精品解析：河北省张家口市2025届高三全市第二次模拟考试（张家口二模）数学试题

2025届高三年级全市第二次模拟考试 数学试题 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 在某次高三模拟考试后，数学老师随机抽取了6名同学第一个解答题的得分情况如下：7，9，5，8，4，1，则这组数据的平均数和极差分别为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知复数z满足，则z在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 的展开式中项的系数为（ ） A. B. C. D. 6. 商品价格与销量之间往往存在某种关系，以下是某商品价格x（单位：元）与销量y（单位：万件）的调研数据： 商品价格x/（元） 10 15 20 25 30 销量y/（万件） 54 46 40 36 32 则下面四个回归方程中最适宜作为销量y与价格x的回归方程的是（ ）（参考数据，，） A. B. C. D. 7. 已知正三棱柱的表面积为，则当其体积取得最大值时，该三棱柱的高为（ ） A. 3 B. C. D. 8. 在锐角三角形PMN中， ， ，垂足为Q，，则点P的轨迹为（ ） A. 长轴长为2，离心率为的椭圆的一部分 B. 长轴长为，离心率为的椭圆的一部分 C. 实轴长为2，离心率为的双曲线的一部分 D. 实轴长为，离心率为的双曲线的一部分 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，则（ ） A. 是的充要条件 B. 是与的夹角为锐角的必要不充分条件 C. 是的充要条件 D. 是的充要条件 10. 已知函数 的定义域为R，当 时，，且对于任意的，都有，则（ ） A. B. 为偶函数 C. 当时， D. 当时， 11. 在直角中，，D为线段上一点，则（ ） A. 若，，D是的内切圆在上的切点，则 B. 若，则存在直角，使得是 ，的等比中项 C. 若 ，则存在直角，使得是 ，的等比中项 D. 若 ，则存在直角，使得是 ，的等比中项 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知点为抛物线上一点，为的焦点，则________. 13. 已知数列 不是递增数列，且，则k的取值范围为________. 14. 已知关于的方程有两个不等实根，则的取值范围是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，圆. （1）若 两条相邻的对称轴与C相切，求； （2）若，是的极值点，且点有且仅有两个在C的内部，求 的取值范围. 16. 已知函数，. （1）当 时，求曲线在点处的切线方程； （2）探究 是否为 的极大值点. 17. 乒乓球比赛规则规定：在双方打成10平后，领先两分者获胜.在某校组织的乒乓球比赛中，甲、乙两名同学已经打成了10平.已知下一球乙同学得分的概率为，且对以后的每一球，若乙同学在本球中得分，则他在下一球的得分概率为，若乙同学在本球中未得分，则他在下一球的得分概率为. （1）求在继续打了两个球后比赛结束的条件下，乙同学获胜的概率； （2）求乙同学最终获胜的概率. 18. 如图，四棱锥的各个顶点均在球O的表面上，且 ， ， 平面. （1）证明：平面 平面； （2）求四棱锥体积的最大值； （3）当时，求直线 与平面所成角的正弦值的最小值. 19. 现定义：对于实数，若，则称是和的加比中项；若、则称是和的减比中项．已知数列满足， ，且存在正数，使是和的加比中项与减比中项． （1）若是与的等比中项，求； （2）数列满足， ，且满足是和的减比中项．记数列的前项和为． （i）求证：是和的减比中项； （ii）当 时，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届高三年级全市第二次模拟考试 数学试题 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由绝对值不等式的求解及交集运算可得结果. 【详解】因为，故. 故选：D. 2. 在某次高三模拟考试后，数学老师随机抽取了6名同学第一个解答题的得分情况如下：7，9，5，8，4，1，则这组数据的平均数和极差分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平均数，极差的定义求解. 【详解】根据题意，这组数据的平均数，极差为. 故选：A. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由同角的三角函数关系式，将原式化简为关于 的式子，然后将已知代入求解即可. 【详解】由题意可得，则. 故选：D. 4. 已知复数z满足，则z在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】先设出复数 的代数形式，再根据共轭复数的定义求出，然后将 与代入已知等式，根据复数相等的条件求出 的实部与虚部，最后确定 在复平面内所对应的点所在的象限． 【详解】设，其中，根据共轭复数的定义可知．  将，代入可得： 根据平方差公式，可得，则上式可化为：  因为等式两边的复数相等，根据复数相等的条件，可得方程组． 由，解得 ．  将 代入，可得，解得， 由， ，可得 ，在复平面内，复数 所对应的点的坐标为，所以该点位于第一象限．  故选：A． 5. 的展开式中项的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二项式定理的通项公式求解即可. 【详解】展开式的通项公式为， 令，得 ， 所以展开式中项的系数为. 故选：C. 6. 商品价格与销量之间往往存在某种关系，以下是某商品价格x（单位：元）与销量y（单位：万件）的调研数据： 商品价格x/（元） 10 15 20 25 30 销量y/（万件） 54 46 40 36 32 则下面四个回归方程中最适宜作为销量y与价格x的回归方程的是（ ）（参考数据，，） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别取代入相应方程计算的估计值与实际值比较，得出答案. 【详解】对于A，分别代入，可得，与实际值相差较大，不合题意 ，故A错误； 对于B，分别代入，可得，第五组数据与实际值相差较大，不合题意 ，故B错误； 对于C，分别代入，求得的估计值与实际值完全相同，应采用，故C正确； 对于D，分别代入 ，可得， ，得，数据与实际值相差较大，不合题意 ，故D错误. 故选：C. 7. 已知正三棱柱的表面积为，则当其体积取得最大值时，该三棱柱的高为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设正三棱柱的底面边长为，高为，由已知可得，，求出体积的表达式，利用导数求最大值得解. 【详解】设正三棱柱的底面边长为，高为， 则其表面积，得，又，所以， 故正三棱柱的体积， 则，当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以当 时，该正三棱柱体积取得最大值，此时三棱柱的高为. 故选：B. 8. 在锐角三角形PMN中， ， ，垂足为Q，，则点P的轨迹为（ ） A. 长轴长为2，离心率为的椭圆的一部分 B. 长轴长为，离心率为的椭圆的一部分 C. 实轴长为2，离心率为的双曲线的一部分 D. 实轴长为，离心率为的双曲线的一部分 【答案】D 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，设，则，由三角形为锐角三角形得到，利用求出，根据方程特征得到答案. 【详解】以MN所在直线为x轴，MN的垂直平分线为y轴，MN的中点为坐标原点， 建立平面直角坐标系，不妨令，，设，则， 因为是锐角三角形，所以， 则|，，， 由，得， 整理得，其为双曲线的一部分，且双曲线的实轴长为， 离心率为， 故点P的轨迹为实轴长为，离心率为的双曲线的一部分． 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，则（ ） A. 是的充要条件 B. 是与的夹角为锐角的必要不充分条件 C. 是的充要条件 D. 是的充要条件 【答案】AC 【解析】 【分析】由向量垂直、平行的坐标表示及夹角公式的坐标表示逐项判断即可. 【详解】对于A，由，故A正确； 对于B，由为锐角且不共线且，故B错误； 对于C，由或，故C正确； 对于D，时，可得：， ，此时， 仍满足，故D错误， 故选：AC. 10. 已知函数 的定义域为R，当 时，，且对于任意的，都有，则（ ） A. B. 为偶函数 C. 当时， D. 当时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，利用赋值法，令可得解；对B，令，结合奇偶函数定义判断；对C，根据当 时，，结合是奇函数，得当时，，从而得解；对D，令，利用单调性定义证明在上单调递增，结合是奇函数，所以在上单调递增，得解. 【详解】对于A，令，得，解得 ，故A正确； 对于B，令，则，所以是奇函数，故B错误； 对于C，当时，，因为当 时，，是奇函数， 所以当时，，所以，故C正确； 对于D，设，令，则， 因为，所以， 因为，所以，因此，即在上单调递增， 因为是奇函数，所以在上单调递增， 当时，，故，故D正确. 故选：ACD. 11. 在直角 中，，D为线段上一点，则（ ） A. 若，，D是 的内切圆在上的切点，则 B. 若，则存在直角 ，使得是 ，的等比中项 C. 若 ，则存在直角 ，使得是 ，的等比中项 D. 若 ，则存在直角 ，使得是 ，的等比中项 【答案】AB 【解析】 【分析】对A，根据直角三角形内切圆半径与三角形面积关系求得内切圆半径 ，由平面几何知识可得，利用向量数量积运算求得答案；对B，取，，可验证判断；对C，由三角形面积可得，利用反证法推理找矛盾；对D，在中，分别由正弦定理可得，，进而得，利用反证法推理得解. 【详解】对于A，设内切圆半径为 ，则，解得 ， 由几何关系可得，， ，则，故A正确； 对于B，取，，则，所以， 则，即存在直角，使得是的等比中项，故B正确； 对于C，若 ，由面积，有， 若是的等比中项，则，故有，显然不成立， 故不存在，使得是的等比中项，故C错误； 对于D，若，由正弦定理可得， ， 即，， 可得， 若成立，则， ，即，即，显然不成立， 故不存在，使得是的等比中项，故D错误. 故选：AB. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知点为抛物线上一点，为的焦点，则________. 【答案】 【解析】 【分析】将代入抛物线中求出的坐标，再求解的长度即可. 【详解】将代入抛物线中，得到，解得 ， 则抛物线方程为，，故. 故答案为： 13. 已知数列 不是递增数列，且，则k的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据数列单调性的定义结合通项公式列式求解. 【详解】因为不是递增数列， 所以或，解得. 所以的取值范围为. 故答案为：. 14. 已知关于的方程有两个不等实根，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】首先对原式进行整理、化简，然后求导判断单调性，进而求出的取值范围. 【详解】由可得，当时，不满足题意， 当 时，方程两边同乘， 得，等价于，变形可得． 设函数，则，当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 又因为，当 时，，且当趋向于 时，趋向于0， 由知，只需满足或， 所以a的取值范围是． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，圆. （1）若 两条相邻的对称轴与C相切，求； （2）若，是的极值点，且点有且仅有两个在C的内部，求 的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，可得，求得 ，再根据是其中一条对称轴求得 的值； （2）由题可得， ，求得， ，又圆与轴交点分别为，得，易知能且仅能取 两个值，由此求得答案. 【小问1详解】 由题，相邻对称轴间的距离为，又圆的直径为3，则，得， 又圆心，所以其中一条对称轴为， ，得， ，又，. 【小问2详解】 若，则的极值点满足， ，得， ， 又圆与轴交点分别为， 所以原题设等价于有且仅有2个的值满足， 整理得，故能且仅能取 两个值， 所以，解得. 16. 已知函数，. （1）当 时，求曲线在点处的切线方程； （2）探究 是否为 的极大值点. 【答案】（1） （2）不是极大值点 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求解； （2）假设 是的极大值点，由极值点定义推理找到矛盾，得解. 【小问1详解】 当 时，，， 则，， 所以曲线在点处的切线方程为 . 【小问2详解】 易得， 假设 是的极大值点，则，即， 化简得， 当 时，， 当时，，，只有当时，上式成立， 故，当 时，，则， 但由假设知是的极大值点， 于是由极大值的定义知存在，使得时，，与假设矛盾. 所以 不是的极大值点. 17. 乒乓球比赛规则规定：在双方打成10平后，领先两分者获胜.在某校组织的乒乓球比赛中，甲、乙两名同学已经打成了10平.已知下一球乙同学得分的概率为，且对以后的每一球，若乙同学在本球中得分，则他在下一球的得分概率为，若乙同学在本球中未得分，则他在下一球的得分概率为. （1）求在继续打了两个球后比赛结束的条件下，乙同学获胜的概率； （2）求乙同学最终获胜的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件概率的计算公式求解； （2）设事件为“乙赢了本局”，事件为“乙赢了上一局”， 设事件为“当前乙同学分数与甲同学分数之差为时，最终乙同学获胜”，由于初始，故乙同学最终获胜的概率等价于，分，， 三种情况讨论求出概率的表达式，解方程组求出得解. 【小问1详解】 在打了两个球后结束，则甲连胜两球或乙连胜两球， 设事件为“再打两球后结束”，事件为“乙赢得比赛”， 则，， 故. 【小问2详解】 设事件为“乙赢了本局”，事件为“乙赢了上一局”， 设事件为“当前乙同学分数与甲同学分数之差为时，最终乙同学获胜”， 当时，乙肯定赢了上一局，此时，若赢球则乙直接赢得比赛，若输球则乙获胜的概率为， 所以， 同理，当时，乙肯定输了上一局，此时，若输球则输掉比赛，若赢球则获胜的概率为， 所以， 当 时，若乙赢了上一局，此时，若赢球则获胜的概率为， 若输球则获胜的概率为， 所以， 若乙输了上一局，， 同理可得， 又初始，故乙同学最终获胜的概率等价于， 所以，解得. 所以乙同学最终获胜的概率为. 18. 如图，四棱锥的各个顶点均在球O的表面上，且 ， ， 平面. （1）证明：平面 平面； （2）求四棱锥体积的最大值； （3）当时，求直线 与平面所成角的正弦值的最小值. 【答案】（1）证明：由题，四边形在球的一个圆面的圆周上，故 ， 又 ，故，故， 由 平面 ， 平面 ，得 ， 又 ， 平面 ， 平面 ， 故平面 ， 又 平面，故平面平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题可得，即，利用线面垂直的判定定理证明平面 ，根据面面垂直的判定定理得证； （2）作 ，得平面，由 ，利用基本不等式得 ，结合三角形面积公式得 ，同理可得 ，由此得解； （3）取的中点，以为原点，为轴，过点且平行于的直线为轴，过点且平行于的直线为 轴，建立如图所示空间直角坐标系，由几何关系可得，设点，其中 ，求出和平面的一个法向量，表示直线与平面所成角的正弦值，根据三角函数求出最值得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 作 ，由平面平面，平面 平面， 平面 ，可得平面， 记四棱锥 的体积为， 则， 而 ， 由 平面 ，则 ，故 ， 于是 ，当且仅当时，取等号， 由 ，得 ， ，由 ，得 ， 故 ，当且仅当 取等号， 于是 ， 故. 故四棱锥 体积的最大值为. 【小问3详解】 取的中点，以为原点，为轴，过点且平行于的直线为轴，过点且平行于的直线为 轴， 建立如图所示空间直角坐标系，则， ， 故，解得，故, 记与轴交于点，易知，而， 故可设点，其中 ， 于是， 易知平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则 ， 由辅助角公式得， 所以， 当，时，等号成立， 故直线与平面所成角的正弦值的最小值为. 19. 现定义：对于实数，若，则称是和的加比中项；若、则称是和的减比中项．已知数列满足， ，且存在正数，使是和的加比中项与减比中项． （1）若是与的等比中项，求； （2）数列满足， ，且满足是和的减比中项．记数列的前项和为． （i）求证：是和的减比中项； （ii）当 时，求证：． 【答案】（1）1 （2） （i）由是和的减比中项，得， 而，则 ，于是，令，则， 因此，即， 由（1）知， ，，数列是首项为，公比为的等比数列， 则，于是得， 所以是和的减比中项. （ii）由（i）知，，，， 由，得，， 而 ，当时，，，因此， 由，得，即，变形得， 因此， ， 所以. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用给定的定义可得，求出，再列式求解. （2）（i）利用给定定义，借助累乘法得，由（1）得，再利用不等式性质推理得证；（ii）由（i）借助累乘法证得及，再利用不等式性质，结合等比数列前项和推理得证. 【小问1详解】 由是和的加比中项，得；由是和的减比中项，得， 则，即有，，，而， 因此，由是与的等比中项，得，即，而， 所以 . 【小问2详解】 （i）略 （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $