专题23.3 一次函数与方程（组）、不等式（同步讲义）知识梳理+八大考点讲练+真题演练+分层训练 共49题-2025-2026学年人教版数学八年级下册同步培优讲义

2025-2026学年人教版（新教材）数学八年级下册同步培优【重点考点讲练】 专题23.3 一次函数与方程（组）、不等式 （第二十三章 一次函数） 【人教版八下●新教材】 知识梳理 技巧点拨 1 知识点一 一次函数与一元一次方程的关系 1 知识点二 一次函数与一元一次不等式的关系 2 知识点三 一次函数与二元一次方程组的关系 2 重点难点 考点讲练 3 考点讲练一 已知直线与坐标轴交点求方程的解 3 考点讲练二 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 5 考点讲练三 利用图象法解一元一次方程 8 考点讲练四 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 12 考点讲练五 根据两条直线的交点求不等式的解集 16 考点讲练六 两直线的交点与二元一次方程组的解 20 考点讲练七 图象法解二元一次方程组 23 考点讲练八 求直线围成的图形面积 29 中考真题 实战演练 33 难度分层 闯关训练 38 基础夯实 能力提升 38 创新拓展 拔尖冲刺 43 知识点一 一次函数与一元一次方程的关系 1.一次函数与一元一次方程的关系 （1）从“数”上看：函数y=kx+b（k≠0）中，当y=0时的值方程kx+b=0（k≠0）的解. （2）从“形”上看：函数y=kx+b（k≠0）的图象与轴的交点的横坐标方程kx+b=0（k≠0）的解 2.利用一次函数的图象解一元一次方程的步骤 （1）转化：将一元一次方程转化为一次函数 （2）画图象：画出一次函数的图象 （3）找交点：找出一次函数图象与轴的交点，则交点的横坐标即一元一次方程的解. 【拓展】 方程kx+b=n（k≠0）的解函数y=kx+b（k≠0）中，y=n时的值；方程kx+b=n（k≠0）的解函数y=kx+b（k≠0）的图象与直线y=n的交点的横坐标. 知识点二 一次函数与一元一次不等式的关系 因为任何一个一元一次不等式都可以变形为或的形式，所以解一元一次不等式可以看成求一次函数的函数值大于0或小于0时，自变量的取值范围. 一次函数与一元一次不等式（或）的关系如下： 一次函数与一元一次不等式的关系 数的角度 不等于的解集在函数中，y>0时的取值范围 不等式的解集在函数中，y<0时的取值范围 形的角度 不等式的解集直线在x轴上方的部分所对应的的取值范围 不等式的解集直线在x轴下方的部分所对应的的取值范围 【拓展】 直线与直线的交点的横坐标即为方程的解；不等式（或）的解集就是直线在直线上（或下）方部分对应的的取值范围.如图所示，方程的解为；不等式的解集为；不等式的解集为. 知识点三 一次函数与二元一次方程组的关系 1.二元一次方程组（都不为0，且,都是常数）的解是一次函数和图象的交点坐标. 【注意】每个二元一次方程都对应一个一次函数，也就是对应一条直线，因此每个二元一次方程组都对应两个一次函数，也就是对应两条直线. 2.用图象法求二元一次方程组的解的一般步骤 （1）变函数：把方程组化为一次函数与. （2）画图象：建立一个平面直角坐标系，画出两个一次函数的图象. （3）找交点：由图象确定两直线交点的坐标. （4）写结论：依据点的坐标写出方程组的解. 【注意】用图象法解二元一次方程组要求作图精准，且有时只能得到近似解. 【拓展】二元一次方程组中的两个方程化为一次函数后，其图象可能是两条相交直线、两条重合直线或两条平行直线，因此，方程组可能有唯一解、无穷多解或无解.如的两个方程化为一次函数后，其图象是两条平行的直线，故方程组无解. 考点讲练一 已知直线与坐标轴交点求方程的解 【典例分析】（24-25八年级下·湖北武汉·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象交轴正半轴于点，下列结论：①一次函数经过点；②且；③方程的解为；④若时，则．其中正确的有__________（填写序号即可）． 【答案】①③ 【思路引导】此题考查了一次函数、解方程、解不等式等知识．根据一次函数与y轴交点坐标的正负性确定k的范围，代入点坐标验证点是否在函数图象上，解方程及不等式判断结论的正确性． 【规范解答】解：对于结论①，当时，， 故函数经过点，结论正确； 对于结论②，函数交y轴正半轴于点A，则时，，解得，故结论②错误； 对于结论③，方程可化为，由于函数交y轴正半轴，，，故，解得，结论正确； 对于结论④，不等式可化为， 当时，，而时， 故，结论错误． 故答案为：①③． 【变式训练1】（25-26七年级上·贵州遵义·期末）x的取值和代数式的对应值如下表： x … 0 1 2 3 … … 9 7 5 3 1 … 根据表中信息，下列说法中： ①当时，；②关于x的方程的解为； ③；④使的x值在2和3之间． 正确的是________（填序号）． 【答案】①④ 【思路引导】本题主要考查了一次函数的图形和性质，解题的关键是掌握数形结合的思想． 根据表格数据，代入特定x值验证代数式的值，并比较大小． 【规范解答】解：由图表可得，当时，，即，故①正确； 当时，，方程的解为，而非，故②错误； 当时，，当时，，，故，③错误； 当时，，当时，，由于函数连续，的x值在2和3之间，故④正确． 故答案为：①④． 【变式训练2】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）一次函数和一次函数在同一坐标系中的图象如图所示，已知，，，观察图象回答下列问题： (1)关于的一元一次方程的解是 ； (2)关于，的方程组的解是 ． 【答案】(1)； (2)． 【思路引导】本题考查一次函数与二元一次方程组、一次函数与一元一次方程，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （）由题意得，关于的方程的解是； （）由图可得答案． 【规范解答】（1）解：∵点坐标为， ∴关于的一元一次方程的解是， 故答案为：； （2）解：由图可得，一次函数和一次函数图象的交点为， ∴关于，的方程组的解是， 故答案为：． 考点讲练二 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 【典例分析】（25-26八年级上·河南郑州·期末）下列关于一次函数的判断，正确的是（   ） A．当时，该函数图象经过一、三、四象限 B．若关于x的方程的解是，则的图象恒过点 C．若该函数的图象向右平移2个单位后经过原点，则 D．点，点在该函数的图象上，若，则 【答案】B 【思路引导】本题考查了一次函数的图象与性质、函数图象的平移规律以及方程的解与函数图象的关系，关键是根据一次函数的性质和相关规律逐一分析每个选项． 【规范解答】解：对于一次函数，其中． 选项A：当时，函数图象经过第二、三、四象限，而非一、三、四象限，故A错误； 选项B：∵方程的解是， ∴，即． 将代入，得， ∴函数图象恒过点，故B正确； 选项C：函数图象向右平移2个单位后解析式为，∵图象过原点，代入得，解得，而非，故C错误； 选项D：随的增大而减小．若，则，但与的符号由决定，不一定满足，故D错误； 故选：B． 【变式训练1】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，． (1)在如图所示的平面直角坐标系中画出该一次函数的图象，并标出点A，B； (2)当时，的取值范围是_____； (3)将一次函数的图象沿轴向上平移个单位长度，所得直线与轴交于点．若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)12 【思路引导】本题考查了一次函数的图象与性质、一次函数图象的平移，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键． （1）先求出点的坐标，再利用描点法画出函数图象即可得； （2）结合函数图象即可得； （3）先求出平移后的直线的解析式，再求出点的坐标，然后求出，根据建立方程，解方程即可得． 【规范解答】（1）解：对于一次函数， 当时，，解得，即， 当时，，即． 在平面直角坐标系中画出该一次函数的图象如下： ． （2）解：由函数图象可知，当时，的取值范围是， 故答案为：． （3）解：将一次函数的图象沿轴向上平移个单位长度，所得直线的解析式为， 将代入得：，解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， 所以的值为12． 【变式训练2】如图，过A点的一次函数的图象与正比例函数的图象相交于点B． (1)求该一次函数的解析式． (2)判定点是否在该函数的图象上？说明理由； (3)若该一次函数的图象与x轴交于D点，求的面积． 【答案】(1)； (2)不在该函数的图象上，理由见解析 (3)3． 【思路引导】本题主要考查一次函数，掌握待定系数法是解题的关键． （1）首先求得B的坐标，然后利用待定系数法即可求得函数的解析式； （2）把C的坐标代入一次函数的解析式进行检验即可； （3）首先求得D的坐标，然后利用三角形的面积公式求解． 【规范解答】（1）解：当时，， ∴点B的坐标为， 设一次函数的解析式为：，把和代入得 ，解得 ∴一次函数的解析式为； （2）解：当时，， ∴点不在该函数图象上； （3）解：令，则，解得， ∴点D的坐标为， ∴． 考点讲练三 利用图象法解一元一次方程 【典例分析】（25-26八年级下·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，一次函数（，为常数，且）与正比例函数（为常数，且）的图象如图所示，则关于的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系．两个一次函数图象的交点的横坐标是相应方程的解是解题的关键． 根据函数图象交点的横坐标是关于x的方程的解可得答案． 【规范解答】解：由图象可知，当时，， 即， 关于的方程的解为． 故选：A． 【变式训练1】（25-26八年级上·吉林·期末）学习函数时，我们经历了“确定函数解析式、画出函数图象、利用函数图象研究函数性质、利用函数性质解决问题”的学习过程．以下是我们研究函数的图象和性质的部分过程，请按要求完成下列问题． (1)列表：与的部分对应值如表：则______，______． … 0 1 2 3 … … 0 1 … (2)描点、连线：根据上表中的数据，在平面直角坐标系中画出函数的图象； (3)结合图象，写出一条函数的性质：______． (4)根据函数图象填空： ①方程有______个解； ②若关于的方程无解，则的取值范围是______． ③若关于的方程有两个不相等的实数解，直接写出实数的取值范围． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)函数的图象关于轴对称．（答案不唯一） (4)①2；②；③ 【思路引导】本题考查函数的图象和性质，解决本题的关键是读懂函数图象，掌握一次函数的图象性质． （1）将、代入函数解析式即可求解． （2）根据表格描点连线即可． （3）观察函数图象，从对称性等方面得出性质． （4）①根据图象确定方程解的个数； ②观察图象得出结论； ③根据函数图象分情况作答即可； 【规范解答】（1）解：将、代入函数解析式， 当时，； 当时，； 故，． 故答案为：，； （2）解：根据表格描点、连线，如图所示： （3）解：观察图象，可知：函数的图象关于轴对称． 故答案为：函数的图象关于轴对称； （4）解：①观察图象可知， 的图象与有两个交点， 故方程有2个解； 故答案为：2； ②观察图象可知，的图象与直线有一个交点， 在的下方无交点， 故要使关于的方程无解， 需． 故答案为：； ③当时，， 即函数必过， 当时，如图，当时，与右半段平行，此时与有1个交点， 即当时，与有2个交点，此时； 当时，同理可得当时，与有2个交点，此时； 当时，，由①可知此时与有2个交点； 综上所述，当时，关于的方程有两个不相等的实数解． 【变式训练2】（24-25八年级下·全国·期末）函数的图象如图所示，利用函数图象解答下列问题： (1)解方程； (2)解不等式； (3)解不等式组． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查了一次函数的应用，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）由函数图象即可得解； （2）待定系数法求出函数为，当时，，解得，再结合函数图象即可得解； （3）结合函数图象即可得解． 【规范解答】（1）解：由图象可得，方程的解为； （2）解：将，代入函数可得：， 解得：， ∴函数为， 当时，， 解得， 由函数图象可得，不等式的解集为； （3）解：由函数图象可得：不等式组的解集为． 考点讲练四 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【典例分析】（25-26八年级下·全国·课后作业）在学习一元一次不等式与一次函数中，小明在同一个平面直角坐标系中分别作出了一次函数和的图象，分别与x轴交于点A，B，两直线相交于点C．已知点，，观察图象并回答下列问题： (1)关于x的方程的解是 ，关于x的不等式的解集是 ； (2)求关于x的不等式组的解集． 【答案】(1)， (2) 【思路引导】利用数形结合思想解答即可． 【规范解答】（1）解：∵一次函数与x轴交于点， ∴当时，， ∴关于x的方程的解是， 观察图象得：当时，函数的图象在x轴的下方， 即关于x的不等式的解集为； 故答案为：，； （2）解：根据图象得，当时，一次函数和的图象均在x轴的上方， ∴关于x的不等式组的解集为． 【变式训练1】（25-26八年级上·安徽宣城·期末）如图，已知直线和直线相交于点，直线分别与轴和轴相交于点和点，直线与轴交于点． (1)分别求出这两个函数的解析式； (2)连接，求的面积； (3)根据图象，直接写出不等式组的解集． 【答案】(1)直线为，直线； (2)3； (3)． 【思路引导】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式、待定系数法求一次函数解析式、两条直线相交或平行问题，解题时要能利用数形结合是关键． （1）先将点分别代入直线和直线，求出的值，再代入即可； （2）先求出直线和直线与轴和轴的交点，在根据三角形面积公式求解即可； （3）依据题意得，不等式组的解集是直线在直线的下方，且都在轴下方部分对应的自变量的取值范围，从而结合函数图象即可得解． 【规范解答】（1）解：∵直线和直线相交于点， ∴将代入直线中，得，即， 将代入直线中，得，即， ∴直线为，直线． （2）解：连接， ∵直线与轴和轴相交于点和点， ∴当时，解得，即点，， 当时，得，解得，即点，， ∵直线与轴相交于点， ∴当时，得，解得，即点，， ∴， ∴． （3）解：法一： 依据题意得，不等式组的解集是直线在直线下方，且都在轴下方部分对应的自变量的取值范围， ∵， ∴结合函数图象可得，． 法二： ∵， ∴， 得， 由①得， ， ， ， 由②得， ， ， 综上，． 【变式训练2】（25-26八年级上·广西百色·期中）如图，已知一次函数（k、b为常数，）的图象分别与x轴、y轴交于A、B两点，若，，结合图象求： (1)关于x的方程的解； (2)关于x的不等式的解集； (3)当x的取值在什么范围时，? 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量的取值范围． （1）写出点坐标，即可解答； （2）写出点坐标，即可解答； （3）写出点坐标，即可解答． 【规范解答】（1）解：， ， 关于x的方程的解为； （2）解：结合图象可得， 关于x的不等式的解集为； （3）解：由，，可得， ， 所以当x的取值在时，． 考点讲练五 根据两条直线的交点求不等式的解集 【典例分析】．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，一次函数与（，，为常数）的图象交于点，则关于的一元一次不等式的解为_____． 【答案】/ 【思路引导】本题考查一次函数与不等式的关系，掌握不等式与函数图像的关系是解题的关键． 根据不等式与函数图像的关系，可直接判断出一元一次不等式的解集． 【规范解答】解：∵点为一次函数与的图象交点， 且点的横坐标为， 根据一次函数与不等式的关系， 可判断出的解集为， 故答案为：． 【变式训练1】（25-26八年级上·安徽安庆·期末）如图，已知直线和直线相交于点，直线分别与轴和轴相交于点和点，直线与轴交于点． (1)分别求出这两个函数的解析式； (2)直接写出不等式组的解集_____． 【答案】(1)直线为，直线； (2)． 【思路引导】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式、待定系数法求一次函数解析式、两条直线相交或平行问题，解题时要能利用数形结合是关键． （1）先将点分别代入直线和直线，求出的值，再代入即可； （2）依据题意得，不等式组的解集是直线在直线的下方，且都在轴下方部分对应的自变量的取值范围，从而结合函数图象即可得解． 【规范解答】（1）解：∵直线和直线相交于点， ∴将代入直线中，得，即， 将代入直线中，得，即， ∴直线为，直线． （2）解：依据题意得，不等式组的解集是直线在直线下方，且都在轴下方部分对应的自变量的取值范围， ∵， ∴结合函数图象可得，． 【变式训练2】（25-26八年级上·全国·期末）如图1，直线，相交于点，直线与x轴相交于点，直线与x轴相交于点． (1)求直线和的函数关系式． (2)当时，对于x的每一个值，函数的值既小于直线的函数值，也小于直线的函数值，求m的取值范围． (3)如图2，若直线与y轴相交于点D，线段上是否存在一点P，使点P ，点 B和点 D为顶点组成的三角形面积，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【思路引导】（1）采用待定系数法，分别设​、​的一次函数解析式为，将​经过的、，​经过的、代入解析式，列方程组求解系数，得到​和​的函数关系式． （2）分析时的函数值约束：当过时，与​平行时；结合图象可知，当时，时的值小于、​的函数值． （3）先求​与y轴交点D的坐标，计算的面积，进而得到的面积；平移​得到过P的直线，结合面积求出该直线与x轴的交点，确定其解析式；最后联立该直线与​的解析式，解方程组得到P点坐标． 【规范解答】（1）解：已知过、， 设解析式为​，代入得： ， 解得，， 故​：． 已知过、， 设解析式为 ​，代入得： ， 解得，， 故​：． （2）解：当时，、​的函数值均为4，此时需满足． 当与:平行时，，此时时恒成立． 当过点时，，此时时（即小于​、​的函数值）． 结合图象，得． （3）解：直线​：与y轴交点，令，得． ∵， ∴， ∴ ， 平移​得直线（过P点），设​与x轴交于E，连接，则． ∵ ， ∴， ∴E点坐标为 ． 设​：， 代入得， 即​：， ∴ ， 解得​，， 即 ． 【考点剖析】本题考查一次函数解析式求解、函数值大小比较、坐标与三角形面积的综合应用，解题中运用待定系数法（通过直线上的点列方程组求函数式）、函数图象分析法（结合关键点与平行线确定参数范围）、直线平移法（转化面积条件）及方程组法（求直线交点），解题关键是熟练利用直线上的点坐标建立关系，结合函数图象与面积公式，将坐标运算与图形性质结合，逐步推导得出结果。 考点讲练六 两直线的交点与二元一次方程组的解 【典例分析】（25-26八年级下·吉林长春·开学考试）如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，一次函数图象经过点，与轴的交点为，与轴的交点为． (1)求一次函数表达式； (2)求的面积； (3)不解关于的方程，直接写出方程的解． 【答案】(1) (2)3 (3) 【思路引导】（1）将点代入，求出m，得到，把P、B两点的坐标代入，利用待定系数法即可求出一次函数解析式； （2）根据一次函数的解析式即可求出C点的坐标；根据三角形的面积公式列式即可求出的面积； （3）两函数图象的交点横坐标即为两函数解析式联立得到的一元一次方程的解． 【规范解答】（1）解：∵正比例函数的图象与一次函数的图象交于点， ∴，∴， ∴ ∵一次函数图象经过点， ∴’ 解得， ∴一次函数解析式是． （2）解：由（1）知一次函数解析式是， 令，得，解得， ∴， ∴， ∵, ∴的面积为：． （3）解：由图象可知，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点， ∴方程的解为， 即方程的解为． 【变式训练1】（25-26八年级上·四川成都·期末）如图，已知一次函数与的图象如图所示，其交点B的坐标为，直线与x轴的交点坐标为，请你观察图象并结合一元一次方程、一元一次不等式和一次函数的相关知识判断，则下列说法正确的是（   ） A．方程的解是 B．方程的解是 C．关于x的不等式的解集是 D．的解集为 【答案】C 【思路引导】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数与一元一次方程，一次函数与二元一次方程组，熟知以上知识是解题的关键．根据两函数图象的上下位置关系结合交点的坐标，即可得出结论． 【规范解答】解：A、直线与轴的交点坐标为， 当时，， 方程的解是，原说法错误，不符合题意； B、一次函数与的图象交于点， 方程组的解是，原说法错误，不符合题意； C、观察图象得：当时，一次函数的图象在的图象的上方， 关于的不等式的解集是，正确，符合题意； D、观察图象得：当时，函数的图象在轴的上方， 的解集为，原说法错误，不符合题意． 故选：C． 【变式训练2】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象向上平移得到，且经过点，与直线相交于点．直线和直线分别与轴交于点，． (1)求这个一次函数的解析式及交点的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1)， (2)3 【思路引导】本题主要考查了一次函数与几何综合，求一次函数解析式，一次函数图象的平移问题，求两个一次函数的交点坐标，熟知一次函数的相关知识是解题的关键． （1）根据题意可得，再利用待定系数法可求出对应的函数解析式，再联立两函数解析式可求出点P的坐标； （2）求出A、B的坐标，再根据三角形面积计算公式求解即可． 【规范解答】（1）解：∵一次函数的图象由函数的图象向上平移得到， ∴； 点在直线上， ， 解得， 一次函数的解析式为； 联立，解得， 的坐标为． （2）解：在中，令得， ， 在中，令得， ， ， 的面积为． 考点讲练七 图象法解二元一次方程组 【典例分析】（25-26八年级上·山西运城·月考）综合与实践 问题情境：在平面直角坐标系中，把方程的解中的x，y的值分别作为点的横、纵坐标． … -1 0 1 … … 4 3 2 … 数学建模： （1）请直接写出：_____；_____，经过这些点中的任意两点画直线，你会发现这些点_____（填“在”或“不在”）同一条直线上．以方程的解为坐标的点的全体叫作方程的图象． 问题解决： （2）设方程的图象与轴、轴的交点分别是A，B，方程的图象与轴、轴的交点分别是C，D． ①求点A，D的坐标． ②已知关于x，y的二元一次方程组无解，点在轴正半轴上，且．请在平面直角坐标系中作出符合题意的两方程的图象，并求m，n的值． 【答案】（1）5，2，在（2）①，②图见解析，， 【思路引导】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）的关系，一次函数的图象和性质，等腰直角三角形，掌握相关知识是解题的关键． （1）把对应点横纵坐标代入方程中，即可求出的值，然后画图发现这些点在同一条直线上； （2）①在中，当时，，在中，当时，，据此可得答案； ②根据题意可得直线和直线没有交点，即在这两条直线互相平行，根据点在轴正半轴上，且，求出点和点的坐标，进而即可求出，的值． 【规范解答】解：（1）当时，代入，得， ∴； 当时，代入，得， ∴； 经过画图发现，这些点在同一条直线上； 故答案为：5，2，在； （2）①在中，当时，， 在中，当时，， ∴，； ②关于，的二元一次方程组无解， 直线和直线 没有交点，即这两条直线互相平行， 点在轴正半轴上，且，， ， ，即， 将点的坐标代入得， ， 解得， ， ，， ， ，即， 将点的坐标代入 得， ， 解得， 如图所示即为所求： 【变式训练1】（24-25八年级下·广西河池·期末）综合与实践 同学，还记得学习研究一次函数的路径吗？请结合一次函数的学习经验探究函数的图象． (1)列表： … … … … 表格中_______，________； (2)在下面的平面直角坐标系中画出该函数的图象；    (3)观察（2）中所画函数的图象，求出当取何值时该函数的有最小值．最小值是多少？ (4)写出关于的方程的解，并利用（2）中的图像简单说明此方程的解是如何得到的． 【答案】(1)1；1 (2)见解析 (3)； (4)，；见解析 【思路引导】本题主要考查了一次函数的图像与性质，掌握画一次函数图像的方法，理解一次函数交点坐标的意义是解题的关键． （1）分别把和代入函数解析式，即可求解； （2）根据表格选取点，点作射线，选取点，点作射线，即可解答； （3）观察（2）中的函数图象，即可求解； （4）画出函数和的图象，由两个函数图象的交点坐标即可求解． 【规范解答】（1）解： ， 故答案为：1；1 （2）解：如图，    （3）解：根据图像得：当时 函数有最小值，最小值为； （4）解：方程的解为：，， 理由如下： 画出函数和的图象，如图所示：    函数和的图象交点坐标分别为，， 关于的方程的解为：，． 【变式训练2】（24-25七年级下·江西上饶·期末）【课本再现】 七年级下册教材中我们曾探究过“以方程的解为坐标（的值为横坐标、的值为纵坐标）的点的特性”，了解了二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系． 规定：以方程的解为坐标的所有点的全体叫做方程的图象； 结论：一般的，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线． 示例：如图，我们在画方程的图象时，可以取点和，作出直线． 【解决问题】 （1）已知，则点________（填“或或”）在方程的图象上． （2）请你在图所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程组中的两个二元一次方程的图象．（提示：依据“两点确定一条直线”，画出图象即可，无需写过程）； （3）观察图象，两条直线的交点坐标为________，由此你得出这个二元一次方程组的解是________． 【拓展延伸】 （4）已知二元一次方程的图象经过两点和，试求的值． 【答案】（）；（）画图见解析；（），；（）的值为，的值为． 【思路引导】本题考查了二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系，解二元一次方程组，掌握知识点的应用是解题的关键． （）把分别代入方程中，判断方程左右两边是否相等即可； （）分别取两个点，让它们的坐标满足方程和，然后过两点画直线即可； （）观察图象即可求解； （）把两点和代入，然后解方程组即可． 【规范解答】解：（）∵当时，，解得， ∴点不在方程的图象上； ∵当时，，解得， ∴点不在方程的图象上； ∵当时，，解得， ∴点不在方程的图象上； 故答案为：； （）由可得， 当时，；当时，，即点，； 由得， 当时，；当时，，即点，； 画图如图， （）观察图象可得两条直线的交点坐标为， 这个二元一次方程组的解是， 故答案为：，； （）∵二元一次方程的图象经过两点和， ∴， 解得：， ∴的值为，的值为． 考点讲练八 求直线围成的图形面积 【典例分析】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，平面直角坐标系中，函数的图象过点，将图象向上平移2个单位长度后与轴交于点，与轴交于点． (1)求直线的函数解析式． (2)求的面积． 【答案】(1) (2)12 【思路引导】本题考查了一次函数，熟练掌握一次函数的相关计算是解题的关键； （1）用待定系数法求出函数解析式，然后根据函数解析式平移的性质得到直线的解析式； （2）由（1）可得直线的解析式，求出点点的坐标，再根据三角形面积公式求出即可． 【规范解答】（1）解：将代入， 得， ． 将函数的图象向上平移个单位长度后得到的图象的解析式为， 即， 则直线的函数解析式为． （2）解：在中， 令，得； 令，得， ，， ，， ． ∴的面积为． 【变式训练1】（2026八年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与一次函数的图象相交于点，一次函数的图象与轴交于点．过点作轴的平行线，分别交与的图象于点、，连接． (1)求这两个函数的表达式； (2)求的面积． 【答案】(1)， (2) 【思路引导】本题主要考查了待定系数法求函数解析式、函数图象上点的坐标特征、三角形面积的计算，熟练掌握待定系数法求函数解析式的步骤以及利用函数解析式求交点坐标的方法是解题的关键． （1）利用两函数图象的交点坐标，将其分别代入正比例函数和一次函数的解析式，通过解方程求出和的值，从而确定两个函数的表达式。 （2）根据轴及点的坐标，可知点、的纵坐标均为，将分别代入两个函数解析式，求出点、的横坐标，进而得到线段的长度；再以为底、点到轴的距离为高，利用三角形面积公式计算的面积． 【规范解答】（1）解：∵正比例函数与一次函数的图象相交于点， ∴，解得 ∴正比例函数的表达式为，一次函数的表达式为． （2）解：∵轴，， ∴把代入，得， ∴． 把代入，得， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴． 【变式训练2】25-26七年级上·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与轴交于点，直线与轴交于点，与直线交于点C． (1)求的值和点的坐标； (2)求的面积； (3)点是轴上一点，且是以为底的等腰三角形，求点的坐标． 【答案】(1)，点的坐标为； (2)； (3)或 【思路引导】本题考查一次函数的交点求解、三角形面积计算及勾股定理求平面直角坐标系中的线段长，关键是灵活运用一次函数解析式求点坐标，结合等腰三角形的边长关系列方程． （1）将点的坐标代入直线，代入计算可求出的值；联立两条直线的解析式组成二元一次方程组，解方程组即可得到交点的坐标； （2）先求出直线与轴交点的坐标，计算出线段的长度，再以为底，点的纵坐标的绝对值为高，利用三角形面积公式计算面积； （3）设点的坐标为，先根据两点间距离公式计算的长度，由以为底的等腰三角形可知，据此列出关于的绝对值方程，求解得到的值，进而得到点的坐标． 【规范解答】（1）解：∵直线经过点， ∴代入得，解得； 联立，解得， ∴点的坐标为； （2）解：∵函数的图象与轴交于点，令，则，解得， ∴点的坐标为， ∵点的坐标为， ∴， ∵点的纵坐标为，即中边上的高为， ∴； （3）解：设点的坐标为， ∵点，， ∴， ∵是以为底的等腰三角形， ∴， 即或， 解得或， ∴点的坐标为或． 【真题演练1】（2025·江苏淮安·中考真题）如图，直线经过点，将绕A点顺时针旋转，旋转角为，得到直线．点在上，若，则n的值可以是______．（填写一个值即可） 【答案】6（答案不唯一，大于5均可） 【思路引导】本题考查一次函数图象的旋转问题，熟练掌握一次函数的相关知识的是解题的关键．根据直线与坐标轴的交点和旋转角度的范围得出旋转后直线所处的位置，即可求解． 【规范解答】解：直线经过点， ，即 设直线分别交x轴和y轴与、两点， 当时，；当时，， 即，， ∴， ， 过点分别作直线轴，直线轴，交x轴于，交y轴于，如图， 则轴，， ∴， ∴ ∴当绕A点顺时针旋转，旋转角为时，在如图所示位置， ∵点在上， ∴当，则点在点的右上方，此时， 故答案为：6（答案不唯一，大于5均可）． 【真题演练2】（2025·宁夏·中考真题）如图，直线与直线交于点，则关于的方程组的解是______． 【答案】 【思路引导】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，解题的关键是理解两直线的交点坐标与方程组解的对应关系． 明确一次函数与二元一次方程组的联系：两条直线的交点坐标同时满足两个直线对应的函数解析式；因此方程组的解就是两直线交点的坐标；已知直线与交于点，该点坐标即为方程组的解． 【规范解答】∵直线与直线交于点， ∴点A的坐标同时满足两个函数的解析式， 即方程组的解为点A的坐标． 故答案为：． 【真题演练3】（2024·山东日照·中考真题）已知一次函数和，当时，函数的图象在函数的图象上方，则a的取值范围为_______ 【答案】 【思路引导】本题主要考查了一次函数综合．熟练掌握一次函数的图象和性质，一次函数与不等式，分类讨论，是解决问题的关键． 可知过原点，当过点时， ；当与平行时，，由函数图象知， ． 【规范解答】解：可知过原点， ∵中，时，， ∴当过点时，， 得； 当与平行时， 得． 由函数图象知，当时，函数的图象在函数的图象上方，a的取值范围为：． 故答案为： ． 【真题演练4】（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点. (1)求，的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围. 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图象平行的条件，利用数形结合的思想是解决本题的关键． （1）将代入先求出k，再将和k的值代入即可求出b； （2）根据数形结合的思想解决，将问题转化为当时，对于的每一个值，直线的图象在直线和直线的上方，画出临界状态图象分析即可． 【规范解答】（1）解：由题意，将代入得：， 解得：， 将，，代入函数中， 得：， 解得：， ∴； （2）解：∵， ∴两个一次函数的解析式分别为， 当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值， 即当时，对于的每一个值，直线的图象在直线和直线的上方，则画出图象为： 由图象得：当直线与直线平行时符合题意或者当与x轴的夹角大于直线与直线平行时的夹角也符合题意， ∴当直线与直线平行时，， ∴当时，对于的每一个值，直线的图象在直线和直线的上方时，， ∴m的取值范围为． 【真题演练5】（2023·宁夏·中考真题）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论错误的是（    ）    A．随的增大而增大 B． C．当时， D．关于，的方程组的解为 【答案】C 【思路引导】结合图象，逐一进行判断即可． 【规范解答】解：A、随的增大而增大，故选项A正确； B、由图象可知，一次函数的图象与轴的交点在的图象与轴的交点的下方，即，故选项B正确； C、由图象可知：当时，，故选项C错误； D、由图象可知，两条直线的交点为， ∴关于，的方程组的解为； 故选项D正确； 故选C． 【考点剖析】本题考查一次函数的图象和性质，一次函数与二元一次方程组，一次函数与一元一次不等式．从函数图象中有效的获取信息，熟练掌握图象法解方程组和不等式，是解题的关键． 基础夯实 能力提升 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）直线与直线交于点，则下列各方程组中满足解为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】两条直线的交点坐标就是这两条直线方程组成的二元一次方程组的解，直接对应选项即可得到答案. 【规范解答】解：∵直线与直线交于点， ∴同时满足两个直线的方程， ∴解为的方程组就是由这两个直线方程组成的方程组． 2．（25-26七年级上·山东威海·期末）若直线经过点则方程的解为（    ） A．0 B．3 C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查一次函数与一元一次方程的关系，掌握方程的解就是直线与x轴交点的横坐标是解题的关键． 由直线与x轴交点坐标为，再根据一次函数与一元一次方程的关系求解即可． 【规范解答】解：∵直线与x轴交点坐标为， ∴当时， ∴方程的解为． 故选D． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）若直线与的交点坐标为，则是下列哪个方程组的解 A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】将题目中的两条直线解析式变形为二元一次方程的一般形式，再与选项中的方程组逐一对比，找到匹配的选项． 【规范解答】解：∵直线与的交点坐标为， ∴是方程组的解，对应选项A． 4．（25-26八年级下·甘肃兰州·开学考试）如图，函数和的图象交于点，则方程组的解是_____． 【答案】 【思路引导】根据两条直线的交点坐标即为由两条直线的解析式组成的二元一次方程组的解，即可得出结果． 【规范解答】解：由图象可知：方程组，即的解是． 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，，若满足，则的取值范围是__________． 【答案】 【思路引导】根据列出一元一次不等式，再依据解一元一次不等式的法则求解即可． 【规范解答】解：依题意， 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 6．（25-26八年级上·四川达州·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象如图所示，则关于的方程组的解是________． 【答案】 【思路引导】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解． 【规范解答】解：∵一次函数的图象的交点坐标为 ∴关于的方程组的解是， 故答案为：． 7．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，直线与直线相交于点． (1)求a的值． (2)直线与直线与x轴分别相交于A、B两点，求的面积． 【答案】(1) (2)9 【思路引导】本题考查了一次函数与三角形面积计算，解题的关键是能够根据题意确定直线的解析式，求出直线与x轴的交点坐标． （1）将代入，得出； （2）分别求得的坐标，然后根据三角形的面积公式，即可求解． 【规范解答】（1）解：将代入， ∴ ∴； （2）解：∵， ∴， 在中，当时，，则， 在中，当时，，则， ∴， 又∵， ∴的面积为． 8．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，一次函数图象经过点，与轴的交点为． (1)求一次函数表达式； (2)点的坐标为_____，不等式的解集为_____． 【答案】(1) (2)； 【思路引导】本题考查了一次函数的交点问题，求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法，是解题的关键． （1）将点代入，求出n，得到．把P、B两点的坐标代入，利用待定系数法即可求出一次函数解析式即可； （2）先求出点C坐标，再利用函数图象作答即可． 【规范解答】（1）解：过点， ， ∴， ∴， 一次函数过点，， ， 解得， 一次函数表达式； （2）解：把代入一次函数得：， 解得：， ∴一次函数与轴的交点的坐标为， 根据函数图象可知：不等式的解集为． 9．（25-26八年级上·江苏南京·期末）已知一次函数（为常数，）和． (1)若的图象过点，求的值； (2)在（1）的条件下，与的图象的交点坐标为__________． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了一次函数图象的交点问题，待定系数法求解函数解析式． （1）将点代入即可求解； （2）先求出，再与联立求解即可． 【规范解答】（1）解：一次函数的图象经过点， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， 与联立得，， 解得， ∴此时交点纵坐标为， ∴与的图象的交点坐标为， 故答案为：． 10．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，已知直线过点，过点A的直线交x轴于点． (1)求两条直线对应的函数表达式． (2)观察图象，直接写出当时x的取值范围． 【答案】(1)， (2)当时x的取值范围为 【思路引导】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图象和性质． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据图象求解即可． 【规范解答】（1）解：把点代入，得， 解得， ∴； 把点，点代入，得 ， 解得， ∴； （2）解：由观察图象可知，当时x的取值范围为． 创新拓展 拔尖冲刺 1．（25-26八年级上·河南郑州·期末）一次函数与分别与y轴交于点A、B，交点为，在同一坐标系中图像如图所示，下列说法错误的是（    ）． A． B．点A、B关于x轴对称 C． D．当时， 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了一次函数的性质、一次函数与不等式等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． 根据一次函数的性质以及数形结合思想逐项判断即可． 【规范解答】解：A．由一次函数与y轴的交点在y轴的负半轴，即，故A选项正确，不符合题意； B．由题意可得，即点A、B关于x轴对称，故B选项正确，不符合题意； C．由一次函数，y随x增大而增大，即；由一次函数，y随x增大而减小，即；则，故C选项错误，符合题意； D．由函数图像可得：当时，一次函数的图像在上方，即，故D选项正确，不符合题意． 故选C． 2．（25-26八年级上·陕西西安·期末）若关于的方程组无解，则下列结论正确的是（） A．直线与直线的交点在第一象限 B．直线与直线的交点为 C．直线不经过第一象限 D．直线交轴于负半轴 【答案】C 【思路引导】本题考查了一次函数图像与二元一次方程组的解之间的联系，得到两直线平行是解题的关键． 根据方程组无解得出两直线平行，求出k的值，再逐一分析选项判断正误． 【规范解答】解：∵关于的方程组无解， ∴直线与直线平行， 即，解得， 两直线平行，无交点，故A、B错误； 将代入，得， ∵斜率，截距， ∴直线经过第二、三、四象限，不经过第一象限，故C正确； 将代入，得，当时，， 即直线交y轴于正半轴，故D错误． 故选：C． 3．（25-26八年级上·重庆·期末）如图，已知一次函数与（，且k，m为常数）的交点坐标为，则关于x，y的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了一次函数图象交点坐标与方程组解的关系．把代入求出的值，根据函数图象即可求解． 【规范解答】解：把代入，得 ， ∴， ∵一次函数与的图象相交于点， ∴方程组的解是． ∴关于x，y的方程组的解为． 故选：C． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，直线经过，两点，则不等式组的解集为_________． 【答案】 【思路引导】先利用待定系数法求出直线的解析式，再将不等式组拆分为两个一元一次不等式分别求解，最后求不等式组的交集． 【规范解答】解：直线经过，两点， ，解得， 直线的解析式为． 解不等式组，即： 解不等式，得； 解不等式，得； 不等式组的解集为． 5．（25-26八年级上·安徽·期末）一次函数与的图像如图所示，则不等式组的解集为______． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，灵活利用数形结合的思想是解题的关键． 不等式组，再结合图像可得其解集为满足且的部分为直线在下方且在x轴上方部分对应的自变量取值范围即可解答． 【规范解答】解：不等式组的解集由图像可知满足且， 即直线在下方且在x轴上方部分对应的自变量取值，即． 故答案为：． 6．（25-26九年级上·四川南充·期末）在直角坐标系中，直线与直线的图象如图所示，两条直线的交点坐标为，那么不等式的解集为________． 【答案】或 【思路引导】本题考查了一次函数与一元一次不等式，由直线与直线的图象可知，直线与直线的交点为，，根据图形即可求得不等式的解集． 【规范解答】解：如图所示： 观察图象可知直线与直线的交点为，， ∴由图象可知不等式的解集为或， 故答案为：或 7．（25-26八年级下·黑龙江绥化·开学考试）已知，直线与直线． (1)求两直线与y轴交点A，B的坐标； (2)求两直线交点C的坐标； (3)求的面积． (4)根据图象，写出关于x的不等式的解集 【答案】(1)， (2) (3)2 (4) 【思路引导】（1）根据坐标轴上点的特征，代入求解即可； （2）根据一次函数图象与二元一次方程组的关系，联立方程组，求解即可； （3）根据点的坐标，可求线段，再根据点到y轴的距离是横坐标的绝对值，可求出三角形的高，计算即可； （4）根据一次函数与不等式的关系，结合图象可得，当时，． 【规范解答】（1）解：由图可知，直线与直线分别交y轴于点A、B， 当时，，即； 当时，，即； （2）解：直线与直线交于点C， ，解得， 则； （3）解： ，，， ， 则的面积为2； （4）解：如图，当时，． 8．（25-26八年级下·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，将函数的图象经过平移得到函数的图象，已知平移后的图象经过点． (1)求函数的表达式； (2)当时，的值总是小于的值，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）先根据平移得出，再将点，代入求出即可； （2）先求出直线与直线的交点坐标为，然后结合图形得出答案即可． 【规范解答】（1）解：将函数的图象经过平移得到函数的图象， ，即． 平移后的图象经过点， ， 解得：， 函数的表达式为． （2）解：由题意联立方程，得， 解得：， 直线与直线的交点坐标为． 如图，当时，的值总是小于的值， 的取值范围为． 9．（25-26八年级上·安徽六安·期末）已知：如图一次函数与轴相交于点，与轴相交于点，这两个函数图象相交于点． (1)求出点的坐标； (2)结合图象，直接写出时的取值范围； (3)连接，直线上是否存在一点，使，若存在，求点的坐标． 【答案】(1) (2)当时， (3)点坐标为或 【思路引导】本题考查了一次函数图象和性质，解题的关键是熟练运用一次函数知识，用待定系数法求解析式，结合一次函数的性质求点的坐标． （1）把，分别代入两个解析式，求出，的解析式，联立两个解析式，解方程组即可； （2）观察图象直接判断即可； （3）根据求出点的纵坐标，代入解析式求解即可． 【规范解答】（1）解：由题意，过点， ， 解得, ， 又过， ， 解得， ， 联立方程组得，， ， ； （2）由图象可得：当时，； （3）由（1）知，，， ， ， 设点坐标为， ， ， ， 当时，， ， 点坐标为； 当时，， ， 点坐标为； 综上，点坐标为或． 10．（25-26八年级下·四川达州·开学考试）在平面直角坐标系中，一次函数（）经过点与，与直线相交于点P．直线和直线（）分别与x轴交于点A，B． (1)求这个一次函数的解析式； (2)若点Q在y轴负半轴上且，求点Q的坐标 【答案】(1) (2)点Q坐标为 【思路引导】（1）用待定系数法求函数解析式． （2）联立两直线方程求出点P的坐标，作轴于点F，先由直线解析式求出点B坐标，再由求解． 【规范解答】（1）解：将与代入得 ， 解得， ∴一次函数的解析式为． （2）解：联立两直线方程得， 解得， ∴点P坐标为． 作轴于点F， 把代入得， ∴点B坐标为， ∴， 又∵，， 则 ， 解得， ∵点Q在y轴负半轴， ∴点Q坐标为． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年人教版（新教材）数学八年级下册同步培优【重点考点讲练】 专题23.3 一次函数与方程（组）、不等式 （第二十三章 一次函数） 【人教版八下●新教材】 知识梳理 技巧点拨 1 知识点一 一次函数与一元一次方程的关系 1 知识点二 一次函数与一元一次不等式的关系 2 知识点三 一次函数与二元一次方程组的关系 2 重点难点 考点讲练 3 考点讲练一 已知直线与坐标轴交点求方程的解 3 考点讲练二 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 4 考点讲练三 利用图象法解一元一次方程 6 考点讲练四 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 7 考点讲练五 根据两条直线的交点求不等式的解集 8 考点讲练六 两直线的交点与二元一次方程组的解 10 考点讲练七 图象法解二元一次方程组 12 考点讲练八 求直线围成的图形面积 15 中考真题 实战演练 16 难度分层 闯关训练 18 基础夯实 能力提升 18 创新拓展 拔尖冲刺 20 知识点一 一次函数与一元一次方程的关系 1.一次函数与一元一次方程的关系 （1）从“数”上看：函数y=kx+b（k≠0）中，当y=0时的值方程kx+b=0（k≠0）的解. （2）从“形”上看：函数y=kx+b（k≠0）的图象与轴的交点的横坐标方程kx+b=0（k≠0）的解 2.利用一次函数的图象解一元一次方程的步骤 （1）转化：将一元一次方程转化为一次函数 （2）画图象：画出一次函数的图象 （3）找交点：找出一次函数图象与轴的交点，则交点的横坐标即一元一次方程的解. 【拓展】 方程kx+b=n（k≠0）的解函数y=kx+b（k≠0）中，y=n时的值；方程kx+b=n（k≠0）的解函数y=kx+b（k≠0）的图象与直线y=n的交点的横坐标. 知识点二 一次函数与一元一次不等式的关系 因为任何一个一元一次不等式都可以变形为或的形式，所以解一元一次不等式可以看成求一次函数的函数值大于0或小于0时，自变量的取值范围. 一次函数与一元一次不等式（或）的关系如下： 一次函数与一元一次不等式的关系 数的角度 不等于的解集在函数中，y>0时的取值范围 不等式的解集在函数中，y<0时的取值范围 形的角度 不等式的解集直线在x轴上方的部分所对应的的取值范围 不等式的解集直线在x轴下方的部分所对应的的取值范围 【拓展】 直线与直线的交点的横坐标即为方程的解；不等式（或）的解集就是直线在直线上（或下）方部分对应的的取值范围.如图所示，方程的解为；不等式的解集为；不等式的解集为. 知识点三 一次函数与二元一次方程组的关系 1.二元一次方程组（都不为0，且,都是常数）的解是一次函数和图象的交点坐标. 【注意】每个二元一次方程都对应一个一次函数，也就是对应一条直线，因此每个二元一次方程组都对应两个一次函数，也就是对应两条直线. 2.用图象法求二元一次方程组的解的一般步骤 （1）变函数：把方程组化为一次函数与. （2）画图象：建立一个平面直角坐标系，画出两个一次函数的图象. （3）找交点：由图象确定两直线交点的坐标. （4）写结论：依据点的坐标写出方程组的解. 【注意】用图象法解二元一次方程组要求作图精准，且有时只能得到近似解. 【拓展】二元一次方程组中的两个方程化为一次函数后，其图象可能是两条相交直线、两条重合直线或两条平行直线，因此，方程组可能有唯一解、无穷多解或无解.如的两个方程化为一次函数后，其图象是两条平行的直线，故方程组无解. 考点讲练一 已知直线与坐标轴交点求方程的解 【典例分析】（24-25八年级下·湖北武汉·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象交轴正半轴于点，下列结论：①一次函数经过点；②且；③方程的解为；④若时，则．其中正确的有__________（填写序号即可）． 【变式训练1】（25-26七年级上·贵州遵义·期末）x的取值和代数式的对应值如下表： x … 0 1 2 3 … … 9 7 5 3 1 … 根据表中信息，下列说法中： ①当时，；②关于x的方程的解为； ③；④使的x值在2和3之间． 正确的是________（填序号）． 【变式训练2】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）一次函数和一次函数在同一坐标系中的图象如图所示，已知，，，观察图象回答下列问题： (1)关于的一元一次方程的解是 ； (2)关于，的方程组的解是 ． 考点讲练二 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 【典例分析】（25-26八年级上·河南郑州·期末）下列关于一次函数的判断，正确的是（   ） A．当时，该函数图象经过一、三、四象限 B．若关于x的方程的解是，则的图象恒过点 C．若该函数的图象向右平移2个单位后经过原点，则 D．点，点在该函数的图象上，若，则 【变式训练1】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，． (1)在如图所示的平面直角坐标系中画出该一次函数的图象，并标出点A，B； (2)当时，的取值范围是_____； (3)将一次函数的图象沿轴向上平移个单位长度，所得直线与轴交于点．若，求的值． 【变式训练2】如图，过A点的一次函数的图象与正比例函数的图象相交于点B． (1)求该一次函数的解析式． (2)判定点是否在该函数的图象上？说明理由； (3)若该一次函数的图象与x轴交于D点，求的面积． 考点讲练三 利用图象法解一元一次方程 【典例分析】（25-26八年级下·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，一次函数（，为常数，且）与正比例函数（为常数，且）的图象如图所示，则关于的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】（25-26八年级上·吉林·期末）学习函数时，我们经历了“确定函数解析式、画出函数图象、利用函数图象研究函数性质、利用函数性质解决问题”的学习过程．以下是我们研究函数的图象和性质的部分过程，请按要求完成下列问题． (1)列表：与的部分对应值如表：则______，______． … 0 1 2 3 … … 0 1 … (2)描点、连线：根据上表中的数据，在平面直角坐标系中画出函数的图象； (3)结合图象，写出一条函数的性质：______． (4)根据函数图象填空： ①方程有______个解； ②若关于的方程无解，则的取值范围是______． ③若关于的方程有两个不相等的实数解，直接写出实数的取值范围． 【变式训练2】（24-25八年级下·全国·期末）函数的图象如图所示，利用函数图象解答下列问题： (1)解方程； (2)解不等式； (3)解不等式组． 考点讲练四 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【典例分析】（25-26八年级下·全国·课后作业）在学习一元一次不等式与一次函数中，小明在同一个平面直角坐标系中分别作出了一次函数和的图象，分别与x轴交于点A，B，两直线相交于点C．已知点，，观察图象并回答下列问题： (1)关于x的方程的解是 ，关于x的不等式的解集是 ； (2)求关于x的不等式组的解集． 【变式训练1】（25-26八年级上·安徽宣城·期末）如图，已知直线和直线相交于点，直线分别与轴和轴相交于点和点，直线与轴交于点． (1)分别求出这两个函数的解析式； (2)连接，求的面积； (3)根据图象，直接写出不等式组的解集． 【变式训练2】（25-26八年级上·广西百色·期中）如图，已知一次函数（k、b为常数，）的图象分别与x轴、y轴交于A、B两点，若，，结合图象求： (1)关于x的方程的解； (2)关于x的不等式的解集； (3)当x的取值在什么范围时，? 考点讲练五 根据两条直线的交点求不等式的解集 【典例分析】．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，一次函数与（，，为常数）的图象交于点，则关于的一元一次不等式的解为_____． 【变式训练1】（25-26八年级上·安徽安庆·期末）如图，已知直线和直线相交于点，直线分别与轴和轴相交于点和点，直线与轴交于点． (1)分别求出这两个函数的解析式； (2)直接写出不等式组的解集_____． 【变式训练2】（25-26八年级上·全国·期末）如图1，直线，相交于点，直线与x轴相交于点，直线与x轴相交于点． (1)求直线和的函数关系式． (2)当时，对于x的每一个值，函数的值既小于直线的函数值，也小于直线的函数值，求m的取值范围． (3)如图2，若直线与y轴相交于点D，线段上是否存在一点P，使点P ，点 B和点 D为顶点组成的三角形面积，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 考点讲练六 两直线的交点与二元一次方程组的解 【典例分析】（25-26八年级下·吉林长春·开学考试）如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，一次函数图象经过点，与轴的交点为，与轴的交点为． (1)求一次函数表达式； (2)求的面积； (3)不解关于的方程，直接写出方程的解． 【变式训练1】（25-26八年级上·四川成都·期末）如图，已知一次函数与的图象如图所示，其交点B的坐标为，直线与x轴的交点坐标为，请你观察图象并结合一元一次方程、一元一次不等式和一次函数的相关知识判断，则下列说法正确的是（   ） A．方程的解是 B．方程的解是 C．关于x的不等式的解集是 D．的解集为 【变式训练2】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象向上平移得到，且经过点，与直线相交于点．直线和直线分别与轴交于点，． (1)求这个一次函数的解析式及交点的坐标； (2)求的面积． 考点讲练七 图象法解二元一次方程组 【典例分析】（25-26八年级上·山西运城·月考）综合与实践 问题情境：在平面直角坐标系中，把方程的解中的x，y的值分别作为点的横、纵坐标． … -1 0 1 … … 4 3 2 … 数学建模： （1）请直接写出：_____；_____，经过这些点中的任意两点画直线，你会发现这些点_____（填“在”或“不在”）同一条直线上．以方程的解为坐标的点的全体叫作方程的图象． 问题解决： （2）设方程的图象与轴、轴的交点分别是A，B，方程的图象与轴、轴的交点分别是C，D． ①求点A，D的坐标． ②已知关于x，y的二元一次方程组无解，点在轴正半轴上，且．请在平面直角坐标系中作出符合题意的两方程的图象，并求m，n的值． 【变式训练1】（24-25八年级下·广西河池·期末）综合与实践 同学，还记得学习研究一次函数的路径吗？请结合一次函数的学习经验探究函数的图象． (1)列表： … … … … 表格中_______，________； (2)在下面的平面直角坐标系中画出该函数的图象；    (3)观察（2）中所画函数的图象，求出当取何值时该函数的有最小值．最小值是多少？ (4)写出关于的方程的解，并利用（2）中的图像简单说明此方程的解是如何得到的． 【变式训练2】（24-25七年级下·江西上饶·期末）【课本再现】 七年级下册教材中我们曾探究过“以方程的解为坐标（的值为横坐标、的值为纵坐标）的点的特性”，了解了二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系． 规定：以方程的解为坐标的所有点的全体叫做方程的图象； 结论：一般的，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线． 示例：如图，我们在画方程的图象时，可以取点和，作出直线． 【解决问题】 （1）已知，则点________（填“或或”）在方程的图象上． （2）请你在图所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程组中的两个二元一次方程的图象．（提示：依据“两点确定一条直线”，画出图象即可，无需写过程）； （3）观察图象，两条直线的交点坐标为________，由此你得出这个二元一次方程组的解是________． 【拓展延伸】 （4）已知二元一次方程的图象经过两点和，试求的值． 考点讲练八 求直线围成的图形面积 【典例分析】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，平面直角坐标系中，函数的图象过点，将图象向上平移2个单位长度后与轴交于点，与轴交于点． (1)求直线的函数解析式． (2)求的面积． 【变式训练1】（2026八年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与一次函数的图象相交于点，一次函数的图象与轴交于点．过点作轴的平行线，分别交与的图象于点、，连接． (1)求这两个函数的表达式； (2)求的面积． 【变式训练2】25-26七年级上·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与轴交于点，直线与轴交于点，与直线交于点C． (1)求的值和点的坐标； (2)求的面积； (3)点是轴上一点，且是以为底的等腰三角形，求点的坐标． 【真题演练1】（2025·江苏淮安·中考真题）如图，直线经过点，将绕A点顺时针旋转，旋转角为，得到直线．点在上，若，则n的值可以是______．（填写一个值即可） 【真题演练2】（2025·宁夏·中考真题）如图，直线与直线交于点，则关于的方程组的解是______． 【真题演练3】（2024·山东日照·中考真题）已知一次函数和，当时，函数的图象在函数的图象上方，则a的取值范围为_______ 【真题演练4】（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点. (1)求，的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围. 【真题演练5】（2023·宁夏·中考真题）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论错误的是（    ）    A．随的增大而增大 B． C．当时， D．关于，的方程组的解为 基础夯实 能力提升 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）直线与直线交于点，则下列各方程组中满足解为的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·山东威海·期末）若直线经过点则方程的解为（    ） A．0 B．3 C． D． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）若直线与的交点坐标为，则是下列哪个方程组的解 A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·甘肃兰州·开学考试）如图，函数和的图象交于点，则方程组的解是_____． 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，，若满足，则的取值范围是__________． 6．（25-26八年级上·四川达州·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象如图所示，则关于的方程组的解是________． 7．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，直线与直线相交于点． (1)求a的值． (2)直线与直线与x轴分别相交于A、B两点，求的面积． 8．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，一次函数图象经过点，与轴的交点为． (1)求一次函数表达式； (2)点的坐标为_____，不等式的解集为_____． 9．（25-26八年级上·江苏南京·期末）已知一次函数（为常数，）和． (1)若的图象过点，求的值； (2)在（1）的条件下，与的图象的交点坐标为__________． 10．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，已知直线过点，过点A的直线交x轴于点． (1)求两条直线对应的函数表达式． (2)观察图象，直接写出当时x的取值范围． 创新拓展 拔尖冲刺 1．（25-26八年级上·河南郑州·期末）一次函数与分别与y轴交于点A、B，交点为，在同一坐标系中图像如图所示，下列说法错误的是（    ）． A． B．点A、B关于x轴对称 C． D．当时， 2．（25-26八年级上·陕西西安·期末）若关于的方程组无解，则下列结论正确的是（） A．直线与直线的交点在第一象限 B．直线与直线的交点为 C．直线不经过第一象限 D．直线交轴于负半轴 3．（25-26八年级上·重庆·期末）如图，已知一次函数与（，且k，m为常数）的交点坐标为，则关于x，y的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，直线经过，两点，则不等式组的解集为_________． 5．（25-26八年级上·安徽·期末）一次函数与的图像如图所示，则不等式组的解集为______． 6．（25-26九年级上·四川南充·期末）在直角坐标系中，直线与直线的图象如图所示，两条直线的交点坐标为，那么不等式的解集为________． 7．（25-26八年级下·黑龙江绥化·开学考试）已知，直线与直线． (1)求两直线与y轴交点A，B的坐标； (2)求两直线交点C的坐标； (3)求的面积． (4)根据图象，写出关于x的不等式的解集 8．（25-26八年级下·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，将函数的图象经过平移得到函数的图象，已知平移后的图象经过点． (1)求函数的表达式； (2)当时，的值总是小于的值，求的取值范围． 9．（25-26八年级上·安徽六安·期末）已知：如图一次函数与轴相交于点，与轴相交于点，这两个函数图象相交于点． (1)求出点的坐标； (2)结合图象，直接写出时的取值范围； (3)连接，直线上是否存在一点，使，若存在，求点的坐标． 10．（25-26八年级下·四川达州·开学考试）在平面直角坐标系中，一次函数（）经过点与，与直线相交于点P．直线和直线（）分别与x轴交于点A，B． (1)求这个一次函数的解析式； (2)若点Q在y轴负半轴上且，求点Q的坐标 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $