专题03 平行线中的拐点模型之牛角模型（几何模型讲义）数学新教材沪教版五四制七年级下册

专题03 平行线中的拐点模型之牛角模型 平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线中的拐点模型（牛角模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。 通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 3 模型1.牛角模型 3 9 牛角模型是初中几何中“平行线拐点模型”的一种，它的名字来源于其形状类似牛角，这个形象化的命名让这个几何模型更容易被记住和理解。它的核心是一组平行线和一个拐点，通过连接拐点与两条平行线形成夹角（拐角）。 （2025·山东青岛·模拟预测）2023年5月底，由中国商飞公司制造的圆满完成商业首飞，对中国涉足国际航空领域大国政治具有象征意义．如图是机翼设计图，已知，，与水平线的夹角为，则等于______________． 【答案】 【分析】本题考查平行线的判定与性质的实际应用，作，，则，根据平行线得到，，最后根据代入计算即可． 【详解】解：如图，作，，点在点右边，点在点右边， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵与水平线的夹角为， ∴， ∴， 故答案为：． 牛角模型：如图1，已知AB∥CD，结论：∠1=∠2+∠3 ；如图2，已知AB∥CD，结论：∠1+∠3-∠2=180° 图1 图2 证明：在图1中，过E作AB的平行线EF，∴∠1+∠FEB＝180° 图1 图2 ∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3+∠FED＝180°，即：∠3+∠2+∠FEB＝180°，∴∠1=∠2+∠3. 在图2中，过E作AB的平行线EF，∴∠1+∠FEB＝180° ∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3=∠FEC，即：∠3-∠2=∠FEB，∴∠1+∠3-∠2=180°. 注意：牛角模型的证明也可添加其他辅助线，如：延长AB交DE于点F，或延长EB交CD于点F等。 模型1.牛角模型 例1（25-26七年级上·重庆·期末）如图，已知，点E，F分别在上，点在的上方，连接．点在与之间，连接，连接并延长至点，满足，，设，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的判定与性质，添加平行线是解答的关键． 设，，作，，则，利用平行线的性质，结合图形中的角的数量关系列方程求得，进而由求解即可． 【详解】解：设，， 则，， ∴，， 如图，作，， ∵， ∴， ∴，，，， ∵，， ∴，解得， ∴，即， 故选：C． 例2（24-25七年级下·河北廊坊·月考）“抖空竹”可以让人快乐，数学也可以让人快乐，如图①是依宸同学“抖空竹”的一个瞬间，我们把图①抽象成数学问题：如图②，已知，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，掌握平行线的性质求角度的方法是解题的关键．作，可得，所以，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作， ， ， ，， ， ， 故选：B． 例3（25-26八年级上·江西宜春·期末）为增强学生体质，感受我国的传统文化，某校体育老师提出将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入体育社团，图1是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小明把它抽象成图2的数学问题：已知，，，则______． 【答案】/45度 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是关键．过点E作，根据平行线的性质，求得，再根据平行线的传递性，证明，可求得，即可进一步求得答案． 【详解】解：过点E作， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 例4（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）如图①，已知，，，则的度数为________°． （2）如图②，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，若第一次拐角，第二次拐角．第三次拐的角是，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则________°． 【答案】 40 150 【分析】本题主要考查平行线的性质，利用平行线的性质求解即可． （1）过点作的平行线，则，利用平行线的性质求得，结合，求得，进一步利用求得即可； （2）过点作，则，有．可求得和，即可求得． 【详解】解：（1）过点作的平行线，如图， 由题意易知，， 因为， 所以， 所以， 所以． 又因为， 所以， 故答案为：40． （2）如图，过点作． 因为， 所以， 所以． 因为， 所以． 因为， 所以， 所以， 故答案为：150． 例5（2026七年级下·黑龙江哈尔滨·专题练习）【模型发现】某学校数学兴趣小组的学生在活动中发现：图1中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． (1)如图1，，是、之间的一点，连接、，试说明：；请将下面的说理过程补充完整： 说明：如图，过作． ∵．（辅助线的作法） ∴．（__________________） ∵．（已知） ∴．（__________________） ∴．（__________________） ∵．（角的和差定义） ∴______．（等量代换） (2)如图2，若，，，则______°； (3)如图3，，点在的上方，问，，之间有什么数量关系？请说明理由． 【答案】(1)两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线互相平行；两直线平行，内错角相等； (2)82 (3)，理由见解析 【分析】（1）过作，根据“两直线平行，内错角相等”得，再根据“平行于同一条直线的两条直线互相平行”得，进而根据“两直线平行，内错角相等”得，由此可得； （2）过点作（点在点的右侧），则，由此得，证明得，由此得，然后根据即可得出答案； （3）过点作（点在点的右侧），则，证明得，然后根据即可得出，，之间的数量关系． 【详解】（1）解：如图，过作， ∵，（辅助线的作法） ∴，（两直线平行，内错角相等） ∵，（已知） ∴，（平行于同一条直线的两条直线互相平行） ∴，（两直线平行，内错角相等） ∵，（角的和差定义） ∴．（等量代换） （2）解：过点P作（点在点的右侧），如图2所示： ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：，，之间的数量关系是：；理由如下： 过点作（点在点的右侧），如图3所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即，，之间的数量关系是：． 1．（25-26七年级上·江苏南通·期末）如图，，射线平分，点F为的反向延长线上的一点，连接，且满足，若，，则与满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，过点作，根据平行线的性质分别表示出、，根据，即可求解． 【详解】解：如图，过点作 ∵， ∴ ∵，， ∴， ∵ ∴ 又∵射线平分， ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故选：D． 2．（25-26七年级下·全国·单元测试）如图，，为平行线之间一点，连接，，为上方一点，连接，，为延长线上一点．若，分别平分，，则与的数量关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过作平行线，利用平行线的性质将角进行转化，结合角平分线的定义，推导出与的数量关系． 【详解】解:如图，过点作，过点作． ∵ ， ∴， ∴，． ∵ ，分别平分，， ∴，，， ∴． ∵ ， ∴， ∴． ∵ ， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义，解题关键是通过作平行线将角进行转化，结合角平分线的定义建立角之间的数量关系． 3．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）如图，，点为上方一点，，分别为，的角平分线，若，则的度数为（    ） A．90° B．95° C．100° D．105° 【答案】C 【分析】如图（见解析），过作，先根据平行线的性质、角的和差得出，再根据角平分线的定义得出，然后根据平行线的性质、三角形的外角性质得出，联立求解可得，最后根据角平分线的定义可得． 【详解】如图，过作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵、分别为、的角平分线， ∴，， ， ， ∵， ∴， ， ， ， 解得， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形的外角性质、角平分线的定义等知识点，通过作辅助线，构造平行线是解题关键． 4．（24-25七年级下·北京房山·期末）如图，与交于点，点在直线上，交于点，，，，给出下列四个结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，平行公理的推论，由平行线的判定定理可判断①；过点作，则，由平行线的性质可得，即可判断②；设，，可得，，，即可判断③；过点作，则，可得，，进而得到，即得到，即可判断④，综上即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，故①正确； 过点作，则， ∴，， ∴， 即，故②正确； 设，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，故③正确； ∵，，，， ∴，， 过点作，则， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，故④正确； 综上，正确结论的序号是①②③④， 故选：． 5．（24-25七年级下·福建厦门·期中）如图，已知，点B在上，点C在上，点A在上方，，点E在的反向延长线上，且，则与的数量关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质与判定，过点作，利用平行线性质得到，过点作，利用平行线性质得到进行求解，即可解题． 【详解】解：过点作， ， ， ， ， ， ，即 过点作， ，， ， ， ， ， ， ； ∴ 故选：C． 6．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）如图所示，直线，平分，平分，且，则的度数是__． 【答案】/度 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，理解题意，准确识图熟练掌握平行线的性质和角平分线的定义是解答此题的关键． 设，，根据角平分线的定义得，，，，再根据得，，，由此可得，，然后根据可求出，据此即可求出的度数． 【详解】解：设交于点，过作，如图： 设，， 平分，平分， ，， ，， ，， ， ，，， ， 又， ， ， ， ， ． 故答案为：． 7．（24-25七年级下·辽宁盘锦·月考）如图，，的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点F，，则的度数为________． 【答案】 【分析】过点F作,过点E作，得到，设，设，得到，解答即可． 本题考查平行线的判定和性质，等量代换，角平分线；熟练掌握平行线的判定和性质，灵活表示角之间的关系是解题的关键． 【详解】解：过点F作,过点E作， ∵， ∴， 设，设， ∵的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点F，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ 解得， ∴， 故答案为：． 8．（25-26七年级下·广东惠州·期末）已知，点M，N分别是，上两点，点G在，之间，连接，．点E是上方一点，连接，，若的延长线平分，平分，，则________． 【答案】/50度 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，利用平行线的性质以及角的和差关系进行推算．过G点作，过E点作．如图设，，利用平行线的性质以及角平分线的定义，可得，，再根据，据此计算即可求解． 【详解】解：如图，过G点作，过E点作． ， ， 设，，则，，． ∵平分， ， ， ， ， ∵平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得， ． 故答案为：． 9．（24-25七年级下·广东广州·期末）立定跳远动作中，从起跳到落地瞬间的几个身体相关关节的角度，对跳远成绩起着举足轻重的作用．如图是小李落地瞬间的动作及其示意图，若，，，则的度数为______． 【答案】/30度 【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理推论，过作，则有，，，然后代入求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）如图，，为上一点，的平分线的反向延长线交的平分线于N点，已知，则_______． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质的应用，角平分线的定义等知识，根据图形得出角之间的关系是解题的关键． 过作，过作，则，设，根据平行线的性质得，，由，求出，即可求解． 【详解】过作，过作， ∴， ∵的平分线的反向延长线交的平分线于点， ∴设， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 11．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）如图，已知，点为射线外一点，平分，交于点．若，，，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义，解题的关键是作出已知直线的平行线得到内错角相等．过点作，根据平行线的性质和角平分线的定义解答即可． 【详解】解：过点作， ， ， ，， ， 又平分， ， ， ：：，， ， ， 故答案为：． 12．（24-25八年级下·河南许昌·期中）某同学结合角平分线的知识将问题进行深入探究，如图所示，已知，点E的位置移到上方，点F在延长线上，与的平分线相交于点G，则与之间的数量关系是________． 【答案】 【分析】本题考查了平行公理推论、平行线的性质、角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题关键．过点作，过点作，先根据平行线的性质可得，，从而可得，再根据角平分线的定义可得，，然后根据平行线的性质可得，，最后根据角的和差、等量代换即可得出结论． 【详解】解：过点作，过点作， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵与的平分线相交于点G， ∴，， ∵，， ∴， ∴，， ∴ ， ∴． 故答案为： 13．（24-25七年级下·甘肃张掖·期中）已知直线，按如图所示的方式放置，点在直线上，，若，则的度数为_____． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，过B作，根据平行线的性质得出，根据平行线的传递性得出，根据平行线的性质得出，代入数值求解即可． 【详解】解：如图，过B作，则， ∵， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， 故答案为：． 14．（24-25七年级下·湖北武汉·月考）如图，平分，平分，的反向延长线交于点M，若，则_________． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线的性质与判定，角平分线的定义．过点M作，过点E作，可得，结合角平分线的计算得，结合图形利用各角之间的数量关系得出，由已知条件求解即可得出结果． 【详解】解：如图所示，过点M作，过点E作， ∵， ∴， ∴，，，， ∵ 平分，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 15．（25-26七年级上·吉林长春·期末）【问题情境】如图①，若，，，过点P作，则________； 【问题迁移】如图②，，点P在的上方，点E，F分别在，上，连接，，试探究，，之间的数量关系，并说明理由； 【问题拓展】如图③，在【问题迁移】的条件下，若，，的反向延长线与交于点G，则与的数量关系是________． 【答案】问题情境：；问题迁移：，理由见解析；问题拓展： 【分析】本题考查角的和差，平行线的判定及性质，正确作出辅助线，运用平行线的判定及性质求解是解题的关键． 问题情境：根据平行线的判定可得，从而得到，，再由角的和差即可求解； 问题迁移：过点P作，得到，因此，，根据角的和差即可解答； 问题拓展：过点P作，过点G作，则，因此，从而．再由，得到，，进而有，即可得出． 【详解】解：【问题情境】∵，， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：． 【问题迁移】，理由如下： 过点P作， ∵，， ∴， ∴，， ∴． 【问题拓展】过点P作，过点G作， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴． ∴． ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴． 16．（25-26八年级上·内蒙古包头·期末）如图，已知，点在上方，连接，．． (1)如图（1），若，求的度数； (2)如图（2），与互相垂直，垂足为，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平行线的判定与性质，周角，掌握知识点是解题的关键． （1）过点作，求出，推导出，得到，则，即可解答； （2）过点作，得到，，推导出，，则，即可解答． 【详解】（1）解：如图（1），过点作， ， ，， ， ， ， ； （2）解：如图（2），过点作， ， ， ， ， ，， ， ． 17．（24-25七年级下·四川德阳·期中）如图1所示，，的两边与，分别交于，两点．    (1)若，，求的度数； (2)如图2所示，直线，相交于点，且满足，： ①当时，若，求的度数； ②试探究与的数量关系． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，熟知平行线的性质与判定定理是解题的关键． （1）过点B作，则，由平行线的性质可得，据此可得答案； （2）①如图所示，过点B作，则，由平行线的性质可推出；再求出，；过点D作，则，则，据此由角的和差关系可得答案；②仿照（2）①求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，过点B作，    ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：①如图所示，过点B作，    ∵， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴； ∵， ∴； 如图所示，过点D作，则， ∴， ∴ ； ②如图所示，过点B作，过点D作，则，    同理可得，， ∵，， ∴， ∴ ． 18．（25-26七年级下·湖北武汉·月考）已知． (1)如图1，比的2倍少，求的度数； (2)如图2，若，求证：； (3)如图3，过E作的角平分线交的延长线于M，的角平分线交的反向延长线于N，若与互补，试探索直线与直线的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、平行公理推论、角平分线的定义等知识，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键． （1）先根据平行线的性质可得，则可得，再设，根据题意建立方程，解方程即可得； （2）延长交于点，先根据平行线的性质可得，则可得，再根据平行线的判定可得，然后根据平行线的性质即可得证； （3）过点作，过点作，先根据平行公理推论可得，根据平行线的性质可得，，，再根据角平分线的定义、等量代换可得，然后根据可得，最后根据平行线的判定即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， 由对顶角相等得：， ∴， 设， ∵比的2倍少， ∴，即， ∴， ∴． （2）证明：如图，延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：，理由如下： 如图，过点作，过点作， ∵， ∴， ∴，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∵与互补， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 19．（25-26七年级上·重庆万州·月考）如图1，由线段，，，组成的图形像“∑”形，称为“∑形”． (1)如图2，在“∑形”中，若，，求出的度数． (2)如图3，连接，若，，试猜想与之间的数量关系，并说明理由． (3)如图4，在（2）的条件下，当点M在线段的延长线上从上向下移动时，请直接写出与之间所有可能满足的数量关系． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或 【分析】本题考查了平行线的性质与判定． （1）过作，利用平行线的性质计算可求求解； （2）过点作交于点，利用平行线的性质可求得，结合（1）的结论可求解； （3）可分两种情况：当，位于两侧时，当，位于同侧时，利用平行线的性质分别计算求解． 【详解】（1）解：过作， ， ， ，， ； （2）， 理由：过点作交于点，过点作 ， ，， 由（）可得， ， ， ； （3）解：如图，当，位于两侧时，过作，过点作 ，， ， ，，， ， 即； 当，，三点共线时，， ； 当，位于同侧时， ，， ， 同理可得，，， ， 即， 综上，或． 20．（25-26七年级上·山西临汾·期末）思考与探究：两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化．例如：如图1，，点C、B分别在直线、上，点A在直线、之间． (1)求证： 证明：如图1过点A作 ， （________________________） ，（____________________________） 即： 请在括号内填写所依据的理由． (2)类比应用：已知直线，P为平面内一点，连接、． ①如图2，已知，，求的度数． ②如图3，设，，请写出、、之间的数量关系并说明理由． 【答案】(1)如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；两直线平行，内错角相等 (2)①；②，见解析 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，作出合适的辅助线是解题关键. （1）根据题干信息的提示写出推理依据即可. （2）①如图2，过点P作，证明，进一步利用平行线的性质证明即可； ②如图3，过点P作，证明，进一步利用平行线的性质证明即可. 【详解】（1）解：证明：如图1，过点A作， ，， （如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）， ，（两直线平行，内错角相等）， ， 即：. （2）解：①如图2，过点P作， ，， ， ，， ， ， ② 理由如下：如图3，过点P作， ，， ， ，， ， ， . 21．（25-26七年级上·四川眉山·期末）已知直线，直线、都不经过点． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，猜想、、之间的数量关系，并证明； (3)如图3，直接写出、、之间的数量关系． 【答案】(1) (2)，见解析 (3) 【分析】本题考查根据平行线的判定和性质探究角的关系，掌握平行线的性质定理是解题的关键． （1）作，则，根据平行线的性质即可求解； （2）作，则，根据两直线平行，同旁内角互补，可得，，进而可得； （3）作，则，根据两直线平行，内错角相等，可得，，进而可得． 【详解】（1）解：如图，作， 则， ∵， ∴， ∴ ∴， 即； （2）解：， 证明：如图，作， 则， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴； （3）解：， 理由：如图，作， 则， ∵， ∴， ∴， ∴． 22．（25-26七年级下·江苏徐州·期中）空竹在中国有悠久的历史，明代《帝京景物略》一书中就有空竹玩法和制作方法记述，明定陵亦有出土的文物为证．年5月日，抖空竹经中华人民共和国国务院批准列入第一批国家级非物质文化遗产名录． 【特殊与一般】小明在观察“抖空竹”时发现，可将某一时刻的情形抽象成数学问题． 如图①，已知， （1）若，则__________°． （2）若，则__________．（用含、的代数式表示） 【拓展与探究】小明继续思考，在平面内，已知射线、，若，点为、外一点（不同于图①），连接、．请补全图形，并探究与、之间的数量关系． 【迁移与应用】根据以上启发，请你利用平行线的性质证明“四边形内角和是”． （要求：画出图形，写出已知、求证，并完成证明过程） 【答案】（1）（2）【拓展与探究】或或 或 【迁移与应用】见解析 【分析】本题考查了平行线的判定和性质的应用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）根据题意，作，利用平行线的性质，求出和的度数，即可得到结果； （2）根据题意，仿照（1）的解答，即可得到结果； 【拓展与探究】根据题意，画出图形，利用平行线的性质，得到或或 或； 【迁移与应用】利用上一题的结论，证得即可． 【详解】解：（1）如图①，过点，作， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 故答案为：20； （2）如图①，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； 【拓展与探究】如下图，过点，作， ， ， ， ， ， ； 如下图，过点，作， ， ， ， ， ， ； 如图，， ， ； 如下图， ， ； 如下图，延长交于， ， ， ； 综上所述，或或 或； 【迁移与应用】已知：如图④，四边形， 求证：， 证明：分别过、两点，作， 由【拓展与探究】知：，， 即， ， ， ， ， 即． 23．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图，已知，，且比它的补角的多． (1)求的度数； (2)求证：； (3)若点为直线上的一动点（点不在直线，上），连接，请你探究与之间的数量关系，直接写出你的结论，不需要证明． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)或或． 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、解决本题的关键是作辅助线构造两直线平行，利用两直线平行得到的角之间的关系求解． 比它的补角的多，可得等式，解方程可得； 延长交延长线于点，过点作，根据平行线的性质可证，从而可证，根据内错角相等，两直线平行，可证结论成立； 因为点为直线上的一动点，所以应分三种情况求解，当点在延长线上时；延长交直线于点，当点在上时；当点在的延长线上时． 【详解】（1）解：比它的补角的多， ， 解得：， 答：； （2）证明：如下图报增，延长交延长线于点，过点作， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：或或， 理由如下： 如下图所示，当点在延长线上时， ， ， ， ， 即； 如下图所示，延长交直线于点，当点在上时， 过点作， ， ， 则， 又， ， 则， 即； 如下图所示，当点在的延长线上时， ，且， ， ， ． 综上，或或． 24．（24-25七年级下·福建福州·期中）课题学习：平行线的“等角转化”功能． 阅读理解：如图1，已知点A是外一点，连接，求的度数． (1)阅读并补充下面推理过程 解：过点A作， ∴， ． ∵， ∴． 解题反思：从上面推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能． 在此问中，是三角形的三个内角，通过（1）的证明，我们可以得到结论： ．（此结论可用于第（2）（3）题解决问题） (2)如图2，三角形中，过点A作直线，若和的平分线交于点F． ①则的度数为 ．（直接写出答案） ②过点C作，垂足为点G，连接，若，求证：B，F，G三点共线． (3)如图3，已知，点E在直线上，点P在直线上方，连接，的平分线与的平分线所在直线交于点Q，求的值． 【答案】(1)；（或三角形的内角和等于） (2)①；②见解析 (3) 【分析】（1）根据平行线的性质解答即可； （2）①根据平行线的性质可得，再由角平分线的定义，可得，然后根据（1）中结论解答即可；②根据垂直的定义可得，再结合角平分线的定义，可得，然后（1）中结论，可得，即可求证； （3）设，过点Q作，可得，从而得到，从而得到，过点P作，可得，再结合角平分线的定义，以及（1）中结论，可得，即可求解． 【详解】（1）解：过点A作， ∴，． ∵， ∴． 是三角形的三个内角，通过（1）的证明，我们可以得到结论：（或三角形的内角和等于） 故答案为：；（或三角形的内角和等于）； （2）解：①∵， ∴， ∵分别平分，， ∴， ∴， ∴； 故答案为： ②∵， ， ∴， ∵平分， ∴， ， ∴， ， ∴， ， ∴， ∴B，F，G三点共线； （3）解：设， 过点Q作， ∵ ∴ ∴ ∵， ∴， 过点P作， ∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是正确添加辅助线，利用平行线的性质进行推算． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 平行线中的拐点模型之牛角模型 平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线中的拐点模型（牛角模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。 通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 3 模型1.牛角模型 3 9 牛角模型是初中几何中“平行线拐点模型”的一种，它的名字来源于其形状类似牛角，这个形象化的命名让这个几何模型更容易被记住和理解。它的核心是一组平行线和一个拐点，通过连接拐点与两条平行线形成夹角（拐角）。 （2025·山东青岛·模拟预测）2023年5月底，由中国商飞公司制造的圆满完成商业首飞，对中国涉足国际航空领域大国政治具有象征意义．如图是机翼设计图，已知，，与水平线的夹角为，则等于______________． 牛角模型：如图1，已知AB∥CD，结论：∠1=∠2+∠3 ；如图2，已知AB∥CD，结论：∠1+∠3-∠2=180° 图1 图2 证明：在图1中，过E作AB的平行线EF，∴∠1+∠FEB＝180° 图1 图2 ∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3+∠FED＝180°，即：∠3+∠2+∠FEB＝180°，∴∠1=∠2+∠3. 在图2中，过E作AB的平行线EF，∴∠1+∠FEB＝180° ∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3=∠FEC，即：∠3-∠2=∠FEB，∴∠1+∠3-∠2=180°. 注意：牛角模型的证明也可添加其他辅助线，如：延长AB交DE于点F，或延长EB交CD于点F等。 模型1.牛角模型 例1（25-26七年级上·重庆·期末）如图，已知，点E，F分别在上，点在的上方，连接．点在与之间，连接，连接并延长至点，满足，，设，则的度数为（   ） A． B． C． D． 例2（24-25七年级下·河北廊坊·月考）“抖空竹”可以让人快乐，数学也可以让人快乐，如图①是依宸同学“抖空竹”的一个瞬间，我们把图①抽象成数学问题：如图②，已知，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 例3（25-26八年级上·江西宜春·期末）为增强学生体质，感受我国的传统文化，某校体育老师提出将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入体育社团，图1是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小明把它抽象成图2的数学问题：已知，，，则______． 例4（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）如图①，已知，，，则的度数为________°． （2）如图②，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，若第一次拐角，第二次拐角．第三次拐的角是，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则________°． 例5（2026七年级下·黑龙江哈尔滨·专题练习）【模型发现】某学校数学兴趣小组的学生在活动中发现：图1中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． (1)如图1，，是、之间的一点，连接、，试说明：；请将下面的说理过程补充完整： 说明：如图，过作． ∵．（辅助线的作法） ∴．（__________________） ∵．（已知） ∴．（__________________） ∴．（__________________） ∵．（角的和差定义） ∴______．（等量代换） (2)如图2，若，，，则______°； (3)如图3，，点在的上方，问，，之间有什么数量关系？请说明理由． 1．（25-26七年级上·江苏南通·期末）如图，，射线平分，点F为的反向延长线上的一点，连接，且满足，若，，则与满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·全国·单元测试）如图，，为平行线之间一点，连接，，为上方一点，连接，，为延长线上一点．若，分别平分，，则与的数量关系为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）如图，，点为上方一点，，分别为，的角平分线，若，则的度数为（    ） A．90° B．95° C．100° D．105° 4．（24-25七年级下·北京房山·期末）如图，与交于点，点在直线上，交于点，，，，给出下列四个结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 5．（24-25七年级下·福建厦门·期中）如图，已知，点B在上，点C在上，点A在上方，，点E在的反向延长线上，且，则与的数量关系是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）如图所示，直线，平分，平分，且，则的度数是__． 7．（24-25七年级下·辽宁盘锦·月考）如图，，的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点F，，则的度数为________． 8．（25-26七年级下·广东惠州·期末）已知，点M，N分别是，上两点，点G在，之间，连接，．点E是上方一点，连接，，若的延长线平分，平分，，则________． 9．（24-25七年级下·广东广州·期末）立定跳远动作中，从起跳到落地瞬间的几个身体相关关节的角度，对跳远成绩起着举足轻重的作用．如图是小李落地瞬间的动作及其示意图，若，，，则的度数为______． 10．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）如图，，为上一点，的平分线的反向延长线交的平分线于N点，已知，则_______． 11．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）如图，已知，点为射线外一点，平分，交于点．若，，，则_____． 12．（24-25八年级下·河南许昌·期中）某同学结合角平分线的知识将问题进行深入探究，如图所示，已知，点E的位置移到上方，点F在延长线上，与的平分线相交于点G，则与之间的数量关系是________． 13．（24-25七年级下·甘肃张掖·期中）已知直线，按如图所示的方式放置，点在直线上，，若，则的度数为_____． 14．（24-25七年级下·湖北武汉·月考）如图，平分，平分，的反向延长线交于点M，若，则_________． 15．（25-26七年级上·吉林长春·期末）【问题情境】如图①，若，，，过点P作，则________； 【问题迁移】如图②，，点P在的上方，点E，F分别在，上，连接，，试探究，，之间的数量关系，并说明理由； 【问题拓展】如图③，在【问题迁移】的条件下，若，，的反向延长线与交于点G，则与的数量关系是________． 16．（25-26八年级上·内蒙古包头·期末）如图，已知，点在上方，连接，．． (1)如图（1），若，求的度数； (2)如图（2），与互相垂直，垂足为，求的度数． 17．（24-25七年级下·四川德阳·期中）如图1所示，，的两边与，分别交于，两点．    (1)若，，求的度数； (2)如图2所示，直线，相交于点，且满足，： ①当时，若，求的度数； ②试探究与的数量关系． 18．（25-26七年级下·湖北武汉·月考）已知． (1)如图1，比的2倍少，求的度数； (2)如图2，若，求证：； (3)如图3，过E作的角平分线交的延长线于M，的角平分线交的反向延长线于N，若与互补，试探索直线与直线的位置关系，并说明理由． 19．（25-26七年级上·重庆万州·月考）如图1，由线段，，，组成的图形像“∑”形，称为“∑形”． (1)如图2，在“∑形”中，若，，求出的度数． (2)如图3，连接，若，，试猜想与之间的数量关系，并说明理由． (3)如图4，在（2）的条件下，当点M在线段的延长线上从上向下移动时，请直接写出与之间所有可能满足的数量关系． 20．（25-26七年级上·山西临汾·期末）思考与探究：两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化．例如：如图1，，点C、B分别在直线、上，点A在直线、之间． (1)求证： 证明：如图1过点A作 ， （________________________） ，（____________________________） 即： 请在括号内填写所依据的理由． (2)类比应用：已知直线，P为平面内一点，连接、． ①如图2，已知，，求的度数． ②如图3，设，，请写出、、之间的数量关系并说明理由． 21．（25-26七年级上·四川眉山·期末）已知直线，直线、都不经过点． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，猜想、、之间的数量关系，并证明； (3)如图3，直接写出、、之间的数量关系． 22．（25-26七年级下·江苏徐州·期中）空竹在中国有悠久的历史，明代《帝京景物略》一书中就有空竹玩法和制作方法记述，明定陵亦有出土的文物为证．年5月日，抖空竹经中华人民共和国国务院批准列入第一批国家级非物质文化遗产名录． 【特殊与一般】小明在观察“抖空竹”时发现，可将某一时刻的情形抽象成数学问题． 如图①，已知， （1）若，则__________°． （2）若，则__________．（用含、的代数式表示） 【拓展与探究】小明继续思考，在平面内，已知射线、，若，点为、外一点（不同于图①），连接、．请补全图形，并探究与、之间的数量关系． 【迁移与应用】根据以上启发，请你利用平行线的性质证明“四边形内角和是”． （要求：画出图形，写出已知、求证，并完成证明过程） 23．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图，已知，，且比它的补角的多． (1)求的度数； (2)求证：； (3)若点为直线上的一动点（点不在直线，上），连接，请你探究与之间的数量关系，直接写出你的结论，不需要证明． 24．（24-25七年级下·福建福州·期中）课题学习：平行线的“等角转化”功能． 阅读理解：如图1，已知点A是外一点，连接，求的度数． (1)阅读并补充下面推理过程 解：过点A作， ∴， ． ∵， ∴． 解题反思：从上面推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能． 在此问中，是三角形的三个内角，通过（1）的证明，我们可以得到结论： ．（此结论可用于第（2）（3）题解决问题） (2)如图2，三角形中，过点A作直线，若和的平分线交于点F． ①则的度数为 ．（直接写出答案） ②过点C作，垂足为点G，连接，若，求证：B，F，G三点共线． (3)如图3，已知，点E在直线上，点P在直线上方，连接，的平分线与的平分线所在直线交于点Q，求的值． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $