求作图并回答问题： (1)作边上的高； (2)过点作直线的垂线，垂足为； (3)点到直线的距离是线段_______的长度； (4)线段的长度表示点_____到直线_______的距离．（不要求写画法，只需写出结论即可） 12．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在中，，P是上任意一点，且于点D，于点E．若面积为32，则的值是否为定值？请说明理由． 13．（23-24七年级下·四川乐山·期末）如图，是的中线，是的中线． (1)在中作边上的高； (2)若的面积为，，求的长． 14．（25-26七年级上·重庆·自主招生）如图，三角形的面积是1，，三角形被分成9部分，请写出这9部分的面积各是多少？ 15．（25-26八年级上·山东日照·期末）在中，，为直线上任意一点，连接，于点，于点，于点． 【探究】（1）如图1，通过观察、测量，请猜想，，之间的数量关系为__________；为了说明，，之间的数量关系，小明是这样做的： 证明：__________． __________． ， __________． 【运用】（2）如图，当点为中点时，试判断与的数量关系，并说明理由． 【拓展】（3）如图2，当点在的延长线上时，请猜想，，之间的数量关系并证明． 第 1 页 共 24 页 学科网（北京）股份有限公司 $