第十章二元一次方程组综合测试卷2025-2026学年人教版七年级数学下册

第十章二元一次方程组综合测试卷 （时间：100分钟，总分：120分） 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）已知是二元一次方程，那么k的值为（    ） A．3 B．0 C．2 D．4 2．（本题3分）如果方程组的解为，那么被“”“”遮住的两个数分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（本题3分）《九章算术》中记载一题目，译文如下，今有人合伙购物，每人出钱，会多钱；每人出钱，又会差钱，问人数、物价各是多少？设合伙人数为人，物价为钱，以下列出的方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（本题3分）解二元一次方程组时，通过下列步骤能消去未知数x的是（    ） A． B． C． D． 5．（本题3分）用加减消元法解二元一次方程组时，有如下四种解法，甲：；乙：；丙：；丁：．其中不能完成“消元”的是（    ） A．只有甲 B．甲和丙 C．甲和丁 D．乙和丁 6．（本题3分）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺．问木长多少尺﹖若设木长尺，绳长尺，依据题意可列方程组是（   ） A． B． C． D． 7．（本题3分）对有理数x、y定义新运算：，其中a，b都是常数．若，，则a，b的值分别是（    ） A．1，2 B．2，1 C．2，2 D． 8．（本题3分）已知和是方程的两个解，则的值（   ） A．30 B．0 C．5 D．6 9．（本题3分）若关于x、y的方程组和有相同的解，则的值为（ ） A．0 B． C．1 D．2021 10．（本题3分）图中有条直线，请将1至这个数分别填在个圆圈里，使每一条直线上所有数的和相等．标有“★”的圆圈中所填的数是（    ） A．2 B．5 C．7 D．8 二、填空题（共15分） 11．（本题3分）已知，则用含x的式子表示y为______ ． 12．（本题3分）若是关于x、y的二元一次方程的一个解，则a的值为____． 13．（本题3分）关于、的方程组的解满足的一个解，则________． 14．（本题3分）甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为，．如图，将甲纸条的与乙纸条的叠合在一起，形成长为81的纸条，则__________． 15．（本题3分）已知方程组的解，的绝对值相等，则的值为__________． 三、解答题（共75分） 16．（本题10分）解下列方程组： (1)； (2)． 17．（本题9分）已知关于的方程组． (1)若，求方程组的解． (2)试用含的式子表示方程组的解． (3)若方程组的解也是方程的解，求的值． 18．（本题9分）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车店计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，购进2辆A型新能源汽车、3辆B型新能源汽车共需85万元；购进3辆A型新能源汽车、2辆B型新能源汽车共需90万元． (1)问A、B两种型号的新能源汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用180万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你设计出符合要求的购买方案． 19．（本题9分）如果方程组的解也是二元一次方程的解，求 20．（本题9分）某厂准备生产甲、乙两种商品共8万件销往“一带一路”沿线国家和地区．已知2件甲种商品与3件乙种商品的销售收入相同，3件甲种商品比2件乙种商品的销售收入多1500元． (1)甲种商品与乙种商品的销售单价各多少元？ (2)若甲、乙两种商品的销售总收入不低于5400万元，则至少销售甲种商品多少万件？ 21．（本题9分）某商店分两次购进A，B型两种台灯进行销售，两次购进的数量及费用如下表所示，由于物价上涨，第二次购进A，B型两种台灯时，两种台灯每台进价分别上涨，． 购进的台数 购进所需要的费用（元） A型 B型 第一次 10 20 3000 第二次 15 10 4500 (1)求第一次购进A，B型两种台灯每台进价分别是多少元？ (2)A，B型两种台灯销售单价不变，第一次购进的台灯全部售出后，获得的利润为2800元，第二次购进的台灯全部售出后，获得的利润为1800元． ①求A，B型两种台灯每台售价分别是多少元？ ②若按照第二次购进A，B型两种台灯的价格再购进一次，将再次购进的台灯全部售出后，要想使获得的利润为1000元，求有哪几种购进方案？ 22．（本题10分）阅读下面文字，然后回答问题． 给出定义：对于关于x，y的二元一次方程（其中），若将其y的系数b与常数c互换，得到的新方程称为原方程的“船山方程”，例如方程的“船山方程”为． (1)写出的“船山方程”______，以及它们组成的方程组的解为______； (2)若关于x，y的二元一次方程与其“船山方程”组成的方程组的解为，求； (3)若关于x，y的二元一次方程的系数满足，且与它的“船山方程”组成的方程组的解恰是关于x，y的二元一次方程的一个解，请直接写出代数式的值． 23．（本题10分）如图，甲、乙、丙三种无盖纸盒，分别由A，B，C纸板作侧面和底面组成，其中一个C纸板只可以分割成4个A纸板或2个B纸板．已知有13个丙种无盖纸盒和t张A纸板（t不大于3，且大于0），现在要求把全部丙种无盖纸盒拆成B，C纸板后，再把C纸板适当分割，最后重新组成甲、乙两种无盖纸盒．请设计组成甲、乙两种无盖纸盒数量和最多，且t的值最小的方案． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十章二元一次方程组综合测试卷 （时间：100分钟，总分：120分） 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）已知是二元一次方程，那么k的值为（    ） A．3 B．0 C．2 D．4 【答案】C 【分析】根据二元一次方程的定义进行求解即可． 【详解】解：∵方程是二元一次方程， ∴， ∴， 故选C． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程的定义，熟知二元一次方程的定义是解题的关键：含有两个未知数，且每个未知数的次数都为1（方程每一项的次数最高次都为1）的整式方程叫做二元一次方程． 2．（本题3分）如果方程组的解为，那么被“”“”遮住的两个数分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】由方程组的解为，得，然后解方程组即可． 【详解】解：∵方程组的解为， ∴， 解得：， ∴被“”“”遮住的两个数分别是，． 3．（本题3分）《九章算术》中记载一题目，译文如下，今有人合伙购物，每人出钱，会多钱；每人出钱，又会差钱，问人数、物价各是多少？设合伙人数为人，物价为钱，以下列出的方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设合伙人数为人，物价为钱， 每人出钱，会多钱，即所有人出的总钱数比物价多钱， ， 又每人出钱，又会差钱，即所有人出的总钱数比物价少钱， ， 因此可得方程组，选项符合题意． 4．（本题3分）解二元一次方程组时，通过下列步骤能消去未知数x的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】要消去未知数，需使两个方程中的系数相等或互为相反数，再通过加减运算消去． 【详解】解：∵方程①中的系数为，方程②中的系数为， ∴将②后，②中的系数变为，与①中的系数相等， ∴用①减去②，即可消去未知数，对应操作就是． 观察四个选项，选项D符合题意． 5．（本题3分）用加减消元法解二元一次方程组时，有如下四种解法，甲：；乙：；丙：；丁：．其中不能完成“消元”的是（    ） A．只有甲 B．甲和丙 C．甲和丁 D．乙和丁 【答案】B 【分析】依次计算四种做法，判断是否消去一个未知数即可得到结果． 【详解】解：得，即， 没有消去未知数，不能完成消元； 得，即，消去了y，能完成消元； 得，即，没有消去未知数，不能完成消元； 得，即，消去了x，能完成消元； ∴不能完成“消元”的是甲和丙 6．（本题3分）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺．问木长多少尺﹖若设木长尺，绳长尺，依据题意可列方程组是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据实际问题列二元一次方程组，只需根据题意找出两个等量关系，即可列出方程组得到答案． 【详解】解：设木长尺，绳长尺． ∵用绳子量长木，绳子还剩余尺， ∴绳长减去木长等于，即 ， ∵将绳子对折再量长木，长木还剩余尺，即对折后的绳长比木长短尺， ∴对折后的绳长等于木长减去，即 ， 因此可得方程组． 7．（本题3分）对有理数x、y定义新运算：，其中a，b都是常数．若，，则a，b的值分别是（    ） A．1，2 B．2，1 C．2，2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了解二元一次方程组． 根据新定义得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可求出a、b的值． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， 即， 解得：． 故选：C． 8．（本题3分）已知和是方程的两个解，则的值（   ） A．30 B．0 C．5 D．6 【答案】D 【分析】把x、y的值代入，得出关于m、n的方程组，即可求解． 【详解】解：∵和是方程的两个解， ∴ ，得， ∴ 9．（本题3分）若关于x、y的方程组和有相同的解，则的值为（ ） A．0 B． C．1 D．2021 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组的同解问题． 利用不含参的两个方程联立方程组求解，再代入含参方程列二元一次方程组后两式相加即可． 【详解】解：由题可列方程组， 解得， 把代入得， ①+②得， ， ． 故选：B． 10．（本题3分）图中有条直线，请将1至这个数分别填在个圆圈里，使每一条直线上所有数的和相等．标有“★”的圆圈中所填的数是（    ） A．2 B．5 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据图片可列二元一次方程组，求解可得，，设标有★的圆圈中所填的数是，利用每条线上的数之和是标出其他圆圈中的数，根据和，求解后，分成三种情况讨论即可． 【详解】解：如图，设最下面圆圈中的数字为，每一条线上所有数字的和为， ∵属于条直线， ∴把这五条直线上的数相加，有， 整理可得①， 再把上图四条线上的数相加，有， 整理可得②， 联立方程①②，可得，解得， 设标有★的圆圈中所填的数是，利用每条线上的数之和是标出其他圆圈中的数，如图： ∵， ∴，即至多为， ∵， ∴，即至少为， 若，则出现两个，不符合题意； 若，则和都为，也不符合题意； 当时，圆圈中个各数字如下图所示， 符合题意． 故选：C． 二、填空题（共15分） 11．（本题3分）已知，则用含x的式子表示y为______ ． 【答案】 【详解】解：由得，①， 把①代入中得，． 12．（本题3分）若是关于x、y的二元一次方程的一个解，则a的值为____． 【答案】1 【分析】将代入二元一次方程求解即可． 【详解】解：是关于x、y的二元一次方程的一个解， ， ． 13．（本题3分）关于、的方程组的解满足的一个解，则________． 【答案】4 【分析】本题考查了二元一次方程组解的定义，解二元一次方程组的基本方法，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先将方程组两式相加，化简得到，根据已知条件得到关于的方程，解之即可． 【详解】解： ①②，得， 即， ， ， ． 故答案为：4． 14．（本题3分）甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为，．如图，将甲纸条的与乙纸条的叠合在一起，形成长为81的纸条，则__________． 【答案】 【分析】根据题意列出二元一次方程组，求出，的值即可得到答案． 【详解】解：， 解得， ． 15．（本题3分）已知方程组的解，的绝对值相等，则的值为__________． 【答案】或 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握方程组解的关系是解题的关键．方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值． 将方程组两式相加，得，根据，的绝对值相等，分两种情况，当时，，得到；当时，，得到，分别解之即可． 【详解】解：∵， ∴①②，得， ∴， ∵， ∴， 当时，， ∴， 解得， 当时，， ∴， 解得． 故答案为：或． 三、解答题（共75分） 16．（本题10分）解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是解二元一次方程组，掌握加减消元法和代入消元法是解题关键． （1）利用代入消元法直接求解即可； （2）利用加减消元法直接求解即可． 【详解】（1）解：， 把②代入①，得：， 解得：， 把代入②，得， ∴方程组的解为； （2）解：， 由，得：， 由，得：， 解得：， 把代入②，得， 解得：， ∴方程组的解为． 17．（本题9分）已知关于的方程组． (1)若，求方程组的解． (2)试用含的式子表示方程组的解． (3)若方程组的解也是方程的解，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将代入方程组，解出x，y值即可； （2）将当做常数，采用加减消元法即可求解； （3）将（2）中含的结果代入二元一次方程中，解方程即可求解． 【详解】（1）解：当时，， 解得：； （2）， 得， 解得：，代入中， 解得：， ∴方程组的解为：； （3）将代入到中， 有， 解得． 即的值为． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组以及根据求解二元一次方程中参数的值的知识，掌握加减消元法是解答本题的关键． 18．（本题9分）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车店计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，购进2辆A型新能源汽车、3辆B型新能源汽车共需85万元；购进3辆A型新能源汽车、2辆B型新能源汽车共需90万元． (1)问A、B两种型号的新能源汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用180万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你设计出符合要求的购买方案． 【答案】(1)A、B两种型号的新能源汽车每辆进价分别为20万元和15万元 (2)共有两种购买方案：方案一：购买A型新能源汽车3辆，B型新能源汽车8辆；方案二：购买A型新能源汽车6辆，B型新能源汽车4辆 【分析】（1）设A型号的新能源汽车每辆进价为万元，B型号的新能源汽车每辆进价为万元，根据题意列出方程组即可求解； （2）设购买A型号的新能源汽车辆，B型号的新能源汽车辆，根据题意列出二元一次方程，再由，为正整数，即可求解． 【详解】（1）解：设A型号的新能源汽车每辆进价为万元，B型号的新能源汽车每辆进价为万元， 由题意得：， 解得． 答：A、B两种型号的新能源汽车每辆进价分别为20万元和15万元． （2）解：设购买A型号的新能源汽车辆，B型号的新能源汽车辆， 由题意得，且，为正整数， ∴， ∴当时，， 当时，， ∴该店共有2种购买方案： 方案一：购买A型新能源汽车3辆，B型新能源汽车8辆； 方案二：购买A型新能源汽车6辆，B型新能源汽车4辆． 19．（本题9分）如果方程组的解也是二元一次方程的解，求 【答案】 【分析】先求出方程组的解，再代入二元一次方程计算即可． 【详解】解：∵方程组的解也是二元一次方程的解， ∴方程组的解也是二元一次方程的解， 由①②得：，解得， 将代入②得：，解得， 将代入方程得：， 解得． 20．（本题9分）某厂准备生产甲、乙两种商品共8万件销往“一带一路”沿线国家和地区．已知2件甲种商品与3件乙种商品的销售收入相同，3件甲种商品比2件乙种商品的销售收入多1500元． (1)甲种商品与乙种商品的销售单价各多少元？ (2)若甲、乙两种商品的销售总收入不低于5400万元，则至少销售甲种商品多少万件？ 【答案】(1)900元，600元 (2)2万件 【分析】本题考查一元一次不等式及二元一次方程组的应用，解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式及所求量的等量关系． （1）可设甲种商品的销售单价x元，乙种商品的销售单价y元，根据等量关系：①2件甲种商品与3件乙种商品的销售额相同，②3件甲种商品比2件乙种商品的销售额多1500元，列出方程组求解即可； （2）可设销售甲种商品a万件，根据甲、乙两种商品的销售总额不低于5400万元，列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设甲种商品的销售单价是x元，乙种商品的单价为y元． 根据题意得：， 解得：， 答：甲种商品的销售单价是900元，乙种商品的单价为600元． （2）设销售甲产品万件，则销售乙产品万件． 根据题意得：． 解得：． 答：至少销售甲产品万件． 21．（本题9分）某商店分两次购进A，B型两种台灯进行销售，两次购进的数量及费用如下表所示，由于物价上涨，第二次购进A，B型两种台灯时，两种台灯每台进价分别上涨，． 购进的台数 购进所需要的费用（元） A型 B型 第一次 10 20 3000 第二次 15 10 4500 (1)求第一次购进A，B型两种台灯每台进价分别是多少元？ (2)A，B型两种台灯销售单价不变，第一次购进的台灯全部售出后，获得的利润为2800元，第二次购进的台灯全部售出后，获得的利润为1800元． ①求A，B型两种台灯每台售价分别是多少元？ ②若按照第二次购进A，B型两种台灯的价格再购进一次，将再次购进的台灯全部售出后，要想使获得的利润为1000元，求有哪几种购进方案？ 【答案】(1)第一次购进A型台灯每台进价为200元，B型台灯每台进价为50元 (2)①A型台灯每台售价为340元，B型台灯每台售价为120元；②有4种购进方案：①购进A型台灯2台，B型台灯14台；②购进A型台灯5台，B型台灯10台；③购进A型台灯8台，B型台灯6台；④购进A型台灯11台，B型台灯2台 【分析】（1）根据等量关系式：第一次购买台A型台灯的费用第一次购买台B型台灯的费用元，第二次购买台A型台灯的费用第二次购买台B型台灯的费用元，列出方程组，接可求解； （2）①根据等量关系式：第一次的台A型台灯的利润第一次的台B型台灯的利润元，第二次的台A型台灯的利润第二次购买台B型台灯的利润元，列出方程组，接可求解； ②设再购进A型台灯a台，B型台灯台，由按第二次购买的价格购买，a台A型台灯售出获得利润 台B型台灯售出获得利润元，列方程即可求解． 【详解】（1）解：设第一次购进A型台灯每台进价为x元，B型台灯每台进价为y元， 由题意得：， 解得：， 答：第一次购进A型台灯每台进价为200元，B型台灯每台进价为50元． （2）解：①设A型台灯每台售价为m元，B型台灯每台售价为n元， 由题意得：， 解得，， 答：A型台灯每台售价为340元，B型台灯每台售价为120元； ②第二次购进的A型台灯的价格为：（元），B型台灯的价格为：（元）， 设购进A型台灯a台，B型台灯台， 由题意得：， 整理得：， ∴ a、b为自然数， 或或或， 有4种购进方案： ①购进A型台灯2台，B型台灯14台；②购进A型台灯5台，B型台灯10台；③购进A型台灯8台，B型台灯6台；④购进A型台灯11台，B型台灯2台． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找出等量关系式，正确列出方程（组）是解题的关键． 22．（本题10分）阅读下面文字，然后回答问题． 给出定义：对于关于x，y的二元一次方程（其中），若将其y的系数b与常数c互换，得到的新方程称为原方程的“船山方程”，例如方程的“船山方程”为． (1)写出的“船山方程”______，以及它们组成的方程组的解为______； (2)若关于x，y的二元一次方程与其“船山方程”组成的方程组的解为，求； (3)若关于x，y的二元一次方程的系数满足，且与它的“船山方程”组成的方程组的解恰是关于x，y的二元一次方程的一个解，请直接写出代数式的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据“船山方程”的定义可得方程，联立方程组求解即可； （2）根据“船山方程”的定义可得方程，联立方程组求解即可； （3）根据题意，先联立方程组，求出x，y的值，代入方程得到，代入代数式化简求值即可． 【详解】（1）解：根据定义可得：的“船山方程”． 则； 由得： 则：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为； （2）解：由题意可知，的“船山方程”为：， 联立方程组得， 得：，即， ∵， ∴， ∵方程组的解为， ∴， 把，代入①得：， 解得：， ∴． （3）解：∵， ， ∵与其“船山方程”所组成的方程组为， 解得：， 将代入方程中，得， 即，， ∴ ． 23．（本题10分）如图，甲、乙、丙三种无盖纸盒，分别由A，B，C纸板作侧面和底面组成，其中一个C纸板只可以分割成4个A纸板或2个B纸板．已知有13个丙种无盖纸盒和t张A纸板（t不大于3，且大于0），现在要求把全部丙种无盖纸盒拆成B，C纸板后，再把C纸板适当分割，最后重新组成甲、乙两种无盖纸盒．请设计组成甲、乙两种无盖纸盒数量和最多，且t的值最小的方案． 【答案】设计方案为组成甲种无盖纸盒5个，乙种无盖纸盒14个． 【分析】由图可得，13个丙种无盖纸盒可以拆成52个B纸板和13个C纸板，设个C纸板分割为A纸板，个C纸板分割为B纸板，其中，则A纸板数量为个，B纸板数量为个；设最后重新组成甲种无盖纸盒个，乙种无盖纸盒个，根据题意列出关于的方程组，求出，再根据t的值分3种情况讨论，求出最大且t的值最小的情况即可解答． 【详解】解：由图可知，1个丙种无盖纸盒可以拆成4个B纸板和1个C纸板， ∴13个丙种无盖纸盒可以拆成52个B纸板和13个C纸板， 设个C纸板分割为A纸板，个C纸板分割为B纸板，其中， 则A纸板数量为个，B纸板数量为个； 由图可知，1个甲种无盖纸盒需要1个A纸板和4个B纸板，1个乙种无盖纸盒需要2个A纸板和3个B纸板， 设最后重新组成甲种无盖纸盒个，乙种无盖纸盒个， 则， 解得； ①当时，，， ∵都是整数，是整数， ∴和都是5的倍数， ∵， ∴或或， 当时，，，不符合题意，舍去； 当时，，，此时； 当时，，，不符合题意，舍去； ②当时，，， ∵都是整数，是整数， ∴是5的倍数， ∵， ∴或或， 当时，，，不符合题意，舍去； 当时，，，此时； 当时，，，不符合题意，舍去； ③当时，，， ∵都是整数，是整数， ∴和都是5的倍数， ∵， ∴或或， 当时，，，不符合题意，舍去； 当时，，，此时； 当时，，，不符合题意，舍去； ∴综上，甲、乙两种无盖纸盒数量和最多为19个， ∵， ∴组成甲种无盖纸盒5个，乙种无盖纸盒14个，此时甲、乙两种无盖纸盒数量和最多，且t的值最小． 所以设计方案为组成甲种无盖纸盒5个，乙种无盖纸盒14个． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $