山西运城市康杰中学2026届高三下学期冲刺模拟卷（一）数学试题

康杰中学2026届冲刺模拟卷（一） 数学 注意事项： 1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑：如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效， 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的， 1.已知P(-3i,1)是角a终边上的一点，则sin(元-a)=() B.1 c.3 D 311 10 10 10 2。若复数z=a+十的实部与虚部相等，其中口是实数，则a:() A.1 B.0 C.-1 D.2 3.已知某物体在运动过程中，其位移S(单位：m)与时间t（单位：s)满足函数关系式S()=sint- 2cos1+t+1,则该物体在1=时的瞬时速度为() A.3m/s B.2m/s C.√3m/s D.Im/s 4.已知向量a=(2x-1,x),万=(1,1)，若a16,则3a-26l=() A.2 B.2W2 C.3 D.√10 5.已知抛物线C:y=2px(>0)的焦点F与椭圆E:￡+上=1的一个焦点重合，则下列说法不正确的 43 是() A,椭圆E的焦距是2 B。椭圆E的离心率是号 C.抛物线C的准线方程是x=-1 D,抛物线C的焦点到其准线的距离是4 6.水车在古代是进行灌溉的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征、如 图，一个半径为6米的水车逆时针匀速转动，水车圆心O在水面以上距离水面3米，已知水车每60 秒转动一圈，如果水车上一点P从水中浮现时（图中）开始计时，经时t秒后，水车旋转到P点， 康杰中学2026届冲刺模拟卷（一）数学试题第1页共4页 则下列说法错误的是（) A.P点第一次到达最高点需要的时间为20秒 B.第30秒和第70秒时，P点在水面以上且距离水面的高度相同 h C.在转动一圈内，P点在水面以上且距离水面3+3√5米以上的持 续时间为10秒 D.当t∈[0,15时，P点距离水面的最大高度为6米 7.已知A,B是两个随机事件，若P(A=号，P(a)=Pa可=石，则P@0=（) B. 1 C.8 D 8.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f'(x)>-2,则不等式(x-1)<x2(3-2nx)+3(1-2x)的解 集为() A(时 B.(0,1) C.(L,e) D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.已知一组样本数据x,x2,…,x20(x≤x2≤…≤x20),下列说法正确的是（） A.该样本数据的60%分位数为2 B.别除某个数据：x(i=1,2,3,·,20)后得到新样本数据的极差不大于原样本数据的极差 C.若x,x2,…,xo的平均数为2，方差为1，x1,x2,…,x20的平均数为6，方差为2，则x,2,,x20的 方差为5 D.若记录样本数据时，错把一个数据68写成88，那么由此求出的平均数与实际平均数的差为1 10.将两个各棱长均为1的正三棱锥D-ABC和E-ABC的底面重合，得到如图所示的六面体，动点P 在该六面体表面上，且满足BC⊥AP,则() A.AD⊥BC B。该几何体的体积为 4 C.动点P的轨迹长为2+√5 D.该多面体内切球的半径为√ 9 康杰中学2026届冲刺模拟卷（一)数学试题第2页共4页 11.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知c=2,b=6,2c-b=2 acosB,以下说法正确的是() A.A= 3 B.若O为△ABC的外心，则AO.BC=20 c若历-号c,则网-9 D.若点P为△ABC所在平面内一动点，且BP=1,则PA2+PC2的最小值为34-4√7 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.(2024年上海高考题)在(x+1)”的二项展开式中，若各项系数和为32，则x2项的系数为 13.已知直线√2ax+by=1（其中a,b为非零实数)与圆x2+y2=1相交于A,B两点，O为坐标原点，且 △M08为直角三角形，则日+层的最小值为 14.(高等学校招生统一考试理科数学)数列{an}满足an+1+(-1)”a,=2n-1,则{an}的前60项 和为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本题满分13分)己知数列{an}的前n项和为Sn,4=-11,a2=-9,且Sn+1+Sn-1=2Sn+2(n≥2). (1)求数列{an}的通项公式： (2)已知6，=，求数他，}列的前n项和7. a an 16.(本题满分15分)已知圆A:(x+2)2+y2=27和圆B:(x-2)+y2=3,若动圆C与圆A和圆B都 外切， (1)求动圆C的圆心的轨迹E的方程： (2)设圆O:x2+y2=1,点M,P分别是圆O和(1)中轨迹E上的动点，当OM⊥OP时，PM-PB 是否为定值？若是，求出这个定值：若不是，请说明理由 17.（本题满分15分)(2021年北京高考题)在核酸检测中，“k合1”混采核酸检测是指：先将k个人的 样本混合在一起进行1次检测，如果这k个人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，得到每人 的检测结果都为阴性，检测结束：如果这k个人中有人感染新冠病毒，则检测结果为阳性，此时需 康杰中学2026届冲刺模拟卷（一)数学试题第3页共4页 对每人再进行1次检测，得到每人的检测结果，检测结束. 现对100人进行核酸检测，假设其中只有2人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确. (1)将这100人随机分成10组，每组10人，且对每组都采用“10合1"混采核酸检测. ()如果感染新冠病毒的2人在同一组，求检测的总次数： (i)已知感染新冠病毒的2人分在同一组的概率为 ,设X是检测的总次数，求X的分布列与 11 数学期望EX). (2)将这100人随机分成20组，每组5人，且对每组都采用“5合1”混采核酸检测.设Y是检测的总 次数，试判断数学期望EY)与(1)中E(X)的大小. 18.(本题满分17分)已知函数∫(x)=(1-2x)nx+ax-1. (1)若a=1,求∫(x)的单调区间： (2)若f(x)有且仅有1个零点，求a的值： (3)若存在a,使得f(x)≤a+b对任意x>0恒成立，证明：a-b<4, 19.(本题满分17分)已知正方体ABCD-ABCD的棱长为2√2，对角线AC的中点为F,动点P在 平面4CC内，且点P到平面A4BB的距离等于2P D B (1)求四棱锥P-A4B,B体积的最小值： (2)记点P的轨迹为曲线M,点G,R,2是曲线M上不同三点. A D (i)若平面AB,F与轨迹M相交于RG两点，求线段RG的长： B C (i)若点G在点F上方，且GF⊥AC,GR,GQ与平面ABCD所成角相等，平面a过RQ且与 AB平行，判断平面α与平面ABCD的夹角是否为定值，若是定值，求出这个夹角的余弦值： 若不是定值，请说明理由， 命题人：张成武 审题人：任晖卉 康杰中学2026届冲刺模拟卷（一）数学试题第4页共4页康杰中学2026届冲刺模拟卷（一)数学试题答案 题号1 234567 8910111213 14 答案A A B BD ACD ACD 10 1830 6.D【详解】如图，建立平面直角坐标系： 由题意可知0箭-后设角以-受p<0是以O:为始边，R为终边的角. A+B=9 则点P距离水面的高度h关于时间t的函数为h)=Asin(al+p)+B,即 -A+B=-3 日9故高度0=6sn(务+p)+3,当1=0时，k0=0, A=6 解得 6s血p+3=0ing=克得p=言所以0=6snC品1-爱+3. 对于A,当0=9时，即6m货-月+3=9，解得1=20+60e2,当k=0时.1=20， 所以P点第一次到达最高点需要的时间为20秒，故A正确：对于B,当t=30时，h30)=6sin红+3=6， 6 当1=70时，(70=6si如+3=6，故B正确：对于C,当023+35时，即6sn品1-7+323+35， 6 则-7号即2版+骨-2管·解得60+15s1s2:6ez当=0时 306 60-号所以5如-3s9 15≤1≤25，满足条件，故C正确：对于D,当1e0,15]时，则-s元1-严s, 1- 306 2 即056sm(务-君引+3535+3，则P点距离水面的最大高度为35：3，散D错误放选：D 7.C【详解】因为P()-分所以P(间=1分由于Pa可-名所以Pa=0-名 P(B)61 所以R=名P=立由于A=Pu国+P词=P4国+7克所以回- 6 12' 所以P(a10=PL4@-5x35 P(A)1228 8.B【详解】因为奇函数f(x)满足'(x)>-2,所以'(x)+2>0, 所以F(x)=∫(x)+2x为奇函数，且在R上为增函数，F(O)=0, 而f(x-1)<x2(3-2nx)+3(1-2x)等价于，∫(x-1)+2(x-1)<x2(3-2nx)+1-4x, 令e闭=0-2+1-，则g-r(引2x(6-2-4=-4nx-4g0=0, 而g"(x)=-4lnx,当g"(x)>0时，0<x<1,当g"(x)<0时，x>1, 所以g(x)sg()=0,所以g(x)在(0，+∞)上递减，而g()=0,所以x∈(0，)时，g(x)>0,F(x-1)<0,: 所以∫(x-1)<x2(3-2nx)+3(1-2x)的解集为(0,1)，故选：B 11.ACD【详解】因为c=2,b=6,2c-b=2 acosB,结合余弦定理的推论可得 4-6=2ax02+c2-6 22-2=42,3232=28→4=27， 2ac 2 对于A,由余弦定理推论os1仑+6-C-22X28=因为AGQ,,所以4AE确对于B, 2b0 以点A为原点，丽为x轴建立坐标系，A(0,0),B(2,0),C3,3V⑤)· 外心0在48素直平分线：=1上，代入C的垂直半分袋方程，一25-引 第1页共4页 0og而-元-a.0Cw+6=1620.B提 对于C,设D(a,b),因为8D=Dc,B(2,0),C3,35),BD=(a-2,b),DC=(3-a,35-b, -20-或--小聘o9)网-)9-9c正瑰 对于D,设P(xy)满足(x-2}+y2=1则P2+PC2=x2+y2+(x-3}+-35=2x2+2y2-6x-65y+36, 由圆的方程得x2+y2=4x-3代入化简得P2+PC2=8x-6-6x-6V3y+36=2x-6W3y+30, x=2+cos0,y=sine,PA2+PC2=2(2+Cos0)-6v3sin0+30=34+2c0s0-6v3sine 2 ,COS=- 65 =34+V22+(6W5)°sim(p-9),其中sinp V2+63j V2+(65, 因为sin(p-)e-l,,得P2+PC2的最小值为34-22+(65=34-4W万，D正确故选：ACD. 14.【答案】1830【解析】：a1+(-1)”a,=2n-1,a=2n-1-(-1an,令 ba1=a4n1+a4n2+a4a+3+a4n4a4+1+a4n+3=(a4n3+a4n+2）-(a4n+2-a4a+l=2, a4n+2+a4n+4=（a4n4-a4m+3）+(a4n+3+a4n+2）=16n+8, 则bn1=a4m1+a4n*2+a4a+3+a4a+4=a4m-3+a4n-2+a4n+a4n+16=b,+16, 即数列{b,}是以16为公差的等差数列，{a}的前60项和为即为数列{b}的前15项和 ~4=4+a,+4+a,=10S=10×15+15x14x16=1830 2 15.(1)an=2n-13 (2)121-22n 【详解】(1)解：由题意得：由题意知(S1-Sn)-(Sn-Sn-)=2,则an1-a。=2(n≥2) 又a2-a=2,所以{a,}是公差为2的等差数列，则a,=a+(n-1)d=2n-13: 6分 1 111 (2)由题知6，(2n-132n-1可22n-32n- 9分 则x-品动r+》+xa】}品 121-22n 13分 16.号y=1,c>:QPM-Pa是定值，定值为5. 【详解】(1)因为设动圆圆心C(x,y),半径为R,因为动圆C与圆A和圆B都外切， 所以CA=R+33,CB=R+V5,所以CA-|CB=2V3<AB, 根据双曲线定义可知，C的轨迹为双曲线的右支的部分， 3分 其中A,B为双曲线的焦点，即c=2,lCA-lC8=2a=2W5,即a=V5,所以b=c2-a'=1, 即号少=1，联立方程组：+2+户=2 ，易知圆A和圆B相交，且交点坐标为3，V②)和(3，-√2)： (x-2)2+y2=3 所以号广=1，(>3)，所以动圆C的圆心的轨迹E的方程为：号-少=1，(>)： 7分 (2)设P(x),P为轨迹E上的动点，所以 号-y=1,即y2=号-l,因为0M10P,且oM=1, 所以4-br+oM-F+-+号+11-原， 4 11分 第2页共4页 而20，则有P--2+y--+4+号i-得2-+-（-引 …13分 所以PM-P-厚-（-引5，所以Pw-PA是定值，定值为万 …15分 17.(1)①20次：②分布列见【详解】：期望为 os(>). 【详解】：(1)①对每组进行检测，需要10次：再对结果为阳性的组每个人进行检测，需要10次： 所以总检测次数为20次： 2分 ②油题意X可以原00P(X=20=行P(X=30=1-片碧 4分 则X的分布列： X 20 30 P 品 10 所以E(X)=20×+30×10-320 1101111 7分 (2)由题意，Y可以取25,30， 两名感染者在同一组的概率为B=20C3C显-4 95 99,不在同一组的概率为P2=99 12分 则E(Y)=25 99+30x 4 95_2950 E(Y)>E(x) l5分 9999 .14分 18.(1)f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，+o).(2)1 【详解】（1)当a=1时，f(x)=(1-2x)l血x+x-1,定义域为(0，+o), 求号得到∫)=-2nx+l-2+1=-2nx+-1, 1分 令4-2nx止，则当e@回时)-是宁<0，所以4()在@+o内单谓递减且A0=0, 即'(x)在(0，+∞)内单调递减，且'(1)=0，所以当x∈(0,1)时，'(x)>0,函数∫(x)单调递增： 当x∈(1，+o)时，∫'(x)<0,函数∫(x)单调递减： 3分 综上所述，∫(x)单调递增区间为(0，)，单调递减区间为(1，+∞) 4分 (2)因为f(x)有且仅有1个零点，所以方程(1-2x)山x+ax-1=0有且仅有1个解， 即a=2加x-+有且仅有1个解。5分令8=2hx片x>0,则g)-2红-24n, x2 6分 xx 令m()=2x-2+lnx,则m(x)=2+>0,所以m(x)在区间(0，+o)上单调递增， 又因为m()=0，所以当0<x<1时，m(x)<0,即g(x)<0,g(x)单调递减： 当x>1时，m(x)>0,即g'(x)>0,g(x)单调递增： 8分 所以函数g(x)在x=1处取得极小值也是最小值g()=1,当x→0时，g(x)→+o,x→∞时，g(x)-→+∞， 因为a=2nx-nx+有且仅有1个解，所以a=1, 9分 (3)因为∫(x)sa+b对任意x>0恒成立，所以f(x)m≤a+b,即b≥(x)m-a, 因此a-b≤2a-(x),要证a-b<4,只需证明2a-f(x)ms<4即可， .11分 对函数求导得到f()=-2nx+上-2+a,令n(x)=-2nx+-2+a,则m()=-2-是 F0, 第3页共4页 所以n(x)在区间(0，+∞)单调递减，即∫'(x)在区间(0，+∞)单调递减， 在唯二极大值点6，满足)=0，即a=2血戈+？ …13分 在(0，)内'(x)>0函数∫(x)单调递增，(，+∞)内'(x)<0函数∫(x)单调递减， 所以当x=名时取得极大值也是最大值了)=(-2)血+叫-1=0-2+2h%+2-号%-1=h%+2%-2. 因此2--22如6+2-号a+2%-2列=3h%-2是+6， 15分 令4()=3mx-2x-2+2,则r()-3-2+3-2x+1x-2 x 当0<x<2时，t(x)>0,t(x)单调递增，当x>2时，(x)<0,(x)单调递减， 故(x)在x=2时取得最大值(2)=3n2-4-1+2=3ln2-3<0, 因此3n-2%2<0,所以2a-16=3n-2x号6<4，所以2a-834 故a-b≤2a-f(x)<4得证， 17分 19.(0)452)()12(i)平面a与平面ABCD的夹角为定值，余弦值为 3 【详解】(1)设点P到平面A4B,B和直线A4的距离分别为 d,d2,因为点P在平面AACC内，且平面A4B,B与平面 CC的夹角为子，因此4-号。·得名=PA,所以点P 的轨迹是F为焦点，AA为准线的抛物线，2分 图1 当点P在抛物线的顶点0处时，4最小，最小值为4C=1,此时d= 2 所以四棱锥P-A4BB体积的最小值为×8×5_4巨 4分 23 (2)设A4的中点为E,则EF∥AC,如图1，以EF的中点O为原点，EF所在直线为y轴，过点O且垂直于平面ABCD 的直线为z轴，过点O且平行于BD的直线为x轴，建立空间直角坐标系O-z, 设点P(0,y,z),则z2=4y, 6分 (i)平面AB,F与平面A4CC的交线为AF因此R,G是直线AF与抛物线M的交点，如图2， 7分 医平面4CC中，可以设GR:22-与抛物线M方程联立，得：y-10y+1=0, 9分 因此，GR=GF+RF=y+1+2+1=12: 10分 (i)如图3，在平面AACC中，点G在点F上方，且GF⊥AC,得到点G坐标为(1,2)，因为GR,GQ与平面ABCD 所成角相等，所以GR,G2与AC所成角相等，因此，GR,GQ的斜率互为相反数， 11分 名-2-2=0→2+名=4，因此，0=2=-至=4 =-1 设R%,巧，2,2，则+2=0，得五-1-1 y-12-1 为-为至_至3+22 4 44 因此，在空间直角坐标系中，Q的方向向量为(0，l,-), 13分 又AB=(2,2,0),设平面a的法向量元=(x,y,z),由n1R0→y=z, 由n⊥B→x+y=0,令y=1,则元=（-l,l,)， 15分 又平面4BCD的法向量m=(00,1),cos<玩，m>=5 所以平面α与平面ABCD的夹角为定值，其余弦值为 3 17分 第4页共4页