精品解析：辽宁省沈阳市于洪区2025-2026学年度下学期第一次模拟测试九年级数学试卷

于洪区2025－2026学年度下学期第一次模拟测试 九年级数学试卷 （本试卷共23小题 满分120分 考试时长120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 手机信号的强度通常采用负数来表示．绝对值越小表示信号越强（单位：），则下列信号最强的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，只需比较各选项数的绝对值大小，绝对值越小信号越强，即可得到答案. 【详解】解：∵ ，，，， 且 ， ∴ 的绝对值最小，根据题意得信号最强的是 2. 如图是某几何体的三视图，该几何体是（　　） A. 长方体 B. 三棱柱 C. 圆柱 D. 圆锥 【答案】C 【解析】 【分析】根据几何体的三视图进行一一判断即可． 【详解】解：∵主视图和左视图为长方形 ∴几何体不是三棱柱和圆锥 ∵俯视图为圆 ∴几何体不是长方体 ∴该几何体为圆柱 故选C． 【点睛】本题考查了几何体的三视图．解题的关键在于熟练掌握几何体从前面，左面，上面看到的分别为主视图，左视图，俯视图． 3. 中国传统纹样承载着对称美学的精髓，同时也体现了古代工匠对几何对称的深刻认知．下列传统纹样中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 寿字纹 B. 万字纹 C. 冰裂纹 D. 柿蒂纹 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选D． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查整式的基本运算，需运用同底数幂除法，幂的乘方，合并同类项，完全平方公式的相关法则，逐一判断选项正误即可. 【详解】解：A、，错误； B、，正确； C、与不是同类项，不能合并，错误； D、，错误. 5. 如图，在正方形中，点E为边上一点，连接，交对角线于点F，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方形的性质可得，，再求出，根据三角形外角的性质即可解答． 【详解】解：在正方形中，，， ∵， ， ． 6. 将分别标有“幸”“福”“沈”“阳”汉字的四张卡片放在一个不透明盒子中，这些卡片除汉字不同外其余都相同，随机抽出其中两张，抽出的卡片上的汉字为“沈”“阳”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查列表法求概率，根据题意列出所有等可能的抽取结果，利用概率公式计算即可得到答案. 【详解】解：用分别表示“幸”“福”“沈”“阳”四张卡片， 画树状图如下： 由图可得，共有种等可能的结果，其中抽出卡片汉字为“沈”“阳”的结果有种， ， 7. 如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将线段放大得到线段，若，点的坐标为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：以原点为位似中心，将线段放大得到线段，， 点的坐标与点的坐标的比值为，且符号相反， 点的坐标为， 点的坐标为，即． 8. 新能源汽车在公路上行驶时，电池剩余电量y（单位：）是行驶里程x（单位：）的函数．小明记录了一次出行时汽车的行驶里程与剩余电量，数据如下表： 行驶里程x（） 0 50 100 150 剩余电量y（单位：） 60 54 48 42 该函数的表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由表格数据可知，剩余电量y随行驶里程x均匀变化，y是x的一次函数，用待定系数法即可求出函数表达式． 【详解】解：∵由表格可得，x每增加，y减少，y随x均匀变化， ∴y是x的一次函数 设函数表达式为， 把代入得， 把代入表达式，得， 解得， ∴函数表达式为． 9. 为携带方便，人们通常会利用真空压缩机压缩衣物以减小体积．同一件羽绒服质量不变，其体积v（）与密度（）有反比例函数关系如图所示，当压缩到密度大于时，其体积可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设体积v（）与密度（）的反比例函数关系式为，运用待定系数法求出m，得到该反比例函数关系式，进而根据图象即可求解． 【详解】解：设体积v（）与密度（）的反比例函数关系式为， 从图上可以看出图象过点， 将其代入得，解得， ∴， 当时，， 综合各个选项，只有符合． 10. 如图，在中，按如下步骤作图：在和上分别截取，，使，分别以点M和N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点O，作射线，再分别以点B和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P和Q，作直线交于点D，连接，．根据以上作图，若，，，则点D到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据作图步骤可知平分，垂直平分，从而得出，点到、的距离相等．过点作于，交的延长线于，通过证明和，利用线段的和差关系求出的长，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：过点作于，交的延长线于， 由作图步骤①可知，平分，  ，，  ，， 在和中，  ，  ， ， 由作图步骤可知，垂直平分，点在上，  ，  ，  ， 在和中，  ，  ，  ，  ，，  ， ，  ，  ， 解得， 在中，， 即点到直线的距离为． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 据年月文旅部数据，全国重点博物馆自年以来，累计推出线上云展超场，吸引观众超人次．数据用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，据此解答即可． 【详解】解：． 12. 计算的结果是______． 【答案】a 【解析】 【分析】根据同分母分式的减法法则计算，再因式分解约分得到最简结果． 【详解】解：． 13. 如图是甲、乙两人5次足球点球测试（每次点球10个）成绩的统计图，甲、乙两人测试成绩的方差分别记作、，则______（填“”“＝”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】根据统计图中甲，乙成绩的波动程度，波动越大，方差越大，即可作出判断． 【详解】由统计图可知，乙偏离平均数大，甲偏离平均数小， 所以乙的波动大，成绩不稳定，方差大，而甲的波动小，成绩相对稳定，方差偏小， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了方差、折线统计图，掌握方差与统计图中折线的波动程度的关系是解答的关键． 14. 如图，在中，，，，D是边上的一个动点，连接，则长的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由垂线段最短可得，当时，有最小值，然后在中，根据正弦的定义求解即可． 【详解】解：由垂线段最短可知，当时，有最小值， ∵，， ∴， 即长的最小值为 ． 15. 如图，在菱形中，，，点E在边上，且，交的延长线于点F，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】先利用菱形的性质，推导出与的长度，以及的度数，再计算出和的长度． 过作，交延长线于，构造直角三角形，先求出、的长度，再利用平行证明，最后根据相似三角形的性质求解． 【详解】解： ∵菱形，，， ∴​，． ∵，， ∴，​． 过作，交延长线于， ∴． 在中，， ∴ ， ， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴ ， ∴​， 解得． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算、解方程 （1）计算：； （2）解方程组： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先算乘方、化简绝对值和二次根式，再算除法，最后算加减，即可求解； （2）利用代入消元法求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， 由①得③， 将③式代入②得，， 解得， ， 方程组的解为． 17. 某文创店在售甲、乙两款纪念册，已知每个乙款纪念册的价格是每个甲款纪念册价格的，用300元购买乙款纪念册的数量比用200元购买甲款纪念册的数量多7个． （1）求每个甲款纪念册的价格； （2）某班级计划购买甲、乙两款纪念册共25个，且总费用不超过550元，求该班级最多可以购买多少个甲款纪念册？ 【答案】（1）元 （2）个 【解析】 【分析】（1）设甲款纪念册的价格为元，则乙款纪念册的价格为，根据题意列方程即可解答； （2）设购买个甲款纪念册，则购买个乙款纪念册，计算总费用，列不等式即可解答． 【小问1详解】 解：设甲款纪念册的价格为元，则乙款纪念册的价格为， 可得， 解得， 经检验，是原方程的解， 答：每个甲款纪念册的价格为元； 【小问2详解】 解：（元）， 设购买个甲款纪念册，则购买个乙款纪念册， 可得 解得， 则m的最大值为10， 答：该班级最多可以购买个甲款纪念册． 18. 某校为提高学生体质健康水平，启动了“阳光运动提升计划”在计划实施前，校体育组随机抽取八年级部分学生进行了第一次体能测试，计划实施两个月后，再次对第一次随机抽取的学生进行了第二次体能测试，并对两次测试成绩（满分均为10分，学生测试成绩为不小于5分的整数）进行统计，结果如下： 信息一： 信息二：第一次测试成绩没有满分10分，第二次测试成绩满分10分有2个． 信息三：整理、分析数据，得到下表： 平均成绩（分） 中位数（分） 众数（分） 第一次测试成绩 7.3 a 9 第二次测试成绩 8 8 b 请根据以上信息，解答下列问题： （1）求m，a，b的值； （2）若规定9分及以上为“优秀”，八年级300名学生参加了第二次测试，请你估计在第二次测试中成绩为“优秀”的学生人数． 【答案】（1）； （2）90 【解析】 【分析】（1）先求出第一次测试总人数，再求出二次测试成绩10分的百分数，进而求出m的值，然后根据中位数和众数的定义求解即可； （2）用第二次测试中9分及以上人数百分比乘总人数即可求解． 【小问1详解】 解：由题意，抽取八年级部分学生人数为：（人） 第二次测试成绩10分的百分数：， ∴， 将第一次测试中，20人的测试成绩从小到大排列，第10、11个数据分别为7，8，则中位数为（分）， ∵第二次测试成绩中，8分出现次数最多，故众数为8分， 综上所述：； 【小问2详解】 解：（人） 19. 某工厂在斜坡上安装一块广告牌，其侧面结构如图所示，斜坡与水平线的夹角，广告牌长为，与水平线的夹角，三个支撑杆，，固定该广告牌（点C，M，B在同一条直线上，且），其中． （1）求广告牌的端点D到水平线的高度； （2）求水平支撑杆的长度． （结果精确到．参考数据：，，，，，） 【答案】（1） （2）水平支撑杆的长度为米 【解析】 【分析】（1）过点作于点，解直角三角形即可求解； （2）先证明四边形为矩形，求出，得到，再根据求出，即可得到答案． 【小问1详解】 解：过点作于点，则， 在中，， ， ， 答：广告牌的端点D到水平线的高度约为米； 【小问2详解】 解：， 四边形为矩形， ，， 在中，， ， ， ， 在中，， ， ． 答：水平支撑杆的长度为米． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点，与正比例函数相交于点，点在线段上（不与点，重合），的顶点，分别在线段，上．设点的横坐标为． （1）求的长（用含的代数式表示）； （2）求面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分别表示出点、的坐标，根据平行四边形的性质得出，表示出的长即可； （2）过点作轴于，用表示出的面积，利用二次根式的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵的顶点，分别在线段，上，点的横坐标为， ∴，，， ∴． 【小问2详解】 解：如图，过点作轴于， ∵， ∴， ∴， ∵二次项系数， ∴时，取最大值，最大值为． 21. 在中，与相切于点C，与相交于点D，E为上一点，连接． （1）如图1，求的大小； （2）如图2，与相交于点F，延长与相交于点G，若，且，求的长（结果保留π）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据题意得出，进而得出，再根据圆周角定理求出结论； （2）连接，先求出，证明是等边三角形，得出，根据弧长公式计算即可． 【小问1详解】 解：连接， 与相切于点C， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：连接， 由（1）知， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 的长． 22. 在中，，D是边的中点，E是射线上一点，将沿翻折得到，点F是点B的对应点． （1）如图1，点E在线段上，，分别交于点G，H． ①求证：四边形是菱形； ②连接，求的面积； （2）如图2，点E在延长线上，分别交于点M，N．连接，，若，求的长． 【答案】（1） ①证明：∵将沿翻折得到， ， ， ， ， ， ， ， ∴四边形是菱形； ② （2） 【解析】 【分析】（1）①由翻折得出，证明，进而得出，即可得出结论；②先求出，证明，得出，求出，，即可求出结论； （2）连接，延长交于点G，证明，设，则，根据勾股定理求出，再根据勾股定理求出结论即可． 【小问1详解】 ①略 ②连接，设交于点M， ，D是边的中点， ， ， ， 在中，， ∵四边形是菱形， ， ， ， ， ，即， 解得：，， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， 连接， ， ， ， ， 延长交于点G， 由翻折知，， 则， ， ， ， 设， ， ， 在中，， ， 解得：（不合题意舍去），或， ， ， ， ， ， 在中， ． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C．平移抛物线得到的抛物线经过点B和点． （1）求平移后抛物线的函数表达式． （2）点T在x轴正半轴上，设其横坐标为t（），以点T为旋转中心，将线段逆时针旋转得到线段，点O，C的对应点分别为． ①当时，请判断点是否落在抛物线上，并说明理由； ②当线段与抛物线有公共点时，请直接写出t的取值范围； （3）约定：图象上P，Q两点之间的部分（包括点P，Q）的最高点与最低点纵坐标的差称为这两个点间的最值差，记为．若新函数，点E，F，G在新函数的图象上，它们的横坐标分别为m，，，其中，是否存在m的值，使得？若存在，请求出m的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）①不在，理由： 当时，， 把代入​， 得， ∴不在抛物线上； ② （3）或 【解析】 【分析】（1）因为抛物线平移后二次项系数不变，所以可设；因为经过点B和D，所以先通过​的表达式求出点B坐标，再将B、D坐标代入所设表达式，用待定系数法求解的函数表达式． （2）①因为要判断点是否在上，所以先根据旋转的性质，结合求出的坐标，再将该坐标代入的表达式验证是否成立。 ②因为线段与有公共点，所以先根据旋转性质写出的坐标，得到线段的表达式，再分别考虑线段端点在上的情况，结合确定t的取值范围． （3）因为根据最值差的定义，分别分析​和​的计算方式，分情况讨论不同m取值范围内的最高点和最低点；因为，所以据此列出方程，求解并检验m是否符合． 【小问1详解】 解：对于， 令，解得或， ∴． ∵平移不改变二次项系数， ∴设， 把和代入， 得， ​解得， ∴，或； 【小问2详解】 解：对于， 令，得， ∴， 把点，绕逆时针旋转，得，， 即线段为水平线段，（）． ①略 ②当在抛物线上时，， 解得或（舍去）， 当在抛物线上时，， 解得或（舍去）， ∴． 【小问3详解】 解：​∵，E，F，G在新函数的图象上，它们的横坐标分别为m，，， ∴当时，，； 当时，，． ∴E，F两点在图象上，G点在图象上，且E，F两点之间的部分（包括点E，F）的最高点为抛物线的顶点， G，F两点之间的部分（包括点G，F）的最高点为抛物线上的F点，最低点为 ∴， 当时，E，F两点之间的部分（包括点E，F）的最低点为E， ∴， ∵​， ∴，解得，或（舍去）； 当时，E，F两点之间的部分（包括点E，F）的最低点为F， ∴， ∴，解得，或（舍去）． 综上，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 于洪区2025－2026学年度下学期第一次模拟测试 九年级数学试卷 （本试卷共23小题 满分120分 考试时长120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 手机信号的强度通常采用负数来表示．绝对值越小表示信号越强（单位：），则下列信号最强的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图是某几何体的三视图，该几何体是（　　） A. 长方体 B. 三棱柱 C. 圆柱 D. 圆锥 3. 中国传统纹样承载着对称美学的精髓，同时也体现了古代工匠对几何对称的深刻认知．下列传统纹样中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 寿字纹 B. 万字纹 C. 冰裂纹 D. 柿蒂纹 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在正方形中，点E为边上一点，连接，交对角线于点F，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 将分别标有“幸”“福”“沈”“阳”汉字的四张卡片放在一个不透明盒子中，这些卡片除汉字不同外其余都相同，随机抽出其中两张，抽出的卡片上的汉字为“沈”“阳”的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将线段放大得到线段，若，点的坐标为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 新能源汽车在公路上行驶时，电池剩余电量y（单位：）是行驶里程x（单位：）的函数．小明记录了一次出行时汽车的行驶里程与剩余电量，数据如下表： 行驶里程x（） 0 50 100 150 剩余电量y（单位：） 60 54 48 42 该函数的表达式是（ ） A. B. C. D. 9. 为携带方便，人们通常会利用真空压缩机压缩衣物以减小体积．同一件羽绒服质量不变，其体积v（）与密度（）有反比例函数关系如图所示，当压缩到密度大于时，其体积可以是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，按如下步骤作图：在和上分别截取，，使，分别以点M和N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点O，作射线，再分别以点B和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P和Q，作直线交于点D，连接，．根据以上作图，若，，，则点D到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 据年月文旅部数据，全国重点博物馆自年以来，累计推出线上云展超场，吸引观众超人次．数据用科学记数法表示为______． 12. 计算的结果是______． 13. 如图是甲、乙两人5次足球点球测试（每次点球10个）成绩的统计图，甲、乙两人测试成绩的方差分别记作、，则______（填“”“＝”或“”）． 14. 如图，在中，，，，D是边上的一个动点，连接，则长的最小值为______． 15. 如图，在菱形中，，，点E在边上，且，交的延长线于点F，则的长为______． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算、解方程 （1）计算：； （2）解方程组： 17. 某文创店在售甲、乙两款纪念册，已知每个乙款纪念册的价格是每个甲款纪念册价格的，用300元购买乙款纪念册的数量比用200元购买甲款纪念册的数量多7个． （1）求每个甲款纪念册的价格； （2）某班级计划购买甲、乙两款纪念册共25个，且总费用不超过550元，求该班级最多可以购买多少个甲款纪念册？ 18. 某校为提高学生体质健康水平，启动了“阳光运动提升计划”在计划实施前，校体育组随机抽取八年级部分学生进行了第一次体能测试，计划实施两个月后，再次对第一次随机抽取的学生进行了第二次体能测试，并对两次测试成绩（满分均为10分，学生测试成绩为不小于5分的整数）进行统计，结果如下： 信息一： 信息二：第一次测试成绩没有满分10分，第二次测试成绩满分10分有2个． 信息三：整理、分析数据，得到下表： 平均成绩（分） 中位数（分） 众数（分） 第一次测试成绩 7.3 a 9 第二次测试成绩 8 8 b 请根据以上信息，解答下列问题： （1）求m，a，b的值； （2）若规定9分及以上为“优秀”，八年级300名学生参加了第二次测试，请你估计在第二次测试中成绩为“优秀”的学生人数． 19. 某工厂在斜坡上安装一块广告牌，其侧面结构如图所示，斜坡与水平线的夹角，广告牌长为，与水平线的夹角，三个支撑杆，，固定该广告牌（点C，M，B在同一条直线上，且），其中． （1）求广告牌的端点D到水平线的高度； （2）求水平支撑杆的长度． （结果精确到．参考数据：，，，，，） 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点，与正比例函数相交于点，点在线段上（不与点，重合），的顶点，分别在线段，上．设点的横坐标为． （1）求的长（用含的代数式表示）； （2）求面积的最大值． 21. 在中，与相切于点C，与相交于点D，E为上一点，连接． （1）如图1，求的大小； （2）如图2，与相交于点F，延长与相交于点G，若，且，求的长（结果保留π）． 22. 在中，，D是边的中点，E是射线上一点，将沿翻折得到，点F是点B的对应点． （1）如图1，点E在线段上，，分别交于点G，H． ①求证：四边形是菱形； ②连接，求的面积； （2）如图2，点E在延长线上，分别交于点M，N．连接，，若，求的长． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C．平移抛物线得到的抛物线经过点B和点． （1）求平移后抛物线的函数表达式． （2）点T在x轴正半轴上，设其横坐标为t（），以点T为旋转中心，将线段逆时针旋转得到线段，点O，C的对应点分别为． ①当时，请判断点是否落在抛物线上，并说明理由； ②当线段与抛物线有公共点时，请直接写出t的取值范围； （3）约定：图象上P，Q两点之间的部分（包括点P，Q）的最高点与最低点纵坐标的差称为这两个点间的最值差，记为．若新函数，点E，F，G在新函数的图象上，它们的横坐标分别为m，，，其中，是否存在m的值，使得？若存在，请求出m的值，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $