第二十章 勾股定理 培优专练 课件2025-2026学年人教版数学八年级下册

第二十章 勾股定理 培优专练 人教版八年级下册 1. 如图, 在正方形ABCD中, 边AB上有一点E, AE＝3, EB ＝1, 在AC上有一点P, 要使EP＋BP最短, 则EP＋BP的最 短长度为 . 5 2.如图, 一牧童在A处牧马, 牵马到河边去饮水, 再赶回家(B 处).已知AC＝50 m, BD＝70 m, CD＝50 m, 则牧童至少要 走 的路程. 130 m 3.如图是底面周长为12, 高为8的圆柱. 一只小蚂蚁要从点A 爬到点B, 则蚂蚁爬行的最短距离是 ( ) A.10 B. 8 C. 6 D. 4 A 4. 如图, 一个无盖的长方体形盒子的长、宽、高分别为8 cm, 8 cm, 12 cm.一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点B, 则蚂蚁要爬行的最短 路程是 . 20 cm 5.如图, 在长方形地面ABCD中, 长AB＝20 m, 宽AD＝10 m, 中间竖有一堵高为2 m的砖墙MN.一只蚂蚁从点A爬到点 C, 它必须翻过中间那堵墙, 则它至少要爬 m的路程. 26 6.如图, 台阶阶梯每一层高20 cm、宽40 cm、长50 cm, 一只 蚂蚁从点A爬到点B, 最短路程是多少？ 解：如答图所示. 依题意, 得 AB2＝502＋[2(20＋40)]2 ＝16 900. ∴AB＝130 cm. 答：最短路程是130 cm. 7. 如图, 将长方形ABCD沿EF折叠, 使顶点C恰好落在边 AB的中点C′处. 若AB＝6, BC＝9, 求BF的长. 解：依题意, 得BC′＝ AB, FC′＝FC＝BC－BF. 在Rt△BFC′中, 根据勾股定理, 得 BF2＋ ＝(BC－BF)2, 即BF2＋32＝(9－BF)2,解得BF＝4. 8. 如图, 将等腰直角三角形ABC(∠B＝90°)沿EF折叠, 使 点A落在边BC的中点A1处, BC＝6, 求线段AE的长. 解：依题意, 得A1E＝AE, A1B＝ BC, AB＝BC, ∴BE＝AB－AE＝BC－AE. 在Rt△A1BE中, 根据勾股定理, 得 AE2＝ ＋(BC－AE)2, 即AE2＝32＋(6－AE)2,解得AE＝ . 9. 如图, 折叠长方形ABCD, 使点B落在对角线AC上的点F 处. 若BC＝4, AB＝3, 求线段CE的长. 解：在Rt△ABC中, 根据勾股定理, 得 AC2＝AB2＋BC2＝32＋42＝25. ∴AC＝5. 由折叠知, AF＝AB＝3, EF＝BE＝BC－CE, ∴FC＝AC－AF＝2. 在Rt△EFC中, EF2＋FC2＝CE2, 即(4－CE)2＋22＝CE2, 解得CE＝ . 10. 如图, 在△ABC中, ∠ACB＝90°, BC＝6, AB＝10.在边AC上取一点E, 将△ABE沿BE折叠, 使AB与直线BC重合, 点A的对应点为D, 求CE的长. 解：在Rt△ABC中, 根据勾股定理, 得 AC2＝AB2－BC2＝102－62＝64. ∴AC＝8. 由折叠知, BD＝AB＝10, DE＝AE＝AC－CE, ∴CD＝BD－BC＝4. 在Rt△CDE中, CE2＋CD2＝DE2, 即CE2＋42＝(8－CE)2, 解得CE＝3. 11. 先阅读下面的一段文字, 再 解答问题. 已知：如图, 在平面直角坐标系中, 任意两点M(x1, y1), N(x2, y2), 其两点之间的距离公式为d＝ . 同时, 当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂 直于坐标轴时, 两点之间的距离公式可以简化为 或 . (1)已知点A(1, 5), B(－3, 6), 试求A, B两点之间的距离； (2)已知点A, B在垂直于y轴的直线上, 点A的坐标为 , AB＝8, 试确定点 B 的坐标； (3)已知点A(0, 6), B(－3, 2), C(3, 2), 请判断△ABC的形状, 并说明理由. 解：(1)∵A(1, 5), B(－3, 6), ∴AB＝ ＝ . (2)∵A, B在垂直于y轴的直线上, ∴点A与点B的纵坐标相等. 设B . ∵AB＝8, ∴ ＝8, 解得x＝3或x＝－13. ∴点B的坐标为 或 . (3)△ABC的形状为等腰三角形. 理由如下： ∵A(0, 6), B(－3, 2), C(3, 2), ∴AB＝ ＝5, AC＝ ＝5, BC＝ ＝6. ∴AB＝AC. ∴△ABC的形状为等腰三角形. 12. 某学习小组参照教材上的材料进行勾股定理的项目式探究, 并制作表格如下： 利用剪拼法证明勾股定理 背景 意大利著名画家达·芬奇证明勾股定理的剪拼法 步骤 ①在纸片上绘制两个边长分别为a, b的正方形 ②将左右两部分剪开 ③将右侧部分翻转, 并平移 ④左右两部分拼接在一起 步骤           说明：步骤①中大小正方形公共顶点的邻边分别 在同一条直线上； 步骤①中多边形的面积为S1, 步骤④中多 边形的面积为S2 问题解决 任务   (1)请用含a, b, c的代数式分别表示S1, S2(请直接写 出结论, 无需证明) (2)请利用等积法证明勾股定理 解：(1)S1＝a2＋b2＋2× ab＝a2＋b2＋ab, S2＝c2＋2× ab＝c2＋ab. (2)由S1＝S2, 得a2＋b2＋ab＝c2＋ab, ∴a2＋b2＝c2. 13.如图1是一电动门, 当它水平下落时, 可以抽象成如图2所 示的长方形ABCD, 其中AB＝3 m, AD＝1 m, 此时它与出 入口OM等宽, 与地面的距离AO＝0.2 m. 当它抬起时, 变 为平行四边形AB′C′D, AB′＝AB, 如图3所示, 此时AB′与 水平方向的夹角为60°. (1)求点B′到地面的距离. (2)一辆高1.6 m、宽1.5 m的汽车从该入口进入时, 汽车需要 与BC保持0.4 m的安全距离, 此时汽车能否安全通过？若 能, 请通过计算说明；若不能, 请说明理由. (参考数据： ≈1.73, π≈3.14, 所有结果精确到0.1) 解：(1)如图3, 过点B′作B′N⊥OM于点N, 交AB于点E, 则∠B′EA＝90°. ∴∠EB′A＝90°－∠EAB′ ＝90°－60°＝30°. 又∵AB′＝AB＝3 m, ∴EA＝ AB′＝ (m). ∴在Rt△AEB′中, B′E＝ EA＝ ≈2.60(m). ∴B′N＝B′E＋EN＝2.6＋0.2＝2.8(m), 即点B′到地面的距离约为2.8 m. (2)如图3, 在OM上截取MK＝0.4 m, KF＝1.5 m, 过点F作FG⊥OM, 分别交AB, AB′于点H, G. 依题意, 得OF＝3－1.5－0.4＝1.1(m). ∵AB∥OM, AO⊥OM, HF⊥OM, ∴AH＝OF＝1.1 m, ∠AHG＝90°, HF＝OA＝0.2 m. 同(1)可得GH＝1.1× ≈1.90(m), ∴GH＋HF＝1.90＋0.2＝2.1(m). ∵2.1>1.6, ∴汽车能安全通过. 14.综合与实践 【问题情境】消防云梯用于高层建筑火灾等救援任务, 它 能让消防员快速到达高层救援现场. 如图, 已知一架长 25 m的云梯AB斜靠在一面墙上, 这时云梯底端距墙角的 距离OB＝20 m, ∠AOB＝90°. 【独立思考】(1)求这架云梯顶部距离地面OA的长度. 【深入探究】(2)消防员接到命令, 按要求将云梯从顶部A下滑到A′位置上(云梯长度不改变), 则底部B沿水平方向向后滑动到B′位置上. 若AA′＝8 m, 求BB′的长度. 【问题解决】(3)在演练中, 墙边距地面24 m的窗口有求救声, 消防员需调整云梯去救援被困人员. 经验表明, 云梯靠墙摆放时, 如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的 , 那么云梯和消防员相对安全, 在相对安全的前提下, 云梯的顶端能否到达24 m高的窗口去救援被困人员？ 解：(1)在Rt△OAB中, 由勾股定理, 得 OA＝ ＝ ＝15(m). (2)∵OA＝15 m, AA′＝8 m, ∴OA′＝OA－AA′＝7(m). 在Rt△A′OB′中, 由勾股定理, 得 OB′＝ ＝ ＝24(m), ∴BB′＝OB′－OB＝24－20＝4(m). (3)当云梯的顶端到达24 m高的窗口时, 根据勾股定理, 得云梯的底端距离墙的距离为 ＝7(m). ∵25× ＝5(m), 7>5, ∴在相对安全的前提下, 云梯的顶端能到达24 m高的窗口去救援被困人员. $