内蒙古自治区呼和浩特市新城区北京一零一中呼和浩特分校2025-2026学年下学期九年级数学学情自测

绝密★启用前 2025-2026学年第二学期初三年级周测试卷（二） 数 学 学 科 时间：40分钟 满分100分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共4小题，每小题6分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为(    ) A. B. C. D. 2.如图，在平面直角坐标系中，点在轴的负半轴上，点在第三象限内，以原点为位似中心，在第一象限内作与的相似比为的位似图形，若点的坐标为，则点的坐标为(    ) A. B. C. D. 3.如图，在中，，，分别以点，为圆心、的长为半径画弧，与，的延长线分别交于点，若，则图中阴影部分的面积为(    ) A. B. C. D. 第1题图 第2题图 第3题图 4.已知，，三点在反比例函数的图象上，则下列判断正确的是(    ) A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 5.分解因式：      ． 6.公元前世纪，古希腊科学家阿基米德发现“杠杆原理”为：阻力阻力臂动力动力臂小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为和，则动力关于自变量动力臂的函数解析式为        7.某科技小组用无人机测量一池塘水面两端，的距离，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水面的处，测得处的俯角为，处的俯角为，则，之间的距离是       取 8.如图，在正方形中，，动点，分别在边，上移动，且满足连接和，交于点点从点开始运动到点时，点也随之停止运动，请求出点的运动路径长为        ． 第6题图 第7题图 第8题图 三、解答题：本题共4小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 计算：； ． 10.本小题分为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，学校开展“科学小博士”知识竞赛各班以小组为单位组织初赛，规定满分为分，分及以上为优秀． 数据整理：小夏将本班甲、乙两组同学每组人初赛的成绩整理成如下的统计 数据分析：小夏对这两个小组的成绩进行了如下分析： 平均数分 中位数分 众数分 方差 优秀率 甲组 乙组 请认真阅读上述信息，回答下列问题： 填空：______，______，______； 小祺认为甲、乙两组成绩的平均数相等，因此两个组成绩一样好小夏认为小祺的观点比较片面，请结合上表中的信息帮小夏说明理由写出两条即可． 若从名优秀的选手选两名代表学校去参与比赛，请问两人来自同一组的概率，请用树状图或列举法说明． 11.本小题分 如图，已知点在直角的斜边上，以为直径的与直角边相切于点． 求证：平分； 若，，求的半径． 在的基础上，求的值？ 12.本小题分某玩转数学小组发现隧道前通常设有涉水线和限高架等安全警示，为探究其内在的数学原理，该小组考察了双向通行隧道以下为该小组研究报告的部分记录，请认真阅读，解决问题． 发现问题确定目标 涉水线设置 限高架设置 数学抽象绘制图形 隧道及斜坡的侧面示意图可近似如图所示． 图为隧道横截面示意图，由抛物线的一部分和矩形的三边构成． 信息收集资料整理 当隧道内积水的水深为米时即积水达到涉水线处，车辆应避免通行． 车辆进入隧道，应在行驶车道内通行禁止压线，且必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于米． 实地考察数据采集 斜坡的坡角为，并查得，，． 隧道的最高点到地面距离为米，两侧墙面高米，地面跨度米车辆行驶方向的右侧车道线宽度忽略不计与墙面的距离为米． 问题解决： 如图，求涉水线离坡底的距离精确到米； 在图中画出以点的水平方向建立轴，过点的竖直方向为轴，建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式； 限高架上标有警示语“车辆限高米”即最大安全限高，求的值精确到米． 绝密★启用前 2025-2026学年第二学期初三年级周测试卷（二） 数 学 学 科 评 分 标 准 一、选择题：本题共4小题，每小题6分，共24分。每小题只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 答案 C D D B 二、填空题：本题共4小题，每小题6分，共24分。 9.   10.     11.     12.    三、解答题：本题共4小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.解：原式..............................................................3分 ......................................................................................................................5分 原式 ..........................................................................................................................3分 ...................................................................................................................................5分 【考点解析】 先利用二次根式的性质化简，再求负整数指数幂，立方根，再计算加减运算即可； 先把分式的除法转化成乘法，约分，最后再计算分式减法即可． 本题考查分式的混合运算、实数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 10.解：甲组的得分从小到大排列为，，，，，，，， ， 乙组成绩中出现最多的数是，优秀人数为人， ，； 故答案为：，，；.................................................................................................3分 从优秀率看：甲组成绩的优秀率为，高于乙组成绩的优秀率， 从优秀率的角度看，甲组成绩比乙组好； 从中位数看，甲组成绩的中位数为，高于乙组成绩的中位数， 从中位数的角度看，甲组成绩比乙组好；...............................................................6分 甲组中有名优秀学生记为、、，乙组中有名优秀学生记为、， 画树状图如下： ................................................................8分 由树状图可知两人来自同一组的概率...............................................................................10分 根据中位数、众数的定义求解即可； 从中位数和方差进行分析即可； 画出树状图求解即可． 本题考查了列表法或树状图法求概率，熟练掌握该知识点是关键． 11.证明：连接， 是的切线， ． ， ， ． ， ， ， 平分.....................................................................................................5分 解：设的半径为，则，， 在中，， 即， 解得， 所以的半径为.......................................................................................9分 解：由得，． ， ∽， ， 即， 解得， ． 在中，........................................................14分 连接，根据切线的性质得，即可说明，可得，再根据等边对等角得，进而得出，则此题可解； 设的半径为，可得，，再根据勾股定理得，求出解即可得出答案； 由得，，再说明∽，可得，然后代入数值求出，接下来求出，最后根据正切定义得出答案． 本题主要考查了圆的综合知识，掌握其相关知识点是解题的关键． 12. 解：如图所示，过点作， 斜坡的坡角为，隧道内积水的水深为米， ，， ，， ， 即， 解得米； 答：涉水线离坡底的距离为米..............................................6分 如图所示，建立直角坐标系， 设抛物线的关系式为， 隧道的最高点到地面距离为米， 两侧墙面高米，地面跨度米， 点． 把代入，得 ， 解得， ....................................................................................................12分 如图所示， 车辆行驶方向的右侧车道线与墙面距离是米， 必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于米， 米， 当时，，则米， 米． 限高架上标有警示语“车辆限高米”即最大安全限高， 米． 涉及安全问题， 限高架上标有警示语“车辆限高米”，则米......................................18分 作，根据求出即可； 先设抛物线的关系式为，根据题意可得点，再代入可得答案； 先根据题意将代入二次函数关系式，求出，再求出，然后根据得出答案． 本题考查二次函数的应用，线段的性质：两点之间线段最短，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $