专题6 平面向量及其应用、复数-【满分思维】2026年高考数学真题分类

专题六平面向量及其应用、复数 考点1平面向量的概念与运算 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的， 1.(2025·全国I卷)帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称 为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风 速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对 应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示（线段长 度代表速度大小，单位：m/s),则该时刻的真风为 级数 名称 风速大小（单位：m/s) 3视风疯速 轻风 1.6~3.3 3 微风 3.45.4 和风 5.5~7.9 船速 劲风 8.0~10.7 3 x 图1 图2 A.轻风 B.微风 C.和风 D.劲风 2.(2025·北京卷)在平面直角坐标系xOy中，|OA|=1OB1=√2，AB1=2.设C(3,4),则|2CA+AB的 取值范围是 () A.[6,14] B.[6,12] C.[8,14] D.[8,12] 二、填空题 3.(2025·全国Ⅱ卷)已知平面向量a=(x,1),b=(x-1,2x).若a⊥(a-b),则1a=_ 1,x>0, 4.(2025·上海卷)已知函数f(x)=0,x=0,a,b,c是平面内三个不同的单位向量.若f(a·b)十 -1,x<0, f(b·c)十f(c·a)=0,则|a十b+c|的取值范围是 ·10· 5.(2025·天津卷)在△ABC中，D为AB中点，C它=CD,记A店=Q,AC=b,则A正 (用a,b 表示).若AE1=5,AE⊥CB,则AE.CD 考点2复数的概念与运算 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.(2025·全国I卷)(1+5i)i的虚部为 A.-1 B.0 C.1 D.6 2.(2025·全国Ⅱ卷)已知=1十i.则是 ( A.-i B.i C.-1 D.1 3.(2025·北京卷)已知复数之满足i·之+2=2i,则|z= A.√2 B.2√2 C.4 D.8 二、填空题 4.(2025·天津卷) 3+i i 5.(2025·上海卷)已知复数之满足z2=z2,x≤1，i为虚数单位，则|z一2一3的最小值为 ·11·即b2+b一2=0， 所以(b+2)(b-1)=0. 因为b>0,所以b=1. 所以c=1+2b=3. (3)由正弦定理，得sinB=么sinA= a 方i血3-27=14 因为b<a,所以B<A. 所以B∈(0，于). 所以cosB=5v7 14 则sin2B=2 sin Beos B=2X21×57=53 ×14=14 028=1-2mB=1-2x(图）-是 所以sin(A+2B=sin Acos2B+cos Asin2B=号X7+，X 5w3_4w3 147 4.同角三角函数的基本关系+正弦定理+余弦定理+三角形的面 积公式 【思维导图】(I)已知条件 同角三角函数的基本关系 sin A= 22 正弦定理 c=6. !3 asin C=4√2 !(Ⅱ)选②，已知条件正孩定理 余弦定理 b >a→sinB→BCi !边上的高为202 9· 三角形的面积公式 余弦定 1选③，已知条件 →a→BC边上1 !的高为202 91 专题六平面向 考点1平面向量的概念与运算 1.A向量的加法运算+向量的模如图，由题意得真风风速对应 的向量三视风风速对应的向量一船行风风速对应的向量三视风 风速对应的向量十船速对应的向量=A5(题眼)，显然|AB|= 2√2∈(1.6,3.3)，故该时刻的真风为轻风.故选A. 视风凤速 B 船速 42 3 ·数学 解：(I)在△ABC中，因为cosA=-子 所以smA=2二（方法：同角三角函教的基本关系）. 3 sin C-sin asin C-4, 由正弦定理C 得c=asin C =42X3 =6. sin A 2√2 (Ⅱ)选择条件@：asin B=10,2 3 在人A以中，由正弦定理品BA得6 sin A=5. 由余弦定理a2=b2+c2-2 bccos A, 得a2=52+6-2×5×6×(-3）=81. 所以a=9. 从而sinB=10(题眼). 27 BC边上的高为csin B=6X10,2_20,2 27 9 选择条件③：△ABC的面积为102， 因为2a6sinC=102(提示：三角移的西积公式)， 所以6=202_202 =5. asin C 42 由余弦定理a2=b2十c2一2 bc cos A,得 a2=52+62-2×5×6× (-3)=81. 所以a=9(题眼). 所以BC边上的高为2S4=202 a 9 量及其应用、复数 2.D平面向量的坐标运算+向量的模：OA1=OB|=√2， A1=2,1AB12=OA12+1OB12..OA⊥O店.设A(xy), 则x2+y2=2,B(y,-x)或B(-y,x).当B(y,-x)时，2CA十 AB=(x+y-6,-x+y-8)..|2CA+A店|= V√(x+y-6)2+(-x+y-8)2=√/2x2+2y2+4x-28y十100= √2×√x2+y2+2x-14y十50=2x十1)2+(y-7)2(题 眼)，其表示圆O:x2十y2=2上动点A到定点D(一1,7)的距离 的2倍，易知OD=5√2，故12CA+AB|的取值范围是[8,12]. 当B(-y,x)时，同理可得|2CA+AB|的取值范围是[8,12].综 上，故选D 答8· 十归纳总结 巧妙引入动态坐标，转化平面向量为圆、直线、点的位置关系， 是求解平面向量模的范围或最值问题相对简便的方法. 3.√2平面向量的坐标运算+向量垂直的性质+平面向量的模 由题意得a-b=(1,1-2x).a⊥(a-b),∴.a·(a-b)=x十 (1-2x)=0,解得x=1.∴.|a|=√1+1=√2. 4.(1,W5)平面向量的模+三角函数的性质 1【思维导图】已知条件→>a·b,c·a,b·c必为一正值、一负 !值和一个0→建立平面直角坐标系，设出符合条件的坐标→ !利用坐标运算将其转化为函数的范围问题→求解. 由题意可知a·b,:a,b:c必为二正值一负值和一个Q(题 眼)，不妨设a·b>0,c·a<0,b·c=0,可建如图所示的平面 直角坐标系.设a=(cos0,sim0),0∈（受，x),b=(0,1),c (1,0),则a+b+c=(cos0+1,sim0+1),0∈（受，），故1a十 b+cl-√cs0+ID2+(sin0+1-√3+22sim(0+F) 0(受，因此1a+b+c的取值范围是(15). 个y a=(cos 0.sin 0) b=(0,1) c=(1,0) 5名a+号6一15平面向量的线性运算+平面向量的数量积 因为C市=C+A市=-A+号A店=？a-b,所以A范=A衣+ 花-+市-b+}(分a-b)-石a+号b,-应 专题七 考点1等差数列 1.B等差数列的性质、通项公式及前n项和公式由题知S3= 6=3a2,S5=-5=5a3a2三2，a3一1（题眼）..公差d= -3.∴.am=2+(n-2)X(-3)=-3n+8.∴.a1=5,a6=-10. S。=510×6=-15,故选B. 2 2.12等差数列的前n项和由等差数列的前项和公式得 前6项和S,=6x(-3)+学×2=12 ·数学 AC=a-b,则由AE1CB,得A应.C亩=(ga+子b)·(a-b) 合a+ab-号=0@.1正=日a+号b= 六a2+号a·b+号b=25@.①-@，整理得六a+言4· b-号=-5，即20+ab-号8=-15，所以A证.d (合a+号)小（分a-b)=立a+日ab-子6=-15. 考点2复数的概念与运算 1.C复数的运算+复数的概念(1+5i)i=一5+i,其虚部为1， 故选C 2A复致的运掉由题意得，日=-放选人 3.B复数的运算+复数的模：i·之+2=21，=21-2=2十 2i.∴.x=2√2.故选B. 4.√10复数的运算及复数的模 解法-：因为3-801-1-3所以生-1-31 2 √12+(-3)2=√10， 3+=3+i=3+1 解法二： 1 =/10. 5.2√2复数的几何意义+共轭复数+复数的模令之=a+bi, ab=0, /a=0, a,b∈R,由题意得 题眼).则-1<6≤1 或 0≤a2+b2≤1 b=0, 当a=0且-1≤b≤1时，|之-2-3i|= -1≤a≤1. √4十(b-3)≥2√2（提示：因为求最小值，故只考虑一侧的范 围即可)；当b=0且-1≤a≤1时，lx-2-3il=√(a-2)2+9≥ √10>22.因此，x-2-3ilm=22. 数列 考点2等比数列 1.AD等比数列的通项公式与前项和公式对于A,由题意易 知g≠1,5=0二9）=411十g十g2)=7,a=a,g 1-q 1①，所以a1(1+g)=6②，由①②可得1+g=6g2(关键：方 程思想).解得g=2或q=一3又因为g>0,所以g=2,故 A正确，对于B.a,=a:X(兮）)°=子放B错误对于C.S, 答9·