专题3 导数及其应用-【满分思维】2026年高考数学真题分类

专题二 考点1函数的基本性质 1.A函数的性质 通解：当x∈[-1,0]时，-x+2∈[2,3]，∴.当x∈[-10]时 f(x)三fx)三f(x+2)=5-2(-x+2)=1+2x(题眼). “f(-)-1-号=-故选A 快解：f(-)=f()=f(+2)=5-2×(+2) 、1 ，故选A H真题互鉴 2021年全国甲卷·理科第12题，同是以函数的奇偶性、周期性 为背景设计求解函数值，与本题存在共性， 2.②③函数的基本性质对于①，假设存在在R上单调递增的 函数f(x)使得f(x)十f(2x)=一x恒成立.若取x=0,则有 f(0)=0,所以当x>0时，f(x)>0(提示：函数单调性的应用). 若取x=1,则f(1)+f(2)=一1.因为f(1)>0,f(2)>0,所以 与f(1)十f(2)=一1相矛盾.所以①错误.对于②，假设f(x)= kx十b(k<0),则f(2x)=2kx十b,所以f(x)-f(2x)=kx十 b一2kx一b=x,则k=一1.此时f(x)=一x十b为减函数，满足 题意，即存在在R上单调递减的函数f(x)使得f(x)一f(2x)=x恒 成立.所以②正确对于③，设f(x)十ar,则f(一)- 0s(二》-ar(方法：特殊画教法)，满足f(x)十f(-x)= 2 cosx,所以当a∈R时，这样的函数f(x)有无穷多个.所以③正 确.对于④，因为f(x)一∫（一x)=cosx,所以f(一x)一f(x)= cos(一x)=cOsx.两式相加得cosx=0,但当x∈R时，cosx=0不 恒成立，所以④错误.故说法正确的为②③. 考点2函数图象的识别与应用 D由图象判断函数解析式由题中图象知，函数f(x)为偶函 专题三导 考点1导数的运算及其几何意义 4导数的几何意义易得y'=e十1，设切点为(m,n),则e"+ 1=2,解得m=0,.切点为(0,5).又切点也在曲线y=e十x十 ·数学 函数 数，故排除A,B.又f(2)>0,故排除C.故选D. 考点3指数函数与对数函数 1.D指数函数的图象与性质当a>1时，由a‘>a可推出s> 1,故A,B错误.当0<a<1时，由a>a可推出s<1,故C错 误，D正确，故选D. 2.B对数的运算令2十log2x=3+logy=5十log之=0得x= 1 1 4y=27,之=5，此时x>y>,排除A令2+16g2x=3+ log3y=5十log5之=5得x=8,y=9,之=1，此时y>x>x,排 除C.令2十log2x=3+log3y=5十log之=8得x=26=64,y= 35=243,之=53=125，此时y>x>x,排除D,故选B. 考点4函数的零点与方程的解 B函数的单调性+零点存在定理易知函数f(x)在[0，十∞) 上单调递减（提示：函数y=0.3为减函数，函数y=√x为增函 数，由减函数一增函数=减函数可判断出函数∫(x)为减函数)， 且f(0)=1>0,f(0.3)=0.33-√0.3=0.3.3-0.305>0， f(0.5)=0.3.5-√0.5=√0.3-√0.5<0，所以函数f(x)的 零点所在区间是(0.3,0.5).故选B. 考点5函数模型的应用 B对数的运算+函数模型由题意得k1og2(1.024×10°)一 k1og210=20(关键：根据所给公式建立方程求参数的值)，即 k log2 1.024×10=20,即k10g21024=k1og20=10k=20.所 106 以k=2.所以T三2loN(题眼).所以21og2(4.096×10)- 4.096×109 210g2(1.024×10')=21og2.024×10 =210g24=21og222=4.故 选B 数及其应用 a上，∴.5=e°十a,解得a=4. H真题互鉴 2024年新课标I卷第13题是以切线为条件求参数值，与本题 有共同之处 答2· 考点2利用导数研究函数的极值、最值 1.ABD函数的奇偶性+函数的解析式+利用导数研究函数的极 值点 ----------------------------“ 【思维导图】A选项，利用奇函数的性质即可得出. B选项，利用函数的奇偶性即可得出 !C选项，分x>0与x<0两种情况讨论，分别求出x的取值！ ·范围，进行判断 D选项，当x<0时，利用导数求出函数f(x)的单调性，进而！ !得出f(x)的极大值点. 对于A,因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)=0.故A 正确.对于B,当x<0时，f(x)=一f(一x)=一[(x2一3)ex十 2]=一(x2一3)ex一2，故B正确.对于C,当x>0时（提示：注 意分类讨论)，f(x)=(x2-3)e十2≥2→(x2-3)e≥0→x2≥ 3→x≥3；当x<0时，f(x)=-(x2-3)ex-2≥2→3-x2≥ 4e,当x=-1时，3-x2>4e,即3-x2≥4e在(-∞，0)上有 解，故C错误.对于D,当r<0时，f)=-2红-3（题眼），令 f(x)>0,得x<一1，令f(x)<0,得-1<x<0,故f(x)在 (一o∞，-一1)上单调递增，在（一1,0）上单调递减.故一1是f(x) 的极大值点，故D正确.综上，故选ABD 溯源教材 人教A版必修第一册，P86,习题3.2，T11. 对比分析：教材复习题同样是以定义在【上的奇函数为引，解 题核心是奇函数性质的运用；而本题通过已知x>0的解析式， 求x<0的解析式及函数性质，且二者均求出解析式. 回归教材：本题通过先求出函数解析式再利用导数去研究函数 的性质，增加陌生函数不好画图从而借助导函数研究函数性 质，但本质上仍是“分类与整合的思想、转化与化归的思想、函 数与方程的思想”的延伸应用.结合单调性判断极值，点和最值， 将“函数性质”问题转化为“方程求解十不等式分析”.这些思想 方法贯穿解题过程，是突破“分段函数十奇偶性十导数应用”综 合题的核心逻辑.此题体现了高考对教材基础方法的迁移应用 能力的考查. 迁移应用：遇到复杂函数时，可优先检查是否可通过教材例题 或者复习题的基础变形与简化，平时要重视对教材理论方法的 迁移应用」 2.一4函数的极值点+导数的运算法则由题意可知x=2是方 程f'(x)=0的根，即f'(2)=0(关键：当x取到极值，点时，导函 数为0).因为f'(x)=(x一2)(x-a)十(x一1)(x-a)十(x一 1)·(x一2)，所以f'(2)=2一a=0,解得a=2.所以f(x)= ·数学 (x-1)·(x-2)2.所以f(0)=-(-2)2=-4. 3.利用函数的单调性解不等式+利用导数研究函数的单调性、 极值 1【思维导图】(1)已知条件→m→f(x)→x十lnx-1≥0i :构造新函数gg(x)在(0，十∞)上单调递增！ 求导 :为造不等关系g口)≥g(1)利用品数的单再性解不等式x≥1. 2)已知条件fx)一分智<0,0<受<1，受-1，受>1 ,四种情况讨论→f(x)的单调性→f(x)的极大值→m的取值！ 解：(1)当f(1)=0时，1-(m十2)=0， 解得m=-1. 所以f(.x)=x2-x-lnx(x>0)(题眼). 所以解不等式f(x)≤x2-1, 即解不等式x2-x-lnx≤x2-1, 即解不等式x十lnx-l≥0. 令g(x)=x+lnx-l(x>0), 则)=1+>0 所以g(x)在(0，十∞)上单调递增 又g(1)=0, 所以当x十lnx-1≥0， 即g(x)>≥0时，g(x)≥g(1). 所以x≥1. 即不等式f(x)≤x2-1的解集为[1，十∞). (2)因为f(x)=x2一(m+2)x+mlnx, 所以f(.x)=2x-(m+2)+m=2x2-(m+2)x+m (2x-m)(z-卫（x>0)(题眼). x 当受≤0.即m≤0时，f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，+∞)上 单调递增， 此时，f(x)不存在极大值，不符合题意. 当0<受<1，即0<m<2时，令fx)=0,得x=受或x=1 f(x)在(0，受)，1，+)上单调递增，在（受，1）上单调递减， 此时，(x)在x=受处取得极大值，符合题意。 当%=1，即m=2时，f(x)≥0，f()在(0，十)上单调递增。 不符合题意（易错：忽视对两值相等情况的讨论，导致多解） 答3· 当受>1，即m>2时，f(x)在(0,1)，(%，+）上单调递增，在 (1,受）上单调递减， 此时，f(x)在x=1处取得极大值，符合题意. 综上，m的取值范围为(0,2)U(2,十∞). 4.导数在函数中的应用 :【思维导图11)构造函数利用辛数研究面我的单调性得解。 !(2)已知条件子疑的几何意义切线，的方程→构造函数 !F(x)→求导利用子数研完函数的单调性 当x∈(-1，+∞) 1且x≠a时，F(x)>0→得证. 2 1(3)结合(2)得x1,x2 2a--x=-1+1+fa)! x2一x1 :奇泽a>0时a尚范恩-1+中子o厅的范因一 2 得解 解：(1)i记g(x)=f'(x)=n1+ 1+x 2,x∈(-1，十∞)， 则g'(x)=1-ln(1+x) (1+x)2 所以，当x∈(-1，e-1)时，g'(x)>0,g(x)单调递增；当x∈(e 一，十0)时，g(x)<0,g(x)单调递减（题眼）. 故g(x)的最大值是g(c-1)=, e 即f'(x)的最大值是f'(e-1)=1 e (2)证明：切线l1的方程是y=f(a)+f'(a)(x一a). 令F(x)=f(x)-f(a)-f'(a)(x-a)(-1<a<0), 则F'(x)=f'(x)-f'(a). 由(I)知，当x∈（一1,0）时，f'(x)单调递增 当x∈(-1，a)时，F(x)=f'(x)-f'(a)<0,F(x)单调递减。 当x∈(a,十o∞)时，若x∈(a,0),F'(x)=f'(x)-f'(a)>0; 若x∈[0，十∞)，由题设知f'(x)≥0，f'(a)<0, 所以F'(x)>0. 故当x∈(a,七)时，F(x)单调递增（题眼）. 又因为F(a)=0, 所以当x∈（一1，十∞）且x≠a时，F(x)>0, f(x)>f(a)+f(a)(x-a). 综上，除切点A外，曲线y=∫(x)在直线L1的上方. (3)当a>0时，f'(a)=1n+a>0. 1+a f(a) 由(2)知，x1=a一了(a) ·数学 由题设知直线l,的方程是y=fa)一ax一a), 所以x2=a+f(a)f'(a). 因为f'(x)>0(x>0),且f(0)=0, 所以当a>0时，f(a)>0. 所以2a-x2-=1-[f(a)] 2 x2一x1 1+[f'(a)2 =-1+1+f(a)J 由(1)为当a>0时，fa的取值范程是(6】c送银). 2 所以-1十1中广a的取值范围是 所以者。≥0，则a产的聚值范图是[，)小 x2一x1 考点3利用导数研究函数的零点 利用导数研究函数的极值与零点 、1 【思维导图】1)求导得f(x)→分0<x<3-1x>3-1 (-)>0,(元) !求f(x)的正负→极值点 →零点→ 得证 !(2)(1)对g(t)进行求导→分析当t∈(0，x1)时g'(t)的正！ ·负→得证 (i)山g)在(0，x1)上的单洞性令1=0和1=，一 得证 解：1i证明：求导得了x)=r(十一3)小>0 当0<-1时，f(x)>0,fx)单调递增： 当x>-1时，fx)<0,fx)单调递减。 所以一1为f(x)在区间(0，十∞)上的唯一极值点. 又因为f(乐-1)小>f0)=0,f()<0, 故存在唯一x,∈（录-1，录）使得x,)=0 所以f(.x)在区间(0，十∞)上存在唯一零点. 1 (2)(i)油1)知x1=-1, 则g()=+(-)+-· 212(t2-x-2x1) （),+=+D 当t∈(0，x1)时，g'(t)<0, 所以g(t)在区间(0，x1)上单调递减. 答4· (i)由(1)知g(t)在(0，x1)上单调递减， 则g(x1)<g(0). 又g(0)=f(x1十0)-f(x1-0)=0,g(x1)=f(2x1)-f(0)< 0,且f(x2)=0, 所以2x1>x2. H真题互鉴 2022全国新高考I卷·22题：同考查导数、零，点，但本题新增 差商函数对称性分析 【溯源教材】人教A版选择性必修二P87例3：利用导数求函数 的单调区间（教材基础方法）； 迁移提升：本题将教材基础方法进行双重拓展：①增加参数 分析极值，点唯一性：②创新构造差商函数研究局部对称. 专项利用导数证明不等式 导数的几何意义+导数与函数性质的综合 :【思维导图】(2)(1)已知条件a=nx)构造函数gx g(x)的单调性和极值点→得解. (i)由零点得3个关于a与的关系式热p,<4 ;等价转化即证一p1p< 4-p<a e-1 -p1p3<a·i 1p3→√a·p3 正构造函数FDF(t)一e一与 4 <0→1 P3 e 得证 解：(1)a=1时，f(x)=x-(lnx)2, 则f')=1-2lnx,f1)=1. x 则'(1)=1， 故切点为(1,1)，切线斜率为1. 则切线方程为y一1=x一1，即y=x. (2)(i)f(x)的定义域为(0，+∞)， 令f(x)=0,得a=nz)2 x 令g(x)=nx)2 ,x>0, x 21nx.1.x-nx)2 则g'(x) In z(2-In z) 令g'(x)=0,得lnx=0或lnx=2, 解得x=1或x=e2. 当0<x<1时，lnx<0,2-lnx>0, 则g'(x)<0,g(x)单调递减； 当1<x<e2时，lnx>0,2-lnx>0, ·数学 则g'(x)>0,g(x)单调递增； 当x>e2时，lnx>0,2-lnx<0, 则g'(x)<0,g(x)单调递减 又g1)=0,g(e)=e 4 当x→0+时，g(x)→十∞，当x→十∞时，g(x)→0， 所以g(x)≥0. 所以要使f(x)有3个零点， 则0a号 即a的取值范围为(0，)， (i)证明：由题知a.x1=(nx1)2, a.x2=(lnx2)2, a.x3=(lnx3)2, 所以lna十lnx1=2ln(lnx1),① lna+lnx2=2n(lnx2),② In a+In x3=2In(In x3),3 由③-②得lnxa-lnx2=2[ln(lnx3)-ln(lnx2)]. In x3=p3,In x2=p2,In =p (p1<0,P2,P3>0), p-p:=2>Vpp:提示：nr-1nx 则np-np: x3一x2> /x3x2(x3>x2>0). 故p2p3<4. 徽证n:-h)h,<气 等价于证明p:P,一p1p:<4+ e-1, 所以要证原不等式只需证一pp,<e—了 4 因为a.x1=(lnx1), 所以ae1=,p1<0. P1 所以a·e=一p1. 又e<e=l, 所以-p1<√a. 又p3>0, 所以-p1p3<√a·p3, 又a·e3=p3,p3>0, P3 所以a·e=p3, 即a=卫 答5· 所以a·p=足 P3 由(i)知，x3>e2, 所以p3>2. 令F0)='>2. e2 2e2-2.e e2- 则F(t) e 专题四」 考点1同角三角函数的基本关系、诱导公式与三角恒等 变换 1.D二倍角公式+两角差的正弦公式 a 5 c0s25 ;【思维导图】二倍角公式os& sin'acos a=1 sin a 0<a<π !两角差的正孩公式得解。 1---------- 由w号号得8=号-1=一号（送健：二修角公式. <sin a.sin a0 7√2 2受 空（答案不唯一）三角恒等变换因为 sina+3)=sina一3)， osa十3)≠c0s(a一B), (sin acos Bcos asin B=sin acos B-cos asin B, 即 (方法：利用两角和与差 （cos acos B-sin asin B≠Os aCOs B-+sin asin3 的正弦，余孩公式展开)，所以/60sas3=0, 即有cosa=0,sin3≠ sin asin B≠0， 0.因为a,8∈[0,2r],所以a=至或，9c(0,xU(,2x)(题 眼).所以满足条件的一组a9的值可以是。=受，=受 考点2三角函数的图象与性质 1.B正切型西数图象的对称中心令x一吾-经，∈乙得x 管+吾，kEZ(提示：正切函基y=m上图象的对称中心为 (经，0)，k∈z）,故y=2an(x-零)图象的对称中心为 (凭+号0），k∈Z.由题意知a经+吾>0k∈乙.所以a的 最小值为故选B. ·数学 令F'(t)=0,得t=4(易错：忘记t>2), 所以1=4时，F)取最大值，F)x1S 又16-4=44e-4-2）-二4e-2八<0， ee-1e2(e-1)-e2(e-1) 所以a·p<马 故一pA<。兰得证 角函数 2.C三角函数的图象与性质因为f(x)三sinx十cos 厄sn(ar+)(题眼)，所以当x∈[0，]时，ar+∈ [至子。+引，因为f)在[0，]上存在学点，所以行o十 于≥元[提示：函数y=simx的零点为x=kxk∈D],解得≥ 3①.又由f(x十π)=f(x)恒成立，设f(x)的最小正周期为 T,得nT=π(n∈N)恒成立（关键：根据函数值相等得到函数最 小正周期T与元之间的关系)，即n.2红=x(nCN),解得u= ω 2m(n∈N*)②.由①②可知当n=2时，w取得最小值，所以 ω的最小值为4.故选C. 3.A三角函数的图象与性质由f(x)在 「_5π，元上单调递 -122 5 增，且x=是其图象的一条对称轴，得 20+9≥-2， 又 12w+9=2: w>0,解得0<m≤2.因为（行，0）为f(x)图象的一个对称中 心，所以受十p=xk∈.结合登0十9=受，得w=-2 (k∈ZD,所以w=2,9=牙.所以fx)=sin(2x+).当x∈ o,]时.2x+吾e[后]，所以当xeo,]时， C》=(受)=血与=-号放选 4.[0,1】余弦函数的图象与性质f(x)=6osx在[-艺0)上 单调递增，在0，]上单调递减（题眼），则fx)=f(0) 1,f(x)m=mim/(-乏)f(于)}=0（提示：计算闭区间的 2个端点值，再比较得小值)，因此f)在x[一受·]上 的值域为[0,1]. 答6·专题三导数及其应用 易考点1 导数的运算及其几何意义 填空题 (2025·全国I卷)若直线y=2x十5是曲线y=e十x十a的一条切线，则a= 昆考点2利用导数研究函数的极值、最值 一、选择题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 1.(2025·全国Ⅱ卷)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=(x2一3)e+2,则() A.f(0)=0 B.当x<0时，f(x)=-(x2-3)ex-2 C.f(x)≥2当且仅当x≥3 D.x=一1是f(x)的极大值点 二、填空题 2.(2025·全国Ⅱ卷)若x=2是函数f(x)=(x一1)(x一2)(x一a)的极值点，则f(0)= 三、解答题 3.(2025·上海卷)已知f(x)=x2-(m十2)x十mlnx,其中m∈R. (1)若f(1)=0,求不等式f(x)≤x2一1的解集， (2)若函数y=f(x)在(0，十∞)上存在极大值，求实数m的取值范围. 4.(2025·北京卷)已知函数f(x)的定义域为(-1，十∞)∫0)=0，导函数f'(x)=血1+).设1，是曲 1+x 线y=f(x)在点A(a,f(a)(a≠0)处的切线. (1)求'(x)的最大值. (2)当一1<a<0时，证明：除切点A外，曲线y=f(x)在直线l1的上方. (3)设过点A的直线L2与直线l1垂直，l1,l2与x轴交点的横坐标分别是x1,x2.若a>0,求 2a一x2一1的取值范围。 x2-x1 ·5· 昆 考点3利用导数研究函数的零点 解答题 (2025·全国Ⅱ客)已知两数fx)1h(1十x)-x十号x-r,其中0k<号 (1)证明：f(x)在区间(0，十∞)存在唯一的极值点和唯一的零点. (2)设x1,x2分别为f(x)在区间(0，十∞)的极值点和零点. (i)设函数g(t)=f(x1十t)一f(x1一t).证明：g(t)在区间(0，x1)单调递减. (ⅱ)比较2x1与x2的大小，并证明你的结论. 昆专项 利用导数证明不等式 解答题 (2025·天津卷)已知函数f(x)=a.x-(lnx)2. (1)a=1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程. (2)f(x)有3个零点x1,x2,x3,且x1<x2<x3 (1)求a的取值范围 （)证明：n:lah<气 ·6·