河北张家口市2026届高三年级第二次模拟考试数学试卷

张家口市2026届高三年级第二次模拟考试 数学参考答案 命卷意图 本套试卷紧扣《教育部关于2026年普通高校招生工作的通知》改革要求，结合 2026届高三备考实际精准命制。试卷坚持依标据本，聚焦主干知识与核心主线，深化基 础性考查，落实“学一教一考”一体化要求，重点考查数学思维过程与品质，引导教学回 归学科本质，兼顾知识夯实与能力培育。 一、落实基础托底考查，筑牢学科知识根基 试卷狠抓基础知识托底考查，让核心基础知识、基本技能与方法落地见效。针对集 合、复数、统计等基础考点，采用直白简洁的考查形式，数据精简且考查力度到位，杜绝 偏题怪题。整卷知识结构稳定务实，全面覆盖必备知识，切实检验学生基础掌握的扎实 度，筑牢学科学习根基。 二、聚焦核心概念理解，深挖知识形成过程 试卷聚焦核心概念理解与知识形成过程，破除机械刷题弊端。第5题考查异名三角 函数图象变换，侧重参数影响的本质理解；第11题以分段函数与三角函数为载体，深挖 函数图象特征，渗透函数与方程思想；第16题依托教材习题，考查椭圆性质，拒绝二级 结论生搬硬套，倒逼学生吃透知识内涵，而非死记硬背、题型复刻。 三、强化知识关联融合，凸显学科综合素养 试卷强化知识关联融合，实现跨模块综合考查，凸显学科系统性。第17题融合解三 角形与平面向量，凸显向量的工具性作用，贴合教材与高考命题脉络；第18题第(2)问以 空间向量共面定理为核心，考查四点共面问题，跳出向量仅靠坐标运算的固化思维，引 导学生掌握向量双重属性，提升知识迁移与综合解题能力。 四、创新试题布局设计，破除固化教学误区 试卷创新布局设计，打破传统固化结构，规避教学误区，消除学生固定题型畏难弃 题心理，破解片面模块化训练短板。此举引导教学摒弃猜题押题，聚焦思维培养与素养 提升，回归数学育人核心。 题号 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A C D B D B AC BCD BCD 1.C 解析：由题可知，AUB={一2，一1,0,1,2,3,5}，故选C 2A解折：因为=s血+is-号+号，所以2：=1+则 =i=1,故选A 3.C解析：由a1十a2十a6=3a3=6,得a3=2,又a1十a5=2a3=4,所以log,(a1十a5)=2,故选C. 高三数学答案第1页（共8页） 4D解析：易得圆锥的高为√2一了-5，则圆锥的体积为3xX1×,5- 3π，圆柱的体积为πX12X2= 2,所以圆柱与圆锥的体积之比为2π=23，故选D. 5.B解析：由题可知y=sin2x=cos(?-2x)=cos(2x-）=cs2(x一)又y=cos(2x-S） a6-晋】所以g=至-吾-故选R 6D解析：依题意g-士-25，所以P25<长)-号易-易故法D 2B解析：E的渐近线为y=士，联立，=士1 可得=21，不妨设A2h,2p,B(2p,-2p,又 y2=2x y=士2p. △10B的面积为16.则号×2pX4=16解得p=2,联立红 “x2-y2=1, 整理得x2-4x-1=0,解得x= 2+5或x=2-5(舍去)，所以y2=4x=8+45,x2=9+4V5,所以|OP|2=x2+y2=17+85,故 选B. 8.C解析：如图，连接BC,BD,BE,C,E,C,D,易得BD⊥平面ACCA1,C1E⊥平面ABB1A1,所以 BD⊥C,D,C,E⊥BE,即△BC,D和△BC,E均为直角三角形，所以BC,即为球O的直径，其长为2R= √4+(23)=2√7，所以R=√7.过点O作OM⊥B,C,于点M,则OM=3.球O与上底面的交线即为 以M为圆心，半径为√/(W7)2一(W3)2=2的圆弧，又底面△A,B,C,的边长为4，则交线为以M为圆心， 圆心角为管，半径为2的圆弧，长度为号×2-行放选C M 9.AC解析：因为y:=2x:+1,则A=2a十1，B=2b十1，C=2c+1,D=2d,E=2e,所以A选项正确，B选 项不正确，C选项正确，D选项不正确.故选AC 10.XcD解析：圆C的方程可化为(c”2)'++m)- 4,m≠0.对于A选项，圆心C的坐标为 (”,-m),则圆心C的轨迹方程为2x一y一2=0（除去点(1,0）)，所以A选项不正确：对于B选项， 圆C的方程可化为x2+y2+(x十2y-1)m-2x十1=0，令 x+2y-1=0, 。解得=1 所以圆C x2+y2-2x+1=0,y=0, 过定点(1,0)，所以B选项正确；对于C选项，PA·PC=PA·(PA十AC)=|PA2,当m=2时，x2十 (+2)=5,圆心C(0,-2),半径r=5,圆心C(0,-2)到直线2x+y-8=0的距离d=19=25,所 √5 高三数学答案第2页（共8页） 以PA|=d2-r2=15,所以C选项正确；对于D选项，S四边形PAC=|PA|·|AC=5|PA≥√5× √15=5√3，所以D选项正确.故选BCD. 1.BCD解折：当号<≤受时，一受<-元≤受，f-)=0sx-x=-sx,所以f)= 2 -3cos:当7<<受时，登x-经f-m=-30osc一x0-3aos,所以f）-90osx,则 函数f(x)的图象如下： 0 -受0音要2m婆 对于A选项，f(π)=3，所以A选项不正确；对于B选项，函数f(x)的值域为[0,9]，所以B选项正确； 对于C选项，当∫(x)=3时，不妨设x1<x2<x3,则x1=元，x2十x3=4元，所以x1十x2十x=5π，所以C 选项正确：对于D选项，令f(x)=t∈[0,9]，则t2一at十1=0，△=a2一4.当a<2时，易知原方程无解； 当a=2时，易得1=1，由图可知原方程有5个不等的根：当2<a≤号时，方程F-a十1=0有两个不同 的正实根t1,t2,且t1·t2=1,不妨设0<t1<1<12,由图可知，当1<t2<3时，原方程有10个不等的根， 当2=3时，原方程有9个不等的根，当3<12<9时，原方程有8个不等的根，当12=9时，原方程有7个 不等的根：当a>号时，方程-a十1=0有且仅有1个正实根，且0<1<1，由图可知，此时原方程有 6个不等的根，所以D选项正确.故选BCD. 12.-解桥：(-2)=-2×(1+)+1=（分）=-(-）=1 13.1解析：易知曲线y=l(2x)在点()，0)处的切线为y=2x-1.设直线y=2x-1与曲线y=e1十 x一a相切的切点为(xoyo)y'=e1十1，则有e0十1=2，解得.x=1,y,=1,于是y。=e-1十x。一 a=1+1-a=1,解得a=1. 14. 解析：记事件M=“任取一件电池检测不达标”，A=“电池是从甲厂取出的”，B=“电池是从乙厂取 出的依题意可知，P(A)=P(B),PMA)=品，PaMB)=品由全概率公式.得PM)= 2,1 3 7 PAP (MIA+P (B)P M B)三2Xo0,X2o04则PBMD三P= 3×1 PMB)·P(B)_2002=3 P(M) 7 400 15.解：1)依题意可知，a1=6,=24:=2(a,十2X号)，解得a1=6=1, …3分 所以a.=1+号a-1D=号m+1D6,=6,(兮)》 ………5分 高三数学答案第3页（共8页） (2②)1)可知，2a,么，=0a+1D‘2,则 1 S。=2X16+3X8+4X4+…+(n-1)×207十n×20十(n+1)X2’…7分 25.=2X8+3X4+4X2+十(n-1DX2十nX2十(m+10X2点…9分 两或作装得行8=2+®+4++是）-6n+10X 81-2) =32+ -(m十1)X2 =48-2+m+1 2-4 48n十3 2n-4, …………………12分 所以S,=96一 20-5 …13分 16.解：(1)由题易知a=2,… …1分 +=1, 4b21 联立 得(b2十1)x2十4√2x十8-4b2=0,…3分 1 p=2x+2, 令△=0，得b=1, …4分 所以C的方程为号+y=1. ……5分 (2)证明：当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx十1，A(x1y1),B(x2,y2),…6分 联立 y=kx+t,得(42+1)x2+8x十412-4=0，△>0， x2+4y2=4, 8kL x1十x2= 4k2+1' 则 …8分 412-4 x1x2=4k2+1 y:=x+)kr+)=x十红c,十2)+=6+ 42+1 …9分 因为以AB为直径的圆经过点(2,0)，则(x1一2)(x2一2)十y1y2=0, pz12-2z,十x2》十4十yy212k2十16k+510,…10 4k2+1 则12k2+16kt+512=(2k十1)(6k十51)=0，即2k十t=0或6k十51=0.…11分 当1=一2k时，直线AB的方程为y=kx一2k=k(x-2),此时直线AB过定点(2,0)，舍去； 当1=-号k时，直线AB的方程为y=kx一号k=(),此时直线AB过定点（停0 ，…13分 当直线AB的针争不存在时，直线方程为x=号此时A,B两点为（停，）（停，》），以AB为立经 高三数学答案第4页（共8页） 的圆的方程为(-号》十y2是点2.0在该圈上 …………14分 综上所述，直线AB过定点（停0. …15分 17.证明：(1)方法一：由余弦定理得a2=b2十c2-2 bccos A,b2=a2十c2-2 accos B,…1分 所以a2-b2=b2-a2-2 bc cos A十2 accos B, 即a2-b2=C(ac0SB-bc0sA).…3分 两边同乘c,得(a2-b2)c=c2(acos B-bcos A), 由正弦定理可得(a2-b2)sinC=c2(sin Acos B-sin Bcos A),…5分 所以(a2-b2)sin(A十B)=c2sin(A-B).…7分 方法二：由正弦定理可知，要证(a2-b2)sin(A十B)=c2sin(A-B), 只需证(sin2A-sin2B)sin(A+B)=sin2Csin(A-B),…2分 又因为sinA-sinB=(sinA+sinB)(sinA-sinB)= 2sinA十BA-B.2 cos AB sinA=9inA+B)sin(A-B,…5分 2 2 所以(sin2A-sin2B)sin(A十B)=sin2(A十B)sin(A-B)=sin2Csin(A-B),得证..7分 (2)方法一：当点D,E都位于点A时，0=0，等式显然成立.…9分 当点D,E不同时位于点A时， DE.BA=DE.(BC十CA)=DE.BC+DE.CA,…10分 DE.BC=|DE|BC|cos(B-0)=a|DE1cos(B-0),…11分 DE.CA=|DE1|CA|c0s(A+0)=b|DE|cos(A十0)，…12分 DE.BA=|DE|BA|cos0=c|DE|cos0,…l3分 所以c|DE|cos0=a|D21cos(B-0)十b|DE|cos(A十0)，又|DE|≠0，…14分 即cC0s0=aC0s(B-0)十bc0s(A十0).…15分 方法二：展开等式右边， a cos(B-0)+bcos(A+0)=a(cos Bcos 0++sin Bsin 0)+b(cos Acos 0-sin Asin 0)= cos e(acos B+6Cos A)+sin e(asin B-bsin A),................................................10 易知a cos B十bcos A=c,又由正弦定理可知，a sin B-bsin A=0,…12分 所以cos0(acos B十bcos A)+sin0(asin B-bsin A)=ccos0,…14分 即cC0s0=ac0s(B-0)十bc0s(A十0).…15分 18.解：(1)证明：设AC∩BD=O,则在正四棱锥P-ABCD中，PO⊥平面ABCD.…1分 因为M,N分别为棱PA,PC的中点，则MNAC, AC⊥BD,AC⊥PO,BD∩PO=O, 所以AC⊥平面PBD,MN⊥平面PBD,…3分 又DQ平面PBD,所以MN⊥DQ.…4分 (2)(i)由题可知，DQ=λDB十(1-λ)DP,入∈(0,1).…5分 因为M,N分别为棱PA,PC的中点，所以Di=Di+D时)，DN=2(D心C+D驴)， DQ=λ(DA+DC)+(1-A)DP …6分 又因为D,M,Q,N四点共面，则有DQ=mDM+nD, 于是可得AD+D心)+1-AD-受Di+号心+”士”D, 高三数学答案第5页（共8页） λ= 2 可得A=分， …9分 1-入=m十n 2 年得1= …… …10分 (i)因为AB=√2，PA与底面所成角的正切值为2， 所以ian∠PA0=PO-P0=PO =2,所以P0=2. …11分 M A 如图，以O为坐标原点，OA,OB,OP所在直线分别为x,y,之轴建立空间直角坐标系，则B(0,1,0), P00,2)M(20,1N(-90,1, BM=(（分，-1,1小，M=(-10,0,pi=(号，0，-1小，P馆=0,1，-2》，M减=P-pi= A@1.2》(侵0.-)-(-a1-2)=(←35》 …13分 设平面BMN的法向量为u=(x,y,之)， 则 du=-y十=0 =0,不妨令y=1,则之=1， MN·u=-x=0, 所以平面BMN的一个法向量为山=(0,1,1).…14分 设平面QMN的法向量为v=(m,n,t), 则 威=w百+日=0 m=0,不妨令t=1,则n=-1, Md.v=-m=0, 所以平面QMN的一个法向量为v=(0,-1,1).…15分 u·v 设平面BMN与平面QMN的夹角为0，则cos0=u·m=0, 所以平面BMN与平面QMN夹角的余弦值为0.…17分 19.解：(1)函数f(x)的定义域为(0，十∞)， 不等式f(x)≥0，即x十(x-2)lnx≥-a. …1分 令g(x)=x十(x-2)lnx,x∈(0，+∞)， 高三数学答案第6页（共8页） 则g'（(x）=1十lnL十1-2，x∈(0，十0)），2分 AC)元+≥0在区间0，+∞)上恒成立，所以函教g()在区间(0，十©)上单调递增 又g(1)=0,所以当x∈(0,1)时，g(x)<0,函数g(x)在区间(0,1)上单调递减；当x∈(1，十∞)时， g’(x)>0,函数g(x)在区间(1，十0∞)上单调递增，…4分 所以函数g(x)在x=1处取得最小值g(1)=1,所以一a≤1，解得a≥-1.…5分 (2)证明：(i)当a=-1时，f(x)=x一1十(x-2)lnx,由(1)可知，x-1+(x-2)lnx≥0在区间 (0,+∞)上位成立，当x∈(0,2)时，不等式x-1十(x-2)1nx≥0可化为nx≤1 2-x ，当且仅当x= 时等号成立。…7分 n ◆则有血产 1 n+1 2-n n+2' …9分 +1 n、1 可得-mn十1m十2印 n+2 ln”+1 10分 +++士 2 所以 31 3十4 n+2h2…+h沿h”ann+D n 即S,w<ln(n十1).…1门分 (i)不妨令x1<x2,由(1)可知，函数f(x)在区间(0,1)上单调递减，在区间(1，十∞)上单调递增，则有 0<x1<1<x2. 当x2≥2时，则x1十x2>2恒成立； 当1<x2<2时，02-x2<1, 由f(x1)-f(2-x2)=f(x2)-f(2-x2) =x2-1+(x2-2)lnx2-[(2-x2-1)+(2-x2-2)ln(2-x2] =2.x2-2+(x2-2)lnx2十x2ln(2-x2).…13分 令h(x)=2x-2+(x-2)lnx+xln(2-x),l≤x<2, x=2+n+2+hg-)+2-2+1a2x-)）-=-2月 x 风为1<2，所以2号2产层·克=2，含且仅当=1时学号成立 x 又2x-x2=-(x-1)2+1,所以2x-x2∈(0,1]，所以ln(2x-x2)≤0， 所以h(x)≤0在区间[1,2)上恒成立，即函数h(x)在区间[1,2)上单调递减.…15分 又h(1)=0,所以h(x)≤h(1)=0,即f(x1)-f(2-x2)=f(x2)-f(2-x2)<0, f(x1)<f(2-x2),又函数∫(x)在区间(0,1)上单调递减， 则有x1>2-x2,即x1十x2>2. 综上所述，x1十x2>2.…17分 高三数学答案第7页（共8页） 编写细目表 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ.推理论证能力Ⅲ.运算求解能力 Ⅳ，空间想象能力 V.数据处理能力Ⅵ.应用意识和创新意识 2.核心素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模④直观想象⑤数学运算⑥数据分析 能力要求 核心素养 题号 题型 分值 知识点 难度 ⅡⅢ NVM① ② ③④⑤⑥ 1 选择题 5分 集合的基本运算 易 2 选择题 5分 复数的基本运算 易 3 选择题 5分 等差数列基本运算、性质 易 4 选择题 5分 圆柱、圆锥的体积 易 5 选择题 5分 三角恒等变换、函数图象平移 L 中 6 选择题 5分 正态分布 中 7 选择题 5分 双曲线与抛物线的综合 中 8 选择题5分 棱柱与球的综合 难 9 选择题 6分 样本数字特征 易 10 选择题 6分 直线与圆的位置关系 中 11 选择题 6分 三角函数、分段函数 难 12 填空题 5分 函数的奇偶性应用 易 13 填空题 5分 导数的几何意义 易 14 填空题 5分 全概率公式与贝叶斯公式 / 中 15 解答题 13分 等差数列、等比数列、数列的求和 易 16 解答题15分 直线与椭圆的位置关系 中 17 解答题 15分 解三角形、三角恒等变换 分 18 解答题17分 空间向量应用 中 19 解答题17分 导数应用、函数不等式恒成立 难 高三数学答案第8页（共8页）绝密★启用前 张家口市2026届高三年级第二次模拟考试 数学试卷 班级 姓名 注意事项： 1.答卷前.考生务必将自己的学校、班级、姓名及考号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试 卷上无效 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 1.设集合A=(-1,0,1,2,3},B={一2,0,1,2,3,5}，则AUB= A.{0,1,2,3} B.{-1,0,1,2,3) C.{-2,-1,0,1,2,3,5} D.{-2,0,2,3,5} 2已知复数=血若+is，则2 A.1 B.√2 C.√3 D.2 3.在等差数列{an)中，若a1十a2十a6=6,则loga,(a1十a5)= A.4 B.3 C.2 D.1 4.圆柱与圆锥的底面半径均为1，母线长均为2，则圆柱与圆锥的体积之比为 吗 B26 3 C.3 D.23 5.将函数y=0s(2x一）的图象向右平移p(g>0)个单位长度后得到函数y=sin2x的图象， 则p的最小值为 A Biz c n音 6.已知某种树苗在一个生长周期内生长的高度为随机变量，且N,)者P(G<5)一动 P(≤46)-8则P25≤≤45) 9 A.10 B.5 4 c贵 9 D.20 高三数学第1页（共4页） ▣减 。夸克扫描王 极速扫描，就是高效 ▣ 7.已知抛物线C:)2=2x(p>0)与双曲线E:x2-y2=2的渐近线的交点分别为O,A,B,其 中O为坐标原点，若△AOB的面积为16，P为C与E在第一象限内的一个公共点，则 1OP|2= A.15+65 B.17+85 C.17+6√5 D.15+8√5 8.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为4，高为2√3，D,E分别为AC,A1B1的中点，球 面O经过D,E,B,C1四点，则球面O与该正三棱柱的上底面交线的长度为 A B受 c晋 n受 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知一组数据x1,x2,…,xg的平均数、中位数、众数、极差、标准差分别为a,b,c,d,e.设y:= 2x:十1(=1,2，…，9)，记新数据y1,y2,…,yg的平均数、中位数、众数、极差、标准差分别为 A,B,C,D,E,则 A.A=2a+1,B=2b+1 B.A=2a,C=c C.D=2d,E=2e D.D=2d+1,E=4e 10.已知圆C:x2+y2+(m-2)x+2my+1-m=0,P为直线2x十y一8=0上一动点，PA,PB 为圆C的切线，切点分别为A,B,则 A圆心C的轨迹方程为2x一y一2=0 B.圆C过定点(1,0) C.当m=2时，PA·PC的最小值为15 D.当m=2时，四边形PACB面积的最小值为5√5 os,-吾≤x≤经， 11.已知函数f(x) 则 3fz-,<a<经， 5元 A.f(π)=0 B.函数f(x)的值域为[0,9] C.方程f(x)=3有且仅有3个根x1,x2,x3,且x1十x2十x3=5π D.方程[f(x)]2一af(x)十1=0的根的个数可能是0,5,6,7,8,9,10 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知函数fx)是定义域为R的奇函数，当x∈(-1,0)时，f)=x1一x)+1,则f(号） l3.已知曲线y=ln(2x)在点（兮，0）处的切线也是曲线y=e1+x一a的切线，则a= 高三数学第2页（共4页） ▣减▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 14.某新能源汽车公司的电池由甲、乙两个厂家独立供货，汽车装配电池前，公司要对两个厂家所 供电池进行严格检测，从甲厂家供货的100件电池中检测出不达标的有2件，从乙厂家供货 的200件电池中检测出不达标的有3件.现从两个厂家等可能随机挑选一家，从所供货的电 池中随机选择一件，检测结果不达标，则该件电池来自乙厂家的概率为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本小题满分13分) 已知等差数列a,)的公差和等比数列6，)的公比均为分01=ba,=0。 (1)求数列(a.}和(b.〉的通项公式； (2)求数列(2as·b.)的前n项和Sn. 16.(本小题满分15分) 已知椭圆C: +元=1a>6>0)的长轴长为4，且与直线y=2x+巨相切，A,B为C上 不在坐标轴上的不同两点. (1)求C的方程； (2)若以AB为直径的圆经过点(2,0)，证明：直线AB过定点. 17.(本小题满分15分) 在△ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，D,E分别为边AB,AC上的动点，记0为 BD与DE的夹角. (1)证明：(a2-b2)sin(A十B)=c2sin(A-B); (2)证明：ccos0=acos(B一0)+bcos(A十0)， 高三数学第3页（共4页） Q。夸克扫描王 极速扫描，就是高效 18.(本小题满分17分) 如图，在正四棱锥P-ABCD中，M,N分别为棱PA,PC的中点，点Q满足P戒=λPB, λ∈(0,1). (1)证明：MN⊥DQ, (2)已知D,M,Q,N四点共面. (i)求入的值； (i)若AB=√2，PA与底面所成角的正切值为2，求平面BMN与平面QMN夹角的余 弦值. M D 19.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=x十a十(x-2)lnx. (1)若f(x)≥0，求实数a的取值范围. (2)已知a=-1. 设数列n十2}的前a项和为S,证明S.na十1D: (i)若3x1,x2∈R,且x1≠x2,f(x1)=f(x2),证明：x1十x2>2. Q夸克扫描王 ▣▣ 极速扫描，就是高效