第二十二章 函数（必备知识+8题型+分层检测）（复习讲义）数学新教材人教版八年级下册

第二十二章 函数（复习讲义） 1. 了解常量与变量、函数的意义，体会函数图象上的点与函数解析式之间的对应关系，理解函数三种表示方法（解析法、列表法、图象法）的整体联系。 2. 能根据关系式或图象判断两个变量之间是否存在函数关系，能确定函数自变量的取值范围（分母不为零、被开方数非负等），并结合实际意义进行验证。 3. 理解并利用描点法（列表、描点、连线）绘制函数图象，能通过图象分析函数的变化趋势，找特殊点，读取对应值，解决行程、工程、销售、几何等实际问题中的函数关系问题。 一、常量与变量 定义：①常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量。②变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量。 二、函数的概念 1.定义：一般地，在一个变化过程中，有两个变量x与y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么x是自变量，y是x的函数。 2.函数值：当自变量x=a时，函数y的对应值b，称为x=a时的函数值，记作y=b。 3.自变量取值范围 使解析式有意义:① 分式：分母≠0 ;②二次根式：被开方数≥0；③整式：全体实数 - 符合实际意义（如时间、数量不能为负） 4. 函数判断（核心：唯一对应） ①关系式：y=±（x>0）→ 不是函数（一个x对应两个y） ②图像：作垂直x轴的直线，与图像只有一个交点→是函数 三、函数的表示方法 1.解析法（关系式法） 定义：用数学式子表示函数关系。优点：准确、完整，便于分析计算 2.列表法 定义：用表格列出自变量与函数的对应值。优点：直观、具体，可直接查值 3.图象法 定义：在平面直角坐标系中，以自变量x为横坐标，函数y为纵坐标，描出对应点(x,y)，所有点组成的图形就是函数图象。 步骤：列表→描点→连线（平滑曲线） 优点：形象、直观，能看到变化趋势 四、函数的图象 1.画法步骤 ①列表：选自变量值，算对应函数值; ②描点：在坐标系中标出(x,y); ③连线：按顺序用平滑曲线连接 2.图象与函数关系:①图象上的点满足函数解析式;②满足解析式的点在图象上 3.从图象获取信息;①看趋势（上升/下降）;②找特殊点（与坐标轴交点、最高点、最低点）; ③读对应值（x→y，y→x） 1、 函数的应用 1.步骤 :①分析问题，找变量; ②确定自变量与函数; ③列函数关系式; ④结合取值范围与图象求解 2.常见类型:①行程问题：s=vt;②工程问题：工作量=效率×时间;③销售问题：总价=单价×数量;④几何问题：周长、面积、体积公式 2、 易错点警示 1.函数判断忽略唯一对应，误判“一对多”为函数 2.自变量取值范围漏双重限制（如分式+根式） 3.画图象时不按顺序连线、出现折线 4.实际应用忽略非负整数等实际约束 题型一 函数的概念 【例1】（24-25八年级下·湖北武汉·期末）下列四个图象中，能表示是的函数关系的是（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，据此进行判断即可． 【详解】解：A，C，D中的图象，对于的每一个确定的值，不一定有唯一的值与其对应，那么不是的函数，不符合题意， B中的图象，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么是的函数，符合题意． 【变式1-1】（25-26八年级上·广东佛山·期末）下列各图象中，变量不是的函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了函数的定义，有两个变量，若对于的每一个确定的值，都有唯一的值与之对应，那么就叫做的函数，据此逐项判断即可． 【详解】解：由函数的定义可知，四个图象中，只有D选项中的图象中，变量不是的函数， 故选：D． 【变式1-2】（25-26八年级上·广东梅州·期中）有下列5个等式：①；②；③；④；⑤．其中表示是的函数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查了函数的定义．熟练掌握函数的定义是解题的关键．函数定义的核心是“唯一确定性”，即每个自变量对应唯一因变量．注意平方根函数通常取非负值，定义域受限但不影响函数关系．判断每个等式是否表示是的函数，依据是对于每一个的值，是否有唯一确定的值与之对应，解答即可． 【详解】解：对于① ：∵ 对于每一个，都有唯一值，∴ 是函数． 对于② ：∵ 对于某些（如），有两个值（），∴ 不是函数． 对于③ ：∵ 对于每一个，有两个可能值（或），∴ 不是函数． 对于④ ：∵ 对于每一个，唯一，但有两个值（正负），∴ 不是函数． 对于⑤ ：∵ 对于，有唯一值（算术平方根），∴ 是函数． 综上，只有①和⑤是函数，共2个． 故选：A． 【变式1-3】（25-26八年级上·广东茂名·期中）下列图象中，表示y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数的定义，掌握在某变化过程中有两个变量x、y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就称y是x的函数是关键．根据函数的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、对每一个x的值，都有唯一确定的y值与之对应，是函数图象，符合题意； B、对每一个x的值，不是有唯一确定的y值与之对应，不是函数图象，不符合题意； C、对每一个x的值，不是有唯一确定的y值与之对应，不是函数图象，不符合题意； D、对每一个x的值，不是有唯一确定的y值与之对应，不是函数图象，不符合题意． 故选：A． 题型二 求自变量的取值范围 【例2】（25-26八年级上·重庆·月考）在函数中，自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是分式有意义的条件；分式有意义的条件是分母不为，对于函数，要使函数为分式形式，分母不能为零，因此自变量需满足分母． 【详解】解：∵分母 ∴． 故选：A． 【变式2-1】（24-25八年级上·江苏徐州·期末）函数中，自变量x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数自变量的范围，分式有意义的条件以及二次根式有意义的条件．根据二次根式被开方数大于等于零，分式分母不等于零，列式计算即可． 【详解】解：由题意有：且， 解得：． 故选：D． 【变式2-2】（24-25八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）函数中自变量x的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 【答案】B 【分析】本题考查函数自变量的取值范围，由题意根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，即可求出的范围． 【详解】解：由题意可知， ， 解得：． 故选：B． 【变式2-3】（24-25八年级下·湖北黄石·期末）函数的自变量x的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】C 【分析】本题考查了分式分母不为零和零指数幂的底数不为零的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 根据分式分母不为零和零指数幂的底数不为零的条件，确定自变量的取值范围，然后即可求解； 【详解】解：函数中： 分子部分要求底数，即， 分母部分要求被开方数（分母不能为零），解得， 结合两个条件： 时，的值必然大于，此时自动成立， ∴自变量的取值范围是，对应选项C， 故选：C． 题型三 变量、常量 【例3】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知圆的周长C与半径r的计算公式为，则下列判断正确的是（    ） A．2是变量 B．π是变量 C．r是变量 D．C是常量 【答案】C 【分析】本题考查常量与变量，掌握常量与变量的定义是解题的关键． 根据常量与变量的定义判断即可． 【详解】解：∵ 在公式 中， 和 是固定不变的常数，属于常量；是半径，可以取不同值，属于变量；是周长，随 的变化而变化，也属于变量， ∴ A、是变量，说法错误，不符合题意； B、是变量，说法错误，不符合题意； C、是变量，说法正确，符合题意； D、是常量，说法错误，不符合题意； 故选：C． 【变式3-1】（25-26七年级上·全国·期末）李师傅到小区附近的“爱心”加油站加油，如下所示是所用的加油机上的数据显示情况，则其中的常量是（   ） 金额元 数量 单价元 A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和数量 【答案】C 【分析】本题考查常量与变量的概念．常量是固定不变的量，变量是变化的量．在加油过程中，单价是固定值，而金额和数量随加油量变化，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，单价7.54元/升是固定不变的，而金额和数量会随加油量变化而变化， ∴常量是单价， 故选：C． 【变式3-2】（24-25八年级下·河北廊坊·期末）如图是某顾客在超市购买铁皮西红柿时电子秤上的数据显示牌，则在这三个量中，常量是（　　） A．单价 B．质量 C．金额 D．单价和质量 【答案】A 【分析】本题考查了常量与变量． 根据常量与变量的定义作答即可． 【详解】解：如图是某顾客在超市购买铁皮西红柿时电子秤上的数据显示牌，则在这三个量中，常量是单价，变量是质量与金额， 故选：A 【变式3-3】（24-25八年级下·湖南衡阳·期末）在中，它的底边是，底边上的高是，则三角形面积，当为定值时，在此式中（    ） A．，是变量，，是常量 B．，，是变量，是常量 C．，是变量，，是常量 D．是变量，，，是常量 【答案】A 【分析】本题考查常量和变量，根据常量就是固定不变的量；变量就是随时变化的量解答即可． 【详解】在三角形面积公式中，当底边为定值时，和均为固定不变的常量。面积随高的变化而变化，因此和是变量 故选：A． 题型四 用表格表示变量间的关系 【例4】（25-26七年级上·辽宁鞍山·期末）学校图书馆购进一批图书，管理员在整理过程中发现，每天整理的图书数量与整理的天数之间的关系如下表： 每天整理的图书数量 1200 600 240 120 … 整理的天数 1 2 5 10 … (1)若学校计划用4天的时间完成整理，管理员每天需要整理多少本图书？ (2)若用a表示每天整理的图书数量，用t表示整理的天数，用式子表示t与a的关系，并说明t与a成什么比例关系？ 【答案】(1)管理员每天需要整理300本图书 (2)，与a成反比例关系 【分析】本题主要考查了反比例关系， （1）先求出图书的总数，再除以天数可得答案； （2）根据题意写出关系式，再判断比例关系即可． 【详解】（1）解：这批图书共有：（本）， 4天完成整理，每天需要整理（本）， 答：管理员每天需要整理300本图书； （2）解：由题意可知：（或或）， 与a成反比例关系． 【变式4-1】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）西安的非遗文创产品丰富多样，这些非遗文创产品不仅具有艺术价值和收藏价值，还能让人深刻感受到西安的历史文化底蕴和地方特色．某店为了减少“送你一个长安”金花茯砖茶的积压，采取降价销售，其原价是每盒265元，市场调查发现，每降价10元，日销量增加15盒．该文创产品降价金额x（元）与日销量y（盒）之间的关系如下表： 降价金额（x/元） 10 30 40 50 60 日销量（y/盒） 60 90 105 120 135 (1)上表中，自变量是________，因变量是________； (2)可以估计降价前的日销量是________盒； (3)若该文创产品的售价是185元，求该文创产品的日销量． 【答案】(1)降价金额x，日销量y (2)45 (3)165盒 【分析】本题主要考查函数的概念，熟练掌握函数的概念是解题的关键； （1）根据函数的定义“在变化过程中，如果有两个变量x和y，对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与之对应，其中x是自变量，y是因变量”进行求解即可； （2）根据表格可直接进行求解； （3）根据（2）及题意可列式进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：自变量是降价金额x，因变量是日销量y； 故答案为降价金额x，日销量y； （2）解：由表格可知：估计降价前的日销量是（盒）； 故答案为45； （3）解：由题意得：（盒）； 答：该文创产品的日销量为165盒． 【变式4-2】（24-25七年级下·全国·课后作业）行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号汽车的刹车性能（车速不超过），对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如下表： 刹车时车速 0 10 20 30 40 50 … 刹车距离 0 5 10 … (1)自变量是 ，因变量是 ； (2)当刹车时车速为时，刹车距离是 ； (3)观察表中数据可知，当刹车时车速每增加时，刹车距离增加多少米？该型号汽车某次的刹车距离为，推测刹车时的车速是多少？ 【答案】(1)刹车时车速；刹车距离 (2)10 (3)当刹车时车速每增加时，刹车距离增加；该型号汽车某次的刹车距离为，推测刹车时的车速是 【分析】本题考查了函数的表示方法以及函数的定义，理清刹车时车速与刹车距离的关系是解答本题的关键． （1）根据自变量和因变量的定义解答即可； （2）根据表格数据可得答案； （3）根据表格中的数据可知当刹车时车速每增加时，刹车距离增加，由此可得，代入求出v的值即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，自变量是刹车时车速，因变量是刹车距离． 故答案为：刹车时车速；刹车距离； （2）解：由表格中的数据可知，当刹车时车速为时，刹车距离是； 故答案为：10； （3）解：由表格中的数据可知，当刹车时车速每增加时，刹车距离增加， ∴， ∴当时，则， 解得， ∴当刹车时车速每增加时，刹车距离增加，该型号汽车某次的刹车距离为，推测刹车时的车速是． 【变式4-3】（25-26八年级上·四川成都·月考）在汽车的研发生产过程中，有一个程序是根据样车测试结果，进行设计优化和调整，其中安全性测试中的某一项任务是在平整的路面上进行刹车距离测试．如表是某型号的汽车刹车距离测试采样紧急刹车后仍将滑行米与刹车前汽车的速度千米小时之间的表格： 刹车前汽车的速度：（千米/小时） 滑行距离：（米） (1)当汽车速度为千米小时，汽车滑行的距离是多少米？ (2)据了解 ，请求出与的函数关系式； (3)若某次测试中滑行距离为米，则紧急刹车前的速度是多少千米/小时？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题通过对表格数据的分析，利用给定公式求解函数关系式及相关问题，考查了对函数概念的理解和应用，算术平方根的应用； （1）直接从表格中查找对应数据； （2）利用表格中一组数据代入公式求出，进而得到函数关系式； （3）将的值代入函数关系式求解． 【详解】（1）解：从表格中可以直接看出，当汽车速度千米小时，米． 答：当汽车速度为千米小时，汽车滑行的距离是米． （2）解：把，代入， 得到，即， 解得， ∴； （3）解：把代入， 得到，即． 因为速度，所以千米/小时． 题型五 用关系式表示变量间的关系 【例5】（25-26八年级上·河南平顶山·期末）加密技术是保障数据安全的一种方式，常常被用于军事通信，移位加密技术是其中一种简单且有效的方法，移位是一种通过将文本中的字或者字母移动一定数量的位置来加密信息的技术．现有如下的移位法则：把A~Z每个字母按顺序前移3位，A，B，C三个字母依次对应X，Y，Z，以此来实现对信息的加密，如将“ARMY”加密成“XOJV”传递． (1)按照上述的移位法则，“STOP”加密后的信息是“ ”，如果收到的加密后的信息是“ANY”，那么该信息在加密前是“ ”； (2)如果将字母A~Z依次赋值1~26，设加密前的数值为自变量，加密后对应的函数值为，那么，当，且为整数时，与的关系式是 ；当，且为整数时，与的关系式是 ． 【答案】(1)PQLM，DQB (2)， 【分析】本题主要考查常量与变量： （1）将字母S，T，O，P分别前移3位，则字母S，T，O，P依次对应字母P，Q，L，M；将字母A，N，Y分别后移3位，则字母A，N，Y依次对应字母D，Q，B； （2）当时，根据将字母按顺序前移3位进行加密可知，；当时，根据A，B，C三个字母前移3位后依次对应X，Y，Z可知，． 【详解】（1）将字母S，T，O，P分别前移3位，则字母S，T，O，P依次对应字母P，Q，L，M，所以“STOP”加密后的信息是“PQLM”． 将字母A，N，Y分别后移3位，则字母A，N，Y依次对应字母D，Q，B， “ANY”在加密前是“DQB”． 故答案为：PQLM    DQB （2）当时，根据将字母按顺序前移3位进行加密可知，． 当时，根据A，B，C三个字母前移3位后依次对应X，Y，Z可知，． 故答案为：    【变式5-1】（24-25七年级下·贵州毕节·期末）如图，在一个边长为的正方形的四个角处，都剪去一个大小相等的小正方形当小正方形的边长由小到大变化时，图中阴影部分的面积也随之发生变化． (1)在这个变化过程中，因变量是_________． (2)若小正方形的边长为，图中阴影部分的面积为，请直接写出y与x之间的关系式（不写x的取值范围）． (3)当小正方形的边长由变化到时，图中阴影部分的面积是怎样变化的？ 【答案】(1)阴影部分的面积 (2) (3)当小正方形的边长由变化到时，阴影部分的面积由变到 【分析】本题考查了函数关系式． （1）根据当小正方形的边长由小到大变化时，图中阴影部分的面积也随之发生变化，则小正方形的边长是自变量，阴影部分的面积为因变量； （2）根据阴影部分的面积大正方形的面积个小正方形的面积，即可解答； （3）根据当小正方形的边长由变化到时，x增大，也随之增大，则随着x的增大而减小，所以y随着x的增大而减小． 【详解】（1）解：∵当小正方形的边长由小到大变化时，图中阴影部分的面积也随之发生变化， ∴小正方形的边长是自变量，阴影部分的面积为因变量， 故答案为：阴影部分的面积； （2）解：由题意可得：； （3）解：由（2）知：， 当小正方形的边长由变化到时，x增大，也随之增大，则随着x的增大而减小，所以y随着x的增大而减小， 当时，y有最大值，， 当时，y有最小值，． ∴当小正方形的边长由变化到时，阴影部分的面积由变到． 【变式5-2】（24-25六年级下·山东烟台·期末）张叔叔从批发商手里批发甲、乙两种蔬菜，然后拿到菜市场去卖，已知甲、乙两种蔬菜的批发价和零售价如下表所示： 品名 甲蔬菜 乙蔬菜 批发价（元/千克） 4.8 4 零售价（元/千克） 7.2 5.6 (1)若他批发甲、乙两种蔬菜共40千克花180元．求批发甲乙两种蔬菜各多少千克？ (2)若他用m元批发甲、乙两种蔬菜共80千克，设批发甲种蔬菜n千克，求m与n的关系式： (3)一天若他批发甲、乙两种蔬菜各40千克，由于行情原因，他想将两种蔬菜在零售价的基础上都打折出售，其中甲种蔬菜以八五折出售，要想卖完全部蔬菜后保证利润率不低于，求乙种蔬菜至少可打几折（结果精确到0.01）． 【答案】(1)甲蔬菜，乙蔬菜 (2) (3)折 【分析】本题考查了一元一次方程和一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设批发甲蔬菜，乙蔬菜，根据批发甲蔬菜和乙蔬菜两种蔬菜共，用去了元钱，列方程求解； （2）根据总价等于单价×数量，由甲、乙两种蔬菜总价和为m，即可得出m与n的函数关系； （3）设乙种蔬菜打折，根据利润、售价、成本之间的关系建立一元一次不等式求解即可． 【详解】（1）解：设批发甲蔬菜，乙蔬菜， 由题意得：， 解得：， 乙蔬菜， 答：故批发甲蔬菜，乙蔬菜， （2）解：设批发甲种蔬菜，乙蔬菜， 由题意得：， 答：m与n的函数关系为：， （3）解：设乙种蔬菜打折， 由题意得， 解得：， 答：乙种蔬菜至少可打折． 【变式5-3】（24-25六年级下·山东泰安·期末）如图所示，梯形上底的长是，下底长，高． (1)梯形面积与上底长之间的关系式是什么？ (2)当每增加时，如何变化？ (3)当时，等于什么？此时表示的是什么？ (4)当的值为多少时，梯形的面积为？ 【答案】(1) (2)当每增加时，增加 (3)，表示的是的面积 (4) 【分析】本题考查用关系式表示两个变量间的关系，正确得到关系式是解答的关键． （1）根据梯形的面积公式求解即可； （2）根据（1）所求关系式，求出当时，当时的因变量的值即可得到答案； （3）根据（1）所求关系式，求出当时的y值，根据可得点A和点D重合，则此时y表示的是的面积； （4）由列方程求解x值即可． 【详解】（1）解：由题意得：； （2）解：当时，， 当时，， ∵， ∴当x每增加时，y增加； （3）解：当时，，此时表示的是的面积； （4）解：把代入到得： 解得： 所以时，梯形的面积为． 题型六 用图象表示变量间的关系 【例6】（24-25七年级下·四川巴中·期末）游乐场里的数学 【问题情境】 海盗船是游乐场非常受欢迎的项目之一，数学兴趣小组的同学在游乐场游玩时对海盗船进行了实地调研．如图1所示，海盗船摆臂的长度为12米，其最大摆角为．（即船体由静止状态摆动到最高点时摆动的角度） 【问题探究】 小组成员使用手机测距和计时功能，记录了海盗船静止时最低点摆动到不同位置距地面的高度h（单位：）以及所用的时间（单位：）的数据，并将这些数据绘制成图2． 请根据图2中信息回答问题： （1）在这个变化过程中，自变量是_____________，因变量是_____________； （2）该点最高时距地面_____________米，最低时距地面_____________米； 【问题解决】 （3）该点按图2摆动的规律摆动2分钟，经过的总路程是多少米？（结果保留） 【答案】（1），h；（2）8，2；（3）． 【分析】本题考查了求圆的面积，用图像表示变量间的关系． （1）根据题干信息判断即可； （2）根据图2作答即可； （3）先求出该点一个周期摆动，再根据图2求出2分钟摆动的周期数，最后相乘即可． 【详解】（1）解：∵高度随时间变化而变化， ∴自变量是，因变量是h， 故答案为：，h； （2）解：由图2可知，该点最高时距地面8米，最低时距地面2米； 故答案为：8，2； （3）解：∵海盗船摆臂的长度为12米， 该点所在的圆的周长为， ∵其最大摆角为， ∴该点单次摆动路程为， 即该点一个周期摆动， 由图2可知一个周期为， ∴2分钟即共摆动个周期， ∴该点按图2摆动的规律摆动2分钟，经过的总路程是． 【变式6-1】（24-25七年级下·河南郑州·期末）刚刚过完的端午节是纪念伟大的爱国诗人“屈原”，“北有吃粽子、南有赛龙舟”的传统习俗，某地在节日当天组织甲、乙两队赛龙舟比赛，途中乙队因龙舟故障停船检查一次，两队在比赛时的路程y（米）与时间x（分钟）变量之间的关系如图所示，请根据图象，回答下列问题： (1)图象中的自变量是________，因变量是________； (2)这次赛龙舟的全程是________米，________队先到达终点； (3)求甲队和乙队相遇时乙队的速度是________米/分钟； (4)求甲队和乙队相遇时，甲队走了________米； (5)从乙队停船检查开始到比赛结束，经过_________分钟时，甲乙两队相距40米． 【答案】(1)时间x，路程y (2)1200，乙 (3)320 (4)1008 (5)3.7或4.7或 【分析】本题考查函数图象的实际应用，正确的识图，从图象中有效的获取信息是解题的关键． （1）根据图象中横纵坐标的含义进行作答即可； （2）结合图象，进行作答即可； （3）结合图象，用乙第二段的总路程除以所用时间，进行计算即可； （4）设甲队和乙队相遇时用了分钟，根据图象列出方程，求出时间，再用甲的速度乘以时间即可得解． （5）分别进行分四种情况进行讨论，结合路程等于速度乘时间进行列式，计算即可作答． 【详解】（1）解：由图象可知，自变量是时间，因变量是路程， 即自变量是时间，因变量是路程； （2）解：由图象可知：这次龙舟的全程是1200米，乙到达终点共用了分钟，甲到达终点共用了5分钟， ∵ 乙队先到达终点； （3）解：由图象可知，甲队和乙队相遇时乙队的速度是： （米分钟）； （4）解：由图象可知，甲的速度为：（米分钟）， 设甲队和乙队相遇时用了分钟，则：， 解得：， 甲队走了：（米． （5）解：如图： 由（4）知道相遇时间为分钟 设时间为分钟，甲乙两队相距40米， ∴当时，此时乙的速度为（米分钟）， ∵甲的速度为：（米分钟）， ∴当乙停船检查时，两船相距：（米）， ∴当时，此时乙的速度为（米分钟）， ∵甲的速度为：（米分钟）， ∴， ∴； ∴当时，此时乙的速度为（米分钟）， ∵甲的速度为：（米分钟）， ∴ ∴； ∵当时，乙船停止运动， 甲的速度为：（米分钟）， ∴， ∴； 综上分析可知：从乙队停船检查开始到比赛结束，经过3.7或4.7或 分钟时，甲乙两队相距40米． 【变式6-2】（24-25七年级下·福建宁德·期末）全球首次“人机共跑”半程马拉松于年月日在北京完赛，经过时分秒的奔跑，机器人“天工”率先冲过终点拱门，夺得桂冠．受到该项赛事启发，某中学机器人兴趣小组也举办了“机器人竞速比赛”，比赛中甲、乙两台机器人的赛跑路程和赛跑时间之间的关系如图所示，请根据图象信息回答下列问题： (1)本次比赛全程是___________，机器人___________先到达终点； (2)机器人甲的平均速度是___________，其路程和时间的关系式是___________； (3)机器人乙由于故障在途中停留了___________，恢复运行后，机器人乙的速度___________机器人甲的速度．（填“”“”或“”） 【答案】(1)，甲； (2)， (3) 【分析】本题考查了用图象表示变量间的关系： （1）观察图像即可； （2）根据路程时间速度即可求； （3）观察图像即可得到故障时间，速度即为图像陡的程度，根据图像比较速度大小即可． 【详解】（1）根据图像可知，本次比赛全程是， 机器人甲所用时间为，机器人乙所用时间为， 所以机器人甲先到终点； （2）根据图像可知，平均速度为：， 路程和时间的关系式是：； （3）根据图像可知，乙由于故障在途中停留了， ，同一时刻，越大，越大， 图像越为陡峭， 恢复运行后，乙的线比甲陡， 机器人乙的速度机器人甲的速度． 【变式6-3】（23-24七年级下·河南郑州·期末）研究表明，当每公顷土地中钾肥和磷肥的施用量一定时，土豆的产量与氮肥的施用量有如下关系： 氮肥施用量/ 0 34 67 110 135 202 255 336 404 471 土豆产量/t 14.73 21.10 26.61 32.82 35.92 42.38 45.55 47.22 45.55 41.20 如果用x表示氮肥施用量，用y表示土豆产量，根据表中的实验数据，将氮肥施用量x与土豆产量y的关系拟合成图象，见下图： (1)上述问题中的两个变量，自变量是______； (2)图中点A表示的实际意义是____________； (3)当每公顷土地氮肥的施用量为时，土豆的产量约为______；（保留两位小数） (4)你认为氮肥的施用量大概是多少时比较适宜？说说你的理由． 【答案】(1)氮肥的施用量 (2)不施用氮肥时，土豆的产量为 (3) (4)见解析 【分析】本题主要考查了函数的定义和结合实际土豆产量和施用氮肥量确定函数关系． （1）表格反映的是土豆的产量与氮肥的施用量的关系； （2）直接从图中得到点A表示的实际意义； （3）将代入计算即可求解； （4）从表格中找出土豆的最高产量，此时施用氮肥量是最合适的． 【详解】（1）解：上述问题中反映了土豆的产量与氮肥的施用量的关系，氮肥的施用量是自变量，土豆的产量是因变量； 故答案为：氮肥的施用量； （2）解：图中点A表示的实际意义是：不施用氮肥时，土豆的产量为； 故答案为：不施用氮肥时，土豆的产量为； （3）解：当时，， 故答案为：； （4）解：当氮肥的施用量约为时，氮肥的施用量是比较适宜的，因为此时土豆产量最高，又可以节约肥料． 题型七 函数图象的识别 【例7】（25-26八年级上·浙江宁波·期末）小明的父亲饭后去散步，从家中出发经过分钟后到达一个离家米的公园，逛了分钟，然后花分钟返回到家中，下列图象中，表示小明父亲散步的时间（分）与离家的距离（米）之间的关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数图象，根据的值随的变化情况即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】由题意可知，分钟，的值随着的增大而增大；分钟，的值保持不变，等于；分钟，的值随着的增大而减小， 故选：． 【变式7-1】（25-26八年级上·江苏无锡·期末）某容器的截面如图所示，如果以固定的流量向这个空的容器注水，直至注满，下列图象中能大致表示水面高度与注水时间s之间的函数关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查函数图象，需注意的知识点为：高度增加先慢后快，函数图象的坡度将先缓后陡． 高度表示容器中水面上升高度；按不同的时间段，判断的变化． 【详解】解：容器的底面积先大后小，故水位上升速度先慢后快， 图象表现为先缓后陡， D选项的图象符合题意． 故选：D． 【变式7-2】（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，将一个铁球固定在一个空的圆柱体水槽底部中央，现沿水槽内壁向水槽内匀速注水，直到水槽注满为止．能刻画圆柱体水槽水面的高度（厘米）与注水时间（分）的关系的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是从图象中获取信息，根据由放入铁球后水槽内部空间的结构的变化可得答案． 【详解】解：将一个铁球固定在一个空的圆柱体水槽底部中央，现沿水槽内壁向水槽内匀速注水，直到水槽注满为止．由放入铁球后水槽内部空间的结构可得水的上升高度先慢，再快，再慢，当水覆盖铁球后，匀速上升； ∴C符合题意． 故选：C． 【变式7-3】（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，在一个透明的大圆柱形器皿底部放置一个透明的小圆柱形器皿，现先向小圆柱形器皿内匀速注水，注满后，再向大圆柱形器皿内以同样的速度注水，直到注满大圆柱形器皿，设注水时间为x，大、小圆柱形器皿中的水位高度差为y（），则下列图象适合y与x之间关系的是（　　） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查函数图象，先向小圆柱形器皿内匀速注水，y随x的增大而增大，且增加速度较快；注满后，再向大圆柱形器皿内以同样的速度注水，y随x的增大而减小；当大圆柱形器皿的水位高度与小圆柱形器皿的高度相同，即y减小至0后，y随x的增大而增大，且增加速度比第一段慢，据此解答即可． 【详解】解：分三段： 先向小圆柱形器皿内匀速注水，y随x的增大而增大； 注满后，再向大圆柱形器皿内以同样的速度注水；y随x的增大而减小， 当大圆柱形器皿的水位高度与小圆柱形器皿的高度相同时即y减小至0后，y随x的增大而增大且增加速度比第一段慢． 故选项B的图象符合题意． 故选：B． 题型八 动点问题的函数图象 【例8】（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，在长方形中，动点P从点B出发，以的速度沿方向运动至点D，再以的速度从点D运动到点A处停止，设P点运动的时间为，的面积为，y关于x的图象如图2所示． (1)观察图象可知：______；______；______；______． (2)当时，直接写出y关于x的关系式； (3)当时，求x的值． 【答案】(1)10，16，23，80 (2) (3)或 【分析】（1）根据题意，得点P从点B出发，以的速度向点D运动；则，根据题意解答即可； （2）当时，根据三角形的面积公式解答即可； （3）分点P在上，三种情况解答即可． 本题考查了动点问题的函数图象，一元一次方程的应用，从函数图象中获取相关信息，是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得点P从点B出发，以的速度向点D运动，则，根据图象，当时，的面积为， 根据题意，得，解得，根据图象，得点P在上运动了，，故，解得， 故从点D到点A的运动时间为：， 故； 故答案为：10，16，23，80． （2）解：当时，． （3）解：根据题意，得点P在上时，， 故时，， 当时，，解得； 点P在上时，是定值，不可能为20，此时无解； 点P在上时，， 当时，，解得； 综上所述，当时，x的值为或． 【变式8-1】（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图1，是的边上的高，且，，点从点出发，沿线段向终点运动，其速度与时间的关系如图所示，设点运动时间为（），的面积为（）． (1)在点沿向点运动的过程中，它的速度是__________，用含x的代数式表示线段的长是_________； (2)求变量与之间的关系式； (3)当点运动时间为时，求的面积． 【答案】(1)3， (2) (3) 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，三角形的面积； （1）根据由图2可知，点沿向点运动的过程中的速度，根据速度、路程和时间的关系即可求得的长， （2）根据三角形面积公式求得与的关系式； （3）把代入关系式即可求得的值，根据与之间的关系式即可求解． 【详解】（1）解：由图2可知，在点沿向点运动的过程中，它的速度是，所以线段的长是； 故答案为：，． （2）根据三角形的面积公式得： （3）当时， 【变式8-2】（23-24七年级下·陕西·期末）已知动点M以每秒的速度沿如图1所示的边框按从的路径移动，相应的的面积与点M的运动时间的图象如图2所示．    (1)在这个变化过程中，自变量是________，因变量是________； (2)观察图2，的面积S最大为多少？ (3)当t取何值时，的面积保持不变？ 【答案】(1)点M的运动时间t；的面积S． (2)的面积S最大为； (3)第4秒至第6秒或第9秒至第11秒； 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，三角形的面积，解答本题的关键是能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论． （1）根据函数的定义可得自变量与因变量分别为时间和面积； （2）根据图象可知的面积S最大为； （3）根据图象可知，图象平行x轴的部分即为面积不变的部分，据此解答即可． 【详解】（1）解：根据函数的定义可得自变量与因变量分别为时间和的面积； 故答案为：时间t；面积S； （2）解：根据图象可知的面积S最大为； （3）解：根据图象可知，第4秒至第6秒或第9秒至第11秒时，的面积保持不变． 【变式8-3】（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图①，在四边形中，，，点从出发沿着“”匀速运动，到停止．的面积随点运动的路程变化的部分函数图象如图②所示： (1)点到的距离是__________； (2)求的面积关于点运动路程的函数表达式，并写出对应的自变量取值范围； (3)在图②中画出剩余的函数图象（标出必要的数据）． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查了动点问题与函数图象，画一次函数图像，列函数关系式，含30度角的直角三角形的性质． （1）根据函数图象可得时，，进而根据三角形的面积公式即可求解； （2）根据含30度角的直角三角形的性质，求得，进而求得当点在上时，的关系式，即可求解； （3）根据题意画出一次函数的图象，即可求解． 【详解】（1）解：根据函数图象可得当点运动到点，即时，， 设点到的距离为， ∴， ∴ 解得：， 即点到的距离是， 故答案为：． （2）解：当时，； 如图，当点在上时，过点作于点，交的延长线于点，过点作于点， ∵，点到的距离是， ∴ 在中， ∴ ∴当时，在上， ∴，， 在中，， ∴ ∴ （3）解：当时，， 如图所示， 基础巩固通关测 一、单选题 1．（25-26八年级下·广西桂林·月考）在圆周长计算公式中，变量有（　　） A．L，π B．L，r C．L，π，r D．2π，r 【答案】B 【分析】常量是变化过程中保持不变的量，变量是变化过程中可以发生变化的量，根据概念判断即可． 【详解】解：∵在圆周长公式中，和都是常量，随半径的变化而变化， ∴变量为和，则B符合题意． 2．（25-26八年级下·北京西城·期中）如图①，E为矩形的边上一点，点P从点B出发沿折线运动到点D停止，点Q从点B出发沿运动到点C停止，它们的运动速度都是，现两点同时出发，设运动时间为x，的面积为，若y与x的对应关系如图②所示，则矩形的面积是（   ） A．72 B．84 C．86 D．96 【答案】A 【分析】先分析图象和运动过程，结合点可求出，，再根据勾股定理求出，然后结合当时的运动特点可得，最后根据矩形的面积公式得出答案． 【详解】解：观察函数图象可知当点P运动到点E时，，，， 过点E作于点H， 可知， 解得． 根据勾股定理，得； 当时，点P到达点D，运动停止， ∴， 解得， ∴， 所以矩形的面积是． 3．（25-26八年级下·福建福州·期中）下列图象中，不能表示y是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的定义：对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，结合图象利用“垂线法”进行判断即可． 【详解】解：选项A、对于每一个，都有唯一的值对应，是函数图象，不符合题意； 选项B、对于每一个，都有唯一的值对应，是函数图象，不符合题意； 选项C、当取圆内某值时，对应的值有两个，不满足唯一性，不是函数图象，符合题意； 选项D、对于每一个，都有唯一的值对应，是函数图象，不符合题意． 二、填空题 4．（2026·黑龙江佳木斯·一模）函数 的自变量 x的取值范围是_________________ 【答案】 【分析】本题考查二次根式和分式有意义的条件，根据两种代数式有意义的要求列出不等式，取解集的公共部分即可得到自变量的取值范围． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件可得， 解不等式得， 解不等式得， 取两个解集的公共部分，得． 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）小明早晨从家骑车到学校，先上坡后下坡，行程情况如图．若返回时上坡，下坡的速度仍保持不变，那么小明从学校骑车回家用的时间是___________． 【答案】/15分钟 【分析】根据图表可计算出上坡的速度以及下坡的速度．又已知返回途中的上下坡的路程正好相反，故可计算返程总时间． 【详解】解：由图可得，上坡路程，用时， 上坡速度：， 下坡阶段：下坡路程，用时， 下坡速度：， 由题意得，从学校回家时，原来的下坡路变成上坡路，原来的上坡路变成下坡路： ∴新的上坡路程（原下坡路）：，速度为， 用时：； 新的下坡路程（原上坡路）：，速度为， 用时：， ∴返程总时间为． 6．（2026·山东济南·一模）已知，两地相距，小明和小亮两人分别从，两地出发相向而行，小亮先出发；图中，表示两人离地的距离与时间的关系，则小亮出发______后两人的路程和为． 【答案】 【分析】根据题意求出两人的速度，列出方程即可解决问题． 【详解】解：由题意可知，小亮的函数图象是，小明的函数图象是， 小亮的速度是，小明的速度是． 设小亮出发小时两人的路程和为． 由题意得，， 解得， 答：小亮出发小时两人的路程和为． 三、解答题 7．（24-25八年级下·湖南湘潭·月考）下面表格表示在个月之间，这个婴儿的体重y与月龄x之间的关系． 月龄x/月 1 2 3 4 5 体重 4200 4900 5600 6300 7000 (1)如表反映的变化过程中，______是自变量，______是因变量； (2)利用表中数据直接写出该婴儿体重y（g）和月龄x（月）之间的关系式为______； (3)假设该变化规律不变，请计算这个婴儿第8个月时体重是多少？ 【答案】(1)月龄x，体重y (2) (3) 【分析】本题考查了变量的概念以及探究变量之间的关系，确定变量之间的关系是解题的关键． （1）根据自变量和因变量的定义，结合题意，进行判断即可； （2）结合表格，根据每个月婴儿体重增加量不变，求得两个变量之间的关系； （3）根据第二问的结果，将代入函数关系式中，求得y的值即可． 【详解】（1）解：由表可知，体重y随着月龄x的变化而变化， 所以月龄x是自变量，体重y是因变量． 故答案为：月龄x，体重y； （2）解：． 故答案为：； （3）解：当时，， 答：这个婴儿第8个月时体重是． 8．（25-26八年级下·河北秦皇岛·月考）某型号无人潜水器在进行深海探测时的下潜深度（米）与操控潜水器的时间（分钟）之间的关系如图所示（潜水器只垂直下潜或上升）．已知潜水器下潜和上升的过程中速度相同． (1)在进行深海探测的过程中自变量是_____； (2)在下潜和上升过程中，潜水器的速度为_____米/分钟； (3)求潜水器在下潜深度为米处停留的时间． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）根据函数定义，由下潜深度随时间变化，判断自变量为时间； （）利用上升阶段的路程和用时，结合下潜与上升速度相同，计算出潜水器的速度； （）先算出从米下潜到米的用时，确定到达米的时间，再用分钟减去该时间，得到在米处的停留时间． 【详解】（1）解：∵根据函数定义：下潜深度随时间的变化而变化， ∴自变量是时间 （2）解：由图可知，上升过程总路程为米，用时分钟， 题目说明下潜、上升速度相同，因此速度为米/分钟； （3）解：从深度米下潜到米的路程为米， 所需时间为分钟， 因此到达米深度的时间为分钟， 由图可知分钟开始上升返回， 因此停留时间为分钟． 答：潜水器在米处停留的时间为分钟． 9．（2026·吉林·模拟预测）如图，在中，，，，动点P从点A出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，过点P作与的直角边相交于点D，延长至点Q，使得，以、为边作矩形．设矩形与重叠部分图形的面积为y，点P的运动时间为x秒（）． (1)当______时，点D与点C重合． (2)线段的长度表示为______（用含x的式子表示） (3)求y与x之间的函数关系式． 【答案】(1)2 (2)当时，；当时， (3)当时，；当时，；当时， 【分析】本题考查矩形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的性质与判定，掌握知识点是解题的关键． （1）由题意知，结合运动速度，即可解答． （2）分类讨论：当与当时，作出正确的图形，利用等腰三角形的性质逐项分析，即可解答； （3）分类讨论：当时，利用等腰三角形的性质求解；当时，利用等腰三角形的性质和矩形的性质；当时，利用等腰三角形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定和性质以及平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：当点D与点C重合时，， ∵，，， ∴， ∵动点P从点A出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点B运动， ∴； （2）解：①当时，如图 ∵，， ∴， 在矩形中，， ∴是等腰直角三角形，且， ∴； ②当时，如图 ∵， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， 综上所述，当时，；当时，． （3）解：∵，，， ∴， ①当时，矩形与重叠部分图形为，如图 ； ②当时，矩形与重叠部分图形为四边形，如图 ； ③当时，矩形与重叠部分图形为五边形，如图 则，， 同理，，， ∴ ， ， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 综上所述，当时，；当时，；当时，． 能力提升进阶练 一、单选题 1．（25-26八年级下·北京·期中）下列图象中，表示y是x的函数的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】考查函数的定义，判断方法是垂直于 x 轴的直线检验法：任意一个 x 值，只能对应唯一的 y 值；易错点是混淆函数的 “多对一” 和 “一对多” 关系． 【详解】选项 A：任意作垂直于 x 轴的直线，与图像只有 1 个交点，满足 “一个 x 对应唯一 y”，是函数． 选项 B、C、D：存在 x 值对应多个 y 值，不满足函数定义． 故选：A． 2．（25-26八年级下·四川达州·开学考试）函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】根据二次根式有意义的条件（被开方数非负）和分式有意义的条件（分母不为0），确定自变量需满足的条件，解不等式取公共范围即可． 【详解】解：∵要使函数有意义，需同时满足二次根式和分式的要求， ∴ ∴且． 3．（2025·河南南阳·二模）如图1，在中，，点P从点A出发，沿线段向终点C匀速运动，点Q同时从点A出发，沿折线向终点C匀速运动，P，Q两点同时到达点C，已知点Q的运动速度为点P运动速度的2倍，连接．设点P运动的路程为x，的面积为y，并绘制成如图2所示的图象，且点E的坐标为，请根据图1和图2的信息判断下列说法错误的是（    ） A．点D的实际意义是点Q恰好运动到点B处 B．线段的长度为10 C．a的值为5 D．点D的坐标为 【答案】D 【分析】根据图象可知，，进而得到，设，勾股定理求出的值，进而求出的值，再进行判断即可． 【详解】解：∵点E的坐标为， ∴，此时点与点重合， ∴， ∵点Q的运动速度为点P运动速度的2倍，且两个点同时出发，同时停止， ∴点的路程是点的2倍， ∴， 设，则， 由勾股定理，得， ∴， ∴， ∴当点运动到点时，点运动的路程为10，此时， 的面积最大为， 故点D的实际意义是点Q恰好运动到点B处，，； 综上，只有选项D错误． 4．（2026·山东日照·一模）如图（1），在中，动点P，Q同时从点A出发，点P以每秒2个单位长度的速度沿向终点B运动，点Q沿折线向终点B匀速运动，点P，Q同时到达终点B．设运动时间为x秒，的面积为y．已知y与x之间的函数关系图象如图（2）所示，则下列结论中正确的是（    ） A．的长为6 B．点Q的运动速度为每秒3个单位长度 C．四边形的面积为32 D．曲线段是函数的图象的一部分 【答案】D 【分析】结合图象和平行四边形的性质，逐项判断即可． 【详解】解：∵在中，由图（2）可知当点Q由点A到点D用时1秒，由点C到点B用时1秒，由点D到点C用时（秒）， ∴， ∴点Q的运动速度为每秒（个）单位长度， 由图（2）可知当点Q与点D重合时，此时， ∴边上的高为， ∴， 当点Q与点C重合时，的面积最大，此时，， ∴，， 当时， 当时，， ∴曲线段是函数的图象的一部分． 二、填空题 5．（25-26八年级上·重庆·月考）在函数中，自变量的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查函数自变量的取值范围，函数是分式，分母是二次根式，因此需要分母不为零，且被开方数大于或等于零，据此求解即可． 【详解】解：根据题意，自变量x的取值需满足 即， 解得 ． 故答案为：． 6．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在直角梯形中，，动点从点出发，沿，运动至点停止．设点运动的路程为，的面积为，如果关于的函数图象如图所示，则的面积是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象， 根据题意分析的运动路线，分个阶段分别讨论，可得与的值，进而利用三角形的面积可得答案，读懂题意，从函数图象中获取信息是解题的关键． 【详解】解：∵动点从直角梯形的直角顶点出发，沿，的顺序运动， ∴面积在段随的增大而增大；在段，的底边不变，高不变，因而面积不变化， 由图可以得到：，， ∴的面积是， 故答案为：． 7．（2026·湖北·模拟预测）如图1，在菱形中，，E是边的中点，P是对角线上一动点，设的长度为x，与的长度和为y，图2是y关于x的函数图象，其中H是图象上的最低点，则菱形的边长为__________的值为__________． 【答案】 4 16 【分析】连接，，，设交于点Q，由A、C关于对称，推出，推出，推出的最小值为的长，观察图象可知，当点P与B重合时，，推出，分别求出，的长，即可解决问题． 【详解】解：连接，，，设交于点Q， 在菱形中，，，且， ， 为等边三角形， ∴， 点E是边的中点， ， ∵A、C关于对称， ， ， ∴当A、P、E共线时，，的值最小． 观察图象可知，当点P与B重合时，， ， ∵， ∴， ∴， ∴菱形的边长为4； ∴在中，， 的最小值为， 点H的纵坐标， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点H的横坐标， ． 8．（25-26九年级上·湖北咸宁·期末）为了优化快递配送路线，物流系统需要计算快递员（运动点）与仓储中心（固定点之间距离的平方．如图1，快递员从站点出发，沿笔直公路向配送区域处运动，到达处停止运动．设（单位：），（单位：）．如图2，关于的函数图象，请根据信息填空：_________，的最小值为___________． 【答案】 5 2 【分析】本题考查函数图象的应用，勾股定理，垂线段最短，从图象上获取正确的信息是关键． 当时，，根据函数图象进行填空即可．作，垂足为，设，由函数图象可知，，．根据勾股定理，，解方程求出，进而求出．根据垂线段最短，求出的最小值． 【详解】解：由图象可知，当时，， ∴； 如图，作，垂足为，设， 由图象可知，当时，， ∴，， ∴， 在直角中，， 在直角中，， ∴， 解得，， ∴，即， 由垂线段最短可得，的最小值为． 故答案为：；． 三、解答题 9．（25-26八年级下·全国·周测）如图①，在中，，动点以的速度从点出发沿匀速运动至点．图②是点运动时，的面积（单位：）随时间（单位：s）变化的函数图象．求的斜边的长． 【答案】 【分析】本题考查根据函数图象获取信息，完全平方公式，勾股定理，熟练掌握并运用是解决问题的关键． 由图②可知，当点运动到点处时，的面积为6，得到，， 根据勾股定理，结合完全平方公式即可求解． 【详解】解：由图②可知，当点运动到点处时，的面积为6， ， ． ∵点从点运动至点的时间为7s， ， ，即， ． 又，， ． 10．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）“智造慈溪”家电产品展销会上，某品牌进行机器人行走表演．甲、乙两机器人分别从A，B两地同时出发，相向而行．甲机器人到达B地后，停留，然后原路返回A地，乙机器人到达A地即停止．甲、乙两机器人之间的距离与行走时间的函数图象如图所示． 请根据上述信息，回答下列问题： (1)写出图中点M表示的实际意义． (2)求甲、乙两机器人的速度． (3)若点N的纵坐标为23，求点N的横坐标． 【答案】(1)点M表示行走18秒时，甲、乙两机器人相遇 (2)甲的速度为，乙速度为 (3)点N横坐标为41.5 【分析】本题主要考查了函数图象的分析，从函数图象找到相关信息是解题的关键． （1）由图可得甲、乙两机器人之间的距离为0，可得两机器人相遇； （2）由图象可知，甲乙相遇后，又过了12秒甲到达B地，此时两机器人相距，可得两机器人速度和为，根据18秒相遇可得A，B两地距离，即可求得两机器人的速度； （3）由题意得，30到33秒，甲在B地休息，乙继续前进，可计算出第33秒时，两机器人之间的距离，接着甲返回追乙，求出当甲、乙之间相距23米时，甲所用的追及时间即可求得点的横坐标． 【详解】（1）解：图中点M表示的实际意义是：行走18秒时，甲、乙两机器人相遇． （2）解：由图象可知，甲乙相遇后，又过了12秒甲到达B地，此时两机器人相距， ∴两机器人速度和为 ， AB两地相距：， ∴甲的速度：，乙速度：． （3）解：30到33秒，甲在B地休息，乙继续前进，第33秒时，两者之间的距离：， 接下来甲返回追乙，追及路程：，需要时间： ∴点N横坐标为． 11．（25-26七年级上·山东青岛·期末）数学兴趣小组通过查阅资料发现，声音在空气中传播的速度和气温的变化存在如下的关系： 气温 声音在空气中的传播速度 根据上述材料，回答下列问题： (1)从表中数据可知，气温每升高1℃，声音在空气中传播的速度提高了___________； (2)直接写出与之间的函数关系式（不必写出变量的取值范围）； (3)某日的气温为，小莹同学看到烟花燃放后才听到声响，那么小莹同学与燃放烟花所在地大约相距___________米． 【答案】(1)0.6 (2) (3)1020 【分析】本题主要考查了一次函数的应用、待定系数法求函数解析式以及路程问题的计算，熟练掌握根据数据建立函数模型并进行相关计算是解题的关键． （1）通过计算相邻气温下速度的差值，求出气温每升高1℃时速度的提高量． （2）根据一次函数的一般形式，利用表中数据求出与之间的函数关系式． （3）先将代入函数关系式求出声音传播速度，再根据“路程速度时间”计算距离． 【详解】（1）解：（）， 故答案为：． （2）解：设， 将，和，代入得 ， 解得，， ∴； （3）解：当时， ∴（米）， 故答案为：． 12．（25-26八年级上·重庆大渡口·期末）如图1，矩形中，，定点D的坐标为，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿轴的正方向匀速运动，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿轴的负方向匀速运动，，两点同时运动，相遇时停止．在运动过程中，以为斜边在x轴上作等腰直角三角形．设和矩形重叠部分的面积为S，设运动时间为t秒，S关于t的函数图像如图2所示． (1)当______时，的边经过点B； (2)_______，点B坐标是___________； (3)求S关于t的函数关系式，并写出t的取值范围． 【答案】(1)1 (2)2， (3) 【分析】（1）观察图2 可得时，的边经过点B； （2）由图2知，时，P、Q两点相遇，则可得，求得． 则可得R点的运动速度为每秒2个单位，Q点的运动速度为每秒1个单位．设，，由图2知时，；时，．列方程求得，，进而可得． （3）由点P和点Q的运动情况可知， 和矩形的重合部分分为3类情况；按照三种情况的特点，分别用矩形、梯形、等腰直角三角形的面积关系分类求解即可． 【详解】（1）解：由图2 知，时，的边经过点B； 故答案为：1 （2）解：由图2知，时，P、Q两点相遇． ∵点D的坐标为， ∴， ∴， 解得， ∴R点的运动速度为每秒2个单位，Q点的运动速度为每秒1个单位． 由图2知时，；时，． 设与的交点为G点，设，． 如图，当时，是等腰直角三角形， ∴， 此时，， 如图，当时，过P点作于点H， 则，，， 此时，， 得， 解得，， ∴，， ∴． 故答案为：2，． （3）解：①当时，如图，设交于点G，过点P作于点H， 则，， ∴， ； ②当时，如图，设交于点G，交、于点S、T， 则 ， ， ∴ ． ③当时，如图，设与交于点T， 则，，． ∴ ． 综上所述，S关于t的函数关系式为：． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 第二十二章函数（复习讲义） 单元目标聚焦·明核心 1.了解常量与变量、函数的意义，体会函数图象上的点与函数解析式之间的对应关系，理解函数三种表示 方法（解析法、列表法、图象法）的整体联系。 2.能根据关系式或图象判断两个变量之间是否存在函数关系，能确定函数自变量的取值范围（分母不为零、 被开方数非负等)，并结合实际意义进行验证。 3.理解并利用描点法（列表、描点、连线）绘制函数图象，能通过图象分析函数的变化趋势，找特殊点， 读取对应值，解决行程、工程、销售、几何等实际问题中的函数关系问题。 知识图谱梳理因基础 函数判断错误 常量 常量与变量 定义 白变量范围遗漏 变量 六、高频易错点 图象绘制不规范 自变量 实际应用忽略约束 定义因变量 分析问题 唯一对应 确定变量 函数值—表示方法 解题步 列出关系式 分式 结合范围与图象求解 二、 函数的概念 使解析式有意义 二次根式 五、函数的应用 行程问题 工程问题 函数 自变量取值范围 整式 符合实际意义 常见类型 销售问题 核心原则 几何问题 函数判断 关系式判断 列表 图像判断 描点 画法步雾 定义 解折法 连线 优点 图象上的点 定义 图象与函数关系 四、函数的图象 列表法一 满足解析式的点 三、i 函数的表示方法 优点 看趋势 定义 找特殊点 从图象获取信息 列表 读对应值 图象法 绘制步骤 描点 连线 优点 教材要点精析·夯重点 一、 常量与变量 定义：①常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量。②变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量。 二、函数的概念 1/20 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1.定义：一般地，在一个变化过程中，有两个变量x与y,如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定 的值与其对应，那么x是自变量，y是x的函数。 2.函数值：当自变量x=a时，函数y的对应值b,称为x=a时的函数值，记作y=b。 3.自变量取值范围 使解析式有意义：①分式：分母≠0；②二次根式：被开方数≥0：③整式：全体实数-符合实际意义（如 时间、数量不能为负) 4.函数判断（核心：唯一对应） ①关系式：y=±Vx(x>0)一不是函数（一个x对应两个y) ②图像：作垂直x轴的直线，与图像只有一个交点→是函数 三、函数的表示方法 1.解析法（关系式法） 定义：用数学式子表示函数关系。优点：准确、完整，便于分析计算 2.列表法 定义：用表格列出自变量与函数的对应值。优点：直观、具体，可直接查值 3.图象法 定义：在平面直角坐标系中，以自变量x为横坐标，函数y为纵坐标，描出对应点(x,y),所有点组成的图 形就是函数图象。 步骤：列表→描点→连线（平滑曲线） 优点：形象、直观，能看到变化趋势 四、函数的图象 1.画法步骤 ①列表：选自变量值，算对应函数值；②描点：在坐标系中标出(x,y)；③连线：按顺序用平滑曲线连接 2.图象与函数关系：①图象上的点满足函数解析式；②满足解析式的点在图象上 3.从图象获取信息；①看趋势（上升/下降）；②找特殊点（与坐标轴交点、最高点、最低点）；③读对应值 (x→y,y→x) 一、函数的应用 1.步骤：①分析问题，找变量；②确定自变量与函数；③列函数关系式；④结合取值范围与图象求解 2.常见类型：①行程问题：svt;②工程问题：工作量=效率×时间；③销售问题：总价=单价×数量；④几何问 题：周长、面积、体积公式 2/20 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 二、易错点警示 1.函数判断忽略唯一对应，误判“一对多”为函数 2.自变量取值范围漏双重限制（如分式+根式） 3.画图象时不按顺序连线、出现折线 4.实际应用忽略非负整数等实际约束 考点题型突破·拓思维 题型一函数的概念 【例1】(24-25八年级下·湖北武汉期末)下列四个图象中，能表示y是x的函数关系的是() D 【变式1-1】(25-26八年级上广东佛山期末)下列各图象中，变量y不是x的函数的是() 【变式1-2】(25-26八年级上广东梅州期中)有下列5个等式：①y=3x+1;②y2=x2-1;③y=±x; ④y=3x2+1;⑤y=√x,其中表示y是x的函数有() A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【变式1-3】（25-26八年级上·广东茂名·期中)下列图象中，表示y是x的函数的是() VA B 3/20 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型二求自变量的取值范围 【例2】(2526八年级上重庆月考)在函数y=3中，自变量x的取值范围是() x-4 A.x≠4 B.x>4 C.x≥4 D.x≠-4 【变式21】(2425八年级上江苏徐州期末)函数y=+2 中，自变量x的取值范围是() x+2 A.x≠-2 B.x2-2 C.x≤-2 D.x>-2 变式22】2425八年级下内家古巴彦淖尔期末)函数y=1-r+中咱变至x的取值范围是（】 A.x=2 B.x≤1 C.x<1且x≠2 D.x≤1且x≠2 【变式23】(2425八年级下湖北黄石期末)函数)-化-少的自变量x的取值范围是（) √2x-3 A. 3 B.x≥2 且x1 、3 C.x>- 2 D.x>2且x1 题型三变量、常量 【例3】(24-25七年级下·全国·课后作业)已知圆的周长C与半径r的计算公式为C=2πr,则下列判断正 确的是() A.2是变量 B.元是变量 C.r是变量 D.C是常量 【变式3-1】(25-26七年级上·全国期末)李师傅到小区附近的“爱心”加油站加油，如下所示是所用的加油 机上的数据显示情况，则其中的常量是() 333.56 金额（元） 44.24 数量(L) 7.54 单价（元L) A.金额 B.数量 C.单价 D.金额和数量 【变式3-2】(24-25八年级下·河北廊坊期末)如图是某顾客在超市购买铁皮西红柿时电子秤上的数据显示 牌，则在这三个量中，常量是() 4/20 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 铁皮西红柿 单价7.00元/kg 质量1.80kg 金额12.60元 A.单价 B.质量 C.金额 D.单价和质量 【变式3-3】(24-25八年级下·湖南衡阳·期末)在ABC中，它的底边是a,底边上的高是h,则三角形面 积S=h,当a为定值时，在此式中() A.S,h是变量， 行，a是常量 B.S,h,a是变量，3是常量 C.S,a是变量，2，h是常量 1 D. S是变量，2，a,h是常量 题型四用表格表示变量间的关系 【例4】（25-26七年级上·辽宁鞍山期末)学校图书馆购进一批图书，管理员在整理过程中发现，每天整 理的图书数量与整理的天数之间的关系如下表： 每天整理的图书数量 1200 600 240 120 整理的天数 2 5 10 (1)若学校计划用4天的时间完成整理，管理员每天需要整理多少本图书？ (②)若用a表示每天整理的图书数量，用t表示整理的天数，用式子表示t与a的关系，并说明t与a成什么 比例关系？ 【变式4-1】(24-25七年级下·陕西咸阳期末)西安的非遗文创产品丰富多样，这些非遗文创产品不仅具有 艺术价值和收藏价值，还能让人深刻感受到西安的历史文化底蕴和地方特色.某店为了减少“送你一个长安” 金花茯砖茶的积压，采取降价销售，其原价是每盒265元，市场调查发现，每降价10元，日销量增加15 盒.该文创产品降价金额x(元)与日销量y(盒)之间的关系如下表： 降价金额(x元) 10 30 40 50 日销量(y/盒) 60 90 105 120 (1)上表中，自变量是 因变量是 (②)可以估计降价前的日销量是 盒； 5/20 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (3)若该文创产品的售价是185元，求该文创产品的日销量. 【变式4-2】(24-25七年级下·全国·课后作业)行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑 行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”.为了测定某种型号汽车的刹车性能（车速不超过140kmh), 对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如下表： 刹车时车速(km/h 0 10 20 30 40 50 刹车距离(m) 0 2.5 5 7.5 0 12.5 ()自变量是_，因变量是_： (2)当刹车时车速为40km/h时，刹车距离是_m; (3)观察表中数据可知，当刹车时车速每增加10kmh时，刹车距离增加多少米？该型号汽车某次的刹车距离 为20m,推测刹车时的车速是多少？ 【变式4-3】(25-26八年级上·四川成都·月考)在汽车的研发生产过程中，有一个程序是根据样车测试结果， 进行设计优化和调整，其中安全性测试中的某一项任务是在平整的路面上进行刹车距离测试.如表是某型 号的汽车刹车距离测试采样紧急刹车后仍将滑行米与刹车前汽车的速度千米/小时之间的表格： 刹车前汽车的速度：￥（千米/小时） 15 30 45 60 90 120 滑行距离：s(米) 0.75 3 6.75 12 48 (1)当汽车速度为60千米/小时，汽车滑行的距离是多少米？ (2)据了解y=广 ,请求出与的函数关系式： (3)若某次测试中滑行距离为18.75米，则紧急刹车前的速度是多少千米小时？ 题型五用关系式表示变量间的关系 【例5】(25-26八年级上河南平顶山期末)加密技术是保障数据安全的一种方式，常常被用于军事通信， 移位加密技术是其中一种简单且有效的方法，移位是一种通过将文本中的字或者字母移动一定数量的位置 来加密信息的技术.现有如下的移位法则：把A~Z每个字母按顺序前移3位，A,B,C三个字母依次对应 X,Y,Z,以此来实现对信息的加密，如将“ARMY”加密成XOJV”传递 (I)按照上述的移位法则，“STOP”加密后的信息是“”，如果收到的加密后的信息是“ANY”,那么该信息在加 密前是“”； (2)如果将字母AZ依次赋值1~26，设加密前的数值为自变量x,加密后对应的函数值为y,那么，当 6/20 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4≤x≤26，且x为整数时，y与x的关系式是_：当1≤x≤3，且x为整数时，y与x的关系式是_ 【变式5-1】(24-25七年级下.贵州毕节期末)如图，在一个边长为10cm的正方形的四个角处，都剪去一 个大小相等的小正方形当小正方形的边长由小到大变化时，图中阴影部分的面积也随之发生变化 ()在这个变化过程中，因变量是 (2)若小正方形的边长为xcm,图中阴影部分的面积为ycm2,请直接写出y与x之间的关系式（不写x的取 值范围) (3)当小正方形的边长由0.5cm变化到2.5cm时，图中阴影部分的面积是怎样变化的？ 【变式5-2】(24-25六年级下·山东烟台·期末)张叔叔从批发商手里批发甲、乙两种蔬菜，然后拿到菜市场 去卖，己知甲、乙两种蔬菜的批发价和零售价如下表所示： 甲蔬 乙蔬 品名 菜 菜 批发价（元/千克） 4.8 4 零售价（元/千克) 7.2 5.6 (1)若他批发甲、乙两种蔬菜共40千克花180元.求批发甲乙两种蔬菜各多少千克？ (②)若他用m元批发甲、乙两种蔬菜共80千克，设批发甲种蔬菜n千克，求m与n的关系式： (3)一天若他批发甲、乙两种蔬菜各40千克，由于行情原因，他想将两种蔬菜在零售价的基础上都打折出售， 其中甲种蔬菜以八五折出售，要想卖完全部蔬菜后保证利润率不低于17.5%，求乙种蔬菜至少可打几折（结 果精确到0.01). 【变式5-3】(24-25六年级下·山东泰安期末)如图所示，梯形ABCD上底的长是xcm,下底长BC=30cm ,高DE=16cm. 7/20 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)梯形面积y(cm)与上底长xcm之间的关系式是什么？ (2)当x每增加1cm时，y如何变化？ (3)当x=0时，y等于什么？此时y表示的是什么？ (4)当x的值为多少时，梯形的面积为300cm2? 题型六用图象表示变量间的关系 【例6】(24-25七年级下·四川巴中.期末)游乐场里的数学 【问题情境】 海盗船是游乐场非常受欢迎的项目之一，数学兴趣小组的同学在游乐场游玩时对海盗船进行了实地调研.如 图1所示，海盗船摆臂的长度为12米，其最大摆角为60°.（即船体由静止状态摆动到最高点时摆动的角 度) h/m 4 8121677s 图1 图2 【问题探究】 小组成员使用手机测距和计时功能，记录了海盗船静止时最低点摆动到不同位置距地面的高度（单位：m )以及所用的时间t(单位：s)的数据，并将这些数据绘制成图2. 请根据图2中信息回答问题： (1)在这个变化过程中，自变量是 因变量是 (2)该点最高时距地面 米，最低时距地面 米； 【问题解决】 (3)该点按图2摆动的规律摆动2分钟，经过的总路程是多少米？（结果保留刀） 【变式6-1】（24-25七年级下·河南郑州·期末)刚刚过完的端午节是纪念伟大的爱国诗人“屈原”，“北有吃 粽子、南有赛龙舟”的传统习俗，某地在节日当天组织甲、乙两队赛龙舟比赛，途中乙队因龙舟故障停船检 查一次，两队在比赛时的路程y(米)与时间x(分钟)变量之间的关系如图所示，请根据图象，回答下列 问题： 8/20 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 以米 甲 1200 400 200 10 0 22.3 485可分钟 (1)图象中的自变量是 因变量是 ； (②)这次赛龙舟的全程是 米， 队先到达终点； (3)求甲队和乙队相遇时乙队的速度是 米/分钟： (④)求甲队和乙队相遇时，甲队走了 米； (⑤)从乙队停船检查开始到比赛结束，经过 分钟时，甲乙两队相距40米. 【变式6-2】(24-25七年级下，福建宁德.期末)全球首次“人机共跑”半程马拉松于2025年4月19日在北京 完赛，经过2时40分42秒的奔跑，机器人“天工Ulra”率先冲过终点拱门，夺得桂冠.受到该项赛事启发， 某中学机器人兴趣小组也举办了“机器人竞速比赛”，比赛中甲、乙两台机器人的赛跑路程s)和赛跑时间 t(min之间的关系如图所示，请根据图象信息回答下列问题： As/m 800 700 600 500 400 300 200 100 0 123456789tmin (1)本次比赛全程是 m,机器人 先到达终点： (②)机器人甲的平均速度是 m/min,其路程s和时间t的关系式是 (3)机器人乙由于故障在途中停留了 min,恢复运行后，机器人乙的速度 机器人甲 的速度.（填“>=”或“<”） 【变式6-3】(23-24七年级下·河南郑州期末)研究表明，当每公顷土地中钾肥和磷肥的施用量一定时，土 豆的产量与氮肥的施用量有如下关系： 9/20 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 氮肥 施用 0 34 67 110 135 202 255 336 404 471 量/kg 土豆 14.73 21.10 26.61 32.82 35.92 42.38 45.55 47.22 45.55 41.20 产量 如果用x表示氮肥施用量，用y表示土豆产量，根据表中的实验数据，将氮肥施用量x与土豆产量y的关系 拟合成图象，见下图： 个土豆产量九 50 45 40 =0.0003x2+0.1974r+14.734 30 25 20 15 5 0■ 50100150200250300350400450500x 氮肥施用量/kg ()上述问题中的两个变量，自变量是 (2)图中点A表示的实际意义是 (3)当每公顷土地氮肥的施用量为100kg时，土豆的产量约为 kg;(保留两位小数) (④你认为氮肥的施用量大概是多少时比较适宜？说说你的理由. 题型七函数图象的识别 【例7】（25-26八年级上浙江宁波期末)小明的父亲饭后去散步，从家中出发经过20分钟后到达一个离 家700米的公园，逛了30分钟，然后花15分钟返回到家中，下列图象中，表示小明父亲散步的时间x(分) 与离家的距离y(米)之间的关系的是() 珠 A A. 700 B.700 020 65主 0 2035 珠 珠 C.700 D. 700 020 65 020 70主 【变式7-1】(25-26八年级上江苏无锡期末)某容器的截面如图所示，如果以固定的流量向这个空的容器 10/20 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 注水，直至注满，下列图象中能大致表示水面高度cm与注水时间ts之间的函数关系的是() h h B i/s I/S D 【变式7-2】(24-25七年级下·陕西西安期末)如图，将一个铁球固定在一个空的圆柱体水槽底部中央，现 沿水槽内壁向水槽内匀速注水，直到水槽注满为止.能刻画圆柱体水槽水面的高度（厘米）与注水时间t(分) 的关系的图象大致是() 个h(厘米) h(厘米) A B 分) 济)】 (厘米) h(厘米) D (分) O t(分) 【变式7-3】(24-25七年级下·四川成都期末)如图，在一个透明的大圆柱形器皿底部放置一个透明的小圆 柱形器皿，现先向小圆柱形器皿内匀速注水，注满后，再向大圆柱形器皿内以同样的速度注水，直到注满 大圆柱形器皿，设注水时间为x,大、小圆柱形器皿中的水位高度差为y(y≥0)，则下列图象适合y与x 之间关系的是() 11/20 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 题型八动点问题的函数图象 【例8】(24-25七年级下四川成都期末)如图，在长方形ABCD中，动点P从点B出发，以2cm/s的速 度沿B→C→D方向运动至点D,再以1cm/s的速度从点D运动到点A处停止，设P点运动的时间为x(s), △ABP的面积为ycm),y关于x的图象如图2所示. Av(cm2) B 13 a x(s) 图1 图2 (I)观察图象可知：BC= cm:CD= cm;a=:b= (2)当0<x≤5时，直接写出y关于x的关系式： (3)当SABP=20时，求x的值. 【变式8-1】(23-24七年级下·陕西榆林期末)如图1，AD是ABC的边BC上的高，且AD=8cm, BC=9cm,点E从点B出发，沿线段BC向终点C运动，其速度与时间的关系如图2所示，设点E运动时间 为x(s),△ABE的面积为y(cm2). 12/20 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ↑速度(cm/s) 23 时间/s 图1 图2 (I)在点E沿BC向点C运动的过程中，它的速度是 cm/s,用含x的代数式表示线段BE的长是 cm; (2)求变量y与x之间的关系式； (3)当点E运动时间为2s时，求aABE的面积， 【变式8-2】(23-24七年级下·陕西·期末)己知动点M以每秒1cm的速度沿如图1所示的边框按从 B-C-D-E-F-A的路径移动，相应的△ABM的面积Scm)与点M的运动时间(s的图象如图2所示. S/cm2 14--- A 46911 18 ts 图1 图2 (1)在这个变化过程中，自变量是 因变量是 (2)观察图2，△ABM的面积S最大为多少？ (3)当t取何值时，△ABM的面积保持不变？ 【变式8-3】(25-26八年级上江苏南京期末)如图①，在四边形ABCD中，AD∥BC, AD=2,BC=8,∠C=30°，点E从B出发沿着“B→C→D”匀速运动，到D停止.△ABE的面积S随点E运 动的路程x变化的部分函数图象如图②所示： S D 12 8 图① 图② (I)点A到BC的距离是 (②)求△ABE的面积S关于点E运动路程x的函数表达式，并写出对应的自变量取值范围： 13/20 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (3)在图②中画出剩余的函数图象（标出必要的数据）· 分层阶梯训练 提能力 基础巩固通关测 一、单选题 1.(25-26八年级下广西桂林月考)在圆周长计算公式L=2πr中，变量有() A.L,元 B.L,r C.L,元，r D.2π，r 2.(25-26八年级下·北京西城期中)如图①，E为矩形ABCD的边AD上一点，点P从点B出发沿折线 B-E-D运动到点D停止，点Q从点B出发沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是1cm/s,现PQ两 点同时出发，设运动时间为x,BPQ的面积为ycm),若y与x的对应关系如图②所示，则矩形ABCD的 面积是()cm ↑y/cm2 A 30---- B 9→ 10 14s 图① 图② A.72 B.84 C.86 D.96 3.(25-26八年级下，福建福州期中)下列图象中，不能表示y是x的函数的是() D 二、填空题 14/20 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 4. (2026黑龙江佳木斯一模)函数y=√x-2+,的自变量x的取值范围是 x-1 5.(25-26八年级下·全国·课后作业)小明早晨从家骑车到学校，先上坡后下坡，行程情况如图.若返回时 上坡，下坡的速度仍保持不变，那么小明从学校骑车回家用的时间是 S/km 6 12 7/min 6.(2026山东济南一模)已知A,B两地相距80km,小明和小亮两人分别从A,B两地出发相向而行， 小亮先出发；图中，表示两人离A地的距离s(k)与时间t(h)的关系，则小亮出发 h后两人的路 程和为80km. ◆s/km 80----------- 60 40H 12 20 00.51 2 33.54t/i 三、解答题 7.(24-25八年级下湖南湘潭·月考)下面表格表示在1-5个月之间，这个婴儿的体重y与月龄x之间的关 系 月龄x/月 1 3 4 5 体重y/g 4200 4900 5600 6300 7000 (①)如表反映的变化过程中， 是自变量， 是因变量； (②)利用表中数据直接写出该婴儿体重y(g)和月龄x(月)之间的关系式为 ； (3)假设该变化规律不变，请计算这个婴儿第8个月时体重是多少g? 8.(25-26八年级下·河北秦皇岛·月考)某型号无人潜水器在进行深海探测时的下潜深度h(米)与操控潜 水器的时间t(分钟)之间的关系如图所示（潜水器只垂直下潜或上升）·己知潜水器下潜和上升的过程中 15/20 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 速度相同. h/米 50 02 6a 12157分钟 (1)在进行深海探测的过程中自变量是； (②)在下潜和上升过程中，潜水器的速度为 米/分钟； (3)求潜水器在下潜深度为75米处停留的时间. 9.(2026吉林模拟预测)如图，在ABC中，∠C=90°，AC=BC,AB=8,动点P从点A出发，沿 AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，过点P作PD⊥AB与ABC的直角边相交于点D,延长PD 至点Q,使得QD=PD,以P2、PA为边作矩形PQMA.设矩形PQMA与ABC重叠部分图形的面积为y, 点P的运动时间为x秒（x>0). 备用图 (1)当x=时，点D与点C重合 (2)线段PQ的长度表示为 (用含x的式子表示) (3)求y与x之间的函数关系式. 能力提升进阶练 一、单选题 1.(25-26八年级下·北京期中)下列图象中，表示y是x的函数的是() 木长， 2. (25-26八年级下四川达州开学考试)函数y=x+3中，自变量x的取值范围是() x-2 A.x≠2 B.x2-3且x≠2 C.x>-3且x≠2 D.x≤-3且x≠2 16/20 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3.(2025河南南阳二模)如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点P从点A出发，沿线段AC向终点C 匀速运动，点Q同时从点A出发，沿折线A-B-C向终点C匀速运动，P,Q两点同时到达点C,已知点 Q的运动速度为点P运动速度的2倍，连接P?.设点P运动的路程为x,△APQ的面积为y,并绘制成如 图2所示的图象，且点E的坐标为8,0)，请根据图1和图2的信息判断下列说法错误的是() a 图1 图2 A.点D的实际意义是点Q恰好运动到点B处 B.线段AB的长度为10 C.a的值为5 D.点D的坐标为5,10) 4.(2026山东日照：一模)如图(1)，在。ABCD中，动点P,Q同时从点A出发，点P以每秒2个单位 长度的速度沿AB向终点B运动，点Q沿折线ADCB向终点B匀速运动，点P,Q同时到达终点B.设运动 时间为x秒，△APQ的面积为y,己知y与x之间的函数关系图象如图(2)所示，则下列结论中正确的是 () N D M A P 3 图1) 图(2) A.AB的长为6 B.点Q的运动速度为每秒3个单位长度 C.四边形ABCD的面积为32 D.曲线NG段是函数y=-3x2+12x的图象的一部分 二、填空题 17/20 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 x-5 5.(25-26八年级上·重庆·月考)在函数y= 中，自变量x的取值范围是 √-x+7 6.(25-26八年级上·辽宁沈阳·期末)如图1，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，动点P从点B出发，沿 BC,CD运动至点D停止.设点P运动的路程为x,△ABP的面积为y,如果y关于x的函数图象如图2所 示，则△BCD的面积是 D 图1 图2 7.(2026湖北模拟预测)如图1，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，E是BC边的中点，P是对角线BD上 一动点，设PD的长度为x,PE与PC的长度和为y,图2是y关于x的函数图象，其中H是图象上的最低 点，则菱形的边长为 ab的值为 y A 6 1 B E 0 6 图1 图2 8.(25-26九年级上湖北咸宁期末)为了优化快递配送路线，物流系统需要计算快递员（运动点Q)与仓 储中心（固定点P)之间距离的平方.如图1，快递员Q从站点A出发，沿笔直公路AB向配送区域B处运动， 到达B处停止运动.设AQ=x(单位：km),PQ=y(单位：am2)·如图2，y关于x的函数图象，请 根据信息填空：PA2=」 am2,PQ的最小值为 km. Ay/km2 8-- P B 3 x/km 图1 图2 18/20 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 三、解答题 9.(25-26八年级下·全国·周测)如图①，在ABC中，∠ACB=90°，动点P以1cm/s的速度从点A出发 沿A→C→B匀速运动至点B,图②是点P运动时，△ABP的面积y(单位：cm2)随时间x(单位：s)变 化的函数图象.求ABC的斜边AB的长 B y/cm 7亦於 ① ② 10.(25-26八年级上·浙江宁波期末)“智造慈溪”家电产品展销会上，某品牌进行机器人行走表演.甲、 乙两机器人分别从A,B两地同时出发，相向而行.甲机器人到达B地后，停留3s,然后原路返回A地， 乙机器人到达A地即停止.甲、乙两机器人之间的距离y(m)与行走时间xs的函数图象如图所示. 个y(m) 24 1830 (s) 请根据上述信息，回答下列问题： (1)写出图中点M表示的实际意义. (2)求甲、乙两机器人的速度 (3)若点N的纵坐标为23，求点N的横坐标 11.(25-26七年级上山东青岛期末)数学兴趣小组通过查阅资料发现，声音在空气中传播的速度和气温 的变化存在如下的关系： 气温t(℃) -20 -10 0 10 声音在空气中的传播 319 325 331 337 速度v(m(s) 根据上述材料，回答下列问题： (1)从表中数据可知，气温每升高1℃，声音在空气中传播的速度提高了 m/s (②)直接写出与t之间的函数关系式（不必写出变量的取值范围）； (3)某日的气温为15℃，小莹同学看到烟花燃放后3s才听到声响，那么小莹同学与燃放烟花所在地大约相距 米 19/20 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 12.(25-26八年级上·重庆大渡口·期末)如图1，矩形0ABC中，0A>2AB,定点D的坐标为12,0)，动 点P从点0出发，以每砂m个单位长度的速度沿x轴的正方向匀速运动，动点Q从点D出发，以每砂受个 单位长度的速度沿x轴的负方向匀速运动，P,Q两点同时运动，相遇时停止.在运动过程中，以Q为斜 边在x轴上作等腰直角三角形PQR,设△PQR和矩形OABC重叠部分的面积为S,设运动时间为t秒，S关 于t的函数图像如图2所示. 39 2 R 27 2 B OP Q O12 4 图1 A 图2 (1)当t= 时，△POR的边QR经过点B; (2)m=,点B坐标是 (3)求S关于t的函数关系式，并写出t的取值范围. 20/20